व्यावसायिक सांख्यिकी I: वर्णन, संबद्धता एवं प्रायिकता

इकाई 5 वहाँ है जहाँ वाणिज्य पेपर अपनी गणनाएँ रखता है, और उसका पूर्वार्ध वर्णनात्मक सांख्यिकी व प्रायिकता है: किसी बंटन की स्थिति निकालना, यह मापना कि वह कितना फैला और कितना एक-तरफ़ा है, यह मापना कि दो चर साथ कैसे चलते हैं, तथा पाठ्यक्रम द्वारा नामित तीन प्रायिकता बंटन। लगभग हर प्रश्न या तो छोटी गणना है या कोई गुण — कौन-सा औसत चरम मानों से अप्रभावित रहता है, किस बंटन के माध्य व प्रसरण बराबर हैं, कौन-सा गुणांक इकाई-मुक्त है। यह अध्याय उन्हीं गुणों के चारों ओर संगठित है, क्योंकि परीक्षक वही पूछता है और केवल सूत्र रटने वाला अभ्यर्थी उनका उत्तर नहीं दे सकता।

1. केंद्रीय प्रवृत्ति: तीन औसत और प्रत्येक कब सही है

औसत एक ऐसा अकेला मान है जो पूरे बंटन का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रचलित तीनों भिन्न प्रश्नों का उत्तर देते हैं। समांतर माध्य आँकड़ों का संतुलन-बिंदु है; माध्यिका आँकड़ों को क्रमबद्ध करने पर मध्य का मान; बहुलक सर्वाधिक बारंबार मान। कौन-सा उपयुक्त है, यह इस पर निर्भर है कि आँकड़े कैसे दिखते हैं और औसत किसलिए है।

वे गुण जो पेपर पूछता है
औसतचरम मानों से प्रभावित?प्रत्येक मान चाहिए?विशिष्ट गुण
समांतर माध्यहाँ, प्रबल रूप सेहाँउससे विचलनों का योग शून्य; उससे वर्ग-विचलन न्यूनतम
माध्यिकानहींनहीं — केवल क्रम व गिनतीउससे निरपेक्ष विचलन न्यूनतम; खुले-सिरे वाले वर्गों हेतु भी निकल सकती है
बहुलकनहींनहींगुणात्मक आँकड़ों हेतु प्रयोग-योग्य एकमात्र औसत; हो सकता है न हो, या अद्वितीय न हो

दो और माध्य लौटते हैं। गुणोत्तर माध्य n मानों के गुणनफल का n-वाँ मूल है और अनुपातों व संवृद्धि दरों का सही औसत है — जो निवेश 100% बढ़कर फिर 50% गिरे, उसका समांतर माध्य प्रतिफल 25% है और गुणोत्तर माध्य शून्य, और जो हुआ उसका वर्णन शून्य ही करता है। हरात्मक माध्य व्युत्क्रमों के माध्य का व्युत्क्रम है और प्रति इकाई मापी गई दरों का सही औसत है, जैसे समान दूरियों पर चाल। धनात्मक मानों के किसी भी समुच्चय हेतु तीनों एक निश्चित क्रम में हैं: AM ≥ GM ≥ HM, समता केवल तब जब सभी मान समरूप हों।

🧠 विषम के लिए माध्यिका, शेष के लिए माध्य
आय, संपदा, घरों के मूल्य और फर्म का आकार सब कुछ अत्यंत बड़े मानों से विषम हैं, और माध्य उनकी ओर खिंच जाता है जबकि माध्यिका नहीं। जिस प्रश्न में 'कुछ बहुत ऊँचे मान' या 'खुले-सिरे वाले वर्ग' का उल्लेख हो, वह माध्यिका चाहता है। जिस प्रश्न में आगे बीजीय व्यवहार का उल्लेख हो — समूहों को जोड़ना, प्रसरण निकालना — वह माध्य चाहता है, क्योंकि केवल माध्य ही समूहों के आँकड़ों से समूहों के आर-पार जोड़ा जा सकता है।

2. परिक्षेपण तथा विषमता

समान औसत वाले दो बंटन फैलाव में पूर्णतः भिन्न हो सकते हैं, अतः अकेला औसत आधा वर्णन है। परिक्षेपण के माप इसमें भिन्न हैं कि वे किससे बने हैं और, निर्णायक रूप से, इसमें कि वे आँकड़ों की इकाई लिए चलते हैं या उससे मुक्त हैं।

  • परास — सबसे बड़ा घटा सबसे छोटा। केवल दो मान प्रयोग करता है, अतः एक बाहरी मान उसे तय कर देता है।
  • चतुर्थक विचलन — अंतश्चतुर्थक परास का आधा, (Q₃ − Q₁)/2। चरम चतुर्थांशों की पूरी उपेक्षा करता है, जो विषम आँकड़ों में उसका गुण है और अन्यथा दोष।
  • माध्य विचलन — माध्य या माध्यिका से निरपेक्ष विचलनों का औसत। माध्यिका से यह न्यूनतम है, किंतु निरपेक्ष मान इसे बीजीय रूप से असुविधाजनक बनाता है।
  • मानक विचलन — माध्य से वर्ग-विचलनों के माध्य का वर्गमूल। प्रत्येक मान प्रयोग करता है, बीजीय रूप से सुगम है, और वही माप है जिस पर आगे की हर तकनीक बनी है। उसका वर्ग प्रसरण है।
  • विचरण गुणांक — माध्य के प्रतिशत के रूप में मानक विचलन, और अतः इकाई-मुक्त। यहाँ का यही एकमात्र माप है जो भिन्न इकाइयों में मापी गई या अत्यंत भिन्न माध्यों वाली दो श्रेणियों की परिवर्तनशीलता की तुलना कर सकता है, और कम मान का अर्थ अधिक सुसंगति है।
⚠️ निरपेक्ष व सापेक्ष माप भिन्न प्रश्नों के उत्तर हैं
रुपयों में मासिक विक्रय का मानक विचलन टनों में मासिक उत्पादन के मानक विचलन से तुलनीय नहीं, और रुपयों में भी दो फर्मों के बीच उचित रूप से तुलनीय नहीं जब एक दूसरी से दस गुना बड़ी हो। हर 'कौन अधिक सुसंगत है' या 'कौन अधिक परिवर्ती है' वाला प्रश्न विचरण गुणांक चाहता है, और जो अभ्यर्थी अकेले मानक विचलन से उत्तर दे, उसने उस प्रश्न का उत्तर दिया है जो पूछा ही नहीं गया।

विषमता सममिति से विचलन है। सममित बंटन में माध्य, माध्यिका व बहुलक संपाती हैं; धनात्मक विषम बंटन में लंबी पूँछ दाईं ओर है और माध्य माध्यिका से ऊपर खिंच जाता है, जो बहुलक से ऊपर है; ऋणात्मक विषम में क्रम उलट जाता है। कार्ल पियर्सन का गुणांक (माध्य − बहुलक) में मानक विचलन का भाग है, अथवा, आनुभविक संबंध बहुलक ≈ 3 माध्यिका − 2 माध्य के प्रयोग से, 3(माध्य − माध्यिका) में मानक विचलन का भाग। बॉली का गुणांक चतुर्थकों का प्रयोग करता है और खुले-सिरे वाले वर्गों में उसी को लेना चाहिए।

3. दो चरों का सहसंबंध तथा समाश्रयण

सहसंबंध उस मात्रा को मापता है जिसमें दो चर साथ चलते हैं; समाश्रयण एक से दूसरे का आकलन करता है। कार्ल पियर्सन का गुणांक r −1 और +1 के बीच है, इकाई-मुक्त है, और किसी भी चर के मूल या मापक्रम बदलने से अप्रभावित रहता है — अतः मूल्य को रुपयों के बजाय पैसों में मापने से कुछ नहीं बदलता। उसका चिह्न दिशा देता है, परिमाण निकटता, और r = 0 का अर्थ है कोई रैखिक संबंध नहीं, कोई संबंध नहीं — ऐसा नहीं।

  • दो समाश्रयण रेखाएँ, एक नहीं — Y का आकलन हेतु Y पर X, X का आकलन हेतु X पर Y। वे माध्यों के बिंदु पर काटती हैं, और केवल तब संपाती होती हैं जब r = ±1 हो।
  • समाश्रयण गुणांक b_yx व b_xy का चिह्न r जैसा ही होता है, और r दोनों का गुणोत्तर माध्य है: r² = b_yx × b_xy। अतः दोनों दिए हों तो r तत्काल निकल आता है — और यदि उनका गुणनफल एक से अधिक हो, तो आँकड़े ग़लत हैं।
  • निर्धारण गुणांक r² एक चर के प्रसरण का वह अनुपात है जिसे दूसरा समझाता है। 0.6 का r प्रसरण का 36% समझाता है, 60% नहीं — और यही वह गणित है जो पेपर रखना पसंद करता है।
  • स्पीयरमैन का कोटि सहसंबंध वही विचार कोटियों पर लगाता है: ρ = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)]। यह उन गुणों हेतु उपयुक्त है जिन्हें क्रमबद्ध किया जा सके पर मापा न जा सके, और यही वह कोटि सहसंबंध परीक्षण है जिसे इकाई की परिकल्पना-परीक्षण सूची आगे नामित करती है।
🎯 सहसंबंध कारणता क्यों नहीं, उन्हीं शब्दों में जो पेपर प्रयोग करता है
दो श्रेणियों के बीच ऊँचा r इसलिए हो सकता है कि एक दूसरे का कारण है, इसलिए कि दोनों किसी तीसरे से उत्पन्न हैं, या इसलिए कि दोनों उस अवधि में संयोग से एक ही दिशा में चलते हैं — आइसक्रीम की बिक्री और डूबने की घटनाएँ दोनों गर्मियों में बढ़ती हैं। अंतिम दो कपट-सहसंबंध हैं, और प्रबल गुणांक से कारण-संबंध निकालने से इनकार करने हेतु प्रश्न यही मानक कारण देता है।

4. प्रायिकता: तीन दृष्टिकोण तथा बेज़ प्रमेय

पाठ्यक्रम प्रायिकता के दृष्टिकोणों को नामित करता है, और वे एक ही प्रश्न के दृष्टिकोण हैं — संख्या आती कहाँ से है।

प्रायिकता के दृष्टिकोण
दृष्टिकोणसंख्या कहाँ से आती हैउसकी सीमा
शास्त्रीय, अथवा पूर्वतःसमसंभाव्य कुल परिणामों पर अनुकूल परिणाम, किसी भी परीक्षण से पहलेपरिणामों के समसंभाव्य होने की आवश्यकता, जो वही मान लेता है जिसे खोजना है
आपेक्षिक बारंबारता, अथवा आनुभविकपरीक्षण बढ़ने पर किसी घटना के घटने के अनुपात की सीमापुनरावर्तनीय परीक्षण चाहिए; एकबारगी घटना के विषय में कुछ नहीं कहता
व्यक्तिपरकविश्वास की एक मात्रा, प्रमाण आने पर संशोधितदो व्यक्ति एक ही घटना को भिन्न संख्याएँ दे सकते हैं

दो नियम अधिकांश काम करते हैं। योग नियम A या B की प्रायिकता P(A) + P(B) − P(A और B) देता है, और घटाना वही है जिसे अभ्यर्थी तब भूलते हैं जब घटनाएँ दोनों घट सकती हों; परस्पर अपवर्जी घटनाओं हेतु वह लुप्त हो जाता है। गुणन नियम A और B की प्रायिकता P(A) × P(B|A) देता है, जो P(A) × P(B) में केवल तब सिमटता है जब घटनाएँ स्वतंत्र हों। परस्पर अपवर्जी और स्वतंत्र एक ही बात नहीं — परस्पर अपवर्जी घटनाएँ प्रबल रूप से आश्रित हैं, क्योंकि एक का घटना दूसरी को बाहर कर देता है।

📖 बेज़ प्रमेय, एक बार हल करके
किसी कारख़ाने में दो मशीनें हैं। मशीन A उत्पादन का 60% बनाती है, 2% दोषपूर्ण; मशीन B 40% बनाती है, 5% दोषपूर्ण। एक वस्तु दोषपूर्ण पाई जाती है — क्या संभावना है कि वह A से आई? बेज़ प्रमेय प्रतिबंधन को उलट देता है: P(A|D) = P(A)P(D|A) ÷ [P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B)] = 0.012 ÷ (0.012 + 0.020) = 0.375। दोष देखने से पहले A 60% पर अधिक संभावित स्रोत थी; उसे देखने के बाद A 37.5% पर कम संभावित स्रोत है, क्योंकि दोष B की अधिक विशेषता हैं। प्रमाण द्वारा पूर्व प्रायिकता का यही संशोधन पूरा प्रमेय है, और उस पर हर प्रश्न का यही आकार है।

5. द्विपद, प्वासों तथा प्रसामान्य

तीनों बंटन इस बात से अलग पहचाने जाते हैं कि वे क्या गिनते हैं और प्रत्येक के एक गुण से। द्विपद अचर प्रायिकता वाले निश्चित संख्या के स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताएँ गिनता है; प्वासों समय या स्थान के सतत अंतराल में दुर्लभ घटनाएँ गिनता है; प्रसामान्य किसी माध्य के चारों ओर सममित रूप से गुच्छित सतत मापन का वर्णन करता है।

तीनों बंटन आमने-सामने
बंटनप्राचलमाध्य व प्रसरणजो गुण पूछा जाता है
द्विपदn और pnp और npqप्रसरण सदा माध्य से कम, क्योंकि q < 1; सममित केवल तब जब p = 0.5
प्वासोंकेवल λλ और λमाध्य प्रसरण के बराबर — एक पंक्ति का पहचानक; n बढ़ने व p घटने पर np स्थिर रखते हुए द्विपद की सीमा
प्रसामान्यμ और σμ और σ²सममित व घंटाकार; माध्य = माध्यिका = बहुलक; लगभग 68%, 95% व 99.7% मान 1, 2 व 3 मानक विचलनों के भीतर
🧠 शब्दों से कौन-सा बंटन
'n वस्तुओं में से' या 'n उछालों में' द्विपद है। 'प्रति घंटा', 'प्रति पृष्ठ', 'प्रति किलोमीटर' छोटे औसत सहित — दुर्घटनाएँ, छपाई की भूलें, कॉल, दोष — प्वासों है। ऊँचाई, भार, अंक, मापन-त्रुटियाँ और जो कुछ घंटाकार बताया जाए, प्रसामान्य है। यदि प्रश्न माध्य व प्रसरण बराबर दे, तो वह बिना कहे बता रहा है कि यह प्वासों है।

प्रसामान्य बंटन अपने प्रश्नों से परे इसलिए महत्वपूर्ण है कि मानक प्रसामान्य चर z = (x − μ)/σ किसी भी प्रसामान्य मापन को उसके माध्य से मानक विचलनों में बदल देता है और एक ही सारणी को हर प्रसामान्य बंटन की सेवा करने देता है। यही वह बंटन भी है जिसकी ओर प्रतिदर्श माध्य झुकते हैं, समष्टि चाहे कैसी भी दिखे, केंद्रीय सीमा प्रमेय से — इसीलिए वह अगले अध्याय में आकलन व परीक्षण के आधार के रूप में लौटता रहता है।

मुख्य बिंदु

  • माध्य चरम मानों से खिंचता है और माध्यिका नहीं; किसी भी धनात्मक आँकड़े हेतु AM ≥ GM ≥ HM, और गुणोत्तर माध्य संवृद्धि दरों का सही औसत है।
  • हर 'कौन अधिक सुसंगत' प्रश्न विचरण गुणांक चाहता है, क्योंकि वही परिक्षेपण का एकमात्र इकाई-मुक्त माप है और एकमात्र जो भिन्न पैमाने की श्रेणियों की तुलना करता है।
  • r दोनों समाश्रयण गुणांकों का गुणोत्तर माध्य है, r² समझाए गए प्रसरण का अनुपात, और r = 0 केवल रैखिक संबंध को बाहर करता है।
  • परस्पर अपवर्जी स्वतंत्र नहीं है: योग नियम पहले हेतु अपना घटाना छोड़ देता है, गुणन नियम दूसरे हेतु सरल हो जाता है, और बेज़ प्रमेय प्रमाण से पूर्व प्रायिकता को संशोधित करता है।
  • द्विपद का प्रसरण सदा उसके माध्य से कम, प्वासों का माध्य प्रसरण के बराबर, और प्रसामान्य 68%, 95% व 99.7% मान 1, 2 व 3 मानक विचलनों के भीतर रखता है।

अभ्यास प्रश्न (9)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. भिन्न इकाइयों में मापी गई दो श्रेणियों की परिवर्तनशीलता की तुलना हेतु परिक्षेपण का कौन-सा माप उपयुक्त है?

    1. विचरण गुणांक
    2. मानक विचलन
    3. परास
    4. चतुर्थक विचलन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — विचरण गुणांक

    मानक विचलन, परास व चतुर्थक विचलन सब आँकड़ों की इकाई में व्यक्त निरपेक्ष माप हैं, अतः रुपयों को टनों के सामने नहीं रखा जा सकता और माध्य बहुत भिन्न हों तो दो रुपया-आँकड़े भी भ्रमित करते हैं। विचरण गुणांक मानक विचलन को माध्य से भाग देकर परिणाम प्रतिशत में व्यक्त करता है, जो इकाई हटा देता है और दोनों श्रेणियों को सीधे तुलनीय बनाता है; कम मान वाली श्रेणी अधिक सुसंगत है। हर वह प्रश्न जो पूछे कि कौन-सी श्रेणी अधिक सुसंगत या परिवर्ती है, यही माप माँग रहा है, और अकेले मानक विचलन से उत्तर देना मानक भूल है।

  2. दो समाश्रयण गुणांक b_yx = 0.8 तथा b_xy = 0.45 हैं। सहसंबंध गुणांक है:

    1. 0.6
    2. 0.36
    3. 0.625
    4. 1.25
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.6

    सहसंबंध गुणांक दोनों समाश्रयण गुणांकों का गुणोत्तर माध्य है, अतः r² = b_yx × b_xy = 0.8 × 0.45 = 0.36 और r = 0.6, धनात्मक मूल लेते हुए क्योंकि दोनों गुणांक धनात्मक हैं और r उनका चिह्न लेता है। 0.36 स्वयं r² है, निर्धारण गुणांक, बिना मूल निकाले। 0.625 दोनों गुणांकों का समांतर माध्य है, जो ग़लत औसत है — संबंध गुणनात्मक है, योगात्मक नहीं। 1.25 उनका योग है, जो एक से अधिक है और सहसंबंध गुणांक हो ही नहीं सकता; समाश्रयण गुणांकों का एक से बड़ा गुणनफल स्वयं आँकड़ों में त्रुटि का संकेत होगा।

  3. किसी असतत बंटन का माध्य उसके प्रसरण के बराबर है। वह सर्वाधिक संभवतः है:

    1. प्वासों
    2. द्विपद
    3. प्रसामान्य
    4. एकसमान
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्वासों

    माध्य व प्रसरण की समता प्वासों बंटन का परिभाषक चिह्न है, जिसका एकमात्र प्राचल λ दोनों है। द्विपद में यह गुण नहीं हो सकता क्योंकि उसका प्रसरण npq सदा उसके माध्य np से कम है, क्योंकि q एक से नीचे है। प्रसामान्य सतत बंटन है, अतः उसके आघूर्णों पर विचार से पहले ही 'असतत' शब्द उसे बाहर कर देता है, और उसके माध्य व प्रसरण वैसे भी स्वतंत्र प्राचल हैं। असतत एकसमान बंटन का प्रसरण उसकी परास से निर्धारित होता है और सामान्यतः उसके माध्य से कोई निश्चित संबंध नहीं रखता। जो प्रश्न माध्य व प्रसरण बराबर बताए वह बिना नाम लिए प्वासों की पहचान करा रहा है।

  4. दो मशीनें किसी फर्म के उत्पादन का 60% व 40% बनाती हैं, दोष दरें क्रमशः 2% व 5%। यादृच्छिक रूप से चुनी वस्तु दोषपूर्ण है। उसके पहली मशीन से आने की प्रायिकता है:

    1. 0.375
    2. 0.6
    3. 0.012
    4. 0.625
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.375

    बेज़ प्रमेय प्रतिबंधन को उलट देता है। पहली मशीन से आने और दोषपूर्ण होने की संयुक्त प्रायिकता 0.60 × 0.02 = 0.012 है; दूसरी से, 0.40 × 0.05 = 0.020; अतः दोष की कुल प्रायिकता 0.032 है और पहली मशीन हेतु पश्च प्रायिकता 0.012 ÷ 0.032 = 0.375। 0.6 पूर्व प्रायिकता है, जो दोष के प्रमाण की पूरी उपेक्षा करती है। 0.012 कुल से भाग दिए बिना छोड़ी गई संयुक्त प्रायिकता है, और 0.625 दूसरी मशीन हेतु पश्च प्रायिकता है, जो दोष देखे जाने के बाद अधिक संभावित स्रोत है क्योंकि दोष उसकी अधिक विशेषता हैं।

  5. धनात्मक विषम बंटन में:

    1. माध्य > माध्यिका > बहुलक
    2. बहुलक > माध्यिका > माध्य
    3. माध्य = माध्यिका = बहुलक
    4. माध्यिका > माध्य > बहुलक
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — माध्य > माध्यिका > बहुलक

    धनात्मक विषमता का अर्थ है कि लंबी पूँछ दाईं ओर, ऊँचे मानों की ओर फैली है। बहुलक शिखर पर बैठता है, माध्यिका पूँछ की ओर थोड़ी खिंचती है क्योंकि आधे प्रेक्षण उससे परे होने चाहिए, और माध्य सबसे दूर खिंचता है क्योंकि केवल उसे ही प्रत्येक मान के आकार से भार मिलता है, अतः कुछ बहुत बड़े प्रेक्षण उसे दाईं ओर घसीट लेते हैं। इसलिए क्रम बड़े से छोटे की ओर माध्य, माध्यिका, बहुलक है। विपरीत क्रम ऋणात्मक विषमता का वर्णन है, और तीनों की समता प्रसामान्य जैसे सममित बंटन का। आय व संपदा धनात्मक विषमता के मानक उदाहरण हैं।

  6. कोई निवेश पहले वर्ष दुगुना होता है और दूसरे वर्ष आधा। उसकी औसत वार्षिक संवृद्धि दर सही रूप में देता है:

    1. गुणोत्तर माध्य, जो शून्य संवृद्धि देता है
    2. समांतर माध्य, जो 25% संवृद्धि देता है
    3. हरात्मक माध्य, जो 50% संवृद्धि देता है
    4. माध्यिका, जो 75% संवृद्धि देती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — गुणोत्तर माध्य, जो शून्य संवृद्धि देता है

    संवृद्धि गुणनात्मक रूप से चक्रवृद्धि होती है, अतः संवृद्धि गुणकों का सही औसत उनका गुणोत्तर माध्य है: गुणक 2 व 0.5 हैं, उनका गुणनफल 1, और 1 का वर्गमूल 1 — शून्य की संवृद्धि दर, जो ठीक सही है क्योंकि निवेश वहीं समाप्त होता है जहाँ आरंभ हुआ था। +100% व −50% का समांतर माध्य +25% है, जो मानक ग़लत उत्तर है और ऐसे निवेश का वर्णन करेगा जो दो वर्षों में आधे से अधिक बढ़ा हो। हरात्मक माध्य समान दूरियों पर चाल जैसी प्रति इकाई मापी गई दरों का औसत है, चक्रवृद्धि संवृद्धि का नहीं, और दो मानों की माध्यिका यहाँ मात्र उनका समांतर माध्य है।

  7. दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं। इससे निकलता है कि वे:

    1. आश्रित हैं, क्योंकि एक का घटना दूसरी को बाहर कर देता है
    2. स्वतंत्र हैं, क्योंकि कोई दूसरी को प्रभावित नहीं करती
    3. समसंभाव्य हैं
    4. प्रतिदर्श समष्टि की निःशेषी हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — आश्रित हैं, क्योंकि एक का घटना दूसरी को बाहर कर देता है

    परस्पर अपवर्जी घटनाएँ साथ नहीं घट सकतीं, अतः यह जानना कि एक घटी है, निश्चय से बताता है कि दूसरी नहीं घटी — जो आश्रितता का प्रबलतम संभव रूप है, स्वतंत्रता नहीं। स्वतंत्रता हेतु P(A और B) का P(A) × P(B) के बराबर होना चाहिए, और शून्येतर प्रायिकताओं वाली परस्पर अपवर्जी घटनाओं हेतु बायाँ पक्ष शून्य है जबकि दायाँ नहीं। दोनों को मिलाना मानक भूल है, और नियमों हेतु यह महत्वपूर्ण है: योग नियम परस्पर अपवर्जी घटनाओं हेतु अपना घटाया गया पद खो देता है, जबकि गुणन नियम स्वतंत्र घटनाओं हेतु सरल हो जाता है। न समसंभाव्यता न निःशेषिता परस्पर अपवर्जिता से निकलती है।

  8. दो चरों के बीच सहसंबंध गुणांक 0.6 है। एक के प्रसरण का वह अनुपात जिसे दूसरा समझाता है:

    1. 36%
    2. 60%
    3. 40%
    4. 77%
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 36%

    समझाए गए प्रसरण का अनुपात निर्धारण गुणांक है, जो सहसंबंध गुणांक का वर्ग है: 0.6² = 0.36, अर्थात् 36%। स्वयं सहसंबंध गुणांक को समझाया गया अनुपात पढ़ना 60% देता है और मानक भूल है — 0.6 का सहसंबंध व्याख्या के रूप में कच्चे आँकड़े के संकेत से काफ़ी दुर्बल है। 40% 60% का पूरक है और किसी बात का वर्णन नहीं, और 77% 0.6 के वर्ग के बजाय लगभग उसका वर्गमूल है, ग़लत दिशा में लगाई गई संक्रिया। असमझाया अनुपात, 1 − r², यहाँ 64% है।

  9. प्रसामान्य बंटन हेतु माध्य के दो मानक विचलनों के भीतर पड़ने वाले मानों का अनुपात लगभग है:

    1. 95%
    2. 68%
    3. 99.7%
    4. 50%
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 95%

    प्रसामान्य बंटन हेतु आनुभविक नियम लगभग 68% मान माध्य के एक मानक विचलन के भीतर रखता है, लगभग 95% दो के भीतर और लगभग 99.7% तीन के भीतर। तीनों आँकड़े नियमित रूप से एक-दूसरे के सामने रखकर पूछे जाते हैं, अतः 68% व 99.7% वे पड़ोसी हैं जिन्हें अभ्यर्थी से दो-सिग्मा मान से अलग पहचानने की अपेक्षा है। 50% माध्य के किसी भी एक ओर का अनुपात है, क्योंकि बंटन सममित है, और उसके चारों ओर के किसी अंतराल का वर्णन नहीं। यही नियम मानक प्रसामान्य चर को उपयोगी बनाता है: z = (x − μ)/σ के रूप में व्यक्त कोई भी प्रसामान्य मापन इन्हीं अनुपातों के सामने पढ़ा जा सकता है।