विश्लेषणात्मक तर्कशक्ति, न्यायवाक्य एवं पहेलियाँ

न्यायवाक्य में दो या तीन कथन दिए जाते हैं और पूछा जाता है कि कौन-से निष्कर्ष निकलते हैं। पहला नियम ही सब तय करता है: कथनों को पूर्णतः सत्य मानें, चाहे वे कितने ही बेतुके लगें। यदि प्रश्नपत्र कहता है "सभी पेन पुस्तकें हैं", तो इस प्रश्न में पेन वास्तव में पुस्तकें हैं। संसार का आपका अपना ज्ञान बंद कर दिया जाता है। दूसरा नियम: निष्कर्ष तभी निकलता है जब वह कथनों का पालन करने वाले प्रत्येक आरेख में सत्य हो — केवल उस आरेख में नहीं जो आपने संयोग से बनाया।

हल किया उदाहरण 1 — दोनों निष्कर्ष निकलते हैं। कथन: (1) सभी पेन पुस्तकें हैं। (2) सभी पुस्तकें मेज़ हैं। निष्कर्ष: I. सभी पेन मेज़ हैं। II. कुछ मेज़ पेन हैं। आरेख: एक छोटा वृत्त पेन पूरी तरह बड़े वृत्त पुस्तक के भीतर रखें, और उस पूरे पुस्तक वृत्त को उससे बड़े वृत्त मेज़ के भीतर रखें — निशाने के तीन छल्ले, एक के भीतर एक। पढ़ना: पेन का प्रत्येक बिंदु अब मेज़ के भीतर है, अतः I निकलता है। और मेज़ वृत्त में पेन वृत्त निश्चित रूप से है, अतः मेज़ का एक भाग पेन है — II भी निकलता है। उत्तर: I और II दोनों निकलते हैं।

हल किया उदाहरण 2 — पूरक युग्म। कथन: (1) सभी फूल गुलाब हैं। (2) कुछ गुलाब लाल हैं। निष्कर्ष: I. कुछ फूल लाल हैं। II. कोई फूल लाल नहीं है। आरेख: फूल पूरी तरह गुलाब के भीतर है। अब एक तीसरा वृत्त लाल लाएँ जो गुलाब से अतिव्यापी है। कथन यहाँ जो स्वतंत्रता छोड़ते हैं वह यह है: अतिव्यापन गुलाब के उस भाग पर हो सकता है जो फूल वृत्त के बाहर है (तब कोई फूल लाल नहीं), अथवा वह फूल वृत्त के भीतर घुस सकता है (तब कुछ फूल लाल हैं)। दोनों आरेख कथनों का पालन करते हैं, अतः न I, न II निश्चित रूप से सत्य है। पर उनका स्वरूप देखें — "कुछ फूल लाल हैं" और "कोई फूल लाल नहीं है" मिलकर हर संभावना ढक लेते हैं; दोनों में से एक अवश्य सत्य होगा। अतः उत्तर है या I या II निकलता है।

संभावना बनाम निश्चित सत्य। आजकल प्रश्नपत्र ऐसे निष्कर्ष पूछते हैं — "सभी A के B होने की संभावना है" अथवा "कुछ A, B हो सकते हैं"। इसकी कसौटी सामान्य कसौटी के ठीक विपरीत है: संभावना वाला निष्कर्ष तब स्वीकार होता है जब वह कम-से-कम एक वैध आरेख में टिके, जबकि निश्चित निष्कर्ष के लिए प्रत्येक वैध आरेख चाहिए। अतः संभावनाएँ सरलता से स्वीकार होती हैं — पर वे रुक भी सकती हैं। कथन: कुछ बिल्लियाँ कुत्ते हैं। कोई कुत्ता घोड़ा नहीं है। निष्कर्ष: "सभी बिल्लियों के घोड़े होने की संभावना है।" यह असत्य है: जो बिल्लियाँ कुत्ते हैं वे कभी घोड़े नहीं हो सकतीं, क्योंकि कुत्ता और घोड़ा वृत्त पूर्णतः अलग बने हैं। कोई भी वैध आरेख हर बिल्ली को घोड़ा नहीं बना सकता।

गणना वाले वेन प्रश्न में समूहों के आकार अतिव्यापी होते हैं, अतः सीधा जोड़ लोगों को दो बार गिन लेता है। दो समुच्चयों के लिए सुधार एक घटाव है: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)। उदाहरण: 50 लोगों के समूह में 30 हिंदी अख़बार पढ़ते हैं, 25 अंग्रेज़ी और 10 दोनों। कम-से-कम एक पढ़ने वाले = 30 + 25 − 10 = 45, अतः कोई भी न पढ़ने वाले = 50 − 45 = 5।

तीन समुच्चयों में सूत्र में ऋण और धन बारी-बारी आते हैं: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)। पर केवल सूत्र से "ठीक एक विषय पढ़ने वाले कितने" का उत्तर नहीं मिलेगा। उसके लिए आरेख के सात क्षेत्र भरने होंगे, और एकमात्र सुरक्षित क्रम है केंद्र से बाहर की ओर।

हल किया उदाहरण। 100 विद्यार्थियों की कक्षा में: 40 हिंदी, 45 अंग्रेज़ी, 38 गणित पढ़ते हैं; 15 हिंदी व अंग्रेज़ी, 12 अंग्रेज़ी व गणित, 10 हिंदी व गणित, तथा 5 तीनों पढ़ते हैं। केंद्र से आरंभ करें। तीनों = 5। अब युग्म — याद रखें "15 हिंदी व अंग्रेज़ी पढ़ते हैं" में वे 5 सम्मिलित हैं जो तीनों पढ़ते हैं, अतः केवल हिंदी-व-अंग्रेज़ी = 15 − 5 = 10। इसी प्रकार केवल अंग्रेज़ी-व-गणित = 12 − 5 = 7, और केवल हिंदी-व-गणित = 10 − 5 = 5। अंत में एकल: केवल हिंदी = 40 − (10 + 5 + 5) = 20, क्योंकि 40 वाले हिंदी वृत्त में वे तीनों भीतरी क्षेत्र पहले से हैं।

अब हर प्रश्न एक पंक्ति का जोड़ है। कम-से-कम एक विषय = 20 + 23 + 21 + 10 + 7 + 5 + 5 = 91 — जो सूत्र 40 + 45 + 38 − 15 − 12 − 10 + 5 = 91 से मेल खाता है, अतः तालिका गणितीय रूप से सही है। ठीक एक विषय = 20 + 23 + 21 = 64। ठीक दो = 10 + 7 + 5 = 22। कम-से-कम दो = 22 + 5 = 27। कोई नहीं = 100 − 91 = 9। यह जाँच हमेशा करें: यदि सातों क्षेत्रों का जोड़ सूत्र से मिले सम्मिलन के बराबर नहीं है, तो आपने कोई युग्म-मान गलत पढ़ा है।

चार समुच्चयों में वही एकांतर पैटर्न चलता है: 4 एकल योग जोड़ें, सभी 6 युग्म अतिव्यापन घटाएँ, सभी 4 त्रिक अतिव्यापन पुनः जोड़ें, तथा एक चतुष्क अतिव्यापन घटाएँ। चार समुच्चयों की गणना इस परीक्षा में विरल है। जो आता है वह तार्किक वेन प्रकार है: "इन तीन शब्दों को कौन-सा आरेख सर्वोत्तम दर्शाता है?" पटना, बिहार, भारत → एक के भीतर एक तीन वृत्त (पटना, बिहार के भीतर, बिहार भारत के भीतर)। बिहार, झारखंड, भारत → दो अलग-अलग, अतिव्यापी न होने वाले वृत्त, दोनों एक बड़े भारत वृत्त के भीतर, क्योंकि सन् 2000 से बिहार और झारखंड पृथक् राज्य हैं। शिक्षक, महिलाएँ, डॉक्टर → तीनों वृत्त आपस में आंशिक रूप से अतिव्यापी, क्योंकि व्यक्ति किसी भी संयोजन में हो सकता है।

बैठक पहेलियाँ लंबी लगती हैं, पर विधि केवल तीन चरणों की है। चरण 1 — निश्चित संकेत खोजें और उसे पहले रखें। किसी छोर की सीट बताने वाला संकेत ("C सबसे बाएँ छोर पर बैठा है"), अथवा पहले से रखे व्यक्ति के सापेक्ष स्थान तय करने वाला संकेत निश्चित होता है। जो संकेत केवल कहते हैं "X, Y के बाईं ओर कहीं है" वे निश्चित नहीं — उन्हें बाद के लिए छोड़ दें। चरण 2 — बची संभावनाएँ दिखाई रखें। जहाँ किसी व्यक्ति के लिए दो सीटें संभव हों, हाशिये में दोनों तिर्यक रेखा के साथ लिखें; अनुमान से निर्णय न लें। चरण 3 — निराकरण करें। शेष संकेतों को एक-एक करके पुनः पढ़ें; प्रत्येक एक शाखा काटता है, अंत में एक ही व्यवस्था बचती है।

हल की गई रैखिक पहेली। छह विद्यार्थी A, B, C, D, E, F एक पंक्ति में उत्तर की ओर मुख करके बैठे हैं। (i) C सबसे बाएँ छोर पर है। (ii) F, C के दाईं ओर तीसरे स्थान पर है। (iii) A, F के ठीक बाईं ओर है। (iv) D सबसे दाएँ छोर पर है। (v) E, F का निकटतम पड़ोसी नहीं है। हल: सीटों को बाएँ से 1 से 6 क्रमांकित करें; उत्तर की ओर मुख होने से उनका दायाँ बड़े क्रमांकों की ओर जाता है। (i) से C = 1। (ii) से F = 1 + 3 = 4। (iii) से A = 3। (iv) से D = 6। केवल सीटें 2 और 5 बचीं, B और E के लिए। (v) से, सीट 4 पर बैठे F के पड़ोसी 3 (A) और 5 हैं, अतः E, 5 पर नहीं हो सकता — इसलिए E = 2 और B = 5। बाएँ से अंतिम क्रम: C, E, A, F, B, D। अब इससे कुछ भी पढ़ लें: दाएँ छोर से तीसरा F है; A और B के बीच का व्यक्ति F है; A के ठीक दाईं ओर F बैठा है।

आमने-सामने दो पंक्तियाँ। यहाँ एक पंक्ति का मुख उत्तर और दूसरी का दक्षिण होता है, और प्रत्येक व्यक्ति दूसरी पंक्ति के ठीक एक व्यक्ति के सामने होता है। दोनों पंक्तियाँ एक के नीचे एक दो रेखाओं पर बनाएँ, जिससे आमने-सामने के जोड़े एक ही स्तंभ में आ जाएँ — जब संकेत कहे "Q, Y के सामने है" तो वही स्तंभ आपका आधार है। फिर ऊपर की तालिका प्रत्येक पंक्ति पर अलग-अलग लगाएँ: उत्तरमुखी पंक्ति के लिए पृष्ठ का दायाँ उनका दायाँ है; दक्षिणमुखी पंक्ति के लिए पृष्ठ का दायाँ उनका बायाँ है। अतः "P, Q के दाईं ओर दूसरे स्थान पर है" एक पंक्ति में दो स्तंभ एक ओर और दूसरी पंक्ति में दो स्तंभ विपरीत ओर ले जाता है। आरंभ से पहले हर पंक्ति के ऊपर एक छोटा तीर बना लेने से यह पूरी गलती रुक जाती है।

हल की गई वृत्तीय पहेली। छह मित्र A, B, C, D, E, F एक गोल मेज़ के चारों ओर केंद्र की ओर मुख करके बैठे हैं। (i) A, B के बाईं ओर तीसरे स्थान पर है। (ii) C, A के बाईं ओर दूसरे स्थान पर है। (iii) D, B का निकटतम पड़ोसी है। (iv) E, C के दाईं ओर तीसरे स्थान पर है। हल: सीटों को दक्षिणावर्त 1 से 6 क्रमांकित करें; केंद्र की ओर मुख का अर्थ है बायाँ = दक्षिणावर्त, दायाँ = वामावर्त। घुमाव स्वतंत्र है, अतः B = 1 तय करें। (i) से, 1 से 3 सीटें दक्षिणावर्त → सीट 4, अतः A = 4 (6 सीटों के वृत्त में वह B के ठीक सामने है)। (ii) से, 4 से 2 सीटें दक्षिणावर्त → 5, फिर 6, अतः C = 6। (iii) से, B के पड़ोसी सीट 6 (जहाँ C है) और सीट 2 हैं, अतः D = 2। (iv) से, सीट 6 पर बैठे C से 3 सीटें वामावर्त → 5, 4, 3, अतः E = 3। बची एकमात्र सीट 5 F को मिलती है। दक्षिणावर्त क्रम: B, D, E, A, F, C। पढ़ लें: C के सामने (6 + 3 = 9 → सीट 3) E है; F के ठीक दाईं ओर, अर्थात् सीट 5 से वामावर्त, A है; D और A के बीच का व्यक्ति E है।

तुलना का प्रश्न वाक्यों का समूह है जिसे एक ही पंक्ति में पिघला देना है। जो अनुशासन इसे त्रुटि-मुक्त बनाता है: सबसे लंबे (या बड़े) को बाएँ लिखें और पूरी पंक्ति में केवल ">" चिह्न प्रयोग करें। पंक्ति में "<" कभी न आने दें। उदाहरण: "रवि, मोहन से लंबा है। सुरेश, मोहन से छोटा है। दीपक, रवि से लंबा पर विनय से छोटा है।" हर वाक्य बदलें: रवि > मोहन; मोहन > सुरेश; विनय > दीपक > रवि। इन्हें जोड़ें: विनय > दीपक > रवि > मोहन > सुरेश। अब सबसे लंबा विनय, सबसे छोटा सुरेश, और तीसरा सबसे लंबा रवि — सब सीधे पंक्ति से पढ़ लिए गए।

"− 1" क्यों? क्योंकि व्यक्ति स्वयं पंक्ति में खड़ा है और दो बार गिना जाता है — एक बार उसके बाईं ओर के लोगों द्वारा और एक बार दाईं ओर के लोगों द्वारा। उसे एक बार घटा दें और दोहरी गिनती सुधर जाती है। यही एक वाक्य परीक्षा भवन में चारों सूत्र पुनः बनवा देता है, चाहे शब्द स्मृति से फिसल जाएँ।

हल किया उदाहरण — स्थान विपरीत छोरों से दिए हैं। 40 विद्यार्थियों की पंक्ति में अनिल बाएँ से 12वाँ और सुनील दाएँ से 15वाँ है। उनके बीच कितने विद्यार्थी बैठे हैं? मिश्रित स्थानों को सीधे कभी न घटाएँ। चरण 1: दोनों को एक ही छोर पर लाएँ। बाएँ से सुनील = 40 − 15 + 1 = 26वाँ। चरण 2: बीच का सूत्र लगाएँ। 26 − 12 − 1 = 13। एक उपयोगी जाँच भी है: कुल − (एक का बाएँ से स्थान) − (दूसरे का दाएँ से स्थान) = 40 − 12 − 15 = 13। दोनों मार्ग सहमत हैं, अतः उत्तर सुरक्षित है।

इन तीन प्रकारों का एक ही मूल नियम है: निर्णय केवल दिए गए कथन के शब्दों से करें। कोई बाहरी ज्ञान नहीं। अख़बार ने क्या छापा, वास्तव में क्या हुआ, कोई विशेषज्ञ क्या मानता है — इससे कुछ नहीं; कथन ही आपका संपूर्ण ब्रह्मांड है। समाचार अच्छे से पढ़ने वाले अभ्यर्थी यहाँ अक्सर नए विद्यार्थियों से कम अंक पाते हैं, क्योंकि वे अपनी जानकारी जोड़ने से रुक नहीं पाते। कथन को एक छोटा बंद कमरा मानें और केवल उसके भीतर की सामग्री से उत्तर दें।

हल किया कथन–निष्कर्ष। कथन: "प्याज़ के दाम में तीव्र वृद्धि के कारण राज्य ने ज़िले में 200 अनुदानित बिक्री केंद्र खोले हैं।" निष्कर्ष I: ज़िले में प्याज़ का दाम अब शून्य हो जाएगा। नहीं निकलता — "शून्य" कहीं नहीं आया; कथन राहत का समर्थन करता है, शून्य तक गिरावट का नहीं। यही अतिकथन का प्रसिद्ध जाल है। निष्कर्ष II: राज्य को आशा है कि अनुदानित बिक्री उपभोक्ताओं को कुछ राहत देगी। निकलता है — दाम बढ़ने के कारण अनुदानित केंद्र खोलना उस आशा को वर्णित कार्य का स्पष्ट उद्देश्य बना देता है।

हल किया कथन–पूर्वधारणा, निषेध परीक्षण द्वारा। कथन: आयोग की सूचना की एक पंक्ति — "अभ्यर्थी इस माह की 30 तारीख़ से पूर्व ऑनलाइन आवेदन करें।" पूर्वधारणा I: अभ्यर्थियों को इंटरनेट की सुविधा उपलब्ध है। इसका निषेध करें: मान लें कोई भी अभ्यर्थी ऑनलाइन नहीं जा सकता। तब उनसे ऑनलाइन आवेदन कहना निरर्थक होगा — कथन ढह जाता है। अतः I अंतर्निहित है। पूर्वधारणा II: सभी अभ्यर्थी अंतिम दिन आवेदन करेंगे। इसका निषेध करें: मान लें अंतिम दिन कोई आवेदन नहीं करता। सूचना तब भी पूर्णतः सार्थक रहती है। अतः II पूर्वधारणा नहीं है। निषेध परीक्षण अस्पष्ट "क्या यह मानी गई लगती है?" को हाँ-या-नहीं की जाँच में बदल देता है।

हल की गई कार्यवाही। कथन: "प्रत्येक मानसून में उत्तर बिहार के कई गाँव जलमग्न हो जाते हैं, जिससे खड़ी फ़सल और घरों को क्षति होती है।" कार्यवाही I: मानसून से पूर्व तटबंधों व निकास नालों की मरम्मत हो और गाँव-स्तर पर बाढ़-चेतावनी व्यवस्था बनाई जाए। अपनाई जानी चाहिए — यह ठीक बताई गई समस्या पर प्रहार करती है और प्रशासनिक रूप से व्यवहार्य है। कार्यवाही II: सभी प्रभावित गाँवों को स्थायी रूप से अन्यत्र हटा दिया जाए। नहीं अपनाई जानी चाहिए — पूरी आबादी का विस्थापन न व्यवहार्य है, न समुचित। लगभग हर गलत कार्यवाही का यही स्वरूप है: दिशा में सही, व्यवहार में असंभव।

इनपुट–आउटपुट प्रश्न में एक "मशीन" दिखाई जाती है जो शब्दों व संख्याओं की एक पंक्ति को प्रति चरण एक छोटी चाल से पुनर्व्यवस्थित करती है, और आपसे किसी नए इनपुट पर वही पैटर्न आगे बढ़ाने को कहा जाता है। विधि एक ही प्रश्न दो बार पूछना है: इनपुट और चरण I की तुलना करें और पूछें क्या हिला, और कहाँ गया? फिर अपने अनुमान को चरण II से जाँचें। लगभग सदैव हिलने वाली वस्तु सबसे छोटी या सबसे बड़ी संख्या होती है, अथवा वर्णक्रम में पहला या अंतिम शब्द, और वह किसी छोर पर या पहले से व्यवस्थित भाग के आगे की पहली रिक्त जगह पर जाती है।

नियम पूर्ण पंक्ति से पढ़ लें: शब्द – संख्या – शब्द – संख्या …, जिसमें शब्द वर्णक्रम में और संख्याएँ आरोही क्रम में हैं। दो परिणाम अधिकांश उपप्रश्नों का उत्तर दे देते हैं। पहला, छह वस्तुओं के लिए केवल पाँच चरण चाहिए — पहली पाँच रख देने पर छठी के लिए कोई और स्थान बचता ही नहीं, अतः अनावश्यक अंतिम चरण कभी न लिखें। दूसरा, "कौन-सा चरण apple 17 guava 52 mango 34 देता है?" का उत्तर देने के लिए मशीन दोबारा न चलाएँ: गिनें कि आगे की ओर कितनी वस्तुएँ पहले से सही स्थान पर हैं — यहाँ तीन — और वही चरण संख्या है, चरण III।

मैट्रिक्स कूटलेखन प्रश्नों में अक्षरों की दो ग्रिड दी जाती हैं। मैट्रिक्स I में पंक्तियाँ व स्तंभ 0–4 से क्रमांकित होते हैं, मैट्रिक्स II में 5–9 से, और कोई भी अक्षर एक युग्म (पंक्ति, स्तंभ) से कूटबद्ध होता है — अतः कई कोष्ठकों में आने वाले अक्षर के कई वैध कूट होते हैं। विधि: पूछे गए शब्द को एक-एक अक्षर लें, पहले अक्षर के ही वैध कूट सूचीबद्ध करें, और हर उस विकल्प को काट दें जिसकी पहली संख्या उस सूची में नहीं है। सामान्यतः एक-दो विकल्प बचते हैं; उन्हें दूसरे अक्षर पर जाँचें और काम पूरा। सभी अक्षरों के सभी कूट कभी न बनाएँ — घड़ी इसी तरह ख़त्म होती है।

ग्रिड या मंज़िल वाली पहेलियाँ तालिका से हल होती हैं, दिमाग़ी तर्क से नहीं। हल किया लघु उदाहरण: तीन मंज़िला भवन (मंज़िल 1 सबसे नीचे, मंज़िल 3 सबसे ऊपर) में X, Y और Z रहते हैं। (i) X सबसे ऊपरी मंज़िल पर नहीं रहता। (ii) Y, Z के ऊपर रहता है। (iii) Z, X के ठीक ऊपर रहता है। (ii) से संभव (Y, Z) युग्म हैं (2,1), (3,1) और (3,2)। प्रत्येक को (i) पर जाँचें: यदि Y = 2 और Z = 1, तो X = 3, जो (i) तोड़ता है — अस्वीकृत। यदि Y = 3 और Z = 1, तो X = 2, अर्थात् X, Z के ऊपर है और (iii) टूटता है — अस्वीकृत। यदि Y = 3 और Z = 2, तो X = 1, और Z वास्तव में X के ठीक ऊपर है — स्वीकृत। उत्तर: मंज़िल 1 = X, मंज़िल 2 = Z, मंज़िल 3 = Y।