वेन आरेख, वितरण, मार्ग व समय-निर्धारण

DILR पर्चे का लगभग आधा भाग न शुद्ध तालिका है न शुद्ध बैठक-पहेली: वह सर्वेक्षण उत्तरदाताओं का वेन आरेख है, किसने किस वस्तु की कितनी खरीदी उसका ग्रिड, सड़कों या पाइपों का जाल, अथवा पूर्वापेक्षा-नियमों वाली समय-सारणी। ये सेट प्रति प्रश्न 3 अंक के हैं, गलत MCQ पर −1, और उस परीक्षार्थी को पुरस्कृत करते हैं जो पहले तीस सेकंड में परिवार पहचान ले — क्योंकि प्रत्येक परिवार का एक सही आरंभिक कदम है, और उस कदम के बाद सेट केवल लेखा-जोखा है। वेन सेट उसी क्षण हल हो जाता है जब आप उसके सात क्षेत्र अंकित कर लें; वितरण सेट जब आप पंक्ति व स्तंभ योग सहित ग्रिड बना लें; मार्ग सेट प्रत्येक नोड पर जोड़कर; समय-सारणी निर्भरताओं की सबसे लंबी शृंखला खोजकर। यह अध्याय प्रत्येक आरंभ को क्रमांकित कदमों में देता है जिनका आप अभ्यास कर सकते हैं, और फिर प्रत्येक परिवार का एक पूरा सेट हर पंक्ति दिखाते हुए हल करता है, ताकि विधि कुछ ऐसी हो जिसे आपने चलते देखा है, न कि जिसके बारे में केवल पढ़ा है।

वेन आरेख — सात क्षेत्र व चार सूत्र

तीन समुच्चय A, B, C जनसंख्या को वृत्तों के भीतर सात क्षेत्रों और एक बाहर में बाँटते हैं। उन्हें उनकी सामग्री से नाम दें: तीन "केवल" क्षेत्र (केवल A, केवल B, केवल C), तीन "ठीक दो" क्षेत्र (A और B परंतु C नहीं, इत्यादि), और एक केंद्र (तीनों)। सेट जो भी संख्या देता है वह इनमें से कुछ क्षेत्रों का योग है, और प्रत्येक प्रश्न कुछ अन्य का योग माँगता है। समावेशन–अपवर्जन इन्हें जोड़ता है: दो समुच्चयों हेतु |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, और तीन हेतु |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C|। तीन-समुच्चय सूत्र का जाल यह है कि "|A ∩ B|" का अर्थ A और B दोनों में सभी हैं, C में भी होने वाले सहित — यह दो क्षेत्र हैं, एक नहीं।

वेन प्रश्न जो चार गणनाएँ माँगता है (S₂ = तीनों युगल प्रतिच्छेदनों का योग, T = तीनों)
गणना	सूत्र	किन क्षेत्रों का योग
कम-से-कम एक (संघ)	\|A\| + \|B\| + \|C\| − S₂ + T	भीतर के सभी सात क्षेत्र
ठीक एक	\|A\| + \|B\| + \|C\| − 2·S₂ + 3·T	तीन "केवल" क्षेत्र
ठीक दो	S₂ − 3·T	तीन दो-तरफ़ा क्षेत्र
कम-से-कम दो	S₂ − 2·T	तीन दो-तरफ़ा क्षेत्र और केंद्र

तीन वृत्त बनाएँ और सबसे पहले केंद्र लिखें। "तीनों" की संख्या ही एकमात्र क्षेत्र है जो सीधे दिया जाता है; शेष सब उससे निकलता है।
प्रत्येक युगल प्रतिच्छेदन से केंद्र घटाकर तीन दो-तरफ़ा क्षेत्र भरें: (केवल A और B) = |A ∩ B| − T।
समुच्चय के कुल से उसके तीन पड़ोसी घटाकर प्रत्येक "केवल" क्षेत्र भरें: केवल A = |A| − (केवल A और B) − (केवल A और C) − T।
सातों क्षेत्र जोड़ें और जनसंख्या से तुलना करें ताकि "कोई नहीं" मिले। यदि योग जनसंख्या से अधिक हो, तो कोई संख्या दो बार गिनी गई है — कदम 2 पर वापस जाएँ।

हल किया सेट। 120 विद्यार्थियों में 60 भौतिकी, 50 रसायन और 70 गणित पढ़ते हैं; 25 भौतिकी व रसायन, 30 रसायन व गणित, 35 भौतिकी व गणित; 15 तीनों। केंद्र T = 15। दो-तरफ़ा क्षेत्र: केवल P और C = 25 − 15 = 10; केवल C और M = 30 − 15 = 15; केवल P और M = 35 − 15 = 20। केवल-क्षेत्र: केवल P = 60 − 10 − 20 − 15 = 15; केवल C = 50 − 10 − 15 − 15 = 10; केवल M = 70 − 15 − 20 − 15 = 20। सातों का योग = 15 + 10 + 20 + 10 + 15 + 20 + 15 = 105, अतः 15 कोई नहीं पढ़ते। समावेशन–अपवर्जन से जाँच: 60 + 50 + 70 − 25 − 30 − 35 + 15 = 105 ✓। ठीक दो = S₂ − 3T = 90 − 45 = 45; ठीक एक = 180 − 2 × 90 + 3 × 15 = 45; कम-से-कम दो = 90 − 30 = 60। संगति: 45 + 45 + 15 = 105 ✓।

⚠️ "दोनों" का अर्थ "केवल दोनों" नहीं

जब सेट कहे "25 भौतिकी और रसायन पढ़ते हैं", तो वह |P ∩ C| है और उन 15 को शामिल करता है जो गणित भी पढ़ते हैं; केवल-P-और-C क्षेत्र 10 है। जब सेट कहे "25 भौतिकी और रसायन पढ़ते हैं परंतु गणित नहीं", तो वह स्वयं क्षेत्र है और |P ∩ C| = 40 पाने हेतु केंद्र जोड़ना होगा। एक भी संख्या लिखने से पहले प्रत्येक प्रतिच्छेदन-कथन को पढ़ें कि वह दोनों में से कौन-सा है — अनुमान लगाया तो पूरा सेट गलत।

अधिकतम व न्यूनतम अतिव्यापन

जब प्रतिच्छेदन न दिए हों, तो सेट उनकी चरम सीमाएँ माँगता है। N जनसंख्या में दो समुच्चयों हेतु: अधिकतम |A ∩ B| = |A| और |B| में छोटा (छोटे समुच्चय को पूरा बड़े के भीतर रखें), और न्यूनतम |A ∩ B| = |A| + |B| − N, या यदि ऋणात्मक हो तो 0 (दोनों समुच्चयों को जितना फैल सकें फैलाएँ)। हल: 100 की कक्षा में 70 को चाय और 80 को कॉफ़ी पसंद है। अधिकतम दोनों = 70। न्यूनतम दोनों = 70 + 80 − 100 = 50: चाय न पसंद करने वाले 30 और कॉफ़ी न पसंद करने वाले 20 अधिकतम 50 भिन्न व्यक्ति हैं, अतः कम-से-कम 50 को दोनों पसंद हैं।

तीन समुच्चयों हेतु वही "कुछ छूटने वालों को गिनें" तर्क देता है न्यूनतम |A ∩ B ∩ C| = |A| + |B| + |C| − 2N (या 0)। हल: 80 विद्यार्थियों में 60 गणित में, 50 विज्ञान में और 70 अंग्रेज़ी में उत्तीर्ण हुए। कुछ में अनुत्तीर्ण: 20 + 30 + 10 = अधिकतम 60 अनुत्तीर्णताएँ, और प्रत्येक अनुत्तीर्णता तीनों वाले समूह से अधिकतम एक व्यक्ति हटाती है, अतः कम-से-कम 80 − 60 = 20 तीनों में उत्तीर्ण। सूत्र से: 60 + 50 + 70 − 160 = 20 ✓। तीनों में उत्तीर्ण का अधिकतम सबसे छोटा समुच्चय है, 50। इन दो सीमाओं के बीच प्रत्येक मान संभव है, अतः "निम्न में से कौन तीनों में उत्तीर्ण की संख्या नहीं हो सकता?" का उत्तर 20–50 के बाहर वाला विकल्प है।

प्रतिशत ठीक N = 100 वाली गणनाओं जैसे व्यवहार करते हैं। "70% को चाय, 65% को कॉफ़ी, 10% को कोई नहीं" देता है संघ = 90%, अतः दोनों = 70 + 65 − 90 = 45%। गलत उत्तर 35%, N = 100 लेता है और कोई-नहीं वाले 10% को भूल जाता है।
"ठीक एक" को अधिकतम करने हेतु प्रत्येक अतिव्यापन न्यूनतम करें; "कोई नहीं" को अधिकतम करने हेतु प्रत्येक अतिव्यापन अधिकतम करें। दोनों चरम वही आरेख हैं जो विपरीत छोर से पढ़ा गया है, अतः सेट प्रायः दोनों पूछता है — उन्हें साथ हल करें।
चरम स्थिति बनाएँ; केवल सूत्र न बोलें। 50 का TITA उत्तर तभी सुरक्षित है जब आप 50 व्यक्तियों को केंद्र में रखकर भी प्रत्येक योग निभा सकें। निर्माण ही प्रमाण है, और वह गलत नक़ल की गई संख्या को भी पकड़ लेता है।

वितरण ग्रिड — शर्तों के अधीन गणना

वितरण सेट में व्यक्ति बगल में, वस्तुएँ ऊपर, और प्रत्येक कोष्ठ में एक संख्या होती है — प्रत्येक व्यक्ति के पास प्रत्येक वस्तु कितनी है। मिलान-पहेली से भिन्न, यहाँ कोष्ठ मात्राएँ हैं, अतः ग्रिड पंक्ति योग व स्तंभ योग रखता है, और वे योग सेट की सबसे प्रबल शर्तें हैं। विधि हर बार वही है: योग सहित ग्रिड बनाएँ, जो कोष्ठ कोई शर्त सीधे तय करे उसे भरें, फिर प्रत्येक योग से उसकी पंक्ति या स्तंभ का अंतिम अज्ञात तय करें। जब किसी रेखा में दो कोष्ठ अज्ञात रहें, तो अन्यत्र की कोई शर्त उनमें से एक तय करेगी।

योग-पंक्ति व योग-स्तंभ सहित ग्रिड बनाएँ। कोने में महायोग लिखें और जाँचें कि पंक्ति योग और स्तंभ योग दोनों उस तक जुड़ते हैं — यदि सेट दोनों दे, तो यह जाँच निःशुल्क है।
पहले शून्य भरें। "P ने कोई आम नहीं खरीदा" एक कोष्ठ को 0 पर तय करता है और सबसे उपयोगी प्रकार की शर्त है, क्योंकि यह एक साथ दो योगों से पूरा एक अज्ञात हटा देती है।
संबंधों को पंक्ति पर समीकरण बनाएँ। "R ने केले से दोगुने सेब खरीदे", पंक्ति योग 6 और कोई आम नहीं, का अर्थ है 2x + x = 6, अतः x = 2: केले 2, सेब 4।
प्रत्येक स्तंभ योग से उसका अंतिम अज्ञात बंद करें। फिर जो शर्तें अभी प्रयोग नहीं की हैं उन्हें दोबारा पढ़ें — प्रायः उनमें से एक शेष बराबरी तोड़ती है।

हल किया सेट। चार मित्र P, Q, R और S प्रत्येक ने सेब, केले व आम में से ठीक 6 फल खरीदे। कुल 10 सेब, 8 केले और 6 आम खरीदे गए। P ने कोई आम नहीं खरीदा। Q ने प्रत्येक फल समान संख्या में खरीदा। R ने केले से दोगुने सेब खरीदे और कोई आम नहीं। S ने प्रत्येक फल कम-से-कम एक खरीदा। हल। Q = (2, 2, 2)। R: आम 0, अतः सेब + केले = 6 और सेब = 2 × केले, जिससे R = (4, 2, 0)। आम स्तंभ: 6 = 0 + 2 + 0 + S, अतः S ने 4 आम खरीदे और इसलिए 2 अन्य फल; "प्रत्येक कम-से-कम एक" S = (1, 1, 4) बाध्य करता है। सेब स्तंभ: 10 = P + 2 + 4 + 1, अतः P ने 3 सेब खरीदे; बिना आम वाली P की 6 की पंक्ति 3 केले देती है: P = (3, 3, 0)। केला जाँच: 3 + 2 + 2 + 1 = 8 ✓। ग्रिड पूर्ण व अद्वितीय।

पूर्ण वितरण ग्रिड (सेब, केले, आम)
मित्र	सेब	केले	आम	योग
P	3	3	0	6
Q	2	2	2	6
R	4	2	0	6
S	1	1	4	6
योग	10	8	6	24

🎯 अंतिम शर्त क्यों आवश्यक थी

"S ने प्रत्येक कम-से-कम एक खरीदा" के बिना S (2, 0, 4) या (0, 2, 4) हो सकता था और P उसके अनुसार बदल जाता — दो वैध ग्रिड, और P के केलों पर प्रश्न का कोई अद्वितीय उत्तर नहीं होता। जब कोई शर्त बिना प्रयोग रहते सेट हल लगे, तो यह दूसरा ग्रिड खोजने का संकेत है; अप्रयुक्त शर्त या तो बराबरी-निर्णायक है या जाँच। CAT के सेट इस प्रकार बनते हैं कि प्रत्येक शर्त अपना स्थान अर्जित करती है।

मार्ग, जाल व अंक-तालिकाएँ

ग्रिड में लघुतम मार्गों की गणना। निचले-बाएँ कोने से m खंड पूर्व और n खंड उत्तर के बिंदु तक का लघुतम मार्ग किसी क्रम में ठीक m पूर्वी और n उत्तरी कदम लेता है, अतः मार्गों की संख्या उतनी है जितने ढंग से m + n कदमों में से n उत्तर वाले चुने जा सकें: C(m + n, n)। 4 पूर्व व 3 उत्तर हेतु: C(7, 3) = 35। जब ग्रिड में कोई सड़क न हो या कोई चौराहा अवरुद्ध हो, तो सूत्र विफल होता है परंतु योग-विधि नहीं: आरंभिक दोनों किनारों के प्रत्येक चौराहे पर 1 लिखें, और हर अन्य चौराहे पर उसके ठीक पश्चिम व ठीक दक्षिण की संख्याओं का योग लिखें। गंतव्य की संख्या ही गणना है। अवरुद्ध चौराहे को बस 0 मिलता है।

हल किया सेट। A से गंतव्य B, 4 खंड पूर्व व 3 खंड उत्तर है; चौराहा P, A से 2 पूर्व व 1 उत्तर है। P से होकर मार्ग = (मार्ग A → P) × (मार्ग P → B) = C(3, 1) × C(4, 2) = 3 × 6 = 18। P से बचते मार्ग = 35 − 18 = 17। प्रश्न जो भी पूछे, दोनों संख्याएँ विकल्पों में होंगी, अतः पढ़ें कि "होकर" कहा है या "बचते"। जाल-क्षमताएँ। जब प्रत्येक पाइप या सड़क एक अधिकतम प्रवाह ले सके, तो स्रोत से गंतव्य तक अधिकतम प्रवाह सबसे कसे कट से सीमित होता है: पाइपों का कोई ऐसा समूह जिसे हटाने से स्रोत गंतव्य से कट जाए। हल: S → A में 8, S → B में 6, A → B में 4, A → T में 5, B → T में 8। A → T पर 5 भेजें; A के पास 3 शेष हैं, अतः A → B पर 3 भेजें; B को अब 6 + 3 = 9 मिलता है परंतु B → T केवल 8 ले सकता है। कुल = 5 + 8 = 13। कट {A → T, B → T} = 13 इसकी पुष्टि करता है; स्रोत-कट {S → A, S → B} = 14 ढीला है और मानक गलत उत्तर है।

अंक-तालिका हेतु पहले प्रणाली का अंकगणित लिखें। जीत पर 3 व ड्रॉ पर 1 के साथ, n टीमों के राउंड रॉबिन में n(n − 1)/2 मुक़ाबले हैं, और कुल अंक = 3 × (निर्णायक मुक़ाबले) + 2 × (ड्रॉ मुक़ाबले) = 3M − D, जहाँ D ड्रॉ की संख्या है।
अंक-योग से ड्रॉ की संख्या निकालें, फिर प्रत्येक टीम के अंक विभाजित करें। 3 खेलों से 7 अंक केवल (2 जीत, 1 ड्रॉ) है; 3 अंक (1 जीत) या (3 ड्रॉ) — कुल ड्रॉ से तय करें।
जाँचें कि ड्रॉ जोड़े में हैं। प्रत्येक ड्रॉ मुक़ाबला दो टीमों में प्रत्येक को एक ड्रॉ देता है, अतः तालिका के सभी ड्रॉ का योग 2D है, एक सम संख्या। विषम योग का अर्थ गलत नक़ल किया कोष्ठ।

हल किया सेट। चार टीमें P, Q, R, S राउंड रॉबिन खेलती हैं (6 मुक़ाबले; जीत पर 3 अंक, ड्रॉ पर 1, हार पर 0)। अंतिम अंक: P 7, Q 5, R 3, S 1। कुल अंक = 16 = 3 × 6 − D, अतः D = 2 ड्रॉ मुक़ाबले, जो तालिका में 4 ड्रॉ-प्रविष्टियाँ देते हैं। P (7) = 2 जीत 1 ड्रॉ 0 हार। Q (5) = 1 जीत 2 ड्रॉ 0 हार। S (1) = 0 जीत 1 ड्रॉ 2 हार। अब तक ड्रॉ-प्रविष्टियाँ 1 + 2 + 1 = 4, अतः R का कोई ड्रॉ नहीं और R (3) = 1 जीत 0 ड्रॉ 2 हार। अब मुक़ाबले: Q के दो ड्रॉ उन्हीं दो टीमों से होंगे जिन्होंने ड्रॉ किया, P और S। अतः P की दो जीतें R और S पर; Q की जीत R पर (Q का एकमात्र शेष मुक़ाबला); R की जीत S पर। प्रत्येक मुक़ाबला अब निर्धारित: P ने R व S को हराया, Q से ड्रॉ; Q ने R को हराया, P व S से ड्रॉ; R ने S को हराया; S, P व R से हारा, Q से ड्रॉ। अंक पुनर्जाँच: S = 1 ✓, R = 3 ✓, Q = 3 + 2 = 5 ✓, P = 6 + 1 = 7 ✓।

🧠 पास्कल त्रिभुज ही ग्रिड है

अबाधित ग्रिड पर योग-विधि करवट लिया पास्कल त्रिभुज बनाती है — एक विकर्ण पर 1, 4, 10, 20, 35 — इसीलिए C(m + n, n) काम करता है। यह जानना हाथ की गिनती की जाँच करने देता है: 4 × 3 ग्रिड में ऊपरी पंक्ति के चौराहा-अंक 1, 4, 10, 20, 35 पढ़ने चाहिए। यदि आपके 1, 4, 10, 19, 34 हैं, तो कहीं एक योग छूट गया।

समय-निर्धारण व चयन

समय-निर्धारण सेट कार्य या व्यक्ति, समय-खंड, और दो प्रकार के नियम देता है: पूर्वापेक्षा ("B तभी आरंभ हो सकता है जब A समाप्त हो") और अपवर्जन ("P और Q एक ही खंड में नहीं हो सकते")। पूर्वापेक्षा नियम एक शृंखला बनाते हैं, और सबसे लंबी शृंखला की लंबाई ही न्यूनतम संभव पूर्णता-समय है — अतिरिक्त कर्मचारी इसे नहीं घटा सकते, क्योंकि शृंखला के प्रत्येक कार्य को पिछले की प्रतीक्षा करनी है। अपवर्जन नियम ठीक क्रम-ग्रिड के क्रॉस की तरह निपटाए जाते हैं: निषिद्ध जोड़े अंकित करें और निषेधों को खंड बाध्य करने दें।

कार्यों को नोड और "पहले होना चाहिए" को तीर बनाकर खींचें। प्रत्येक कार्य की अवधि उसके नोड में लिखें।
प्रत्येक नोड का शीघ्रतम समापन निकालें = उसकी अवधि + उसके पूर्ववर्तियों में सबसे बड़ा शीघ्रतम-समापन। बाएँ से दाएँ चलें।
सबसे बड़ा शीघ्रतम-समापन ही न्यूनतम पूर्णता-समय है, और जो शृंखला उसे बनाती है वह क्रांतिक पथ है। उस पथ से बाहर के किसी भी कार्य में ढील है और उसे अंत को विलंबित किए बिना हटाया जा सकता है।
अपवर्जन सहित चयन हेतु, अप्रतिबंधित चयन गिनें और निषिद्ध घटाएँ, अथवा संख्याएँ छोटी हों तो वैध टीमें सीधे सूचीबद्ध करें। समय के दबाव में लगभग पंद्रह से कम स्थितियाँ हों तो सूची बनाना सुरक्षित है।

हल किया सेट (पूर्वापेक्षा)। पाँच कार्य: A में 3 दिन लगते हैं और कोई पूर्वापेक्षा नहीं; B में 2 दिन और A के बाद; C में 4 दिन और A के बाद; D में 1 दिन और B व C दोनों के बाद; E में 2 दिन और D के बाद। शीघ्रतम समापन: A = 3; B = 3 + 2 = 5; C = 3 + 4 = 7; D = 1 + अधिकतम(5, 7) = 8; E = 8 + 2 = 10 दिन। क्रांतिक पथ A → C → D → E है। गलत उत्तर: 12 (हर अवधि जोड़कर, मानो एक व्यक्ति सब क्रम से करे), 8 (A → B → D → E पर चलकर और यह भूलकर कि D को C की भी प्रतीक्षा करनी है), और 7 (सबसे लंबे जोड़े पर रुककर)। B में 2 दिन की ढील है: वह समापन को हिलाए बिना दिन 3 और दिन 5 के बीच कहीं भी आरंभ हो सकता है।

हल किया सेट (अपवर्जन सहित चयन)। P, Q, R, S, T में से 3 की टीम चुनी जाती है। P और Q दोनों नहीं चुने जा सकते; यदि R चुना जाए तो S चुनना अनिवार्य। अप्रतिबंधित: C(5, 3) = 10। P और Q दोनों वाली टीमें: तीसरा सदस्य R, S या T — 3 टीमें, 7 शेष। उन 7 में, R सहित परंतु S रहित टीमें: {P, R, T} और {Q, R, T} — 2 टीमें (टीम {P, Q, R} पहले ही हट चुकी)। वैध टीमें = 7 − 2 = 5: PRS, PST, QRS, QST, RST। सूची इसकी पुष्टि करती है, और वह पैटर्न दिखाती है जिस पर ऐसे सेट निर्भर हैं — दोनों नियम एक टीम पर अतिव्यापित हैं, और जो परीक्षार्थी 3 और फिर 3 घटाता है उसे 4 मिलता है।

ℹ️ समय-खंड घड़ी वाला क्रम-ग्रिड हैं

पाँच वक्ताओं और पाँच घंटे-वार खंडों वाला सेट एक रैखिक क्रम है: "R, P के तुरंत बाद बोलता है" सन्निकटता है, "Q पूर्वाह्न 11 से पहले बोलता है" स्थान-सीमा है, और "S व T लगातार खंडों में नहीं हैं" अंतराल-शर्त है। पिछले अध्याय की ग्रिड-विधि प्रयोग करें, खंडों को स्थान मानकर। एकमात्र नया तत्व अवधि है — दो घंटे का व्याख्यान दो लगातार स्थान लेता है, जो एक इकाई के रूप में चलने वाला खंड है।

मुख्य बिंदु

तीन-समुच्चय वेन में भीतर सात क्षेत्र हैं; पहले केंद्र लिखें, फिर तीन दो-तरफ़ा क्षेत्र, फिर तीन "केवल" क्षेत्र, और "कोई नहीं" पाने हेतु उन्हें जोड़ें।
ठीक दो = S₂ − 3T; कम-से-कम दो = S₂ − 2T; ठीक एक = |A| + |B| + |C| − 2·S₂ + 3T। "A और B" में केंद्र शामिल है जब तक सेट "परंतु C नहीं" न कहे।
दो समुच्चयों का न्यूनतम अतिव्यापन |A| + |B| − N है; तीन का |A| + |B| + |C| − 2N। अधिकतम अतिव्यापन सबसे छोटा समुच्चय है। चरम स्थिति बोलने के बजाय बनाएँ।
वितरण ग्रिड उसके योगों से हल होता है: पहले शून्य भरें, संबंधों को पंक्ति-समीकरण बनाएँ, और प्रत्येक स्तंभ उसके योग से बंद करें।
m पूर्व व n उत्तर के लघुतम मार्ग C(m + n, n) हैं; अवरुद्ध चौराहे पर प्रत्येक नोड पर पश्चिम व दक्षिण की संख्याएँ जोड़ें। किसी बिंदु से होकर मार्ग गुणा होते हैं; उससे बचते मार्ग घटाए जाते हैं।
जीत पर 3 व ड्रॉ पर 1 वाली अंक-तालिका में कुल अंक = 3M − D, जो किसी भी मुक़ाबले को देखने से पहले ड्रॉ की संख्या देता है। समय-सारणी का न्यूनतम पूर्णता-समय उसकी सबसे लंबी निर्भरता-शृंखला है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

60 परिवारों की एक कॉलोनी में 35 हिंदी समाचारपत्र लेते हैं, 30 अंग्रेज़ी समाचारपत्र लेते हैं और 12 दोनों लेते हैं। कितने परिवार कोई भी नहीं लेते?
1. 7
2. 53
3. 18
4. 23
उत्तर देखें
उत्तर: A — 7
कम-से-कम एक समाचारपत्र लेने वाले परिवार = 35 + 30 − 12 = 53, क्योंकि दोनों लेने वाले 12, 35 और 30 दोनों में गिने गए। कोई नहीं = 60 − 53 = 7। 53 का मान स्वयं संघ है — कम-से-कम एक लेने वालों की संख्या, कोई नहीं लेने वालों की नहीं। 18 का मान केवल अंग्रेज़ी लेने वालों की संख्या है (30 − 12), और 23 केवल हिंदी लेने वालों की (35 − 12); दोनों आरेख के क्षेत्र हैं परंतु दोनों में से कोई भी दोनों वृत्तों के बाहर का क्षेत्र नहीं।
100 विद्यार्थियों में 50 क्रिकेट, 45 फुटबॉल और 40 हॉकी खेलते हैं। 20 क्रिकेट व फुटबॉल, 15 फुटबॉल व हॉकी, 18 क्रिकेट व हॉकी, और 8 तीनों खेलते हैं। तीन में से ठीक दो खेल कितने खेलते हैं?
1. 53
2. 37
3. 29
4. 45
उत्तर देखें
उत्तर: C — 29
प्रत्येक युगल आँकड़े में तीनों खेलने वाले 8 शामिल हैं, अतः तीन "ठीक दो" क्षेत्र 20 − 8 = 12, 15 − 8 = 7 और 18 − 8 = 10 हैं, कुल 29। सूत्र से, ठीक दो = S₂ − 3T = 53 − 24 = 29। 53 का मान युगल प्रतिच्छेदनों का कच्चा योग है, जो केंद्र को तीन बार गिनता है। 37 का मान S₂ − 2T है, कम-से-कम दो खेल खेलने वालों की संख्या — इसमें तीनों खेलने वाले 8 शामिल हैं। 45 का मान S₂ से केंद्र को केवल एक बार घटाता है, जो कोई सार्थक क्षेत्र नहीं। जाँच के रूप में, ठीक एक = 135 − 106 + 24 = 53, और 53 + 29 + 8 = 90 कम-से-कम एक खेल खेलते हैं।
80 विद्यार्थियों की कक्षा में 60 गणित में, 50 विज्ञान में और 70 अंग्रेज़ी में उत्तीर्ण हुए। तीनों विषयों में उत्तीर्ण विद्यार्थियों की न्यूनतम संभव संख्या क्या है?
1. 0
2. 30
3. 50
4. 20
उत्तर देखें
उत्तर: D — 20
अनुत्तीर्णताएँ गिनें: 20 गणित में, 30 विज्ञान में, 10 अंग्रेज़ी में अनुत्तीर्ण — कुल 60 अनुत्तीर्णताएँ। प्रत्येक अनुत्तीर्णता तीनों वाले समूह से अधिकतम एक विद्यार्थी हटाती है, अतः कम-से-कम 80 − 60 = 20 विद्यार्थी सब में उत्तीर्ण हुए। सूत्र भी वही देता है: 60 + 50 + 70 − 2 × 80 = 20। 0 का मान मानता है कि समुच्चयों को बिना बाध्य अतिव्यापन फैलाया जा सकता है, परंतु 60 + 50 + 70 = 180 कक्षा के दोगुने से बहुत अधिक है, अतः अतिव्यापन अनिवार्य है। 30 का मान केवल गणित व विज्ञान का दो-समुच्चय न्यूनतम है (60 + 50 − 80) और अंग्रेज़ी की उपेक्षा करता है। 50 का मान अधिकतम है, न्यूनतम नहीं — सबसे छोटे समुच्चय का आकार।
एक सर्वेक्षण में 70% उत्तरदाता चाय पसंद करते हैं, 65% कॉफ़ी और 10% कोई भी नहीं। कितने प्रतिशत चाय और कॉफ़ी दोनों पसंद करते हैं?
1. 35%
2. 45%
3. 55%
4. 25%
उत्तर देखें
उत्तर: B — 45%
कम-से-कम एक पेय पसंद करने वाले 100 − 10 = 90% हैं। समावेशन–अपवर्जन: दोनों = 70 + 65 − 90 = 45%। 35% का मान 70 + 65 − 100 है, जो कोई-नहीं वाले 10% को भूलकर संघ को पूरी जनसंख्या मान लेता है — प्रतिशत वेन प्रश्नों की सबसे आम चूक। 55% का मान कॉफ़ी के आँकड़े से "कोई नहीं" घटाता है (65 − 10), जिसका आरेख में कोई अर्थ नहीं। 25% का मान केवल-चाय क्षेत्र है (70 − 45), एक वास्तविक क्षेत्र परंतु वह नहीं जो पूछा गया। जाँच: केवल चाय 25 + केवल कॉफ़ी 20 + दोनों 45 + कोई नहीं 10 = 100।
एक शहर सड़कों के आयताकार ग्रिड में बसा है। मीरा के घर से उसका कार्यालय 3 खंड पूर्व और 2 खंड उत्तर है। केवल पूर्व या उत्तर चलते हुए वह कितने भिन्न लघुतम मार्ग ले सकती है?
1. 10
2. 6
3. 5
4. 20
उत्तर देखें
उत्तर: A — 10
प्रत्येक लघुतम मार्ग 5 कदमों का क्रम है जिनमें ठीक 2 उत्तर जाते हैं, अतः गणना 5 में से उन 2 स्थानों को चुनने के ढंग हैं: C(5, 2) = 10। योग-विधि सहमत है — ऊपरी पंक्ति में चौराहा-अंक 1, 3, 6, 10 बनते हैं। 6 का मान 3 को 2 से गुणा करता है, मानो पूर्व व उत्तर के चुनाव स्वतंत्र हों, परंतु वे एक ही क्रम के कदम हैं, दो अलग चुनाव नहीं। 5 का मान दोनों दूरियों को जोड़ता है, जो मार्ग की लंबाई है, मार्गों की संख्या नहीं। 20 का मान 5!/3! है, जो 2 उत्तरी कदमों को भिन्न मानता है और इसलिए प्रत्येक मार्ग को दो बार गिनता है।
एक आयताकार सड़क-ग्रिड पर बिंदु B, बिंदु A से 4 खंड पूर्व और 3 खंड उत्तर है, और चौराहा P, A से 2 खंड पूर्व और 1 खंड उत्तर। केवल पूर्व या उत्तर चलते हुए A से B तक कितने लघुतम मार्ग P से होकर जाते हैं?
1. 35
2. 18
3. 17
4. 9
उत्तर देखें
उत्तर: B — 18
P से होकर मार्ग A से P तक का मार्ग और फिर P से B तक का मार्ग है, और दोनों चरण स्वतंत्र रूप से चुने जाते हैं, अतः गणनाएँ गुणा होती हैं। A से P: 2 पूर्व व 1 उत्तर, C(3, 1) = 3 मार्ग। P से B: शेष 2 पूर्व व 2 उत्तर, C(4, 2) = 6 मार्ग। P से होकर: 3 × 6 = 18। 35 का मान C(7, 3) है, P की किसी शर्त के बिना A से B तक के कुल लघुतम मार्ग। 17 का मान 35 − 18 है, P से बचने वाले मार्गों की संख्या — विपरीत प्रश्न का उत्तर, और सदा साथ में छपा। 9 का मान दोनों चरणों को गुणा करने के बजाय जोड़ता है (3 + 6)।
स्रोत S से टैंक T तक पानी इन घंटे-वार क्षमताओं वाले पाइपों से बहता है: S → A 8 इकाई, S → B 6 इकाई, A → B 4 इकाई, A → T 5 इकाई, B → T 8 इकाई। प्रवाह केवल तीरों की दिशा में है। S से T तक प्रति घंटा अधिकतम प्रवाह है:
1. 14
2. 11
3. 13
4. 17
उत्तर देखें
उत्तर: C — 13
T तक पहुँचने वाला सब कुछ A → T (5) या B → T (8) से गुज़रना चाहिए, अतः प्रवाह 13 से अधिक नहीं हो सकता, और यह सीमा प्राप्य है: A → T पर 5 भेजें, A के शेष 3 को A → B से गुज़ारें, और B को तब 6 + 3 = 9 मिलते हैं जिनमें 8 T तक जाते हैं। कुल 5 + 8 = 13। 14 का मान स्रोत से बाहर की क्षमता है (8 + 6), परंतु T में आने वाले पाइप उतना नहीं ले सकते — प्रवाह को स्रोत नहीं, सबसे कसा कट सीमित करता है। 11 का मान A → B कड़ी की उपेक्षा करता है और A से केवल 5 व B से 6 भेजता है। 17 का मान T के दोनों अंतर्प्रवाहों में A → B की क्षमता जोड़ता है, वही पानी दो बार गिनते हुए।
एक परियोजना में पाँच कार्य हैं। A में 3 दिन लगते हैं और वह तुरंत आरंभ हो सकता है। B में 2 दिन और C में 4 दिन लगते हैं; दोनों A समाप्त होने के बाद ही आरंभ हो सकते हैं। D में 1 दिन लगता है और वह B व C दोनों समाप्त होने के बाद ही आरंभ हो सकता है। E में 2 दिन लगते हैं और वह D के बाद आरंभ होता है। असीमित कर्मचारियों के साथ परियोजना पूर्ण करने के न्यूनतम दिन हैं:
1. 12
2. 10
3. 8
4. 7
उत्तर देखें
उत्तर: B — 10
न्यूनतम समय निर्भरताओं की सबसे लंबी शृंखला है। शीघ्रतम समापन: A = 3; B = 3 + 2 = 5; C = 3 + 4 = 7; D को B और C दोनों की प्रतीक्षा करनी है, अतः D = 7 + 1 = 8; E = 8 + 2 = 10। क्रांतिक पथ A → C → D → E में 10 दिन लगते हैं और कर्मचारियों की कोई संख्या इसे नहीं घटा सकती। 12 का मान हर अवधि जोड़ता है (3 + 2 + 4 + 1 + 2) मानो एक कर्मचारी कार्य एक के बाद एक करे, यह भूलकर कि B और C समानांतर चलते हैं। 8 का मान शृंखला A → B → D → E पर चलता है और भूल जाता है कि D को C की भी प्रतीक्षा है, जो B के दो दिन बाद समाप्त होता है। 7 का मान C के समापन पर रुक जाता है और D व E को पूरी तरह छोड़ देता है।