क्रम, वितरण, खेल व टूर्नामेंट

यह DILR का तर्क-भाग है, और इसे एक दर्जन पहेली-प्रकारों के रूप में नहीं, बल्कि कई वेशों वाली एक विधि के रूप में सीखना उचित है। पंक्ति में बैठक, वृत्त में बैठक, भवन की मंज़िलों पर लोग, भिन्न रंगों के डिब्बे, टूर्नामेंट के मुक़ाबले — सभी वही तीन कदम हैं: तय करें ग्रिड क्या होना चाहिए, केवल वही भरें जो निश्चित है, और जब कुछ और निश्चित न रहे तो उस कोष्ठ पर शाखा बनाएँ जिसके विकल्प सबसे कम हैं। जिसने "प्रकार" सीखे हैं वह उसी क्षण अटक जाता है जब कोई सेट किसी प्रकार से मेल न खाए। जिसने विधि सीखी है वह प्रत्येक सेट एक ही ढंग से आरंभ करता है — और उस खंड में यही वास्तविक लाभ है जिसके सेट अपरिचित होने के लिए ही बनाए जाते हैं।

तीन कदम

  1. शर्तों को दूसरी बार पढ़ने से पहले ग्रिड चुनें। ग्रिड में प्रत्येक व्यक्ति या वस्तु हेतु एक पंक्ति, और सेट जिस प्रत्येक गुण का उल्लेख करता है उसके लिए एक स्तंभ। यदि सेट पाँच व्यक्तियों, उनके शहरों व उनकी कारों की बात करता है, तो वह 5 × 2 तालिका है — तीन अलग सूचियाँ नहीं। इसमें गलती खंड की सर्वाधिक महँगी भूल है, क्योंकि उसके बाद प्रत्येक शर्त गलत स्थान पर दर्ज होती है।
  2. केवल निश्चितताएँ भरें, शेष को निषेध के रूप में अंकित करें। "P दिल्ली में नहीं है" कोई कोष्ठ नहीं भरता — वह एक में क्रॉस लगाता है। क्रॉस, सही के निशान जितने ही मूल्यवान हैं और अंततः उत्तर वही बाध्य करते हैं, अतः निषेधों को मन में रखने के बजाय दो-चिह्न वाला ग्रिड प्रयोग करें।
  3. जब कुछ और निश्चित न रहे, सबसे कसी शर्त पर शाखा बनाएँ। वह पंक्ति या स्तंभ खोजें जिसमें केवल दो संभावनाएँ शेष हैं, एक मान लें, और उसे तब तक चलाएँ जब तक वह ग्रिड पूरा कर दे या किसी शर्त का विरोध कर दे। विरोध व्यर्थ शाखा नहीं है — वह दूसरी स्थिति को सिद्ध कर देता है, और प्रायः पूर्ण हल का सबसे तेज़ मार्ग यही है।
🧠 उस शर्त से आरंभ करें जो सर्वाधिक तय करती है
शर्तें जानबूझकर असहायक क्रम में छपी होती हैं। सभी पढ़ें, फिर उससे आरंभ करें जो वास्तविक स्थान बताती है ("R बाएँ से तीसरे स्थान पर बैठा है"), किसी संबंध से नहीं ("R, S के बाईं ओर कहीं बैठा है")। एक निरपेक्ष शर्त तीन सापेक्ष शर्तों के बराबर है, और उसे पहले प्रयोग करने पर सेट प्रायः दो मिनट में खुल जाता है।

पंक्तियाँ, वृत्त व मंज़िलें

  • पंक्तियाँ: दिशा एक बार, लिखकर तय करें। पंक्ति खींचें और बाएँ सिरे पर चिह्न लगाएँ। "के दाईं ओर" का अर्थ पाठक का दायाँ है, बशर्ते सेट यह न कहे कि लोग आपकी ओर मुँह किए हैं — उस स्थिति में प्रत्येक बायाँ-दायाँ उलट जाता है। अपनी आकृति के ऊपर "उत्तर की ओर मुँह →" लिख दें और उसके बाद प्रत्येक शर्त असंदिग्ध हो जाती है।
  • वृत्त: केवल सापेक्ष स्थिति मायने रखती है, अतः एक व्यक्ति स्थिर करें और उसे कभी न हिलाएँ। तब "P के बाएँ तीसरा" गिनने योग्य हो जाता है। लोगों का मुँह केंद्र की ओर है या बाहर, यह प्रत्येक दिशा उलट देता है, अतः एक भी शर्त भरने से पहले उसे आकृति पर अंकित करें — पूरी तरह गलत वृत्तीय व्यवस्था का सर्वाधिक सामान्य एकल कारण यही है।
  • मंज़िलें: उन्हें क्रमांक दें और "ऊपर" को बड़ा क्रमांक मानें। "P व Q के बीच ठीक दो मंज़िलें" का अर्थ |P − Q| = 3 है, 2 नहीं — वे दो मंज़िलें उनके बीच हैं, अतः क्रमांक का अंतर एक अधिक है। यह एक-का-अंतर लगभग प्रत्येक मंज़िल-सेट में जानबूझकर रखा जाता है।
  • हल किया अंश। पाँच व्यक्ति P, Q, R, S, T उत्तर की ओर मुँह किए एक पंक्ति में बैठे हैं। R बाएँ से तीसरा है। Q, R के ठीक दाईं ओर है। S किसी एक सिरे पर है। P, R के बगल में नहीं है। निरपेक्ष से आरंभ करें: R स्थान 3 पर है, अतः Q स्थान 4 पर। S स्थान 1 या 5 पर। यदि S स्थान 1 पर हो, तो P व T स्थान 2 व 5 लेंगे; P स्थान 2 पर नहीं हो सकता (3 पर बैठे R के बगल में), अतः P स्थान 5 पर और T स्थान 2 पर — पूर्ण व्यवस्था S T R Q P। यदि S स्थान 5 पर हो, तो Q स्थान 4 पर व S स्थान 5 पर होने से 1 व 2 P व T हेतु बचते हैं; P स्थान 2 पर नहीं हो सकता, अतः P स्थान 1 पर और T स्थान 2 पर, यानी P T R Q S। दो मान्य व्यवस्थाएँ, और "अत्यंत बाईं ओर कौन है?" पूछने वाला प्रश्न तभी उत्तर योग्य होगा जब कोई अतिरिक्त शर्त एक को हटा दे — और अद्वितीय उत्तर मान लेने से पहले ठीक यही जाँचने योग्य बात है।

वितरण ग्रिड

जब सेट व्यक्तियों को दो या अधिक गुणों से मिलाता है — नाम, शहर, खेल, वेतन — तो आकार वह तालिका है जिसमें प्रत्येक व्यक्ति हेतु एक पंक्ति व प्रत्येक गुण हेतु एक स्तंभ। दो नियम इसे यांत्रिक बना देते हैं।

  • जब मिलान एक-से-एक हो, तो प्रत्येक पंक्ति व स्तंभ में एक सही का निशान। जैसे ही कोई कोष्ठ भरा जाए, उसकी पंक्ति व उसके स्तंभ के प्रत्येक अन्य कोष्ठ पर क्रॉस लग जाता है। यह तुरंत, हर बार करना ही चार शर्तों को हल हुए ग्रिड में बदलता है — कार्य निषेध करते हैं, सही के निशान नहीं।
  • "या" ध्यान से पढ़ें। "P को क्रिकेट या हॉकी पसंद है" का अर्थ दोनों में से एक है, दोनों नहीं, और यह एक ही झटके में P हेतु हर दूसरा खेल हटा देता है। जो शर्त अस्पष्ट दिखती है वह प्रायः सेट की सबसे शक्तिशाली शर्त होती है।
  • गणना वाली शर्तें भी शर्तें हैं। "पाँच में से ठीक दो मुंबई से हैं" पूरे स्तंभ को बाँधती है और व्यक्तियों के पीछे भागने पर भूल जाना सरल है। आरंभ करने से पहले ऐसे योग स्तंभ के शीर्ष पर लिख लें।

खेल व टूर्नामेंट

  • राउंड रॉबिन: n टीमें n(n − 1)/2 मुक़ाबले खेलती हैं, प्रत्येक टीम n − 1 खेल। 5 टीमों में यह 10 मुक़ाबले हैं। सभी टीमों की कुल जीतें मुक़ाबलों की संख्या के बराबर होती हैं, और यही जाँच असंगत तालिका पकड़ती है।
  • नॉकआउट: n टीमों में से एक विजेता निकालने हेतु n − 1 टीमें बाहर होनी चाहिए, अतः ठीक n − 1 मुक़ाबले होते हैं। ब्रैकेट कैसा भी हो, इस गणना हेतु किसी स्थिति-विश्लेषण की आवश्यकता नहीं — प्रत्येक मुक़ाबला ठीक एक टीम बाहर करता है।
  • अंक-तालिका: पहले अंक-प्रणाली का अंकगणित लिख लें। जीत पर 2, ड्रॉ पर 1 व हार पर 0 अंक होने पर 5 खेलों से 7 अंक वाली टीम के पास (3 जीत, 1 ड्रॉ, 1 हार) अथवा (2 जीत, 3 ड्रॉ, 0 हार) हो सकते हैं — मान लेने के बजाय दोनों गिनें। तालिका में ड्रॉ की कुल संख्या सदा सम होती है, क्योंकि प्रत्येक ड्रॉ मुक़ाबला दो टीमों को एक-एक ड्रॉ देता है।
  • "सर्वोत्तम संभव" व "न्यूनतम संभव" ही वास्तविक प्रश्न-प्रकार है। "कम-से-कम कितने अंकों पर कोई टीम अब भी अर्हता पा सकती है?" इसका उत्तर अन्य टीमों के परिणामों की सर्वाधिक अनुकूल व्यवस्था बनाकर मिलता है — औसत निकालकर नहीं। चरम स्थिति स्पष्ट रूप से बनाएँ; वह सदा बनाई जा सकती है, और प्रश्न आपसे उसे बनाने को ही कह रहा है।
⚠️ दो टीमें एक ही स्थान साझा कर सकती हैं
जब तक सेट कोई बराबरी-निर्णायक न दे, समान अंकों का अर्थ अनिर्धारित क्रम है — और तब "दूसरे स्थान पर कौन रहा?" पूछने वाले प्रश्न का कोई अद्वितीय उत्तर नहीं होता। किसी भी क्रम-संबंधी प्रश्न का उत्तर देने से पहले बराबरी-निर्णायक नियम जाँचें; उसकी अनुपस्थिति कभी-कभी सेट का मूल विषय ही होती है।

मुख्य बिंदु

  • इस प्रकार का प्रत्येक सेट वही तीन कदम है: ग्रिड चुनें, केवल निश्चितताएँ भरें, फिर सबसे कसी शर्त पर शाखा बनाएँ।
  • उस शर्त से आरंभ करें जो वास्तविक स्थान बताती है, संबंध नहीं। एक निरपेक्ष शर्त तीन सापेक्ष शर्तों के बराबर है।
  • सेट क्रॉस से हल होते हैं, सही के निशान से नहीं। प्रत्येक निषेधात्मक शर्त ग्रिड पर दर्ज होनी चाहिए, क्योंकि अंततः उत्तर निषेध ही बाध्य करते हैं।
  • वृत्त में एक व्यक्ति स्थिर करें और कोई शर्त भरने से पहले अंकित करें कि सभी का मुँह भीतर है या बाहर — यह एक टिप्पणी पूरी तरह उलटे हल से बचा लेती है।
  • "P व Q के बीच ठीक दो मंज़िलें" का अर्थ है उनके क्रमांक में तीन का अंतर। प्रत्येक अंतराल-कथन में यह एक-का-अंतर देखें।
  • n टीमों का राउंड रॉबिन n(n − 1)/2 मुक़ाबले हैं; नॉकआउट n − 1 मुक़ाबले, क्योंकि प्रत्येक मुक़ाबला ठीक एक टीम बाहर करता है।
  • "अर्हता हेतु न्यूनतम अंक" वाला प्रश्न आपसे सर्वाधिक अनुकूल स्थिति बनाने को कह रहा है, कुछ भी औसत निकालने को नहीं।
  • समान अंकों वाली दो टीमों का क्रम निर्धारित नहीं होता जब तक बराबरी-निर्णायक न दिया हो, अतः क्रम-संबंधी प्रश्न का अद्वितीय उत्तर न भी हो।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक राउंड-रॉबिन टूर्नामेंट में प्रत्येक टीम हर दूसरी टीम से ठीक एक बार खेलती है, और 8 टीमें भाग लेती हैं। मुक़ाबलों की संख्या है:

    1. 64
    2. 56
    3. 28
    4. 7
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 28

    प्रत्येक मुक़ाबला दो टीमों का युग्म है, अतः गणना C(8,2) = 8 × 7/2 = 28। विकल्प B, 56, यानी 8 × 7 — यह प्रत्येक मुक़ाबले को दो बार गिनता है, प्रत्येक टीम की ओर से एक बार। विकल्प D, 7, एक टीम द्वारा खेले जाने वाले खेलों की संख्या है।

  2. 37 टीमों वाले नॉकआउट टूर्नामेंट में (कुछ को बाई मिलती है), एक विजेता तय करने हेतु कुल आवश्यक मुक़ाबलों की संख्या है:

    1. 36
    2. 37
    3. 18
    4. यह इस पर निर्भर है कि बाई कैसे व्यवस्थित हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 36

    प्रत्येक मुक़ाबला ठीक एक टीम बाहर करता है, और एक विजेता बचाने हेतु 36 टीमें बाहर होनी चाहिए, अतः ठीक 36 मुक़ाबले खेले जाते हैं। ब्रैकेट की संरचना व बाई यह बदलती हैं कि कौन किससे खेलेगा, गणना नहीं — इसीलिए विकल्प D, सतर्क लगने के बावजूद, गलत है।

  3. पाँच मित्र एक भवन की पाँच मंज़िलों पर रहते हैं, जिन्हें 1 (सबसे नीचे) से 5 तक क्रमांकित किया गया है। A व B के बीच ठीक दो मंज़िलें हैं। A व B कौन-सा मंज़िल-युग्म ले सकते हैं?

    1. 1 व 3
    2. 1 व 4
    3. 2 व 3
    4. 1 व 5
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1 व 4

    उनके बीच दो मंज़िलें होने का अर्थ है ठीक दो मंज़िलें मध्य में, अतः मंज़िल-क्रमांकों में 3 का अंतर। मंज़िल 1 व 4 के बीच मंज़िल 2 व 3 हैं ✓। विकल्प A, मंज़िल 1 व 3, के बीच केवल मंज़िल 2 है। विकल्प D, मंज़िल 1 व 5, के बीच तीन मंज़िलें हैं। यह एक-का-अंतर लगभग प्रत्येक मंज़िल-आधारित सेट में जानबूझकर रखा जाता है।

  4. पाँच व्यक्ति उत्तर की ओर मुँह किए एक पंक्ति में बैठे हैं। R बाएँ से तीसरा है, Q, R के ठीक दाईं ओर है, S किसी एक सिरे पर है, तथा P, R के बगल में नहीं है। कितनी व्यवस्थाएँ संभव हैं?

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 4
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2

    R स्थान 3 पर और Q स्थान 4 पर। S स्थान 1 या 5 पर। यदि S स्थान 1 पर हो, तो P व T हेतु स्थान 2 व 5 बचते हैं; P स्थान 2 पर नहीं हो सकता (R के बगल में), अतः P स्थान 5 पर, T स्थान 2 पर: S T R Q P। यदि S स्थान 5 पर हो, तो स्थान 1 व 2 बचते हैं; P स्थान 2 पर नहीं हो सकता, अतः P स्थान 1 पर, T स्थान 2 पर: P T R Q S। दोनों प्रत्येक शर्त संतुष्ट करती हैं, अतः उत्तर 2 है — और यह देख लेना कि दो हैं, अद्वितीय व्यवस्था मान लेने के बजाय, आगे आने वाले "बाएँ सिरे पर कौन बैठा है" प्रश्न की नींव है।

  5. एक लीग में जीत पर 2, ड्रॉ पर 1 व हार पर 0 अंक हैं, और एक टीम के 5 मुक़ाबलों से 7 अंक हैं। कौन-सा रिकॉर्ड संभव नहीं है?

    1. 3 जीत, 1 ड्रॉ, 1 हार
    2. 2 जीत, 3 ड्रॉ, 0 हार
    3. 1 जीत, 5 ड्रॉ, 0 हार
    4. A व B दोनों संभव हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 1 जीत, 5 ड्रॉ, 0 हार

    अंक व मुक़ाबलों की संख्या साथ जाँचें। विकल्प A: 5 मुक़ाबलों से 6 + 1 = 7 अंक ✓। विकल्प B: 5 मुक़ाबलों से 4 + 3 = 7 अंक ✓। विकल्प C: 2 + 5 = 7 अंक, परंतु वे 6 मुक़ाबले हैं, 5 नहीं — अंक ठीक बैठते हैं और मुक़ाबलों की संख्या नहीं, और ऐसे आधे-संगत विकल्प ही ये सेट देते हैं। दोनों योग सदा जाँचें।

  6. किसी पूर्ण लीग तालिका में, सभी टीमों द्वारा मिलकर दर्ज किए गए ड्रॉ परिणामों की कुल संख्या होनी चाहिए:

    1. सम
    2. विषम
    3. मुक़ाबलों की संख्या के बराबर
    4. कोई भी संख्या
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सम

    ड्रॉ हुआ मुक़ाबला दोनों टीमों को एक-एक ड्रॉ देता है, अतः प्रत्येक ड्रॉ स्तंभ-योग में 2 जोड़ता है — और वह योग सम ही होना चाहिए। आधी भरी लीग तालिका पर यह सबसे तेज़ संगति-जाँच है: विषम ड्रॉ-स्तंभ का अर्थ है कहीं आँकड़ा-प्रविष्टि की त्रुटि। विकल्प C गलत है क्योंकि ड्रॉ का योग, ड्रॉ हुए मुक़ाबलों का दोगुना है, खेले गए मुक़ाबलों के बराबर नहीं।

  7. आठ व्यक्ति एक वृत्ताकार मेज़ के चारों ओर केंद्र की ओर मुँह किए बैठे हैं। "P के बाएँ तीसरा" गिना जाता है:

    1. ऊपर से देखने पर P से घड़ी की दिशा में
    2. ऊपर से देखने पर P से घड़ी की उलटी दिशा में
    3. उस दिशा में जिसकी पुष्टि प्रश्न बाद में करे
    4. वृत्त में इससे अंतर नहीं पड़ता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ऊपर से देखने पर P से घड़ी की दिशा में

    केंद्र की ओर मुँह किए व्यक्ति का बायाँ हाथ, मेज़ को ऊपर से देखने पर, घड़ी की दिशा में संकेत करता है। इसीलिए कोई शर्त भरने से पहले मुँह की दिशा अंकित करनी चाहिए: यदि वही लोग बाहर की ओर मुँह किए होते, तो प्रत्येक बायाँ घड़ी की उलटी दिशा हो जाता और पूरी व्यवस्था दर्पण-प्रतिबिंब बन जाती। विकल्प D ही ख़तरनाक है — वृत्त में दिशा ही वह चीज़ है जिससे अंतर पड़ता है, क्योंकि केवल सापेक्ष स्थिति स्थिर होती है।

  8. एक ग्रिड 4 व्यक्तियों को 4 भिन्न शहरों से मिलाता है, प्रत्येक को एक। आप स्थापित कर लेते हैं कि P दिल्ली में है। तुरंत अगला कदम है:

    1. अगली शर्त पर बढ़ जाएँ
    2. अन्य तीन व्यक्तियों हेतु दिल्ली और P हेतु हर दूसरा शहर काट दें
    3. जाँचें कि उत्तर-विकल्पों में दिल्ली का उल्लेख है या नहीं
    4. पूरा सेट आरंभ से फिर पढ़ें
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अन्य तीन व्यक्तियों हेतु दिल्ली और P हेतु हर दूसरा शहर काट दें

    एक-से-एक मिलान में एक सही का निशान 4 × 4 ग्रिड में छह क्रॉस बाध्य करता है — पंक्ति में तीन व स्तंभ में तीन। उन्हें तुरंत भरना ही अगली शर्त को शक्तिशाली बनाता है, क्योंकि तब उसके पास प्रायः केवल एक कोष्ठ बचता है। जो परीक्षार्थी निषेध टाल देते हैं वे उन्हें दोबारा निकालते हैं, या उससे बुरा, दो व्यक्तियों को एक ही शहर दे देते हैं।