प्रतिचयन व सांख्यिकीय अनुमान, तथा BLUE गुणधर्मों के साथ रैखिक प्रतिगमन मॉडल

यह अध्याय समेटता है कि अर्थशास्त्री किस प्रकार प्रतिदर्श चुनते, इससे परिकल्पनाओं का परीक्षण करते, व फिर आर्थिक सिद्धांत द्वारा भविष्यवाणी किए गए संबंधों का आकलन करने हेतु प्रतिगमन का उपयोग करते — उस सटीक अर्थ के साथ जिसमें सामान्य न्यूनतम वर्ग एक 'सर्वश्रेष्ठ' प्राक्कलक है।

1. प्रतिचयन विधियाँ व प्रतिचयन बंटन

सरल यादृच्छिक प्रतिचयन में, समष्टि के हर सदस्य के चयन की समान व स्वतंत्र संभावना है; स्तरीकृत प्रतिचयन पहले समष्टि को समांगी स्तरों (जैसे राज्य या आय-वर्ग से) में विभाजित करता व प्रत्येक के भीतर प्रतिचयन करता, सामान्यतः सटीकता सुधारता जब स्तर एक-दूसरे से उतना भिन्न हों जितना किसी स्तर के भीतर इकाइयाँ भिन्न हैं; गुच्छ प्रतिचयन व्यक्तियों की बजाय संपूर्ण पूर्व-विद्यमान समूहों (जैसे गाँवों) का प्रतिचयन करता, कुछ सटीकता को कम क्षेत्र-लागत के बदले त्यागते हुए; क्रमबद्ध प्रतिचयन एक यादृच्छिक शुरुआत के बाद क्रमबद्ध सूची से हर k-वीं इकाई चुनता। किसी प्रतिदर्श से गणित एक सांख्यिकी (जैसे प्रतिदर्श माध्य) स्वयं एक यादृच्छिक चर है, क्योंकि यह प्रतिदर्श-दर-प्रतिदर्श बदलता है — किसी दिए आकार के सभी संभावित प्रतिदर्शों में इसका अपना प्रायिकता बंटन प्रतिचयन बंटन है, व मानक त्रुटि इसका मानक विचलन है।

ℹ️ परिकल्पना परीक्षण: दो त्रुटियाँ, एक विनिमय
टाइप I त्रुटि एक सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करती है (इसकी प्रायिकता सार्थकता स्तर, α, है, जिसे शोधकर्ता चुनता); टाइप II त्रुटि एक असत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहती है (इसकी प्रायिकता β है, व 1−β परीक्षण की क्षमता है)। किसी स्थिर प्रतिदर्श-आकार हेतु, α को घटाना (अस्वीकार करने हेतु अधिक सशक्त प्रमाण माँगना) यांत्रिक रूप से β को बढ़ाता — दोनों त्रुटि-प्रायिकताएँ एक-दूसरे के विरुद्ध विनिमय करतीं, व केवल एक बड़ा प्रतिदर्श दोनों को साथ-साथ घटा सकता है।

2. सांख्यिकीय अनुमान व परिकल्पना परीक्षण

आकलन किसी अज्ञात समष्टि प्राचल हेतु प्रतिदर्श आँकड़ों का उपयोग कर सर्वोत्तम एकल मान (बिंदु आकलन) या एक परिसर (विश्वास अंतराल) माँगता; एक अच्छा बिंदु प्राक्कलक निष्पक्ष होना चाहिए (इसका प्रत्याशित मान सत्य प्राचल के बराबर हो) व, आदर्श रूप से, निष्पक्ष प्राक्कलकों में न्यूनतम प्रसरण का (दक्ष), साथ ही संगत भी (प्रतिदर्श-आकार बढ़ने पर इसका बंटन सत्य प्राचल पर सिमट जाए)। मान लीजिए 95% का एक विश्वास अंतराल का अर्थ है कि यदि वही प्रतिचयन-व-अंतराल-निर्माण प्रक्रिया अनेक बार दोहराई जाए, तो परिणामी अंतरालों में से 95% सत्य प्राचल को समाहित करेंगे — यह बारंबार प्रतिदर्शों में प्रक्रिया के बारे में कथन है, इस विशेष अंतराल के सत्य मान समाहित करने की 95% प्रायिकता का नहीं।

3. रैखिक प्रतिगमन मॉडल व BLUE गुणधर्म

शास्त्रीय रैखिक प्रतिगमन मॉडल Y = β0 + β1X + u, β0 व β1 का आकलन सामान्य न्यूनतम वर्ग (OLS) द्वारा करता है, जो अवशेषों के वर्गों के योग को न्यूनतम करता है। गॉस-मार्कोव प्रमेय कहता है कि, शास्त्रीय मान्यताओं — प्राचलों में रैखिकता, त्रुटि पद का शून्य माध्य व स्थिर प्रसरण (समविचरणता), त्रुटियाँ एक-दूसरे से (कोई स्व-सहसंबंध नहीं) व X से (बहिर्जातता) असंबद्ध, व X अ-यादृच्छिक (या त्रुटि से स्वतंत्र) — के अधीन, OLS BLUE है: सर्वश्रेष्ठ (न्यूनतम प्रसरण) रैखिक निष्पक्ष प्राक्कलक, सभी रैखिक निष्पक्ष प्राक्कलकों के वर्ग में, चाहे त्रुटि पद प्रसामान्य बंटित हो या न हो। त्रुटि की प्रसामान्यता एक पृथक मान्यता है, जो केवल यथार्थ लघु-प्रतिदर्श परिकल्पना परीक्षण (t- व F-परीक्षण) हेतु आवश्यक है, स्वयं BLUE गुणधर्म हेतु नहीं।

BLUE का हर अक्षर क्या माँगता है
अक्षरअपेक्षा
B — सर्वश्रेष्ठसभी रैखिक निष्पक्ष प्राक्कलकों में न्यूनतम प्रसरण।
L — रैखिकप्राक्कलक प्रतिदर्श प्रेक्षणों (Y) का रैखिक फलन है।
U — निष्पक्षइसका प्रत्याशित मान सत्य समष्टि प्राचल के बराबर है।
E — प्राक्कलकप्रतिदर्श आँकड़ों से गणित एक नियम/सूत्र जो अज्ञात प्राचल का अनुमान लगाने हेतु प्रयुक्त होता।
⚠️ उल्लंघित मान्यताएँ OLS को गणित करना गलत नहीं बनातीं — वे इसे अविश्वसनीय बनातीं
विषमविचरणता (गैर-स्थिर त्रुटि प्रसरण) OLS को अभी भी निष्पक्ष छोड़ती है पर अब BLUE नहीं (अब न्यूनतम प्रसरण नहीं, व मानक त्रुटियाँ गलत हैं, अतः परिकल्पना परीक्षण अविश्वसनीय); समय-शृंखला प्रतिगमनों में स्व-सहसंबद्ध त्रुटियों का वही परिणाम है। NET बारंबार परखता कि वर्णित उल्लंघन कौन-सी गॉस-मार्कोव मान्यता तोड़ता व यह विशेष रूप से कौन-सा गुणधर्म (निष्पक्षता बनाम दक्षता बनाम वैध मानक त्रुटियाँ) खोता है — तीनों साथ नहीं खोते।

4. प्रतिगमन को पढ़ना व परखना

  • R² व समायोजित R² — R², X द्वारा समझाई गई Y की विविधता का अनुपात है, व यांत्रिक रूप से हर जोड़े गए प्रतिगामी के साथ बढ़ता (या वही रहता), चाहे वह कितना भी अप्रासंगिक हो; समायोजित R² जोड़े गए प्रतिगामियों को दंडित करता, जो इसे भिन्न संख्या के व्याख्यात्मक चरों वाले मॉडलों की तुलना हेतु अधिक निष्पक्ष आधार बनाता है।
  • एकल गुणांक पर t-परीक्षण — परखता है कि क्या कोई व्यक्तिगत β किसी प्राक्कल्पित मान (सामान्यतः शून्य) से सार्थक रूप से भिन्न है; समग्र सार्थकता पर F-परीक्षण परखता है कि क्या प्रतिगामी, साथ में लिए गए, Y की विविधता का सार्थक हिस्सा समझाते हैं।
📖 NET R² की बजाय BLUE पर बार-बार क्यों लौटता
एक उच्च R² आपको बताता है कि फ़िट की गई रेखा प्रतिदर्श-भीतर आँकड़ों का अच्छा अनुसरण करती है; यह इस बारे में कुछ नहीं कहता कि आकलित गुणांक निष्पक्ष या दक्ष हैं या नहीं, जो ठीक वही है जिसके बारे में गॉस-मार्कोव मान्यताएँ व BLUE गुणधर्म हैं। एक प्रतिगमन का बहुत उच्च R² हो सकता व फिर भी यह एक दोष-विनिर्दिष्ट या अंतर्जात मॉडल पर बना हो जिसके गुणांक बुरी तरह पूर्वाग्रहित हों — यही कारण है कि पाठ्यक्रम 'रैखिक प्रतिगमन मॉडल व उनके गुणधर्म — BLUE' को एक पृथक, अलग से परखा गया विषय रखता, इसे अच्छाई-की-फ़िट में मिलाने की बजाय।

मुख्य बिंदु

  • सरल यादृच्छिक, स्तरीकृत, गुच्छ व क्रमबद्ध प्रतिचयन सटीकता को क्षेत्र-लागत के विरुद्ध भिन्न-भिन्न रूप से विनिमय करते; बारंबार प्रतिदर्शों में किसी प्रतिदर्श सांख्यिकी का अपना प्रायिकता बंटन प्रतिचयन बंटन है, जिसका मानक विचलन मानक त्रुटि है।
  • टाइप I त्रुटि (सत्य शून्य को अस्वीकार करना, प्रायिकता α) व टाइप II त्रुटि (असत्य शून्य को अस्वीकार करने में विफल रहना, प्रायिकता β) स्थिर प्रतिदर्श-आकार हेतु विनिमय करतीं; 95% विश्वास अंतराल बारंबार-प्रतिचयन प्रक्रिया के बारे में कथन है, इस एक अंतराल की प्रायिकता का नहीं।
  • गॉस-मार्कोव प्रमेय अपनी शास्त्रीय मान्यताओं के अधीन OLS को BLUE बनाता है, त्रुटि पद की प्रसामान्यता की आवश्यकता के बिना — प्रसामान्यता एक पृथक मान्यता है जो केवल यथार्थ लघु-प्रतिदर्श परिकल्पना परीक्षण हेतु आवश्यक है।
  • विषमविचरणता व स्व-सहसंबंध OLS को निष्पक्ष तो छोड़ते पर अब न्यूनतम-प्रसरण (अब BLUE नहीं) नहीं, व मानक त्रुटियों — अतः परिकल्पना परीक्षणों — को अविश्वसनीय बनाते।
  • R² जोड़े गए प्रतिगामियों के साथ यांत्रिक रूप से बढ़ता, चाहे वे प्रासंगिक हों या नहीं; समायोजित R² इसे दंडित करता, व दोनों R² माप स्वयं इस बारे में कुछ नहीं कहते कि गुणांक निष्पक्ष या दक्ष हैं या नहीं।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. स्तरीकृत प्रतिचयन सामान्यतः सरल यादृच्छिक प्रतिचयन से सटीकता कब सुधारता है?

    1. स्तर एक-दूसरे से उतना भिन्न हों जितना किसी स्तर के भीतर इकाइयाँ भिन्न हैं
    2. हर स्तर हर दूसरे के समान हो
    3. प्रतिदर्श-आकार बहुत छोटा हो
    4. समष्टि में बिल्कुल कोई स्वाभाविक समूह न हों
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — स्तर एक-दूसरे से उतना भिन्न हों जितना किसी स्तर के भीतर इकाइयाँ भिन्न हैं

    स्तरीकरण अपेक्षाकृत समांगी स्तरों के भीतर प्रतिचयन करते हुए अंतर-स्तर विषमांगता का लाभ उठाकर सटीकता प्राप्त करता; यदि स्तर एक-दूसरे से भिन्न न हों, तो स्तरीकरण सरल यादृच्छिक प्रतिचयन से ऊपर कुछ नहीं देता।

  2. परिकल्पना परीक्षण में टाइप II त्रुटि क्या है?

    1. एक असत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहना
    2. एक सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना
    3. बहुत बड़ा प्रतिदर्श-आकार चुनना
    4. एक पूर्वाग्रहित प्राक्कलक का उपयोग करना
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — एक असत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहना

    टाइप I त्रुटि एक सत्य शून्य को अस्वीकार करती (प्रायिकता α); टाइप II त्रुटि एक असत्य शून्य को अस्वीकार करने में विफल रहती (प्रायिकता β, क्षमता = 1−β के साथ) — दोनों भिन्न हैं व स्थिर प्रतिदर्श-आकार हेतु एक-दूसरे के विरुद्ध विनिमय करतीं।

  3. किसी समष्टि प्राचल हेतु 95% विश्वास अंतराल का क्या अर्थ है?

    1. यदि प्रतिचयन-व-अंतराल प्रक्रिया अनेक बार दोहराई जाए, तो परिणामी अंतरालों में से 95% सत्य प्राचल को समाहित करेंगे
    2. इस विशेष अंतराल के सत्य प्राचल को समाहित करने की 95% प्रायिकता है
    3. प्रतिदर्श प्रेक्षणों में से 95% अंतराल के भीतर आते हैं
    4. सत्य प्राचल 95% समय बदलता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यदि प्रतिचयन-व-अंतराल प्रक्रिया अनेक बार दोहराई जाए, तो परिणामी अंतरालों में से 95% सत्य प्राचल को समाहित करेंगे

    सही बारंबारतावादी व्याख्या बारंबार प्रतिदर्शों में प्रक्रिया के दीर्घकालीन निष्पादन के बारे में है, पहले से गणित एक अंतराल के बारे में प्रायिकता कथन नहीं, जो या तो स्थिर सत्य प्राचल को समाहित करता है या नहीं।

  4. गॉस-मार्कोव प्रमेय क्या कहता है कि, अपनी शास्त्रीय मान्यताओं के अधीन, OLS क्या है?

    1. सर्वश्रेष्ठ (न्यूनतम प्रसरण) रैखिक निष्पक्ष प्राक्कलक
    2. एकमात्र संभव संगत प्राक्कलक
    3. निष्पक्ष केवल यदि त्रुटियाँ प्रसामान्य बंटित हों
    4. R² के 1 होने की गारंटी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सर्वश्रेष्ठ (न्यूनतम प्रसरण) रैखिक निष्पक्ष प्राक्कलक

    BLUE शास्त्रीय (गॉस-मार्कोव) मान्यताओं के अधीन त्रुटि पद के प्रसामान्य बंटित होने की आवश्यकता के बिना लागू होता — प्रसामान्यता एक पृथक, अतिरिक्त मान्यता है जो केवल यथार्थ लघु-प्रतिदर्श अनुमान हेतु उपयोग होती।

  5. संक्षिप्ति BLUE में, 'B' किसके लिए है?

    1. सर्वश्रेष्ठ — सभी रैखिक निष्पक्ष प्राक्कलकों में न्यूनतम प्रसरण
    2. पूर्वाग्रहित
    3. बेयेसियाई
    4. परिबद्ध
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सर्वश्रेष्ठ — सभी रैखिक निष्पक्ष प्राक्कलकों में न्यूनतम प्रसरण

    BLUE का अर्थ है सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष प्राक्कलक; 'सर्वश्रेष्ठ' विशेष रूप से प्राचल के सभी रैखिक, निष्पक्ष प्राक्कलकों के वर्ग में न्यूनतम प्रसरण को दर्शाता है।

  6. यदि किसी प्रतिगमन में त्रुटि पद विषमविचरणी है, तो OLS क्या रहता है?

    1. निष्पक्ष, पर अब न्यूनतम प्रसरण (अब BLUE) नहीं, व मानक त्रुटियाँ अविश्वसनीय
    2. पूर्वाग्रहित व असंगत
    3. फिर भी BLUE, बिना किसी परिणाम के
    4. अपरिभाषित
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — निष्पक्ष, पर अब न्यूनतम प्रसरण (अब BLUE) नहीं, व मानक त्रुटियाँ अविश्वसनीय

    विषमविचरणता गॉस-मार्कोव की स्थिर-प्रसरण मान्यता का उल्लंघन करती है: OLS गुणांक निष्पक्ष रहते, पर वे अब न्यूनतम-प्रसरण नहीं व सामान्य मानक-त्रुटि सूत्र गलत हैं, जिससे परिकल्पना परीक्षण अविश्वसनीय हो जाते जब तक सुधारा न जाए (जैसे दृढ़ मानक त्रुटियाँ)।

  7. मॉडलों की तुलना हेतु समायोजित R² को साधारण R² से ऊपर क्यों वरीयता दी जाती है?

    1. यह अप्रासंगिक प्रतिगामियों के जोड़े जाने को दंडित करता, साधारण R² के विपरीत जो हर जोड़े गए प्रतिगामी के साथ यांत्रिक रूप से बढ़ता (या वही रहता)
    2. यह सदैव 1 के बराबर होता है
    3. यह प्रेक्षणों की संख्या को अनदेखा करता है
    4. यह सीधे निष्पक्षता मापता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यह अप्रासंगिक प्रतिगामियों के जोड़े जाने को दंडित करता, साधारण R² के विपरीत जो हर जोड़े गए प्रतिगामी के साथ यांत्रिक रूप से बढ़ता (या वही रहता)

    साधारण R² किसी प्रतिगामी के जोड़े जाने पर, चाहे वह कितना भी अप्रासंगिक हो, घट नहीं सकता, अतः यह स्वतः बड़े मॉडलों का पक्ष लेता; समायोजित R² में प्रतिदर्श-आकार के सापेक्ष प्रतिगामियों की संख्या हेतु दंड सम्मिलित है, जो मॉडल-तुलना हेतु अधिक निष्पक्ष आधार देता है।

  8. OLS के BLUE होने हेतु आवश्यक शास्त्रीय (गॉस-मार्कोव) मान्यताओं में से निम्नलिखित में से कौन-सी हैं?

    1. त्रुटि पद का शून्य माध्य व स्थिर प्रसरण है
    2. त्रुटियाँ एक-दूसरे से व प्रतिगामी X से असंबद्ध हैं
    3. मॉडल प्राचलों में रैखिक है
    4. त्रुटि पद प्रसामान्य बंटित होना चाहिए
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — त्रुटि पद का शून्य माध्य व स्थिर प्रसरण है; B — त्रुटियाँ एक-दूसरे से व प्रतिगामी X से असंबद्ध हैं; C — मॉडल प्राचलों में रैखिक है

    पहली तीन BLUE हेतु आवश्यक गॉस-मार्कोव मान्यताएँ हैं; प्रसामान्यता एक पृथक, अतिरिक्त मान्यता है जो केवल यथार्थ लघु-प्रतिदर्श परिकल्पना परीक्षण हेतु आवश्यक है, स्वयं BLUE गुणधर्म हेतु नहीं।

  9. उस प्रमेय का नाम बताइए जो शास्त्रीय प्रतिगमन मान्यताओं के अधीन OLS को सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष प्राक्कलक स्थापित करता है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: Gauss-Markov theorem

    गॉस-मार्कोव प्रमेय इस परिणाम का मानक नाम है, व यह त्रुटि पद पर प्रसामान्यता की किसी मान्यता के बिना लागू होता है।