अंकगणितीय अभिक्षमता: प्रतिशत, ब्याज, अनुपात, चाल एवं कार्य

इस इकाई में गति लंबी गुणा से इनकार करने से आती है। 5 से गुणा 10 से गुणा कर आधा करना है: 348 × 5 = 3480 ÷ 2 = 1740। 25 से भाग 4 से गुणा कर 100 से भाग है: 1375 ÷ 25 = 5500 ÷ 100 = 55। 5 पर समाप्त संख्या का वर्ग: दहाई अंक को अगले पूर्णांक से गुणा कर उसके बाद 25 लिखें — 65² → 6 × 7 = 42 → 4225; 85² → 8 × 9 = 72 → 7225। आवर्त दशमलव आवर्ती खंड को उतने ही 9 के ऊपर लिखने से बदलते हैं जितने उसके अंक हैं: 0.3636… = 36/99 = 4/11; 0.1666… = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6। और तीन दशमलव स्थानों वाला कोई भी दशमलव 1000 पर भिन्न है: 0.125 = 125/1000 = 1/8, 0.375 = 3/8, 0.625 = 5/8।

a% और b% के क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन मिलकर a + b + ab/100 का शुद्ध परिवर्तन देते हैं, चिह्न सहित। हल किया उदाहरण 1. मूल्य 20% बढ़ता है फिर 10% गिरता है: शुद्ध = 20 + (−10) + (20 × −10)/100 = 10 − 2 = +8%। ₹100 पर जाँच: 100 → 120 → 108 ✓। चूक है जोड़कर +10% पाना। हल किया उदाहरण 2. आयत की लंबाई 10% और चौड़ाई 20% बढ़ती है: क्षेत्रफल में 10 + 20 + (10 × 20)/100 = +32% परिवर्तन, 30% नहीं। हल किया उदाहरण 3. किसी नगर की जनसंख्या दो वर्ष तक प्रति वर्ष 10% बढ़ती है: 10 + 10 + 1 = +21%; 40,000 लोगों पर यह 40,000 × 1.21 = 48,400। हल किया उदाहरण 4 — विलोम आधार। यदि A का वेतन B से 25% अधिक है, तो B का वेतन A से 100 × 25/(100 + 25) = 2500/125 = 20% कम है, 25% नहीं — क्योंकि आधार B से A हो गया है। सामान्य नियम: R% की वृद्धि 100R/(100 + R)% की कमी से निरस्त होती है, और R% की कमी 100R/(100 − R)% की वृद्धि से।

हल किया उदाहरण 5 — एक अभ्यर्थी वाला उत्तीर्णांक प्रश्न। उत्तीर्ण होने को 33% चाहिए; अभ्यर्थी 125 अंक पाता है और 40 से अनुत्तीर्ण होता है। 40 से अनुत्तीर्ण का अर्थ उत्तीर्णांक 125 + 40 = 165। चूँकि 165 कुल का 33% है, कुल = 165 ÷ 0.33 = 165 × 100/33 = 500 अंक। जाँच: 500 का 33% = 165 ✓। हल किया उदाहरण 6 — y का x%। चूँकि y का x% = xy/100 = x का y%, "150 का 8%" वही है जो "8 का 150%" = 8 × 1.5 = 12 — जो सरल हो उस ओर पलट लें। और प्रतिशत-बिंदु परिवर्तन प्रतिशत परिवर्तन नहीं है: यदि किसी दल का मत-हिस्सा 40% से 50% हो जाए तो वह 10 प्रतिशत-बिंदु की वृद्धि है, पर उसके हिस्से में 10/40 = 25 प्रतिशत की वृद्धि।

तीन मूल्य हैं: क्रय मूल्य (CP) जो व्यापारी ने चुकाया, अंकित मूल्य (MP) जो टैग पर लिखा है, और विक्रय मूल्य (SP) जो वास्तव में मिला। दो प्रतिशत हैं, प्रत्येक अपने आधार पर: लाभ या हानि प्रतिशत सदा CP पर, और बट्टा प्रतिशत सदा MP पर। अतः SP = CP × (100 + लाभ%)/100 तथा SP = MP × (100 − बट्टा%)/100, और SP के ये दो व्यंजक दोनों दुनियाओं के बीच का पुल हैं। सबसे अधिक परखी जाने वाली चूक है बट्टा CP पर या लाभ MP पर लेना।

हल किया उदाहरण 1 — टैग से लागत तक। एक वस्तु ₹1,200 अंकित है, 15% बट्टे पर बिकती है, और व्यापारी फिर भी 27.5% लाभ पाता है। CP निकालें। बट्टा MP पर लगता है: SP = 1200 × 0.85 = ₹1,020। लाभ CP पर लगता है: 1020 = CP × 1.275, अतः CP = 1020 ÷ 1.275 = ₹800। जाँच: 800 × 1.275 = 1020 ✓। नामित चूकें: ₹1,020 पर रुक जाना (लाभ का चरण भूलना); 1020 × 0.725 = ₹739.50 निकालना (भाग देने के बदले SP से लाभ प्रतिशत घटाना); 1200 ÷ 1.275 = ₹941.18 निकालना (बट्टे की उपेक्षा)। हल किया उदाहरण 2 — बढ़ाकर अंकित मूल्य। 20% बट्टा देकर भी 20% लाभ पाने को व्यापारी लागत से कितना ऊपर अंकित करे? MP × 0.8 = CP × 1.2, अतः MP = CP × 1.2/0.8 = CP × 1.5 — 50% मार्क-अप, 40% नहीं।

हल किया उदाहरण 3 — दो मूल्यों पर रुपयों में लाभ। व्यापारी एक कुर्सी ₹1,080 में 10% हानि पर बेचता है। 15% लाभ के लिए उसे किस मूल्य पर बेचना चाहिए? हानि CP पर है: 1080 = CP × 0.90, अतः CP = 1080 ÷ 0.9 = ₹1,200। 15% लाभ के लिए: SP = 1200 × 1.15 = ₹1,380। चूक 1080 × 1.25 = ₹1,350 दोनों प्रतिशत (10 + 15) जोड़कर ग़लत आधार पर लगाने से आती है। हल किया उदाहरण 4 — विक्रय मूल्य के रूप में लागत। फल-विक्रेता 12 आम 15 आमों के क्रय मूल्य पर बेचता है। उसका लाभ प्रतिशत (15 − 12)/12 × 100 = 3/12 × 100 = 25% — लाभ उन 12 पर मापा जाता है जो उसने वास्तव में दिए, अर्थात लागत पर।

साधारण ब्याज केवल मूल मूलधन पर मिलता है: SI = P × R × T / 100, और मिश्रधन A = P + SI। हल किया उदाहरण 1. ₹6,000 पर 7.5% वार्षिक दर से 4 वर्ष: SI = 6000 × 7.5 × 4 / 100 = 6000 × 30 / 100 = ₹1,800; मिश्रधन ₹7,800। नामित चूकें: ₹450 केवल एक वर्ष का ब्याज है; ₹7,800 मिश्रधन है, जो ब्याज पूछे जाने पर ग़लत है; ₹1,350 तीन वर्ष का है। चक्रवृद्धि ब्याज हर वर्ष के ब्याज को पुनर्निवेश करता है, अतः n वर्ष बाद मिश्रधन A = P × (1 + R/100)ⁿ और CI = A − P। हल किया उदाहरण 2 — दो वर्ष। ₹12,000 पर 5% से 2 वर्ष: वर्ष 1 → 12,000 × 1.05 = 12,600; वर्ष 2 → 12,600 × 1.05 = 13,230; CI = 13,230 − 12,000 = ₹1,230। शॉर्टकट: प्रभावी दो-वर्षीय दर 5 + 5 + 0.25 = 10.25%, और 12,000 का 10.25% = 1,230 ✓।

हल किया उदाहरण 3 — तीन वर्ष, पंक्ति-दर-पंक्ति। ₹5,000 पर 8% वार्षिक, वार्षिक चक्रवृद्धि, 3 वर्ष। वर्ष 1: ब्याज = 5,000 का 8% = 400, मिश्रधन = 5,400। वर्ष 2: ब्याज = 5,400 का 8% = 432, मिश्रधन = 5,832। वर्ष 3: ब्याज = 5,832 का 8% = 466.56, मिश्रधन = 6,298.56। अतः CI = 6,298.56 − 5,000 = ₹1,298.56। प्रभावी तीन-वर्षीय दर से जाँच: 3r + 3r²/100 + r³/10000 = 24 + 1.92 + 0.0512 = 25.9712%, और 5,000 का 25.9712% = 1,298.56 ✓। नामित चूकें: ₹1,200 साधारण ब्याज है (5000 × 8 × 3/100); ₹832 दो वर्ष का CI है; ₹6,298.56 मिश्रधन है। अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि दर आधी और अवधियाँ दुगुनी करती है: ₹8,000 पर 10% वार्षिक, अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि, 1 वर्ष = 8,000 × 1.05 × 1.05 = 8,820, CI ₹820, वार्षिक चक्रवृद्धि के ₹800 के मुक़ाबले।

CI और SI का अंतर ब्याज पर मिला ब्याज है। 2 वर्ष के लिए यह ठीक P × (R/100)² है; 3 वर्ष के लिए P × (R/100)² × (3 + R/100)। हल किया उदाहरण 4. ₹20,000 पर 5% से 3 वर्ष: (R/100)² = 0.0025, और 3 + 0.05 = 3.05, अतः अंतर = 20,000 × 0.0025 × 3.05 = 50 × 3.05 = ₹152.50। लंबे रास्ते से पुष्टि: CI = 20,000 × 1.157625 − 20,000 = 23,152.50 − 20,000 = 3,152.50; SI = 20,000 × 5 × 3/100 = 3,000; अंतर = 152.50 ✓। विलोम प्रश्न भी इसी सूत्र से: यदि 8% पर दो-वर्षीय अंतर ₹64 है, तो P × 0.0064 = 64, अतः P = ₹10,000।

हल किया उदाहरण 1 — दो अनुपात जोड़ना। यदि A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5, तो B एक अनुपात में 3 और दूसरे में 4 है; इसे ल.स. 12 बनाएँ। पहले अनुपात को 4 से गुणा करें → A : B = 8 : 12; दूसरे को 3 से → B : C = 12 : 15। अतः A : B : C = 8 : 12 : 15। अब ₹7,000 को इस अनुपात में बाँटें: कुल भाग = 8 + 12 + 15 = 35, एक भाग = 7000 ÷ 35 = ₹200, अतः हिस्से ₹1,600, ₹2,400 तथा ₹3,000 (योग 7,000 ✓)। चूक है B को बराबर किए बिना अनुपात चिपकाकर 2 : 3 : 5 या 2 : 4 : 5 लिख देना। हल किया उदाहरण 2 — समानुपात। 6, 9 और 14 का चतुर्थ समानुपाती 6 : 9 = 14 : x से, 6x = 126 और x = 21। 4 और 25 का मध्य समानुपाती √(4 × 25) = √100 = 10। व्युत्क्रम समानुपात में गुणनफल अचर रहता है: यदि 15 आदमी दीवार 20 दिन में बनाते हैं, तो 25 आदमियों को 15 × 20 ÷ 25 = 12 दिन लगेंगे।

साझेदारी में लाभ पूँजी × समय के अनुपात में बँटता है, कभी केवल पूँजी में नहीं। हल किया उदाहरण 3. A पूरे वर्ष के लिए ₹25,000 लगाता है; B 3 माह बाद ₹40,000 के साथ जुड़ता है, अतः B का धन 9 माह काम करता है। A का भार = 25,000 × 12 = 3,00,000; B का भार = 40,000 × 9 = 3,60,000। अनुपात 300 : 360 = 5 : 6। ₹22,000 के लाभ पर एक भाग = 22,000 ÷ 11 = 2,000, अतः A को ₹10,000 और B को ₹12,000। नामित चूकें: 25 : 40 = 5 : 8 (केवल पूँजी) लेने पर B को ₹13,538; 12 : 9 (केवल समय) लेने पर B को ₹9,429। यदि B उसी धन से शुरू में जुड़ता तो अनुपात 5 : 8 होता — इसीलिए महीने महत्व रखते हैं।

औसत भेस बदला योग है: योग = औसत × संख्या। हल किया उदाहरण 4. एक बल्लेबाज़ का 10 पारियों में औसत 32 है; 11वीं पारी में औसत 42 करने को उसे कितने रन बनाने होंगे? वर्तमान योग = 32 × 10 = 320; आवश्यक योग = 42 × 11 = 462; चाहिए = 462 − 320 = 142। चूक है 42 + (42 − 32) = 52, जो भूल जाती है कि 10 की कमी पिछली दस पारियों में से हर एक पर पूरी करनी है। हल किया उदाहरण 5 — प्रतिस्थापन। 8 समिति-सदस्यों की औसत आयु 2 वर्ष बढ़ जाती है जब 30 वर्ष के सदस्य को बदला जाता है। योग 8 × 2 = 16 बढ़ा, अतः नया सदस्य 30 + 16 = 46 वर्ष का है। हल किया उदाहरण 6 — भारित औसत। खंड A (40 विद्यार्थी) का औसत 62 और खंड B (60 विद्यार्थी) का 72। संयुक्त औसत = (40 × 62 + 60 × 72) ÷ 100 = (2,480 + 4,320) ÷ 100 = 68। चूक है सादा माध्य (62 + 72)/2 = 67; उत्तर 72 के निकट होना चाहिए क्योंकि B में अधिक विद्यार्थी हैं। मिश्रण-नियम (alligation) से दोनों समूह (72 − 68) : (68 − 62) = 4 : 6 = 2 : 3 = 40 : 60 ✓ के अनुपात में हैं — वही नियम जो ₹30/किग्रा चावल को ₹45/किग्रा चावल के साथ ₹36/किग्रा पर बेचने को (45 − 36) : (36 − 30) = 9 : 6 = 3 : 2 में मिलाता है।

• प्रथम n प्राकृत संख्याओं का औसत = (n + 1)/2; क्रमागत संख्याओं या किसी समांतर अनुक्रम का = (प्रथम + अंतिम)/2; प्रथम n सम संख्याओं का = n + 1; प्रथम n विषम संख्याओं का = n।
• यदि हर मान में k जोड़ें तो औसत k बढ़ता है; यदि हर मान को k से गुणा करें तो औसत k से गुणित होता है।
• जब कोई सदस्य चला जाए और औसत d घटे, तो जाने वाला नए औसत से ऊपर था — इस स्थिति को रटने के बदले सदा योग पर लौटें।
• अनुपात मात्रा नहीं है: 3 : 5 वास्तविक संख्याओं के बारे में कुछ नहीं बताता जब तक योग या अंतर न दिया जाए — "अंतर 40 है" से एक भाग 20 और मान 60 व 100 बनते हैं।

यहाँ सब कुछ दूरी = चाल × समय और एक रूपांतरण पर टिका है: 1 किमी/घं = 5/18 मी/से। अतः 54 किमी/घं = 54 × 5/18 = 15 मी/से, 90 किमी/घं = 25 मी/से, 36 किमी/घं = 10 मी/से। आपेक्षिक चाल दो पिंडों के एक-दूसरे की ओर या विपरीत दिशा में चलने पर योग है, और एक ही दिशा में चलने पर अंतर। खंभे को पार करती रेलगाड़ी अपनी लंबाई चलती है; प्लेटफ़ॉर्म या पुल पार करते हुए अपनी लंबाई और प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई। हल किया उदाहरण 1. 180 मी की रेलगाड़ी 54 किमी/घं (= 15 मी/से) पर खंभे को 180 ÷ 15 = 12 से में और 240 मी के प्लेटफ़ॉर्म को (180 + 240) ÷ 15 = 420 ÷ 15 = 28 से में पार करती है। नामित चूकें: 16 से केवल प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई लेता है; 7.8 से इकाई बदले बिना 420 को 54 से भाग देता है। हल किया उदाहरण 2. 150 मी और 100 मी की रेलगाड़ियाँ 60 किमी/घं और 30 किमी/घं पर चलती हैं। एक-दूसरे की ओर चलने पर आपेक्षिक चाल = 90 किमी/घं = 25 मी/से, और वे (150 + 100) ÷ 25 = 10 से में पार करती हैं। एक ही दिशा में आपेक्षिक चाल = 30 किमी/घं = 25/3 मी/से, अतः तेज़ गाड़ी 250 × 3/25 = 30 से में आगे निकलती है।

औसत चाल कुल दूरी बटा कुल समय है, चालों का माध्य कभी नहीं। चाल x और y पर समान दूरियों के लिए यह हरात्मक माध्य 2xy/(x + y) है। हल किया उदाहरण 3. एक साइकिल-चालक 30 किमी/घं पर कॉलेज जाता है और 60 किमी/घं पर लौटता है। औसत चाल = 2 × 30 × 60/(30 + 60) = 3600/90 = 40 किमी/घं, 45 नहीं। 60 किमी के मार्ग से पुष्टि: जाने में 2 घं, लौटने में 1 घं, कुल 120 किमी 3 घं में = 40 किमी/घं ✓। समान समयों के लिए औसत सादा माध्य है — एक घंटा 30 पर और एक घंटा 60 पर सचमुच 45 देता है। नाव और धारा: अनुप्रवाह चाल = नाव + धारा, प्रतिप्रवाह = नाव − धारा, अतः नाव की चाल = (अनुप्रवाह + प्रतिप्रवाह)/2 और धारा की चाल = (अनुप्रवाह − प्रतिप्रवाह)/2; जो नाव 12 किमी/घं अनुप्रवाह और 8 किमी/घं प्रतिप्रवाह चलती है उसकी शांत जल में चाल 10 किमी/घं और धारा 2 किमी/घं है।

हल किया उदाहरण 4 — निकास वाले नल। नल A टंकी 6 घंटे में, नल B 8 घंटे में भरता है, और निकास C उसे 12 घंटे में खाली करता है। तीनों साथ खोले जाते हैं। कार्य = ल.स.(6, 8, 12) = 24 इकाई। A 24/6 = 4 इकाई/घं भरता है, B 24/8 = 3 इकाई/घं, C 24/12 = 2 इकाई/घं निकालता है। शुद्ध = 4 + 3 − 2 = 5 इकाई/घं, अतः टंकी 24 ÷ 5 = 4.8 घं = 4 घं 48 मिनट में भरती है। नामित चूकें: C को भरने वाला मानने पर 24/9 = 2 घं 40 मिनट; C की उपेक्षा पर 24/7 ≈ 3 घं 26 मिनट; B को भी घटाने पर 24/3 = 8 घं। हल किया उदाहरण 5 — श्रृंखला नियम। 12 आदमी प्रतिदिन 8 घंटे काम कर सड़क 15 दिन में पूरी करते हैं। 10 आदमी प्रतिदिन 9 घंटे काम कर कितने दिन लेंगे? मानव-घंटे अचर हैं: 12 × 8 × 15 = 10 × 9 × D, अतः D = 1440 ÷ 90 = 16 दिन। हल किया उदाहरण 6 — एक श्रमिक छोड़ जाता है। A और B कोई काम 12 और 24 दिन में कर सकते हैं। दोनों साथ शुरू करते हैं और A 4 दिन बाद छोड़ देता है। कार्य = 24 इकाई; A = 2 इकाई/दिन, B = 1 इकाई/दिन। 4 दिन में मिलकर 4 × 3 = 12 इकाई; शेष 12 इकाई B अकेले 1 इकाई/दिन → 12 दिन और, अतः कुल 16 दिन।

1. भाग देने से पहले हर चाल को लंबाइयों की इकाई में बदलें — किमी/घं × 5/18 → मी/से।
2. तय करें कि दूरी रेलगाड़ी की अपनी लंबाई है (खंभा, आदमी, सिग्नल) या रेलगाड़ी और वस्तु (प्लेटफ़ॉर्म, पुल, सुरंग, दूसरी रेलगाड़ी)।
3. विपरीत दिशाओं में चालें जोड़ें, एक ही दिशा में घटाएँ।
4. समान दूरियों के लिए 2xy/(x + y); समान समयों के लिए (x + y)/2।
5. कार्य में कुल = दिनों का ल.स. रखें, हर श्रमिक या नल को इकाई/दिन में बदलें, निकास को ऋणात्मक मानें, और भाग केवल अंत में दें।