संख्या पद्धतियाँ, द्विआधारी अंकगणित व लघुगणक

दो छोटे प्रकरण जिन्हें पेपर I नाम देता है और अधिकांश अन्य प्रवेश-पेपर नहीं, और इससे ये पेपर के सबसे सस्ते अंक बन जाते हैं: यहाँ लगाया एक घंटा कलन में लगाए घंटे से अधिक मूल्य का है, क्योंकि प्रश्न यांत्रिक हैं और प्रतिस्पर्धा ने प्रायः इन्हें छोड़ रखा है। संख्या पद्धतियाँ शुद्ध प्रक्रिया हैं — द्विआधारी में जाने हेतु दो से भाग देकर शेषफल ऊपर से पढ़ें, वापस आने हेतु स्थानीय मानों से गुणा करें — और द्विआधारी अंकगणित में जानने योग्य ठीक चार योग-तथ्य हैं। लघुगणक तीन नियम व एक आधार-परिवर्तन सूत्र हैं, और वे जो प्रश्न-प्रकार सर्वाधिक बनाते हैं वह किसी बड़ी घात के अंक गिनना है, जिसमें स्मृति में रखे log₁₀ 2 = 0.3010 व log₁₀ 3 = 0.4771 के अतिरिक्त कुछ नहीं चाहिए। दोनों प्रकरण उत्तर जाँच सकने पर प्रतिफल देते हैं: द्विआधारी रूपांतरण क्षणों में वापस बदला जा सकता है, और लघुगणक की समझ-जाँच यह पूछकर होती है कि उत्तर किन दो पूर्णांकों के बीच होना ही चाहिए।

द्विआधारी व दशमलव — दोनों दिशाएँ

दशमलव से द्विआधारी: बार-बार 2 से भाग दें और शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें। 45 हेतु: 45/2 = 22 शे1, 22/2 = 11 शे0, 11/2 = 5 शे1, 5/2 = 2 शे1, 2/2 = 1 शे0, 1/2 = 0 शे1। शेषफल ऊपर की ओर पढ़ने से 101101 मिलता है। द्विआधारी से दशमलव: प्रत्येक अंक को उसके स्थानीय मान से गुणा कर जोड़ें। 110101 हेतु: 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 53। सदा वापस बदलें — इसमें दस सेकंड लगते हैं और यह उस एक चूक को पकड़ता है जो यह प्रकरण उत्पन्न करता है, अर्थात् शेषफल को गलत दिशा में पढ़ना।

स्थानीय मान, और याद रखने योग्य मील-चिह्न
2 की घात	मान	यह कैसे सहायक
2⁰ … 2⁵	1, 2, 4, 8, 16, 32	छह स्थानीय मान 63 तक की प्रत्येक संख्या समेटते हैं, और पेपर इसी परिसर में रहता है।
2⁶, 2⁷, 2⁸	64, 128, 256	255 को 11111111 (आठ इकाइयाँ) और 256 को 100000000 पहचान लेना पूरा रूपांतरण बचा देता है।
2ⁿ − 1	द्विआधारी में n इकाइयाँ	7 = 111, 15 = 1111, 31 = 11111। दो की घात से एक कम संख्या पूरी इकाइयों की होती है, और यह प्रतिरूप सीधे पूछा जाता है।

🧠 चार तथ्यों में द्विआधारी अंकगणित

योग: 0+0 = 0, 0+1 = 1, 1+1 = 10 (0 लिखें, 1 हासिल), 1+1+1 = 11 (1 लिखें, 1 हासिल)। इतना ही सब है। अतः 1011 + 110 = 10001, जिसे आप दशमलव में जाँच सकते हैं: 11 + 6 = 17, और 17 = 16 + 1 = 10001। 2 से गुणा प्रत्येक अंक एक स्थान बाएँ खिसकाकर शून्य जोड़ता है, ठीक जैसे दशमलव में 10 से गुणा करता है — अतः 0 पर समाप्त होती द्विआधारी संख्या सम है और 1 पर समाप्त होती विषम।

लघुगणक — तीन नियम व आधार-परिवर्तन

log_a x = y का अर्थ a^y = x। आधार धनात्मक व 1 से भिन्न होना चाहिए, और x धनात्मक — शून्य या ऋणात्मक संख्या का लघुगणक अपरिभाषित है, और जिस प्रश्न के चार विकल्पों में log 0 हो, वह प्रायः ठीक यही पूछ रहा है। तीन नियम बीजगणित समेटते हैं: log(mn) = log m + log n, log(m/n) = log m − log n, तथा log(mⁿ) = n log m। दो और सर्वसमिकाएँ प्रकरण पूरा करती हैं: प्रत्येक वैध आधार हेतु log_a 1 = 0, log_a a = 1, और a^(log_a x) = x, क्योंकि दोनों संक्रियाएँ एक-दूसरे को निरस्त करती हैं।

आधार परिवर्तन: log_a x = log_b x / log_b a। तत्काल परिणाम, जो सीधे पूछा जाता है, यह है कि log_a b × log_b a = 1।
आधार की घातें अनुपात के रूप में बाहर आती हैं: log_(aⁿ)(x^m) = (m/n)·log_a x। अतः log₄ x, log₂ x का आधा है, और यही चरण दो-आधार वाले समीकरण को एक-आधार वाला बनाता है।
ऋणात्मक लघुगणक का अर्थ भीतर भिन्न है। log₃(1/81) = log₃(3⁻⁴) = −4। कुछ गलत नहीं हुआ: लघुगणक ठीक तब ऋणात्मक होता है जब उसका तर्क 0 और 1 के बीच हो।

🎯 किसी बड़ी घात के अंक गिनना

N में अंकों की संख्या ⌊log₁₀ N⌋ + 1 है। अतः 2⁵⁰ में ⌊50 × 0.3010⌋ + 1 = ⌊15.05⌋ + 1 = 16 अंक हैं, और 3²⁰ में ⌊20 × 0.4771⌋ + 1 = ⌊9.542⌋ + 1 = 10 अंक। यही इस प्रकरण का मानक प्रश्न-प्रकार है, और इसमें केवल log₁₀ 2 = 0.3010 व log₁₀ 3 = 0.4771 याद रखने होते हैं। महत्तम-पूर्णांक पर ध्यान दें: उसे भूलना, या पूर्णांकन से पहले 1 जोड़ देना, वही एक चूक है जो आत्मविश्वासी एक-अंक-दूर उत्तर देती है।

मुख्य बिंदु

दोनों प्रकरण NDA पाठ्यक्रम में हैं और लगभग किसी प्रतिस्पर्धी पेपर में नहीं, अतः ये उपलब्ध सबसे सस्ते अंक हैं — छोटे, यांत्रिक, और प्रतिस्पर्धा द्वारा प्रायः अ-तैयार।
दशमलव से द्विआधारी: 2 से भाग दें और शेषफल ऊपर की ओर पढ़ें। द्विआधारी से दशमलव: स्थानीय मानों से गुणा कर जोड़ें। जाँच हेतु सदा वापस बदलें।
2ⁿ − 1 द्विआधारी में n इकाइयाँ है: 7 = 111, 15 = 1111, 31 = 11111, 255 = 11111111। प्रतिरूप पहचानना पूरा रूपांतरण बदल देता है।
द्विआधारी योग चार तथ्य हैं: 0+0 = 0, 0+1 = 1, 1+1 = 10, 1+1+1 = 11। इसके बाद योग दशमलव में जाँचें।
शून्य या ऋणात्मक संख्या का लघुगणक अपरिभाषित है। log 0 देने वाला विकल्प गणना हेतु नहीं, अस्वीकार हेतु रखा गया है।
log_a b × log_b a = 1, और आधार की घात अनुपात बनकर बाहर आती है: log₄ x, log₂ x का आधा है। यह चरण दो-आधार वाले समीकरण को एक आधार पर ले आता है।
N में अंक = ⌊log₁₀ N⌋ + 1। log 2 = 0.3010 व log 3 = 0.4771 याद होने पर इस प्रश्न का प्रत्येक रूप एक गुणा व एक महत्तम-पूर्णांक है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

दशमलव संख्या 45 का द्विआधारी तुल्य है:
1. 101101
2. 110101
3. 101011
4. 111001
उत्तर देखें
उत्तर: A — 101101
2 से भाग दें और शेषफल ऊपर की ओर पढ़ें: 45→22 शे1, 22→11 शे0, 11→5 शे1, 5→2 शे1, 2→1 शे0, 1→0 शे1, जिससे 101101 मिलता है। वापस बदलकर जाँचें: 32 + 8 + 4 + 1 = 45। विकल्प B है 110101 = 53 — वही छह अंक गलत दिशा में पढ़े गए, और यह प्रश्न उसी भूल को पकड़ने हेतु बना है। विकल्प C 43 है और विकल्प D 57।
द्विआधारी संख्या 110101 का दशमलव मान है:
1. 45
2. 51
3. 53
4. 61
उत्तर देखें
उत्तर: C — 53
प्रत्येक अंक को उसके स्थानीय मान से गुणा करें, दाएँ से बाएँ: 1 + 0 + 4 + 0 + 16 + 32 = 53। विकल्प A, 45, वह 101101 है — यह प्रश्न व पिछला जानबूझकर वही अंक विपरीत क्रम में हैं, क्योंकि जो अभ्यर्थी शेषफल उलटी दिशा में पढ़ता है वह ठीक यही उत्तर-युग्म बनाएगा और उसे लक्ष्य करने का कोई साधन न होगा।
द्विआधारी संख्याओं 1011 व 110 का योग है:
1. 1111
2. 10001
3. 11101
4. 10101
उत्तर देखें
उत्तर: B — 10001
स्तंभ-दर-स्तंभ जोड़ें, जहाँ 1+1 = 10 (0 लिखें, 1 हासिल): 1011 + 0110 में 1+0 = 1; 1+1 = 10 अतः 0 लिखें 1 हासिल; 0+1+1 = 10 अतः 0 लिखें 1 हासिल; 1+0+1 = 10 अतः 0 लिखें 1 हासिल; और अंतिम हासिल से अग्रणी 1 — 10001। दशमलव में जाँचें: 11 + 6 = 17, और 17 = 16 + 1 = 10001। विकल्प A, 1111, 15 है और वह बिना हासिल लिए स्तंभ जोड़ने से आता है।
निम्न में से कौन-सी दशमलव संख्या द्विआधारी में पूरी इकाइयों के रूप में लिखी जाती है?
1. 30
2. 31
3. 32
4. 33
उत्तर देखें
उत्तर: B — 31
द्विआधारी में n इकाइयों के रूप में लिखी संख्या 2ⁿ − 1 होती है, क्योंकि 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1। अतः 31 = 2⁵ − 1 = 11111। पड़ोसी शिक्षाप्रद हैं: 32 = 2⁵ वह 100000 है, एक इकाई के बाद पाँच शून्य; 30 = 11110 और 33 = 100001। प्रतिरूप दोनों दिशाओं में सीखना — दो की घात से एक कम पूरी इकाइयाँ, और दो की घात स्वयं एक के बाद शून्य — बिना किसी भाग-क्रिया के प्रश्नों का पूरा परिवार हल कर देता है।
log₂ 8 + log₃ 9 का मान है:
1. 4
2. 5
3. 6
4. 17
उत्तर देखें
उत्तर: B — 5
प्रत्येक लघुगणक को घात के विषय में प्रश्न मानकर पढ़ें। log₂ 8 पूछता है "2 की कौन-सी घात 8 है?" — उत्तर 3, क्योंकि 8 = 2³। log₃ 9 पूछता है "3 की कौन-सी घात 9 है?" — उत्तर 2, क्योंकि 9 = 3²। अतः योग 5 है। विकल्प D, 17, लघुगणकों के बजाय तर्कों (8 + 9) को जोड़ने से आता है, और यही इस प्रकरण की सबसे आम भूल है: log m + log n, log(mn) के बराबर केवल तब होता है जब आधार समान हों, और यहाँ वे समान नहीं हैं।
log₃ (1/81) का मान है:
1. 4
2. −4
3. 1/4
4. अपरिभाषित
उत्तर देखें
उत्तर: B — −4
1/81 = 3⁻⁴, अतः log₃(3⁻⁴) = −4। लघुगणक ठीक तब ऋणात्मक होता है जब उसका तर्क 0 और 1 के बीच कड़ाई से हो, और 1/81 वहीं है — अतः ऋण-चिह्न अपेक्षित परिणाम है, सुधारने योग्य त्रुटि नहीं। विकल्प D एक महत्वपूर्ण कारण से गलत है: 1/81 धनात्मक है, और लघुगणक केवल शून्य या ऋणात्मक तर्क से अपरिभाषित होता है। "भिन्न" को "अनुमत नहीं" समझ लेना ही इस प्रश्न का जाल है।
log₁₀ 2 = 0.3010 दिया है, तो 2⁵⁰ में अंकों की संख्या है:
1. 15
2. 16
3. 17
4. 50
उत्तर देखें
उत्तर: B — 16
N में अंकों की संख्या ⌊log₁₀ N⌋ + 1 है। यहाँ log₁₀(2⁵⁰) = 50 × 0.3010 = 15.05, अतः गिनती ⌊15.05⌋ + 1 = 16। विकल्प A +1 छोड़ देता है और अंक-गणना के बजाय पूर्णांशक बताता है; विकल्प C 15.05 को 1 जोड़ने से पहले 16 तक बढ़ा देता है, जो दोहरी गिनती है। सूत्र को सावधानी से कहना आवश्यक है क्योंकि दोनों चूकें सही उत्तर के ठीक पड़ोस में उत्तर देती हैं, और प्रश्न में कुछ भी किसी को चिह्नित नहीं करता।
निम्न में से कौन परिभाषित नहीं है?
1. log₁₀ 1
2. log₁₀ 0
3. log₁₀ 0.1
4. log₀.₁ 10
उत्तर देखें
उत्तर: B — log₁₀ 0
लघुगणक हेतु तर्क धनात्मक चाहिए, अतः log₁₀ 0 अपरिभाषित है — 10 की कोई घात 0 नहीं देती। अन्य तीनों विद्यमान हैं: log₁₀ 1 = 0 (किसी भी आधार की 0 घात 1 होती है); log₁₀ 0.1 = −1, ऋणात्मक परंतु पूर्णतः परिभाषित; और log₀.₁ 10 = −1 भी, क्योंकि 0.1 वैध आधार है — आधार धनात्मक व 1 से भिन्न होना चाहिए, और 0.1 दोनों पूरे करता है। विकल्प C व D इसलिए रखे गए हैं कि अभ्यर्थी "धनात्मक आधार, धनात्मक तर्क" सीखकर फिर जो कुछ छोटा या भिन्नात्मक दिखे उसे अस्वीकार कर देते हैं।