रैखिक बीजगणित, स्थैतिक अनुकूलन, आगत-निर्गत व रैखिक प्रोग्रामन मॉडल, तथा अंतर-अवकल समीकरण

यह अध्याय बाध्यित अनुकूलन व संरचनात्मक/गतिशील आर्थिक मॉडलों के पीछे के गणित के साथ इकाई 4 को समाप्त करता है: रैखिक बीजगणित, बाध्यता सहित व रहित स्थैतिक अनुकूलन, आगत-निर्गत व रैखिक प्रोग्रामन मॉडल, तथा अंतर व अवकल समीकरण।

1. रैखिक बीजगणित: आव्यूह व सदिश समष्टि

एक आव्यूह रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली (Ax = b) को संक्षेप में प्रस्तुत करता है व इसके गुणधर्म यह निर्धारित करते कि क्या कोई अद्वितीय हल अस्तित्व में है: एक वर्ग आव्यूह A का एक अद्वितीय प्रतिलोम A⁻¹ है (व प्रणाली Ax = b का एक अद्वितीय हल x = A⁻¹b है) तभी व केवल तभी जब इसका सारणिक शून्य न हो, समतुल्य रूप से तभी जब A पूर्ण कोटि का हो — इसकी पंक्तियाँ (व स्तंभ) रैखिक रूप से स्वतंत्र हों। सदिशों का एक समुच्चय एक सदिश समष्टि बनाता है यदि यह जोड़ व अदिश-गुणन के अधीन संवृत हो; एक आधार रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों का न्यूनतम विस्तारक समुच्चय है, व किसी भी आधार में सदिशों की संख्या (समष्टि की विमा) चुने गए आधार की परवाह किए बिना समान रहती है।

🎯 किसी आर्थिक प्रणाली को हल करने हेतु सारणिक-परीक्षण क्यों मायने रखता
Ax = b (n समीकरण, n अज्ञात) के रूप में लिखी गई कोई सामान्य-संतुलन या आगत-निर्गत प्रणाली का ठीक तभी एक अद्वितीय हल है जब det(A) ≠ 0; शून्य सारणिक का अर्थ है कि समीकरण स्वतंत्र नहीं (अनावश्यक या विरोधाभासी सूचना), व प्रणाली का या तो कोई हल नहीं या अनंत हल हैं, जो ठीक पहचान समस्या की विफलता या एक विचित्र लियोंतिफ़ प्रणाली का गणितीय पहलू है।

2. स्थैतिक अनुकूलन समस्याएँ व उनके अनुप्रयोग

अनेक चरों वाले किसी फलन का अ-प्रतिबंधित अनुकूलन सभी आंशिक (प्रथम-कोटि) अवकलजों के एक साथ शून्य होने की माँग करता, व द्वितीय-कोटि शर्त हेसियन आव्यूह (द्वितीय आंशिक अवकलजों का) का उपयोग करती — न्यूनतम हेतु धनात्मक निश्चित, अधिकतम हेतु ऋणात्मक निश्चित। बाध्यित अनुकूलन (जैसे बजट-बाध्यता के अधीन उपयोगिता को अधिकतम करना) लैग्रांज गुणक विधि का उपयोग करता है: L = f(x,y) + λ[c − g(x,y)] बनाएँ व L के सभी आंशिक अवकलजों को, λ के सापेक्ष सहित, शून्य निर्धारित करें। लैग्रांज गुणक λ का स्वयं सीधा आर्थिक अर्थ बाध्यता के छाया-मूल्य के रूप में है — बाध्यता की एक इकाई शिथिलता प्रति उद्देश्य फलन के इष्टतम मान के परिवर्तन की दर (जैसे उपभोक्ता के इष्टतम पर आय के एक अतिरिक्त रुपये की सीमांत उपयोगिता)।

🧠 आवरण प्रमेय बिना पुनः हल किए छाया-मूल्य पढ़ता
आवरण प्रमेय कहता है कि उद्देश्य फलन के इष्टतमीकृत मान पर किसी छोटे प्राचल-परिवर्तन का कुल प्रभाव केवल उस प्राचल के प्रत्यक्ष (आंशिक) प्रभाव के बराबर है, इष्टतम पर मूल्यांकित — इष्टतम चयन चरों के माध्यम से अप्रत्यक्ष प्रभाव शून्य में विलीन हो जाते, ठीक इसलिए क्योंकि वे चर पहले ही प्रथम-कोटि शर्तों को संतुष्ट करने हेतु चुने जा चुके थे। यही ठीक कारण है कि λ को इष्टतम पर सीधे ∂L/∂c के रूप में पढ़ा जा सकता, संपूर्ण बाध्यित समस्या को सीमांत रूप से भिन्न बाध्यता-मान हेतु पुनः हल किए बिना।

3. आगत-निर्गत मॉडल व रैखिक प्रोग्रामन

लियोंतिफ़ आगत-निर्गत मॉडल एक अर्थव्यवस्था को n परस्पर-निर्भर क्षेत्रों के रूप में प्रस्तुत करता, प्रत्येक को अपना उत्पाद बनाने हेतु हर अन्य क्षेत्र के उत्पाद के मध्यवर्ती आगत के रूप में स्थिर अनुपात की आवश्यकता (तकनीकी गुणांक आव्यूह A में समेटी गई) साथ ही अंतिम माँग d; संपूर्ण प्रणाली को हल करने वाला कुल-उत्पाद सदिश x = (I − A)⁻¹d है, जहाँ (I − A)⁻¹ लियोंतिफ़ प्रतिलोम है, जिसकी प्रविष्टियाँ दर्शातीं कि किसी दिए गए क्षेत्र से अंतिम माँग की एक इकाई पहुँचाने हेतु हर क्षेत्र का कितना कुल (प्रत्यक्ष व अप्रत्यक्ष) उत्पाद आवश्यक है। रैखिक प्रोग्रामन चयन-चरों की अ-ऋणात्मकता व रैखिक असमिका बाध्यताओं के अधीन एक रैखिक उद्देश्य फलन को अधिकतम या न्यूनतम करता; साध्य क्षेत्र एक उन्नतोदर बहुफलक है, व रैखिक प्रोग्रामन का मौलिक प्रमेय गारंटी देता है कि, यदि कोई इष्टतम हल अस्तित्व में है, तो यह बहुफलक के किसी कोने (चरम) बिंदु पर घटित होता — कभी आंतरिक भाग में नहीं।

आगत-निर्गत बनाम रैखिक प्रोग्रामन — प्रत्येक क्या उत्तर देता
मॉडलयह क्या हल करता है
आगत-निर्गतस्थिर तकनीकी गुणांक व अंतिम माँग को देखते हुए, हर क्षेत्र को कितना कुल उत्पाद बनाना चाहिए? (एक वर्णनात्मक, संतुलन-संगति अभ्यास — एक उत्तर है, कोई चयन नहीं।)
रैखिक प्रोग्रामनदिए गए संसाधन-बाध्यताओं को संतुष्ट करने वाले सभी साध्य संयोजनों में से, कौन-सा एक चुने गए रैखिक उद्देश्य को अधिकतम (या न्यूनतम) करता है? (एक वास्तविक चयन/अनुकूलन अभ्यास।)

4. अंतर व अवकल समीकरण के साथ अनुप्रयोग

अंतर समीकरण किसी चर के विविक्त समय-अवधि पर मान को उसके पूर्ववर्ती अवधियों के मान(मानों) से जोड़ता (जैसे मकड़ी-जाल मॉडल का Pt = f(Pt-1)); अवकल समीकरण किसी चर को उसकी अपनी सतत-समय परिवर्तन-दर से जोड़ता (जैसे सोलो संवृद्धि मॉडल में dK/dt = sY − δK, मूल्यह्रास घटाकर शुद्ध निवेश)। दोनों को चर के समय-पथ हेतु हल किया जाता, व स्थिरता विश्लेषण पूछता कि क्या वह पथ समय बीतने पर स्थिर-अवस्था/संतुलन मान की ओर अभिसरित होता है (या इससे अपसारित) — समीकरण के अपने गुणांक का चिह्न व परिमाण (या, मकड़ी-जाल मॉडल में, माँग व आपूर्ति लोच का अनुपात) यह निर्धारित करता कि पथ एकदिष्ट, दोलायमान-अभिसारी, दोलायमान-अपसारी, या विस्फोटक है।

ℹ️ पाठ्यपुस्तक अंतर-समीकरण अनुप्रयोग के रूप में मकड़ी-जाल मॉडल
मकड़ी-जाल मॉडल मानता है कि उत्पादक इस अवधि की आपूर्ति पिछली अवधि की कीमत पर आधारित तय करते (कृषि में सामान्य एक-अवधि उत्पादन-विलंब): Qs,t = f(Pt-1) व Qd,t = g(Pt), कीमत में प्रथम-कोटि अंतर समीकरण देते हुए। यदि आपूर्ति वक्र माँग वक्र से तीव्र है (माँग के सापेक्ष आपूर्ति कम लोचदार), परिणामी कीमत-पथ दोलायमान होता पर संतुलन की ओर अभिसरित होता; यदि आपूर्ति माँग से समतल (अधिक लोचदार) है, दोलन विस्फोटक हो जाते — एक स्थैतिक लोच-तुलना व गतिशील (अ)स्थिरता के बीच सीधा संबंध, व एक बारंबार परखा जाने वाला विषय।

मुख्य बिंदु

  • एक वर्ग आव्यूह का एक अद्वितीय प्रतिलोम है (व Ax = b का एक अद्वितीय हल) तभी व केवल तभी जब इसका सारणिक शून्य न हो, समतुल्य रूप से यदि यह पूर्ण कोटि का हो।
  • बाध्यित अनुकूलन में लैग्रांज गुणक λ बाध्यता का छाया-मूल्य है; आवरण प्रमेय इसे इष्टतम पर सीधे ∂L/∂c के रूप में पढ़ने देता, संपूर्ण समस्या को पुनः हल किए बिना।
  • आगत-निर्गत मॉडल स्थिर तकनीकी गुणांकों को देखते हुए कुल क्षेत्रीय उत्पाद हेतु x = (I−A)⁻¹d हल करता; रैखिक प्रोग्रामन रैखिक बाध्यताओं के अधीन एक रैखिक उद्देश्य को अनुकूलित करता, किसी भी इष्टतम के साध्य बहुफलक के कोने पर घटित होने के साथ।
  • अंतर समीकरण विविक्त-समय गतिकी प्रतिरूपित करता (जैसे मकड़ी-जाल मॉडल), अवकल समीकरण सतत-समय गतिकी प्रतिरूपित करता (जैसे सोलो मॉडल का पूँजी-संचयन); स्थिरता समीकरण के अपने गुणांकों पर, या मकड़ी-जाल मॉडल में, आपूर्ति व माँग की सापेक्ष ढालों पर निर्भर करती।
  • मकड़ी-जाल मॉडल में, कीमत-दोलन तब अभिसरित होते जब आपूर्ति माँग से कम लोचदार हो व तब विस्फोटक होते जब आपूर्ति माँग से अधिक लोचदार हो।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक वर्ग आव्यूह A का एक अद्वितीय प्रतिलोम तभी व केवल तभी है जब:

    1. इसका सारणिक शून्य न हो (यह पूर्ण कोटि का हो)
    2. इसका सारणिक ठीक शून्य हो
    3. इसकी सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक हों
    4. इसकी केवल एक पंक्ति हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — इसका सारणिक शून्य न हो (यह पूर्ण कोटि का हो)

    एक अशून्य सारणिक ठीक पूर्ण कोटि (रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियाँ/स्तंभ) की शर्त है, जो प्रतिलोम के अस्तित्व की व प्रणाली Ax = b के अद्वितीय हल की गारंटी देती है।

  2. लैग्रांज गुणक विधि द्वारा बाध्यित अनुकूलन में, λ की आर्थिक व्याख्या क्या है?

    1. बाध्यता का छाया-मूल्य
    2. वस्तु की बाज़ार कीमत
    3. सदैव शून्य के बराबर एक स्थिरांक
    4. उपभोक्ता की कुल आय
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — बाध्यता का छाया-मूल्य

    λ मापता है कि बाध्यता की एक इकाई शिथिलता प्रति उद्देश्य फलन का इष्टतमीकृत मान कितना बदलता — इसका मानक आर्थिक नाम उस बाध्यता का छाया-मूल्य है।

  3. आवरण प्रमेय छाया-मूल्य को किस रूप में पढ़े जाने देता है?

    1. इष्टतम पर मूल्यांकित, लैग्रांजियन पर बाध्यता-प्राचल का प्रत्यक्ष (आंशिक) प्रभाव — संपूर्ण समस्या को पुनः हल किए बिना
    2. सभी संभावित बाध्यता-मानों का औसत
    3. सदैव शून्य
    4. केवल उद्देश्य फलन का द्वितीय अवकलज
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — इष्टतम पर मूल्यांकित, लैग्रांजियन पर बाध्यता-प्राचल का प्रत्यक्ष (आंशिक) प्रभाव — संपूर्ण समस्या को पुनः हल किए बिना

    आवरण प्रमेय दर्शाता है कि इष्टतम पर इष्टतमतः चुने गए चरों के माध्यम से अप्रत्यक्ष प्रभाव विलुप्त हो जाते, केवल प्रत्यक्ष आंशिक प्रभाव छोड़ते हुए — यही ठीक कारण है कि λ = ∂L/∂c को सीधे पढ़ा जा सकता है।

  4. लियोंतिफ़ आगत-निर्गत मॉडल में, लियोंतिफ़ प्रतिलोम (I − A)⁻¹ क्या देता है?

    1. किसी दिए गए क्षेत्र से अंतिम माँग की प्रति इकाई हर क्षेत्र का आवश्यक कुल (प्रत्यक्ष व अप्रत्यक्ष) उत्पाद
    2. केवल प्रत्यक्ष अपेक्षाएँ, अप्रत्यक्ष को अनदेखा करते हुए
    3. हर क्षेत्र के उत्पाद की बाज़ार कीमत
    4. पूँजी पर ब्याज दर
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — किसी दिए गए क्षेत्र से अंतिम माँग की प्रति इकाई हर क्षेत्र का आवश्यक कुल (प्रत्यक्ष व अप्रत्यक्ष) उत्पाद

    (I−A)⁻¹ मध्यवर्ती अपेक्षाओं की दौर-दर-दौर पूरी शृंखला (प्रत्यक्ष व अप्रत्यक्ष) समेटता, यही ठीक कारण है कि कुल उत्पाद x = (I−A)⁻¹d है, केवल एक दौर हेतु x = d + Ad नहीं।

  5. रैखिक प्रोग्रामन का मौलिक प्रमेय क्या कहता है, यदि कोई इष्टतम हल अस्तित्व में है, तो यह कहाँ घटित होता है?

    1. साध्य क्षेत्र के किसी कोने (चरम) बिंदु पर
    2. साध्य क्षेत्र के केंद्र पर
    3. साध्य क्षेत्र के बाहर
    4. कभी किसी अद्वितीय बिंदु पर नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — साध्य क्षेत्र के किसी कोने (चरम) बिंदु पर

    क्योंकि उद्देश्य रैखिक है व साध्य क्षेत्र एक उन्नतोदर बहुफलक, इष्टतम (यदि अस्तित्व में है) सदैव किसी कोने-बिंदु पर प्राप्त होता — यही सिम्प्लेक्स विधि को, जो कोनों के बीच चलती, एक वैध हल-कलनविधि बनाता है।

  6. मकड़ी-जाल मॉडल में, यदि आपूर्ति वक्र माँग वक्र से समतल (अधिक लोचदार) है, तो कीमत-पथ क्या होता है?

    1. विस्फोटक रूप से बढ़ते आयाम के साथ दोलायमान होता, संतुलन से दूर जाते हुए
    2. बिना किसी दोलन के सुचारु रूप से संतुलन की ओर अभिसरित होता
    3. सदा स्थिर रहता है
    4. अपरिभाषित होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — विस्फोटक रूप से बढ़ते आयाम के साथ दोलायमान होता, संतुलन से दूर जाते हुए

    जब आपूर्ति माँग से अधिक लोचदार हो (समतल आपूर्ति वक्र), हर अवधि की अति-सुधार पिछली से बड़ी होती, अतः कीमत-दोलन संतुलन की ओर मंद होने की बजाय विस्फोटक रूप से बढ़ते हैं।

  7. अंतर समीकरण से भिन्न, एक अवकल समीकरण किसी चर को किससे जोड़ता है?

    1. इसकी अपनी सतत-समय परिवर्तन-दर
    2. केवल किसी विविक्त पूर्ववर्ती समय-अवधि में इसका मान
    3. बिना किसी गतिकी के एक स्थिर स्थिरांक
    4. किसी असंबद्ध वस्तु की कीमत
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — इसकी अपनी सतत-समय परिवर्तन-दर

    एक अवकल समीकरण (जैसे सोलो मॉडल में dK/dt = sY − δK) एक सतत-समय परिवर्तन-दर व्यक्त करता; एक अंतर समीकरण (जैसे मकड़ी-जाल मॉडल) इसके बजाय किसी विविक्त-समय मान को पूर्ववर्ती विविक्त-समय मानों से जोड़ता है।

  8. आगत-निर्गत मॉडल बनाम रैखिक प्रोग्रामन मॉडल का निम्नलिखित में से कौन-सा सही वर्णन करता है?

    1. आगत-निर्गत दिए गए तकनीकी गुणांकों व अंतिम माँग के अनुरूप कुल उत्पाद हल करता — एक संगत उत्तर है, विकल्पों में से चयन नहीं
    2. रैखिक प्रोग्रामन बाध्यताओं के अधीन एक रैखिक उद्देश्य को अनुकूलित करने हेतु साध्य विकल्पों में से चयन करता है
    3. दोनों मॉडल हर पहलू में समान हैं
    4. आगत-निर्गत को बिल्कुल किसी आव्यूह बीजगणित की आवश्यकता नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — आगत-निर्गत दिए गए तकनीकी गुणांकों व अंतिम माँग के अनुरूप कुल उत्पाद हल करता — एक संगत उत्तर है, विकल्पों में से चयन नहीं; B — रैखिक प्रोग्रामन बाध्यताओं के अधीन एक रैखिक उद्देश्य को अनुकूलित करने हेतु साध्य विकल्पों में से चयन करता है

    पहली दो दोनों मॉडलों के उद्देश्यों को सही ढंग से अलग करती हैं; वे समान नहीं (एक संगति अभ्यास है, दूसरा वास्तविक अनुकूलन), व आगत-निर्गत सीधे आव्यूह-प्रतिलोमन (लियोंतिफ़ प्रतिलोम) पर निर्भर करता है।

  9. उस प्रचलित गतिशील (अंतर-समीकरण) बाज़ार मॉडल का नाम बताइए जहाँ उत्पादक इस अवधि की आपूर्ति पिछली अवधि की कीमत के आधार पर तय करते, कृषि बाज़ारों में उत्पादन-विलंब के साथ सामान्य।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: cobweb model

    मकड़ी-जाल मॉडल मानक नाम है; इसके कीमत-पथ की स्थिरता सीधे आपूर्ति व माँग वक्रों की सापेक्ष लोच (ढाल) पर निर्भर करती है।