वायु-मानक चक्र: ऑटो, डीज़ल और ब्रेटन
2. ऑटो चक्र: स्थिर आयतन पर ऊष्मा-योग
स्पार्क-प्रज्वलन इंजन। 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 स्थिर आयतन पर ऊष्मा-योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार (शक्ति स्ट्रोक), 4→1 स्थिर आयतन पर ऊष्मा-त्याग। व्युत्पत्ति: q_in = c_v(T₃ − T₂), q_out = c_v(T₄ − T₁)। 1→2 और 3→4 समान दो आयतनों के बीच समएन्ट्रॉप हैं, अतः T₂/T₁ = T₃/T₄ = r^(γ−1), इसलिए (T₄ − T₁)/(T₃ − T₂) = T₁/T₂ और
η_Otto = 1 − T₁/T₂ = 1 − 1/r^(γ−1) = 1 − r^(1−γ)।
अतः η केवल r और γ पर निर्भर है। यह जोड़ी गई ऊष्मा, T₁ या T₃ पर निर्भर नहीं करती। यह r के साथ बढ़ती है, पर घटते लाभ से, और वास्तविक पेट्रोल इंजन r मनमाना नहीं बढ़ा सकता क्योंकि संपीडित मिश्रण स्वतः प्रज्वलित हो जाएगा (नॉक)। r = 8 और γ = 1.4 हेतु: 8^0.4 = 2.297, η = 1 − 0.4353 = 56.5 %।
हल उदाहरण (माध्य प्रभावी दाब): 1 kg वायु, p₁ = 100 kPa, T₁ = 300 K, r = 8, q_in = 1800 kJ/kg, R = 0.287, γ = 1.4। तब v₁ = RT₁/p₁ = 0.287 × 300/100 = 0.861 m³/kg, w_net = η q_in = 0.5647 × 1800 = 1016.5 kJ/kg, स्वीप आयतन v₁ − v₂ = v₁(1 − 1/8) = 0.7534 m³/kg, और mep = 1016.5/0.7534 = 1349 kPa। सदा स्वीप आयतन v₁ − v₂ से भाग दें, v₁ से नहीं।
3. डीज़ल चक्र: स्थिर दाब पर ऊष्मा-योग
संपीडन-प्रज्वलन इंजन। केवल वायु संपीडित होती है, फिर ईंधन अंतःक्षेपित होकर जलता है जबकि पिस्टन बाहर जाता है, अतः ऊष्मा-योग 2→3 स्थिर दाब पर है। चरण 1→2 (समएन्ट्रॉपिक संपीडन), 3→4 (समएन्ट्रॉपिक प्रसार) और 4→1 (स्थिर आयतन त्याग) ऑटो चक्र जैसे हैं। नया प्राचल कट-ऑफ अनुपात ρ = V₃/V₂ = T₃/T₂ है, यानी स्ट्रोक का वह अंश जिसमें ऊष्मा जुड़ती है।
q_in = c_p(T₃ − T₂), q_out = c_v(T₄ − T₁) और समएन्ट्रॉप संबंधों से परिणाम है
η_Diesel = 1 − (1/r^(γ−1)) × (ρ^γ − 1)/[γ(ρ − 1)]।
कोष्ठक (ρ^γ − 1)/[γ(ρ − 1)] ρ > 1 हेतु सदा 1 से अधिक है और ρ → 1 पर 1 की ओर जाता है, जब डीज़ल चक्र ऑटो चक्र बन जाता है। अतः समान r पर η_Diesel < η_Otto, और स्थिर r पर बड़ा कट-ऑफ (भारी भार, अधिक ऊष्मा-योग) η घटाता है।
हल उदाहरण: r = 18, ρ = 2, γ = 1.4। 18^(−0.4) = 0.3147; (2^1.4 − 1)/(1.4 × 1) = (2.639 − 1)/1.4 = 1.1708; η = 1 − 0.3147 × 1.1708 = 0.6316, यानी 63.2 %। फिर भी व्यवहार में डीज़ल इंजन पेट्रोल इंजन से बेहतर रहता है क्योंकि केवल वायु संपीडित होती है, अतः नॉक r को सीमित नहीं करता और वह r = 15 से 20 पर चलता है जबकि पेट्रोल इंजन लगभग 8 से 10 पर।
4. ब्रेटन चक्र: गैस टर्बाइन चक्र
स्थायी-प्रवाह चक्र: 1→2 संपीडक में p₁ से p₂ तक समएन्ट्रॉपिक संपीडन (दाब अनुपात r_p = p₂/p₁), 2→3 दहन कक्ष में स्थिर दाब ऊष्मा-योग, 3→4 टर्बाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 स्थिर दाब ऊष्मा-त्याग। समएन्ट्रॉपिक संबंध T₂/T₁ = T₃/T₄ = r_p^((γ−1)/γ) देते हैं। x = r_p^((γ−1)/γ) लिखें। तब q_in = c_p(T₃ − T₂), q_out = c_p(T₄ − T₁), और
η_Brayton = 1 − T₁/T₂ = 1 − 1/r_p^((γ−1)/γ) = 1 − r_p^((1−γ)/γ)।
दक्षता केवल r_p पर निर्भर है, पर नेट कार्य r_p और शिखर ताप T₃ दोनों पर निर्भर है। टर्बाइन कार्य w_t = c_p(T₃ − T₄), संपीडक कार्य w_c = c_p(T₂ − T₁), पश्च कार्य अनुपात w_c/w_t = T₁x/T₃ और कार्य अनुपात w_net/w_t = 1 − T₁x/T₃ परिभाषित करें। गैस टर्बाइन का पश्च कार्य अनुपात बड़ा, प्रायः 40 से 60 % या अधिक, होता है क्योंकि गैस संपीडित होती है, जबकि रैंकिन चक्र में यह केवल लगभग 1 % या उससे कम है। इसीलिए संपीडक या टर्बाइन दक्षता में छोटी हानि गैस टर्बाइन को बहुत चोट पहुँचाती है।
5. अनुत्क्रमणीयता तथा अधिकतम नेट कार्य हेतु दाब अनुपात
मान लें τ = T₃/T₁। आदर्श चक्र हेतु w_net = c_pT₁[τ(1 − 1/x) − (x − 1)]। यह r_p = 1 (x = 1) पर शून्य है और T₂ = T₃ (x = τ) पर फिर शून्य; बीच में अधिकतम है। d(w_net)/dx = 0 रखने पर τ/x² = 1, अतः x = √τ, यानी
r_p,opt = (T₃/T₁)^(γ/[2(γ−1)]), जिस पर T₂ = T₄ = √(T₁T₃) और w_net,max = c_pT₁(√τ − 1)²।
T₁ = 300 K, T₃ = 1200 K (τ = 4), γ = 1.4 हेतु: r_p,opt = 4^1.75 = 11.31 और w_net,max = 1.005 × 300 × (2 − 1)² = 301.5 kJ/kg। उस बिंदु पर दक्षता 1 − 1/√τ = 50 % है। ध्यान दें कि r_p,opt के पार भी दक्षता r_p के साथ बढ़ती रहती है जबकि नेट कार्य घटता है: अधिकतम-η और अधिकतम-कार्य के बिंदु भिन्न हैं।
समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं η_c व η_t के साथ w_t = η_t c_pT₃(1 − 1/x) और w_c = c_pT₁(x − 1)/η_c, और वास्तविक संपीडक निकास T₂ = T₁[1 + (x − 1)/η_c] है। अनुकूलतम x² = η_cη_tτ हो जाता है, अतः अनुत्क्रमणीयता अनुकूलतम दाब अनुपात को तथा कार्य व दक्षता को घटाती है।
हल उदाहरण: τ = 4, c_p = 1.005, γ = 1.4, η_c = 0.80, η_t = 0.85, r_p = 8। x = 8^0.2857 = 1.8114। w_t = 0.85 × 1.005 × 1200 × (1 − 1/1.8114) = 459.2 kJ/kg; w_c = 1.005 × 300 × 0.8114/0.80 = 305.8 kJ/kg; w_net = 153.4 kJ/kg, जबकि आदर्श मशीनों हेतु 1.005 × 300 × [4 × 0.4479 − 0.8114] = 295.6। पश्च कार्य अनुपात 305.8/459.2 = 66.6 % है। T₂ = 300 + 300 × 0.8114/0.80 = 604.3 K, q_in = 1.005 × (1200 − 604.3) = 598.7, अतः η = 153.4/598.7 = 25.6 %, जबकि आदर्श 44.8 %। इन हानियों सहित अनुकूलतम x = √(0.8 × 0.85 × 4) = 1.649, r_p = 5.76 है, आदर्श 11.31 से काफ़ी कम।
6. ऑटो और डीज़ल की तुलना
| तुलना का आधार | अधिक दक्ष | कारण |
|---|---|---|
| समान संपीडन अनुपात व समान ऊष्मा-योग | ऑटो | डीज़ल कोष्ठक > 1, अतः η_Diesel < η_Otto |
| समान संपीडन अनुपात व समान ऊष्मा-त्याग | ऑटो | अवस्थाएँ 1, 2, 4 समान; T-s पर स्थिर आयतन रेखा अधिक तीखी है, अतः ऑटो अधिक ऊष्मा जोड़ता है |
| समान अधिकतम दाब व समान ऊष्मा-योग | डीज़ल | दाब सीमा के भीतर डीज़ल उच्च संपीडन अनुपात ले सकता है, अतः उसकी अधिक ऊष्मा उच्च ताप पर जुड़ती है |
पहली दो पंक्तियाँ जानी-पहचानी “ऑटो डीज़ल से बेहतर” वाली बातें हैं और तीसरी उलटी है। प्रश्न में आधार सदा बताना चाहिए। वास्तविक व्यवहार तीसरी पंक्ति का अनुसरण करता है, क्योंकि डीज़ल इंजन नॉक नहीं बल्कि शिखर दाब से सीमित होता है। व्यवहार में तुलना ईंधन, इंजन गति और प्राप्त माध्य प्रभावी दाब से भी प्रभावित होती है।
7. तीनों चक्र साथ-साथ
| चक्र | ऊष्मा-योग / त्याग | डिज़ाइन चर | आदर्श दक्षता |
|---|---|---|---|
| ऑटो | स्थिर आयतन / स्थिर आयतन | r | 1 − r^(1−γ) |
| डीज़ल | स्थिर दाब / स्थिर आयतन | r और ρ | 1 − r^(1−γ)(ρ^γ − 1)/[γ(ρ − 1)] |
| ब्रेटन | स्थिर दाब / स्थिर दाब | r_p (और T₃) | 1 − r_p^((1−γ)/γ) |
p-v आरेख पर ऑटो व डीज़ल चक्र केवल ऊष्मा-योग खंड में भिन्न हैं, ऊर्ध्वाधर रेखा बनाम क्षैतिज रेखा; T-s पर ऑटो का ऊष्मा-योग खंड स्थिर आयतन वक्र और डीज़ल का अपेक्षाकृत चपटा स्थिर दाब वक्र है। ऑटो व ब्रेटन चक्रों हेतु आदर्श दक्षता η = 1 − T₁/T₂ लिखी जा सकती है, जहाँ T₂ समएन्ट्रॉपिक संपीडन के अंत का ताप है (डीज़ल सूत्र में अतिरिक्त कट-ऑफ कोष्ठक रहता है)। T₂/T₁ बड़ा हो तो दक्षता अधिक होती है, अतः महत्त्व इसका है कि संपीडन कितना ताप-वृद्धि देता है, केवल r या r_p के संख्यात्मक मान का नहीं।
जाँच: r = 8 वाले ऑटो में T₂/T₁ = 8^0.4 = 2.297 और η = 56.5 %। r_p = 8 वाले ब्रेटन में T₂/T₁ = 8^0.2857 = 1.811 और η = 1 − 1/1.811 = 44.8 %। ब्रेटन का आँकड़ा कम है क्योंकि 8 का दाब अनुपात 8 के आयतन अनुपात से कम ताप अनुपात पर संपीडित करता है।
मुख्य बिंदु
- वायु-मानक विश्लेषण नियत मात्रा की आदर्श-गैस वायु, दहन व निष्कासन के स्थान पर ऊष्मा-योग व त्याग, और आंतरिक उत्क्रमणीय प्रक्रम लेता है; शीत-वायु-मानक मान γ = 1.4 है।
- ऑटो: η = 1 − r^(1−γ), ऊष्मा-योग से स्वतंत्र; mep = w_net/(v₁ − v₂), हर में स्वीप आयतन।
- डीज़ल: η = 1 − r^(1−γ)(ρ^γ − 1)/[γ(ρ − 1)]; कोष्ठक 1 से अधिक है, अतः समान r पर यह ऑटो से कम दक्ष है, और बड़ा कट-ऑफ η घटाता है।
- ब्रेटन: η = 1 − r_p^((1−γ)/γ) केवल r_p पर निर्भर है, पर नेट कार्य r_p व T₃ पर; पश्च कार्य अनुपात बड़ा है।
- अधिकतम नेट कार्य: आदर्श मशीनों हेतु r_p,opt = (T₃/T₁)^(γ/[2(γ−1)]) (T₂ = T₄), और अनुत्क्रमणीयता सहित x² = η_cη_tτ, जो r_p,opt घटाता है।
- समान संपीडन अनुपात पर ऑटो डीज़ल से बेहतर; समान अधिकतम दाब व ऊष्मा-योग पर डीज़ल ऑटो से बेहतर; आधार सदा बताएँ।
अभ्यास प्रश्न (17)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
निम्नलिखित में से कौन-सा इंजन चक्र के शीत-वायु-मानक विश्लेषण की कल्पना नहीं है?
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उत्तर: D — ईंधन से तरल की मात्रा बढ़ती है और संघटन बदलता है
वायु-मानक मॉडल बंद लूप में अपरिवर्तित वायु की नियत मात्रा रखता है। ईंधन जुड़ना और संघटन बदलना ठीक वे वास्तविक इंजन लक्षण हैं जिन्हें यह हटा देता है; शेष तीन कथन मॉडल का भाग हैं।γ = 1.4 वाले वायु-मानक ऑटो चक्र का संपीडन अनुपात 8 से दोगुना होकर 16 हो जाता है। आदर्श ऊष्मीय दक्षता 56.5 % से लगभग हो जाती है
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उत्तर: B — 67.0 %, लगभग 10.5 प्रतिशत-बिंदु की वृद्धि
η = 1 − r^(−0.4): r = 16 हेतु 16^0.4 = 3.031 और η = 1 − 0.330 = 0.670। लाभ वास्तविक है पर घटता जाता है। 1 − 1/r (घात γ − 1 छोड़कर) लेने पर 93.8 % आता, 79 % नहीं, और 100 % से ऊपर का मान असंभव है; दक्षता r और γ पर निर्भर है, ऊष्मा-योग पर नहीं।समान संपीडन अनुपात व समान ऊष्मा-योग पर वायु-मानक ऑटो चक्र की डीज़ल चक्र से तुलना में
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उत्तर: C — ऊष्मीय दक्षता अधिक होती है, क्योंकि डीज़ल का कट-ऑफ कोष्ठक 1 से अधिक है
η_Diesel = 1 − r^(1−γ) × (ρ^γ − 1)/[γ(ρ − 1)] और कोष्ठक प्रत्येक ρ > 1 हेतु 1 से अधिक है, अतः समान r पर ऑटो चक्र (कोष्ठक = 1) सदा बेहतर है। केवल समान संपीडन अनुपात से समान दक्षता नहीं मिलती, और ρ पर कोई देहली नहीं है।वायु-मानक डीज़ल चक्र में संपीडन अनुपात स्थिर रखा जाता है और इंजन भार बढ़ाया जाता है, जिससे अधिक ऊष्मा जुड़ती है और कट-ऑफ अनुपात बढ़ता है। ऊष्मीय दक्षता
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उत्तर: A — घटती है, क्योंकि कोष्ठक (ρ^γ − 1)/[γ(ρ − 1)] ρ के साथ बढ़ता है
कोष्ठक ρ = 1 पर 1 है और ρ बढ़ने पर बढ़ता है, अतः स्थिर r पर भार के साथ दक्षता घटती है। यह ऑटो चक्र की तरह स्थिर नहीं है, जहाँ η ऊष्मा-योग से स्वतंत्र है, और ρ = γ पर कोई अधिकतम नहीं है।स्थिर संपीडक प्रवेश ताप T₁ और स्थिर टर्बाइन प्रवेश ताप T₃ वाले आदर्श वायु-मानक ब्रेटन चक्र में, दाब अनुपात 1 से ऊपर बढ़ाने पर दक्षता
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उत्तर: A — लगातार बढ़ती है, जबकि नेट कार्य पहले बढ़ता है फिर घटता है
η = 1 − r_p^(−(γ−1)/γ) r_p के साथ एकदिष्ट बढ़ती है, जबकि नेट कार्य r_p = 1 पर शून्य है, r_p,opt पर अधिकतम होता है और T₂ के T₃ तक पहुँचने पर पुनः शून्य हो जाता है। अतः अधिकतम दक्षता और अधिकतम कार्य के दाब अनुपात भिन्न हैं। दक्षता T₃/T₁ पर निर्भर नहीं है।किसी गैस टर्बाइन में दिए दाब अनुपात पर संपीडक व टर्बाइन समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ 100 % से कम हैं। उसी दाब अनुपात और तापों T₁ व T₃ वाले आदर्श चक्र की तुलना में वास्तविक चक्र में
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उत्तर: D — संपीडक कार्य अधिक, टर्बाइन कार्य कम, नेट कार्य कम और पश्च कार्य अनुपात अधिक होता है
संपीडक को w_c = c_pT₁(x − 1)/η_c चाहिए, जो आदर्श से अधिक है, और टर्बाइन आदर्श गिरावट का केवल η_t गुना देता है, अतः w_net घटता है और w_c/w_t बढ़ता है। गरम संपीडक निकास आवश्यक ऊष्मा थोड़ी घटाता है, पर दक्षता फिर भी घटती है क्योंकि w_net अधिक तेज़ी से घटता है। निष्कासन अधिक गरम होता है, ठंडा नहीं।स्थिर संपीडक प्रवेश ताप वाले आदर्श ब्रेटन चक्र में, यदि अधिकतम चक्र ताप T₃ बढ़ाया जाए, तो अधिकतम नेट कार्य वाला दाब अनुपात
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उत्तर: C — बढ़ता है, क्योंकि r_p,opt = (T₃/T₁)^(γ/[2(γ−1)])
अधिकतम पर x² = T₃/T₁ है, अतः उच्चतर T₃ हेतु बड़ा दाब अनुपात चाहिए, और अधिकतम कार्य स्वयं (√τ − 1)² के रूप में बढ़ता है। अनुकूलतम T₃/T₁ तथा γ दोनों पर निर्भर है, और 2T₁ पर कोई सीमा नहीं।व्यावहारिक संपीडन-प्रज्वलन इंजन स्पार्क-प्रज्वलन इंजनों से कहीं अधिक संपीडन अनुपात पर चलते हैं, मुख्यतः क्योंकि
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उत्तर: C — केवल वायु संपीडित होती है, अतः संपीडन में स्वतः प्रज्वलित (नॉक) होने वाला कोई मिश्रण नहीं होता
स्पार्क-प्रज्वलन इंजन में संपीडित ईंधन-वायु मिश्रण नॉक के कारण r सीमित करता है। संपीडन-प्रज्वलन इंजन में ईंधन संपीडन के अंत के निकट अंतःक्षेपित होता है, अतः r 15 से 20 हो सकता है। समान r पर डीज़ल चक्र वस्तुतः ऑटो से कम दक्ष है, अतः समान संपीडन अनुपात वाला दावा गलत है, और कट-ऑफ अनुपात सदा 1 से अधिक होता है।ऑटो व डीज़ल वायु-मानक चक्रों की तुलना समान अधिकतम चक्र दाब व समान ऊष्मा-योग पर की जाती है (अतः डीज़ल चक्र उच्चतर संपीडन अनुपात पर चलता है)। अधिक दक्ष चक्र है
उत्तर देखें
उत्तर: B — डीज़ल चक्र, क्योंकि उसकी अधिक ऊष्मा उच्च ताप पर जुड़ती है और वह कम ऊष्मा त्यागता है
T-s आरेख पर समान शिखर दाब व समान ऊष्मा-योग के साथ डीज़ल चक्र अपने अधिक संपीडन के बाद उच्च ताप से ऊष्मा-योग आरंभ करता है और कम एन्ट्रॉपी पर प्रसार समाप्त करता है, अतः कम ऊष्मा त्यागी जाती है। यहाँ तुलना का आधार समान-संपीडन-अनुपात वाले आधार से भिन्न है, इसीलिए उत्तर उलट जाता है; ऑटो चक्र में कट-ऑफ अनुपात होता ही नहीं।स्थिर T₁ व T₃ वाले आदर्श वायु-मानक ब्रेटन चक्र हेतु (τ = T₃/T₁, स्थिर विशिष्ट ऊष्माएँ) कौन-से कथन सही हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — r_p = 1 पर नेट कार्य शून्य है; B — संपीडक निकास ताप T₃ के बराबर होने पर नेट कार्य शून्य है; C — अधिकतम नेट कार्य वाले दाब अनुपात पर T₂ = T₄ होता है
r_p = 1 पर कुछ संपीडित या प्रसारित नहीं होता। T₂ = T₃ पर टर्बाइन कार्य संपीडक कार्य के बराबर है। अधिकतम x² = τ को संतुष्ट करता है, यानी T₂ = T₁x = T₃/x = T₄। कार्य के अधिकतम से आगे भी दक्षता r_p के साथ बढ़ती रहती है, अतः वहाँ सर्वाधिक नहीं है।स्थिर विशिष्ट ऊष्माओं वाले वायु-मानक डीज़ल चक्र हेतु कौन-से कथन सही हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — स्थिर कट-ऑफ अनुपात पर संपीडन अनुपात बढ़ने से दक्षता बढ़ती है; B — कट-ऑफ अनुपात 1 की ओर जाने पर दक्षता उसी संपीडन अनुपात वाले ऑटो चक्र की दक्षता की ओर जाती है; C — ऊष्मा-त्याग स्थिर आयतन पर होता है
गुणक r^(1−γ) r बढ़ने पर घटता है, जिससे η बढ़ती है। ρ → 1 पर कट-ऑफ कोष्ठक 1 की ओर जाता है, जो ऑटो परिणाम देता है। निष्कासित ऊष्मा 4→1 पर स्थिर आयतन पर त्यागी जाती है, जैसे ऑटो चक्र में। समान r पर डीज़ल दक्षता ऑटो से कम है, अतः समान r पर डीज़ल की श्रेष्ठता का दावा गलत है।स्थिर γ व स्थिर संपीडन अनुपात वाले वायु-मानक ऑटो चक्र हेतु कौन-से कथन सही हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — प्रति kg जोड़ी गई ऊष्मा दोगुनी करने पर दक्षता नहीं बदलती; B — प्रति kg नेट कार्य जोड़ी गई ऊष्मा के समानुपाती है; C — प्रति kg त्यागी ऊष्मा q_in(1 − η) के बराबर है
η = 1 − r^(1−γ) में न q_in है न T₃, अतः w_net = ηq_in, q_in के समानुपाती है और q_out = q_in − w_net = q_in(1 − η)। स्थिर r पर अधिक गरम T₃ का अर्थ केवल अधिक ऊष्मा जुड़ना है; दक्षता नहीं बदलती।एक वायु-मानक ऑटो चक्र का संपीडन अनुपात 8 है। वायु हेतु γ = 1.4 लें (स्थिर विशिष्ट ऊष्माएँ)। आदर्श ऊष्मीय दक्षता ____ % है (एक दशमलव स्थान)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 56.5
η = 1 − r^(1−γ) = 1 − 8^(−0.4)। 8^0.4 = e^(0.4 ln 8) = e^0.8318 = 2.2974, अतः η = 1 − 0.4353 = 0.5647 = 56.5 %। 1 − 1/8 = 87.5 % लेना घात छोड़ना है।एक किलोग्राम वायु (R = 0.287 kJ/kg·K, γ = 1.4) संपीडन अनुपात 8 वाला वायु-मानक ऑटो चक्र पूरा करती है। संपीडन के आरंभ में p₁ = 100 kPa व T₁ = 300 K है, और प्रति चक्र जोड़ी गई ऊष्मा 1800 kJ/kg है। माध्य प्रभावी दाब ____ kPa है (निकटतम पूर्णांक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 1349
η = 1 − 8^(−0.4) = 0.56472; w_net = 0.56472 × 1800 = 1016.5 kJ/kg। v₁ = RT₁/p₁ = 0.287 × 300/100 = 0.861 m³/kg; v₁ − v₂ = 0.861 × (1 − 1/8) = 0.75338। mep = 1016.5/0.75338 = 1349.3 ≈ 1349 kPa। v₁ से भाग देने पर 1181 आता है, जो सामान्य भूल है।एक वायु-मानक डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात 18 और कट-ऑफ अनुपात 2 है। γ = 1.4 लें (स्थिर विशिष्ट ऊष्माएँ)। आदर्श ऊष्मीय दक्षता ____ % है (एक दशमलव स्थान)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 63.2
η = 1 − r^(1−γ)(ρ^γ − 1)/[γ(ρ − 1)]। 18^(−0.4) = 0.3147; 2^1.4 = 2.6390, अतः (2.6390 − 1)/(1.4 × 1) = 1.1707। η = 1 − 0.3147 × 1.1707 = 0.6316 = 63.2 %। r = 18 पर ऑटो मान 68.5 % होता, जो कोष्ठक की कीमत दिखाता है।एक आदर्श वायु-मानक ब्रेटन चक्र में संपीडक प्रवेश ताप 300 K और टर्बाइन प्रवेश ताप 1200 K है; γ = 1.4 व स्थिर विशिष्ट ऊष्माएँ लें। अधिकतम नेट कार्य देने वाला दाब अनुपात ____ है (दो दशमलव स्थान)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 11.31
r_p,opt = (T₃/T₁)^(γ/[2(γ−1)]) = 4^(1.4/0.8) = 4^1.75 = 2^3.5 = 11.31। जाँच: x = r_p^0.2857 = 2 = √τ, अतः T₂ = 600 K = T₄ = √(300 × 1200)। 4^3.5 लेने पर 128 आता है, जो गुणक 2 छोड़ने की भूल है।एक गैस टर्बाइन ब्रेटन चक्र पर T₁ = 300 K, T₃ = 1200 K, दाब अनुपात 8, c_p = 1.005 kJ/kg·K व γ = 1.4 के साथ चलती है। संपीडक समएन्ट्रॉपिक दक्षता 0.80 और टर्बाइन समएन्ट्रॉपिक दक्षता 0.85 है। नेट कार्य निर्गम ____ kJ/kg है (एक दशमलव स्थान)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 153.4
x = 8^0.2857 = 1.8114। w_c = c_pT₁(x − 1)/η_c = 1.005 × 300 × 0.8114/0.80 = 305.8। w_t = η_t c_pT₃(1 − 1/x) = 0.85 × 1.005 × 1200 × 0.4479 = 459.2। w_net = 459.2 − 305.8 = 153.4 kJ/kg (आदर्श मशीनें 295.6 देतीं)।