ऊँचाई व दूरी, तथा त्रिभुज के गुणधर्म

ये दो प्रकरण अनुप्रयुक्त त्रिकोणमिति हैं, और इनमें ऐसी कोई सर्वसमिका नहीं चाहिए जो साझा त्रिकोणमिति अध्याय पहले न दे चुका हो। इनमें जो चाहिए वह है आकृति। यहाँ खोया लगभग प्रत्येक अंक कोई त्रिकोणमिति आरंभ होने से पहले ही खो जाता है, वाक्य को आकृति में बदलने में: कौन-सा कोण प्रेक्षक पर है, कौन-सी लंबाई अज्ञात है, और दोनों प्रेक्षण-बिंदु वस्तु के एक ही ओर हैं या विपरीत ओर। अतः विधि निश्चित है। पहले आकृति, फिर नामांकन, फिर समीकरण, और तभी हल। ऊँचाई-दूरी हेतु इसका अर्थ है ऊर्ध्व वस्तु अंकित करना, प्रेक्षक को भूमि पर रखना और प्रत्येक प्रेक्षण हेतु tan(कोण) = ऊँचाई / दूरी लिखना — दो प्रेक्षण दो समीकरण व दो अज्ञात देते हैं, और बीजगणित सदा छोटा रहता है। त्रिभुज-गुणधर्मों हेतु इसका अर्थ है भुजाओं a, b, c को कोणों A, B, C के सम्मुख नामांकित करना और फिर एक प्रश्न पर ज्या-नियम व कोज्या-नियम में चुनाव करना: क्या मुझे कोई कोण और उसके सम्मुख भुजा ज्ञात है? यदि हाँ, ज्या-नियम। यदि तीन भुजाएँ ज्ञात हों, या दो भुजाएँ व उनके बीच का कोण, तो कोज्या-नियम। यही एक निर्णय प्रकरण का अधिकांश है।

ऊँचाई व दूरी — आकृति, फिर नामांकन

उन्नयन कोण क्षैतिज से ऊपर की ओर मापा जाता है; अवनमन कोण उससे नीचे की ओर। दो तथ्य अधिकांश प्रश्न तय कर देते हैं। पहला, A से B का उन्नयन कोण B से A के अवनमन कोण के बराबर होता है — वे समांतर क्षैतिजों के बीच एकांतर कोण हैं, अतः मीनार के शिखर से कहा गया प्रश्न कुछ भी बदले बिना भूमि से फिर से खींचा जा सकता है। दूसरा, 45° का कोण क्षैतिज दूरी को ऊँचाई के बराबर कर देता है, क्योंकि tan 45° = 1, और इसीलिए जब परीक्षक चाहते हैं कि अंकगणित लुप्त हो जाए तब वे 45° चुनते हैं।

पेपर जिन तीन कोणों का प्रयोग करता है, व उनके स्पर्शज्या
कोणtanआकृति हेतु अर्थ
30°1/√3दूरी ऊँचाई की √3 गुनी है — प्रेक्षक दूर है।
45°1दूरी ऊँचाई के बराबर। गणना करने को कुछ नहीं।
60°√3ऊँचाई दूरी की √3 गुनी है — प्रेक्षक निकट है।
🧠 दो-प्रेक्षण वाला प्रश्न, एक बार में
h ऊँचाई की मीनार निकट बिंदु से 60° पर और 40 मी पीछे के बिंदु से 30° पर दिखती है। दोनों दूरियाँ h के पदों में लिखें: निकट दूरी h/tan 60° = h/√3, दूर दूरी h/tan 30° = h√3। दूर दूरी निकट से 40 अधिक है, अतः h√3 − h/√3 = 40। बायाँ पक्ष h(3 − 1)/√3 = 2h/√3 है, जिससे h = 20√3 ≈ 34.6 मी। इस प्रश्न का प्रत्येक रूप वही घटाव है; बदलता केवल यह है कि कौन-से दो कोण दिए गए हैं।

त्रिभुज के गुणधर्म — कौन-सा नियम, और कब

नियम — a, b, c क्रमशः A, B, C के सम्मुख भुजाएँ
नियमकथनकब प्रयोग करें
ज्या नियमa/sin A = b/sin B = c/sin C = 2Rआपको कोई कोण और उसके सम्मुख भुजा ज्ञात है, तथा एक और अंश। परिवृत्त-त्रिज्या का स्रोत भी यही, क्योंकि R = a/(2 sin A)।
कोज्या नियमc² = a² + b² − 2ab·cos Cआपको तीन भुजाएँ ज्ञात हैं, या दो भुजाएँ व उनके बीच का कोण। पुनर्व्यवस्थित: cos C = (a² + b² − c²)/(2ab)।
क्षेत्रफल½·ab·sin C, अथवा हीरोन का √(s(s−a)(s−b)(s−c))दो भुजाएँ व बीच का कोण → ज्या रूप। तीन भुजाएँ → हीरोन।
प्रक्षेपa = b·cos C + c·cos Bकिसी गणना में प्रयोग होने से अधिक बार "इनमें कौन सत्य है" विकल्प के रूप में अक्षरशः पूछा जाता है।
🎯 नियम का चुनाव ही पूरा प्रश्न क्यों है
तीन भुजाएँ देकर कोण पूछा जाए तो ज्या-नियम आरंभ ही नहीं हो सकता — उसे शुरू करने हेतु कोई कोण चाहिए, और आपके पास एक भी नहीं। कोई कोण व उसके सम्मुख भुजा दी हो तो कोज्या-नियम चलेगा परंतु तीन गुना समय लेगा। अतः आप जो पहली पंक्ति लिखते हैं वही तय करती है कि प्रश्न में कितना समय लगेगा, और चुनने से पहले दिए अंश पढ़ लेना उन दस सेकंडों के योग्य है। कसौटी एक प्रश्न है: क्या कोई कोण अपने सम्मुख भुजा के साथ युग्मित है?

मुख्य बिंदु

  • पहले आकृति, फिर नामांकन, फिर स्पर्शज्या-समीकरण, अंत में हल। ऊँचाई-दूरी में खोए अधिकांश अंक वाक्य से आकृति के अनुवाद में खोते हैं।
  • A से B का उन्नयन कोण B से A के अवनमन कोण के बराबर है, अतः मीनार के शिखर पर रखा प्रश्न भूमि से फिर से खींचा जा सकता है।
  • tan 45° = 1, अतः 45° पर क्षैतिज दूरी ऊँचाई के बराबर होती है। tan 30° = 1/√3 व tan 60° = √3 ही पेपर के प्रयुक्त अन्य मान हैं।
  • दो-प्रेक्षण वाला प्रश्न एक घटाव है: दोनों दूरियाँ h/tan θ के रूप में लिखें, उनका अंतर दिए अंतराल के बराबर रखें, और h हल करें।
  • नियम एक कसौटी से चुनें: कोण अपने सम्मुख भुजा के साथ हो तो ज्या-नियम; तीन भुजाएँ, या दो भुजाएँ व बीच का कोण, तो कोज्या-नियम।
  • बीच का कोण हो तो क्षेत्रफल ½·ab·sin C है और तीन भुजाएँ हों तो हीरोन का सूत्र। परिवृत्त-त्रिज्या ज्या-नियम से मुफ़्त मिलती है: R = a/(2 sin A)।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. समतल भूमि पर 30 मी दूर स्थित बिंदु से किसी मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई है:

    1. 15 मी
    2. 30 मी
    3. 30√3 मी
    4. 30/√3 मी
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 30 मी

    tan 45° = ऊँचाई / दूरी, और tan 45° = 1, अतः ऊँचाई दूरी के बराबर है: 30 मी। परीक्षक 45° इसी कारण प्रयोग करते हैं — अंकगणित पूर्णतः लुप्त हो जाता है और प्रश्न इस बात की जाँच बन जाता है कि आपने आकृति सही ओर से खींची या नहीं। विकल्प C व D वे हैं जो इसके बजाय tan 60° या tan 30° प्रयोग करने से मिलते हैं, और यह कोण को गलत शीर्ष से पढ़ने की भूल है।

  2. 15 मी लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है और भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है। वह दीवार पर जिस ऊँचाई तक पहुँचती है, वह है:

    1. 7.5 मी
    2. 15√3 मी
    3. 15√3/2 मी
    4. 15/√3 मी
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 15√3/2 मी

    सीढ़ी कर्ण है, कोई भुजा नहीं, अतः ऊँचाई 15·sin 60° = 15 × (√3/2) = 15√3/2 ≈ 12.99 मी है। विकल्प B, 15√3, tan 60° प्रयोग करने से आता है — जो सही होता यदि 15 भूमि पर की दूरी होती, न कि सीढ़ी स्वयं, और इन दोनों का भ्रम ही वह एक भूल है जिसे पकड़ने हेतु यह प्रश्न है। विकल्प A है 15·cos 60° = 7.5, अर्थात् सीढ़ी के पाद की दीवार से दूरी, जो वास्तविक राशि है परंतु पूछी गई नहीं।

  3. भूमि पर एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है, और उसी सरल रेखा में 40 मी और दूर के बिंदु से 30°। मीनार की ऊँचाई है:

    1. 20 मी
    2. 20√3 मी
    3. 40√3 मी
    4. 60 मी
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 20√3 मी

    दोनों भूमि-दूरियाँ ऊँचाई h के पदों में लिखें। निकट बिंदु से tan 60° = h/d₁ अतः d₁ = h/√3। दूर बिंदु से tan 30° = h/d₂ अतः d₂ = h√3। दूर बिंदु निकट से 40 मी आगे है, अतः h√3 − h/√3 = 40। √3 पर संयोजित करें: h(3 − 1)/√3 = 2h/√3 = 40, जिससे h = 20√3 ≈ 34.6 मी। जाँचें: d₁ = 20√3/√3 = 20 और d₂ = 20√3·√3 = 60, तथा 60 − 20 = 40, जैसा कहा गया। विकल्प C वह है जो घटाने के बजाय दोनों व्यंजक जोड़ने से मिलता है।

  4. किसी प्रकाश-स्तंभ के शिखर से एक नाव का अवनमन कोण 30° है। नाव से प्रकाश-स्तंभ के शिखर का उन्नयन कोण है:

    1. 30°
    2. 60°
    3. 90°
    4. ऊँचाई के बिना निर्धारित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 30°

    प्रकाश-स्तंभ के शिखर की क्षैतिज और नाव की क्षैतिज समांतर हैं, और दृष्टि-रेखा तिर्यक रेखा है, अतः शिखर से अवनमन कोण व नाव से उन्नयन कोण एकांतर कोण हैं और इसलिए बराबर — 30°। कोई ऊँचाई आवश्यक नहीं, इसीलिए विकल्प D गलत है। विकल्प B, 60°, दोनों कोणों को पूरक मानने से आता है, जो वे नहीं हैं: वे बराबर हैं, और 90° − θ का संबंध समकोण त्रिभुज के दूसरे न्यून कोण का है, जो मीनार के शिखर पर है।

  5. किसी त्रिभुज में a = 7, b = 8 तथा उनके बीच का कोण C = 60° है। त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

    1. 14 वर्ग इकाई
    2. 14√3 वर्ग इकाई
    3. 28 वर्ग इकाई
    4. 28√3 वर्ग इकाई
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 14√3 वर्ग इकाई

    दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण ठीक वही स्थिति है जिसमें ज्या-रूप लगता है: क्षेत्रफल = ½·ab·sin C = ½ × 7 × 8 × sin 60° = 28 × (√3/2) = 14√3 ≈ 24.25 वर्ग इकाई। विकल्प D, 28√3, ½ भूल जाता है। विकल्प C, 28, sin 60° के स्थान पर sin 90° = 1 प्रयोग करता है, जो "बीच का कोण" को "समकोण" पढ़ने पर होता है। हीरोन का सूत्र भी यहाँ चलेगा परंतु पहले कोज्या-नियम से तीसरी भुजा निकालने के बाद — उसी उत्तर हेतु तीन गुना काम।

  6. 5, 7 व 8 भुजाओं वाले त्रिभुज में, 7 लंबाई की भुजा के सम्मुख कोण है:

    1. 30°
    2. 45°
    3. 60°
    4. 90°
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 60°

    तीन भुजाएँ और कोई कोण नहीं, अर्थात् कोज्या-नियम, उसके पुनर्व्यवस्थित रूप में। जिस कोण के सम्मुख 7 है, उसके लिए अन्य दो भुजाएँ 5 व 8 हैं: cos θ = (5² + 8² − 7²)/(2 × 5 × 8) = (25 + 64 − 49)/80 = 40/80 = 1/2, अतः θ = 60°। ज्या-नियम यहाँ आरंभ ही नहीं हो सकता — उसे शुरू करने हेतु कोई कोण चाहिए, और एक भी नहीं दिया गया, और यही प्रश्न का आशय है। विकल्प D देखते ही हटाने योग्य है: 5² + 7² = 74 ≠ 64, अतः त्रिभुज कहीं भी समकोण नहीं है।

  7. किसी त्रिभुज में a = 5 तथा A = 30° है। यदि B = 90° हो, तो b बराबर है:

    1. 5
    2. 5√3
    3. 10
    4. 10√3
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 10

    कोई कोण अपने सम्मुख भुजा के साथ दिया है, अतः ज्या-नियम सीधे लागू होता है: a/sin A = b/sin B, जिससे b = a·sin B/sin A = 5 × sin 90°/sin 30° = 5 × 1/(1/2) = 10। परिणाम सूत्र के बिना भी पहचानने योग्य है: समकोण त्रिभुज में समकोण के सम्मुख भुजा कर्ण होती है, और 30° कोण के सम्मुख भुजा कर्ण की आधी — अतः a = 5 से b = 10 बाध्य है। विकल्प B तीसरी भुजा है, c = 5√3, जो C = 60° से निकलती है।

  8. किसी त्रिभुज में a = 10 तथा A = 30° है। उसके परिवृत्त की त्रिज्या है:

    1. 5
    2. 10
    3. 20
    4. 10√3
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 10

    ज्या-नियम अपने अंतिम पद में परिवृत्त-त्रिज्या वहन करता है: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R। अतः 2R = 10/sin 30° = 10/(1/2) = 20, और R = 10। विकल्प C स्वयं 2R है, जो एक चरण पहले रुकने से मिलता है — और यहाँ का सबसे आम गलत उत्तर वही है, क्योंकि विस्तारित ज्या-नियम प्रायः "= 2R" के रूप में रटा जाता है और फिर 2 भूल जाता है। ध्यान दें कि एक भुजा व उसका सम्मुख कोण पर्याप्त हैं: परिवृत्त-त्रिज्या अन्य दो भुजाओं पर निर्भर ही नहीं करती।