ऊष्मागतिकी का द्वितीय नियम: ऊष्मा इंजन, प्रशीतक, उत्क्रमणीयता तथा कार्नो चक्र

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर का भाग है। यह XE4 ऊष्मागतिकी के खंड XE4.4 का उत्तर देता है, जो नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है; परीक्षा में अभ्यर्थी इनमें से कोई दो चुनता है: “ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम की सीमाएँ, ऊष्मा इंजन तथा ऊष्मा पंप/प्रशीतक की अवधारणाएँ, तापीय दक्षता, निष्पादन गुणांक; केल्विन-प्लांक व क्लॉज़ियस कथन और उनकी तुल्यता; उत्क्रमणीय व अनुत्क्रमणीय प्रक्रम; कार्नो चक्र तथा कार्नो सिद्धांत/प्रमेय; ऊष्मागतिकीय ताप पैमाना।” यह पढ़ाता है कि प्रथम नियम क्या नहीं बता सकता, ऊष्मा इंजन, प्रशीतक व ऊष्मा पंप तथा उनकी दक्षता व COP, द्वितीय नियम के दो कथन और उनकी तुल्यता, उत्क्रमणीयता व उसके कारण, कार्नो चक्र व कार्नो प्रमेय, तथा केल्विन पैमाना। संख्यात्मक प्रश्न हैं: दिए गए ऊष्मा भंडारों के बीच कार्नो दक्षता व COP, उत्क्रमणीय इंजन द्वारा उत्क्रमणीय प्रशीतक का चलाया जाना, ऊष्मा पंप की न्यूनतम शक्ति, वास्तविक मशीन द्वारा कार्नो सीमा का प्राप्त अंश, तथा दावा की गई मशीनों की संभाव्यता-जाँच। प्रत्येक सूत्र में ताप निरपेक्ष (absolute) लिए गए हैं।

1. प्रथम नियम की सीमाएँ; ऊष्मा इंजन, प्रशीतक व ऊष्मा पंप

प्रथम नियम केवल इतना कहता है कि ऊर्जा संरक्षित है: चक्र में ΔU = 0, अतः नेट ऊष्मा नेट कार्य के बराबर है। वह कभी नहीं बताता कि प्रक्रम किस दिशा में चलेगा या कितनी ऊष्मा कार्य में बदल सकती है। वह गर्म प्याले को ठंडे कमरे से ऊष्मा लेकर और गर्म होने देता है, हिलाए गए द्रव की ऊष्मा से पैडल-पहिये को घूमने देता है, और समुद्र को ठंडा करके जहाज़ को चलने देता है। इनमें से कुछ भी कभी देखा नहीं गया। ऊष्मा स्वतः केवल गर्म से ठंडे की ओर बहती है, कार्य पूर्णतः ऊष्मा में बदल जाता है, और चक्र में उल्टा रूपांतरण सदा आंशिक होता है। द्वितीय नियम यही दिशा व सीमा देता है।

ऊष्मा भंडार (thermal reservoir) इतना विशाल पिंड है कि ऊष्मा देने या लेने पर उसका ताप स्थिर रहता है। ऊष्मा इंजन चक्र में चलता है, उच्च-ताप भंडार से Q_H लेता है, नेट कार्य W देता है और निम्न-ताप भंडार को Q_L त्यागता है। प्रशीतक व ऊष्मा पंप वही चक्र उलटा चलाए जाने पर हैं: कार्य W भीतर जाता है, ठंडे स्थान से Q_L लिया जाता है और गर्म स्थान को Q_H त्यागा जाता है। इस अध्याय की परिपाटी: Q_H, Q_L व W परिमाण (धनात्मक संख्याएँ) हैं, और चक्र हेतु प्रथम नियम से प्रत्येक स्थिति में W = Q_H − Q_L है (W इंजन का निर्गत है और प्रशीतक या ऊष्मा पंप का निवेश)।

चक्रीय युक्तियों के निष्पादन माप (Q_H, Q_L, W परिमाण हैं)
युक्तिप्रयोजनमापव्यंजकपरास
ऊष्मा इंजननेट कार्यतापीय दक्षता ηW/Q_H = 1 − Q_L/Q_H0 < η < 1
प्रशीतकठंडे स्थान से Q_L हटानाCOP_RQ_L/W = Q_L/(Q_H − Q_L)1 से कम या अधिक हो सकता है
ऊष्मा पंपगर्म स्थान को Q_H देनाCOP_HPQ_H/W = Q_H/(Q_H − Q_L)सदा 1 से अधिक
⚠️ COP दक्षता नहीं है
उसी मशीन हेतु, उन्हीं दो तापों के बीच COP_HP = COP_R + 1 होता है, क्योंकि Q_H = Q_L + W। COP 3 वाला ऊष्मा पंप 1 kW कार्य पर 3 kW ऊष्मा देता है, जो प्रथम नियम का उल्लंघन नहीं है क्योंकि 2 kW ठंडी ओर से मुफ़्त आता है। विद्युत प्रतिरोध हीटर प्रति kW कार्य केवल 1 kW ऊष्मा देता है, जो कार्य को सीधे ऊष्मा में बदलने पर अधिकतम संभव है।

2. केल्विन-प्लांक व क्लॉज़ियस कथन और उनकी तुल्यता

  • केल्विन-प्लांक कथन: चक्र में चलने वाली कोई युक्ति एक ही भंडार से ऊष्मा लेकर नेट कार्य नहीं दे सकती। अतः प्रत्येक इंजन को कुछ ऊष्मा किसी ठंडे भंडार को त्यागनी ही पड़ती है, इसलिए η < 1। इसे तोड़ने वाली मशीन द्वितीय प्रकार की सतत गति मशीन होती।
  • क्लॉज़ियस कथन: ऐसी चक्रीय युक्ति बनाना असंभव है जिसका एकमात्र प्रभाव ठंडे पिंड से गर्म पिंड को ऊष्मा का स्थानांतरण हो। अतः प्रशीतक को कार्य चाहिए, और उसका COP परिमित होता है।

दोनों कथन निषेधात्मक हैं: ये अन्य नियमों से सिद्ध नहीं होते, बल्कि इस तथ्य पर टिके हैं कि अब तक कोई उल्लंघन देखा नहीं गया। वे भिन्न दिखते हैं पर तुल्य हैं: एक को तोड़ने वाली युक्ति को दूसरे को तोड़ने वाली युक्ति में बदला जा सकता है। (i) मान लें केल्विन-प्लांक का उल्लंघनकर्ता एक भंडार से Q लेकर पूरा कार्य W = Q में बदल देता है। उस कार्य से एक सामान्य प्रशीतक चलाएँ जो ठंडे भंडार से Q_L उठाकर गर्म भंडार को Q_L + W त्यागता है। दोनों मिलकर बिना नेट कार्य के Q_L ठंडे से गर्म को पहुँचाते हैं, जो क्लॉज़ियस कथन तोड़ता है। (ii) मान लें क्लॉज़ियस का उल्लंघनकर्ता बिना सहायता Q_L ठंडे से गर्म को पहुँचाता है। उन्हीं भंडारों के बीच सामान्य इंजन चलाएँ जो गर्म भंडार से Q_H लेकर ठीक Q_L ठंडे भंडार को त्यागे। ठंडा भंडार अपरिवर्तित रहता है, और जोड़ी अकेले गर्म भंडार से Q_H − Q_L लेकर पूरी कार्य में बदल देती है, जो केल्विन-प्लांक कथन तोड़ता है।

🧠 दावे पर कथनों का प्रयोग कैसे करें
ऐसा चक्र खोजें जिसका केवल बाहरी प्रभाव इन दो में से एक हो: एक भंडार से ली गई ऊष्मा का पूर्ण कार्य में बदलना, या बिना कार्य ठंडे से गर्म को ऊष्मा पहुँचना। इनमें से एक दिखे तो आँकड़े जो भी हों, दावा असंभव है। “अपने-आप चलने वाला” प्रशीतक और “समुद्र की ऊष्मा से चलने वाली” मोटर दो प्रसिद्ध उदाहरण हैं।

3. उत्क्रमणीय व अनुत्क्रमणीय प्रक्रम

कोई प्रक्रम उत्क्रमणीय है यदि उसे इस प्रकार उलटा जा सके कि तंत्र व परिवेश दोनों ठीक अपनी आरंभिक अवस्था में लौट आएँ और कहीं कोई चिह्न न बचे। इसके लिए दो बातें चाहिए: तंत्र साम्य अवस्थाओं से गुज़रे (अर्ध-साम्य) और कोई क्षयकारी प्रभाव न हो। जिस प्रक्रम में तंत्र की सीमा के भीतर कोई अनुत्क्रमणीयता न हो वह आंतरिक रूप से उत्क्रमणीय है; यदि बाहर भी न हो, जैसे ऊष्मा केवल अत्यल्प ताप-अंतर पर बहे, तो वह पूर्णतः उत्क्रमणीय है। उत्क्रमणीय प्रक्रम एक आदर्श है जो सीमा तय करता है: उत्क्रमणीय कार्य-उत्पादक युक्ति अधिकतम कार्य देती है और उत्क्रमणीय कार्य-ग्राही युक्ति को न्यूनतम कार्य चाहिए। प्रत्येक वास्तविक प्रक्रम अनुत्क्रमणीय है।

  • ठोसों के बीच घर्षण तथा तरलों में श्यान घर्षण कार्य को ऐसी ऊष्मा में बदल देता है जो वापस नहीं बदली जा सकती।
  • अनियंत्रित प्रसार (गैस का निर्वात में दौड़ना) तथा आकस्मिक प्रसार या संपीडन जो गैस में एकसमान दाब नहीं रहने देता।
  • परिमित ताप-अंतर से ऊष्मा-स्थानांतरण, जिसे कार्य लगाए बिना कभी उलटा नहीं जा सकता।
  • भिन्न पदार्थों या भिन्न अवस्थाओं की धाराओं का मिश्रण, स्वतः रासायनिक अभिक्रिया, विद्युत प्रतिरोध (जूल तापन) तथा अप्रत्यास्थ विरूपण या शैथिल्य (hysteresis)।
⚠️ अर्ध-स्थैतिक का अर्थ उत्क्रमणीय नहीं है
घर्षण करने वाले पिस्टन के सिलिंडर में बहुत धीरे दबाई गई गैस अर्ध-स्थैतिक है पर अनुत्क्रमणीय, क्योंकि घर्षण कार्य को क्षय कर देता है। इसी प्रकार 50 K अंतर पर धीमा ऊष्मा-प्रवाह कितना भी धीमा हो अनुत्क्रमणीय रहता है। उत्क्रमणीय का अर्थ है अर्ध-साम्य तथा क्षय का अभाव, अतः प्रत्येक उत्क्रमणीय प्रक्रम अर्ध-स्थैतिक है, पर उलटा सत्य नहीं।

4. कार्नो चक्र तथा उसकी दक्षता व COP

कार्नो चक्र दो भंडारों के बीच का उत्क्रमणीय चक्र है, जिसमें चार प्रक्रम हैं: (1→2) T_H पर उत्क्रमणीय समतापी प्रसार जिसमें Q_H अवशोषित होती है; (2→3) उत्क्रमणीय रुद्धोष्म (समएन्ट्रॉपिक) प्रसार जो तरल को T_H से T_L तक ठंडा करता है; (3→4) T_L पर उत्क्रमणीय समतापी संपीडन जिसमें Q_L त्यागी जाती है; (4→1) T_H तक वापस समएन्ट्रॉपिक संपीडन। यह किसी भी कार्यकारी तरल से, पिस्टन-सिलिंडर या स्थिर प्रवाह में, चल सकता है। p-v आरेख पर यह दो समताप रेखाओं व दो रुद्धोष्म वक्रों से घिरा है; T-s आरेख पर यह आयत है जिसके ऊपर T_H और नीचे T_L है। उलटा चलाने पर यह उलटा कार्नो चक्र है, सर्वोत्तम संभव प्रशीतक या ऊष्मा पंप।

आदर्श गैस हेतु: Q_H = nRT_H ln(V₂/V₁) तथा Q_L = nRT_L ln(V₃/V₄)। दोनों रुद्धोष्म वक्रों से T_H V₂^(γ−1) = T_L V₃^(γ−1) और T_H V₁^(γ−1) = T_L V₄^(γ−1) मिलते हैं, अतः V₂/V₁ = V₃/V₄ और लघुगणक कट जाते हैं: Q_H/Q_L = T_H/T_L। इसलिए

  • η_Carnot = 1 − T_L/T_H
  • COP_R,Carnot = T_L/(T_H − T_L)
  • COP_HP,Carnot = T_H/(T_H − T_L)

हल उदाहरण। कार्नो इंजन 727 °C व 27 °C के बीच चलता है। T_H = 1000 K, T_L = 300 K, अतः η = 1 − 300/1000 = 0.70। सेल्सियस संख्याएँ लेने पर 1 − 27/727 = 0.963 आता है, जो सबसे प्रचलित भूल है। दक्षता 100% केवल T_L = 0 K या T_H → ∞ पर होगी, जो दोनों अप्राप्य हैं।

5. कार्नो सिद्धांत तथा सीमाओं की तुलना

  • प्रथम सिद्धांत: उन्हीं दो भंडारों के बीच चलने वाले अनुत्क्रमणीय इंजन की दक्षता सदा उत्क्रमणीय इंजन से कम होती है।
  • द्वितीय सिद्धांत: उन्हीं दो भंडारों के बीच सभी उत्क्रमणीय इंजनों की दक्षता समान होती है, कार्यकारी तरल या बनावट कुछ भी हो।
  • यही प्रशीतकों व ऊष्मा पंपों हेतु सत्य है: उन्हीं भंडारों के बीच अनुत्क्रमणीय का COP उत्क्रमणीय से कम होता है, और सभी उत्क्रमणीय का COP एक ही होता है।

प्रथम सिद्धांत का विरोधाभास से प्रमाण। मान लें अनुत्क्रमणीय इंजन I और उत्क्रमणीय इंजन R दोनों गर्म भंडार से Q_H लेते हैं, और η_I > η_R, अर्थात W_I > W_R। R को उलट दें, तब उसे W_R चाहिए और वह Q_H गर्म भंडार को लौटाता है। गर्म भंडार अपरिवर्तित रहता है, और जोड़ी ठंडे भंडार से अकेले उतनी ही ऊष्मा लेकर नेट कार्य W_I − W_R देती है। यह केल्विन-प्लांक कथन तोड़ता है, अतः η_I ≤ η_R। दो उत्क्रमणीय इंजनों पर, बारी-बारी से प्रत्येक को उलटकर, यही तर्क लगाने से समानता निकलती है।

कौन-सा परिवर्तन अधिक लाभ देता है? चूँकि η = 1 − T_L/T_H, ∂η/∂T_H = T_L/T_H² तथा ∂η/∂T_L = −1/T_H। T_L < T_H होने से T_L/T_H², 1/T_H से छोटा है, अतः सिंक का ताप 1 K घटाने से दक्षता में, स्रोत का ताप 1 K बढ़ाने की अपेक्षा, अधिक वृद्धि होती है। 600 K व 300 K के कार्नो इंजन (η = 0.500) में स्रोत को 650 K करने पर 0.538 मिलता है, जबकि सिंक को 250 K करने पर 0.583। ध्यान दें कि दोनों परिवर्तन T_H − T_L को 50 K बढ़ाते हैं, फिर भी परिणाम भिन्न हैं, क्योंकि η अंतर पर नहीं बल्कि अनुपात T_L/T_H पर निर्भर है। व्यावहारिक सिंक पर्यावरण से तय होते हैं, इसलिए इंजनों को सुधारने हेतु T_H को पदार्थों की सीमा तक बढ़ाया जाता है। प्रशीतक में COP_R = T_L/(T_H − T_L) तब बढ़ता है जब ताप-उत्थान T_H − T_L घटता है।

6. ऊष्मागतिकीय (केल्विन) ताप पैमाना

साधारण तापमापी किसी पदार्थ (पारे का प्रसार, प्रतिरोध, गैस) पर निर्भर होते हैं और अपने नियत बिंदुओं से दूर एक-दूसरे से असहमत होते हैं। द्वितीय नियम ऐसा पैमाना देता है जो किसी पर निर्भर नहीं। द्वितीय कार्नो सिद्धांत से उत्क्रमणीय इंजन का अनुपात Q_H/Q_L केवल दोनों भंडारों पर निर्भर है, तरल पर नहीं। अतः केल्विन ने ताप को Q_H/Q_L = T_H/T_L से परिभाषित किया, ताकि ऊष्मा-अनुपात ही ताप-अनुपात मापें। तब एक नियत बिंदु इकाई का आकार तय कर देता है: ऐतिहासिक रूप से जल के त्रिक बिंदु को 273.16 K दिया गया था। SI के 2019 के संशोधन के बाद केल्विन बोल्ट्ज़मान नियतांक k = 1.380649 × 10⁻²³ J/K को नियत करके परिभाषित है, और पैमाना पहले वाले से मेल खाता है।

ऊपर का आदर्श-गैस कार्नो चक्र गैस तापमापी पर मापे T के साथ Q_H/Q_L = T_H/T_L देता है, अतः आदर्श-गैस पैमाना व ऊष्मागतिकीय पैमाना एक ही हैं। पैमाने का शून्य वहाँ है जहाँ Q_L = 0, अतः η = 1; यह केल्विन-प्लांक का उल्लंघन होगा, इसलिए परम शून्य प्राप्त नहीं किया जा सकता, जो तृतीय नियम से मेल खाता है। सेल्सियस t = T − 273.15 है (अनेक प्रश्न 273 लेते हैं, और तब प्रश्न में यह लिखा होता है)।

7. दावा की गई मशीन की द्वितीय नियम से जाँच

विधि। (i) ताप को केल्विन में बदलें। (ii) उन्हीं भंडारों हेतु उत्क्रमणीय सीमा निकालें: इंजन हेतु η_max = 1 − T_L/T_H, प्रशीतक हेतु COP_max = T_L/(T_H − T_L), ऊष्मा पंप हेतु COP_max = T_H/(T_H − T_L)। (iii) दावा किए मान की सीमा से तुलना करें। (iv) ऊर्जा संतुलन (Q_H = W + Q_L) अलग से जाँचें; प्रथम व द्वितीय नियम दो स्वतंत्र परीक्षण हैं।

तुलना का निर्णय
दावा किया मान बनाम सीमानिर्णय
उत्क्रमणीय सीमा से अधिकअसंभव: द्वितीय नियम का उल्लंघन
सीमा के बराबरतभी संभव जब मशीन पूर्णतः उत्क्रमणीय हो
सीमा से कमसंभव, और मशीन अनुत्क्रमणीय है

हल उदाहरण। एक आविष्कारक ऐसा इंजन बताता है जो 800 K के स्रोत से 100 kW लेकर 300 K के सिंक को ऊष्मा त्यागता है और 70 kW देता है। दावा किया η = 0.70 है, जबकि η_max = 1 − 300/800 = 0.625। यह असंभव है, यद्यपि 100 = 70 + 30 से प्रथम नियम संतुष्ट होता है। तीन तापों के बीच चलने वाली मशीन हेतु, जैसे इंजन से प्रशीतक चलाना, सीमाएँ बारी-बारी से लगाएँ: T_H व T_0 के बीच उत्क्रमणीय इंजन W = Q_H(1 − T_0/T_H) देता है, और T_0 व T_L के बीच उत्क्रमणीय प्रशीतक तब Q_L = W·T_L/(T_0 − T_L) हटाता है।

मुख्य बिंदु

  • प्रथम नियम ऊर्जा संरक्षित रखता है पर दिशा या सीमा नहीं देता; द्वितीय नियम दोनों देता है। COP_R = Q_L/W, COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1 तथा η = 1 − Q_L/Q_H, सभी में Q_H, Q_L, W परिमाण हैं।
  • केल्विन-प्लांक: कोई चक्रीय युक्ति एक भंडार की ऊष्मा को पूर्णतः कार्य में नहीं बदल सकती। क्लॉज़ियस: कोई चक्रीय युक्ति अपने एकमात्र प्रभाव के रूप में ठंडे से गर्म को ऊष्मा नहीं पहुँचा सकती। एक को तोड़ने से दूसरे का उल्लंघनकर्ता बन जाता है, अतः वे तुल्य हैं।
  • अनुत्क्रमणीयता घर्षण, अनियंत्रित प्रसार, परिमित ΔT पर ऊष्मा-स्थानांतरण, मिश्रण, अभिक्रिया व प्रतिरोध से आती है। उत्क्रमणीय का अर्थ है अर्ध-साम्य और क्षय का अभाव; केवल धीमा होना पर्याप्त नहीं।
  • कार्नो चक्र में दो समताप व दो समएन्ट्रॉपिक प्रक्रम हैं (T-s पर आयत) और वह Q_H/Q_L = T_H/T_L देता है, अतः η = 1 − T_L/T_H, COP_R = T_L/(T_H − T_L), COP_HP = T_H/(T_H − T_L), सदा केल्विन में।
  • कार्नो सिद्धांत: उन्हीं भंडारों के बीच अनुत्क्रमणीय मशीन उत्क्रमणीय से बदतर है, और उनके बीच सभी उत्क्रमणीय मशीनें समान हैं, कार्यकारी तरल से स्वतंत्र। T_L घटाना उतने ही केल्विन से T_H बढ़ाने की अपेक्षा इंजन हेतु अधिक लाभकारी है।
  • केल्विन पैमाना Q_H/Q_L = T_H/T_L से परिभाषित है, किसी पदार्थ से स्वतंत्र, और आदर्श-गैस पैमाने से मेल खाता है। दावा परखने हेतु केल्विन में बदलें, उत्क्रमणीय सीमा निकालें और तुलना करें; सीमा से ऊपर का मान असंभव है, भले प्रथम नियम का संतुलन बैठे।

अभ्यास प्रश्न (16)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. निम्नलिखित में से कौन-सा द्वितीय नियम का केल्विन-प्लांक कथन है?

    1. ऊष्मा अपने-आप ठंडे पिंड से गर्म पिंड की ओर नहीं बह सकती
    2. किसी भी प्रक्रम में विलगित तंत्र की एन्ट्रॉपी कभी घट नहीं सकती
    3. चक्र में चलने वाली कोई युक्ति एक ही भंडार से ऊष्मा लेकर नेट कार्य उत्पन्न नहीं कर सकती
    4. ऊर्जा न उत्पन्न की जा सकती है न नष्ट, केवल एक रूप से दूसरे में बदली जा सकती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — चक्र में चलने वाली कोई युक्ति एक ही भंडार से ऊष्मा लेकर नेट कार्य उत्पन्न नहीं कर सकती

    केल्विन-प्लांक कथन चक्रीय युक्ति को एक भंडार से ऊष्मा लेकर नेट कार्य देने से रोकता है; यह इंजनों के बारे में कथन है। ठंडे से गर्म को अपने-आप ऊष्मा बहने वाला कथन क्लॉज़ियस कथन है और वही भ्रामक विकल्प है। एन्ट्रॉपी वाला कथन द्वितीय नियम का परिणाम है, और ऊर्जा वाला कथन प्रथम नियम है।

  2. एक चक्रीय युक्ति नीचे प्रस्तावित है। इनमें से कौन-सी, ताप जो भी हों, द्वितीय नियम के क्लॉज़ियस कथन का उल्लंघन करती है?

    1. प्रशीतक जो बिना शक्ति निवेश के ठंडे स्थान से 1 kW लेता है और गर्म कमरे को 1 kW त्यागता है
    2. प्रशीतक जो 1 kW शक्ति निवेश से ठंडे स्थान से 3 kW लेता है और गर्म कमरे को 4 kW त्यागता है
    3. ऊष्मा पंप जो 1 kW शक्ति निवेश पर गर्म कमरे को 3 kW देता है और ठंडी बाहरी हवा से 2 kW लेता है
    4. इंजन जो गर्म स्रोत से 5 kW लेता है, ठंडे सिंक को 3 kW त्यागता है और 2 kW कार्य देता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रशीतक जो बिना शक्ति निवेश के ठंडे स्थान से 1 kW लेता है और गर्म कमरे को 1 kW त्यागता है

    पहली युक्ति का एकमात्र प्रभाव बिना किसी कार्य के ठंडे स्थान से गर्म कमरे को ऊष्मा पहुँचाना है, जिसे क्लॉज़ियस कथन ठीक-ठीक वर्जित करता है। दूसरी व तीसरी युक्तियों को कार्य निवेश चाहिए और वे प्रथम नियम संतुष्ट करती हैं; चौथी सामान्य इंजन है जो सिंक को ऊष्मा त्यागता है, अतः केल्विन-प्लांक का भी उल्लंघन नहीं होता। भ्रामक गलत विकल्प ऊष्मा पंप है, जिसका COP 3 बहुत अच्छा लगता है पर ताप-उत्थान पर्याप्त छोटा हो तो अनुमत है।

  3. एक कार्नो इंजन 727 °C के स्रोत से ऊष्मा लेता है और 27 °C के सिंक को ऊष्मा त्यागता है। T(K) = t(°C) + 273 लें। उसकी तापीय दक्षता है

    1. 96.3%
    2. 30.0%
    3. 62.5%
    4. 70.0%
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 70.0%

    η = 1 − T_L/T_H = 1 − 300/1000 = 0.70, केल्विन लेकर। 96.3% सेल्सियस संख्याओं, 1 − 27/727, के प्रयोग से आता है, जो मानक भूल है। 30.0% ऊष्मा-त्याग का अंश Q_L/Q_H है, दक्षता नहीं।

  4. एक कार्नो इंजन 600 K के स्रोत व 300 K के सिंक के बीच चलता है। दो संशोधन अलग-अलग सोचे गए हैं: P, स्रोत का ताप 50 K बढ़ाना; Q, सिंक का ताप 50 K घटाना। कौन-सा कथन सही है?

    1. P और Q समान दक्षता देते हैं, क्योंकि दोनों ताप-अंतर T_H − T_L को 50 K बढ़ाते हैं
    2. P अधिक दक्षता, 58.3%, देता है जबकि Q 53.8% देता है, क्योंकि स्रोत अधिक गर्म भंडार है
    3. किसी से दक्षता नहीं बदलती, क्योंकि 2:1 ताप-अनुपात हेतु कार्नो इंजन की दक्षता 50% पर स्थिर है
    4. Q अधिक दक्षता, 58.3%, देता है जबकि P 53.8% देता है, क्योंकि η अनुपात T_L/T_H पर निर्भर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — Q अधिक दक्षता, 58.3%, देता है जबकि P 53.8% देता है, क्योंकि η अनुपात T_L/T_H पर निर्भर है

    स्थिति P: η = 1 − 300/650 = 0.538। स्थिति Q: η = 1 − 250/600 = 0.583। समतुल्य रूप में, जब T_L < T_H हो, ∂η/∂T_L = −1/T_H का परिमाण ∂η/∂T_H = T_L/T_H² से बड़ा है। समान-अंतर वाला तर्क भ्रामक गलत तर्क है: दोनों परिवर्तनों में T_H − T_L = 350 K होता है, पर η अंतर पर नहीं, अनुपात पर निर्भर है।

  5. दो उत्क्रमणीय इंजन एक ही जोड़ी के भंडारों के बीच चलते हैं, एक में आदर्श गैस और दूसरे में भाप कार्यकारी तरल है। कौन-सा कथन सही है?

    1. भाप इंजन अधिक दक्ष है, क्योंकि भाप प्रति किलोग्राम अधिक ऊर्जा वहन कर सकती है
    2. दोनों की दक्षता समान, 1 − T_L/T_H, है, क्योंकि दोनों उत्क्रमणीय हैं
    3. आदर्श-गैस इंजन अधिक दक्ष है, क्योंकि आदर्श गैस में ऊर्जा क्षय करने वाले अंतराआण्विक बल नहीं होते
    4. दक्षताएँ ऐसी मात्रा से भिन्न हैं जो दोनों तरलों की विशिष्ट ऊष्माओं पर निर्भर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — दोनों की दक्षता समान, 1 − T_L/T_H, है, क्योंकि दोनों उत्क्रमणीय हैं

    द्वितीय कार्नो सिद्धांत कहता है कि उन्हीं दो भंडारों के बीच सभी उत्क्रमणीय इंजनों की दक्षता समान होती है, कार्यकारी तरल से स्वतंत्र। कोई भी अंतर एक को दूसरे के विरुद्ध उलटकर केल्विन-प्लांक कथन तोड़ देता। आदर्श-गैस वाला विकल्प इसलिए भ्रामक है कि पाठ्यपुस्तक की व्युत्पत्ति आदर्श गैस लेती है, पर परिणाम सामान्य है।

  6. चार मशीनों का दावा किया गया है, प्रत्येक केवल दो भंडारों से ऊष्मा का आदान-प्रदान करती है, ताप केल्विन में हैं। कौन-सा दावा द्वितीय नियम से संगत है? P: 500 K व 300 K के बीच इंजन, η = 45%। Q: 270 K के स्रोत से 300 K पर ऊष्मा देने वाला ऊष्मा पंप, COP = 12। R: 300 K के परिवेश में 250 K बनाए रखने वाला प्रशीतक, COP = 4। S: 800 K व 400 K के बीच इंजन, η = 60%।

    1. केवल P
    2. केवल Q
    3. केवल R
    4. केवल S
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — केवल R

    प्रत्येक दावे की उसकी उत्क्रमणीय सीमा से तुलना करें। P: 1 − 300/500 = 40%, और 45% इससे अधिक है। Q: COP_HP,max = 300/30 = 10, और 12 इससे अधिक है। R: COP_R,max = 250/50 = 5, और 4 इससे कम है, अतः संभव है (और अनुत्क्रमणीय)। S: 1 − 400/800 = 50%, और 60% इससे अधिक है। केवल प्रशीतक का दावा अनुमत है।

  7. ऊष्मागतिकीय (केल्विन) ताप पैमाना किसके प्रयोग से परिभाषित है?

    1. दो भंडारों के बीच उत्क्रमणीय इंजन द्वारा विनिमित ऊष्माओं के अनुपात Q_H/Q_L से
    2. 1 atm पर जल के हिमांक व क्वथनांक के बीच पारे के तापीय प्रसार से
    3. स्थिर आयतन पर आदर्श गैस की नियत मात्रा के दाब से, जिसे शून्य दाब तक बहिर्वेशित किया गया हो
    4. किसी भी अनुत्क्रमणीय ऊष्मा इंजन की दक्षता से, उसकी अधिकतम शक्ति निर्गत पर
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दो भंडारों के बीच उत्क्रमणीय इंजन द्वारा विनिमित ऊष्माओं के अनुपात Q_H/Q_L से

    केल्विन ने उत्क्रमणीय इंजन हेतु Q_H/Q_L = T_H/T_L से ताप परिभाषित किया; द्वितीय कार्नो सिद्धांत से यह अनुपात कार्यकारी पदार्थ से स्वतंत्र है, अतः पैमाना किसी पदार्थ-गुण पर निर्भर नहीं। पारा व गैस तापमापी पैमाने पदार्थ-आधारित हैं; गैस पैमाना केवल आदर्श-गैस सीमा में ऊष्मागतिकीय पैमाने से मेल खाता है। अनुत्क्रमणीय इंजन की दक्षता अकेले भंडारों का गुण नहीं है।

  8. निम्नलिखित में से कौन-सा प्रक्रम अर्ध-स्थैतिक होते हुए भी अनुत्क्रमणीय है?

    1. आदर्श गैस का घर्षण-रहित रुद्धोष्म संपीडन जो अनंत धीमे किया गया हो
    2. गैस का समतापी प्रसार, उस भंडार के संपर्क में जिसका ताप गैस से केवल अत्यल्प अधिक हो
    3. गैस का पिस्टन द्वारा धीमा संपीडन, जिसकी सील सिलिंडर की दीवार पर रगड़ खाती है और कार्य ऊष्मा के रूप में क्षय होता है
    4. गैस का, बहुत छोटे छिद्र से, निर्वातित पात्र में मुक्त प्रसार
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — गैस का पिस्टन द्वारा धीमा संपीडन, जिसकी सील सिलिंडर की दीवार पर रगड़ खाती है और कार्य ऊष्मा के रूप में क्षय होता है

    रगड़ खाती सील के साथ गैस साम्य अवस्थाओं से गुज़र सकती है (अर्ध-स्थैतिक) फिर भी घर्षण से कार्य क्षय होता है, अतः प्रक्रम अनुत्क्रमणीय है। घर्षण-रहित धीमा रुद्धोष्म संपीडन तथा अत्यल्प ताप-अंतर पर समतापी प्रसार उत्क्रमणीय हैं। मुक्त प्रसार अर्ध-स्थैतिक है ही नहीं, क्योंकि दौड़ के दौरान गैस में एकसमान दाब नहीं होता, अतः वह उत्तर नहीं है।

  9. तापीय दक्षता 0.25 वाला एक उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजन उन्हीं दो भंडारों के बीच प्रशीतक के रूप में उलटा चलाया जाता है, ठंडा भंडार इंजन का सिंक है। इस प्रशीतक का COP है

    1. 4
    2. 0.75
    3. 3
    4. 1.33
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 3

    इंजन में W = 0.25 Q_H और Q_L = 0.75 Q_H। उलटने पर वही ऊष्माएँ विपरीत दिशा में बहती हैं, अतः COP_R = Q_L/W = 0.75/0.25 = 3। मान 4 उलटी युक्ति का COP_HP = Q_H/W है, जो ठीक COP_R + 1 होता है। मान 1.33 यहाँ 1/0.75 है, जिसका कोई अर्थ नहीं।

  10. निम्नलिखित में से कौन-से प्रक्रम अनुत्क्रमणीय हैं?

    1. दो दृढ़ रोधी कक्षों के बीच का विभाजक हटाने पर गैस का निर्वात में प्रसार
    2. दो पिंडों के बीच ऊष्मा चालन, जिनके ताप में केवल नगण्य अंतर हो
    3. समान ताप व दाब वाली दो भिन्न गैसों का विभाजक हटाने पर मिश्रण
    4. रोधी सिलिंडर में आदर्श गैस का घर्षण-रहित, अनंत धीमा रुद्धोष्म संपीडन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दो दृढ़ रोधी कक्षों के बीच का विभाजक हटाने पर गैस का निर्वात में प्रसार; C — समान ताप व दाब वाली दो भिन्न गैसों का विभाजक हटाने पर मिश्रण

    मुक्त प्रसार व भिन्न गैसों का मिश्रण स्वतः होते हैं और परिवेश पर चिह्न छोड़े बिना उलटे नहीं जा सकते, अतः दोनों अनुत्क्रमणीय हैं। नगण्य ताप-अंतर पर ऊष्मा-स्थानांतरण तथा घर्षण-रहित अर्ध-साम्य रुद्धोष्म संपीडन आदर्श उत्क्रमणीय प्रक्रम हैं, अतः वे उत्तर में नहीं हैं।

  11. कार्नो चक्र के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. इसमें दो उत्क्रमणीय समतापी प्रक्रम और दो उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रम होते हैं
    2. उन्हीं दो भंडारों हेतु, कार्यकारी तरल भाप हो तो इसकी दक्षता वायु की तुलना में अधिक होती है
    3. T_L व T_H के बीच प्रशीतक के रूप में उलटा चलाने पर इसका COP T_L/(T_H − T_L) होता है
    4. ऊष्मा-त्याग अधिक ताप T_L पर होने से इसकी दक्षता बढ़ती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — इसमें दो उत्क्रमणीय समतापी प्रक्रम और दो उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रम होते हैं; C — T_L व T_H के बीच प्रशीतक के रूप में उलटा चलाने पर इसका COP T_L/(T_H − T_L) होता है

    चक्र में दो समताप व दो समएन्ट्रॉपिक प्रक्रम हैं, और उलटने पर COP_R = T_L/(T_H − T_L) है। दक्षता कार्यकारी तरल पर निर्भर नहीं, अतः भाप वाला दावा असत्य है। चूँकि η = 1 − T_L/T_H, अधिक त्याग-ताप दक्षता घटाता है, अतः अधिक त्याग-ताप वाला कथन भी असत्य है।

  12. केल्विन-प्लांक व क्लॉज़ियस कथनों की तुल्यता सिद्ध की जाती है। निम्नलिखित में से कौन-से सही हैं?

    1. केल्विन-प्लांक उल्लंघनकर्ता, सामान्य प्रशीतक को चलाते हुए, ऐसी जोड़ी देता है जिसका एकमात्र प्रभाव ठंडे से गर्म को ऊष्मा-स्थानांतरण है
    2. क्लॉज़ियस उल्लंघनकर्ता, सामान्य इंजन के साथ, ऐसी जोड़ी देता है जो एक भंडार की ऊष्मा को पूर्णतः कार्य में बदलती है
    3. दोनों कथन स्वतंत्र हैं, अतः कोई युक्ति एक का उल्लंघन और दूसरे का पालन कर सकती है
    4. तुल्यता तभी सत्य है जब कार्यकारी तरल आदर्श गैस हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — केल्विन-प्लांक उल्लंघनकर्ता, सामान्य प्रशीतक को चलाते हुए, ऐसी जोड़ी देता है जिसका एकमात्र प्रभाव ठंडे से गर्म को ऊष्मा-स्थानांतरण है; B — क्लॉज़ियस उल्लंघनकर्ता, सामान्य इंजन के साथ, ऐसी जोड़ी देता है जो एक भंडार की ऊष्मा को पूर्णतः कार्य में बदलती है

    दोनों रचनाएँ मानक प्रमाण हैं: एक भंडार से कार्य देने वाली युक्ति प्रशीतक चलाकर बिना नेट कार्य के ऊष्मा को ऊपर चढ़ा सकती है, और बिना सहायता ठंडे से गर्म ऊष्मा ले जाने वाली युक्ति व सामान्य इंजन मिलकर केवल एक-भंडार का ऊष्मा-से-कार्य रूपांतरण छोड़ते हैं। अतः एक का उल्लंघन दूसरे का उल्लंघन है, जिससे कथन तुल्य हैं, स्वतंत्र नहीं। प्रमाणों में कार्यकारी तरल का कोई गुण प्रयुक्त नहीं।

  13. एक उत्क्रमणीय इंजन 900 K के स्रोत व 300 K के सिंक के बीच चलता है और स्रोत से प्रति चक्र 100 kJ ऊष्मा लेता है। उसका सारा कार्य एक उत्क्रमणीय प्रशीतक चलाता है जो 250 K के ठंडे स्थान से ऊष्मा हटाता है और 300 K के परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। प्रति चक्र ठंडे स्थान से हटाई गई ऊष्मा ____ kJ है (उत्तर एक दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 333.3

    इंजन का कार्य W = Q_H(1 − T_L/T_H) = 100 × (1 − 300/900) = 66.67 kJ। प्रशीतक का COP = T_L/(T_H − T_L) = 250/(300 − 250) = 5। हटाई गई ऊष्मा Q_L = COP × W = 5 × 66.67 = 333.3 kJ। ऊर्जा संतुलन से जाँच: प्रशीतक 300 K के परिवेश को 333.3 + 66.7 = 400 kJ त्यागता है, जबकि इंजन उसी परिवेश को 33.3 kJ त्यागता है।

  14. एक घर को 22 °C पर रखना है जब बाहरी ताप 2 °C है, और वह 18 kW की दर से ऊष्मा खोता है। T(K) = t(°C) + 273 लें। घर व बाहरी हवा के बीच चलने वाले, यह ऊष्मा देने वाले किसी भी ऊष्मा पंप को न्यूनतम विद्युत शक्ति ____ kW (दो दशमलव स्थान) चाहिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.22

    न्यूनतम शक्ति उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा पंप से मिलती है। COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295/(295 − 275) = 14.75। W_min = Q_H/COP = 18/14.75 = 1.22 kW। विद्युत प्रतिरोध तापन को 18 kW चाहिए, लगभग पंद्रह गुना।

  15. COP 4 वाला एक उत्क्रमणीय प्रशीतक ठंडे स्थान को −13 °C पर रखता है। T(K) = t(°C) + 273 लें। जिस परिवेश को वह ऊष्मा त्यागता है उसका ताप ____ °C (निकटतम पूर्णांक) है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 52

    T_L = 260 K के साथ COP_R = T_L/(T_H − T_L) = 4 से T_H − 260 = 65, अतः T_H = 325 K। सेल्सियस में 325 − 273 = 52 °C। प्रचलित भूल −13 लेकर सेल्सियस में हल करना है, जो अर्थहीन मान देता है।

  16. एक वास्तविक इंजन 1000 K के स्रोत से 120 kW ऊष्मा लेता है और 300 K के सिंक को 85 kW त्यागता है। उसकी तापीय दक्षता का, उन्हीं भंडारों के बीच चलने वाले कार्नो इंजन की दक्षता से अनुपात ____ है (दो दशमलव स्थान)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.42

    नेट कार्य W = 120 − 85 = 35 kW, अतः η = 35/120 = 0.2917। कार्नो दक्षता = 1 − 300/1000 = 0.70। अनुपात = 0.2917/0.70 = 0.4167, अर्थात 0.42। यह अनुपात इंजन की द्वितीय नियम दक्षता है: वह भंडारों द्वारा अनुमत का केवल लगभग 42% पाता है।