Water flows steadily through a heat exchanger. For analysis, a fixed region of space enclosing the heat exchanger between its inlet and outlet pipe sections is chosen. How is this system best classified?

Open system (control volume), because mass crosses the boundary of the chosen region

Closed system, because the volume of the chosen region does not change

Open system (control volume), because mass crosses the boundary of the chosen region

Isolated system, because the flow is steady and properties at each point do not change with time

Closed system, because the mass contained inside the region stays constant in steady flow

A closed system of gas executes a cycle: it expands, and is then compressed back to its initial state. Which statement about the cycle is correct?

The cyclic integrals of dp, dV and dT vanish, but that of δW need not vanish

The net boundary work is zero because the final state coincides with the initial state

The net heat transfer is zero because the internal energy returns to its initial value

The cyclic integral of δW is zero because work is a property fixed by the state

The cyclic integrals of dp, dV and dT vanish, but that of δW need not vanish

For which of the following is the continuum assumption least justified?

Helium at a pressure so low that its mean free path is comparable with the vessel size

Air at atmospheric pressure and room temperature flowing through a pipe of 5 cm diameter

Water standing in a laboratory beaker a few centimetres across, at room temperature

Steam at several megapascals passing through turbine passages a few centimetres wide

A rigid, insulated vessel is divided by a thin diaphragm: one side holds an ideal gas and the other side is evacuated. The diaphragm is then ruptured and the gas fills the vessel. Which statement is correct?

Only the end states can be marked on the p–V diagram, and the gas does no work since nothing resists its expansion

The process is a continuous curve on the p–V diagram, since the initial and final states are both equilibrium states

Only the end states can be marked on the p–V diagram, and the gas does no work since nothing resists its expansion

The work done by the gas is p ΔV, because the volume available to the gas has increased

The gas does work equal to its fall in internal energy, so its temperature must fall as it expands

The same ideal gas expands quasi-statically from the same initial state to twice its initial volume along three paths: an isothermal path (n = 1), a polytropic path pV^1.3 = constant, and a reversible adiabatic path pV^1.4 = constant. Which gives the correct decreasing order of the boundary work done by the gas?

Isothermal, then polytropic (n = 1.3), then adiabatic

Adiabatic, then polytropic (n = 1.3), then isothermal

Polytropic (n = 1.3), then isothermal, then adiabatic

All three equal, because the initial and final volumes are the same

Use the convention that W is positive for work done by the system. Which of the following statements are correct?

The boundary work of a quasi-static process between two given end states depends on the path followed.

The net work of a cycle run clockwise on a p–V diagram equals the enclosed area and is positive.

Stirring a fluid in a rigid insulated tank is work done on the fluid although ∫p dV = 0.

The boundary work of a quasi-static process between two given end states depends on the path followed.

A gas that warms up when rapidly compressed in a perfectly insulated cylinder has received heat.

The net work of a cycle run clockwise on a p–V diagram equals the enclosed area and is positive.

Stirring a fluid in a rigid insulated tank is work done on the fluid although ∫p dV = 0.

Which statement is the zeroth law of thermodynamics, and what does it justify?

Bodies each in thermal equilibrium with a third are in equilibrium with one another, which justifies the thermometer

Energy can be neither created nor destroyed, which justifies the energy balance of a closed system

Heat flows unaided only from a hotter to a colder body, which justifies the analysis of reversible engines

Bodies each in thermal equilibrium with a third are in equilibrium with one another, which justifies the thermometer

The entropy of a perfect crystal tends to zero at absolute zero, which justifies defining an absolute temperature scale

Which of the following statements about temperature are correct?

A temperature rise of 40 °C is a rise of 72 °F.

A gas at 27 °C has an absolute temperature of 300.15 K.

A temperature rise of 40 °C is a rise of 72 °F.

A gas at 27 °C has an absolute temperature of 300.15 K.

In pV = mRT the temperature may be inserted in °C, provided the pressure is absolute.

Different gases in a constant-volume thermometer read exactly the same temperature at any finite gas density.

मूल अवधारणाएँ: तंत्र, गुणधर्म, प्रक्रम, कार्य व ऊष्मा तथा तापमान

यह अध्याय XE4 ऊष्मागतिकी के खंड XE4.1 “मूल अवधारणाएँ” का उत्तर देता है, जो अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है और जिनमें से किन्हीं दो को परीक्षार्थी परीक्षा में चुनता है: “सांतत्यक (continuum), सूक्ष्म व स्थूल दृष्टिकोण; ऊष्मागतिक तंत्र (संवृत व विवृत); ऊष्मागतिक गुणधर्म, अवस्था व साम्यावस्था; सरल संपीड्य पदार्थों हेतु अवस्था अभिधारणा, गुणधर्म आरेखों पर पथ व प्रक्रम; ऊष्मा व कार्य की अवधारणाएँ, कार्य के विभिन्न प्रकार; ऊष्मागतिकी का शून्यवाँ नियम, तापमान की अवधारणा।” यह वह शब्दावली सिखाता है जिस पर आगे की प्रत्येक ऊष्मागतिक गणना टिकी है: तंत्र व परिसीमाएँ, गहन व व्यापक गुणधर्म, साम्यावस्था व अवस्था अभिधारणा, अर्ध-स्थैतिक प्रक्रम व चक्र, एक निश्चित चिह्न-परिपाटी के साथ ऊष्मा व कार्य, स्थिर-दाब, समतापी व पॉलीट्रॉपिक पथों हेतु परिसीमा कार्य, कार्य के अन्य प्रकार, तथा तापमान पैमाने व गैस तापमापी। संख्यात्मक प्रश्न p–V आँकड़ों से परिसीमा कार्य, पिस्टन–स्प्रिंग तंत्र में कार्य, शाफ़्ट व विद्युत कार्य, पृष्ठ-तनाव कार्य, पैमाना-रूपांतरण तथा गैस तापमापी पाठ्यांक हैं।

1. दृष्टिकोण, सांतत्यक व ऊष्मागतिक तंत्र

ऊष्मागतिकी पदार्थ को कुछ मापनीय स्थूल राशियों, जैसे p, V व T, से वर्णित करती है। इस स्थूल (चिरसम्मत) दृष्टिकोण को अणुओं के किसी मॉडल की आवश्यकता नहीं होती और यह तंत्र को समग्र रूप में लेता है। सूक्ष्म (सांख्यिकीय) दृष्टिकोण अणुओं, उनकी स्थितियों व वेगों का अनुसरण करता है और p व T को औसत के रूप में पाता है: दाब अणुओं के आघातों का औसत संवेग-अंतरण है, तापमान औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का माप। दोनों सहमत हैं, और चिरसम्मत ऊष्मागतिकी इसलिए प्रयुक्त होती है कि उसे आणविक ब्योरे नहीं चाहिए।

स्थूल दृष्टि सांतत्यक अभिधारणा के अंतर्गत वैध है: पदार्थ को सतत माना जाता है, अतः घनत्व व अन्य गुणधर्म स्थिति के सुचारु फलन होते हैं। यह तब ठीक है जब समस्या की अभिलक्षणिक लंबाई L अणुओं के माध्य मुक्त पथ λ से बहुत अधिक हो, अर्थात नुडसन संख्या Kn = λ/L छोटी हो। घनत्व को lim δm/δV से परिभाषित किया जाता है जिसमें δV को केवल उस आयतन तक घटाते हैं जिसमें अब भी अत्यधिक अणु हों, शून्य तक नहीं। वायुमंडलीय दाब पर वायु के लिए λ लगभग 0.07 μm है, अतः पाइप या सिलिंडर सांतत्यक हैं; बहुत कम दाब की विरल गैस, जिसमें λ पात्र के बराबर हो, नहीं है।

तंत्र अध्ययन हेतु चुना गया पदार्थ-परिमाण या क्षेत्र है; शेष सब परिवेश है, और परिसीमा (वास्तविक या काल्पनिक, स्थिर या गतिशील) दोनों को अलग करती है।

तंत्र	द्रव्यमान परिसीमा पार करता है	ऊष्मा व कार्य परिसीमा पार करते हैं	विशिष्ट उदाहरण
संवृत (नियंत्रण द्रव्यमान)	नहीं	हाँ	पिस्टन–सिलिंडर में बंद गैस
विवृत (नियंत्रण आयतन)	हाँ	हाँ	टरबाइन, नोज़ल, कंप्रेसर, भरा जाता टैंक
विलगित	नहीं	नहीं	आदर्श बंद, रोधित, दृढ़ फ़्लास्क

⚠️ संवृत का अर्थ स्थिर आयतन नहीं

“संवृत” केवल द्रव्यमान के लिए है: पिस्टन–सिलिंडर की गैस संवृत तंत्र है भले ही उसकी परिसीमा गतिशील हो। विवृत तंत्र में स्थिर प्रवाह हो सकता है, जिसमें द्रव्यमान समान दर से प्रवेश करता व निकलता है और भीतर का द्रव्यमान स्थिर रहता है, फिर भी वह संवृत तंत्र नहीं है।

2. गुणधर्म, अवस्था, साम्यावस्था व अवस्था अभिधारणा

गुणधर्म वह मापनीय अभिलक्षण है जिसका प्रत्येक अवस्था में, इतिहास चाहे जो हो, एक ही मान होता है। गहन गुणधर्म (p, T, घनत्व ρ, विशिष्ट आयतन v) द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करते; व्यापक गुणधर्म (m, V, U, H, S) उसके अनुपाती होते हैं। व्यापक गुणधर्म को द्रव्यमान से भाग देने पर विशिष्ट गुणधर्म मिलता है जो गहन है: v = V/m, u = U/m, h = H/m। परीक्षण: तंत्र को काल्पनिक विभाजन से बाँटें; गहन गुणधर्म प्रत्येक आधे में अपरिवर्तित रहता है, व्यापक आधा हो जाता है। गुणधर्म केवल अवस्था पर निर्भर होने से उसका परिवर्तन केवल अंत्य अवस्थाओं पर निर्भर है और चक्र में ∮dZ = 0 होता है (यथार्थ अवकल वाला बिंदु फलन)।

अवस्था वह स्थिति है जो गुणधर्मों के मानों से निर्धारित होती है। यह केवल ऊष्मागतिक साम्यावस्था में सुपरिभाषित है, जिसमें सब आवश्यक हैं: ऊष्मीय साम्य (तापांतर नहीं), यांत्रिक साम्य (कोई असंतुलित बल नहीं, अतः तरल के भार को छोड़कर दाब एकसमान), रासायनिक साम्य (कोई अभिक्रिया नहीं) तथा प्रावस्था साम्य (प्रावस्थाओं के बीच कोई शुद्ध अंतरण नहीं)।

अवस्था अभिधारणा। अवस्था निर्धारित करने हेतु आवश्यक स्वतंत्र गहन गुणधर्मों की संख्या एक (ऊष्मा अंतरण हेतु) जमा प्रासंगिक उत्क्रमणीय कार्य-प्रकारों की संख्या के बराबर है। सरल संपीड्य पदार्थ वह है जिसका एकमात्र उत्क्रमणीय कार्य-प्रकार संपीडन या प्रसार, p dV, है और विद्युत, चुंबकीय, पृष्ठ-तनाव व गुरुत्वीय प्रभाव अनुपस्थित हैं, अतः दो स्वतंत्र गहन गुणधर्म इसकी अवस्था निर्धारित करते हैं, जैसे (T, v) या (p, v)। शेष सब अवस्था समीकरण f(p, v, T) = 0 से मिलते हैं, जो p–v–T समष्टि में एक पृष्ठ है।

⚠️ दोनों गुणधर्म स्वतंत्र होने चाहिए

एकल प्रावस्था में T व p स्वतंत्र हैं। संतृप्त द्रव–वाष्प मिश्रण में वे स्वतंत्र नहीं हैं, क्योंकि p = p_sat(T); तब T व p केवल संतृप्ति-स्थिति तय करते हैं और अवस्था तय करने हेतु शुष्कता अंश x या v जैसा दूसरा स्वतंत्र गुणधर्म चाहिए।

3. पथ, प्रक्रम व गुणधर्म आरेख

प्रक्रम अवस्था-परिवर्तन है और उसका पथ पार की गई अवस्थाओं की श्रेणी है। अर्ध-स्थैतिक (quasi-static) प्रक्रम में तंत्र प्रत्येक क्षण साम्य से केवल अत्यल्प हटता है, अतः प्रत्येक मध्यवर्ती अवस्था के गुणधर्म सुपरिभाषित रहते हैं। यह तब होता है जब प्रक्रम विश्रांति काल (तंत्र को साम्य लौटाने में लगा समय) की तुलना में धीमा हो; गैस का दाब लगभग ध्वनि की चाल से बराबर होता है, अतः कुछ m/s से चलता पिस्टन प्रभावी रूप से अर्ध-स्थैतिक है। केवल अर्ध-स्थैतिक प्रक्रम ही p–v जैसे गुणधर्म आरेख पर सतत वक्र के रूप में खींचे जा सकते हैं। मुक्त प्रसार, तीव्र संपीडन या मथने का प्रक्रम असाम्य अवस्थाओं से गुज़रता है और केवल उसके अंतिम बिंदु दर्शाए जा सकते हैं।

अर्ध-स्थैतिक होना उत्क्रमणीय होने के समान नहीं है: घर्षण-युक्त धीमा प्रक्रम अर्ध-स्थैतिक पर अनुत्क्रमणीय है (पूर्ण विवेचन द्वितीय नियम खंड में है)। चक्र तंत्र को उसकी प्रारंभिक अवस्था में लौटाता है, अतः चक्र में प्रत्येक गुणधर्म-परिवर्तन शून्य होता है। प्रक्रम स्थिर (steady) है जब किसी बिंदु पर गुणधर्म समय के साथ न बदलें, और एकसमान (uniform) जब वे स्थिति के साथ न बदलें। नामित प्रक्रम नीचे सूचीबद्ध हैं।

प्रक्रम	प्रतिबंध	पॉलीट्रॉपिक pVⁿ = C
समदाबी	p स्थिर	n = 0
समतापी	T स्थिर (आदर्श गैस: pV स्थिर)	n = 1
उत्क्रमणीय रुद्धोष्म, आदर्श गैस	Q = 0 व कोई अपव्यय नहीं	n = γ
समआयतनिक	V स्थिर	n → ∞

4. ऊष्मा, कार्य, चिह्न-परिपाटी व परिसीमा कार्य

ऊष्मा Q वह ऊर्जा है जो तापांतर के कारण परिसीमा पार करती है। कार्य W वह ऊर्जा है जो किसी अन्य प्रकार से परिसीमा पार करती है, इस प्रकार कि परिवेश पर एकमात्र प्रभाव भार को उठाना हो सके। दोनों क्षणिक परिसीमा-घटनाएँ हैं, गुणधर्म नहीं: तंत्र में ऊर्जा होती है, “ऊष्मा” या “कार्य” कभी नहीं। ये पथ फलन हैं जिनके अवकल अयथार्थ हैं, δQ व δW लिखे जाते हैं, और इनके मान प्रक्रम पर निर्भर हैं, केवल अंत्य अवस्थाओं पर नहीं। Q = 0 वाला प्रक्रम रुद्धोष्म है; संपीडन से गरम हुई गैस ने कार्य पाया है, ऊष्मा नहीं।

ℹ️ इन अध्यायों में प्रयुक्त चिह्न-परिपाटी

Q धनात्मक है जब ऊष्मा तंत्र में प्रवेश करे। W धनात्मक है जब तंत्र परिवेश पर कार्य करे (प्रसार, शाफ़्ट निर्गत); तंत्र पर किया गया कार्य (संपीडन, मथना, विद्युत निवेश) ऋणात्मक है। तब प्रथम नियम Q − W = ΔE है। कुछ पुस्तकें W को तंत्र पर किया कार्य मानकर Q + W = ΔE लिखती हैं; परिपाटी हेतु प्रश्न-कथन अवश्य पढ़ें।

अर्ध-स्थैतिक प्रसार हेतु परिसीमा कार्य δW = p dV है और W₁₂ = ∫p dV, अर्थात p–V आरेख पर वक्र के नीचे का क्षेत्रफल: प्रसार में धनात्मक, संपीडन में ऋणात्मक, और पथ पर निर्भर। चक्र का शुद्ध कार्य घिरा क्षेत्रफल है, जो दक्षिणावर्त (clockwise) चक्र में धनात्मक है। तंत्र द्वारा किए कार्य के मानक परिणाम:

समदाबी: W = p(V₂ − V₁); समआयतनिक: W = 0।
समतापी आदर्श गैस (pV = C): W = p₁V₁ ln(V₂/V₁) = mRT ln(V₂/V₁)।
पॉलीट्रॉपिक pVⁿ = C, n ≠ 1: W = ∫C V⁻ⁿ dV = (p₁V₁ − p₂V₂)/(n − 1), जहाँ p₂ = p₁(V₁/V₂)ⁿ।

हल-उदाहरण। 500 kPa व 0.1 m³ की गैस 0.3 m³ तक फैलती है। n = 1.2 के पॉलीट्रॉपिक में: p₂ = 500 × (1/3)^1.2 = 133.8 kPa, अतः W = (500 × 0.1 − 133.8 × 0.3)/0.2 = (50 − 40.14)/0.2 = 49.3 kJ। समतापी (n = 1): W = 500 × 0.1 × ln 3 = 54.9 kJ। 500 kPa पर समदाबी: W = 500 × 0.2 = 100 kJ। उसी प्रसार में n बढ़ने पर कार्य घटता है, क्योंकि p–V वक्र अधिक तीव्रता से गिरता है और उसके नीचे का क्षेत्रफल घटता है।

⚠️ जब ∫p dV लागू नहीं होता

W = ∫p dV हेतु अर्ध-स्थैतिक प्रक्रम चाहिए, जिसमें p तंत्र का दाब हो। निर्वात में मुक्त प्रसार में आयतन बढ़ता है पर W = 0, क्योंकि कोई प्रतिरोधी बल नहीं है। दृढ़ टैंक में ∫p dV = 0 है, फिर भी पैडल गैस पर कार्य कर सकता है: मथना परिसीमा-भिन्न कार्य-प्रकार है।

5. कार्य के अन्य प्रकार

कार्य-प्रकार	व्यंजक	टिप्पणी
शाफ़्ट / मथना	W = Tω = 2πNT/60 (N rpm में, T N·m में, परिणाम W में)	हमारी परिपाटी में तंत्र पर कार्य ऋणात्मक
विद्युत	W = VIt (ऊर्जा निवेश)	तंत्र के भीतर प्रतिरोधक को आपूर्ति: तंत्र पर कार्य
स्प्रिंग	½k(x₂² − x₁²) स्प्रिंग में संचित	बल F = kx, k N/m में
पृष्ठ-तनाव	तंत्र द्वारा δW = −σ dA	साबुन की झिल्ली के दो पृष्ठ हैं: A = 2 × झिल्ली क्षेत्रफल
तना तार	तंत्र द्वारा δW = −F dL	विस्तार हेतु कार्य निवेश चाहिए

बंद तंत्र को मथना व विद्युत से गरम करना सदैव तंत्र में कार्य है और इन्हें उलटकर कार्य-निर्गत नहीं पाया जा सकता, इसीलिए ये द्वितीय नियम में महत्त्वपूर्ण हैं। पृष्ठ-तनाव σ की झिल्ली वृद्धि का प्रतिरोध करती है, अतः उसका क्षेत्रफल बढ़ाने हेतु σ ΔA कार्य-निवेश चाहिए, जो तंत्र द्वारा कार्य के रूप में ऋणात्मक है।

हल-उदाहरण (रैखिक स्प्रिंग वाला पिस्टन)। सिलिंडर की गैस ऐसे पिस्टन को धकेलती है जो रैखिक स्प्रिंग पर टिका है, अतः गैस का दाब आयतन के साथ रैखिक बढ़ता है: 0.04 m³ पर 200 kPa से 0.10 m³ पर 400 kPa तक। p–V रेखा सीधी है, अतः क्षेत्रफल समलंब है: W = ½(200 + 400) × (0.10 − 0.04) = 18 kJ गैस द्वारा। इसमें 200 × 0.06 = 12 kJ स्थिर 200 kPa के विरुद्ध कार्य है और ½ × 200 × 0.06 = 6 kJ का त्रिभुज स्प्रिंग में संचित है, जिसे आरंभ में अतानित माना गया है।

6. शून्यवाँ नियम व तापमान की अवधारणा

शून्यवाँ नियम: यदि दो पिंड प्रत्येक किसी तीसरे पिंड के साथ ऊष्मीय साम्य में हों तो वे परस्पर ऊष्मीय साम्य में हैं। यह तापमापन को सार्थक बनाता है: तीसरा पिंड तापमापी है, और तापमान वह गुणधर्म है जिसका मान ऊष्मीय साम्य वाले सभी पिंडों में समान है। तापमापी ऐसे ऊष्मामितीय गुणधर्म का उपयोग करता है जो तापमान के साथ बदलता है: द्रव-स्तंभ की लंबाई, धातु का प्रतिरोध, तापयुग्म का emf, या स्थिर आयतन पर गैस का दाब।

पैमाने। सेल्सियस व फ़ारेनहाइट सापेक्ष पैमाने हैं, केल्विन व रैंकिन निरपेक्ष। T(K) = t(°C) + 273.15; t(°F) = 1.8 t(°C) + 32; T(R) = 1.8 T(K) = t(°F) + 459.67। 1 K का तापमान अंतर 1 °C, 1.8 °F व 1.8 R के बराबर है, अतः 50 °C की वृद्धि 90 °F की वृद्धि है, 122 नहीं। चिरसम्मत निरपेक्ष पैमाना जल के त्रिक बिंदु को 273.16 K देता है; 2019 से केल्विन बोल्ट्ज़मान स्थिरांक k = 1.380649 × 10⁻²³ J/K को नियत कर परिभाषित है और त्रिक बिंदु मापन-अनिश्चितता के भीतर 273.16 K ही रहता है।

स्थिर-आयतन गैस तापमापी। स्थिर आयतन की गैस-बल्ब मैनोमीटर से जुड़ा होता है। उसका दाब p ऊष्मामितीय गुणधर्म है, और T = 273.16 × (p/p_tp) जब p_tp → 0, जहाँ p_tp वह दाब है जब बल्ब जल के त्रिक बिंदु पर हो। सीमित गैस-घनत्व पर भिन्न गैसें थोड़ा भिन्न मान पढ़ती हैं; पाठ्यांक को शून्य घनत्व तक बहिर्वेशित करने से अंतर मिट जाता है और आदर्श-गैस तापमान पैमाना मिलता है। उदाहरण: p_tp = 80.0 kPa और अज्ञात तापमान पर p = 99.6 kPa से T = 273.16 × 99.6/80.0 = 340.1 K।

⚠️ अंतर बनाम पाठ्यांक

तापमान-पाठ्यांक को ऑफ़सेट (+273.15, या × 1.8 + 32) से बदलें पर तापमान-अंतर को केवल गुणक (× 1.8) से। p V = mRT जैसे सूत्रों व दक्षताओं में निरपेक्ष तापमान चाहिए; गैस-नियम में °C कभी न रखें।

मुख्य बिंदु

संवृत तंत्र ऊर्जा का विनिमय करता है पर द्रव्यमान का नहीं, विवृत तंत्र (नियंत्रण आयतन) दोनों का, विलगित तंत्र किसी का नहीं। सांतत्यक मॉडल तब वैध है जब माध्य मुक्त पथ लंबाई-पैमाने से बहुत छोटा हो (छोटी नुडसन संख्या)।
गहन गुणधर्म द्रव्यमान के साथ नहीं बदलते (p, T, v), व्यापक बदलते हैं (m, V, U, H); विशिष्ट मान गहन होते हैं। गुणधर्म बिंदु फलन है, ∮dZ = 0; ऊष्मा व कार्य पथ फलन हैं।
अवस्था अभिधारणा: स्वतंत्र गहन गुणधर्म = 1 + उत्क्रमणीय कार्य-प्रकार, अतः सरल संपीड्य पदार्थ को दो चाहिए। संतृप्त मिश्रण में p व T स्वतंत्र नहीं हैं; शुष्कता अंश जोड़ें।
केवल अर्ध-स्थैतिक प्रक्रम गुणधर्म आरेखों पर वक्र होते हैं; मुक्त प्रसार व मथना केवल अंत्य अवस्थाएँ दिखाते हैं। अर्ध-स्थैतिक उत्क्रमणीय नहीं है: घर्षण हो सकता है।
चिह्न-परिपाटी: Q तंत्र में धनात्मक, W तंत्र द्वारा धनात्मक, अतः Q − W = ΔE। परिसीमा कार्य W = ∫p dV p–V वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है; पॉलीट्रॉपिक W = (p₁V₁ − p₂V₂)/(n − 1), समतापी W = p₁V₁ ln(V₂/V₁)।
शाफ़्ट कार्य 2πNT/60, विद्युत कार्य VIt, स्प्रिंग कार्य ½k(x₂² − x₁²), पृष्ठ-तनाव कार्य σ ΔA (झिल्ली हेतु दो पृष्ठ)। शून्यवाँ नियम तापमापी को उचित ठहराता है; T(K) = t(°C) + 273.15, अंतर °F हेतु 1.8 से बढ़ते हैं; गैस तापमापी T = 273.16 p/p_tp देता है।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

जल एक ऊष्मा विनिमायक से स्थिर प्रवाह में गुज़रता है। विश्लेषण हेतु विनिमायक को उसके निवेश व निर्गम पाइप-खंडों के बीच घेरने वाला अंतरिक्ष का स्थिर क्षेत्र चुना गया है। इस तंत्र का सर्वोत्तम वर्गीकरण क्या है?
1. संवृत तंत्र, क्योंकि चुने हुए क्षेत्र का आयतन नहीं बदलता
2. विवृत तंत्र (नियंत्रण आयतन), क्योंकि द्रव्यमान चुने क्षेत्र की परिसीमा पार करता है
3. विलगित तंत्र, क्योंकि प्रवाह स्थिर है और प्रत्येक बिंदु पर गुणधर्म समय के साथ नहीं बदलते
4. संवृत तंत्र, क्योंकि स्थिर प्रवाह में क्षेत्र के भीतर समाया द्रव्यमान स्थिर रहता है
उत्तर देखें
उत्तर: B — विवृत तंत्र (नियंत्रण आयतन), क्योंकि द्रव्यमान चुने क्षेत्र की परिसीमा पार करता है
तंत्र विवृत तब होता है जब द्रव्यमान उसकी परिसीमा पार करे, भीतर के द्रव्यमान का जो भी हो। जल क्षेत्र में प्रवेश करता व निकलता है, अतः यह नियंत्रण आयतन है। भ्रामक तर्क यह है कि स्थिर प्रवाह में भीतर का द्रव्यमान स्थिर रहता है; यह सत्य है, पर भीतर के द्रव्यमान का स्थिर होना परिसीमा पर द्रव्यमान के न गुज़रने के समान नहीं है। स्थिर आयतन से तंत्र संवृत नहीं बनता, और विलगित तंत्र न द्रव्यमान न ऊर्जा का विनिमय करता है, जबकि यहाँ दूसरी धारा से ऊष्मा का विनिमय होता है।
गैस का एक संवृत तंत्र चक्र चलाता है: वह फैलता है और फिर संपीडित होकर अपनी प्रारंभिक अवस्था में लौट आता है। चक्र के बारे में कौन-सा कथन सही है?
1. शुद्ध परिसीमा कार्य शून्य है, क्योंकि अंतिम अवस्था प्रारंभिक अवस्था से मेल खाती है
2. शुद्ध ऊष्मा-अंतरण शून्य है, क्योंकि आंतरिक ऊर्जा अपने प्रारंभिक मान पर लौट आती है
3. δW का चक्रीय समाकल शून्य है, क्योंकि कार्य अवस्था द्वारा निर्धारित गुणधर्म है
4. dp, dV व dT के चक्रीय समाकल शून्य हैं, पर δW का शून्य होना आवश्यक नहीं
उत्तर देखें
उत्तर: D — dp, dV व dT के चक्रीय समाकल शून्य हैं, पर δW का शून्य होना आवश्यक नहीं
गुणधर्म अपने प्रारंभिक मानों पर लौटते हैं, अतः ∮dp = ∮dV = ∮dT = 0। कार्य पथ फलन है और चक्र का शुद्ध कार्य p–V आरेख पर घिरे क्षेत्रफल के बराबर है, जो शून्य नहीं होता जब तक प्रसार व संपीडन के वक्र संपाती न हों। शुद्ध ऊष्मा भी सामान्यतः अशून्य है: प्रथम नियम से वह शुद्ध कार्य के बराबर है। अंतिम अवस्था समान होने से शुद्ध कार्य शून्य कहना पथ फलन को गुणधर्म समझ लेना है।
एकसमान साम्य अवस्था की गैस को एक काल्पनिक विभाजन से दो बराबर भागों में बाँटा गया है। एक आधे भाग के कौन-से गुणधर्मों का मान समग्र गैस के संगत गुणधर्म के बराबर है?
1. दाब
2. आंतरिक ऊर्जा
3. विशिष्ट आयतन
4. आयतन
उत्तर देखें
उत्तर: A — दाब; C — विशिष्ट आयतन
दाब व विशिष्ट आयतन गहन गुणधर्म हैं, अतः वे गैस की मात्रा पर निर्भर नहीं करते और प्रत्येक आधे भाग में अपरिवर्तित रहते हैं। आंतरिक ऊर्जा व आयतन व्यापक हैं: प्रत्येक द्रव्यमान के अनुपाती है, अतः प्रत्येक आधे भाग में समग्र का आधा मान होता है।
अवस्था अभिधारणा को इस रूप में लें: साम्य अवस्था निर्धारित करने वाले स्वतंत्र गहन गुणधर्मों की संख्या 1 जमा प्रासंगिक उत्क्रमणीय कार्य-प्रकारों की संख्या के बराबर है। पात्र में रखा शुद्ध पदार्थ परिवेश से उत्क्रमणीय संपीडन (p dV) कार्य तथा उत्क्रमणीय पृष्ठ-तनाव कार्य करता है, अन्य कोई कार्य नहीं। इसकी अवस्था निर्धारित करने हेतु कितने स्वतंत्र गहन गुणधर्म चाहिए?
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
उत्तर देखें
उत्तर: C — 3
दो उत्क्रमणीय कार्य-प्रकार (संपीडन व पृष्ठ-तनाव) हैं, अतः गिनती 1 + 2 = 3 है। सरल संपीड्य पदार्थ में केवल एक कार्य-प्रकार होता है और उसे 2 चाहिए। भ्रामक उत्तर 2 पृष्ठ-तनाव प्रकार को भूल जाता है; अतिरिक्त प्रकार एक और स्वतंत्र गुणधर्म जोड़ता है, जैसे प्रति इकाई द्रव्यमान पृष्ठ-क्षेत्रफल।
निम्न में से किसके लिए सांतत्यक अभिधारणा सबसे कम उचित है?
1. हीलियम इतने कम दाब पर कि उसका माध्य मुक्त पथ पात्र के आकार के तुल्य हो
2. वायुमंडलीय दाब व कमरे के तापमान की वायु जो 5 cm व्यास के पाइप में बह रही है
3. कमरे के तापमान पर प्रयोगशाला के कुछ सेंटीमीटर चौड़े बीकर में रखा जल
4. कई मेगापास्कल का भाप जो कुछ सेंटीमीटर चौड़े टरबाइन-मार्गों से गुज़र रही है
उत्तर देखें
उत्तर: A — हीलियम इतने कम दाब पर कि उसका माध्य मुक्त पथ पात्र के आकार के तुल्य हो
सांतत्यक मॉडल हेतु छोटी नुडसन संख्या Kn = λ/L, यानी माध्य मुक्त पथ व अभिलक्षणिक लंबाई का अनुपात, चाहिए। कम दाब वाले पात्र में λ, L के तुल्य है, अतः घनत्व व दाब को सुचारु बिंदु-मानों के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता। वायुमंडलीय दाब पर वायु हेतु λ लगभग 0.07 μm है, जो 5 cm के पाइप से हज़ारों गुना छोटा है, और द्रवों व सघन भाप में यह और भी छोटा होता है, अतः अन्य सभी स्थितियाँ निश्चित रूप से सांतत्यक हैं।
एक दृढ़, रोधित पात्र को पतले डायफ़्राम से बाँटा गया है: एक ओर आदर्श गैस है और दूसरी ओर निर्वात। फिर डायफ़्राम फट जाता है और गैस पूरे पात्र में भर जाती है। कौन-सा कथन सही है?
1. यह प्रक्रम p–V आरेख पर सतत वक्र है, क्योंकि प्रारंभिक व अंतिम दोनों अवस्थाएँ साम्य अवस्थाएँ हैं
2. p–V आरेख पर केवल अंत्य अवस्थाएँ दर्शाई जा सकती हैं, और गैस कार्य नहीं करती क्योंकि उसके प्रसार का कोई प्रतिरोध नहीं है
3. गैस द्वारा किया कार्य p ΔV है, क्योंकि गैस को उपलब्ध आयतन बढ़ा है
4. गैस अपनी आंतरिक ऊर्जा की कमी के बराबर कार्य करती है, अतः फैलते समय उसका तापमान अवश्य गिरता है
उत्तर देखें
उत्तर: B — p–V आरेख पर केवल अंत्य अवस्थाएँ दर्शाई जा सकती हैं, और गैस कार्य नहीं करती क्योंकि उसके प्रसार का कोई प्रतिरोध नहीं है
फटना अर्ध-स्थैतिक प्रक्रम नहीं है: गैस असाम्य अवस्थाओं से गुज़रती है, अतः केवल अंत्य अवस्थाएँ आलेखित की जा सकती हैं। गैस किसी गतिशील परिसीमा या प्रतिरोधी दाब के विरुद्ध नहीं धकेलती और पात्र दृढ़ है, अतः W = 0; Q = 0 भी है, इसलिए आंतरिक ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है और आदर्श गैस का तापमान वही रहता है। W = p ΔV भ्रामक भूल है: उसके लिए तंत्र-दाब के विरुद्ध अर्ध-स्थैतिक प्रसार चाहिए।
एक गैस p–V आरेख पर चक्र 1→2→3→4→1 चलाती है। प्रक्रम 1→2: 0.1 m³ से 0.3 m³ तक 300 kPa पर समदाबी प्रसार। प्रक्रम 2→3: दाब का 100 kPa तक समआयतनिक गिरना। प्रक्रम 3→4: 100 kPa पर 0.3 m³ से 0.1 m³ तक समदाबी संपीडन। प्रक्रम 4→1: दाब का 300 kPa तक समआयतनिक बढ़ना। तंत्र द्वारा किए कार्य को धनात्मक लेते हुए चक्र का शुद्ध कार्य है
1. −40 kJ
2. +60 kJ
3. +40 kJ
4. +80 kJ
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उत्तर: C — +40 kJ
कार्य केवल समदाबी चरणों में होता है। 1→2: 300 × (0.3 − 0.1) = +60 kJ। 3→4: 100 × (0.1 − 0.3) = −20 kJ। समआयतनिक चरण शून्य देते हैं। शुद्ध = 60 − 20 = +40 kJ, अर्थात घिरा आयत (300 − 100) × 0.2। चिह्न धनात्मक है क्योंकि प्रसार उच्च दाब पर होता है, यानी दक्षिणावर्त चक्र। +60 kJ केवल प्रसार गिनता है, और +80 kJ परिमाणों को घटाने के स्थान पर जोड़ देता है।
वही आदर्श गैस समान प्रारंभिक अवस्था से अपने प्रारंभिक आयतन के दुगुने तक तीन पथों पर अर्ध-स्थैतिक रूप से फैलती है: समतापी पथ (n = 1), पॉलीट्रॉपिक पथ pV^1.3 = स्थिरांक, और उत्क्रमणीय रुद्धोष्म पथ pV^1.4 = स्थिरांक। गैस द्वारा किए परिसीमा कार्य का घटता क्रम कौन-सा सही देता है?
1. समतापी, फिर पॉलीट्रॉपिक (n = 1.3), फिर रुद्धोष्म
2. रुद्धोष्म, फिर पॉलीट्रॉपिक (n = 1.3), फिर समतापी
3. पॉलीट्रॉपिक (n = 1.3), फिर समतापी, फिर रुद्धोष्म
4. तीनों बराबर, क्योंकि प्रारंभिक व अंतिम आयतन समान हैं
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उत्तर: A — समतापी, फिर पॉलीट्रॉपिक (n = 1.3), फिर रुद्धोष्म
कार्य p–V वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है। pVⁿ = C में n बढ़ने पर आयतन के साथ दाब अधिक तेज़ी से गिरता है, अतः क्षेत्रफल घटता है। आयतन दुगुना होने पर p₁V₁ की इकाई में W₁₂: समतापी ln 2 = 0.693, n = 1.3 हेतु (1 − 2^(−0.3))/0.3 = 0.626, n = 1.4 हेतु (1 − 2^(−0.4))/0.4 = 0.605। केवल अंत्य आयतन कार्य तय नहीं करते, क्योंकि कार्य पथ फलन है।
चिह्न-परिपाटी लें कि तंत्र में प्रवेश करती ऊष्मा के लिए Q धनात्मक है और तंत्र द्वारा परिवेश पर किए कार्य के लिए W धनात्मक है। पिस्टन–सिलिंडर की गैस संपीडित की जाती है, गैस पर 200 kJ कार्य किया जाता है, और इस बीच गैस से परिवेश की ओर 50 kJ ऊष्मा प्रवाहित होती है। गैस के लिए Q व W के मान हैं
1. Q = +50 kJ व W = +200 kJ
2. Q = +50 kJ व W = −200 kJ
3. Q = −50 kJ व W = +200 kJ
4. Q = −50 kJ व W = −200 kJ
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उत्तर: D — Q = −50 kJ व W = −200 kJ
ऊष्मा गैस से बाहर जाती है, अतः Q = −50 kJ। कार्य गैस पर किया जाता है, अतः कथित परिपाटी से W = −200 kJ। तब आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन Q − W = −50 − (−200) = +150 kJ है, इसीलिए संपीडित गैस ऊष्मा खोते हुए भी गरम होती है। ऋणात्मक Q को धनात्मक W के साथ, या उलटा, जोड़ना परिपाटी को ग़लत राशि पर लागू करना है।
एक साबुन की झिल्ली के दो मुक्त पृष्ठ हैं, प्रत्येक का पृष्ठ-तनाव σ = 0.03 N/m है। झिल्ली को धीरे-धीरे इस प्रकार खींचा जाता है कि उसका क्षेत्रफल (एक फलक का) 40 cm² बढ़ जाता है। झिल्ली को दिया जाने वाला न्यूनतम कार्य है
1. 0.12 mJ
2. 0.24 mJ
3. 2.4 mJ
4. 1.2 mJ
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उत्तर: B — 0.24 mJ
कार्य-निवेश σ ΔA_कुल है जिसमें दोनों पृष्ठ गिने जाते हैं: 2 × 0.03 N/m × 40 × 10⁻⁴ m² = 2.4 × 10⁻⁴ J = 0.24 mJ। केवल एक पृष्ठ लेने पर 0.12 mJ मिलता है, जो प्रचलित भूल है। 2.4 mJ मान इकाई-परिवर्तन में 10 के गुणक की भूल से आता है (cm² से m² का गुणक 10⁻⁴ है), और 1.2 mJ वही भूल केवल एक पृष्ठ पर लगाने से आता है।
एक गैस p₁ = 800 kPa व V₁ = 0.05 m³ से V₂ = 0.20 m³ तक पॉलीट्रॉपिक पथ pV^1.25 = स्थिरांक पर अर्ध-स्थैतिक रूप से फैलती है। गैस द्वारा किया परिसीमा कार्य kJ में, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 46.9
p₂ = p₁ (V₁/V₂)^1.25 = 800 × (0.25)^1.25 = 800 × 0.17678 = 141.42 kPa। W = (p₁V₁ − p₂V₂)/(n − 1) = (800 × 0.05 − 141.42 × 0.20)/0.25 = (40 − 28.28)/0.25 = 46.86 kJ ≈ 46.9 kJ। n = 1 (समतापी) लेने पर 55.5 kJ मिलता और केवल अंतिम दाब लेना ग़लत होता।
सिलिंडर की गैस, प्रारंभ में 100 kPa व 0.02 m³ पर, 0.1 m² क्षेत्रफल के घर्षणहीन, द्रव्यमानहीन पिस्टन को धकेलती है। पिस्टन की बाहरी सतह पर 100 kPa का वायुमंडल कार्य करता है और पिस्टन 40 kN/m कठोरता की एक रैखिक स्प्रिंग से भी जुड़ा है, जो प्रारंभिक अवस्था में अतानित है। गैस को तब तक गरम किया जाता है जब तक उसका आयतन दुगुना न हो जाए। गैस द्वारा किया कार्य kJ में, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 2.8
पिस्टन का विस्थापन x = ΔV/A = 0.02/0.1 = 0.2 m। अंतिम गैस-दाब p₂ = p_atm + kx/A = 100 + 40 × 0.2/0.1 = 180 kPa। दाब आयतन के साथ रैखिक बदलता है, अतः W = ½(100 + 180) × 0.02 = 2.8 kJ। जाँच: वायुमंडल के विरुद्ध 100 × 0.02 = 2.0 kJ और स्प्रिंग में संचित ½kx² = ½ × 40 × 0.2² = 0.8 kJ। केवल वायुमंडलीय भाग (2.0 kJ) गिनना स्प्रिंग को भूल जाना है।
एक दृढ़, भली-भाँति रोधित टैंक में गैस भरी है। मोटर से चलने वाला पैडल-चक्र 10 मिनट तक 300 rpm पर 20 N·m बल-आघूर्ण देता है, और टैंक के भीतर का विद्युत प्रतिरोधक-ऊष्मक उसी 10 मिनट तक 12 V पर 5 A खींचता है। गैस को कुल कार्य-निवेश kJ में, निकटतम पूर्ण संख्या तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 413
शाफ़्ट शक्ति = 2πNT/60 = 2π × 300 × 20/60 = 628.3 W। 600 s में: 628.3 × 600 = 376.99 kJ। विद्युत शक्ति = VI = 12 × 5 = 60 W, 600 s में = 36 kJ। कुल = 376.99 + 36 = 413.0 kJ। दोनों गैस पर किया कार्य हैं (तंत्र द्वारा कार्य के रूप में W ऋणात्मक), और दृढ़ टैंक में ∫p dV = 0, अतः इसमें से कुछ भी परिसीमा कार्य नहीं है।
चिह्न-परिपाटी लें कि तंत्र द्वारा किए कार्य के लिए W धनात्मक है। निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. दो दी गई अंत्य अवस्थाओं के बीच अर्ध-स्थैतिक प्रक्रम का परिसीमा कार्य अपनाए गए पथ पर निर्भर करता है।
2. पूर्णतः रोधित सिलिंडर में तीव्र संपीडन पर गरम होने वाली गैस ने ऊष्मा प्राप्त की है।
3. p–V आरेख पर दक्षिणावर्त चलाए गए चक्र का शुद्ध कार्य घिरे क्षेत्रफल के बराबर और धनात्मक है।
4. दृढ़ रोधित टैंक में तरल को मथना तरल पर किया गया कार्य है, यद्यपि ∫p dV = 0 है।
उत्तर देखें
उत्तर: A — दो दी गई अंत्य अवस्थाओं के बीच अर्ध-स्थैतिक प्रक्रम का परिसीमा कार्य अपनाए गए पथ पर निर्भर करता है।; C — p–V आरेख पर दक्षिणावर्त चलाए गए चक्र का शुद्ध कार्य घिरे क्षेत्रफल के बराबर और धनात्मक है।; D — दृढ़ रोधित टैंक में तरल को मथना तरल पर किया गया कार्य है, यद्यपि ∫p dV = 0 है।
कार्य पथ फलन है, अतः परिसीमा कार्य पथ पर निर्भर है; चक्रीय क्षेत्रफल-नियम दक्षिणावर्त चक्र हेतु धनात्मक शुद्ध कार्य देता है; और मथना परिसीमा-भिन्न कार्य-प्रकार है जो आयतन-परिवर्तन के बिना भी तंत्र में प्रवेश करता है। संपीडित गैस इसलिए गरम होती है कि कार्य दिया गया है, ऊष्मा नहीं: रोधन का अर्थ Q = 0 है, और ऊष्मा हेतु परिसीमा पर तापांतर चाहिए।
ऊष्मागतिकी का शून्यवाँ नियम कौन-सा कथन है, और वह किसे उचित ठहराता है?
1. ऊर्जा न उत्पन्न की जा सकती है न नष्ट, जो संवृत तंत्र के ऊर्जा संतुलन को उचित ठहराता है
2. ऊष्मा स्वतः केवल गरम से ठंडे पिंड की ओर बहती है, जो उत्क्रमणीय इंजनों के विश्लेषण को उचित ठहराता है
3. जो पिंड प्रत्येक किसी तीसरे के साथ ऊष्मीय साम्य में हैं वे परस्पर साम्य में हैं, जो तापमापी को उचित ठहराता है
4. पूर्ण क्रिस्टल की एन्ट्रॉपी परम शून्य पर शून्य की ओर जाती है, जो निरपेक्ष तापमान पैमाना परिभाषित करने को उचित ठहराती है
उत्तर देखें
उत्तर: C — जो पिंड प्रत्येक किसी तीसरे के साथ ऊष्मीय साम्य में हैं वे परस्पर साम्य में हैं, जो तापमापी को उचित ठहराता है
शून्यवाँ नियम ऊष्मीय साम्य की संक्रामकता है: तापमापी तीसरा पिंड है, और समान पाठ्यांक का अर्थ दोनों पिंडों को पास लाए बिना ऊष्मीय साम्य है। ऊर्जा-संरक्षण वाला कथन प्रथम नियम है, ऊष्मा-प्रवाह की दिशा वाला कथन द्वितीय नियम का है, और शून्य-एन्ट्रॉपी वाला कथन तृतीय नियम है।
तापमान के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. 40 °C की तापमान-वृद्धि 72 °F की वृद्धि है।
2. 27 °C की गैस का निरपेक्ष तापमान 300.15 K है।
3. pV = mRT में तापमान °C में रखा जा सकता है, बशर्ते दाब निरपेक्ष हो।
4. स्थिर-आयतन तापमापी में भिन्न गैसें किसी भी सीमित गैस-घनत्व पर ठीक समान तापमान पढ़ती हैं।
उत्तर देखें
उत्तर: A — 40 °C की तापमान-वृद्धि 72 °F की वृद्धि है।; B — 27 °C की गैस का निरपेक्ष तापमान 300.15 K है।
तापमान-अंतर केवल गुणक से बदलता है: 40 × 1.8 = 72 °F। पाठ्यांक ऑफ़सेट से बदलता है: 27 + 273.15 = 300.15 K। गैस-नियम हेतु निरपेक्ष तापमान चाहिए, अतः °C से उत्तर ग़लत आता है। भिन्न गैसें केवल शून्य घनत्व की सीमा में सहमत होती हैं, इसीलिए पाठ्यांक को शून्य गैस-दाब तक बहिर्वेशित किया जाता है।
स्थिर-आयतन गैस तापमापी निम्न-घनत्व की सीमा में प्रयुक्त है, जहाँ आदर्श-गैस संबंध लागू होता है। बल्ब जब जल के त्रिक बिंदु (273.16 K) पर होता है तब गैस का दाब 50.0 kPa है, और जब बल्ब किसी गरम पिंड के संपर्क में होता है तब 68.2 kPa। गरम पिंड का तापमान K में, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 372.6
स्थिर आयतन पर T ∝ p, अतः T = 273.16 × (p/p_tp) = 273.16 × 68.2/50.0 = 273.16 × 1.364 = 372.59 K ≈ 372.6 K। परिणाम पहले से निरपेक्ष तापमान है; कोई और 273.15 नहीं जोड़ा जाता।
फ़ारेनहाइट व सेल्सियस पाठ्यांक t_F = 1.8 t_C + 32 से संबद्ध हैं। किस तापमान (°C में) पर फ़ारेनहाइट पाठ्यांक संख्यात्मक रूप से सेल्सियस पाठ्यांक का ठीक दुगुना होता है? °C में उत्तर ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 160
t_F = 2 t_C रखें: 2 t_C = 1.8 t_C + 32, अतः 0.2 t_C = 32 और t_C = 160 °C। जाँच: 1.8 × 160 + 32 = 320 °F, जो 160 का दुगुना है।