गणितीय तर्कशक्ति एवं अभिवृत्ति

यूजीसी नेट प्रश्नपत्र-1 की इकाई 5 वह एकमात्र इकाई है जहाँ उत्तर मत का विषय नहीं है — वह अंकगणितीय रूप से या सही है या ग़लत। यह बहुत अच्छी ख़बर है। यहाँ से हर सत्र में पाँच प्रश्न (10 अंक) आते हैं, और शिक्षा-नीति की इकाइयों के विपरीत यहाँ कुछ भी किसी नई सरकारी अधिसूचना से नहीं बदलता। श्रृंखला, कूटलेखन, रक्त-संबंध तथा प्रतिशत, ब्याज, अनुपात, चाल और कार्य का विद्यालय-स्तरीय अंकगणित एक निश्चित, बंद पाठ्यक्रम है। यह अध्याय प्रत्येक प्रकार को पूरी गणना लिखकर सिखाता है, ताकि आपको केवल उत्तर न दिखे बल्कि वह हल-पंक्ति दिखे जिससे वह उत्तर निकला।

तर्कशक्ति के प्रकार: इकाई 5 वास्तव में क्या पूछती है

एनटीए का पाठ्यक्रम इस इकाई का शीर्षक "गणितीय तर्कशक्ति एवं अभिवृत्ति" रखता है और ठीक पाँच मदें गिनाता है: तर्कशक्ति के प्रकार; संख्या श्रृंखला, अक्षर श्रृंखला, कूट तथा संबंध; और गणितीय अभिवृत्ति जिसमें भिन्न, समय व दूरी, अनुपात, समानुपात व प्रतिशत, लाभ-हानि, ब्याज व बट्टा, तथा औसत आते हैं। ध्यान दें यह सूची कितनी सीमित है — कोई त्रिकोणमिति नहीं, द्विघात का बीजगणित नहीं, कलन नहीं। सब कुछ कक्षा 6 से 8 का अंकगणित और पैटर्न पहचान है। कठिनाई पूरी तरह गति और असावधानी में है, गणित में नहीं।

पाठ्यक्रम में नामित तर्कशक्ति के प्रकार तथा प्रत्येक की दिशा
प्रकारयह किस दिशा में चलता हैविशिष्ट नेट प्रश्न
निगमनात्मकसामान्य नियम से विशेष स्थिति तक; आधारवाक्य सत्य हों तो निष्कर्ष निश्चित।न्यायवाक्य, रक्त-संबंध, बैठक-तर्क।
आगमनात्मकविशेष प्रेक्षणों से सामान्य नियम तक; निष्कर्ष संभाव्य।संख्या व अक्षर श्रृंखला — कुछ पदों से नियम का अनुमान।
सादृश्यमूलकदो युग्मों की समानता से चौथे पद तक।चिकित्सक : चिकित्सालय :: शिक्षक : ?
शाब्दिक (अ-सांकेतिक)शब्दों और वाक्यों पर कार्य करता है।शब्दों का कूटलेखन, दिशा व क्रम-कथन।
अशाब्दिकआकृतियों, आकारों व दर्पण-प्रतिबिंबों पर।नेट प्रश्नपत्र-1 में विरले; एसएससी व बैंक में सामान्य।
गणितीय / परिमाणात्मकदी गई संख्याओं पर अंकगणितीय सूत्र लागू करता है।प्रतिशत, ब्याज, अनुपात, औसत, चाल, कार्य।
ℹ️ प्रश्नपत्र-1 का ही परीक्षा-गणित
प्रश्नपत्र-1 में 50 प्रश्न, प्रत्येक 2 अंक = 100 अंक होते हैं, जो 10 इकाइयों से 5-5 प्रश्न के रूप में आते हैं। अतः यह इकाई 10 अंक की है — शिक्षण अभिवृत्ति या पर्यावरण के बराबर। ऋणात्मक अंकन नहीं है, और यह आपकी रणनीति पूरी तरह बदल देता है: इकाई-5 का कोई प्रश्न कभी खाली न छोड़ें। यदि गणना पूरी न कर सकें तो भी दो असंभव विकल्प हटाकर शेष में से एक चुन लें — बिना दंड के 2 अंक पर आधी संभावना का अनुमान मुफ़्त लाभ है।
🎯 यह इकाई सर्वाधिक प्रतिफल वाली पुनरावृत्ति क्यों है
उच्च शिक्षा नीति, आईसीटी और पर्यावरण के प्रश्न अनंत रूप से नए ढंग से पूछे जा सकते हैं, अतः वहाँ पुनरावृत्ति का प्रतिफल घटता जाता है। अंकगणित नहीं बदलता। जो अभ्यर्थी 480 का 20%, दो वर्ष का चक्रवृद्धि-घटा-साधारण अंतर, तथा 12, 15 व 20 का ल.स. तीस सेकंड से कम में निकाल ले, वह हर प्रयास में यही 10 अंक बटोरेगा — जीवन भर। इस अध्याय के आठ सूत्र पक्के कर लें और यह इकाई जुए के बदले निश्चित जमा बन जाती है।

संख्या श्रृंखला: संख्या नहीं, नियम खोजिए

संख्या श्रृंखला का प्रश्न एक नियम छिपाता है और उसके चार-पाँच परिणाम दिखाता है। अनुशासित विधि के तीन चरण हैं, सदा इसी क्रम में। चरण 1 — क्रमागत पदों के अंतर पंक्ति के नीचे लिखें। चरण 2 — यदि अंतर अचर न हों, तो अंतरों के अंतर लें। चरण 3 — यदि अंतर से कुछ न मिले, तो अनुपात जाँचें (प्रत्येक पद को पूर्ववर्ती से भाग दें) और फिर पदों को कंठस्थ वर्ग, घन व अभाज्य सूचियों से मिलाएँ। नब्बे प्रतिशत श्रृंखलाएँ चरण 1 या 2 पर ही खुल जाती हैं।

हल किया उदाहरण 1 — अचर द्वितीय अंतर। श्रृंखला: 2, 6, 12, 20, 30, ? प्रथम अंतर हैं 6−2 = 4, 12−6 = 6, 20−12 = 8, 30−20 = 10। ये अचर नहीं हैं, पर इनके अपने अंतर 2, 2, 2 हैं — पूर्णतः अचर। अतः अगला प्रथम अंतर 10 + 2 = 12 होगा और लुप्त पद 30 + 12 = 42। उसी श्रृंखला का दूसरा पाठ: 2 = 1×2, 6 = 2×3, 12 = 3×4, 20 = 4×5, 30 = 5×6, अतः अगला 6×7 = 42। दो स्वतंत्र मार्गों का सहमत होना सबसे सस्ती जाँच है।

हल किया उदाहरण 2 — गुणा-और-जोड़ का नियम। श्रृंखला: 5, 11, 23, 47, ? अंतर हैं 6, 12, 24 — ये दुगुने हो रहे हैं, जो "×2 फिर +कुछ" नियम का लक्षण है। जाँचें: 5×2 + 1 = 11 ✓, 11×2 + 1 = 23 ✓, 23×2 + 1 = 47 ✓। अतः अगला पद 47×2 + 1 = 95। हल किया उदाहरण 3 — भेस में वर्ग। श्रृंखला: 3, 8, 15, 24, 35, ? प्रत्येक पद में 1 जोड़ें तो मिलता है 4, 9, 16, 25, 36 — 2, 3, 4, 5, 6 के वर्ग। अतः नियम n² − 1 है और अगला पद 7² − 1 = 49 − 1 = 48।

सात श्रृंखला-पैटर्न जो लगभग हर नेट प्रश्न को ढक लेते हैं
पैटर्नउदाहरण श्रृंखलानियम तथा अगला पद
अचर अंतर (समांतर)7, 12, 17, 22, ?हर बार 5 जोड़ें; अगला = 22 + 5 = 27।
अचर अनुपात (गुणोत्तर)3, 12, 48, 192, ?4 से गुणा; अगला = 192 × 4 = 768।
अभाज्यों के वर्ग4, 9, 25, 49, 121, ?2, 3, 5, 7, 11 के वर्ग; अगला = 13² = 169।
घन, थोड़े हटे हुए7, 26, 63, 124, ?n = 2,3,4,5 के लिए n³ − 1; अगला = 6³ − 1 = 216 − 1 = 215।
पिछले दो पद जोड़ें (फिबोनाची प्रकार)2, 3, 5, 8, 13, ?8 + 13 = 21।
स्व-घात1, 4, 27, 256, ?n की घात n; अगला = 5⁵ = 3125।
दो एकांतर श्रृंखलाएँ गुँथी हुई4, 20, 8, 17, 12, 14, ?विषम स्थान 4, 8, 12 में 4 की वृद्धि; सम स्थान 20, 17, 14 में 3 की कमी; अगला विषम स्थान = 16।
⚠️ एकांतर श्रृंखला का जाल
यदि अंतर लगातार बढ़ने के बदले ऊपर-नीचे झूलें — जैसे +16, −12, +9, −3 — तो एक नियम खोजना बंद कर दें। लगभग निश्चित है कि दो श्रृंखलाएँ गुँथी हुई हैं: 1ला, 3रा, 5वाँ पद एक श्रृंखला और 2रा, 4था, 6ठा दूसरी पढ़ें। प्रश्न-निर्माता इसे पसंद करते हैं क्योंकि एकल नियम ढूँढ़ता अभ्यर्थी नब्बे सेकंड जला देता है और फिर अनुमान लगाता है। पहचान का चिह्न है वह अंतर-पंक्ति जो चिह्न बदलती है।

असंगत पद और ग़लत पद वाले प्रश्न वही कौशल हैं, बस पोशाक बदली है। श्रृंखला: 8, 27, 64, 100, 125, 216 — वह पद खोजें जो मेल नहीं खाता। इन्हें घन के रूप में पढ़ें: 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64, 5³ = 125, 6³ = 216। 100 को छोड़कर हर पद पूर्ण घन है; 100 तो 10² है पर घन नहीं (4³ = 64 और 5³ = 125 उसके दोनों ओर हैं)। अतः 100 घुसपैठिया है; वहाँ 125 होना चाहिए — और 125 पहले से मौजूद है, जो पुष्टि करता है कि 100 अतिरिक्त है।

अक्षर श्रृंखला तथा अक्षरांकीय श्रृंखला

हर अक्षर-श्रृंखला का प्रश्न उसी क्षण संख्या-श्रृंखला बन जाता है जब आप प्रत्येक अक्षर को उसके वर्णमाला-स्थान से बदल देते हैं। अतः एक ही कार्य तत्काल आना चाहिए — दोनों दिशाओं में रूपांतरण। सीधे स्थान A = 1 से Z = 26 तक हैं; किसी अक्षर का उल्टा स्थान है 27 घटा उसका सीधा स्थान, क्योंकि 1 + 26 = 27। अतः L सीधे 12 है, और 27 − 12 = 15, जो O है — L और O दर्पण-साथी हैं।

🧠 EJOTY — पाँच लंगर पर्याप्त हैं
26 संख्याएँ न रटें; पाँच रटें। E = 5, J = 10, O = 15, T = 20, Y = 25 — शब्द EJOTY। तब कोई भी अक्षर किसी लंगर से अधिकतम दो कदम दूर है। R चाहिए? T = 20, अतः R, T से दो पहले, यानी 18। M चाहिए? J = 10, अतः K = 11, L = 12, M = 13। दो सेकंड, A से गिनना नहीं। उल्टे स्थानों के लिए युग्म याद रखें A–Z, B–Y, C–X, D–W, E–V तथा मध्य युग्म M–N।

हल किया उदाहरण 1. पूरा करें: B, D, G, K, P, ? रूपांतरण: B = 2, D = 4, G = 7, K = 11, P = 16। अंतर हैं 2, 3, 4, 5 — अतः अगला अंतर 6, जिससे 16 + 6 = 22। और 22 है V (क्योंकि T = 20, U = 21, V = 22)। हल किया उदाहरण 2. पूरा करें: Z, X, V, T, ? रूपांतरण: 26, 24, 22, 20 — हर बार 2 की कमी, अतः अगला 18, जो R है। हल किया उदाहरण 3. पूरा करें: A, C, F, J, O, ? स्थान 1, 3, 6, 10, 15 त्रिभुजाकार संख्याएँ हैं, जो 2, 3, 4, 5 से बढ़ती हैं; अगली वृद्धि 6, जिससे 21 = U।

अक्षरांकीय श्रृंखला एक ही पंक्ति होती है जिसमें अंक, अक्षर और कभी-कभी चिह्न मिले होते हैं, और उसके बाद गणना के प्रश्न आते हैं। यहाँ कोई पैटर्न नहीं खोजना — केवल सावधानी से पढ़ना है। पंक्ति लें: 5 B 9 K 3 T P 7 M 2 J 8 D 4। प्रश्न: कितने अक्षर ऐसे हैं जिनके तुरंत पहले अंक हो और तुरंत बाद भी अंक हो? बाएँ से दाएँ चलकर प्रत्येक अक्षर जाँचें। B, 5 और 9 के बीच ✓। K, 9 और 3 के बीच ✓। T के पहले 3 है पर बाद में अक्षर P ✗। P के पहले अक्षर T ✗। M, 7 और 2 के बीच ✓। J, 2 और 8 के बीच ✓। D, 8 और 4 के बीच ✓। पाँच अक्षर योग्य हैं — B, K, M, J तथा D — अतः सही गणना 5 है।

⚠️ "पहले" बनाम "बाद"
किसी भी पैटर्न से अधिक अंक इसी एक वाक्यांश से जाते हैं। "X के ठीक पहले Y" का अर्थ है पंक्ति में क्रम है Y फिर X — Y पहले आता है। "X के ठीक बाद Y" का अर्थ है पंक्ति में X फिर Y। समय के दबाव में अभ्यर्थी इन्हें उलट देते हैं। एक-शब्द की आदत से ठीक करें: गिनने से पहले शीट पर वह दो-अक्षर का क्रम लिख लें जिसे आप खोज रहे हैं, फिर ठीक उसी युग्म के लिए पंक्ति देखें। यह भेद अंग्रेज़ी प्रश्नपत्र में "preceded by" तथा "followed by" के रूप में आता है।

कूट तथा कूटलेखन–कूटवाचन

कूट का प्रश्न एक शब्द और उसका कूट देकर दूसरे शब्द का कूट बनाने या पढ़ने को कहता है। पूरा कार्य रूपांतरण खोजना है, और संभावनाएँ गिनी-चुनी हैं। इस क्रम में जाँचें: (1) क्या प्रत्येक अक्षर एक निश्चित संख्या से आगे या पीछे खिसका है? (2) क्या प्रत्येक अक्षर अपने विपरीत अक्षर से बदला है, A↔Z? (3) क्या शब्द खिसकाने से पहले या बाद उलटा गया है? (4) क्या अक्षर अपने स्थान-अंकों या उनके योग से बदले हैं? (5) क्या यह प्रतिस्थापन कूट है जहाँ पूरे शब्द दूसरे शब्दों के लिए खड़े हैं?

हल किया उदाहरण 1 — एक स्थान पीछे। यदि GARDEN को FZQCDM लिखा जाए तो FLOWER कैसे लिखा जाएगा? शब्दों को अक्षर-दर-अक्षर मिलाएँ: G→F, A→Z, R→Q, D→C, E→D, N→M। प्रत्येक अक्षर एक स्थान पीछे गया है, और A लपेटकर Z बन गया। यही FLOWER पर लगाएँ: F→E, L→K, O→N, W→V, E→D, R→Q। कूट है EKNVDQ। ध्यान दें दिए गए युग्म में A→Z का लपेटना ही पुष्टि थी — उसके बिना आप कुछ अधिक जटिल होने का संदेह कर सकते थे।

हल किया उदाहरण 2 — विपरीत-अक्षर कूट। किसी कूट में LIGHT को ORTSG लिखा जाता है। 27 के नियम से जाँचें: L = 12, और 27 − 12 = 15 = O ✓। I = 9, 27 − 9 = 18 = R ✓। G = 7, 27 − 7 = 20 = T ✓। H = 8, 27 − 8 = 19 = S ✓। T = 20, 27 − 20 = 7 = G ✓। अतः प्रत्येक अक्षर अपने दर्पण से बदला है। अब DARK का कूट बनाएँ: D = 4 → 23 = W; A = 1 → 26 = Z; R = 18 → 9 = I; K = 11 → 16 = P। DARK बनता है WZIP।

कूट के पाँच प्रकार, प्रत्येक की पहचान-जाँच के साथ
प्रकारदिया गया युग्मनियम तथा दूसरा प्रयोग
आगे खिसकावTEACHER → UFBDIFSप्रत्येक अक्षर +1। अतः SCHOOL → TDIPPM।
पीछे खिसकावGARDEN → FZQCDMप्रत्येक अक्षर −1। अतः FLOWER → EKNVDQ।
विपरीत अक्षर (A↔Z)LIGHT → ORTSGn को 27 − n से बदलें। अतः DARK → WZIP।
उलटाव, फिर खिसकावDELHI → JIMFEउलटकर IHLED, फिर प्रत्येक +1: JIMFE। अतः PATNA → उलटा ANTAP, +1 → BOUBQ।
अंकीय (स्थानों का योग)MAT → 34M + A + T = 13 + 1 + 20 = 34। अतः CAT = 3 + 1 + 20 = 24।

प्रतिस्थापन कूट वह प्रकार है जहाँ पूरे शब्द बदल दिए जाते हैं, और उत्तर शुद्ध निराकरण से मिलता है। मानें: "pit dar sam" का अर्थ है "तुम अच्छे हो", "dar tir jo" का अर्थ है "वे ईमानदार हैं", तथा "sam kal jo" का अर्थ है "तुम और ईमानदार"। पहली दो पंक्तियाँ मिलाएँ: साझा अंग्रेज़ी शब्द केवल are है और साझा कूट-शब्द केवल dar, अतः dar = are। पहली और तीसरी मिलाएँ: साझा शब्द you और साझा कूट sam, अतः sam = you। पहली पंक्ति में बचा pit = good। तीसरी का दूसरी से साझा कूट jo है और साझा अंग्रेज़ी शब्द honest, अतः jo = honest और इसलिए kal = and।

🧠 खिसकाव अंतिम अक्षर पर भी जाँचें
प्रश्न-निर्माता की एक अत्यंत सामान्य चाल ऐसा कूट है जिसमें खिसकाव पहले आधे में +1 और दूसरे आधे में −1 हो, अथवा +1, +2, +3, … अक्षर-दर-अक्षर बढ़ता हो। यदि आप नियम केवल पहले दो अक्षरों पर जाँचेंगे तो पूरे विश्वास से ग़लत विकल्प चुन लेंगे। अनुशासन: लक्ष्य शब्द को छूने से पहले दिए गए युग्म के प्रत्येक अक्षर पर रूपांतरण जाँचें। इसमें चार सेकंड लगते हैं और यह इस भाग की सबसे लाभदायक आदत है।

संबंध: रक्त-संबंध तथा कूटबद्ध संबंध

संबंध का प्रश्न कभी मन में हल न करें। क्षैतिज परतों में वंश-वृक्ष बनाएँ: एक ही पीढ़ी के सब एक पंक्ति में, माता-पिता ऊपर की पंक्ति में, संतान नीचे की पंक्ति में। पुरुष पर धन-चिह्न और स्त्री पर ऋण-चिह्न लगाएँ; पति-पत्नी को क्षैतिज दोहरी रेखा जोड़ती है; माता-पिता से संतान तक ऊर्ध्व रेखा गिरती है। कथन एक-एक करके पढ़ें, प्रति कथन ठीक एक चिह्न जोड़ें, और जो लिंग प्रश्न ने न दिया हो उसका अनुमान कभी न लगाएँ।

हल किया उदाहरण 1. A, B का भाई है। B, C की पुत्री है। C, D का पुत्र है। A का D से क्या संबंध है? एक-एक कथन लें। "B, C की पुत्री है" से C को B से एक परत ऊपर रखें। "A, B का भाई है" से A को B की ही परत पर रखें, और यह भी पता चला कि A पुरुष है — अतः A भी C की संतान है। "C, D का पुत्र है" से D को C से एक परत ऊपर रखें और यह भी पता चला कि C पुरुष है, अतः C, A और B का पिता है। अब D से परतें गिनें: C, D की संतान है और A, C की संतान, अतः A, D से दो परत नीचे और पुरुष है। इसलिए A, D का पौत्र (नाती) है। ध्यान दें प्रश्न कहीं नहीं बताता कि D पुरुष है या स्त्री, अतः "A, D का पौत्र है" इससे अधिक हम नहीं कह सकते।

हल किया उदाहरण 2 — छायाचित्र प्रकार। एक छायाचित्र की ओर संकेत करते हुए एक व्यक्ति कहता है, "वह मेरे दादा के एकमात्र पुत्र का पुत्र है।" छायाचित्र वाले व्यक्ति का वक्ता से क्या संबंध है? वाक्यांश को भीतर से बाहर खोलें, यही एकमात्र भरोसेमंद क्रम है। भीतरी टुकड़ा है "मेरे दादा"। आगे, "मेरे दादा का एकमात्र पुत्र" — क्योंकि दादा का ठीक एक पुत्र है और वक्ता उसी वंश से है, वह पुत्र वक्ता का पिता ही होगा। अंत में, "मेरे पिता का पुत्र" या तो वक्ता स्वयं है या कोई भाई; चूँकि वाक्य किसी अन्य व्यक्ति की ओर संकेत करते हुए "वह" कहता है, छायाचित्र में वक्ता का भाई है।

नेट में वास्तव में प्रयुक्त संबंध-शब्दावली
प्रश्न में शब्दआरेख में अर्थपरत का अंतर
दादा / दादीपिता का पिता / पिता की मातादो परत ऊपर
नाना / नानीमाता का पिता / माता की मातादो परत ऊपर
चाचा / बुआपिता का भाई / पिता की बहनएक परत ऊपर, बगल में
मामा / मौसीमाता का भाई / माता की बहनएक परत ऊपर, बगल में
भतीजा-भांजा / भतीजी-भांजीभाई या बहन का पुत्र / पुत्रीएक परत नीचे, बगल में
चचेरा / ममेरा भाई-बहनचाचा-मामा-बुआ-मौसी की संतानवही परत, बगल में
जीजा-देवर-साला / भाभी-ननद-सालीजीवनसाथी का भाई-बहन, या भाई-बहन का जीवनसाथीवही परत, विवाह से

कूटबद्ध संबंध शब्दों के स्थान पर चिह्न रखते हैं। मानें: A + B का अर्थ A, B का पिता है; A − B का अर्थ A, B की पत्नी है; A × B का अर्थ A, B का भाई है; A ÷ B का अर्थ A, B की पुत्री है। तो P + Q − R से P और R के विषय में क्या पता चलता है? बाएँ से दाएँ युग्मों में पढ़ें। "P + Q" से P, Q का पिता है। "Q − R" से Q, R की पत्नी है, जिससे यह भी पता चला कि Q स्त्री है — किसी की पुत्री होने के अनुरूप। अतः R, Q का पति है और P, Q का पिता; कोई पुरुष अपनी पुत्री के पति का ससुर होता है। इसलिए P, R का ससुर है।

⚠️ लिंग का अनुमान कभी नहीं
इस भाग का सबसे सामान्य ग़लत उत्तर चुपचाप लिंग मान लेने से आता है। "A, B की संतान है" से A पुत्र नहीं बन जाता। "C, D का जीवनसाथी है" से C पत्नी नहीं बन जाती। यदि कोई कथन लिंग खुला छोड़ता है तो सही विकल्प भी उसे खुला छोड़ेगा — अतः जब आँकड़े केवल "भाई-बहन" तक ले जाते हों तब "भाई" कहने वाला विकल्प भ्रमक है, उत्तर नहीं। शीट पर हर नामित व्यक्ति को घेरें और उसके आगे पु, स्त्री, या प्रश्नचिह्न लिखें; फिर जाँचें कि आपका चुना विकल्प किसी प्रश्नचिह्न पर निर्भर न हो।

भिन्न, दशमलव, अनुपात, समानुपात तथा प्रतिशत

इस इकाई का लगभग प्रत्येक अंकगणित प्रश्न वास्तव में भेस बदला प्रतिशत प्रश्न है, और प्रतिशत का काम भिन्न में बदलने पर सबसे तेज़ होता है। किसी संख्या का 25% निकालना 4 से भाग देना है; 12.5% निकालना 8 से भाग देना है। मानक रूपांतरण एक बार सीख लें और प्रश्नों की एक पूरी श्रेणी मानसिक गणित बन जाती है। दशमलव के बिना भिन्नों की तुलना के लिए तिर्यक गुणा करें: 3/7 और 5/11 की जाँच में 3 × 11 = 33 तथा 5 × 7 = 35; चूँकि 33 < 35, भिन्न 3/7 छोटी है। तुलना में 7/15 जोड़ें: 5 × 15 = 75 बनाम 7 × 11 = 77, अतः 5/11 < 7/15। इसलिए आरोही क्रम है 3/7 < 5/11 < 7/15 (दशमलव में 0.4286, 0.4545 तथा 0.4667)।

याद रखने योग्य भिन्न–प्रतिशत रूपांतरण
भिन्नप्रतिशतइसे इस रूप में प्रयोग करें
1/2, 1/4, 3/450%, 25%, 75%आधा, चौथाई, या तीन-चौथाई लें।
1/3, 2/333⅓%, 66⅔%3 से भाग, या 3 से भाग देकर दुगुना।
1/5, 2/5, 3/520%, 40%, 60%5 से भाग देकर गुणा करें।
1/616⅔%20% वृद्धि का व्युत्क्रम-साथी।
1/8, 3/8, 5/8, 7/812.5%, 37.5%, 62.5%, 87.5%8 से भाग; सब ठीक दशमलव देते हैं।
1/9, 1/11, 1/1211⅑%, 9 1/11%, 8⅓%क्रमिक परिवर्तन के प्रश्नों में आते हैं।
1/16, 1/20, 1/256.25%, 5%, 4%सामान्य ब्याज व बट्टा दरें।

अनुपात: श्रृंखला बनाना। यदि A : B = 3 : 4 और B : C = 6 : 7 है, तो हम सीधे 3 : 4 : 7 नहीं लिख सकते, क्योंकि एक अनुपात में B, 4 है और दूसरे में 6। दोनों में B बराबर करने के लिए 4 और 6 का ल.स. लें, जो 12 है। पहले अनुपात को 3 से गुणा करें: A : B = 9 : 12; दूसरे को 2 से: B : C = 12 : 14। अब श्रृंखला बनी A : B : C = 9 : 12 : 14। 1750 रुपये इस अनुपात में बाँटें: भाग जुड़कर 9 + 12 + 14 = 35, अतः एक भाग = 1750 ÷ 35 = 50, जिससे A = 9 × 50 = 450, B = 12 × 50 = 600, C = 14 × 50 = 700। जाँच: 450 + 600 + 700 = 1750 ✓।

समानुपात तथा आयु का प्रश्न। समानुपात a : b = c : d में बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है, अतः ad = bc। 9 और 25 का मध्य समानुपाती वह x है जिसमें 9 : x = x : 25, अतः x² = 225 और x = 15। अब एक चिरपरिचित अनुपात-और-समय प्रश्न। A तथा B की वर्तमान आयु का अनुपात 4 : 5 है, और 6 वर्ष बाद अनुपात 5 : 6 हो जाता है। आयु 4x और 5x मानें। तब (4x + 6) : (5x + 6) = 5 : 6, अतः तिर्यक गुणा से 6(4x + 6) = 5(5x + 6), यानी 24x + 36 = 25x + 30, जिससे x = 6। अतः आयु 4 × 6 = 24 तथा 5 × 6 = 30। जाँच: 6 वर्ष बाद ये 30 और 36 हैं, और 30 : 36 = 5 : 6 ✓।

प्रतिशत: दो सूत्र जो अधिकांश प्रश्नों का उत्तर देते हैं। पहला, क्रमिक परिवर्तन: यदि कोई राशि पहले a% और फिर b% बदलती है, तो कुल परिवर्तन a + b + ab/100 प्रतिशत है, जहाँ कमी को ऋणात्मक संख्या के रूप में रखते हैं। 20% वृद्धि के बाद 20% कमी देती है 20 − 20 − 400/100 = −4%, यानी 4 प्रतिशत की शुद्ध हानि — कभी शून्य नहीं। 100 रुपये पर जाँचें: वह 120 बनता है, फिर 120 × 0.8 = 96। दूसरा, व्युत्क्रम नियम: यदि किसी वस्तु का मूल्य R% बढ़े, तो व्यय अपरिवर्तित रखने के लिए खपत 100R/(100 + R) प्रतिशत घटानी होगी। 25% वृद्धि पर यह 2500/125 = 20% है। जाँच: 100 रुपये मूल्य पर 100 इकाई का खर्च 10,000 रुपये; नए मूल्य 125 पर 10,000 रुपये से 80 इकाई मिलती हैं — ठीक 20% कम।

हल किया उदाहरण — उत्तीर्णांक। एक अभ्यर्थी जो कुल का 40% अंक पाता है वह 20 अंकों से अनुत्तीर्ण होता है; दूसरा जो 50% पाता है उसे उत्तीर्णांक से 15 अंक अधिक मिलते हैं। कुल अंक तथा उत्तीर्णांक निकालें। कुल को T मानें। पहले अभ्यर्थी से उत्तीर्णांक = 0.40T + 20। दूसरे से उत्तीर्णांक = 0.50T − 15। दोनों उसी उत्तीर्णांक को बताते हैं, अतः 0.40T + 20 = 0.50T − 15, जिससे 35 = 0.10T और T = 350। उत्तीर्णांक = 0.40 × 350 + 20 = 140 + 20 = 160। दूसरे अभ्यर्थी से जाँच: 0.50 × 350 = 175, और 175 − 160 = 15 ✓।

🧠 100 रुपये की चाल
जब प्रश्न केवल प्रतिशत देकर प्रतिशत ही पूछे, तो आरंभिक राशि 100 मान लें — या भिन्न आने पर हरों का ल.स.। हर कुरूप गणना सरल जोड़ बन जाती है। "लंबाई 20% बढ़ी, चौड़ाई 10% घटी: क्षेत्रफल का क्या होगा?" 10 × 10 = 100 लें। नई लंबाई 12, नई चौड़ाई 9, नया क्षेत्रफल 108। क्षेत्रफल 8% बढ़ा। न सूत्र, न बीजगणित, न त्रुटि।

लाभ-हानि, बट्टा, साधारण तथा चक्रवृद्धि ब्याज

प्रश्नों का यह पूरा परिवार इस बात पर टिका है कि प्रतिशत किस संख्या पर लिया जाता है। लाभ और हानि का प्रतिशत सदा क्रय मूल्य पर होता है। बट्टा सदा अंकित मूल्य (सूची मूल्य) पर होता है। ब्याज सदा मूलधन पर — साधारण ब्याज में हर वर्ष मूल मूलधन पर; चक्रवृद्धि में मूलधन तथा उस पर जुड़े ब्याज पर। आधार सही पकड़ लें और शेष एक गुणा है।

सूत्र-पत्रक — ये आठ पंक्तियाँ कंठस्थ करें
राशिसूत्रहल किया अंक
लाभ %(वि.मू. − क्र.मू.) ÷ क्र.मू. × 100क्र.मू. 400, वि.मू. 500: 100 ÷ 400 × 100 = 25%।
वि.मू. व हानि % से क्र.मू.क्र.मू. = वि.मू. ÷ (1 − हानि/100)वि.मू. 480, 20% हानि: 480 ÷ 0.8 = 600।
बट्टे के बाद वि.मू.वि.मू. = अं.मू. × (1 − d/100)अं.मू. 800 पर 25% बट्टा: 800 × 0.75 = 600।
दो क्रमिक बट्टेशुद्ध % = d₁ + d₂ − d₁d₂/10025% व 20%: 45 − 5 = 40% छूट।
साधारण ब्याजसा.ब्या. = मू × द × स ÷ 100मू 12000, द 8%, स 3: 12000 × 8 × 3 ÷ 100 = 2880।
चक्रवृद्धि मिश्रधनमि = मू(1 + द/100)ᵀमू 10000, द 10%, स 2: 10000 × 1.21 = 12100।
2 वर्ष का चक्र.−सा. अंतरअंतर = मू × (द/100)²मू 10000, द 10%: 10000 × 0.01 = 100।
सा.ब्या. से धन दुगुना होने का समयस = 100 ÷ द10% पर: 100 ÷ 10 = 10 वर्ष।

हल किया उदाहरण 1 — अंकित मूल्य, बट्टा और लाभ एक साथ। एक दुकानदार वस्तु पर 800 रुपये अंकित करता है, 25% बट्टा देता है, और फिर भी 20% लाभ कमाता है। क्रय मूल्य निकालें। पहले विक्रय मूल्य, क्योंकि बट्टा अंकित मूल्य पर लगता है: वि.मू. = 800 × (1 − 0.25) = 800 × 0.75 = 600 रुपये। अब लाभ क्रय मूल्य पर लगता है, अतः वि.मू. = क्र.मू. × 1.20, जिससे क्र.मू. = 600 ÷ 1.20 = 500 रुपये। दोनों तरह जाँचें: 800 पर 25% बट्टा 200 की कमी है, बचा 600 ✓; और 500 का 20% = 100, अतः 500 + 100 = 600 ✓।

हल किया उदाहरण 2 — दोनों का विक्रय मूल्य समान। एक व्यापारी दो वस्तुएँ समान मूल्य पर बेचता है, एक पर 20% लाभ और दूसरी पर 20% हानि। कुल परिणाम क्या है? सामान्य विक्रय मूल्य प्रत्येक 100 रुपये मानें। पहली वस्तु का क्रय मूल्य 100 ÷ 1.20 = 83.33 रुपये; दूसरी का 100 ÷ 0.80 = 125 रुपये। कुल क्रय = 83.33 + 125 = 208.33 रुपये, कुल विक्रय = 200 रुपये। अतः 208.33 पर 8.33 रुपये की हानि, जो 8.33 ÷ 208.33 × 100 = 4% हानि है। संक्षिप्त विधि: जब समान मूल्य पर x% लाभ और x% हानि हो, परिणाम सदा x²/100 प्रतिशत की हानि होता है — यहाँ 400/100 = 4%।

हल किया उदाहरण 3 — चक्रवृद्धि ब्याज चरण-दर-चरण। 8000 रुपये पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज निकालें। पहला वर्ष: ब्याज = 8000 का 5% = 400, अतः मिश्रधन 8400। दूसरा वर्ष: ब्याज = 8400 का 5% (8000 का नहीं) = 420, अतः मिश्रधन 8820। चक्रवृद्धि ब्याज = 8820 − 8000 = 820 रुपये। इसी अवधि का साधारण ब्याज होगा 8000 × 5 × 2 ÷ 100 = 800 रुपये, अतः अंतर 20 रुपये — ठीक वही जो सूत्र मू(द/100)² बताता है: 8000 × 0.05 × 0.05 = 20 ✓। यदि ब्याज अर्धवार्षिक संचक्रित हो, तो दर आधी और अवधियाँ दुगुनी करेंगे: 8000 × (1.025)⁴ = 8830.50 रुपये, यानी लगभग 830.50 रुपये चक्रवृद्धि ब्याज — अधिक बार संचक्रण सदा अधिक कमाता है।

⚠️ क्रमिक प्रतिशत कभी सीधे नहीं जुड़ते
20% और 10% के दो बट्टे मिलकर 30% का बट्टा नहीं हैं। 2500 रुपये के अंकित मूल्य पर 2500 × 0.8 = 2000, फिर 2000 × 0.9 = 1800 रुपये — कुल कमी 700 रुपये, जो 28% है, 30% नहीं। एकल तुल्य बट्टा सदा योग से कम होता है, क्योंकि दूसरा बट्टा पहले से घटी राशि पर लगता है। इसी तर्क से दो क्रमिक वृद्धियाँ अपने योग से अधिक हो जाती हैं। हर प्रश्न-निर्माता भोला योग चारों विकल्पों में रखता है; उसे जाल पहचानकर आगे बढ़ें।

औसत, समय–चाल–दूरी तथा समय व कार्य

औसत केवल भेस बदला योग है: औसत × संख्या = कुल। यही एक पुनर्व्यवस्था औसत के लगभग हर प्रश्न को हल कर देती है। प्रथम n प्राकृत संख्याओं का औसत (n + 1)/2 है, अतः प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं का औसत 11/2 = 5.5। यदि 5 संख्याओं का औसत 27 है और संख्या 35 हटा दी जाए, तो कुल 5 × 27 = 135 से घटकर 135 − 35 = 100 हो जाता है, और शेष 4 का औसत 100 ÷ 4 = 25। यदि 30 विद्यार्थियों की औसत आयु 14 वर्ष है और शिक्षक को जोड़ने पर 15 हो जाती है, तो शिक्षक की आयु 31 × 15 − 30 × 14 = 465 − 420 = 45 वर्ष है।

हल किया उदाहरण — अतिव्यापी औसत का प्रश्न। 11 संख्याओं का औसत 50 है। पहली 6 का औसत 49 और अंतिम 6 का औसत 52 है। छठी संख्या निकालें। हर औसत को कुल में बदलें: सभी ग्यारह का योग 11 × 50 = 550; पहली छह का योग 6 × 49 = 294; अंतिम छह का योग 6 × 52 = 312। ध्यान दें 294 + 312 = 606 में छठी संख्या दो बार गिनी गई है, क्योंकि वह दोनों समूहों में है। अतः छठी संख्या = 606 − 550 = 56।

⚠️ औसत चाल, चालों का औसत नहीं है
एक कार नगर P से Q तक 40 किमी/घंटा से जाती है और 60 किमी/घंटा से लौटती है। औसत चाल 50 किमी/घंटा नहीं है, क्योंकि कार धीमी चाल पर अधिक समय बिताती है। औसत चाल सदा कुल दूरी ÷ कुल समय है। समान दूरियों पर चाल x और y के लिए हरात्मक माध्य 2xy/(x + y) लें = 2 × 40 × 60 ÷ 100 = 48 किमी/घंटा। 120 किमी की यात्रा पर जाँचें: जाने में 3 घंटे, लौटने में 2 घंटे, अतः 5 घंटे में 240 किमी = 48 किमी/घंटा ✓। सादा औसत 50 तभी लागू होता है जब दोनों समय बराबर हों, दूरियाँ नहीं।

समय, चाल और दूरी। एक ही रूपांतरण चाहिए — 1 किमी/घंटा = 5/18 मी/से, अतः मीटर प्रति सेकंड में जाते समय 5/18 से गुणा और बाहर आते समय 18/5 से। इस प्रकार 54 किमी/घंटा = 54 × 5/18 = 15 मी/से। 180 मीटर लंबी रेलगाड़ी 54 किमी/घंटा से किसी खंभे को 180 ÷ 15 = 12 सेकंड में पार करती है, क्योंकि खंभे के लिए गाड़ी केवल अपनी लंबाई तय करती है। वही गाड़ी 270 मीटर लंबे प्लेटफ़ॉर्म को पार करने में 180 + 270 = 450 मीटर तय करेगी, यानी 450 ÷ 15 = 30 सेकंड। नाव में अनुप्रवाह चाल = नाव + धारा तथा प्रतिप्रवाह चाल = नाव − धारा: 3 किमी/घंटा धारा में 12 किमी/घंटा की नाव नीचे 15 और ऊपर 9 किमी/घंटा चलती है, अतः 45 किमी अनुप्रवाह में 3 घंटे और वापसी में 5 घंटे लगते हैं।

🧠 ल.स. विधि हर समय-कार्य प्रश्न निपटा देती है
भिन्न न जोड़ें। दिए गए दिनों का ल.स. कुल कार्य की इकाइयाँ मान लें, तब प्रत्येक कर्मी का दैनिक उत्पादन पूर्ण संख्या बन जाता है। A कोई काम 20 दिन में और B 30 दिन में करता है: कुल कार्य = ल.स.(20, 30) = 60 इकाई। तब A करता है 60 ÷ 20 = 3 इकाई/दिन और B करता है 60 ÷ 30 = 2 इकाई/दिन, अतः मिलकर 5 इकाई/दिन और 60 ÷ 5 = 12 दिन में समाप्त। नल भी इसी तरह चलते हैं, खाली करने वाले नल ऋणात्मक गिने जाते हैं: A 12 घंटे में और B 15 घंटे में भरे पर C 20 घंटे में खाली करे — कुल 60 इकाई, अतः शुद्ध दर 5 + 4 − 3 = 6 इकाई/घंटा और टंकी 10 घंटे में भरती है।

हल किया उदाहरण — तीसरा कर्मी खोजना। A, B और C मिलकर एक काम 10 दिन में पूरा करते हैं, जबकि A और B मिलकर 12 दिन लेते हैं। C अकेले कितना समय लेगा? कुल कार्य = ल.स.(10, 12) = 60 इकाई। तीनों मिलकर करते हैं 60 ÷ 10 = 6 इकाई/दिन; A और B मिलकर 60 ÷ 12 = 5 इकाई/दिन। घटाने पर C अकेले करता है 6 − 5 = 1 इकाई/दिन, अतः C अकेले 60 ÷ 1 = 60 दिन लेगा। इससे जुड़ा व्यक्ति-दिन का विचार उतना ही सरल है: यदि 12 व्यक्ति एक दीवार 18 दिन में बनाते हैं, तो काम 12 × 18 = 216 व्यक्ति-दिन है, अतः 8 व्यक्ति 216 ÷ 8 = 27 दिन लेंगे।

संख्या-गुण: ल.स., म.स., विभाज्यता तथा आधारभूत क्षेत्रमिति

अभाज्य गुणनखंड कर दें और म.स. तथा ल.स. दोनों तुरंत निकल आते हैं। 72 और 120 लें: 72 = 2³ × 3² तथा 120 = 2³ × 3 × 5। म.स. प्रत्येक साझा अभाज्य को उसकी निम्नतम घात पर लेता है, जिससे 2³ × 3 = 24। ल.स. प्रत्येक अभाज्य को उसकी उच्चतम घात पर लेता है, जिससे 2³ × 3² × 5 = 360। सर्वसमिका म.स. × ल.स. = संख्याओं का गुणनफल से जाँचें: 24 × 360 = 8640, और 72 × 120 = 8640 ✓। कौन-सा कौन है यह आकार से याद रखें: म.स. छोटी संख्या से कभी अधिक नहीं हो सकता, और ल.स. बड़ी संख्या से कभी कम नहीं।

हल किया उदाहरण — शेषफल का प्रश्न। वह न्यूनतम संख्या निकालें जो 12, 15 और 20 से भाग देने पर प्रत्येक बार 5 शेष छोड़े। तीनों से पूर्णतः विभाज्य संख्या उनके ल.स. का गुणज होगी। गुणनखंड: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 20 = 2² × 5, अतः ल.स. = 2² × 3 × 5 = 60। इसलिए प्रत्येक भाजक से 5 शेष छोड़ने वाली न्यूनतम संख्या 60 + 5 = 65 है। तीनों जाँचें: 65 ÷ 12 = 5, शेष 5 ✓; 65 ÷ 15 = 4, शेष 5 ✓; 65 ÷ 20 = 3, शेष 5 ✓। साथी पैटर्न भी देखें: यदि संख्या हर बार समान मात्रा से कम पड़े — मानें शेष 7, 10 और 15 छोड़े — तो ल.स. में से समान कमी 5 घटाकर 55 मिलेगा।

विभाज्यता के नियम, प्रत्येक के साथ जाँचा हुआ उदाहरण
भाजकजाँचजाँचा हुआ उदाहरण
3अंकों का योग 3 से विभाज्य।3924 → 3+9+2+4 = 18, 3 से विभाज्य ✓।
4अंतिम दो अंक 4 का गुणज बनाएँ।3924 → 24 = 4 × 6 ✓।
7अंतिम अंक दुगुना कर शेष से घटाएँ; दोहराएँ।672 → 67 − 4 = 63, 7 का गुणज ✓ (672 = 7 × 96)।
8अंतिम तीन अंक 8 का गुणज बनाएँ।5128 → 128 = 8 × 16 ✓।
9अंकों का योग 9 से विभाज्य।3924 → 18, 9 से विभाज्य ✓ (3924 = 9 × 436)।
11अंकों का एकांतर योग 11 से विभाज्य (शून्य सहित)।4832718 → 8−1+7−2+3−8+4 = 11 ✓ (= 11 × 439338)।
6, 12, 15सह-अभाज्य गुणनखंडों की दोनों जाँच लगाएँ।3924, 4 व 9 दोनों पास करता है, अतः 36 से विभाज्य (= 36 × 109) ✓।

आधारभूत क्षेत्रमिति। मुट्ठी भर सूत्र नेट की हर मांग पूरी कर देते हैं। 12 सेमी × 5 सेमी के आयत का क्षेत्रफल 12 × 5 = 60 वर्ग सेमी, परिमाप 2(12 + 5) = 34 सेमी, तथा विकर्ण √(144 + 25) = √169 = 13 सेमी। 7 सेमी त्रिज्या के वृत्त का क्षेत्रफल (22/7) × 49 = 154 वर्ग सेमी और परिधि 2 × (22/7) × 7 = 44 सेमी — इसीलिए प्रश्न-निर्माता सदा 7 या 14 त्रिज्या चुनते हैं। 6 सेमी भुजा के घन का आयतन 216 घन सेमी तथा संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल 6 × 36 = 216 वर्ग सेमी है — ध्यान देने योग्य संयोग, पर भरोसे योग्य नहीं। 7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई के बेलन का आयतन (22/7) × 49 × 10 = 1540 घन सेमी और वक्र पृष्ठ 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 वर्ग सेमी।

प्रश्नपत्र-1 में पूछे जाने वाले क्षेत्रमिति सूत्र
आकृतिक्षेत्रफल अथवा आयतनपरिमाप अथवा पृष्ठ
वर्ग, भुजा aa²4a; विकर्ण a√2
आयत, भुजाएँ l और blb2(l + b); विकर्ण √(l² + b²)
त्रिभुज, आधार b, ऊँचाई h½ × b × hहीरोन का रूप √(s(s−a)(s−b)(s−c))
समबाहु त्रिभुज, भुजा a(√3/4)a²3a; ऊँचाई (√3/2)a
वृत्त, त्रिज्या rπr²2πr
घन, भुजा aa³6a²; विकर्ण a√3
घनाभ, l × b × hlbh2(lb + bh + hl); विकर्ण √(l² + b² + h²)
बेलन, त्रिज्या r, ऊँचाई hπr²hवक्र 2πrh; संपूर्ण 2πr(r + h)
गोला, त्रिज्या r(4/3)πr³4πr²
💡 भुजा में 10% वृद्धि से क्षेत्रफल में 21% वृद्धि क्यों
फ़र्श पर टाइल बिछाने की कल्पना करें। यदि वर्गाकार कमरे की लंबाई और चौड़ाई दोनों 10% बढ़ें, तो आप टाइलों की एक पट्टी नहीं बल्कि दो पट्टियाँ और एक छोटा कोना-वर्ग जोड़ रहे हैं। अंकों में, 10 की भुजा 11 बनती है, अतः क्षेत्रफल 100 से 121 हो जाता है — 21% की वृद्धि, जो क्रमिक-परिवर्तन सूत्र से ठीक 10 + 10 + (10 × 10)/100 है। वह नन्हा कोना-वर्ग ही तीसरा पद है। यही चित्र बताता है कि घन का प्रत्येक किनारा 10% बढ़ने पर आयतन लगभग 33.1% क्यों बढ़ता है (1.1³ = 1.331)।

मुख्य बिंदु

  • इकाई 5 प्रश्नपत्र-1 में 5 प्रश्न = 10 अंक देती है, और ऋणात्मक अंकन नहीं है — अंकगणित का कोई प्रश्न खाली न छोड़ें।
  • संख्या श्रृंखला में सदा पहले अंतर-पंक्ति लिखें, फिर अंतरों का अंतर, फिर अनुपात, फिर वर्ग/घन/अभाज्य।
  • अक्षर-कार्य के लिए केवल EJOTY (E5, J10, O15, T20, Y25) और दर्पण नियम उल्टा स्थान = 27 − सीधा स्थान चाहिए।
  • कूट में रूपांतरण दिए गए युग्म के प्रत्येक अक्षर पर जाँचें; संबंध में परतदार वृक्ष बनाएँ और लिंग का अनुमान कभी न लगाएँ।
  • लाभ-हानि का प्रतिशत क्रय मूल्य पर, बट्टा अंकित मूल्य पर, ब्याज मूलधन पर — आधार पहचानना आधा उत्तर है।
  • क्रमिक प्रतिशत a + b + ab/100 से जुड़ते हैं: 20% वृद्धि फिर 20% कमी = 4% शुद्ध गिरावट, और 25% व 20% बट्टा = 40%, 45% नहीं।
  • चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज का दो-वर्षीय अंतर ठीक मू × (द/100)² है — 10,000 रुपये पर 10% दर से यह 100 रुपये है।
  • समान दूरियों की औसत चाल हरात्मक माध्य 2xy/(x + y) है, अतः 40 और 60 किमी/घंटा से 48 मिलता है, 50 नहीं।
  • समय-कार्य और नल के प्रश्न दिनों के ल.स. को कुल इकाई मानकर हल करें — खाली करने वाले नल केवल ऋणात्मक इकाई गिने जाते हैं।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. अगला पद ज्ञात करें: 3, 8, 15, 24, 35, ?

    1. 46
    2. 48
    3. 50
    4. 63
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 48

    प्रत्येक पद में 1 जोड़ें: 4, 9, 16, 25, 36 — 2, 3, 4, 5, 6 के वर्ग। अतः नियम n² − 1 है और अगला पद 7² − 1 = 49 − 1 = 48। अंतर-पंक्ति पुष्टि करती है: 5, 7, 9, 11 हर बार 2 से बढ़ते हैं, अतः अगला अंतर 13 और 35 + 13 = 48। भ्रमक 46 अंतरों को ग़लती से 11 से आगे बढ़ाने से आता है, और 50 सीधे 15 जोड़ने से।

  2. अक्षर श्रृंखला पूरी करें: B, D, G, K, P, ?

    1. T
    2. U
    3. V
    4. W
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — V

    स्थानों में बदलें: B = 2, D = 4, G = 7, K = 11, P = 16। अंतराल 2, 3, 4, 5 हैं, अतः अगला अंतराल 6 और स्थान 16 + 6 = 22। EJOTY से T = 20, अतः U = 21 और 22 = V। जो अभ्यर्थी अंतराल 5 पर रुक जाते हैं उन्हें U मिलता है, और T से ग़लत गिनने वालों को T — दोनों विकल्पों में बुने हुए जाल हैं।

  3. किसी कूट में GARDEN को FZQCDM लिखा जाता है। उसी कूट में FLOWER कैसे लिखा जाएगा?

    1. EKNVDQ
    2. EKNVDR
    3. GMPXFS
    4. EKNWDQ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — EKNVDQ

    दिए गए युग्म को अक्षर-दर-अक्षर मिलाएँ: G→F, A→Z, R→Q, D→C, E→D, N→M। प्रत्येक अक्षर एक स्थान पीछे जाता है, और A लपेटकर Z बनता है। वही खिसकाव FLOWER पर लगाएँ: F→E, L→K, O→N, W→V, E→D, R→Q, जिससे EKNVDQ। विकल्प GMPXFS पीछे के बदले आगे खिसकाता है; अन्य दो में एक अक्षर बिना खिसका रह जाता है — इसीलिए पहले दो के बदले हर अक्षर जाँचना आवश्यक है।

  4. A, B का भाई है। B, C की पुत्री है। C, D का पुत्र है। A का D से क्या संबंध है?

    1. पुत्र
    2. भतीजा
    3. पौत्र
    4. भाई
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — पौत्र

    वृक्ष परतों में बनाएँ। "B, C की पुत्री है" से C, B से एक परत ऊपर आता है। "A, B का भाई है" से A, B की परत पर आता है और पता चलता है कि A पुरुष है, अतः A भी C की संतान है। "C, D का पुत्र है" से D, C से एक परत ऊपर आता है। इसलिए A, D से दो परत नीचे और पुरुष है — D का पौत्र। वह D का पुत्र नहीं हो सकता (वह C है) और भतीजा भी नहीं, क्योंकि A सीधे C के माध्यम से D का वंशज है।

  5. चावल का मूल्य 25% बढ़ जाता है। एक परिवार को अपनी खपत कितने प्रतिशत घटानी होगी जिससे चावल पर उसका व्यय अपरिवर्तित रहे?

    1. 25%
    2. 22%
    3. 20%
    4. 16⅔%
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 20%

    व्युत्क्रम नियम लगाएँ: R% वृद्धि पर खपत में 100R/(100 + R) प्रतिशत कटौती चाहिए, यहाँ 2500/125 = 20%। 100 रुपये की चाल से जाँचें: 100 रुपये प्रति इकाई पर 100 इकाई का खर्च 10,000 रुपये। वृद्धि के बाद मूल्य 125 रुपये, और 10,000 रुपये से अब 10,000 ÷ 125 = 80 इकाई मिलती हैं — 100 से 20 इकाई की कमी, ठीक 20%। 25% चुनना यह मान लेने का चिरपरिचित जाल है कि कटौती वृद्धि के बराबर होगी; 16⅔% तो 20% वृद्धि वाले उलटे प्रश्न का उत्तर है।

  6. एक दुकानदार वस्तु पर 800 रुपये अंकित करता है, 25% बट्टा देता है, और फिर भी 20% लाभ कमाता है। क्रय मूल्य क्या है?

    1. 480 रुपये
    2. 500 रुपये
    3. 520 रुपये
    4. 560 रुपये
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 500 रुपये

    सही क्रम में चलें, क्योंकि दोनों प्रतिशत भिन्न आधारों पर हैं। बट्टा अंकित मूल्य पर लगता है: विक्रय मूल्य = 800 × 0.75 = 600 रुपये। लाभ क्रय मूल्य पर लगता है: 600 = क्र.मू. × 1.20, अतः क्र.मू. = 600 ÷ 1.20 = 500 रुपये। जाँच: 500 का 20% = 100 और 500 + 100 = 600 ✓। जाल विकल्प 480 रुपये 600 का 20% घटाने (600 − 120) से आता है, जो लाभ को ग़लती से विक्रय मूल्य का प्रतिशत मान लेता है।

  7. 10,000 रुपये मूलधन पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष में चक्रवृद्धि ब्याज साधारण ब्याज से कितना अधिक होता है?

    1. 50 रुपये
    2. 75 रुपये
    3. 90 रुपये
    4. 100 रुपये
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 100 रुपये

    साधारण ब्याज = 10,000 × 10 × 2 ÷ 100 = 2,000 रुपये। चक्रवृद्धि में मिश्रधन 10,000 × 1.10 × 1.10 = 12,100 रुपये, अतः चक्रवृद्धि ब्याज = 2,100 रुपये। अंतर 100 रुपये। यह संक्षिप्त सूत्र मू × (द/100)² = 10,000 × 0.10 × 0.10 = 100 से मेल खाता है। अवधारणात्मक रूप से यह अतिरिक्त 100 रुपये केवल पहले वर्ष के 1,000 रुपये ब्याज पर दूसरे वर्ष का 10% है — ब्याज पर ब्याज, और यही संचक्रण का पूरा अर्थ है।

  8. वह न्यूनतम संख्या कौन-सी है जो 12, 15 और 20 से भाग देने पर प्रत्येक बार 5 शेष छोड़े?

    1. 65
    2. 55
    3. 70
    4. 125
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 65

    12, 15 और 20 से पूर्णतः विभाज्य संख्या उनके ल.स. का गुणज होगी। गुणनखंड करने पर 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5 तथा 20 = 2² × 5, अतः ल.स. = 2² × 3 × 5 = 60। समान शेष जोड़ने पर 60 + 5 = 65। तीनों भाग जाँचें: 65 = 12 × 5 + 5, 65 = 15 × 4 + 5, 65 = 20 × 3 + 5 ✓। विकल्प 55 तो ल.स. में से 5 घटाने पर आता है, जो उस भिन्न प्रश्न का उत्तर है जहाँ संख्या हर बार 5 से कम पड़े; 125 तो 120 + 5 है, जिसमें ल.स. ग़लती से 120 लिया गया।