पहचान समस्या, युगपत समीकरण मॉडल, विविक्त चयन मॉडल व समय शृंखला विश्लेषण

इकाई 3 उन चार विषयों के साथ समाप्त होती है जो तब उठते जब एक-समीकरण प्रतिगमन अब पर्याप्त नहीं रहता: जब प्रेक्षित आँकड़े कई समीकरणों द्वारा संयुक्त रूप से निर्धारित होते, जब परिणाम स्वयं सतत संख्या की बजाय विविक्त चयन होता, व जब आँकड़े समय में क्रमबद्ध होते।

1. पहचान समस्या

एक ऐसे बाज़ार में जहाँ प्रतिदर्श अवधि में माँग व आपूर्ति दोनों स्थानांतरित हो रही हैं, प्रेक्षित कीमत-मात्रा युग्म संतुलन बिंदु हैं — एक गतिशील माँग वक्र व एक गतिशील आपूर्ति वक्र का प्रतिच्छेदन — व कीमत पर मात्रा का एक सरल प्रतिगमन न तो वक्र को व्यक्तिगत रूप से पुनर्प्राप्त करता; यह दोनों का कोई मिश्रण अंकित करता, जो पहचान समस्या है। एक संरचनात्मक समीकरण केवल तभी पहचाना जाता है जब इसे अलग करने हेतु पर्याप्त सूचना (सामान्यतः, अन्य बहिर्जात चर जो एक वक्र को स्थानांतरित करते पर दूसरे को नहीं) उपलब्ध हो। क्रम शर्त एक आवश्यक अंगूठे-का-नियम देती: कोई समीकरण केवल तभी पहचाना जाता है जब उस समीकरण से बाहर रखे गए (पर प्रणाली में अन्यत्र मौजूद) बहिर्जात चरों की संख्या कम-से-कम इसमें सम्मिलित अंतर्जात चरों की संख्या घटा एक के बराबर हो; कोटि शर्त अधिक माँगपूर्ण आवश्यक-व-पर्याप्त शर्त है, यह जाँचते हुए कि बाहर रखे गए चरों के अन्य समीकरणों में गुणांक इस तरह परस्पर आनुपातिक न हों कि क्रम शर्त संतुष्ट होने के बावजूद समीकरण अल्प-पहचानित रह जाए।

⚠️ अल्प-पहचानित, ठीक-पहचानित व अति-पहचानित
यदि क्रम शर्त बिल्कुल पूरी न हो, तो समीकरण अल्प-पहचानित है व कोई भी संगत आकलन विधि उपलब्ध आँकड़ों से इसके प्राचलों को पुनर्प्राप्त नहीं कर सकती। यदि यह समता के साथ पूरी हो, तो समीकरण ठीक-पहचानित है (एक अद्वितीय हल अस्तित्व में है, अप्रत्यक्ष न्यूनतम वर्ग द्वारा आकलनीय)। यदि बाहर रखे गए बहिर्जात चर अपेक्षा से अधिक हों, तो समीकरण अति-पहचानित है, व द्वि-चरण न्यूनतम वर्ग (2SLS) मानक प्राक्कलक है, क्योंकि यह अतिरिक्त सूचना को इससे लकवाग्रस्त होने की बजाय संयोजित कर सकता है।

2. युगपत समीकरण मॉडल: पुनरावर्ती व अ-पुनरावर्ती

एक पुनरावर्ती (त्रिकोणीय) प्रणाली में, अंतर्जात चरों को इस प्रकार क्रमबद्ध किया जा सकता है कि हर समीकरण का अंतर्जात चर केवल पूर्ववर्ती अंतर्जात चरों (व बहिर्जात चरों) पर निर्भर करे, बाद के समीकरणों से इसकी ओर कोई प्रतिपुष्टि चक्र न हो — यदि, इसके अतिरिक्त, समीकरणों में विक्षोभ पद असंबद्ध हों, तो हर समीकरण को साधारण OLS द्वारा एक-एक करके संगत रूप से आकलित किया जा सकता है। एक अ-पुनरावर्ती प्रणाली में, दो या अधिक अंतर्जात चर एक-दूसरे पर एक साथ (प्रतिपुष्टि सहित) निर्भर करते, व OLS को समीकरण-दर-समीकरण लागू करने से युगपतता पूर्वाग्रह उत्पन्न होता: प्रतिगामी त्रुटि पद से संबद्ध होता (क्योंकि एक समीकरण की त्रुटि प्रणाली के माध्यम से वापस उसी चर में प्रतिपुष्ट होती जो किसी अन्य समीकरण में प्रतिगामी के रूप में उपयोग होता), अतः OLS बड़े प्रतिदर्शों में भी पूर्वाग्रहित व असंगत है।

  • अप्रत्यक्ष न्यूनतम वर्ग (ILS) — ठीक-पहचानित समीकरण हेतु, न्यूनीकृत रूप (हर अंतर्जात चर को शुद्ध रूप से बहिर्जात चरों के रूप में व्यक्त करना) को OLS से हल करें, फिर बीजगणितीय रूप से संरचनात्मक प्राचलों को पुनर्प्राप्त करें।
  • द्वि-चरण न्यूनतम वर्ग (2SLS) — अति-पहचानित समीकरण हेतु, पहले अंतर्जात प्रतिगामी का सभी बहिर्जात चरों पर प्रतिगमन कर इसके प्राक्कलित (साधन-आधारित) मान प्राप्त करें, फिर संरचनात्मक समीकरण में मूल प्रतिगामी के स्थान पर उन प्राक्कलित मानों का उपयोग करें, त्रुटि से सहसंबंध को शुद्ध करते हुए।

3. विविक्त चयन मॉडल

जब आश्रित चर एक द्विआधारी परिणाम है (जैसे श्रम-बल भागीदारी, खरीदना/न खरीदना), सरल संभाव्यता मॉडल (एक 0/1 चर का प्रतिगामियों पर सादा OLS प्रतिगमन) में दो संरचनात्मक दोष हैं: इसकी फ़िट की गई 'प्रायिकताएँ' [0, 1] के भीतर परिबद्ध नहीं होतीं व 0 से नीचे गिर सकतीं या 1 से अधिक हो सकतीं, व इसकी त्रुटियाँ यांत्रिक रूप से विषमविचरणी हैं (उनका प्रसरण X पर निर्भर करता है)। प्रोबिट मॉडल इसके बजाय एक अंतर्निहित, सतत अव्यक्त चर मानता व इसे संचयी मानक प्रसामान्य बंटन फलन के माध्यम से (0, 1) में प्रायिकता में मानचित्रित करता; लॉजिट मॉडल वही संचयी लॉजिस्टिक बंटन का उपयोग कर करता, जो विश्लेषणात्मक रूप से अधिक सुविधाजनक है व गुणांक को (रूपांतरण के बाद) परिणाम की लॉग-प्रतिबाधाओं में परिवर्तन के रूप में सीधे व्याख्येय बनाता है। दोनों को सामान्यतः OLS की बजाय अधिकतम संभावन द्वारा आकलित किया जाता है, ठीक इसलिए क्योंकि मॉडल स्वाभाविक रूप से अपने प्राचलों में अ-रैखिक है।

ℹ️ ध्यान दें
दो से अधिक अ-क्रमित चयनों (बहुपद लॉजिट/प्रोबिट — जैसे परिवहन के कई साधनों में से चयन) व क्रमित परिणामों (क्रमित लॉजिट/प्रोबिट — जैसे लिकर्ट स्केल पर सर्वेक्षण प्रतिक्रिया) तक विस्तार, उसी अव्यक्त-चर विचार के मानक व्यापकीकरण हैं, विशिष्ट चयन-संरचना हेतु समायोजित।

4. समय शृंखला विश्लेषण

एक समय शृंखला (दुर्बलतः/सहप्रसरण) स्थिर है यदि इसकी माध्य, प्रसरण व स्व-सहप्रसरण संरचना स्वयं समय-अवधि पर निर्भर न करें, केवल प्रेक्षणों के बीच के अंतराल पर; अधिकांश कच्ची समष्टि आर्थिक शृंखलाएँ (GDP, कीमत-स्तर) अ-स्थिर होतीं, सामान्यतः प्रवृत्तिमान। एक अ-संबद्ध अ-स्थिर शृंखला पर एक अ-स्थिर शृंखला का प्रतिगमन नियमित रूप से आभासी प्रतिगमन उत्पन्न करता — एक उच्च R² व सार्थक-दिखते t-सांख्यिकी इसके बावजूद कि कोई वास्तविक संबंध नहीं, क्योंकि दोनों शृंखलाएँ केवल स्वतंत्र रूप से प्रवृत्तिमान हैं — ग्रेंजर-न्यूबोल्ड चेतावनी। संवर्धित डिकी-फुलर (ADF) परीक्षण इकाई मूल (अ-स्थिरता) हेतु मानक परीक्षण है; यदि दो व्यक्तिगत रूप से अ-स्थिर शृंखलाएँ एक साझा अंतर्निहित यादृच्छिक प्रवृत्ति साझा करतीं इस प्रकार कि उनका एक विशिष्ट रैखिक संयोजन स्थिर है, तो शृंखलाएँ सह-संकलित हैं (एंगल-ग्रेंजर), जो एक त्रुटि-सुधार मॉडल के आकलन को न्यायोचित ठहराता जो उनके दीर्घकालीन संतुलन संबंध व इसकी ओर अल्पकालीन समायोजन दोनों को समेटता है।

AR, MA व ARIMA — समय-शृंखला पूर्वानुमान के निर्माण-खंड
मॉडलसंरचना
AR(p) — स्व-प्रतिगामीवर्तमान मान अपने ही p पिछले मानों व एक वर्तमान त्रुटि पद पर रैखिक रूप से निर्भर।
MA(q) — चल-औसतवर्तमान मान वर्तमान व q पिछले त्रुटि (झटका) पदों पर रैखिक रूप से निर्भर।
ARIMA(p,d,q)स्थिरता प्रेरित करने हेतु शृंखला को d बार अंतर लेने के बाद AR व MA पदों को संयोजित करता — मानक बॉक्स-जेनकिंस पूर्वानुमान ढाँचा।

मुख्य बिंदु

  • पहचान समस्या इसलिए उठती क्योंकि प्रेक्षित कीमत-मात्रा आँकड़े गतिशील माँग व आपूर्ति के संतुलन बिंदु हैं; क्रम शर्त (आवश्यक) व कोटि शर्त (आवश्यक व पर्याप्त) यह निर्धारित करतीं कि क्या कोई संरचनात्मक समीकरण बिल्कुल पुनर्प्राप्त की जा सकती है।
  • पुनरावर्ती प्रणालियाँ (कोई प्रतिपुष्टि नहीं, असंबद्ध विक्षोभ) OLS द्वारा समीकरण-दर-समीकरण आकलित की जा सकतीं; अ-पुनरावर्ती प्रणालियाँ (प्रतिपुष्टि) OLS के अधीन युगपतता पूर्वाग्रह भुगततीं व अप्रत्यक्ष न्यूनतम वर्ग (ठीक-पहचानित) या 2SLS (अति-पहचानित) चाहतीं।
  • सरल संभाव्यता मॉडल के फ़िट मान [0,1] में परिबद्ध नहीं व इसकी त्रुटियाँ विषमविचरणी हैं; प्रोबिट (संचयी प्रसामान्य) व लॉजिट (संचयी लॉजिस्टिक) दोनों को ठीक करते, अधिकतम संभावन द्वारा आकलित।
  • दो स्वतंत्र रूप से प्रवृत्तिमान अ-स्थिर शृंखलाओं का प्रतिगमन आभासी प्रतिगमन उत्पन्न करता (ग्रेंजर-न्यूबोल्ड); ADF परीक्षण इकाई मूल पहचानता, व सह-संकलन (एंगल-ग्रेंजर) एक त्रुटि-सुधार मॉडल को न्यायोचित ठहराता।
  • AR मॉडल किसी शृंखला का उसके अपने पिछले मानों पर प्रतिगमन करते, MA मॉडल इसका पिछले त्रुटि पदों पर, व ARIMA स्थिरता प्रेरित करने हेतु अंतर लेने के बाद दोनों को संयोजित करता — बॉक्स-जेनकिंस पूर्वानुमान ढाँचा।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. आपूर्ति-माँग प्रणाली में पहचान समस्या क्यों उठती है?

    1. प्रेक्षित कीमत-मात्रा आँकड़े दोनों वक्रों के स्थानांतरित होने से बने संतुलन बिंदु हैं, अतः एक सरल प्रतिगमन किसी एक वक्र की बजाय दोनों का मिश्रण अंकित करता है
    2. माँग वक्र कभी स्थानांतरित नहीं होतीं
    3. आपूर्ति सदैव पूर्णतः लोचदार होती है
    4. कीमतें सरकार द्वारा निर्धारित होतीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रेक्षित कीमत-मात्रा आँकड़े दोनों वक्रों के स्थानांतरित होने से बने संतुलन बिंदु हैं, अतः एक सरल प्रतिगमन किसी एक वक्र की बजाय दोनों का मिश्रण अंकित करता है

    जब प्रतिदर्श अवधि में दोनों वक्र चलती हैं, प्रेक्षित बिंदु उनके क्रमिक प्रतिच्छेदन हैं, व इस आँकड़े पर OLS अतिरिक्त सूचना (बाहर रखे गए बहिर्जात चर) के बिना किसी भी संरचनात्मक संबंध को अलग नहीं कर सकता।

  2. पहचान हेतु क्रम शर्त की माँग है कि किसी समीकरण से बाहर रखे गए बहिर्जात चरों की संख्या क्या हो?

    1. कम-से-कम इसमें सम्मिलित अंतर्जात चरों की संख्या घटा एक के बराबर
    2. बिल्कुल शून्य
    3. प्रणाली में समीकरणों की कुल संख्या के बराबर
    4. इससे असंबद्ध कि समीकरण पहचानित है या नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — कम-से-कम इसमें सम्मिलित अंतर्जात चरों की संख्या घटा एक के बराबर

    क्रम शर्त एक आवश्यक गणना-नियम है: समीकरण के अपने संरचनात्मक प्राचलों को अलग करने हेतु प्रणाली में अन्यत्र पर्याप्त बाहर रखे गए बहिर्जात चर उपलब्ध होने चाहिए।

  3. असंबद्ध विक्षोभों वाली एक पुनरावर्ती (त्रिकोणीय) युगपत-समीकरण प्रणाली में, संगत आकलन किस प्रकार आगे बढ़ सकता है?

    1. हर समीकरण पर एक-एक करके OLS लागू करना
    2. केवल द्वि-चरण न्यूनतम वर्ग
    3. आधे समीकरणों को त्याग देना
    4. केवल न्यूनीकृत रूप का आकलन, कभी संरचनात्मक रूप का नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — हर समीकरण पर एक-एक करके OLS लागू करना

    क्योंकि पुनरावर्ती प्रणाली में हर समीकरण केवल पूर्ववर्ती अंतर्जात चरों पर निर्भर करता (कोई प्रतिपुष्टि नहीं) व विक्षोभ समीकरणों में असंबद्ध हैं, समीकरण-दर-समीकरण लागू साधारण OLS संगत बना रहता — कोई युगपतता पूर्वाग्रह नहीं उठता।

  4. द्विआधारी आश्रित चर हेतु सरल संभाव्यता मॉडल का वह कौन-सा संरचनात्मक दोष है जिसे प्रोबिट व लॉजिट सुधारते हैं?

    1. फ़िट प्रायिकताएँ [0,1] के भीतर परिबद्ध नहीं व त्रुटियाँ विषमविचरणी हैं
    2. इसे किसी भी विधि से आकलित नहीं किया जा सकता
    3. इसमें कोई आश्रित चर नहीं
    4. इसे परिणाम के सतत होने की आवश्यकता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — फ़िट प्रायिकताएँ [0,1] के भीतर परिबद्ध नहीं व त्रुटियाँ विषमविचरणी हैं

    क्योंकि OLS अनियंत्रित है, इसके फ़िट मान [0,1] से बाहर गिर सकते व, क्योंकि द्विआधारी परिणाम हेतु त्रुटि प्रसरण स्वाभाविक रूप से X से जुड़ा है, त्रुटियाँ यांत्रिक रूप से विषमविचरणी हैं — प्रोबिट व लॉजिट एक अव्यक्त सूचकांक को परिबद्ध संचयी बंटन फलन से मानचित्रित कर दोनों को ठीक करते।

  5. दो असंबद्ध पर स्वतंत्र रूप से प्रवृत्तिमान अ-स्थिर समय शृंखलाओं का एक-दूसरे पर प्रतिगमन सामान्यतः क्या उत्पन्न करता है?

    1. एक आभासी प्रतिगमन — उच्च R² व सार्थक-दिखते t-सांख्यिकी, बिना किसी वास्तविक संबंध के
    2. किसी सत्य कारणात्मक संबंध का निष्पक्ष व दक्ष आकलन
    3. ठीक शून्य का R²
    4. एक ऐसा परिणाम जिसे आगे परीक्षण की आवश्यकता नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — एक आभासी प्रतिगमन — उच्च R² व सार्थक-दिखते t-सांख्यिकी, बिना किसी वास्तविक संबंध के

    ग्रेंजर-न्यूबोल्ड चेतावनी ठीक यही है: दो स्वतंत्र रूप से केवल प्रवृत्तिमान शृंखलाएँ भ्रामक रूप से सशक्त-दिखता प्रतिगमन उत्पन्न कर सकतीं, यही कारण है कि स्थिरता/इकाई-मूल परीक्षण (ADF) व सह-संकलन जाँच किसी समय-शृंखला प्रतिगमन की किसी कारणात्मक व्याख्या से पहले होतीं।

  6. दो व्यक्तिगत रूप से अ-स्थिर शृंखलाओं को सह-संकलित कब कहा जाता है?

    1. उनका एक विशिष्ट रैखिक संयोजन स्वयं स्थिर हो
    2. दोनों शृंखलाएँ समय के साथ स्थिर हों
    3. किसी भी शृंखला का माध्य न हो
    4. हर बिंदु पर उनके समान संख्यात्मक मान हों
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उनका एक विशिष्ट रैखिक संयोजन स्वयं स्थिर हो

    सह-संकलन (एंगल-ग्रेंजर) का अर्थ है कि दोनों शृंखलाएँ एक साझा यादृच्छिक प्रवृत्ति साझा करतीं इस प्रकार कि कोई रैखिक संयोजन इसे रद्द कर देता, एक स्थिर संयोजन छोड़ते हुए — यह उनके दीर्घकालीन संबंध को समेटने वाले त्रुटि-सुधार मॉडल को न्यायोचित ठहराता है।

  7. एक MA(q) समय-शृंखला मॉडल वर्तमान मान को किसका रैखिक फलन व्यक्त करता है?

    1. वर्तमान व q पिछले त्रुटि (झटका) पद
    2. केवल इसके अपने q पिछले मान
    3. केवल ब्याज दर
    4. एक एकल निश्चयात्मक प्रवृत्ति, बिना किसी यादृच्छिकता के
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — वर्तमान व q पिछले त्रुटि (झटका) पद

    कोटि q का चल-औसत मॉडल शृंखला को वर्तमान व q पश्च त्रुटि पदों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करता; इसके विपरीत, कोटि p का स्व-प्रतिगामी मॉडल इसे इसके अपने p पिछले मानों के रूप में व्यक्त करता है।

  8. एक अ-पुनरावर्ती (प्रतिपुष्टि) युगपत-समीकरण प्रणाली को साधारण समीकरण-दर-समीकरण OLS से आकलित करने के निम्नलिखित में से कौन-से परिणाम हैं?

    1. युगपतता पूर्वाग्रह — प्रतिगामी त्रुटि पद से संबद्ध है
    2. असंगति, यहाँ तक कि प्रतिदर्श-आकार बड़ा होने पर भी
    3. 2SLS जैसी साधन-चर विधियों की आवश्यकता
    4. निष्पक्षता की स्वतः गारंटी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — युगपतता पूर्वाग्रह — प्रतिगामी त्रुटि पद से संबद्ध है; B — असंगति, यहाँ तक कि प्रतिदर्श-आकार बड़ा होने पर भी; C — 2SLS जैसी साधन-चर विधियों की आवश्यकता

    पहली तीन अंतर्जात चरों में प्रतिपुष्टि के मानक परिणाम को सही ढंग से वर्णित करती हैं; इस स्थिति में OLS निष्पक्ष नहीं, यही ठीक कारण है कि इसके बजाय 2SLS या अप्रत्यक्ष न्यूनतम वर्ग आवश्यक है।

  9. उस मानक परीक्षण का नाम बताइए जो यह जाँचने हेतु उपयोग होता है कि क्या किसी समय शृंखला में इकाई मूल है (अर्थात् यह अ-स्थिर है)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: Augmented Dickey-Fuller test

    (संवर्धित) डिकी-फुलर परीक्षण मानक इकाई-मूल परीक्षण है; इकाई मूल की इसकी शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफलता दर्शाती है कि शृंखला अ-स्थिर है, जिसे तब किसी भी प्रतिगमन से पहले अंतर या सह-संकलन विश्लेषण की आवश्यकता होती है।