गणित शिक्षाशास्त्र: उद्देश्य, भाषा और मूल्यांकन
गणित क्या है, और वह पाठ्यक्रम में क्यों है
गणित स्मरण की जाने वाली तथ्यों की सूची नहीं है; वह तर्क करने का एक ढंग है जिसके निष्कर्ष प्रेक्षित नहीं, सिद्ध किए जाते हैं। इसीलिए उसे अमूर्त, तार्किक और निगमनात्मक विषय कहा जाता है: त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण इसलिए नहीं होता कि किसी ने अनेक त्रिभुज नापे, बल्कि इसलिए कि वह निकलता है। उसकी भाषा सुनिश्चित और सांकेतिक है, उसकी संरचना संचयी — प्रत्येक अवधारणा किसी पूर्व अवधारणा पर टिकी है, इसीलिए स्थानीय मान का अंतर चार वर्ष बाद बीजगणित में दिखता है — और उसके कथन सार्वत्रिक हैं, इससे स्वतंत्र सत्य कि कौन जाँच रहा है।
| उद्देश्य | वह क्या चाहता है | उसकी सेवा करती कक्षा कैसी दिखती है |
|---|---|---|
| संकीर्ण (उपयोगितावादी) | उपयोगी कौशल — चार संक्रियाएँ, मापन, मुद्रा, प्रतिशत। | प्रश्न-अभ्यास, जब तक विधि तेज़ व विश्वसनीय हो जाए। |
| उच्चतर (गणितीकरण) | अमूर्तन, सामान्यीकरण, तर्क व सिद्ध करने की आदत। | बच्चे प्रश्न बनाते हुए, विधि समझाते हुए, उसी उत्तर तक दूसरा मार्ग खोजते हुए। |
गणित की भाषा, और भय कहाँ से आता है
शब्द-समस्या गणित की समस्या होने से पहले पढ़ने की समस्या है। जो बच्चा 45 − 18 कर लेता है और "रवि के पास 45 कंचे थे, 18 खो गए; कितने बचे?" का उत्तर नहीं दे पाता, वह घटाने में असफल नहीं हुआ। गणित साधारण शब्दों को असाधारण अर्थ में भी प्रयोग करता है — का का अर्थ गुणा, है का अर्थ बराबर, से कम पढ़ने का क्रम उलट देता है, अंतर मतभेद नहीं है — और इनमें से प्रत्येक वह स्थान है जहाँ बच्चा खो सकता है जबकि अंकगणित अछूता हो। परीक्षा-योग्य प्रतिक्रिया यह है कि भाषा स्पष्ट रूप से पढ़ाई जाए और बच्चों को किसी दिए प्रश्न के लिए अपनी शब्द-समस्याएँ लिखने दिया जाए, जो सबसे तेज़ निदान है।
- गणित का भय कहाँ से आता है, उसी क्रम में जिसमें पाठ्यक्रम उन्हें दोषी ठहराता है: गति-परीक्षाएँ और सार्वजनिक तुलना, उत्तर को ग़लत कह देना पर यह न दिखाना कि कहाँ, केवल एक स्वीकार्य विधि, और वह शिक्षक जो ऊँची आवाज़ में कहे कि गणित कठिन है।
- सामुदायिक गणित नामित संसाधन है। दुकानदार का हिसाब, राजमिस्त्री का मापन, बुनकर की गिनती और दादी के मिठाई बाँटने का ढंग सब वही गणित है जिससे बच्चा पहले मिल चुका है, और उनसे आरंभ करना ज्ञात से आरंभ करना है।
- बच्चे की अपनी विधि ग़लत विधि नहीं है। 47 + 28 को 47 + 30 − 2 के रूप में जोड़ना सही, कुशल और कक्षा के सामने पूछे जाने योग्य है। स्तंभ-विधि को एकमात्र मार्ग बताकर अड़ना संकीर्ण उद्देश्य द्वारा उच्चतर को दबाना है।
- प्रश्न बनाना प्रश्न हल करने के साथ खड़ा है। जिस कक्षा से ऐसा प्रश्न गढ़ने को कहा जाए जिसका उत्तर 12 हो, वह दो मिनट में बता देती है कि कौन गुणा समझता है और किसने पहाड़ा कंठस्थ किया है।
त्रुटि विश्लेषण, निदान और मूल्यांकन
ch04 ने विशिष्ट त्रुटियाँ दीं; यह उनके साथ क्या करना है। त्रुटि क्रमबद्ध होती है या चूक, और दोनों को उलटी प्रतिक्रिया चाहिए। चूक एक बार होती है और जाँच उसे पकड़ लेती है। क्रमबद्ध त्रुटि इसलिए दोहराती है कि कोई नियम वहाँ लगाया जा रहा है जहाँ उसका स्थान नहीं, और कितनी भी सावधानी उसे नहीं पकड़ेगी क्योंकि बच्चा स्वयं को सही मानता है। अतः पहला चरण सदा बच्चे के कई उत्तर देखना है: एक ग़लत उत्तर निदान नहीं है, और एक ही आकार के चार ग़लत उत्तर निदान हैं।
- चार-चरणीय उपचारात्मक क्रम, और प्रश्नपत्र उसे क्रम में पूछता है: छात्रों को पहचानें, उनके कार्य से विशिष्ट टूटन का निदान करें, उसी टूटन को मूर्त सामग्री से पढ़ाएँ, फिर केवल उसी की पुनः जाँच करें। अध्याय दोबारा पढ़ाना इन चारों में से कोई नहीं है।
- मूल्यांकन तर्क तक पहुँचे, केवल उत्तर तक नहीं। विधि के अंक, मौखिक "यह कैसे निकाला", और दो स्वीकार्य मार्ग वाला प्रश्न सब यह करते हैं; बीस प्रश्नों का सही-ग़लत लगा पृष्ठ नहीं करता, क्योंकि वह चूक और भ्रांति में भेद नहीं कर सकता।
- अनौपचारिक मूल्यांकन भी मूल्यांकन है। किसी बच्चे को घन छाँटते देखना, किसी समूह को यह बहस करते सुनना कि कौन-सी भिन्न बड़ी है, और बच्चे की अपनी लिखी शब्द-समस्या पढ़ना सब प्रमाण हैं, और CCE अपेक्षा करता है कि इन्हें याद रखने के बजाय दर्ज किया जाए।
- गति-परीक्षा गति मापती है। जिस विधि को स्वचालित होना चाहिए उसकी जाँच में उसका स्थान है, और यह आँकने में कोई स्थान नहीं कि बच्चा समझता है या नहीं। पाठ्यक्रम उसी कारण उसे भय के कारणों में गिनता है।
मुख्य बिंदु
- NCF 2005 गणित के संकीर्ण उद्देश्य — उपयोगी गणना — को उच्चतर उद्देश्य, गणितीकरण से अलग करता है: अमूर्तन, सामान्यीकरण, तर्क व सिद्ध करना। जहाँ भी प्रश्न दोनों रखे, उच्चतर उद्देश्य जीतता है।
- शब्द-समस्या पहले पढ़ने की समस्या है, और गणित साधारण शब्दों को विचित्र ढंग से प्रयोग करता है — "का" का अर्थ गुणा, "से कम" पढ़ने का क्रम उलट देता है। जो बच्चा 45 − 18 कर लेता है पर कंचों का प्रश्न हल नहीं कर पाता, वह घटाने में असफल नहीं हुआ।
- बच्चे की अपनी अमानक विधि — 47 + 28 को 47 + 30 − 2 — सही है और कक्षा के साथ साझा करने योग्य। एक ही विधि पर अड़ना संकीर्ण उद्देश्य द्वारा उच्चतर को दबाना है, और वह गणित-भय के नामित कारणों में है।
- एक ग़लत उत्तर निदान नहीं है; एक ही आकार के चार हैं। उपचारात्मक क्रम है पहचानना, कार्य से निदान करना, उसी टूटन को मूर्त सामग्री से पढ़ाना, केवल उसी की पुनः जाँच — और पूरा अध्याय दोबारा पढ़ाना इन चारों में कोई नहीं।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
NCF 2005 के अनुसार विद्यालय में गणित पढ़ाने का उच्चतर उद्देश्य है:
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उत्तर: B — गणितीकरण विकसित करना — अमूर्तन, तर्क व सिद्ध करने की आदत
NCF 2005 दो उद्देश्य नामित करता है और उन्हें क्रम देता है: संकीर्ण या उपयोगितावादी उद्देश्य उपयोगी गणना है, और उच्चतर उद्देश्य गणितीकरण — बच्चे के उन साधनों का विकास जिनसे वह गणितीय ढंग से सोचे व तर्क करे, अमूर्तन करे, सामान्यीकरण करे और सिद्ध करे। पहला विकल्प वही संकीर्ण उद्देश्य सही ढंग से कहा गया है, इसीलिए वह सर्वाधिक सामान्य ग़लत चुनाव है: वह असत्य नहीं, गौण है, और प्रश्न उच्चतर उद्देश्य पूछता है। आगे प्रतियोगी परीक्षाओं की तैयारी वह उद्देश्य ही नहीं है जो रूपरेखा कहती है और वह ठीक उसी रटाई को उचित ठहराता जिसके विरुद्ध वह तर्क करती है। पाठ्यपुस्तक पूरी करना साधन को साध्य समझ लेना है, और रूपरेखा पाठ्यपुस्तक को अनेक संसाधनों में एक मानती है।एक छात्र 47 + 28 को स्तंभ विधि के बजाय 47 + 30 − 2 = 75 के रूप में हल करता है। शिक्षक को चाहिए:
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उत्तर: B — उसे स्वीकार करना, छात्र से कक्षा को समझाने को कहना, और दोनों विधियों को साथ रहने देना
विधि सही, कुशल और बच्चे की अपनी है, अतः वह सीधे उच्चतर उद्देश्य की सेवा करती है — और छात्र से समझाने को कहना एक बच्चे की सूझ को पूरी कक्षा की सूझ बना देता है। उसे ग़लत ठहराना संकीर्ण उद्देश्य द्वारा उच्चतर को दबाने का स्पष्टतम उदाहरण है, और वह कक्षा को सिखाता है कि सोचने पर दंड मिलता है। उत्तर स्वीकार करते हुए परीक्षा के लिए स्तंभ विधि सुरक्षित रखना सर्वाधिक लुभावना विकल्प है क्योंकि वह व्यावहारिक लगता है; वह बच्चे को बताता है कि उसका तर्क सहन किया जाता है, मूल्यवान नहीं माना जाता, और रूपरेखा ठीक इसी संदेश को गणित-भय उत्पन्न करने वाला बताती है। बीस और स्तंभ-प्रश्न किसी शक्ति को कमी की तरह बरतते हैं।एक छात्र 45 − 18 सही हल करता है पर "रवि के पास 45 कंचे थे, 18 खो गए। कितने बचे?" का उत्तर नहीं दे पाता। सर्वाधिक संभावित कठिनाई है:
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उत्तर: B — संक्रिया की नहीं, समस्या की भाषा की कठिनाई
सादी गणना सही है, जो संक्रिया को बाहर कर देती है — शेष रहता है परिस्थिति पढ़ना और यह तय करना कि "खो गए" घटाने की माँग करता है। शब्द-समस्या गणित की समस्या होने से पहले पढ़ने की समस्या है, और उपचार यह है कि भाषा स्पष्ट रूप से पढ़ाई जाए और बच्चा किसी दिए प्रश्न के लिए अपनी शब्द-समस्याएँ लिखे। पहला विकल्प प्रश्न में दिए प्रमाण का खंडन करता है, क्योंकि घटाना सही हुआ। असावधानी आरंभ न कर पाने की सुसंगत अक्षमता उत्पन्न नहीं करती, और वह पढ़ाने योग्य कुछ नहीं बताती। अरुचि निदान के स्थान पर अभिप्रेरणा का अनुमान है, और वह किसी क्रिया की ओर संकेत नहीं करती।बच्चों में गणित-भय के कारण के रूप में निम्नलिखित में से कौन नामित नहीं है?
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उत्तर: C — बच्चों को एक से अधिक विधि से प्रश्न हल करने देना
एक से अधिक विधि की अनुमति भय का कारण नहीं, उसका उपचार है: वह बच्चे को बताती है कि गणित वह स्थान है जहाँ तर्क का स्वागत है और भिन्न होना ग़लत होना नहीं है। शेष तीनों नामित हैं। गति-परीक्षाएँ और सार्वजनिक तुलना बच्चे को ठीक उस क्षण प्रतिस्पर्धा में डाल देती हैं जब उसे सोचने की जगह सर्वाधिक चाहिए। कहाँ ग़लत हुआ यह बताए बिना ग़लत ठहराया उत्तर बच्चे के पास निर्णय छोड़ता है और मार्ग कोई नहीं। और केवल एक विधि स्वीकार करना प्रत्येक बच्चे के अपने चिंतन को दायित्व बना देता है, जो तीसरे विकल्प का उलटा कहा गया वही दोष है — इस युग्म को पहचानना इस प्रश्न का उत्तर देने का सबसे तेज़ ढंग है।चार छात्र प्रत्येक 52 − 27 = 35 लिखते हैं। शिक्षक को निष्कर्ष निकालना चाहिए कि:
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उत्तर: B — एक क्रमबद्ध त्रुटि है — प्रत्येक स्तंभ में छोटे अंक को बड़े से घटाया जा रहा है
चार समरूप ग़लत उत्तर चार दुर्घटनाएँ नहीं हैं। उत्तर 35 इकाई के स्तंभ में 7 − 2 और दहाई में 5 − 2 लेने से बनता है, जो प्रत्येक स्तंभ में छोटे अंक को बड़े से घटाना है और वह नियम है जो वहाँ लगाया जा रहा है जहाँ हासिल आवश्यक है। उस नियम का नाम बताना निदान है और वह सीधे दस तीलियों व एक बंडल को उपचार के रूप में दिखाता है। असावधानी सबसे सुरक्षित लगने वाला विकल्प है और पुनरावृत्ति उसका खंडन करती है — चूक चार बच्चों में समरूप रूप से स्वयं को दोहराती नहीं। घटाने के पहाड़े कठिनाई नहीं हैं, क्योंकि ग़लत नियम के अंतर्गत प्रत्येक स्तंभ सही गणना किया गया है। प्रश्न छोड़ देना निदान-योग्य टूटन को ठीक उस क्षण छोड़ देना है जब उसका निदान हो चुका है।एक शिक्षक कक्षा 4 का मापन का पाठ यह पूछकर आरंभ करता है कि स्थानीय राजमिस्त्री दीवार की सीधाई कैसे जाँचता है। सामुदायिक ज्ञान का यह प्रयोग है:
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उत्तर: B — उचित व्यवहार, क्योंकि वह ज्ञात से आरंभ होता है और गणित को बच्चे के संसार से जोड़ता है
सामुदायिक गणित — राजमिस्त्री का साहुल, दुकानदार का हिसाब, बुनकर की गिनती — वह संसाधन है जिसे पाठ्यक्रम नामित करता है, और उसका प्रयोग एक साथ दो सिद्धांत पूरे करता है: ज्ञात से अज्ञात की ओर पढ़ाना, और विषय को उस संसार से जोड़ना जिसे बच्चा पहचानता है। उसमें वास्तविक गणित भी है, क्योंकि साहुल ऊर्ध्वाधर तथा समकोण का व्यावहारिक विवरण है। उसे विषयांतर कहना यह मान लेता है कि मानक इकाइयाँ ही पूरा मापन हैं, जबकि वे आरंभ-बिंदु नहीं, गंतव्य हैं। उसे अनुपलब्ध पाठ्यपुस्तक-उदाहरण का विकल्प मानना रूपरेखा के संसाधन-क्रम को उलट देता है। और "रुचि पर गणितीय मूल्य नहीं" वही धारणा है जिसे अस्वीकार करने के लिए यह प्रश्न है।कौन-सा मूल्यांकन कार्य सर्वोत्तम रूप से बताता है कि कक्षा 3 के छात्र गुणा समझते हैं या उन्होंने पहाड़े कंठस्थ किए हैं?
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उत्तर: B — प्रत्येक छात्र से ऐसी शब्द-समस्या गढ़वाना जिसका उत्तर 4 × 3 हो, और उसे समझाने को कहना
प्रश्न गढ़ना वही कार्य है जो दोनों को अलग करता है, क्योंकि ऐसी परिस्थिति गढ़ने के लिए जिसका वर्णन 4 × 3 करे, यह जानना आवश्यक है कि गुणा का अर्थ क्या है — तीन के चार समूह, या तीन को चार बार लेना — और कंठस्थ तथ्य उसे उत्पन्न नहीं कर सकते। साथ में व्याख्या माँगना उत्तर के बजाय तर्क तक पहुँचता है, और पाठ्यक्रम मूल्यांकन से यही अपेक्षित करता है। तथ्यों की समयबद्ध परीक्षा स्मरण व गति मापती है, और वही सर्वाधिक चुना जाता है क्योंकि वह कठोर दिखती है; जिस बच्चे ने पहाड़ा कंठस्थ किया है वह उसमें अच्छा करेगा, और ठीक वही स्थिति है जिसे प्रश्न पकड़ना चाह रहा है। पहाड़ा सुनाना सीधे स्मृति परखता है। गृहकार्य में बीस प्रश्न किसी विधि का अभ्यास कराते हैं और शिक्षक को अर्थ के विषय में कुछ नहीं बताते।एक शिक्षक ने फ़रवरी तक कक्षा 5 की गणित की पाठ्यपुस्तक का प्रत्येक पृष्ठ पूरा कर लिया है, पर अधिकांश कक्षा अभी भी दो असमान भिन्नों की तुलना नहीं कर पाती। रूपरेखा की ही शर्तों पर शिक्षक ने:
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उत्तर: B — नहीं निभाया है, क्योंकि पाठ्यपुस्तक अधिगम प्रतिफल तक का मार्ग है, स्वयं प्रतिफल नहीं
NCF 2005 पाठ्यपुस्तक को अनेक संसाधनों में एक मानता है और अधिगम प्रतिफल को वह वस्तु जिस तक पहुँचना है, अतः पृष्ठ पूरे कर लेना जबकि कक्षा दो भिन्नों की तुलना न कर सके, साधन पूरा करना और साध्य छोड़ देना है। पहला विकल्प वही मान्यता है जिसके विरुद्ध रूपरेखा लिखी गई है, और वह सर्वाधिक चुना जाता है क्योंकि पाठ्यक्रम पूरा होना ही वर्ष के मापने का प्रचलित ढंग है। कठिनाई को छात्रों में रखना उस निदान का त्याग है जो रूपरेखा माँगती है — जो प्रतिफल तक नहीं पहुँचा वह कक्षा के विषय में सूचना होने से पहले शिक्षण के विषय में सूचना है। और निर्णय को वार्षिक परिणाम तक टालना रचनात्मक मूल्यांकन के उद्देश्य को उलट देता है, जो ठीक इसीलिए है कि अंतर तब मिले जब उसे भरने का समय शेष हो।