अभ्यास सेट — क्रम व अंक तालिका

दो सेट, और कोई भी एक ही संभावना पर नहीं ठहरता। यह चूक नहीं — यही मुख्य बात है। मंज़िल-सेट में पाँचों सूत्रों के अनुरूप ठीक दो व्यवस्थाएँ हैं, और अंक-तालिका चार भिन्न परिणाम-समूहों के अनुरूप है। अतः नीचे कुछ प्रश्नों के निश्चित उत्तर हैं, और एक का ईमानदारी से नहीं है — वास्तविक सेट ऐसे ही व्यवहार करते हैं। जिस अभ्यास में प्रत्येक सेट अद्वितीय रूप से हल हो जाए, वह परीक्षार्थी को अद्वितीयता की अपेक्षा करना और फिर नौवें मिनट पर उसे गढ़ लेना सिखाता है। प्रत्येक सेट को उस बिंदु तक करें जहाँ आप जान जाएँ कि क्या निश्चित है और क्या अब भी खुला है, और उत्तर केवल निश्चित भाग से दें। प्रश्न लिखने से पहले दोनों सेट पूर्ण-खोज से हल किए गए, अतः यहाँ का प्रत्येक "निर्धारित नहीं किया जा सकता" गणना किया तथ्य है, कोई बचाव नहीं।

आरंभ करने से पहले

  • मंज़िलों को छह डिब्बों की तरह खींचें और केवल निश्चितताएँ भरें। "P सबसे ऊपरी मंज़िल पर" निरपेक्ष है और पहले जाता है। "Q व R के बीच दो मंज़िलें" का अर्थ है उनके क्रमांकों में तीन का अंतर, और यह नहीं बताता कौन ऊपर है — अतः वह स्थान नहीं, संभावनाओं का युग्म देता है।
  • लीग में सबसे पहले कुल जाँचें। छह मुक़ाबले होते हैं और प्रत्येक कुल 2 अंक देता है, अतः स्तंभ का योग 12 होना चाहिए। यहाँ 5 + 4 + 2 + 1 = 12, अतः तालिका आंतरिक रूप से संगत है — और यदि योग न मिलता, तो सेट के प्रत्येक प्रश्न का सही उत्तर यही होता कि आँकड़े असंभव हैं।
  • विषम अंक-योग का अर्थ है उस टीम के ड्रॉ की संख्या विषम। जीत 2 है और हार 0, अतः किसी टीम का योग विषम केवल ड्रॉ से हो सकता है। 5 पर W और 1 पर Z में प्रत्येक ने विषम संख्या में ड्रॉ खेले हैं, और प्रत्येक के तीन मुक़ाबले होने पर यह प्रबल शर्त है — यही इस सेट को खोलती है।

मुख्य बिंदु

  • "X व Y के बीच ठीक दो मंज़िलें" का अर्थ है उनके मंज़िल-क्रमांकों में तीन का अंतर, और यह कभी नहीं बताता कि दोनों में कौन ऊपर है।
  • सेट को उस बिंदु तक करें जहाँ पता चले क्या निश्चित है व क्या खुला, फिर उत्तर केवल निश्चित भाग से दें। अद्वितीय हल गढ़ लेना ही सेट खोने का ढंग है।
  • n टीमों के राउंड रॉबिन में अंक-स्तंभ का योग 2 × n(n − 1)/2 होना चाहिए। कुछ भी हल करने से पहले वह योग जाँचें।
  • विषम अंक-योग वाली टीम ने विषम संख्या में ड्रॉ खेले हैं, क्योंकि जीत व हार केवल सम संख्याएँ जोड़ते हैं।
  • "निर्धारित नहीं किया जा सकता" DILR में वास्तविक उत्तर है और ईमानदारी से दिया जाता है। उसे हार मानकर नहीं, दो संगत स्थितियाँ खोजकर सिद्ध करें जो असहमत हों।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. सेट 1. छह व्यक्ति — P, Q, R, S, T व U — एक भवन की छह मंज़िलों पर रहते हैं, जो 1 (सबसे नीचे) से 6 (सबसे ऊपर) तक क्रमांकित हैं, प्रत्येक मंज़िल पर एक व्यक्ति।

    1. P सबसे ऊपरी मंज़िल पर रहता है।
    2. Q व R के बीच ठीक दो मंज़िलें हैं।
    3. S, Q से नीचे की किसी मंज़िल पर रहता है।
    4. T, U के ठीक ऊपर रहता है।
    5. R सबसे निचली मंज़िल पर नहीं रहता।

    मंज़िल 3 पर कौन रहता है?

    1. T
    2. U
    3. S
    4. निर्धारित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — U

    P मंज़िल 6 लेता है। Q व R में 3 का अंतर है, अतः मंज़िल 1–5 में संभव युग्म हैं (1,4), (2,5) तथा (4,1), (5,2) — और R मंज़िल 1 पर नहीं हो सकता, जो दो हटा देता है। S को Q से नीचे होना है, और T, U के ठीक ऊपर। आगे बढ़ने पर केवल दो व्यवस्थाएँ बचती हैं: S Q U T R P तथा S R U T Q P, मंज़िल 1 से ऊपर पढ़ते हुए। दोनों में U मंज़िल 3 पर है, अतः उत्तर निश्चित है यद्यपि व्यवस्था नहीं। यही आकार खोजें — अनसुलझे सेट में भी प्रश्न उत्तर-योग्य हो सकता है।

  2. सेट 1. छह व्यक्ति — P, Q, R, S, T व U — एक भवन की छह मंज़िलों पर रहते हैं, जो 1 (सबसे नीचे) से 6 (सबसे ऊपर) तक क्रमांकित हैं, प्रत्येक मंज़िल पर एक व्यक्ति।

    1. P सबसे ऊपरी मंज़िल पर रहता है।
    2. Q व R के बीच ठीक दो मंज़िलें हैं।
    3. S, Q से नीचे की किसी मंज़िल पर रहता है।
    4. T, U के ठीक ऊपर रहता है।
    5. R सबसे निचली मंज़िल पर नहीं रहता।

    पाँचों सूत्रों को कितनी भिन्न व्यवस्थाएँ संतुष्ट करती हैं?

    1. ठीक एक
    2. ठीक दो
    3. ठीक तीन
    4. तीन से अधिक
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ठीक दो

    दो: मंज़िल 1 से ऊपर पढ़ते हुए S Q U T R P तथा S R U T Q P। दोनों स्थितियों में सूत्र S को मंज़िल 1, U को 3, T को 4 व P को 6 पर स्थिर कर देते हैं; खुला केवल यह रहता है कि Q मंज़िल 2 पर व R 5 पर है अथवा उलटा, और कोई सूत्र इनमें भेद नहीं करता — "S, Q से नीचे" दोनों में सत्य है, और R दोनों में मंज़िल 1 से बचा है। दो हलों वाला सेट CAT में सामान्य है, और यह जानना कि दो हैं, आपको उन प्रश्नों का उत्तर देने से रोकता है जो उस अंतर पर निर्भर हैं।

  3. सेट 1. छह व्यक्ति — P, Q, R, S, T व U — एक भवन की छह मंज़िलों पर रहते हैं, जो 1 (सबसे नीचे) से 6 (सबसे ऊपर) तक क्रमांकित हैं, प्रत्येक मंज़िल पर एक व्यक्ति।

    1. P सबसे ऊपरी मंज़िल पर रहता है।
    2. Q व R के बीच ठीक दो मंज़िलें हैं।
    3. S, Q से नीचे की किसी मंज़िल पर रहता है।
    4. T, U के ठीक ऊपर रहता है।
    5. R सबसे निचली मंज़िल पर नहीं रहता।

    यदि Q मंज़िल 5 पर रहता है, तो मंज़िल 2 पर कौन रहता है?

    1. R
    2. S
    3. T
    4. U
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — R

    अतिरिक्त शर्त दोनों व्यवस्थाओं में से दूसरी चुन लेती है, S R U T Q P, अतः मंज़िल 2 पर R है। इसीलिए बहु-हल वाले लगभग प्रत्येक सेट में सशर्त प्रश्न ("यदि …") आता है: शर्त शाखा तय कर देती है, और जिस परीक्षार्थी ने दोनों व्यवस्थाएँ पहले ही निकाल ली हैं वह पाँच सेकंड में उत्तर देता है। जिसने पहले एक ही हल बलपूर्वक बना लिया था, वह वही उत्तर देगा जो उसने गढ़ा था।

  4. सेट 1. छह व्यक्ति — P, Q, R, S, T व U — एक भवन की छह मंज़िलों पर रहते हैं, जो 1 (सबसे नीचे) से 6 (सबसे ऊपर) तक क्रमांकित हैं, प्रत्येक मंज़िल पर एक व्यक्ति।

    1. P सबसे ऊपरी मंज़िल पर रहता है।
    2. Q व R के बीच ठीक दो मंज़िलें हैं।
    3. S, Q से नीचे की किसी मंज़िल पर रहता है।
    4. T, U के ठीक ऊपर रहता है।
    5. R सबसे निचली मंज़िल पर नहीं रहता।

    निम्नलिखित में से कौन अवश्य सत्य है?

    1. R, Q के ऊपर रहता है
    2. S सबसे निचली मंज़िल पर रहता है
    3. Q, U के ठीक नीचे रहता है
    4. T मंज़िल 5 पर रहता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — S सबसे निचली मंज़िल पर रहता है

    दोनों व्यवस्थाओं में S मंज़िल 1 पर है, अतः वह अवश्य सत्य है। विकल्प A, S Q U T R P में सत्य है और S R U T Q P में असत्य, जो उसे आवश्यक नहीं, संभव बनाता है — "अवश्य सत्य" वाला प्रश्न इसी भेद हेतु होता है। विकल्प C भी केवल पहली व्यवस्था में सत्य है। विकल्प D दोनों में असत्य है: T मंज़िल 4 पर है, 3 पर बैठे U के ठीक ऊपर।

  5. सेट 2. चार टीमें — W, X, Y व Z — राउंड रॉबिन खेलती हैं जिसमें प्रत्येक टीम हर दूसरी टीम से ठीक एक बार खेलती है। जीत पर 2 अंक, ड्रॉ पर 1 अंक व हार पर 0। अंतिम अंक नीचे दिए हैं।

    अंतिम अंक तालिका
    टीमअंक
    W5
    X4
    Y2
    Z1

    W ने कितने मुक़ाबले जीते?

    1. एक
    2. दो
    3. तीन
    4. निर्धारित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — दो

    W के तीन मुक़ाबलों से 5 अंक हैं। तीन जीतें 6 होतीं, अतः W ने तीनों नहीं जीते; 5 अवश्य 2 + 2 + 1 है, यानी दो जीत व एक ड्रॉ। तीन मुक़ाबलों से 5 बनाने का 2, 1 व 0 का कोई अन्य संयोजन नहीं — 2+1+1 चार है और 1+1+1 तीन। विषम योग ही ड्रॉ को अनिवार्य करता है: योग विषम केवल ड्रॉ से होता है।

  6. सेट 2. चार टीमें — W, X, Y व Z — राउंड रॉबिन खेलती हैं जिसमें प्रत्येक टीम हर दूसरी टीम से ठीक एक बार खेलती है। जीत पर 2 अंक, ड्रॉ पर 1 अंक व हार पर 0। अंतिम अंक नीचे दिए हैं।

    अंतिम अंक तालिका
    टीमअंक
    W5
    X4
    Y2
    Z1

    किस टीम ने निश्चित रूप से कोई मुक़ाबला नहीं जीता?

    1. Y
    2. Z
    3. Y व Z दोनों
    4. निर्धारित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — Z

    Z के पास 1 अंक है, जिसमें जीत सम्मिलित नहीं हो सकती — अकेली जीत ही 2 की है। अतः Z का एकमात्र अंक एक ड्रॉ है और दो हार, और Z ने कुछ नहीं जीता। 2 अंकों पर Y भिन्न है: 2 का अर्थ एक जीत व दो हार अथवा दो ड्रॉ व एक हार हो सकता है, और संगत परिणाम-समूहों में दोनों मिलते हैं, अतः Y निश्चित नहीं किया जा सकता। विकल्प C, Y को Z जैसा मानकर अधिक दावा करता है — और ठीक इसी तर्क से बचना है।

  7. सेट 2. चार टीमें — W, X, Y व Z — राउंड रॉबिन खेलती हैं जिसमें प्रत्येक टीम हर दूसरी टीम से ठीक एक बार खेलती है। जीत पर 2 अंक, ड्रॉ पर 1 अंक व हार पर 0। अंतिम अंक नीचे दिए हैं।

    अंतिम अंक तालिका
    टीमअंक
    W5
    X4
    Y2
    Z1

    छह मुक़ाबलों में से कितने ड्रॉ रहे?

    1. ठीक एक
    2. ठीक दो
    3. ठीक तीन
    4. निर्धारित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — निर्धारित नहीं किया जा सकता

    अंक-तालिका चार भिन्न परिणाम-समूहों के अनुरूप है, और ड्रॉ हुए मुक़ाबलों की संख्या उनमें से एक में 1, दो में 2 तथा चौथे में 3 है — अतः वह वास्तव में निर्धारित नहीं की जा सकती। निश्चित यह है कि W ने ठीक एक बार ड्रॉ खेला और Z ने ठीक एक बार, उनके विषम योगों से। सीख यह है कि "कुल कितने ड्रॉ" और "क्या इस टीम ने ड्रॉ खेला" भिन्न प्रश्न हैं जिनकी उत्तर-योग्यता भिन्न है, और सेट प्रायः दूसरे को तय कर देता है और पहले को खुला छोड़ देता है।

  8. सेट 2. चार टीमें — W, X, Y व Z — राउंड रॉबिन खेलती हैं जिसमें प्रत्येक टीम हर दूसरी टीम से ठीक एक बार खेलती है। जीत पर 2 अंक, ड्रॉ पर 1 अंक व हार पर 0। अंतिम अंक नीचे दिए हैं।

    अंतिम अंक तालिका
    टीमअंक
    W5
    X4
    Y2
    Z1

    कुछ भी हल करने से पहले, अंक-स्तंभ तालिका की संगति के बारे में क्या बताता है?

    1. यह संगत है: अंकों का योग 12 है, यानी 2 अंक × 6 मुक़ाबले
    2. यह असंगत है: अंकों का योग 24 होना चाहिए
    3. यह असंगत है: किसी टीम के अंक विषम नहीं हो सकते
    4. कुछ नहीं — कुल पर कोई बाधा नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यह संगत है: अंकों का योग 12 है, यानी 2 अंक × 6 मुक़ाबले

    चार टीमें C(4,2) = 6 मुक़ाबले खेलती हैं, और प्रत्येक मुक़ाबला ठीक 2 अंक बाँटता है, चाहे जीता जाए या ड्रॉ हो। अतः स्तंभ का योग 12 होना चाहिए, और 5 + 4 + 2 + 1 = 12 ✓। यह जाँच पाँच सेकंड लेती है और पहले करने योग्य है: असंगत तालिका का अर्थ पूरा सेट टूटा हुआ, और खराब लिखी अभ्यास-सामग्री में ऐसा होता है। विकल्प C वास्तविक भ्रांति है — विषम योग पूर्णतः संभव हैं और उनका अर्थ केवल विषम संख्या में ड्रॉ है।