प्राथमिक कक्षा का गणित, और बच्चों की त्रुटियाँ

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

1. संख्या 5,284 में अंक 2 के स्थानीय मान और जातीय मान का अंतर क्या है?

   1. 2
   2. 198
   3. 200
   4. 202
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   उत्तर: B — 198

   अंक 2 सैकड़े के स्तंभ में खड़ा है, अतः उसका स्थानीय मान 2 × 100 = 200 है, जबकि जातीय मान स्वयं अंक, 2 है। पूछा गया अंतर 200 − 2 = 198 है। मान 200 अकेला स्थानीय मान है और वही विकल्प सर्वाधिक उन अभ्यर्थियों द्वारा चुना जाता है जो एक चरण पहले रुक जाते हैं; 2 अकेला जातीय मान है; और 202 घटाने के बजाय दोनों को जोड़ने से आता है। यह भेद अंक से आगे भी महत्वपूर्ण है: जिस बच्चे ने इन दो विचारों को अलग नहीं किया वह न हासिल समझ सकता है न आगे दशमलव बिंदु।

2. एक बस सुबह 9:40 बजे चलती है और गंतव्य पहुँचने में 3 घंटे 35 मिनट लेती है। वह किस समय पहुँचती है?

   1. दोपहर 12:15
   2. दोपहर 1:05
   3. दोपहर 1:15
   4. दोपहर 1:75
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — दोपहर 1:15

   पहले घंटे जोड़ें: सुबह 9:40 में 3 घंटे जोड़ने पर दोपहर 12:40। फिर 35 मिनट जोड़ें। उनमें से बीस 12:40 को दोपहर 1:00 तक ले जाते हैं, और शेष पंद्रह दोपहर 1:15 देते हैं। विकल्प दोपहर 1:05 तब आता है जब घंटे में हासिल तो जाता है पर रास्ते में एक दहाई खो जाती है, और दोपहर 12:15 तब जब मिनट जोड़ दिए जाएँ और घंटे का हासिल भूल जाए — समय के साथ बच्चों की सबसे आम त्रुटि, क्योंकि मिनट आधार साठ के हैं और उनके जाने हुए हर दूसरे स्तंभ का आधार दस है। और दोपहर 1:75 कोई समय ही नहीं है, जो उसी त्रुटि का असुधरा रूप है।

3. एक छात्र 1/2 + 1/3 = 2/5 लिखता है। शिक्षक को निष्कर्ष निकालना चाहिए कि छात्र ने:

   1. असावधानी की है, और उसे हल दोबारा जाँचना चाहिए
   2. पूर्ण संख्याओं के जोड़ का नियम अंशों और हरों पर अलग-अलग लगाया है
   3. भिन्नों के जोड़ को गुणा से भ्रमित किया है
   4. भिन्नों को सरलतम रूप में लिखना अभी नहीं सीखा है
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — पूर्ण संख्याओं के जोड़ का नियम अंशों और हरों पर अलग-अलग लगाया है

   उत्तर 2/5 इस प्रकार बनता है कि 1 और 1 जोड़कर 2 तथा 2 और 3 जोड़कर 5 — वही पूर्ण-संख्या जोड़ जिसका छात्र वर्षों से अभ्यास कर रहा है, ऐसी वस्तुओं के युग्म पर लगाया गया जिनके लिए वह लागू नहीं। उसका नाम बताना वही निदान है जो प्रश्नपत्र माँगता है, और वह सीधे उपचार की ओर संकेत करता है: कोई नियम दोहराने से पहले मोड़े काग़ज़ या कटी पट्टी से अवधारणा पुनः बनाना। असावधानी लुभावना उत्तर है और वही सबसे कम उपयोगी, क्योंकि वह कुछ पूर्वानुमान नहीं करता और कुछ सुझाता नहीं; त्रुटि क्रमबद्ध है और ऐसे प्रत्येक प्रश्न पर दोहराएगी। भिन्नों का गुणा 1/6 देता, 2/5 नहीं, अतः यहाँ कुछ उस भ्रम की ओर संकेत नहीं करता। और सरलतम रूप अप्रासंगिक है, क्योंकि 2/5 पहले से न्यूनतम पदों में है और दोष रूप में नहीं, मान में है।

4. एक आयताकार खेत की लंबाई और चौड़ाई 8 मी और 5 मी हैं। कौन-सा युग्म उसका परिमाप और क्षेत्रफल सही देता है?

   1. परिमाप 40 मी, क्षेत्रफल 26 मी²
   2. परिमाप 13 मी, क्षेत्रफल 40 मी²
   3. परिमाप 26 मी, क्षेत्रफल 40 मी²
   4. परिमाप 26 मी, क्षेत्रफल 26 मी²
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — परिमाप 26 मी, क्षेत्रफल 40 मी²

   परिमाप सीमा के चारों ओर की दूरी है, 2 × (8 + 5) = 26 मी, और क्षेत्रफल ढका गया पृष्ठ, 8 × 5 = 40 मी²। पहला विकल्प दोनों को बदल देता है, जो लंबाई और ढकाव का क्लासिक भ्रम है और यही कारण है कि इकाइयाँ महत्वपूर्ण हैं: परिमाप मीटर में और क्षेत्रफल वर्ग मीटर में होता है, अतः 26 मी² परिमाप नहीं हो सकता और 40 मी क्षेत्रफल नहीं। दूसरा विकल्प दुगुना किए बिना 8 + 5 = 13 देता है, यह भूलकर कि आयत में प्रत्येक भुजा दो होती है। अंतिम दोनों के लिए 26 दोहराता है, जो इन भुजाओं वाला कोई आयत नहीं देता।

5. एक दुकानदार दो वस्तुएँ ₹840 प्रत्येक पर बेचता है, एक पर 20% लाभ और दूसरी पर 20% हानि। कुल मिलाकर दुकानदार को:

   1. न लाभ न हानि, क्योंकि दोनों प्रतिशत कट जाते हैं
   2. ₹70 की शुद्ध हानि होती है
   3. ₹70 का शुद्ध लाभ होता है
   4. ₹140 की शुद्ध हानि होती है
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   उत्तर: B — ₹70 की शुद्ध हानि होती है

   दोनों क्रय मूल्य भिन्न हैं, इसीलिए प्रतिशत कटते नहीं। 20% लाभ वाली वस्तु पर क्रय मूल्य = 840 ÷ 1.2 = ₹700। 20% हानि वाली पर क्रय मूल्य = 840 ÷ 0.8 = ₹1,050। कुल क्रय ₹1,750 और कुल विक्रय ₹1,680, अतः हानि ₹70 है। "न लाभ न हानि" सहज ग़लत उत्तर है और सर्वाधिक चुना जाता है: समान प्रतिशत असमान क्रय मूल्यों पर लिए गए हैं, अतः हानि बड़ी राशि पर और लाभ छोटी पर निकलता है, और जब भी यह प्रतिरूप आए शुद्ध हानि अपरिवर्तनीय परिणाम है। ₹70 का शुद्ध लाभ परिमाण सही और दिशा ग़लत रखता है, और ₹140 हानि दुगुनी कर देता है, जो गणना का कोई चरण नहीं देता।

6. चतुर्भुजों के विषय में कौन-सा कथन सही है?

   1. प्रत्येक आयत वर्ग है
   2. प्रत्येक समचतुर्भुज वर्ग है
   3. प्रत्येक वर्ग आयत है
   4. कोई भी वर्ग समचतुर्भुज नहीं है
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — प्रत्येक वर्ग आयत है

   आयत वह चतुर्भुज है जिसमें चार समकोण हों, और वर्ग में चार समकोण तथा चार समान भुजाएँ दोनों हैं — अतः प्रत्येक वर्ग आयत की परिभाषा पूरी करता है और आयत है। संबंध केवल एक दिशा में चलता है, और पहला विकल्प उसे उलटकर यही ग़लत करता है: 8 × 5 के आयत में चार समकोण और असमान भुजाएँ हैं, अतः वह वर्ग नहीं। समचतुर्भुज वाला विकल्प उसी प्रकार संबंध उलटता है, क्योंकि समचतुर्भुज को चार समान भुजाएँ चाहिए, समकोण नहीं। और अंतिम विकल्प सर्वथा असत्य है, क्योंकि वर्ग की चार भुजाएँ समान हैं और इसलिए वह आयत के साथ समचतुर्भुज भी है। ये एकदिशीय संबंध प्राथमिक वर्गीकरण प्रश्नों की पूरी विषय-वस्तु हैं।

7. एक छात्र कहता है कि 0.5, 0.45 से छोटा है "क्योंकि 45, 5 से बड़ा है"। सर्वाधिक उचित उपचारात्मक चरण है:

   1. छात्र को नियम बता देना कि बिंदु के बाद अधिक अंक होने का अर्थ बड़ी संख्या नहीं
   2. अभ्यास हेतु उसी प्रकार की बीस और तुलनाएँ देना
   3. छात्र से 0.5 को 0.50 लिखवाकर संख्या रेखा पर दहाँश की दहाँश से तुलना कराना
   4. भिन्नों पर आगे बढ़ जाना और दशमलव पर अगली कक्षा में लौटना
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — छात्र से 0.5 को 0.50 लिखवाकर संख्या रेखा पर दहाँश की दहाँश से तुलना कराना

   छात्र बिंदु के बाद के अंकों को पूर्ण संख्या पढ़ रहा है, जो पूर्ण-संख्या का नियम है, ग़लत वस्तु पर सही ढंग से लगाया गया — अतः उपचार को निष्कर्ष तक नहीं, स्थानीय मान तक पहुँचना होगा। 0.5 को 0.50 लिखने से दोनों संख्याएँ सौवें भाग में आ जाती हैं और 50 बनाम 45 दिखने लगता है, और संख्या रेखा कारण दिखाती है। नियम बता देना लुभावना विकल्प है, और वह वही पाठ है जो पहले ही विफल हो चुका: छात्र के पास नियम की कमी नहीं, दशमलव स्थान का ग़लत प्रतिरूप है। बीस और तुलनाएँ दोषपूर्ण प्रतिरूप का बीस बार और अभ्यास कराती हैं। विषय टाल देना भ्रांति यथावत छोड़ देता है, और वह मुद्रा या मापन पढ़ाते ही लौट आएगी।

8. सात श्रमिकों की दैनिक मज़दूरी ₹300, ₹320, ₹320, ₹340, ₹360, ₹380 और ₹2,100 है। यहाँ विशिष्ट मज़दूरी को कौन-सी केंद्रीय प्रवृत्ति की माप सर्वोत्तम दर्शाती है, और क्यों?

   1. माध्य, क्योंकि वह आँकड़ों के प्रत्येक मान का प्रयोग करता है
   2. बहुलक, क्योंकि ₹320 दो बार आता है
   3. परिसर, क्योंकि वह मज़दूरी का फैलाव दिखाता है
   4. माध्यिका, क्योंकि एक चरम मान माध्य को विशिष्ट मज़दूरी से दूर खींच देता है
   उत्तर देखें

   उत्तर: D — माध्यिका, क्योंकि एक चरम मान माध्य को विशिष्ट मज़दूरी से दूर खींच देता है

   इन सात मज़दूरियों का माध्य ₹4,120 ÷ 7 ≈ ₹589 है, जो सात में से छह मज़दूरियों से अधिक है और इसलिए लगभग किसी का प्रतिनिधित्व नहीं करता — ₹2,100 के एकल मान ने उसे ऊपर खींच लिया है। माध्यिका क्रम में चौथा मान, ₹340, है, और वह उन मज़दूरियों के बीच बैठती है जो लोग वास्तव में कमाते हैं, क्योंकि चरम मान माध्य को बदल देता है और मध्य की स्थिति जहाँ थी वहीं छोड़ देता है। वही प्रतिरोध माध्यिका के पृथक माप के रूप में होने का कारण है और ठीक वही प्रश्न परख रहा है। प्रत्येक मान का प्रयोग गुण जैसा लगता है और यहाँ जाल है: इसी कारण माध्य किसी बहिर्मान के प्रति संवेदनशील है। बहुलक ₹320 है, जो बचाव-योग्य है पर एक पुनरावृत्ति पर टिका है और एक मज़दूरी बदलने से हट जाएगा। और परिसर फैलाव की माप है, केंद्रीय प्रवृत्ति की नहीं।