For an incompressible fluid, the continuity equation reduces to

∇·V = 0, so the net outflow from any small volume is zero

∂ρ/∂t = 0 at every point, so the flow must be steady in time and the velocity cannot vary

∇·V = 0, so the net outflow from any small volume is zero

∇p = 0, so the pressure is uniform and there is no pressure-gradient force

V = 0 everywhere, so an incompressible fluid must always be at rest relative to the Earth

Which statement about the Coriolis force on a moving air parcel is correct?

It acts at right angles to the velocity, so it changes direction but does no work

It speeds the parcel up whenever the parcel moves toward the poles across latitude circles

It acts at right angles to the velocity, so it changes direction but does no work

It acts on air that is at rest relative to the Earth and so it is the force that starts a wind

It is largest at the equator, where the Earth's rotation is fastest, and zero at the poles

In the Southern Hemisphere, a geostrophic wind blows with the low-pressure region

on its right, because f is negative and the Coriolis force is to the left of the motion

on its left-hand side, exactly as in the Northern Hemisphere, because the pressure field alone fixes the side

directly ahead of the wind, because a geostrophic wind flows straight toward low pressure

on its right, because f is negative and the Coriolis force is to the left of the motion

behind the wind, since in the Southern Hemisphere the pressure-gradient force is reversed in direction

Two places have the same pressure gradient and air density, one at 30° latitude and the other at 60° in the same hemisphere. The ratio of the geostrophic wind speed at 30° to that at 60° is closest to

1.73, since the wind is inversely proportional to sin φ

0.58, since the wind is proportional to sin φ

1.00, since the geostrophic wind does not depend on latitude

0.50, since the wind is proportional to the latitude

1.73, since the wind is inversely proportional to sin φ

The geostrophic approximation is unsuitable within a few degrees of the equator mainly because

f → 0, so the Coriolis force cannot balance the pressure-gradient force

the pressure gradient vanishes there

gravity changes sign at the equator

f → 0, so the Coriolis force cannot balance the pressure-gradient force

the air there is always saturated and cannot be treated as an ideal gas

Compared with the geostrophic wind computed from the same pressure gradient, the gradient wind around a high-pressure centre in the Northern Hemisphere is

supergeostrophic, because the Coriolis force must exceed the pressure-gradient force to supply the inward acceleration

subgeostrophic, because the centripetal acceleration opposes the Coriolis force and slows the flow

supergeostrophic, because the Coriolis force must exceed the pressure-gradient force to supply the inward acceleration

exactly equal to it, because the isobars are closed curves and so the curvature has no effect

directed across the isobars toward the centre of the high, since the pressure-gradient force is inward

Cyclostrophic balance, V²/R = (1/ρ)|∂p/∂r|, is a good approximation in which situation?

A tornado or dust devil, with small R and a very large Rossby number

A broad mid-latitude high with weak winds, a large radius and Rossby number below one

A long straight upper-level jet stream with a Rossby number of about 0.1

The slow drift of air in a large, deep anticyclone situated near the pole

A tornado or dust devil, with small R and a very large Rossby number

A vortex of radius R = 100 km has wind speed V = 10 m/s at latitude 30° (f = 7.3×10⁻⁵ s⁻¹). Which balance is the best first approximation?

Gradient wind, since Ro is about 1.4 and the three terms are comparable

Geostrophic, since the Rossby number is about 0.1 and rotation dominates

Gradient wind, since Ro is about 1.4 and the three terms are comparable

Cyclostrophic, since the Rossby number is about 100 and Coriolis is negligible

Hydrostatic, since the vortex has a small vertical extent compared with its width

A parcel moves in a horizontal circle of radius R at speed V. Viewed from an inertial frame, the inward net force per unit mass is

V²/R, which is the centripetal acceleration times the unit mass

zero, because the centrifugal force cancels the inward force

V²/R outward, since the parcel tends to move away from the centre

2ΩV, which is the Coriolis force alone

Select ALL correct statements about forces in the atmosphere.

The pressure-gradient force is perpendicular to the isobars and points from high to low pressure

The Coriolis parameter f is zero at the equator and changes sign across it

The pressure-gradient force is perpendicular to the isobars and points from high to low pressure

The Coriolis parameter f is zero at the equator and changes sign across it

The centrifugal force is a real force that the isobars exert on moving air

The Coriolis force can increase the kinetic energy of a parcel moving across latitudes

Select ALL correct statements about balanced winds.

Around a low in the Northern Hemisphere the gradient wind is slower than the geostrophic wind for the same pressure gradient

For an anticyclone, the gradient-wind solution exists only if (1/ρ)|∂p/∂r| ≤ f²R/4

Around a low in the Northern Hemisphere the gradient wind is slower than the geostrophic wind for the same pressure gradient

For an anticyclone, the gradient-wind solution exists only if (1/ρ)|∂p/∂r| ≤ f²R/4

Cyclostrophic wind can occur around a high-pressure centre as readily as around a low

Cyclostrophic wind speed depends on the Coriolis parameter

A Northern Hemisphere geostrophic wind blows from west to east. Select ALL statements that must be true.

Pressure is lower to the north of the wind than to the south

The pressure-gradient force on the air points toward the north

The Coriolis force on the air points toward the south

Pressure is lower to the north of the wind than to the south

The pressure-gradient force on the air points toward the north

The Coriolis force on the air points toward the south

The wind has low pressure on its right-hand side

गति के समीकरण, बल व संतुलित पवनें: भूविक्षेपी, प्रवणता व चक्रवातीय (cyclostrophic)

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर का है। यह XE7 वायुमंडलीय एवं महासागरीय विज्ञान के खंड XE7.1 वायुमंडलीय विज्ञान की गतिकी-सूची के पूर्वार्ध का उत्तर देता है; XE7 नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है, जिनमें से परीक्षा में अभ्यर्थी कोई दो चुनता है: “Navier-Stokes व सांतत्य समीकरण; संपीड्य व असंपीड्य तरल; दाब-प्रवणता, अभिकेंद्र, अपकेंद्र व Coriolis बल; भूविक्षेपी, प्रवणता व चक्रवातीय संतुलन।” यह वायु के लिए सांतत्य व Navier–Stokes समीकरण, संपीड्य बनाम असंपीड्य निरूपण, वास्तविक व आभासी बल, घूर्णी निर्देश-तंत्र में गति के समीकरण व Rossby संख्या, और प्रत्येक गोलार्ध में दिशा सहित तीनों संतुलित पवनें पढ़ाता है। संख्यात्मक प्रश्न Coriolis प्राचल, Rossby संख्या, दाब-प्रवणता से भूविक्षेपी चाल व प्रवणता-पवन की चाल हैं। प्रयुक्त स्थिरांक: Ω = 7.292×10⁻⁵ s⁻¹, पृथ्वी की त्रिज्या 6371 km, g = 9.81 m/s², और वायु का घनत्व प्रत्येक प्रश्न में दिया गया है।

1. सांतत्य व Navier–Stokes समीकरण; संपीड्य व असंपीड्य तरल

वायु तरल है, अतः उसकी गति द्रव्यमान-संरक्षण व न्यूटन के द्वितीय नियम का पालन करती है। यूलरीय रूप में द्रव्यमान-संरक्षण (सांतत्य) ∂ρ/∂t + ∇·(ρV) = 0 है; पदार्थ-अवकलज D/Dt = ∂/∂t + V·∇ के साथ यह Dρ/Dt = −ρ ∇·V लिखा जाता है। तरल असंपीड्य है यदि गतिमान पार्सल का घनत्व नहीं बदलता, Dρ/Dt = 0, और तब ∇·V = 0: प्रवाह में कोई नेट अपसरण नहीं और जो आयतन में प्रवेश करता है वह निकल जाता है। संपीड्य तरल में जहाँ पार्सल फैलते या सिकुड़ते हैं वहाँ ∇·V ≠ 0 होता है।

वायु संपीड्य गैस है (उसका घनत्व लगभग हर 8 km पर e गुना घटता है), फिर भी उथली गतियों के लिए और ध्वनि की चाल से बहुत कम चाल वाले प्रवाह के लिए (Mach संख्या लगभग 0.3 से कम, जैसा सभी पवनों में है) असंपीड्य रूप प्रायः प्रयुक्त होता है। गहरी, बृहत् पैमाने की गति के लिए मौसम-विज्ञानी संदर्भ घनत्व-प्रोफ़ाइल ρ₀(z) के साथ ∇·(ρ₀(z)V) = 0 (अनुप्रत्यास्थ रूप) लेते हैं, या दाब-निर्देशांक में काम करते हैं, जहाँ सांतत्य ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂ω/∂p = 0 के असंपीड्य-सदृश यथार्थ रूप में आता है, ω = Dp/Dt। क्षैतिज प्रवाह में अभिसरण (∇_h·V < 0) को ऊर्ध्वाधर गति संतुलित करती है: निम्न स्तरों पर अभिसारी वायु ऊपर उठती है।

Navier–Stokes समीकरण श्यान तरल के लिए प्रति इकाई द्रव्यमान न्यूटन का द्वितीय नियम है। घूमती पृथ्वी से जुड़े निर्देश-तंत्र में: DV/Dt = −(1/ρ)∇p − 2Ω×V + g + ν∇²V (अंतिम पद, आण्विक घर्षण, जिसमें वायु के लिए ν = 1.5×10⁻⁵ m²/s)। त्वरण = दाब-प्रवणता बल, साथ में Coriolis पद, गुरुत्व व घर्षण। मुक्त वायुमंडल में आण्विक श्यानता नगण्य है; घर्षण सीमा-परत (सबसे निचले 1 km) में विक्षुब्ध प्रतिबल के रूप में महत्त्व रखता है, जिसे प्राचलित किया जाता है।

2. दाब-प्रवणता, अभिकेंद्र, अपकेंद्र व Coriolis बल

दाब-प्रवणता बल (PGF), प्रति इकाई द्रव्यमान, −(1/ρ)∇p है। यह वास्तविक बल है जो उच्च से निम्न दाब की ओर, समदाब रेखाओं के लंबवत, लगता है और जहाँ समदाब रेखाएँ पास-पास हों वहाँ अधिक है। विरामावस्था से पवन आरंभ करने वाला यही एकमात्र बल है।
अभिकेंद्र त्वरण वृत्तीय पथ (त्रिज्या R) पर चलने हेतु किसी भी पिंड को वक्रता-केंद्र की ओर चाहिए होने वाला आंतरिक त्वरण V²/R है। यह बल नहीं, आवश्यकता है, जिसे वास्तविक बलों का परिणामी पूरा करता है।
अपकेंद्र बल (प्रति इकाई द्रव्यमान V²/R, बाहर की ओर) आभासी बल है जो तभी प्रकट होता है जब हम गति को वक्र पथ या पृथ्वी के घूर्णी निर्देश-तंत्र में वर्णित करते हैं। पृथ्वी का अपना अपकेंद्र पद Ω²r प्रभावी गुरुत्व g में समा जाता है, इसीलिए g विषुवत् रेखा पर 9.78 m/s² और ध्रुवों पर 9.83 m/s² है।
Coriolis बल (प्रति इकाई द्रव्यमान −2Ω×V) घूमती पृथ्वी के सापेक्ष गतिमान पिंड पर लगने वाला आभासी बल है। इसका क्षैतिज भाग चाल का 2Ω sin φ गुना है, वेग के लंबवत: उत्तरी गोलार्ध में दाईं ओर, दक्षिणी में बाईं ओर। यह कार्य नहीं करता (V के लंबवत है), इसलिए पवन की चाल बदले बिना उसे मोड़ता है, और केवल गतिमान वायु पर लगता है।

Coriolis प्राचल f = 2Ω sin φ परिभाषित करें, Ω = 7.292×10⁻⁵ s⁻¹ (86 164 s के नाक्षत्र दिवस पर 2π) व φ अक्षांश। f विषुवत् रेखा पर शून्य, 30° पर 7.29×10⁻⁵ s⁻¹, 45° पर 1.03×10⁻⁴ s⁻¹ व ध्रुवों पर 1.46×10⁻⁴ s⁻¹ है; दक्षिणी गोलार्ध में ऋणात्मक। इसका सहचर पद, जिसमें 2Ω cos φ पूर्व-पश्चिम गति को ऊर्ध्वाधर बल से जोड़ता है, g के सामने नगण्य है। चूँकि उष्णकटिबंध में f सबसे कम है, वहाँ भूविक्षेपी संतुलन विफल रहता है।

⚠️ अपकेंद्र बल पवन पर लगने वाला वास्तविक बल नहीं है

जड़त्वीय निर्देश-तंत्र में कोई बाहर की ओर बल नहीं है: पार्सल को नेट आंतरिक बल चाहिए, और अभिकेंद्र त्वरण V²/R वही आवश्यकता है। अपकेंद्र पद का उपयोग तभी करें जब आप घूर्णी निर्देश-तंत्र में भी रहें, और एक ही संतुलन में अभिकेंद्र त्वरण व अपकेंद्र बल दोनों कभी न लें। इसी प्रकार Coriolis बल पवन का कारण नहीं है: वह केवल गतिमान वायु को मोड़ता है।

3. क्षैतिज गति-समीकरण व Rossby संख्या

मध्य अक्षांश के समतल (f-तल) पर, z ऊर्ध्वाधर लेकर व घर्षण छोड़कर, Navier–Stokes से क्षैतिज समीकरण हैं: Du/Dt = −(1/ρ)∂p/∂x + f v तथा Dv/Dt = −(1/ρ)∂p/∂y − f u। पूर्व-पश्चिम समीकरण में Coriolis पद +f v और उत्तर-दक्षिण समीकरण में −f u हैं: पूर्व की ओर बहती पवन (u > 0) दक्षिण की ओर, यानी अपनी दाईं ओर, त्वरित होती है। ऊर्ध्वाधर में, बृहत् पैमाने के प्रवाह के लिए ऊर्ध्वाधर समीकरण द्रवस्थैतिक समीकरण ∂p/∂z = −ρg में सिमट जाता है।

Rossby संख्या। चाल U व लंबाई-पैमाने L वाले प्रवाह में त्वरण के परिमाण U²/L और Coriolis पद fU का अनुपात Ro = U/(fL) है। एक सिनॉप्टिक तंत्र (U = 10 m/s, L = 1000 km, f = 10⁻⁴ s⁻¹) का Ro = 10 / (10⁻⁴ × 10⁶) = 0.1 है, अतः त्वरण Coriolis बल का केवल दसवाँ भाग है और प्रवाह भूविक्षेपी के निकट है। एक बवंडर (tornado) (U = 70 m/s, L = 300 m) का Ro = 70 / (10⁻⁴ × 300) ≈ 2300 है, अतः पृथ्वी का घूर्णन अप्रासंगिक है। छोटा Ro का अर्थ है कि घूर्णन प्रभावी है।

Rossby संख्या व लागू संतुलन
Ro	संतुलन	उदाहरण
≪ 1	भूविक्षेपी: PGF = Coriolis	मध्य अक्षांशों में सीधी जेट व बृहत् सिनॉप्टिक तंत्र
≈ 1	प्रवणता: PGF, Coriolis व अभिकेंद्र	निम्न व उच्च के चारों ओर वक्र प्रवाह, मध्य-अक्षांशीय चक्रवात
≫ 1	चक्रवातीय (cyclostrophic): PGF = अभिकेंद्र	बवंडर, धूल-भँवर, उष्णकटिबंधीय चक्रवात का भीतरी क्रोड

4. भूविक्षेपी संतुलन व पवन की दिशा

घर्षण-रहित, अत्वरित, सीधे प्रवाह (Ro ≪ 1) के लिए क्षैतिज समीकरण f v_g = (1/ρ)∂p/∂x व f u_g = −(1/ρ)∂p/∂y हो जाते हैं: दाब-प्रवणता बल Coriolis बल को संतुलित करता है। सदिश रूप में f k × V_g = −(1/ρ)∇p। चाल V_g = |∇p| / (ρ|f|) है, समदाब रेखाओं के अनुदिश। दाब-निर्देशांक में ρ की जगह ऊँचाई आती है: V_g = (g/f) k × ∇_p z, अतः पवन दाब-पृष्ठ के ऊँचाई-कंटूरों के समांतर बहती है।

दिशा। PGF निम्न दाब की ओर है। उत्तरी गोलार्ध (f > 0) में Coriolis बल निम्न दाब से दूर, पवन की दाईं ओर, होना चाहिए, अतः पवन के बाईं ओर निम्न दाब होता है (Buys Ballot का नियम: पवन की ओर पीठ करके खड़े हों तो निम्न दाब आपके बाएँ होगा)। पवन निम्न के चारों ओर वामावर्त और उच्च के चारों ओर दक्षिणावर्त चक्कर लगाती है। दक्षिणी गोलार्ध में f < 0 है, चिह्न उलट जाते हैं: निम्न दाब दाईं ओर होता है, निम्न के चारों ओर प्रवाह दक्षिणावर्त। धरातल के निकट घर्षण Coriolis बल को दुर्बल करता है, और पवन समदाब रेखाओं को निम्न दाब की ओर प्रायः 10 से 45° के कोण पर काटती है।

हल किया उदाहरण। जिस अक्षांश पर f = 1.0×10⁻⁴ s⁻¹ है, वहाँ 400 km पर समदाब रेखाएँ 4 hPa के अंतर पर हैं, ρ = 1.2 kg/m³। दाब-प्रवणता = 400 Pa / 4×10⁵ m = 1.0×10⁻³ Pa/m। V_g = 1.0×10⁻³ / (1.2 × 1.0×10⁻⁴) = 8.3 m/s। समदाब रेखाओं का अंतर आधा करने पर V_g दोगुना होती है; आधे f वाले अक्षांश पर जाने पर भी दोगुनी। hPa को सदैव Pa में और km को m में बदलें।

⚠️ भूमध्य रेखा पर और अति-वक्र प्रवाह में भूविक्षेपी संतुलन विफल है

चूँकि V_g ∝ 1/f, सूत्र φ → 0 पर अनंत पवन देता है, जो निरर्थक है: भूमध्य रेखा के निकट प्रवाह भूविक्षेपी नहीं होता, इसलिए उसके कुछ अंशों के भीतर इसका उपयोग नहीं होता। यह निम्न के चारों ओर चाल अधिक और उच्च के चारों ओर कम आँकता है (प्रवणता-पवन इसे सुधारती है)।

5. प्रवणता व चक्रवातीय (cyclostrophic) संतुलन

जब समदाब रेखाएँ त्रिज्या R के वृत्त हों, पार्सल को केंद्र की ओर अभिकेंद्र त्वरण V²/R चाहिए। प्रवणता पवन (gradient wind) इसे सम्मिलित करती है। प्रति इकाई द्रव्यमान दाब-प्रवणता बल के लिए G = (1/ρ)|∂p/∂r| लिखें, निम्न की ओर। चक्रवात (केंद्र पर निम्न) में PGF भीतर की ओर और Coriolis बाहर की ओर है: V²/R = G − fV, अतः V² + fRV − GR = 0 और V = −fR/2 + √(f²R²/4 + GR)। प्रतिचक्रवात में PGF बाहर और Coriolis भीतर की ओर है: V²/R = fV − G, अतः V = fR/2 − √(f²R²/4 − GR), जो केवल तब सम्भव है जब G ≤ f²R/4।

भूविक्षेपी V_g = G/f से तुलना। चक्रवात में Coriolis बल को अकेले PGF में से अभिकेंद्र आवश्यकता घटाकर संतुलित करना है, अतः V < V_g (अधो-भूविक्षेपी)। प्रतिचक्रवात में V > V_g (अति-भूविक्षेपी)। शर्त G ≤ f²R/4 का अर्थ है कि उच्च के केंद्र के निकट दाब-प्रवणता दुर्बल होनी चाहिए (उच्च समतल-शीर्ष होता है, निम्न तीक्ष्ण हो सकता है)। उदाहरण, R = 500 km, f = 10⁻⁴ s⁻¹ व G = 2.0×10⁻³ m/s² वाला चक्रवात: V² + 50V − 1000 = 0, अतः V = (−50 + √6500)/2 = 15.3 m/s, जबकि V_g = G/f = 20 m/s।

चक्रवातीय (cyclostrophic) संतुलन। जहाँ Ro ≫ 1 (छोटा R, बड़ा V) वहाँ Coriolis पद fV नगण्य है और V²/R = G, अतः V = √(R G) = √((R/ρ)|∂p/∂r|)। R = 300 m, ∂p/∂r = 20 Pa/m व ρ = 1.2 kg/m³ वाले बवंडर के लिए V = √(300 × 20 / 1.2) = √5000 = 70.7 m/s। पवन किसी भी दिशा में घूम सकती है (वह f पर निर्भर नहीं), प्रवाह केवल निम्न के चारों ओर होता है (अभिकेंद्र त्वरण देने के लिए PGF भीतर की ओर होना चाहिए), अतः यह बवंडर, धूल-भँवर, जलस्तंभ व उष्णकटिबंधीय चक्रवात के भीतरी क्रोड में मिलती है, उच्च में नहीं।

⚠️ fV पद का चिह्न ज्यामिति से तय करें

चक्रवात के लिए वही सूत्र V²/R + fV = G प्रयुक्त होता है, पर प्रतिचक्रवात में G का चिह्न पलट जाता है और शर्त V²/R − fV = −G हो जाती है। बीजगणित नहीं, भौतिकी याद रखें: केंद्र पर निम्न दाब का अर्थ भीतर की ओर PGF है, अतः Coriolis उसका विरोध करता है और V भूविक्षेपी से कम है; केंद्र पर उच्च दाब का अर्थ है कि Coriolis बल बड़ा है और V अधिक है। दक्षिणी गोलार्ध (f < 0) में घूर्णन की दिशा उलटती है पर ये असमिकाएँ वही रहती हैं।

मुख्य बिंदु

सांतत्य ∂ρ/∂t + ∇·(ρV) = 0 है; असंपीड्य प्रवाह में ∇·V = 0 होता है, जो Mach 0.3 से बहुत कम पवनों व उथली गतियों के लिए अच्छा सन्निकटन है, जबकि गहरे प्रवाह में अनुप्रत्यास्थ या दाब-निर्देशांक रूप लिया जाता है। Navier–Stokes में दाब-प्रवणता बल, Coriolis, गुरुत्व व घर्षण जुड़ते हैं।
दाब-प्रवणता बल वास्तविक है; अभिकेंद्र त्वरण एक आवश्यकता है; अपकेंद्र व Coriolis बल घूर्णी निर्देश-तंत्र के आभासी बल हैं। Coriolis f = 2Ω sin φ गति के लंबवत लगता है, कार्य नहीं करता और भूमध्य रेखा पर शून्य है।
Rossby संख्या Ro = U/(fL) संतुलन चुनती है: Ro ≪ 1 भूविक्षेपी, Ro ~ 1 प्रवणता, Ro ≫ 1 चक्रवातीय। सिनॉप्टिक तंत्र का Ro ≈ 0.1 और बवंडर का Ro हज़ारों में होता है।
भूविक्षेपी पवन V_g = |∇p|/(ρ|f|) समदाब रेखाओं के समांतर बहती है, उत्तरी गोलार्ध में निम्न दाब बाईं ओर और दक्षिणी में दाईं ओर; यह भूमध्य रेखा के निकट और जहाँ घर्षण या वक्रता महत्त्व रखती है वहाँ विफल रहती है।
प्रवणता पवन: चक्रवात के लिए V²/R + fV = G, अधो-भूविक्षेपी; प्रतिचक्रवात में V अति-भूविक्षेपी है और G ≤ f²R/4। चक्रवातीय V = √(RG) तब मान्य है जब fV नगण्य हो, केवल निम्न के चारों ओर, घूर्णन की किसी भी दिशा में।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

असंपीड्य तरल के लिए सांतत्य समीकरण सरल होकर बन जाता है
1. हर बिंदु पर ∂ρ/∂t = 0, अतः प्रवाह काल में स्थिर होना चाहिए और वेग बदल नहीं सकता
2. ∇·V = 0, अतः किसी भी छोटे आयतन से नेट बहिर्वाह शून्य है
3. ∇p = 0, अतः दाब एकसमान है और कोई दाब-प्रवणता बल नहीं है
4. V = 0 हर स्थान पर, अतः असंपीड्य तरल सदैव पृथ्वी के सापेक्ष विराम में होना चाहिए
उत्तर देखें
उत्तर: B — ∇·V = 0, अतः किसी भी छोटे आयतन से नेट बहिर्वाह शून्य है
Dρ/Dt = 0 के लिए सांतत्य समीकरण Dρ/Dt = −ρ∇·V से ∇·V = 0 मिलता है: पार्सल का आयतन संरक्षित रहता है, अतः अंतर्वाह = बहिर्वाह। इसके लिए प्रवाह का स्थिर होना या दाब का एकसमान होना आवश्यक नहीं है।
गतिमान वायु-पार्सल पर Coriolis बल के बारे में कौन-सा कथन सही है?
1. अक्षांश-वृत्तों को पार करते हुए ध्रुवों की ओर गति में यह पार्सल की चाल सदैव बढ़ाता है
2. यह वेग के लंबवत लगता है, अतः दिशा बदलता है पर कार्य नहीं करता
3. यह पृथ्वी के सापेक्ष विरामस्थ वायु पर भी लगता है और इसीलिए पवन आरंभ करने वाला बल यही है
4. यह विषुवत् रेखा पर, जहाँ पृथ्वी का घूर्णन सबसे तेज़ है, अधिकतम और ध्रुवों पर शून्य है
उत्तर देखें
उत्तर: B — यह वेग के लंबवत लगता है, अतः दिशा बदलता है पर कार्य नहीं करता
Coriolis बल −2Ω×V, V के लंबवत है, इसलिए कार्य नहीं करता और चाल नहीं बदल सकता। V = 0 के लिए यह शून्य है (अतः पवन आरंभ नहीं कर सकता) और sin φ के अनुपाती है, जो भूमध्य रेखा पर शून्य व ध्रुवों पर अधिकतम है।
दक्षिणी गोलार्ध में भूविक्षेपी पवन इस प्रकार बहती है कि निम्न दाब का क्षेत्र
1. उसके बाईं ओर हो, ठीक उत्तरी गोलार्ध की तरह, क्योंकि पक्ष अकेला दाब-क्षेत्र तय करता है
2. सीधे पवन के आगे हो, क्योंकि भूविक्षेपी पवन सीधे निम्न दाब की ओर बहती है
3. उसके दाईं ओर हो, क्योंकि f ऋणात्मक है और Coriolis बल गति के बाईं ओर है
4. पवन के पीछे हो, क्योंकि दक्षिणी गोलार्ध में दाब-प्रवणता बल की दिशा उलट जाती है
उत्तर देखें
उत्तर: C — उसके दाईं ओर हो, क्योंकि f ऋणात्मक है और Coriolis बल गति के बाईं ओर है
दक्षिणी गोलार्ध में Coriolis बल पवन को बाईं ओर मोड़ता है, अतः संतुलन के लिए उसे बाईं ओर निम्न दाब से दूर होना चाहिए, जिससे निम्न दाब दाईं ओर रहता है और निम्न के चारों ओर प्रवाह दक्षिणावर्त होता है। भूविक्षेपी पवन निम्न दाब की ओर नहीं, समदाब रेखाओं के अनुदिश बहती है।
दो स्थानों पर दाब-प्रवणता व वायु-घनत्व समान हैं, एक 30° अक्षांश पर और दूसरा उसी गोलार्ध में 60° पर। 30° पर भूविक्षेपी पवन की चाल का 60° पर चाल से अनुपात निकटतम है
1. 0.58, क्योंकि पवन sin φ के अनुपाती है
2. 1.00, क्योंकि भूविक्षेपी पवन अक्षांश पर निर्भर नहीं है
3. 0.50, क्योंकि पवन अक्षांश के अनुपाती है
4. 1.73, क्योंकि पवन sin φ के व्युत्क्रमानुपाती है
उत्तर देखें
उत्तर: D — 1.73, क्योंकि पवन sin φ के व्युत्क्रमानुपाती है
V_g = |∇p|/(ρ f) ∝ 1/sin φ। अनुपात sin 60° / sin 30° = 0.866/0.5 = 1.73 है, अतः समान प्रवणता भूमध्य रेखा के निकट प्रबलतर पवन देती है। 0.58 का मान उलटा है, जो f के अनुपाती मानने की गलती से आता है।
भूमध्य रेखा के कुछ अंशों के भीतर भूविक्षेपी सन्निकटन मुख्यतः इसलिए अनुपयुक्त है कि
1. वहाँ दाब-प्रवणता शून्य हो जाती है
2. भूमध्य रेखा पर गुरुत्व का चिह्न बदल जाता है
3. f → 0 है, अतः Coriolis बल दाब-प्रवणता बल को संतुलित नहीं कर सकता
4. वहाँ वायु सदैव संतृप्त रहती है और उसे आदर्श गैस नहीं माना जा सकता
उत्तर देखें
उत्तर: C — f → 0 है, अतः Coriolis बल दाब-प्रवणता बल को संतुलित नहीं कर सकता
f = 2Ω sin φ → 0 होने पर Coriolis बल लुप्त हो जाता है और V_g = |∇p|/(ρ f) असीमित बढ़ती है; संतुलन टिक नहीं सकता। वहाँ दाब-प्रवणता लुप्त नहीं होती और गुरुत्व का चिह्न नहीं बदलता।
समान दाब-प्रवणता से गणित भूविक्षेपी पवन की तुलना में उत्तरी गोलार्ध में उच्च दाब-केंद्र के चारों ओर प्रवणता पवन
1. अधो-भूविक्षेपी है, क्योंकि अभिकेंद्र त्वरण Coriolis बल का विरोध करता है और प्रवाह को धीमा करता है
2. अति-भूविक्षेपी है, क्योंकि भीतर की ओर त्वरण देने के लिए Coriolis बल को दाब-प्रवणता बल से अधिक होना पड़ता है
3. ठीक उसके बराबर है, क्योंकि समदाब रेखाएँ बंद वक्र हैं और इसलिए वक्रता का कोई प्रभाव नहीं है
4. समदाब रेखाओं को काटते हुए उच्च के केंद्र की ओर निर्देशित है, क्योंकि दाब-प्रवणता बल भीतर की ओर है
उत्तर देखें
उत्तर: B — अति-भूविक्षेपी है, क्योंकि भीतर की ओर त्वरण देने के लिए Coriolis बल को दाब-प्रवणता बल से अधिक होना पड़ता है
उच्च के चारों ओर PGF बाहर और Coriolis भीतर की ओर है, और भीतर की नेट शक्ति को V²/R देना है: fV − G = V²/R, अतः fV = G + V²/R > G और V > V_g। अधो-भूविक्षेपी परिणाम निम्न का है, जहाँ वही तर्क उलट जाता है।
चक्रवातीय संतुलन, V²/R = (1/ρ)|∂p/∂r|, किस स्थिति में अच्छा सन्निकटन है?
1. बड़े त्रिज्या, दुर्बल पवनों व एक से कम Rossby संख्या वाला व्यापक मध्य-अक्षांशीय उच्च
2. लगभग 0.1 Rossby संख्या वाली लंबी सीधी ऊपरी-स्तर जेट धारा
3. ध्रुव के निकट स्थित बड़े, गहरे प्रतिचक्रवात में वायु का धीमा बहाव
4. बवंडर या धूल-भँवर, जिनमें R छोटा है और Rossby संख्या बहुत बड़ी
उत्तर देखें
उत्तर: D — बवंडर या धूल-भँवर, जिनमें R छोटा है और Rossby संख्या बहुत बड़ी
Coriolis पद fV केवल तब नगण्य है जब Ro = V/(fR) ≫ 1, जैसा बवंडर व धूल-भँवर में। अन्य स्थितियों में Ro ≤ 1 है, जहाँ पृथ्वी का घूर्णन मायने रखता है, और उच्च के चारों ओर चक्रवातीय प्रवाह हो ही नहीं सकता क्योंकि भीतर की ओर PGF अनुपस्थित है।
त्रिज्या R = 100 km के एक भँवर में 30° अक्षांश (f = 7.3×10⁻⁵ s⁻¹) पर पवन की चाल V = 10 m/s है। कौन-सा संतुलन सर्वोत्तम प्रथम सन्निकटन है?
1. भूविक्षेपी, क्योंकि Rossby संख्या लगभग 0.1 है और घूर्णन प्रभावी है
2. प्रवणता पवन, क्योंकि Ro लगभग 1.4 है और तीनों पद तुलनीय हैं
3. चक्रवातीय, क्योंकि Rossby संख्या लगभग 100 है और Coriolis नगण्य है
4. द्रवस्थैतिक, क्योंकि भँवर का ऊर्ध्वाधर विस्तार उसकी चौड़ाई की तुलना में कम है
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उत्तर: B — प्रवणता पवन, क्योंकि Ro लगभग 1.4 है और तीनों पद तुलनीय हैं
Ro = V/(fR) = 10 / (7.3×10⁻⁵ × 10⁵) = 1.4। Coriolis पद fV = 7.3×10⁻⁴ m/s² और अभिकेंद्र पद V²/R = 1.0×10⁻³ m/s² समान परिमाण के हैं, इसलिए पूर्ण प्रवणता-पवन संतुलन चाहिए। द्रवस्थैतिक संतुलन ऊर्ध्वाधर दिशा का है और इन क्षैतिज संतुलनों का विकल्प नहीं है।
एक पार्सल त्रिज्या R के क्षैतिज वृत्त में चाल V से चलता है। जड़त्वीय निर्देश-तंत्र से देखने पर प्रति इकाई द्रव्यमान आंतरिक नेट बल है
1. V²/R, जो अभिकेंद्र त्वरण को इकाई द्रव्यमान से गुणा करने पर मिलता है
2. शून्य, क्योंकि अपकेंद्र बल आंतरिक बल को निरस्त कर देता है
3. बाहर की ओर V²/R, क्योंकि पार्सल केंद्र से दूर जाने की प्रवृत्ति रखता है
4. 2ΩV, जो अकेला Coriolis बल है
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उत्तर: A — V²/R, जो अभिकेंद्र त्वरण को इकाई द्रव्यमान से गुणा करने पर मिलता है
वृत्तीय गति के लिए प्रति इकाई द्रव्यमान V²/R का आंतरिक नेट बल चाहिए। अपकेंद्र बल जड़त्वीय निर्देश-तंत्र में नहीं होता; वह केवल घूमते पार्सल के निर्देश-तंत्र में प्रकट होता है और वहाँ उसी नेट बल से संतुलित होगा। नेट बल दाब-प्रवणता बल जैसे वास्तविक बलों का परिणामी है, अकेला Coriolis बल नहीं।
वायुमंडल में बलों के बारे में सभी सही कथन चुनिए।
1. दाब-प्रवणता बल समदाब रेखाओं के लंबवत है और उच्च से निम्न दाब की ओर निर्देशित है
2. Coriolis प्राचल f भूमध्य रेखा पर शून्य है और उसके पार चिह्न बदलता है
3. अपकेंद्र बल वास्तविक बल है जो समदाब रेखाएँ गतिमान वायु पर लगाती हैं
4. Coriolis बल अक्षांशों को पार करते पार्सल की गतिज ऊर्जा बढ़ा सकता है
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उत्तर: A — दाब-प्रवणता बल समदाब रेखाओं के लंबवत है और उच्च से निम्न दाब की ओर निर्देशित है; B — Coriolis प्राचल f भूमध्य रेखा पर शून्य है और उसके पार चिह्न बदलता है
PGF −(1/ρ)∇p है और f = 2Ω sin φ भूमध्य रेखा के सापेक्ष विषम है। अपकेंद्र बल आभासी बल है, किसी के द्वारा लगाया नहीं जाता। Coriolis बल गति के लंबवत है, अतः पार्सल अक्षांश पार करे तब भी वह गतिज ऊर्जा नहीं बदल सकता।
संतुलित पवनों के बारे में सभी सही कथन चुनिए।
1. उत्तरी गोलार्ध में निम्न के चारों ओर समान दाब-प्रवणता के लिए प्रवणता पवन भूविक्षेपी पवन से धीमी होती है
2. प्रतिचक्रवात के लिए प्रवणता-पवन हल तभी मौजूद है जब (1/ρ)|∂p/∂r| ≤ f²R/4
3. चक्रवातीय पवन उच्च दाब-केंद्र के चारों ओर उतनी ही सहजता से हो सकती है जितनी निम्न के चारों ओर
4. चक्रवातीय पवन की चाल Coriolis प्राचल पर निर्भर करती है
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उत्तर: A — उत्तरी गोलार्ध में निम्न के चारों ओर समान दाब-प्रवणता के लिए प्रवणता पवन भूविक्षेपी पवन से धीमी होती है; B — प्रतिचक्रवात के लिए प्रवणता-पवन हल तभी मौजूद है जब (1/ρ)|∂p/∂r| ≤ f²R/4
चक्रवात की अभिकेंद्र आवश्यकता PGF के एक भाग से पूरी होती है, अतः V < V_g, और प्रतिचक्रवात का विविक्तकर ऋणेतर रहना चाहिए। चक्रवातीय प्रवाह को भीतर की ओर PGF चाहिए, अतः वह केवल निम्न के चारों ओर होता है, और V = √(RG) में f नहीं है।
उत्तरी गोलार्ध में एक भूविक्षेपी पवन पश्चिम से पूर्व की ओर बहती है। वे सभी कथन चुनिए जो अवश्य सत्य हैं।
1. पवन के उत्तर में दाब उसके दक्षिण की तुलना में कम है
2. वायु पर दाब-प्रवणता बल उत्तर की ओर निर्देशित है
3. वायु पर Coriolis बल दक्षिण की ओर निर्देशित है
4. पवन के दाहिनी ओर निम्न दाब है
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उत्तर: A — पवन के उत्तर में दाब उसके दक्षिण की तुलना में कम है; B — वायु पर दाब-प्रवणता बल उत्तर की ओर निर्देशित है; C — वायु पर Coriolis बल दक्षिण की ओर निर्देशित है
Coriolis बल पूर्वगामी गति को उसकी दाईं ओर, यानी दक्षिण की ओर, मोड़ता है। भूविक्षेपी संतुलन में PGF बराबर व विपरीत, अर्थात् उत्तर की ओर, होना चाहिए, और PGF निम्न दाब की ओर होता है, अतः उत्तर में दाब कम है, जो पवन के बाईं ओर है। दाईं ओर निम्न दाब दक्षिणी गोलार्ध का नियम है।
Ω = 7.292×10⁻⁵ s⁻¹ लेकर 30°N अक्षांश पर Coriolis प्राचल f = 2Ω sin φ, 10⁻⁵ s⁻¹ की इकाई में, दो दशमलव स्थानों तक, ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 7.29
f = 2 × 7.292×10⁻⁵ × sin 30° = 2 × 7.292×10⁻⁵ × 0.5 = 7.292×10⁻⁵ s⁻¹, यानी 10⁻⁵ s⁻¹ की इकाई में 7.29।
एक मौसम-तंत्र की प्रारूपिक पवन-चाल U = 12 m/s और लंबाई-पैमाना L = 800 km है, उस अक्षांश पर जहाँ f = 1.0×10⁻⁴ s⁻¹। उसकी Rossby संख्या Ro = U/(fL) दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.15
Ro = 12 / (1.0×10⁻⁴ × 8×10⁵) = 12/80 = 0.15, अतः प्रवाह लगभग भूविक्षेपी है।
सीधी समदाब रेखाओं के लंबवत 300 km में दाब 3 hPa घटता है। ρ = 1.1 kg/m³ व f = 1.0×10⁻⁴ s⁻¹ लेकर भूविक्षेपी पवन की चाल m/s में, दो दशमलव स्थानों तक, ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 9.09
प्रवणता = 300 Pa / 3×10⁵ m = 1.0×10⁻³ Pa/m। V_g = 1.0×10⁻³ / (1.1 × 1.0×10⁻⁴) = 9.09 m/s।
एक चक्रवात की वृत्तीय समदाब रेखाओं की त्रिज्या R = 400 km, f = 1.0×10⁻⁴ s⁻¹ और केंद्र की ओर प्रति इकाई द्रव्यमान दाब-प्रवणता बल G = 1.5×10⁻³ m/s² है। V²/R + fV = G का धनात्मक मूल लेकर प्रवणता पवन की चाल m/s में, एक दशमलव स्थान तक, ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 11.6
fR = 40 m/s, अतः V² + 40V − GR = 0, GR = 600। V = (−40 + √(1600 + 2400))/2 = (−40 + 63.25)/2 = 11.6 m/s (भूविक्षेपी मान G/f = 15 m/s अधिक है)।
एक धूल-भँवर में चक्रवातीय संतुलन लागू है। R = 150 m, केंद्र के निम्न दाब की ओर त्रिज्य दाब-प्रवणता ∂p/∂r = 24 Pa/m और ρ = 1.2 kg/m³ लें। पवन की चाल V = √((R/ρ)∂p/∂r) m/s में, एक दशमलव स्थान तक, ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 54.8
V² = (150/1.2) × 24 = 125 × 24 = 3000, अतः V = 54.77 ≈ 54.8 m/s।