परमाणु संरचना — क्वांटम संख्याएँ, कक्षक व इलेक्ट्रॉनिक विन्यास

परमाणु संरचना वह अध्याय है जो तय करता है कि आप सम्पूर्ण अकार्बनिक रसायन से कितनी अच्छी तरह निपटेंगे, क्योंकि आवर्तिता, आबंधन, रंग, चुंबकत्व व ऑक्सीकरण अवस्थाएँ सभी इसके परिणाम हैं कि इलेक्ट्रॉन कहाँ बैठते हैं। यह वह अध्याय भी है जहाँ पर्चा आंकिक के बजाय अधिकतर संकल्पनात्मक क्षमता जाँचता है: विशिष्ट प्रश्न कक्षकों पर चार कथन देकर पूछता है कि कौन सही है। करने योग्य केंद्रीय बदलाव पथ पर इलेक्ट्रॉन के बोर चित्र से इलेक्ट्रॉन के अप्रगामी तरंग जिसका वर्ग प्रायिकता देता है के क्वांटम-यांत्रिक चित्र की ओर है। वह बदलाव हो जाने पर कक्षकों के आकार, नोडों का अस्तित्व व निश्चित पथ की असंभवता सब रटने योग्य तथ्य होना बंद कर देते हैं और पुनर्निर्मित करने योग्य बातें बन जाते हैं।

बोर ने क्या ठीक कहा, और वह कहाँ टूटता है

बोर ने अभिगृहीत किया कि कोणीय संवेग क्वांटीकृत है, mvr = nh/2π, जो हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा को केवल Eₙ = −13.6/n² eV मान लेने और त्रिज्या को rₙ = 0.529 n² Å होने हेतु बाध्य करता है। Z नाभिकीय आवेश वाली एक-इलेक्ट्रॉन स्पीशीज़ हेतु ये Eₙ = −13.6 Z²/n² eV व rₙ = 0.529 n²/Z Å बन जाते हैं। ये सूत्र अभी भी बहुत पूछे जाते हैं क्योंकि वे H, He⁺, Li²⁺ व Be³⁺ हेतु यथार्थ हैं — ठीक एक इलेक्ट्रॉन वाली कोई भी स्पीशीज़।

बोर राशियाँ n व Z के साथ कैसे बदलती हैं
राशिनिर्भरतायाद रखने योग्य परिणाम
त्रिज्या rₙ∝ n²/ZH का n = 2 कोश n = 1 कोश का चार गुना है
ऊर्जा Eₙ∝ −Z²/n²n बढ़ने पर स्तर सटते हैं और 0 पर अभिसरित होते हैं
वेग vₙ∝ Z/nबाह्य कोशों में इलेक्ट्रॉन धीमे चलते हैं
कोणीय संवेगकेवल ∝ nZ से स्वतंत्र — समान n पर H व Li²⁺ हेतु एक ही
आवर्तकाल∝ n³/Z²बाह्य कक्षाएँ प्रति चक्कर बहुत धीमी हैं
⚠️ दो इलेक्ट्रॉन होते ही बोर विफल हो जाता है
मॉडल हीलियम का स्पेक्ट्रम, चुंबकीय क्षेत्र में रेखाओं का विपाटन, या स्वयं हाइड्रोजन की सूक्ष्म संरचना नहीं समझा सकता — और, सर्वाधिक मूल रूप से, वह इलेक्ट्रॉन को निश्चित त्रिज्या व निश्चित संवेग दोनों देकर अनिश्चितता सिद्धांत का उल्लंघन करता है। अतः जो प्रश्न "लिथियम परमाणु की तृतीय कक्षा की त्रिज्या" पूछता है वह जाँच रहा है कि आपने देखा या नहीं कि उदासीन Li में तीन इलेक्ट्रॉन हैं और बोर सूत्र लागू नहीं होता; सूत्र Li²⁺ हेतु कार्य करता है, Li हेतु नहीं। 0.529 n²/Z की ओर बढ़ने से पूर्व आवेश पढ़ें।

तथापि बोर रिडबर्ग संबंध 1/λ = R_H Z²(1/n₁² − 1/n₂²) से स्पेक्ट्रमी श्रेणियाँ ठीक देता है। लाइमन श्रेणी (n₁ = 1) पराबैंगनी में है, बामर (n₁ = 2) दृश्य में — एकमात्र श्रेणी जो आप देख सकते हैं — पाश्चन (n₁ = 3) व ब्रैकेट (n₁ = 4) अवरक्त में। n स्तर से मूल अवस्था तक इलेक्ट्रॉन गिरने पर उत्सर्जित भिन्न स्पेक्ट्रमी रेखाओं की संख्या n(n − 1)/2 है, एक छोटा संचय-सिद्धांत परिणाम जो लगभग प्रत्येक वर्ष आता है।

चार क्वांटम संख्याएँ

प्रत्येक क्वांटम संख्या क्या तय करती है
संकेत व नामअनुमत मानवह क्या निर्धारित करती है
n — मुख्य1, 2, 3, …कोश, आकार व (हाइड्रोजन हेतु) पूर्णतः ऊर्जा
l — दिगंशी0 से n − 1उपकोश व आकृति: 0 = s, 1 = p, 2 = d, 3 = f
m — चुंबकीय−l से +l, अतः 2l + 1 मानदिक्स्थान में अभिविन्यास — इसीलिए p में तीन कक्षक व d में पाँच
s — चक्रण+½ या −½चक्रण अभिविन्यास; प्रत्येक कक्षक को दो इलेक्ट्रॉनों पर सीमित करता है

गणना सीधे निकलती है। उपकोश 2(2l + 1) इलेक्ट्रॉन रखता है, कोश 2n²। त्रिज्य नोडों की संख्या n − l − 1, कोणीय नोडों की संख्या l, और कुल सदा n − 1 है। अतः 3d कक्षक (n = 3, l = 2) में शून्य त्रिज्य व दो कोणीय नोड हैं, जबकि 3s में दो त्रिज्य व कोई कोणीय नहीं — दोनों का कुल 2। जो प्रश्न "4f में नोडों की संख्या" पूछते हैं वे आपसे n − 1 = 3 लगाकर तत्पश्चात् उसे l = 3 कोणीय व 4 − 3 − 1 = 0 त्रिज्य में बाँटने को कह रहे हैं।

🎯 2p कक्षक में त्रिज्य नोड क्यों नहीं परंतु 3p में एक है
नोड वह सतह है जहाँ तरंगफलन चिह्न बदलता है, और अप्रगामी तरंग को परमाणु में समाने वाली प्रत्येक अतिरिक्त अर्ध-तरंगदैर्घ्य हेतु एक अतिरिक्त चिह्न-परिवर्तन चाहिए। 2p से 3p जाने पर आकृति बनी रहती है (अभी भी डंबल, अतः अभी भी नाभिक से गुजरता एक कोणीय नोड) परंतु एक और त्रिज्य दोलन जुड़ता है, अतः एक त्रिज्य नोड। सूत्र n − l − 1 केवल यही हिसाब है: कुल n − 1 चिह्न-परिवर्तन, जिनमें से l आकृति द्वारा प्रयुक्त, शेष त्रिज्य दिशा हेतु। इस प्रकार समझने का अर्थ है कि आपको व्यक्तिगत कक्षकों हेतु नोड-संख्याएँ कभी रटनी नहीं पड़ेंगी।
⚠️ कक्षक कक्षा नहीं है, और इलेक्ट्रॉन का पथ नहीं होता
हाइज़ेनबर्ग सिद्धांत Δx·Δp ≥ h/4π स्थिति व संवेग के एक साथ यथार्थ ज्ञान को वर्जित करता है, अतः इलेक्ट्रॉन हेतु प्रक्षेप-पथ का विचार ही अर्थहीन है। ψ² जो देता है वह प्रायिकता घनत्व है, और "कक्षक" उस प्रायिकता के लगभग 90 % को घेरने वाला क्षेत्र है। तीन परिणाम पूछे जाते हैं: 2pₓ कक्षक में नाभिक से गुजरता नोडीय तल है जहाँ प्रायिकता ठीक शून्य है (फिर भी इलेक्ट्रॉन एक पालि से दूसरी तक पहुँचता है, क्योंकि वह कभी किसी पथ पर चल ही नहीं रहा था); सीमा-सतह परिपाटी है, दीवार नहीं; और इलेक्ट्रॉन किसी शाब्दिक अर्थ में "चक्रण" नहीं कर रहा — चक्रण एक अंतर्निहित गुण है जिसका कोई चिरसम्मत सादृश्य नहीं।

दे ब्रॉग्ली दोनों चित्रों को जोड़ता है: λ = h/mv, या λ = h/√(2mKE), और V वोल्ट से त्वरित आवेशित कण हेतु इलेक्ट्रॉन के लिए λ = √(150/V) Å। क्रिकेट गेंद हेतु तरंग व्यवहार अदृश्य होने का कारण केवल यह है कि h 6.626 × 10⁻³⁴ है — 10 मी/से पर 100 ग्राम की गेंद की तरंगदैर्घ्य लगभग 10⁻³⁴ मी है, किसी भी छिद्र से अकल्पनीय रूप से छोटी जिससे वह विवर्तित हो सके। बोर की क्वांटीकरण शर्त दे ब्रॉग्ली से निकलती है: कक्षा तब ही अनुमत है जब उसकी परिधि पूर्ण संख्या में तरंगदैर्घ्य समाए, 2πr = nλ।

कक्षक भरना — और प्रसिद्ध अपवाद

भरने को तीन नियम शासित करते हैं। आउफबाउ: इलेक्ट्रॉन निम्नतम उपलब्ध ऊर्जा कक्षक भरते हैं, और बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं हेतु क्रम बढ़ते (n + l) का अनुसरण करता है, बराबरी में छोटा n आगे। पाउली: किसी परमाणु में दो इलेक्ट्रॉन सभी चार क्वांटम संख्याएँ साझा नहीं करते, जो कक्षक को दो पर सीमित करता है। हुंड: अपभ्रष्ट उपकोश के भीतर, कोई कक्षक द्विगुणित होने से पूर्व इलेक्ट्रॉन समांतर चक्रणों सहित पृथक् कक्षक भरते हैं।

🧠 (n + l) नियम भरने का क्रम रटने का स्थान लेता है
4s (n + l = 4 + 0 = 4) की 3d (3 + 2 = 5) से तुलना करें: 4s का योग छोटा है और वह पहले भरता है, ठीक इसीलिए पोटैशियम [Ar]4s¹ है, [Ar]3d¹ नहीं। 3d (5) की 4p (4 + 1 = 5) से तुलना करें: योग बराबर हैं, अतः छोटा n जीतता है और 3d, 4p से पूर्व भरता है। यह लगाने से सम्पूर्ण क्रम 1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s बिना किसी विकर्ण आरेख के बन जाता है। ध्यान दें कि 3d इलेक्ट्रॉन उपस्थित हो जाने पर वे 4s से नीची ऊर्जा पर होते हैं, इसीलिए संक्रमण धातुएँ आयनित होने पर पहले 4s इलेक्ट्रॉन खोती हैं — Fe²⁺ [Ar]3d⁶ है, [Ar]3d⁴4s² नहीं।
पर्चा जिन विन्यास-अपवादों को नाम से अपेक्षित करता है
तत्वअपेक्षितवास्तविक
Cr (Z = 24)[Ar]3d⁴4s²[Ar]3d⁵4s¹ — अर्ध-पूरित d
Cu (Z = 29)[Ar]3d⁹4s²[Ar]3d¹⁰4s¹ — पूर्ण पूरित d
Mo (Z = 42)[Kr]4d⁴5s²[Kr]4d⁵5s¹
Ag (Z = 47)[Kr]4d⁹5s²[Kr]4d¹⁰5s¹
Pd (Z = 46)[Kr]4d⁸5s²[Kr]4d¹⁰5s⁰ — दोनों s इलेक्ट्रॉन भीतर चले जाते हैं
🎯 अर्ध-पूरित व पूर्ण पूरित उपकोश अतिरिक्त स्थायी क्यों हैं
दो प्रभाव जुड़ते हैं। समिति: d⁵ या d¹⁰ समुच्चय का आवेश-वितरण गोलीय सममित है, जो प्रतिकर्षण घटाता है। विनिमय ऊर्जा: भिन्न कक्षकों में समांतर चक्रण वाले इलेक्ट्रॉन स्थान बदल सकते हैं, और ऐसा प्रत्येक विनिमय ऊर्जा घटाता है। n समांतर इलेक्ट्रॉनों हेतु विनिमय-युग्मों की संख्या n(n − 1)/2 है, अतः पाँच समांतर चक्रणों सहित d⁵ 10 विनिमय-युग्म देता है, d⁴ हेतु केवल 6 के सामने — एक 4s इलेक्ट्रॉन के उन्नयन की लागत से भारी पर्याप्त लाभ। यही कारण है कि Mn²⁺ (d⁵) असामान्य रूप से स्थायी है और Fe³⁺ (d⁵) जितना प्रबल ऑक्सीकरण-लक्ष्य है उतना Fe²⁺ अपचायक नहीं।

दो व्युत्पन्न राशियाँ सीधे पूछी जाती हैं। अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या वास्तविक विन्यास पर लगाए हुंड नियम से निकलती है; जिसमें कोई नहीं वह प्रतिचुंबकीय है और जिसमें कोई है वह अनुचुंबकीय। केवल-चक्रण चुंबकीय आघूर्ण n अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों हेतु μ = √(n(n + 2)) बोर मैग्नेटॉन है, एक हेतु 1.73, दो हेतु 2.83, तीन हेतु 3.87, चार हेतु 4.90 व पाँच हेतु 5.92 देते हुए — सीधे जानने योग्य छोटी सारणी, क्योंकि उपसहसंयोजन-रसायन के प्रश्न मापे गए μ से अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या और अतः ज्यामिति तक गणना उलटी चलाते हैं।

मुख्य बिंदु

  • बोर केवल एक-इलेक्ट्रॉन स्पीशीज़ हेतु यथार्थ है: Eₙ = −13.6Z²/n² eV, rₙ = 0.529n²/Z Å। पहले आवेश जाँचें।
  • कोणीय संवेग केवल n पर निर्भर है, Z पर नहीं — समान कोश में H व Li²⁺ हेतु एक ही।
  • n स्तर से गिरता इलेक्ट्रॉन n(n − 1)/2 भिन्न स्पेक्ट्रमी रेखाएँ उत्सर्जित करता है; केवल बामर श्रेणी दृश्य है।
  • l आकृति तय करता है, m अभिविन्यास (2l + 1 कक्षक), s प्रत्येक कक्षक को दो इलेक्ट्रॉनों पर सीमित करता है।
  • त्रिज्य नोड = n − l − 1, कोणीय नोड = l, कुल सदा n − 1।
  • कक्षक बढ़ते (n + l) से भरते हैं, बराबरी में छोटा n आगे — 3d से पूर्व 4s, 4p से पूर्व 3d।
  • Cr, 3d⁵4s¹ व Cu, 3d¹⁰4s¹ है क्योंकि समिति व विनिमय ऊर्जा अर्ध-पूरित व पूरित d का पक्ष लेती है।
  • केवल-चक्रण आघूर्ण μ = √(n(n + 2)) BM: एक से पाँच अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों हेतु 1.73, 2.83, 3.87, 4.90, 5.92।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 3p कक्षक में नोडों की कुल संख्या है:

    1. 1
    2. 2
    3. 3
    4. 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2

    कुल नोड = n − 1 = 3 − 1 = 2, जो l = 1 कोणीय नोड (नाभिक से गुजरता नोडीय तल) व n − l − 1 = 1 त्रिज्य नोड से बने हैं। उत्तर 1 केवल त्रिज्य गणना बताने से मिलता है, जो यहाँ सर्वाधिक सामान्य चूक है — प्रश्न ने कुल पूछा, और कोणीय नोड भी नोड हैं।

  2. क्रोमियम (Z = 24) का मूल-अवस्था इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है:

    1. [Ar]3d⁴4s²
    2. [Ar]3d⁵4s¹
    3. [Ar]3d⁶4s⁰
    4. [Ar]3d³4s²4p¹
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — [Ar]3d⁵4s¹

    क्रोमियम एक 4s इलेक्ट्रॉन का उन्नयन करके अर्ध-पूरित [Ar]3d⁵4s¹ देता है, क्योंकि गोलीय सममित d⁵ समुच्चय तथा पाँच समांतर चक्रणों से अतिरिक्त विनिमय ऊर्जा (d⁴ हेतु 6 के सामने 10 विनिमय-युग्म) उन्नयन-लागत से अधिक चुका देती है। भोला आउफबाउ उत्तर [Ar]3d⁴4s² ठीक इसीलिए प्रथम दिया गया कि स्थायित्व-संशोधनों से पूर्व भरने का नियम वही बताता है।

  3. निम्न में से किसके लिए बोर व्यंजक rₙ = 0.529 n²/Z Å वैध होगा?

    1. He परमाणु
    2. Li परमाणु
    3. Li²⁺ आयन
    4. H₂ अणु
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — Li²⁺ आयन

    बोर मॉडल केवल ठीक एक इलेक्ट्रॉन वाली स्पीशीज़ पर लागू है, क्योंकि वह इलेक्ट्रॉन–इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण पूर्णतः उपेक्षित करता है। Li²⁺ ने अपने तीन में से दो इलेक्ट्रॉन खो दिए हैं अतः वह योग्य है, जैसे H, He⁺ व Be³⁺। उदासीन He व Li में क्रमशः दो व तीन इलेक्ट्रॉन हैं, और H₂ दो नाभिकों वाला अणु है — इनमें से किसी को एक-इलेक्ट्रॉन सूत्र नहीं सँभाल सकता।

  4. अष्टफलकीय दुर्बल क्षेत्र में Fe²⁺ ([Ar]3d⁶) का केवल-चक्रण चुंबकीय आघूर्ण निकटतम है:

    1. 1.73 BM
    2. 2.83 BM
    3. 4.90 BM
    4. 5.92 BM
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 4.90 BM

    दुर्बल क्षेत्र में d⁶ समुच्चय उच्च-चक्रण है, अतः हुंड नियम पाँचों कक्षक एकाकी भरता है और छठा इलेक्ट्रॉन युग्मित हो जाता है, चार अयुग्मित इलेक्ट्रॉन छोड़ते हुए। तब μ = √(4 × 6) = √24 = 4.90 BM। 5.92 विकल्प पाँच अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों से मेल खाता है, जो d⁵ (Fe³⁺) होगा, d⁶ नहीं — ऑक्सीकरण अवस्था का ऐसा बदलाव जिसका उपयोग प्रश्न यह जाँचने हेतु करते हैं कि आपने वास्तव में नामित आयन के इलेक्ट्रॉन गिने या नहीं।

  5. हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन n = 4 से मूल अवस्था में गिरता है। देखी गई भिन्न स्पेक्ट्रमी रेखाओं की अधिकतम संख्या है:

    1. 3
    2. 4
    3. 6
    4. 10
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 6

    1 से 4 तक स्तरों का प्रत्येक युग्म संक्रमण दे सकता है, अतः गणना n(n − 1)/2 = 4 × 3/2 = 6 है: छलाँगें 4→3, 4→2, 4→1, 3→2, 3→1 व 2→1। उत्तर 3 केवल मूल अवस्था तक सीधी गिरावटें गिनता है और झरना छोड़ देता है, जो सामान्य त्रुटि है — इलेक्ट्रॉन को एक ही चरण में गिरना आवश्यक नहीं।

  6. (n + l) नियम के अनुसार 3d से पूर्व कौन-सा कक्षक भरता है?

    1. 4p
    2. 4s
    3. 4d
    4. 4f
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4s

    4s हेतु n + l = 4 + 0 = 4; 3d हेतु n + l = 3 + 2 = 5। छोटा योग पहले भरता है, अतः 4s, 3d से पूर्व आता है — ठीक इसीलिए पोटैशियम [Ar]4s¹ है। 4p हेतु योग 5 है, 3d से बराबरी करते हुए, और बराबरी छोटे n से टूटती है, अतः 3d, 4p के बाद नहीं बल्कि उससे पूर्व भरता है।

  7. n = 4 व l = 3 वाले उपकोश में समा सकने वाले इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम संख्या है:

    1. 10
    2. 14
    3. 18
    4. 32
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 14

    l = 3, f उपकोश है, जिसमें 2l + 1 = 7 कक्षक और अतः 2 × 7 = 14 इलेक्ट्रॉन हैं। उत्तर 32, n = 4 हेतु 2n² है, जो सम्पूर्ण चतुर्थ कोश की क्षमता है (4s + 4p + 4d + 4f = 2 + 6 + 10 + 14), उस एक उपकोश की नहीं जिसे प्रश्न ने निर्दिष्ट किया।

  8. 2pₓ कक्षक के विषय में कौन-सा कथन सही है?

    1. इलेक्ट्रॉन उसके भीतर नियत वृत्तीय पथ पर चलता है
    2. उसमें नाभिक से गुजरता एक नोडीय तल है
    3. वह छह इलेक्ट्रॉन तक रख सकता है
    4. उसकी सीमा-सतह इलेक्ट्रॉन प्रायिकता का 100 % घेरती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — उसमें नाभिक से गुजरता एक नोडीय तल है

    p कक्षक का l = 1 है और अतः एक कोणीय नोड — 2pₓ हेतु यह नाभिक से गुजरता yz तल है, जहाँ प्रायिकता घनत्व ठीक शून्य है। पथ विकल्प अनिश्चितता सिद्धांत का विरोध करता है, छह इलेक्ट्रॉन एक कक्षक के बजाय सम्पूर्ण 2p उपकोश की क्षमता है, और सीमा-सतह परिपाटी से प्रायिकता का लगभग 90 % घेरने हेतु खींची जाती है, क्योंकि तरंगफलन किसी परिमित दूरी पर ठीक शून्य तक कभी नहीं गिरता।