कंपन: एकल-स्वातंत्र्य-कोटि निकायों की मुक्त, अवमंदित व प्रणोदित अनुक्रिया

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के XE3 ठोस यांत्रिकी, जो नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है और जिनमें से किन्हीं दो को परीक्षार्थी परीक्षा में चुनता है, के खंड XE3.3 कंपन का उत्तर देता है। पाठ्यक्रम का वाक्य है: “एकल-स्वातंत्र्य-कोटि निकायों का मुक्त व प्रणोदित कंपन; अवमंदन का प्रभाव; आधार-उत्तेजन।” यह गति-समीकरण व प्राकृतिक आवृत्ति, तुल्य कठोरता व द्रव्यमान तथा ऊर्जा विधि, अवमंदन अनुपात व लघुगणकीय ह्रास के साथ श्यान अवमंदन, अनुनाद व घूर्णी असंतुलन के साथ प्रणोदित आवर्ती अनुक्रिया, और संप्रेषणता व पृथक्करण के साथ आधार-उत्तेजन पढ़ाता है। संख्यात्मक प्रश्न टिप-द्रव्यमान वाला कैंटिलीवर, क्षीण होते शिखरों से अवमंदन अनुपात, प्रणोदित व असंतुलित मशीन के आयाम, और कंपन-पृथक्कारक की कठोरता हैं। जब तक प्रश्न न कहे, g = 9.81 m/s², रैखिक स्प्रिंग, श्यान (वेग के समानुपाती बल वाला) अवमंदन, तथा दृढ़ व संकेंद्रित द्रव्यमान मानें।

1. एकल-स्वातंत्र्य-कोटि निकाय का मुक्त अनवमंदित कंपन

एक स्वातंत्र्य-कोटि वाले निकाय की विन्यास-स्थिति एकल निर्देशांक x से तय होती है। k कठोरता की स्प्रिंग पर m द्रव्यमान के लिए, स्थैतिक साम्य-स्थिति के सापेक्ष (जहाँ स्प्रिंग-बल पहले ही भार को संतुलित कर चुका है, अतः गुरुत्व बाहर हो जाता है) न्यूटन का द्वितीय नियम m ẍ + k x = 0 देता है। इसका हल x = A cos ω_n t + B sin ω_n t = X cos(ω_n t − φ) है, जहाँ प्राकृतिक आवृत्ति ω_n = √(k/m) rad/s, f_n = ω_n/2π Hz और आवर्त-काल T = 2π/ω_n है। प्रारंभिक प्रतिबंध x₀, v₀ आयाम X = √(x₀² + (v₀/ω_n)²) तय करते हैं। आवृत्ति केवल k व m पर निर्भर है, आयाम पर नहीं। द्रव्यमान दुगुना करने से ω_n √2 गुना घटती है; स्प्रिंग चार गुना कठोर करने से दुगुनी हो जाती है।

यदि भार के अधीन स्प्रिंग स्थैतिक रूप से δ_st झुके तो k = mg/δ_st और अतः ω_n = √(g/δ_st); मापा गया स्थैतिक झोल तुरंत आवृत्ति दे देता है। घूर्णन के लिए J θ̈ + k_t θ = 0 से ω_n = √(k_t/J) मिलता है, जहाँ एकसमान वृत्ताकार शाफ़्ट के लिए मरोड़ी कठोरता k_t = GJ_p/L है (J_p ध्रुवीय द्वितीय क्षेत्र-आघूर्ण है, चकती का जड़त्व J नहीं)। हल किया उदाहरण। 800 N/m की स्प्रिंग पर 2 kg: ω_n = √(800/2) = 20 rad/s, f_n = 3.18 Hz, T = 0.314 s। x₀ = 10 mm और v₀ = 0.3 m/s से छोड़ने पर X = √(0.01² + (0.3/20)²) = √(1.0 × 10⁻⁴ + 2.25 × 10⁻⁴) = 18.0 mm।

⚠️ गुरुत्व व इकाइयाँ
x को स्थैतिक साम्य-स्थिति से मापें, अन्यथा नियत mg आकर भ्रम पैदा करता है। परिणाम ω_n rad/s में है; f = ω/2π Hz में है, और rpm में दी गई चाल को ω = 2πN/60 से बदलना होता है। इन्हें मिलाने से उत्तर 2π या 60 के गुणक से गलत हो जाते हैं।

2. तुल्य कठोरता व द्रव्यमान, तथा ऊर्जा विधि

समांतर स्प्रिंगों का विक्षेप समान होता है और कठोरताएँ जुड़ती हैं: k_eq = k₁ + k₂। श्रेणी में स्प्रिंगें समान बल वहन करती हैं और उनकी नम्यताएँ जुड़ती हैं: 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂। प्रत्यास्थ अवयव स्प्रिंग की तरह काम करते हैं, जहाँ k = द्रव्यमान-बिंदु पर प्रति इकाई विक्षेप बल: टिप-भार वाले कैंटिलीवर में k = 3EI/L³, मध्य-स्पैन पर भारित सरल आलंबित धरन में k = 48EI/L³, दोनों सिरों पर जकड़ी व मध्य-स्पैन पर भारित धरन में k = 192EI/L³, और अक्षीय छड़ में k = AE/L। स्प्रिंग पर लचीली धरन द्वारा वहन किया गया द्रव्यमान श्रेणी-व्यवस्था है, अतः वह दोनों में से किसी से भी नरम होता है।

ऊर्जा विधि मुक्त-पिंड आरेख से बचाती है। एक निर्देशांक q वाले संरक्षी निकाय में गतिज ऊर्जा T = ½ m_eq q̇² और स्थितिज ऊर्जा V = ½ k_eq q² है। T + V का संरक्षण m_eq q̈ + k_eq q = 0 देता है, अतः ω_n = √(k_eq/m_eq); समतुल्य रूप में, रैले की विधि अधिकतम गतिज ऊर्जा (साम्य-स्थिति पर) को अधिकतम स्थितिज ऊर्जा (चरम स्थिति पर) के बराबर रखती है: T_max = V_max, जहाँ q = Q cos ω_n t। हर वेग को शुद्धगतिक प्रतिबंध से q̇ के पदों में लिखें; इसी से लुढ़कते व चरखी के द्रव्यमान शामिल होते हैं।

हल किया उदाहरण (लुढ़कता बेलन)। m द्रव्यमान व R त्रिज्या का एकसमान ठोस बेलन बिना फिसले लुढ़कता है, उसका धुरा स्प्रिंग k से दीवार से जुड़ा है। केंद्र के x और ω = ẋ/R से: T = ½mẋ² + ½(½mR²)(ẋ/R)² = ¾mẋ², अतः m_eq = 3m/2 और V = ½kx², जिससे ω_n = √(2k/3m), जो घूर्णी जड़त्व के कारण √(k/m) से कम है। हल किया उदाहरण (कैंटिलीवर)। L = 0.5 m, E = 200 GPa, I = 1.0 × 10⁻⁸ m⁴ वाले इस्पाती कैंटिलीवर पर 12 kg का टिप-द्रव्यमान (धरन का द्रव्यमान नगण्य): k = 3EI/L³ = 3(200 × 10⁹)(10⁻⁸)/0.125 = 48 000 N/m, और ω_n = √(48 000/12) = 63.2 rad/s। लोलक। सरल लोलक में ω_n = √(g/L); सिरे पर कीलकित L लंबाई की एकसमान छड़ में, (mgL/2)/(mL²/3) से, छोटे कोणों के लिए ω_n = √(3g/2L)।

3. अवमंदित मुक्त कंपन: अवमंदन अनुपात, लघुगणकीय ह्रास

c गुणांक के श्यान अवमंदक (वेग का विरोध करता बल c ẋ) के साथ m ẍ + c ẋ + k x = 0। क्रांतिक अवमंदन गुणांक c_c = 2√(km) = 2mω_n है और अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c है, जिससे ẍ + 2ζω_n ẋ + ω_n² x = 0 मिलता है। मूल s = ω_n(−ζ ± √(ζ² − 1)) हैं। तीन स्थितियाँ बनती हैं।

अवमंदित निकाय की मुक्त अनुक्रिया
स्थितिप्रतिबंधगति
अल्प-अवमंदितζ < 1क्षीण होता दोलन x = X e^(−ζω_n t) cos(ω_d t − φ), ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
क्रांतिक अवमंदितζ = 1दोलन नहीं; बिना अतिक्रमण के विराम में सबसे तेज़ वापसी
अति-अवमंदितζ > 1दोलन नहीं; क्रांतिक अवमंदन से धीमी रेंगती वापसी

क्रमागत दो शिखरों के लिए, जो एक आवर्त-काल T_d = 2π/ω_d दूर हैं, लघुगणकीय ह्रास δ = ln(x_n/xn+1) = 2πζ/√(1 − ζ²) है, और N चक्रों में δ = (1/N) ln(x₀/x_N)। छोटे ζ के लिए δ ≈ 2πζ। उलटने पर ζ = δ/√(4π² + δ²)। हर चक्र आयाम को e^(−δ) से गुणा करता है। हल किया उदाहरण। m = 10 kg, k = 4000 N/m, c = 80 N·s/m: ω_n = 20 rad/s, c_c = 2(10)(20) = 400 N·s/m, ζ = 0.2, ω_d = 20√0.96 = 19.6 rad/s, δ = 2π(0.2)/√0.96 = 1.283, अतः हर शिखर पिछले का e^(−1.283) = 0.277 गुना है।

⚠️ अवमंदित आवृत्ति व क्रांतिक अवमंदन
ω_d सदा ω_n से कम होती है, पर ζ = 0.1 के लिए अंतर केवल 0.5% है, अतः हल्के अवमंदन में ω_d ≈ ω_n। क्रमागत शिखरों का अनुपात केवल ζ पर निर्भर है, आयाम पर नहीं (क्षय गुणोत्तर है), और प्रारंभिक आयाम कुछ भी हो शिखर उसी अनुपात में घटते हैं। क्रांतिक अवमंदन विभाजक रेखा है, गति रोकने वाली राशि नहीं: अति-अवमंदित निकाय धीमे लौटता है।

4. प्रणोदित आवर्ती कंपन, अनुनाद व घूर्णी असंतुलन

बल F₀ sin ωt के अधीन m ẍ + c ẋ + k x = F₀ sin ωt। संक्षणिक अंश समाप्त होने पर स्थायी-अवस्था अनुक्रिया प्रणोदक आवृत्ति पर x = X sin(ωt − φ) होती है। आवृत्ति अनुपात r = ω/ω_n के साथ: X = (F₀/k)/√((1 − r²)² + (2ζr)²) और tan φ = 2ζr/(1 − r²)। विवर्धन गुणांक M = X/(F₀/k) = 1/√((1 − r²)² + (2ζr)²) है। r ≪ 1 के लिए M ≈ 1 (निकाय बल का स्थैतिक भार की तरह अनुसरण करता है) और φ ≈ 0। अनुनाद r = 1 पर X = F₀/(2ζk), M = 1/(2ζ) और φ = 90° (विस्थापन बल से पीछे)। r ≫ 1 के लिए M ≈ 1/r² (द्रव्यमान अनुसरण नहीं कर पाता; X ≈ F₀/mω²) और φ → 180°।

M का शिखर r = √(1 − 2ζ²) पर होता है, जो 1 से थोड़ा कम है, और M_max = 1/(2ζ√(1 − ζ²)); शिखर केवल ζ < 1/√2 के लिए मौजूद है। छोटे ζ के लिए शिखर r ≈ 1 पर है और M_max ≈ 1/(2ζ)। हल किया उदाहरण। F₀ = 50 N, k = 5000 N/m (अतः F₀/k = 10 mm), ζ = 0.1, r = 2: M = 1/√((1 − 4)² + (0.4)²) = 1/√9.16 = 0.330, अतः X = 3.30 mm। r = 1 पर यही निकाय X = 10/(0.2) = 50 mm देता।

घूर्णी असंतुलन। कुल द्रव्यमान M की मशीन में ω पर घूमता असंतुलित रोटर-द्रव्यमान m₀ उत्केंद्रता e पर है। ऊर्ध्वाधर उत्तेजक बल m₀eω² sin ωt है, जो चाल के साथ बढ़ता है, अतः M ẍ + c ẋ + k x = m₀eω² sin ωt। तब MX/(m₀e) = r²/√((1 − r²)² + (2ζr)²)। यह r = 0 पर शून्य, r = 1 पर 1/(2ζ) और r ≫ 1 के लिए 1 की ओर जाता है, अतः X → m₀e/M: मशीन अपने द्रव्यमान-केंद्र के गिर्द कंपन करने लगती है, और आयाम केवल असंतुलन से तय होता है। हल किया उदाहरण। M = 100 kg, m₀e = 0.05 kg·m, r = 2, ζ = 0.1: MX/(m₀e) = 4/√9.16 = 1.32, अतः X = 1.32 × 0.05/100 = 0.66 mm।

⚠️ शिखर कहाँ है, और कौन-सा बल
सटीक शिखर r = 1 पर तब तक नहीं है जब तक अवमंदन नगण्य न हो, पर अनुनाद पर कला ζ जो भी हो ठीक 90° होती है। नियत-आयाम बल के लिए उच्च चाल पर आयाम 1/r² से घटता है; घूर्णी असंतुलन में बल r² से बढ़ता है, अतः आयाम शून्य तक गिरने की बजाय m₀e/M पर स्थिर हो जाता है।

5. आधार-उत्तेजन, संप्रेषणता व कंपन-पृथक्करण

जब आधार y = Y sin ωt से चलता है और द्रव्यमान उससे स्प्रिंग k व अवमंदक c द्वारा जुड़ा है, तो द्रव्यमान का निरपेक्ष विस्थापन x समीकरण m ẍ + c(ẋ − ẏ) + k(x − y) = 0 को संतुष्ट करता है। स्थायी आयाम-अनुपात, विस्थापन संप्रेषणता, TR = X/Y = √(1 + (2ζr)²)/√((1 − r²)² + (2ζr)²) है। स्प्रिंग व अवमंदक पर लगी, उत्तेजक बल F₀ वाली मशीन के लिए बल संप्रेषणता F_T/F₀ का व्यंजक वही है: फ़र्श को दिया बल X√(k² + c²ω²) है। आधार के सापेक्ष द्रव्यमान की गति z = x − y के लिए Z/Y = r²/√((1 − r²)² + (2ζr)²) है।

संप्रेषणता के क्षेत्र
आवृत्ति अनुपातसंप्रेषणताअधिक अवमंदन का प्रभाव
r < √2TR > 1, शिखर r = 1 के पासTR घटाता है, विशेषतः अनुनाद के पास
r = √2प्रत्येक ζ के लिए TR = 1कोई प्रभाव नहीं
r > √2TR < 1: पृथक्करणTR बढ़ाता है, जिससे पृथक्करण बिगड़ता है

अतः पृथक्करण के लिए ω > √2 ω_n चाहिए, इसलिए पृथक्कारक नरम होना चाहिए: ω_n विक्षोभक आवृत्ति से काफ़ी नीचे। अनवमंदित पृथक्कारक के लिए TR = 1/(r² − 1) (परिमाण लेते हुए, r > √2)। चूँकि ω_n = √(g/δ_st), बड़ा स्थैतिक विक्षेप निम्न प्राकृतिक आवृत्ति का द्योतक है। हल किया उदाहरण। 200 kg की मशीन 1500 rpm पर चलती है, अतः ω = 2π(1500)/60 = 157.1 rad/s। अनवमंदित आधारों पर TR = 0.2 के लिए r² − 1 = 5, r² = 6, ω_n² = ω²/6 = 4112 rad²/s², अतः k = mω_n² = 200 × 4112 = 822 kN/m और δ_st = g/ω_n² = 2.39 mm। भारी अवमंदन इस चाल पर TR को 0.2 से ऊपर ले जाता। हल्के अवमंदित पृथक्कारक को भी प्रारंभ करते समय अनुनाद से गुज़रना पड़ता है, इसीलिए थोड़ा अवमंदन रखा जाता है।

⚠️ नरम अच्छा है, और अवमंदन एक समझौता है
अधिक कठोर पृथक्कारक ω_n बढ़ाता है और r घटता है, जो निकाय को अनुनाद की ओर ले जाता है। r = √2 से ऊपर अवमंदन जोड़ने से TR बिगड़ता है (r = 3, ζ = 0 पर 0.125; ζ = 0.2 पर 0.193), जबकि √2 से नीचे वह सहायक है। दोनों अनुपातों को न मिलाएँ: TR निर्गत की तुलना आधार-गति से करता है, जबकि Z/Y सापेक्ष गति की तुलना।

मुख्य बिंदु

  • एकल-स्वातंत्र्य-कोटि स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय में ω_n = √(k/m) = √(g/δ_st), f = ω_n/2π, T = 2π/ω_n, जो आयाम से स्वतंत्र हैं। x स्थैतिक साम्य से मापें ताकि गुरुत्व बाहर हो जाए, और rpm को ω = 2πN/60 से बदलें।
  • समांतर स्प्रिंगें जुड़ती हैं, श्रेणी में नम्यताएँ जुड़ती हैं; कैंटिलीवर में 3EI/L³। ऊर्जा विधि से ω_n = √(k_eq/m_eq), हर वेग को निर्देशांक में लिखकर; स्प्रिंग पर लुढ़कते बेलन में m_eq = 3m/2।
  • ζ = c/(2√(km)) के साथ: ζ < 1 पर अल्प-अवमंदित, ω_d = ω_n√(1 − ζ²); ζ = 1 पर क्रांतिक; उससे ऊपर अति-अवमंदित। लघुगणकीय ह्रास δ = 2πζ/√(1 − ζ²), और ζ = δ/√(4π² + δ²)।
  • प्रणोदित कंपन में X = (F₀/k)M, जहाँ M = 1/√((1 − r²)² + (2ζr)²); r = 1 पर M = 1/(2ζ) और कला 90°। r ≫ 1 के लिए M, 1/r² से घटता है। घूर्णी असंतुलन में MX/(m₀e) = r²M है, जो उच्च चाल पर 1 की ओर जाता है।
  • संप्रेषणता TR = √(1 + (2ζr)²)/√((1 − r²)² + (2ζr)²) प्रत्येक ζ के लिए r = √2 पर 1 होती है। पृथक्करण के लिए r > √2 चाहिए, जहाँ अधिक अवमंदन उसे बिगाड़ता है; अनवमंदित आधारों के लिए TR = 1/(r² − 1)।
  • परीक्षा के जाल: c के स्थान पर अवमंदन अनुपात लेना, ω_n के स्थान पर ω_d, rad/s के स्थान पर rpm, शिखर को ठीक r = 1 पर रखना, स्थैतिक-विक्षेप रूप भूल जाना, और √2 से ऊपर पृथक्करण सुधारने के लिए अधिक अवमंदन लगाना।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक रैखिक स्प्रिंग पर द्रव्यमान बिना अवमंदन के मुक्त कंपन करता है। यदि द्रव्यमान चार गुना कर दिया जाए और स्प्रिंग वही रहे, तो प्राकृतिक आवृत्ति हो जाती है:

    1. चार गुना कम, क्योंकि आवृत्ति द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती है
    2. मूल मान की आधी, क्योंकि आवृत्ति 1/√m के अनुसार बदलती है
    3. अपरिवर्तित, क्योंकि प्राकृतिक आवृत्ति द्रव्यमान पर नहीं केवल आयाम पर निर्भर है
    4. दुगुनी, क्योंकि भारी द्रव्यमान अधिक ऊर्जा संचित करता है और तेज़ कंपन करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — मूल मान की आधी, क्योंकि आवृत्ति 1/√m के अनुसार बदलती है

    ω_n = √(k/m), अतः m → 4m से ω_n → ω_n/2। व्युत्क्रमानुपात वाला उत्तर वर्गमूल भूल जाता है। रैखिक निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति आयाम से स्वतंत्र होती है, और बड़ा द्रव्यमान आवृत्ति घटाता है, बढ़ाता नहीं, क्योंकि अधिक जड़त्व अनुक्रिया धीमी करता है।

  2. एक द्रव्यमान श्रेणी में जुड़ी k व 2k कठोरता की दो स्प्रिंगों पर टिका है। द्रव्यमान को दिखने वाली तुल्य कठोरता है:

    1. 3k, क्योंकि जब स्प्रिंगें समान बल वहन करती हैं तब कठोरताएँ जुड़ती हैं
    2. 2k, क्योंकि अधिक कठोर स्प्रिंग विक्षेप को नियंत्रित करती है
    3. 2k/3, क्योंकि नम्यताएँ 1/k व 1/(2k) जुड़ती हैं
    4. 3k/2, दोनों कठोरताओं का समांतर माध्य
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 2k/3, क्योंकि नम्यताएँ 1/k व 1/(2k) जुड़ती हैं

    श्रेणी की स्प्रिंगें समान बल वहन करती हैं, अतः विक्षेप और इसलिए नम्यताएँ जुड़ती हैं: 1/k_eq = 1/k + 1/(2k) = 3/(2k), जिससे k_eq = 2k/3 है, जो किसी भी स्प्रिंग से नरम है। कठोरताएँ जोड़कर 3k लेना समांतर का परिणाम है। तुल्य मान नरम स्प्रिंग से अधिक नहीं हो सकता, इसलिए 2k और 3k/2 गलत हैं।

  3. m द्रव्यमान का एकसमान ठोस बेलन क्षैतिज सतह पर बिना फिसले लुढ़कता है और उसका धुरा क्षैतिज स्प्रिंग (कठोरता k) से स्थिर दीवार से जुड़ा है। छोटे दोलनों के लिए प्राकृतिक आवृत्ति है:

    1. √(k/m), क्योंकि केवल बेलन का द्रव्यमान मायने रखता है
    2. √(k/2m), क्योंकि लुढ़कना प्रभावी कठोरता को आधा कर देता है
    3. √(3k/2m), क्योंकि घूर्णन प्रभावी द्रव्यमान को m से कम कर देता है
    4. √(2k/3m), क्योंकि गतिज ऊर्जा (3/4)m ẋ² है, अतः प्रभावी द्रव्यमान 3m/2 है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — √(2k/3m), क्योंकि गतिज ऊर्जा (3/4)m ẋ² है, अतः प्रभावी द्रव्यमान 3m/2 है

    स्थानांतरण ½mẋ² और घूर्णन ½(½mR²)(ẋ/R)² = ¼mẋ² देता है, अतः T = ¾mẋ² = ½(3m/2)ẋ² और m_eq = 3m/2। V = ½kx² के साथ ω_n = √(k/m_eq) = √(2k/3m)। √(k/m) लेना घूर्णी ऊर्जा को अनदेखा करता है, और घूर्णन जड़त्व जोड़ता है, अतः प्रभावी द्रव्यमान m से अधिक होता है, कम नहीं।

  4. 1.5 m लंबी एकसमान छड़ एक सिरे पर घर्षणरहित पिन पर कीलकित है और ऊर्ध्वाधर तल में छोटे कोणों से झूलती है। g = 9.81 m/s² लें। उसकी प्राकृतिक आवृत्ति है:

    1. 2.56 rad/s, √(g/L), समान लंबाई के सरल लोलक की तरह
    2. 4.43 rad/s, √(3g/L), आघूर्ण-भुजा L और जड़त्व mL²/3 से
    3. 3.13 rad/s, √(3g/2L), भार-आघूर्ण mgL/2 और जड़त्व mL²/3 से
    4. 2.09 rad/s, √(2g/3L), जड़त्व 3mL²/2 और आघूर्ण-भुजा L/2 से
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 3.13 rad/s, √(3g/2L), भार-आघूर्ण mgL/2 और जड़त्व mL²/3 से

    छोटे θ के लिए प्रत्यानयन आघूर्ण (mgL/2)θ है और कीलक के सापेक्ष जड़त्व mL²/3, अतः ω_n² = (mgL/2)/(mL²/3) = 3g/(2L) = 3(9.81)/3 = 9.81 और ω_n = 3.13 rad/s। सरल लोलक वाला मान द्रव्यमान को सिरे पर संकेंद्रित मानता है, और अन्य में आघूर्ण-भुजा या जड़त्व गलत है; छड़ का द्रव्यमान-केंद्र L/2 पर है, L पर नहीं।

  5. एक 12 kg का द्रव्यमान 0.5 m लंबे इस्पाती कैंटिलीवर के मुक्त सिरे से जुड़ा है, जिसका E = 200 GPa और क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण I = 1.0 × 10⁻⁸ m⁴ है। कैंटिलीवर का द्रव्यमान नगण्य है और टिप-कठोरता 3EI/L³ है। निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति ____ rad/s है, दो दशमलव स्थानों तक।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 63.25

    k = 3EI/L³ = 3(200 × 10⁹)(1.0 × 10⁻⁸)/0.5³ = 6000/0.125 = 48 000 N/m। तब ω_n = √(k/m) = √(48 000/12) = √4000 = 63.25 rad/s।

  6. एक एकल-स्वातंत्र्य-कोटि निकाय का अवमंदन अनुपात ζ = 1.5 है। विरामावस्था से विस्थापित करने के बाद वह:

    1. बिना दोलन के साम्य में लौटता है, क्रांतिक अवमंदन से अधिक धीमे
    2. ऐसे आयाम से दोलन करता है जो ζ = 1.5 से तय दर पर घटता है और फिर रुक जाता है
    3. अवमंदित आवृत्ति पर अनंत काल तक दोलन करता है, क्योंकि ζ > 1 ऊर्जा जोड़ता है
    4. क्रांतिक अवमंदन से अधिक तेज़ साम्य में लौटता है, क्योंकि अधिक अवमंदन सदा तेज़ वापसी का अर्थ है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — बिना दोलन के साम्य में लौटता है, क्रांतिक अवमंदन से अधिक धीमे

    ζ > 1 के लिए दोनों मूल वास्तविक व ऋणात्मक हैं, अतः गति अदोलनी है और धीमा मूल वापसी नियंत्रित करता है, जो ζ = 1 से धीमी है। दोलन के लिए ζ < 1 चाहिए। अवमंदन ऊर्जा कभी नहीं जोड़ता, और सबसे तेज़ अदोलनी वापसी क्रांतिक अवमंदन पर होती है, उससे ऊपर नहीं।

  7. एक अल्प-अवमंदित एकल-स्वातंत्र्य-कोटि निकाय के मुक्त-क्षय परीक्षण में दो क्रमागत शिखरों के आयामों का अनुपात 1.8 है। निकाय का अवमंदन अनुपात ζ ____ है, तीन दशमलव स्थानों तक।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.093

    δ = ln 1.8 = 0.5878। δ = 2πζ/√(1 − ζ²) से ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5878/√(39.478 + 0.3455) = 0.5878/6.311 = 0.0931, अर्थात् 0.093। छोटे अवमंदन का सन्निकट मान δ/2π = 0.0935 निकट है पर यथार्थ मान नहीं।

  8. अवमंदन अनुपात ζ (0 < ζ < 1) वाले अल्प-अवमंदित एकल-स्वातंत्र्य-कोटि निकाय के लिए निम्नलिखित में से कौन-से सही हैं?

    1. अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति ω_d = ω_n√(1 − ζ²) है, जो ω_n से कम है
    2. लघुगणकीय ह्रास δ = 2πζ/√(1 − ζ²) है, और क्रमागत शिखरों का अनुपात हर चक्र पर e^δ है
    3. क्रांतिक अवमंदन गुणांक c_c = 2√(km) है, और ζ = c/c_c
    4. अवमंदित आवृत्ति ω_d, ω_n से अधिक है, क्योंकि अवमंदन द्रव्यमान को तेज़ी से वापस धकेलता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति ω_d = ω_n√(1 − ζ²) है, जो ω_n से कम है; B — लघुगणकीय ह्रास δ = 2πζ/√(1 − ζ²) है, और क्रमागत शिखरों का अनुपात हर चक्र पर e^δ है; C — क्रांतिक अवमंदन गुणांक c_c = 2√(km) है, और ζ = c/c_c

    पहले तीन मानक परिणाम हैं: अल्प-अवमंदित निकाय का दोलन अनवमंदित से धीमा होता है, क्रमागत शिखर स्थिर गुणक e^(−δ) से घटते हैं, और c_c = 2√(km)। अवमंदित आवृत्ति सदा ω_n से कम होती है, क्योंकि अवमंदक मंदक बल जोड़ता है और आवर्त-काल बढ़ाता है।

  9. एक हल्के अवमंदित एकल-स्वातंत्र्य-कोटि निकाय को ठीक उसकी अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति (r = 1) पर ज्यावक्रीय बल से चलाया जाता है। स्थायी अवस्था में विस्थापन:

    1. बल के साथ समान कला में है, क्योंकि अनुनाद का अर्थ है कि बल व गति साथ-साथ शिखर पर पहुँचें
    2. बल से 45° पीछे है, जो समान कला व विपरीत कला सीमाओं का औसत है
    3. बल से 180° पीछे है, क्योंकि द्रव्यमान स्प्रिंग-बल के विरुद्ध चल रहा है
    4. बल से 90° पीछे है, और उसका आयाम F₀/(2ζk) है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — बल से 90° पीछे है, और उसका आयाम F₀/(2ζk) है

    r = 1 पर स्प्रिंग व जड़त्व बल निरस्त हो जाते हैं, अवमंदक-बल लगाए गए बल को संतुलित करता है, और tan φ = 2ζr/(1 − r²) → ∞, अतः φ = 90° (वेग बल के साथ समान कला में है); आयाम F₀/(cω_n) = F₀/(2ζk) है। समान कला निम्न-आवृत्ति सीमा है और 180° उच्च-आवृत्ति सीमा; 45° अवमंदन कुछ भी हो r = 1 पर नहीं मिलता।

  10. कुल द्रव्यमान M की एक मशीन में असंतुलित रोटर (द्रव्यमान m₀, उत्केंद्रता e) है और वह स्प्रिंग व अवमंदक पर लगी है। चाल को प्राकृतिक आवृत्ति से बहुत ऊपर (r ≫ 1) बढ़ाने पर मशीन का स्थायी कंपन-आयाम किस मान की ओर जाता है:

    1. शून्य, क्योंकि प्रणोदित निकाय का आयाम उच्च आवृत्ति पर 1/r² से घटता है
    2. अनंत, क्योंकि उत्तेजक बल m₀eω² चाल के साथ असीमित बढ़ता है
    3. m₀e/M, क्योंकि ω² से बढ़ता बल अनुक्रिया के 1/ω² ह्रास को निरस्त कर देता है
    4. m₀eω²/k, तात्क्षणिक उत्तेजक बल के अधीन स्थैतिक विक्षेप
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — m₀e/M, क्योंकि ω² से बढ़ता बल अनुक्रिया के 1/ω² ह्रास को निरस्त कर देता है

    MX/(m₀e) = r²/√((1 − r²)² + (2ζr)²) → 1 जब r → ∞, अतः X → m₀e/M: उत्तेजक बल ω² से बढ़ता है जबकि अनुक्रिया-गुणक 1/ω² से घटता है, और गुणनफल नियत रहता है। शून्य तक गिरना केवल नियत-आयाम बल के लिए है, और अनंत केवल अनवमंदित निकाय में अनुनाद पर होता है। स्थैतिक-विक्षेप वाला व्यंजक उस जड़त्व को अनदेखा करता है जो उच्च चाल पर हावी रहता है।

  11. एक एकल-स्वातंत्र्य-कोटि निकाय में k = 5000 N/m, अवमंदन अनुपात ζ = 0.1 है और उसे 50 N आयाम के आवर्ती बल से उसकी प्राकृतिक आवृत्ति की दुगुनी आवृत्ति (r = 2) पर चलाया जाता है। स्थायी-अवस्था विस्थापन-आयाम ____ mm है, दो दशमलव स्थानों तक।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3.30

    स्थैतिक विक्षेप F₀/k = 50/5000 = 10 mm है। M = 1/√((1 − r²)² + (2ζr)²) = 1/√((−3)² + 0.4²) = 1/√9.16 = 0.3304। अतः X = 10 × 0.3304 = 3.30 mm।

  12. 100 kg कुल द्रव्यमान (रोटर सहित) की मशीन में असंतुलन m₀e = 0.05 kg·m है। वह ζ = 0.1 अवमंदन अनुपात वाले स्प्रिंग-अवमंदक आधार पर लगी है और आधार की अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति से दुगुनी चाल (r = 2) पर चलती है। स्थायी ऊर्ध्वाधर कंपन-आयाम ____ mm है, दो दशमलव स्थानों तक।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.66

    MX/(m₀e) = r²/√((1 − r²)² + (2ζr)²) = 4/√9.16 = 1.3217। अतः X = 1.3217 × m₀e/M = 1.3217 × 0.05/100 = 6.608 × 10⁻⁴ m = 0.66 mm। r² गुणक भूल जाना (केवल M = 0.3304 लेना) 0.17 mm देता, जो गलत है क्योंकि उत्तेजक बल ω² से बढ़ता है।

  13. अवमंदन अनुपात ζ (0 < ζ < 0.5) वाले एकल-स्वातंत्र्य-कोटि निकाय को नियत आयाम F₀ के आवर्ती बल से आवृत्ति अनुपात r पर चलाया जाता है। निम्नलिखित में से कौन-से सही हैं?

    1. निम्न आवृत्ति (r ≪ 1) पर आयाम स्थैतिक विक्षेप F₀/k के निकट है
    2. r = 1 पर आयाम F₀/(2ζk) है, और ζ → 0 पर वह असीमित बढ़ता है
    3. उच्च आवृत्ति (r ≫ 1) पर आयाम लगभग F₀/(mω²) है, जो छोटा है
    4. ζ के प्रत्येक मान के लिए आयाम का अधिकतम ठीक r = 1 पर होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — निम्न आवृत्ति (r ≪ 1) पर आयाम स्थैतिक विक्षेप F₀/k के निकट है; B — r = 1 पर आयाम F₀/(2ζk) है, और ζ → 0 पर वह असीमित बढ़ता है; C — उच्च आवृत्ति (r ≫ 1) पर आयाम लगभग F₀/(mω²) है, जो छोटा है

    r ≪ 1 के लिए M ≈ 1; r = 1 पर M = 1/(2ζ); r ≫ 1 के लिए M ≈ 1/r², अतः X ≈ F₀/(k r²) = F₀/(mω²)। विस्थापन-आयाम का शिखर r = √(1 − 2ζ²) पर है, जो ζ > 0 होने पर 1 से कम है, अतः वह ठीक r = 1 पर नहीं है (वेग-आयाम का शिखर ठीक r = 1 पर होता है)।

  14. एक मशीन स्प्रिंग-अवमंदक पृथक्कारक पर लगी है, और आधार पर विक्षोभ आवर्ती है। अवमंदन अनुपात ζ के किसी भी मान के लिए, आवृत्ति अनुपात r = √2 पर विस्थापन संप्रेषणता है:

    1. शून्य, क्योंकि पृथक्करण उसी आवृत्ति अनुपात से आरंभ होता है
    2. 1 के बराबर, ζ से स्वतंत्र
    3. √2 के बराबर, आवृत्ति अनुपात के समान, ζ चाहे जो हो
    4. 1/(2ζ) के बराबर, अनुनाद वाला मान, अतः वह ζ पर बहुत निर्भर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1 के बराबर, ζ से स्वतंत्र

    r² = 2 पर: अंश √(1 + 8ζ²) और हर √((1 − 2)² + 8ζ²) = √(1 + 8ζ²), अतः प्रत्येक ζ के लिए TR = 1। पृथक्करण (TR < 1) इस अनुपात के ऊपर ही आरंभ होता है, इसलिए वहाँ TR शून्य नहीं है। 1/(2ζ) मान प्रणोदित-अनुक्रिया के विवर्धन में अनुनाद का है, √2 पर आधार-उत्तेजन का नहीं।

  15. एक अभियंता मशीन का संप्रेषित कंपन ऐसे पृथक्कारकों से घटाता है जो आवृत्ति अनुपात r = 3 पर कार्य करते हैं, जहाँ अवमंदन के बिना संप्रेषणता 0.125 है। यदि पृथक्कारकों में अब ζ = 0.2 का श्यान अवमंदन जोड़ा जाए, तो उसी चलने की चाल पर संप्रेषणता लगभग हो जाती है:

    1. 0.19, पहले से अधिक, क्योंकि r = √2 से ऊपर जोड़ा गया अवमंदन अधिक कंपन गुज़रने देता है
    2. 0.06, पहले से कम, क्योंकि अवमंदन सदा ऊर्जा का क्षय करता है और संप्रेषण घटाता है
    3. 0.125, अपरिवर्तित, क्योंकि संप्रेषणता केवल r पर निर्भर है, ζ पर नहीं
    4. 0.25, दुगुनी, क्योंकि संप्रेषणता 1 + ζ के समानुपाती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.19, पहले से अधिक, क्योंकि r = √2 से ऊपर जोड़ा गया अवमंदन अधिक कंपन गुज़रने देता है

    TR = √(1 + (2ζr)²)/√((1 − r²)² + (2ζr)²) = √(1 + 1.44)/√(64 + 1.44) = 1.562/8.089 = 0.193। r = √2 से ऊपर अवमंदक बल को सीधे पृथक्कारक के पार पहुँचाता है, अतः TR 0.125 से बढ़कर लगभग 0.19 हो जाता है। अवमंदन √2 से नीचे (अनुनाद के पास) सहायक है, जो लुभावना सामान्यीकरण है; TR ζ पर निर्भर करता है, और 1 + ζ जैसा कोई नियम नहीं है।

  16. 200 kg की मशीन अनवमंदित पृथक्कारकों पर 1500 rpm पर चलती है। संप्रेषणता को 0.2 तक सीमित रखने के लिए पृथक्कारक की (कुल, ऊर्ध्वाधर दिशा में) कठोरता ____ kN/m होनी चाहिए, निकटतम पूर्णांक तक। मशीन को एकल दृढ़ द्रव्यमान मानें और r > √2 के लिए TR = 1/(r² − 1) लें।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 822

    ω = 2π(1500)/60 = 157.08 rad/s। TR = 1/(r² − 1) = 0.2 से r² = 6। तब ω_n² = ω²/6 = 24 674/6 = 4112.3 rad²/s², और k = mω_n² = 200 × 4112.3 = 822 467 N/m = 822 kN/m (निकटतम पूर्णांक)।

  17. संप्रेषणता TR = √(1 + (2ζr)²)/√((1 − r²)² + (2ζr)²) और कंपन-पृथक्करण के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. प्रत्येक अवमंदन अनुपात के लिए r = √2 पर TR = 1 है, और TR < 1 केवल r > √2 के लिए है
    2. r > √2 के लिए अवमंदन अनुपात बढ़ाने से संप्रेषणता बढ़ती है
    3. अनवमंदित पृथक्कारक के लिए, √2 ω_n से ऊपर निश्चित चलने की चाल पर, निम्न प्राकृतिक आवृत्ति (नरम आधार) कम संप्रेषणता देती है
    4. ζ > 0.5 के लिए प्रत्येक आवृत्ति अनुपात पर संप्रेषणता 1 से कम है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक अवमंदन अनुपात के लिए r = √2 पर TR = 1 है, और TR < 1 केवल r > √2 के लिए है; B — r > √2 के लिए अवमंदन अनुपात बढ़ाने से संप्रेषणता बढ़ती है; C — अनवमंदित पृथक्कारक के लिए, √2 ω_n से ऊपर निश्चित चलने की चाल पर, निम्न प्राकृतिक आवृत्ति (नरम आधार) कम संप्रेषणता देती है

    TR सभी ζ के लिए r = √2 पर 1 से गुज़रती है और उसके आगे 1 से कम है; √2 से ऊपर अवमंदक का सीधा बल-पथ ζ के साथ TR बढ़ाता है; ζ = 0 व निश्चित ω के साथ ω_n घटाने से r बढ़ता है और 1/(r² − 1) घटता है। r < √2 पर संप्रेषणता अवमंदन कुछ भी हो 1 से अधिक रहती है, क्योंकि √2 पर TR = 1 का पार-बिंदु ζ से स्वतंत्र है, अतः बड़ा ζ विवर्धन क्षेत्र को नहीं हटाता।