शुद्ध पदार्थ: प्रावस्थाएँ, p-v-T व्यवहार, आदर्श गैस एवं वान डर वाल्स गैस

यह अध्याय XE4 ऊष्मागतिकी के अनुभाग XE4.2 “शुद्ध पदार्थों के गुणधर्म” का उत्तर देता है, जो अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के नौ वैकल्पिक अनुभागों में से एक है; परीक्षा में अभ्यर्थी इनमें से कोई दो चुनता है: “Thermodynamic properties of pure substances in solid, liquid and vapor phases; P-v-T behaviour of simple compressible substances, Concept of triple point and critical point; Ideal and real gases, ideal gas equation of state and van der Waals equation of state.” इसमें p–v, T–v व p–T आरेखों पर प्रावस्था-व्यवहार, संतृप्तता व शुष्कता अंश, अतितप्त वाष्प व संपीडित द्रव, त्रिक व क्रांतिक बिंदु, आदर्श गैस नियम व संपीड्यता गुणांक, तथा वान डर वाल्स समीकरण, उसके स्थिरांक, समानीत रूप और क्रांतिक संपीड्यता 3/8 पढ़ाए गए हैं। संख्यात्मक प्रश्न हैं: आयतन से शुष्कता अंश, आदर्श गैस का द्रव्यमान, Z से वास्तविक गैस का द्रव्यमान, क्रांतिक आँकड़ों से वान डर वाल्स स्थिरांक, और समानीत वान डर वाल्स दाब। हर संख्यात्मक प्रश्न के लिए आवश्यक गुणधर्म-मान उसके कथन में ही दिए गए हैं।

1. प्रावस्थाएँ और p–v–T पृष्ठ

शुद्ध पदार्थ वह है जिसकी रासायनिक संरचना पूरे में एक-सी रहे (जल, नाइट्रोजन, या वायु जब तक वह एकल गैस-प्रावस्था में रहे)। यह कई प्रावस्थाओं में हो सकता है: ठोस, द्रव और वाष्प (गैस)। सरल संपीड्य पदार्थ में दो स्वतंत्र गहन गुणधर्म अवस्था निर्धारित करते हैं, इसलिए सभी साम्य अवस्थाएँ p–v–T समष्टि में एक पृष्ठ बनाती हैं, p = f(v, T)। पृष्ठ पर एकल-प्रावस्था क्षेत्र (ठोस, द्रव, वाष्प) द्वि-प्रावस्था क्षेत्रों (ठोस–द्रव, ठोस–वाष्प, द्रव–वाष्प) से अलग होते हैं, और तीनों प्रावस्थाएँ त्रिक रेखा पर सह-अस्तित्व में रहती हैं, जो p–T आरेख पर एक बिंदु दिखती है।

आरेखबिंदु या रेखा क्या दर्शाती हैद्वि-प्रावस्था क्षेत्र कहाँ दिखता है
p–Tप्रत्येक रेखा प्रावस्था-सीमा है: गलन, वाष्पन (संतृप्ति), ऊर्ध्वपातन; ये त्रिक बिंदु पर मिलती हैंरेखाओं पर सिमटा हुआ (दाब T_sat निर्धारित करता है)
p–vसमतापी वक्र; संतृप्त द्रव व संतृप्त वाष्प वक्र क्रांतिक बिंदु पर मिलते हैंगुंबद के नीचे; वहाँ समतापी क्षैतिज होते हैं
T–vसमदाबी वक्र; गुंबद संतृप्त द्रव व संतृप्त वाष्प रेखाओं से घिरा हैगुंबद के नीचे; वहाँ समदाबी क्षैतिज होते हैं

त्रिक बिंदु वह अद्वितीय अवस्था है जिसमें ठोस, द्रव और वाष्प साम्य में सह-अस्तित्व रखते हैं। जल के लिए यह 0.6117 kPa पर 273.16 K है। गिब्स प्रावस्था नियम F = C − P + 2 से, शुद्ध पदार्थ (C = 1) की तीन प्रावस्थाओं (P = 3) में स्वातंत्र्य कोटि F = 0 है: T और p निश्चित हैं, बदले नहीं जा सकते। क्रांतिक बिंदु द्रव–वाष्प रेखा का अंतिम सिरा है। जल के लिए Tc = 647.1 K (लगभग 374 °C) और pc = 22.06 MPa है। pc और Tc से ऊपर कोई अलग द्रव या वाष्प नहीं होता, केवल अतिक्रांतिक तरल; क्रांतिक बिंदु पर संतृप्त द्रव और संतृप्त वाष्प अवस्थाएँ एक हो जाती हैं और वाष्पन की गुप्त ऊष्मा h_fg शून्य होती है।

⚠️ जल अपवाद है
अधिकांश पदार्थों में ठोस द्रव से सघन होता है, इसलिए p–T आरेख पर गलन रेखा ऊपर की ओर झुकती है। जल जमने पर फैलता है (बर्फ कम सघन है), इसलिए उसकी गलन रेखा नीचे की ओर झुकती है: बर्फ पर दाब बढ़ाने से वह पिघल सकती है। इस ढाल को अन्य पदार्थों पर लागू न करें।

2. संतृप्ति, शुष्कता अंश और वाष्प गुंबद

दिए गए दाब पर उबलना संतृप्ति ताप T_sat(p) पर होता है; दिए गए ताप पर संगत संतृप्ति दाब p_sat(T) होता है। द्वि-प्रावस्था क्षेत्र में T और p स्वतंत्र नहीं होते, इसलिए अवस्था निर्धारित करने के लिए तीसरा गुणधर्म चाहिए। संतृप्त द्रव T_sat पर द्रव है (वाष्पित होने को तत्पर); संतृप्त वाष्प T_sat पर वाष्प है (संघनित होने को तत्पर); दोनों के बीच संतृप्त मिश्रण है। शुष्कता अंश x = m_वाष्प / m_कुल है, संतृप्त द्रव के लिए x = 0 और संतृप्त वाष्प के लिए x = 1; यह केवल गुंबद के भीतर परिभाषित है।

मिश्रण का कोई भी प्रति-इकाई-द्रव्यमान गुणधर्म Y दोनों प्रावस्थाओं का द्रव्यमान-भारित औसत होता है: v = v_f + x v_fg, u = u_f + x u_fg, h = h_f + x h_fg, s = s_f + x s_fg, जहाँ v_fg = v_g − v_f और h_fg = h_g − h_f। हल करने पर x = (v − v_f)/(v_g − v_f)। यहाँ उपसूचक f का अर्थ दिए गए p या T पर संतृप्त द्रव और g का अर्थ संतृप्त वाष्प है।

हल किया उदाहरण। 1.2 m³ के दृढ़ पात्र में 200 kPa पर 4 kg जल है। 200 kPa की सारणी से लें v_f = 0.001061 m³/kg और v_g = 0.8857 m³/kg। तब v = 1.2/4 = 0.300 m³/kg, जो v_f और v_g के बीच है, अतः जल मिश्रण है: x = (0.300 − 0.001061)/(0.8857 − 0.001061) = 0.2989/0.8846 = 0.338। वाष्प का द्रव्यमान = 0.338 × 4 = 1.35 kg। यद्यपि द्रव्यमान से वाष्प केवल 34% है, वह लगभग पूरा आयतन भरती है, क्योंकि v_g लगभग v_f का 835 गुना है।

⚠️ शुष्कता अंश द्रव्यमान-अंश है
x द्रव्यमानों की तुलना करता है, आयतनों की नहीं, और संपीडित द्रव या अतितप्त वाष्प के लिए अर्थहीन है। पहले v की तुलना v_f और v_g से करें: v < v_f संपीडित द्रव, v_f < v < v_g मिश्रण, v > v_g अतितप्त वाष्प (उसी p या T पर)।

3. अतितप्त वाष्प, संपीडित द्रव और स्थिर आयतन पर तापन

अतितप्त वाष्प में T > T_sat(p) (समतुल्य: p < p_sat(T)); यहाँ p और T स्वतंत्र हैं, और अतितापन की कोटि T − T_sat है। संपीडित (अवशीतित) द्रव में T < T_sat(p) (समतुल्य: p > p_sat(T))। द्रव के गुणधर्म दाब पर कम निर्भर करते हैं, इसलिए संपीडित द्रव के लिए सामान्य सन्निकटन v ≈ v_f(T), u ≈ u_f(T) और h ≈ h_f(T) हैं, जिनमें उसी ताप पर संतृप्त-द्रव का मान लिया जाता है (उसी दाब पर नहीं)। एन्थैल्पी के सन्निकटन को h ≈ h_f(T) + v_f (p − p_sat) से सुधारा जा सकता है, जो मध्यम दाब पर छोटा संशोधन है।

बंद दृढ़ पात्र को गरम करना। अवस्था T–v या p–v आरेख पर ऊर्ध्वाधर रेखा (v = स्थिर) के अनुदिश चलती है। यदि कुल v क्रांतिक विशिष्ट आयतन v_c से कम है, तो द्रव फैलकर पात्र भर देता है: अंतिम अवस्था संतृप्त द्रव। यदि v > v_c, तो द्रव पूरा वाष्पित हो जाता है: अंतिम अवस्था संतृप्त वाष्प; v = v_c पर मिश्रण क्रांतिक बिंदु से गुज़रता है। जल के लिए v_c ≈ 0.0031 m³/kg। अतः लगभग भरी बोतल अंत में द्रव और लगभग खाली बोतल अंत में वाष्प बनती है।

क्षेत्रदिए p (या T) पर शर्तस्वतंत्र गुणधर्म
संपीडित द्रवT < T_sat या v < v_fp और T
संतृप्त मिश्रणv_f < v < v_gp या T, साथ में x (या v)
अतितप्त वाष्पT > T_sat या v > v_gp और T

4. आदर्श गैस, विशिष्ट गैस स्थिरांक और संपीड्यता गुणांक

आदर्श गैस pV = nR_uT, अथवा प्रति इकाई द्रव्यमान pv = RT का पालन करती है, जहाँ R_u = 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹ सार्वत्रिक गैस स्थिरांक है और विशिष्ट गैस स्थिरांक R = R_u/M है, M मोलर द्रव्यमान है। वायु के लिए M ≈ 28.97 kg/kmol से R ≈ 287 J/kg·K मिलता है। मोलर रूप pV = N R_u T में N kmol में हो तो R_u = 8.314 kJ/kmol·K लिया जाता है। आदर्श गैस व्यवहार वास्तविक व्यवहार की निम्न दाब व उच्च ताप पर सीमा है (कम घनत्व, अणु दूर-दूर और अन्योन्य क्रिया नगण्य)। इसकी आंतरिक ऊर्जा और एन्थैल्पी केवल ताप पर निर्भर करती हैं।

वास्तविक गैस आदर्श नियम से संपीड्यता गुणांक Z = pv/(RT) = pV/(mRT) द्वारा विचलित होती है। आदर्श गैस के लिए Z = 1; Z < 1 का अर्थ आकर्षण प्रबल है (गैस आदर्श से अधिक संपीड्य), Z > 1 का अर्थ प्रतिकर्षण (अणुओं का परिमित आकार) प्रबल है। वास्तविक गैस के लिए आयतन v = Z RT/p है, अतः द्रव्यमान m = pV/(Z R T)। p → 0 पर प्रत्येक गैस के लिए Z → 1। संगत अवस्थाओं का नियम कहता है कि Z सभी गैसों के लिए समानीत गुणधर्मों p_r = p/p_c और T_r = T/T_c का लगभग समान फलन है, जिससे सामान्यीकृत संपीड्यता चार्ट बनता है; क्रांतिक बिंदु पर अधिकांश गैसों के लिए Z_c लगभग 0.27 से 0.29 होता है।

हल किया उदाहरण। वायु (R = 287 J/kg·K, आदर्श गैस) 300 kPa व 300 K पर 0.5 m³ भरती है: m = pV/(RT) = (300 000 × 0.5)/(287 × 300) = 150 000/86 100 = 1.74 kg। यदि 5 MPa व 400 K पर किसी गैस का Z = 0.92 और R = 0.287 kJ/kg·K है, तो उसके 0.1 m³ का द्रव्यमान 5000 × 0.1/(0.92 × 0.287 × 400) = 4.73 kg है, जो आदर्श गैस मान 4.35 kg से 8.7% अधिक है।

⚠️ ताप और इकाइयाँ
pv = RT में निरपेक्ष दाब और निरपेक्ष ताप लें। p kPa में और R kJ/kg·K में हो तो pv का मान kJ/kg में आता है; kPa को J/kg·K के साथ मिलाने पर 1000 गुना त्रुटि आती है।

5. वान डर वाल्स अवस्था समीकरण

वान डर वाल्स समीकरण आदर्श नियम को दो आण्विक प्रभावों के लिए संशोधित करता है: (p + a/v²)(v − b) = RT (प्रति इकाई मात्रा, v मोलर या विशिष्ट आयतन और a, b उसी आधार के अनुरूप)। स्थिरांक b अणुओं के परिमित आकार से अपवर्जित आयतन है, इसलिए मुक्त आयतन v − b है। पद a/v² अंतराण्विक आकर्षण के लिए दाब का संशोधन है, जो अणुओं का दीवार पर बल घटाता है। a → 0 व b → 0 पर यह pv = RT हो जाता है।

क्रांतिक स्थिरांक। क्रांतिक बिंदु पर क्रांतिक समतापी की स्पर्श-रेखा क्षैतिज होती है और वहाँ नति-परिवर्तन बिंदु होता है: (T_c, v_c) पर (∂p/∂v)_T = 0 और (∂²p/∂v²)_T = 0। p = RT/(v − b) − a/v² लिखकर दोनों प्रतिबंध हल करने पर v_c = 3b, T_c = 8a/(27Rb), p_c = a/(27b²) मिलते हैं। उलटने पर b = RT_c/(8p_c) और a = 27R²T_c²/(64p_c)। तब Z_c = p_c v_c/(RT_c) = (a/27b²)(3b)/(R × 8a/27Rb) = 3/8 = 0.375, प्रत्येक वान डर वाल्स गैस के लिए, जबकि वास्तविक गैसों में यह लगभग 0.27 से 0.29 है। अतः यह समीकरण क्रांतिक बिंदु के निकट केवल गुणात्मक है।

समानीत रूप। p_r = p/p_c, T_r = T/T_c, v_r = v/v_c लेने पर समीकरण (p_r + 3/v_r²)(3v_r − 1) = 8T_r बन जाता है, जिसमें कोई पदार्थ-विशिष्ट स्थिरांक नहीं है: यह वान डर वाल्स तरल के लिए संगत अवस्थाओं के नियम का यथार्थ रूप है। हल किया उदाहरण। T_r = 1.2 और v_r = 2 के लिए: p_r = 8T_r/(3v_r − 1) − 3/v_r² = 9.6/5 − 0.75 = 1.17। CO₂ के लिए T_c = 304.2 K, p_c = 7.38 MPa, R_u = 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹: b = 8.314 × 304.2/(8 × 7.38 × 10⁶) = 4.28 × 10⁻⁵ m³/mol और a = 27 × 8.314² × 304.2²/(64 × 7.38 × 10⁶) = 0.366 Pa·m⁶/mol²।

⚠️ T_c से नीचे घन समीकरण के तीन मूल
क्रांतिक ताप से नीचे वान डर वाल्स समतापी में एक पाश बनता है (v में तीन मूल)। मध्य मूल भौतिक रूप से अस्थिर है; वास्तविक समतापी पाश की जगह संतृप्ति दाब पर क्षैतिज रेखा लेता है, जो इस प्रकार खींची जाती है कि रेखा और पाश के बीच के दोनों क्षेत्रफल बराबर हों (मैक्सवेल रचना)। T_c से ऊपर v का एक ही वास्तविक मूल होता है।

मुख्य बिंदु

  • त्रिक बिंदु (जल: 273.16 K, 0.6117 kPa) पर स्वातंत्र्य कोटि शून्य है; क्रांतिक बिंदु (जल: 647.1 K, 22.06 MPa) पर h_fg = 0 होता है और द्रव व वाष्प अविभेद्य हो जाते हैं।
  • द्वि-प्रावस्था क्षेत्र में p और T बँधे होते हैं; अवस्था शुष्कता अंश x = (v − v_f)/(v_g − v_f), जो द्रव्यमान-अंश है, से निर्धारित करें और अन्य गुणधर्मों के लिए h = h_f + x h_fg लें।
  • क्षेत्र पहचानने के लिए पहले v (या T) की तुलना संतृप्त मानों से करें; संपीडित द्रव को उसी ताप के संतृप्त-द्रव मानों से सन्निकटित किया जाता है।
  • आदर्श गैस नियम pv = RT, R = R_u/M, निम्न p व उच्च T पर लागू होता है; Z = pv/(RT) विचलन मापता है, और वास्तविक गैस के लिए m = pV/(Z R T)।
  • वान डर वाल्स: (p + a/v²)(v − b) = RT, जहाँ b = RT_c/(8p_c), a = 27R²T_c²/(64p_c), v_c = 3b और Z_c = 3/8; समानीत रूप (p_r + 3/v_r²)(3v_r − 1) = 8T_r में पदार्थ-स्थिरांक नहीं हैं।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किसी शुद्ध पदार्थ के क्रांतिक बिंदु के बारे में कौन-सा कथन सही है?

    1. ठोस, द्रव व वाष्प सह-अस्तित्व में रहते हैं, अतः पदार्थ का कोई मुक्त गहन गुणधर्म नहीं रहता
    2. द्रव को स्थिर दाब पर केवल क्रांतिक ताप से ऊपर उबाला जा सकता है
    3. संतृप्त द्रव व वाष्प अवस्थाएँ संपाती हैं और वाष्पन की गुप्त ऊष्मा शून्य है
    4. वाष्पन की गुप्त ऊष्मा अपने अधिकतम मान पर होती है, क्योंकि यहाँ वाष्प सबसे सघन है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — संतृप्त द्रव व वाष्प अवस्थाएँ संपाती हैं और वाष्पन की गुप्त ऊष्मा शून्य है

    क्रांतिक बिंदु पर दोनों प्रावस्थाएँ एक हो जाती हैं, अतः v_fg = 0 और h_fg = 0; गुप्त ऊष्मा संतृप्ति रेखा के अनुदिश घटती हुई शून्य की ओर जाती है, यहाँ उसका शिखर नहीं होता। तीनों प्रावस्थाओं का सह-अस्तित्व त्रिक बिंदु का वर्णन है, क्रांतिक बिंदु का नहीं। क्रांतिक दाब से ऊपर उबलना होता ही नहीं।

  2. गिब्स प्रावस्था नियम F = C − P + 2 को शुद्ध जल (एक घटक) पर लगाइए। जब बर्फ, द्रव जल और जलवाष्प साम्य में सह-अस्तित्व रखते हैं, तब कितने गहन चर स्वतंत्र रूप से बदले जा सकते हैं?

    1. शून्य, ताप और दाब दोनों निश्चित हैं
    2. दो, ताप और दाब
    3. एक, ताप या दाब में से कोई एक
    4. तीन, ताप, दाब और शुष्कता अंश
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — शून्य, ताप और दाब दोनों निश्चित हैं

    C = 1 और P = 3 पर F = 1 − 3 + 2 = 0, अतः त्रिक बिंदु अपरिवर्तनीय है: T और p निश्चित हैं (जल के लिए 273.16 K व 0.6117 kPa)। एक स्वातंत्र्य कोटि दो सह-अस्तित्वी प्रावस्थाओं पर लागू होती है, जहाँ p से T_sat तय होता है, और दो एकल प्रावस्था पर।

  3. 200 kPa पर जल का ताप 200 kPa के संतृप्ति ताप से कम है। किसी ऊष्मागतिक गणना में उसके विशिष्ट आयतन व विशिष्ट एन्थैल्पी का सर्वोत्तम सन्निकटन किन मानों से होता है?

    1. 200 kPa पर संतृप्त वाष्प, क्योंकि दाब वही है
    2. 200 kPa पर संतृप्त द्रव, क्योंकि दाब वही है
    3. वास्तविक ताप पर मिश्रण, जिसका शुष्कता अंश v से तय हो
    4. जल के वास्तविक ताप पर संतृप्त द्रव
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — जल के वास्तविक ताप पर संतृप्त द्रव

    जल संपीडित (अवशीतित) द्रव है। द्रव गुणधर्म मुख्यतः ताप पर निर्भर करते हैं, अतः वास्तविक ताप पर v ≈ v_f(T) और h ≈ h_f(T)। 200 kPa के संतृप्त मान लेने पर संतृप्ति ताप का उपयोग होगा, जो वास्तविक ताप से अधिक है और एन्थैल्पी को अधिक आँकता है। वाष्प गुंबद के बाहर शुष्कता अंश अपरिभाषित है।

  4. किसी दाब पर शुद्ध पदार्थ का विशिष्ट आयतन उस दाब के v_g से अधिक है। कौन-सा कथन सही है?

    1. यह एक से अधिक शुष्कता अंश वाला संतृप्त मिश्रण है
    2. यह अतितप्त वाष्प है, और इसके लिए p व T स्वतंत्र गुणधर्म हैं
    3. यह संतृप्त वाष्प है, और केवल p से उसका ताप तय हो जाता है
    4. यह संपीडित द्रव है, क्योंकि इसका घनत्व संतृप्त वाष्प से कम है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — यह अतितप्त वाष्प है, और इसके लिए p व T स्वतंत्र गुणधर्म हैं

    दिए दाब पर v > v_g का अर्थ है कि ताप T_sat से अधिक है, अतः पदार्थ अतितप्त वाष्प है, जिसकी अवस्था के लिए p और T दोनों चाहिए। एक से अधिक शुष्कता अंश का कोई अर्थ नहीं, और द्रव का विशिष्ट आयतन v_f से कम होता है, v_g से अधिक नहीं।

  5. एक दृढ़ बंद पात्र में जल संतृप्त द्रव–वाष्प मिश्रण के रूप में है, जिसका कुल विशिष्ट आयतन 0.0012 m³/kg है। जल का क्रांतिक विशिष्ट आयतन लगभग 0.0031 m³/kg है। पात्र को धीरे-धीरे गरम किया जाता है। उच्च दाब पर पुनः संतृप्ति पहुँचने पर अंतिम अवस्था क्या है?

    1. संतृप्त वाष्प, क्योंकि अंततः सारा द्रव वाष्पित हो जाता है
    2. स्थिर शुष्कता अंश का मिश्रण, क्योंकि आयतन स्थिर है
    3. संतृप्त द्रव, क्योंकि द्रव-तल तब तक ऊपर उठता है जब तक वह पात्र भर नहीं देता
    4. क्रांतिक बिंदु, क्योंकि गरम किया हर बंद पात्र उससे गुज़रता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — संतृप्त द्रव, क्योंकि द्रव-तल तब तक ऊपर उठता है जब तक वह पात्र भर नहीं देता

    अवस्था ऊर्ध्वाधर रेखा v = 0.0012 m³/kg पर चलती है, जो v_c से कम है, अतः यह संतृप्त-द्रव रेखा से मिलती है: द्रव फैलकर पात्र भर देता है। संतृप्त वाष्प तभी मिलता जब v, v_c से अधिक होता, और क्रांतिक बिंदु तभी जब v = v_c होता। शुष्कता अंश स्थिर नहीं रहता, क्योंकि संतृप्त मान v_f और v_g ताप के साथ बदलते हैं।

  6. किसी दिए p व T पर वास्तविक गैस का Z = pv/(RT) एक से अधिक है। उसी p व T पर आदर्श गैस की तुलना में उसका विशिष्ट आयतन

    1. अधिक है, क्योंकि अणुओं के परिमित आकार का प्रतिकर्षण प्रबल है
    2. कम है, क्योंकि इस अवस्था में अंतराण्विक आकर्षण प्रबल है
    3. बराबर है, क्योंकि Z दाब पर लगाया गया केवल एक छोटा संशोधन है
    4. कम है, क्योंकि आदर्श गैस नियम में Z दाब को गुणा करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अधिक है, क्योंकि अणुओं के परिमित आकार का प्रतिकर्षण प्रबल है

    v = Z RT/p, अतः Z > 1 से उसी p व T पर आदर्श मान से अधिक आयतन मिलता है; यह तब होता है जब प्रतिकर्षण प्रबल हो (उच्च दाब या उच्च ताप)। Z < 1 आकर्षण-प्रधान स्थिति है जिसमें आयतन कम होता है।

  7. संगत अवस्थाओं का नियम, जो सामान्यीकृत संपीड्यता चार्ट का आधार है, कहता है कि

    1. सभी गैसों का Z समान निरपेक्ष दाब व ताप पर समान होता है
    2. प्रत्येक गैस का क्रांतिक बिंदु पर संपीड्यता गुणांक ठीक 1 होता है
    3. Z किसी भी अवस्था में केवल गैस के मोलर द्रव्यमान से तय होता है
    4. समान समानीत दाब व ताप पर गैसों का Z लगभग समान होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — समान समानीत दाब व ताप पर गैसों का Z लगभग समान होता है

    p_r = p/p_c और T_r = T/T_c लेने पर Z लगभग सार्वत्रिक फलन Z(p_r, T_r) है। समान निरपेक्ष p व T पर Z समान नहीं होता, क्योंकि गैसों के क्रांतिक स्थिरांक भिन्न होते हैं। क्रांतिक बिंदु पर अधिकांश गैसों के लिए Z_c लगभग 0.27 से 0.29 होता है, 1 नहीं।

  8. वान डर वाल्स समीकरण (p + a/v²)(v − b) = RT में पद a/v² और स्थिरांक b क्रमशः किसके लिए हैं?

    1. अणुओं के आयतन और अंतराण्विक आकर्षण
    2. अंतराण्विक आकर्षण और अणुओं के परिमित आयतन
    3. ऊष्मीय गति और गैस की संपीड्यता
    4. परिवेश का दाब और पात्र का आयतन
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अंतराण्विक आकर्षण और अणुओं के परिमित आयतन

    a/v² पद मापे गए दाब में जुड़कर वह दाब लौटाता है जो अणुओं के बीच आकर्षण न होने पर होता; b वह आयतन है जो अणु अपवर्जित करते हैं, इसलिए केवल v − b मुक्त है। उलटा जोड़ने पर दोनों प्रभाव आपस में बदल जाते हैं।

  9. वान डर वाल्स गैस के लिए क्रांतिक संपीड्यता गुणांक Z_c = p_c v_c/(RT_c) है

    1. 1, जो आदर्श गैस के लिए प्रत्येक अवस्था में होता है
    2. 8/27, क्योंकि अनुपात में a = 27R²T_c²/(64p_c) आता है
    3. सभी वान डर वाल्स गैसों के लिए 3/8, चाहे a व b कुछ भी हों
    4. 0.27, जो अनेक वास्तविक गैसों के लिए क्रांतिक बिंदु पर मापा गया मान है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — सभी वान डर वाल्स गैसों के लिए 3/8, चाहे a व b कुछ भी हों

    v_c = 3b, T_c = 8a/(27Rb) और p_c = a/(27b²) से: Z_c = (a/27b²)(3b)/(R × 8a/(27Rb)) = 3/8 = 0.375 सभी वान डर वाल्स तरलों के लिए। वास्तविक गैसों का मापा मान कम (लगभग 0.27 से 0.29) है, जो दर्शाता है कि समीकरण क्रांतिक बिंदु के निकट केवल गुणात्मक है।

  10. प्रावस्था-व्यवहार के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. क्रांतिक दाब व ताप से ऊपर शुद्ध पदार्थ को अलग द्रव और वाष्प प्रावस्थाओं में नहीं बाँटा जा सकता।
    2. शुद्ध पदार्थ के द्वि-प्रावस्था क्षेत्र में ताप से दाब तय हो जाता है।
    3. जल की p–T आरेख पर गलन रेखा की ढाल धनात्मक है क्योंकि बर्फ द्रव जल से सघन है।
    4. शुष्कता अंश मिश्रण में वाष्प के आयतन और कुल आयतन का अनुपात है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — क्रांतिक दाब व ताप से ऊपर शुद्ध पदार्थ को अलग द्रव और वाष्प प्रावस्थाओं में नहीं बाँटा जा सकता।; B — शुद्ध पदार्थ के द्वि-प्रावस्था क्षेत्र में ताप से दाब तय हो जाता है।

    क्रांतिक बिंदु से परे केवल अतिक्रांतिक तरल होता है, और गुंबद के नीचे p = p_sat(T) होता है, अतः दोनों सही हैं। बर्फ जल से कम सघन है, इसलिए गलन रेखा नीचे की ओर झुकती है; शुष्कता अंश द्रव्यमान-अनुपात है, आयतन-अनुपात नहीं।

  11. आदर्श व वास्तविक गैसों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. विशिष्ट गैस स्थिरांक R = R_u/M का मान प्रत्येक गैस के लिए भिन्न होता है।
    2. दाब शून्य की ओर जाने पर प्रत्येक वास्तविक गैस के लिए Z एक की ओर जाता है।
    3. किसी गैस का विशिष्ट गैस स्थिरांक ताप के साथ बढ़ता है।
    4. अपने क्रांतिक बिंदु पर प्रत्येक वास्तविक गैस का Z ठीक एक होता है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — विशिष्ट गैस स्थिरांक R = R_u/M का मान प्रत्येक गैस के लिए भिन्न होता है।; B — दाब शून्य की ओर जाने पर प्रत्येक वास्तविक गैस के लिए Z एक की ओर जाता है।

    R = R_u/M केवल मोलर द्रव्यमान पर निर्भर है, इसलिए गैसों में भिन्न है पर T से नहीं बदलता, और p → 0 पर Z → 1 क्योंकि तब अणुओं की अन्योन्य क्रिया नगण्य होती है। क्रांतिक बिंदु पर अधिकांश गैसों के लिए Z_c लगभग 0.27 से 0.29 है, एक से बहुत कम।

  12. T_c, p_c व v_c क्रांतिक स्थिरांकों वाले वान डर वाल्स तरल के लिए निम्नलिखित में से कौन-से सही हैं?

    1. क्रांतिक विशिष्ट आयतन स्थिरांक b के तीन गुने के बराबर है।
    2. स्थिरांक b, RT_c/(8p_c) के बराबर है।
    3. समानीत समीकरण (p_r + 3/v_r²)(3v_r − 1) = 8T_r में स्थिरांक a और b सम्मिलित हैं।
    4. T_r = 1 व v_r = 1 पर समानीत समीकरण से p_r = 1 मिलता है।
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — क्रांतिक विशिष्ट आयतन स्थिरांक b के तीन गुने के बराबर है।; B — स्थिरांक b, RT_c/(8p_c) के बराबर है।; D — T_r = 1 व v_r = 1 पर समानीत समीकरण से p_r = 1 मिलता है।

    क्रांतिक-बिंदु प्रतिबंधों से v_c = 3b और b = RT_c/(8p_c) मिलते हैं। समानीत रूप में पदार्थ-स्थिरांक नहीं होते: p, T व v को उनके क्रांतिक मानों से मापने पर a और b कट जाते हैं। क्रांतिक बिंदु पर ही (p_r + 3)(2) = 8 से p_r = 1 आता है।

  13. वायु को R = 287 J/kg·K वाली आदर्श गैस मानिए। 0.5 m³ आयतन के दृढ़ टैंक में वायु का निरपेक्ष दाब 300 kPa और ताप 300 K है। टैंक में वायु का द्रव्यमान, kg में, दशमलव के दो स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.74

    m = pV/(RT) = (300 000 × 0.5)/(287 × 300) = 150 000/86 100 = 1.742 kg ≈ 1.74 kg। 300 kPa को 300 Pa या R को kJ में लेने पर उत्तर 1000 गुना बदल जाता है।

  14. 1.2 m³ आयतन के दृढ़ पात्र में 200 kPa पर 4 kg जल संतृप्त मिश्रण के रूप में है। इस दाब पर v_f = 0.001061 m³/kg और v_g = 0.8857 m³/kg लीजिए। मिश्रण का शुष्कता अंश, दशमलव के तीन स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.338

    v = V/m = 1.2/4 = 0.300 m³/kg। x = (v − v_f)/(v_g − v_f) = (0.300 − 0.001061)/(0.8857 − 0.001061) = 0.298939/0.884639 = 0.3379 ≈ 0.338। द्रव्यमान से भाग दिए बिना V/m लेना, या v/v_g = 0.339 लेना, थोड़ा भिन्न या गलत मान देता है।

  15. विशिष्ट गैस स्थिरांक R = 0.287 kJ/kg·K वाली गैस 0.1 m³ पात्र में 5 MPa व 400 K पर है, जहाँ उसका संपीड्यता गुणांक Z = 0.92 है। पात्र में गैस का द्रव्यमान, kg में, दशमलव के दो स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 4.73

    m = pV/(Z R T) = (5000 kPa × 0.1 m³)/(0.92 × 0.287 × 400) = 500/105.62 = 4.734 kg ≈ 4.73 kg। आदर्श गैस मान 4.355 kg है; Z < 1 का अर्थ है कि गैस पात्र में अधिक द्रव्यमान समाती है।

  16. किसी गैस का क्रांतिक ताप T_c = 304.2 K और क्रांतिक दाब p_c = 7.38 MPa है। उसे R_u = 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹ वाली वान डर वाल्स गैस मानिए। वान डर वाल्स स्थिरांक b, cm³/mol में, दशमलव के एक स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 42.8

    b = R_u T_c/(8 p_c) = 8.314 × 304.2/(8 × 7.38 × 10⁶) = 4.284 × 10⁻⁵ m³/mol = 42.84 cm³/mol ≈ 42.8 cm³/mol। क्रांतिक मोलर आयतन 3b = 128.5 cm³/mol है।

  17. कोई तरल वान डर वाल्स समीकरण का पालन करता है। उसका समानीत ताप T_r = 1.2 और समानीत विशिष्ट आयतन v_r = 2 है। समानीत रूप (p_r + 3/v_r²)(3v_r − 1) = 8T_r का उपयोग करके समानीत दाब p_r, दशमलव के दो स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.17

    p_r = 8T_r/(3v_r − 1) − 3/v_r² = 9.6/5 − 3/4 = 1.92 − 0.75 = 1.17। 3/v_r² पद छोड़ने पर 1.92 मिलता है, जो गलत है और तरल को केवल अपवर्जित आयतन वाली गैस मान लेता है।