A force of 40 N acts at point A of a rigid body, and its line of action is 0.5 m (perpendicular distance) from a point O. The force is to be replaced by an equivalent system acting at O. What is needed?

The same 40 N force at O together with a couple of 20 N·m, in the same sense as the moment of the original force about O

The same 40 N force at O alone, because a force on a rigid body may be moved to any point without changing its effect

The same 40 N force at O together with a couple of 20 N·m, in the same sense as the moment of the original force about O

The same 40 N force at O together with a couple of 20 N·m, in the sense opposite to the moment of the original force about O

A force of 20 N at O together with a couple of 40 N·m, because the force and the distance simply exchange roles

Two parallel and opposite forces of 30 N each act along lines 0.4 m apart on a plate, forming a couple. A point P in the plane of the plate lies outside the pair, 1.0 m from the nearer line of action. The moment of the couple about P is:

12 N·m, the same as about any other point of the plane

42 N·m, since the farther force is 1.4 m from P

30 N·m, since the nearer force is 1.0 m from P

Zero, since the two forces are equal and opposite and cancel

12 N·m, the same as about any other point of the plane

A rigid rectangular plate in a vertical plane is held by a pin at corner A and by a straight link attached at corner B, and the line of the link passes through the pin at A. A vertical load acts at the centre of the plate. Which statement is correct?

The three reaction components are concurrent at A, so none can balance the load's moment about A: the plate is improperly constrained despite three unknowns

The plate is statically determinate, because there are three unknown reactions and three independent equilibrium equations available in the plane

The plate is statically indeterminate to the first degree, because the link and the pin both resist force along the same line through A

The plate is a mechanism with two degrees of freedom, because a link whose line passes through the pin adds no restraint

Which of the following statements about the equilibrium of rigid bodies in a plane are correct?

A rigid body in a plane has three independent equilibrium equations, and they may be replaced by three moment equations about non-collinear points

A member in equilibrium under three non-parallel coplanar forces has the lines of action of those forces concurrent at one point

In a plane problem a pin support gives two reaction components and a built-in support gives two forces and a moment

A rigid body in a plane has three independent equilibrium equations, and they may be replaced by three moment equations about non-collinear points

A member in equilibrium under three non-parallel coplanar forces has the lines of action of those forces concurrent at one point

The moment of a couple about a point increases as the point is taken farther from the couple

In a plane problem a pin support gives two reaction components and a built-in support gives two forces and a moment

A plane pin-jointed truss has 13 members and 8 joints and is supported by one pin and one roller. It is:

Statically determinate, because m + r = 13 + 3 = 16 = 2j

A mechanism, because a truss with 8 joints needs 2 × 8 = 16 members to be rigid

Statically indeterminate to the first degree, because the unknowns exceed the number of joints

Statically determinate, because m + r = 13 + 3 = 16 = 2j

Statically indeterminate to the second degree, because the support has three reaction components

At a joint of a plane truss there is no external load and no support. Two members meet at the joint at an angle other than 0° and 180°. The forces in the two members are:

Both zero, because no two forces along different lines can balance with nothing else on the pin

Equal and opposite, one tension and one compression, which keeps the joint in equilibrium at any angle

Both zero, because no two forces along different lines can balance with nothing else on the pin

Equal in magnitude, with a value that depends on the angle between the members

Undetermined from the joint alone, because the two joint equations then give only one relation

Which of the following statements about trusses and frames are correct?

In the method of sections, moments about the point where two cut members meet give the force in the third cut member directly

At a pin joining two frame members, the force that one member exerts on the other is equal and opposite to the force the other exerts on it

A truss with properly arranged members and m + r = 2j is statically determinate

In the method of sections, moments about the point where two cut members meet give the force in the third cut member directly

At a pin joining two frame members, the force that one member exerts on the other is equal and opposite to the force the other exerts on it

A beam carrying a uniformly distributed load along its length may be treated as a two-force member in a frame

A truss with properly arranged members and m + r = 2j is statically determinate

A 10 kg block rests on a rough horizontal floor with μ_s = 0.4 and μ_k = 0.3. Take g = 9.81 m/s². A horizontal push of 30 N is applied to it. The friction force acting on the block is:

30 N, equal to the push, because the block sticks below the 39.2 N limit

39.2 N, equal to the limiting static friction μ_s N, which always acts while there is a push

29.4 N, equal to the kinetic friction μ_k N, because the block is just starting to move

Zero, because the push of 30 N is smaller than the weight of the block, 98.1 N

A uniform rectangular crate of weight W has base width 0.8 m and height 1.6 m and rests on a floor where μ_s = 0.45. A horizontal force P is applied to a vertical side face at 1.2 m above the floor, in the direction that tends to tip the crate about its lower leading edge, and is increased slowly from zero. What happens first?

The crate tips about the leading bottom edge at P = 0.333 W, which is below the sliding force 0.45 W

The crate slides when P reaches 0.45 W, because friction is overcome before the crate can rotate at all

The crate slides and tips together, because at a force of 0.45 W both limiting conditions are reached at once

The crate neither slides nor tips, because the applied force must exceed the weight W to move the crate

The crate tips about the leading bottom edge at P = 0.333 W, which is below the sliding force 0.45 W

A rope passes over a fixed rough drum with μ = 0.3 and is on the verge of slipping. When the angle of contact is 180° the ratio of the larger to the smaller tension is e^(0.3π) ≈ 2.57. If the rope is wound through 360° instead, all else unchanged, the ratio becomes about:

6.59, the square of 2.57, because the exponent doubles

5.13, twice as large, because the angle of contact has doubled

2.57, unchanged, because the ratio depends only on μ and not on the angle

6.59, the square of 2.57, because the exponent doubles

3.57, one more than before, because each half-turn adds a fixed tension

For a conservative system described by a single coordinate q with potential energy V(q), an equilibrium position q₀ is stable if:

dV/dq = 0 and d²V/dq² > 0 at q₀, so that V has a local minimum there

dV/dq = 0 and d²V/dq² < 0 at q₀, so that V has a local maximum there

V(q₀) = 0 and dV/dq > 0 at q₀, so that the energy rises on both sides

d²V/dq² = 0 and dV/dq ≠ 0 at q₀, so that the curvature vanishes

The potential energy of a system is V(x) = 2x³ − 9x² + 12x joules, with x in metres, and only conservative forces act. Which statement about its equilibrium positions is correct?

x = 1 m is unstable and x = 2 m is stable, since V″ is −6 and +6 there

x = 1 m is stable and x = 2 m is unstable, since V is larger at x = 1 m

Both x = 1 m and x = 2 m are stable, since V rises on moving away from each

Both x = 1 m and x = 2 m are unstable, since the cubic term dominates V

x = 1 m is unstable and x = 2 m is stable, since V″ is −6 and +6 there

Which of the following statements about equilibrium and stability are correct?

A ball resting on the top of a fixed smooth sphere is in unstable equilibrium

A uniform rod of mass m and length L, hinged at its lower end and held vertical by a torsion spring that is unstressed when vertical, is stable if the spring stiffness exceeds mgL/2

In neutral equilibrium V is constant over a range of q, so dV/dq and d²V/dq² are both zero there

A ball resting on the top of a fixed smooth sphere is in unstable equilibrium

A uniform rod of mass m and length L, hinged at its lower end and held vertical by a torsion spring that is unstressed when vertical, is stable if the spring stiffness exceeds mgL/2

In neutral equilibrium V is constant over a range of q, so dV/dq and d²V/dq² are both zero there

A position where dV/dq = 0 is necessarily a stable equilibrium position

स्थैतिकी: समतुल्य बल, साम्य, ट्रस व फ्रेम, घर्षण तथा स्थायित्व

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के XE3 ठोस यांत्रिकी, जो नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है और जिनमें से किन्हीं दो को परीक्षार्थी परीक्षा में चुनता है, के खंड XE3.1 दृढ़ पिंडों की यांत्रिकी के पूर्वार्ध का उत्तर देता है। पाठ्यक्रम का वाक्य है: “समतुल्य बल व आघूर्ण; साम्य समीकरण; निर्धार्य ट्रस व फ्रेम का विश्लेषण; फिसलन व चिपकन घर्षण; न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा का सिद्धांत और स्थायी साम्य से उसका संबंध।” यह बल-बलयुग्म समानयन, आधार प्रतिक्रियाएँ, ट्रस व फ्रेम, कूलॉम घर्षण के साथ पलटना, पट्टा व पाचर (wedge), तथा स्थितिज ऊर्जा से स्थायित्व पढ़ाता है। संख्यात्मक प्रश्न बलयुग्म व परिणामी, धरन की प्रतिक्रियाएँ, अवयव-बल, सीढ़ी हेतु आवश्यक घर्षण, पट्टे के तनाव तथा उलटी छड़ की क्रांतिक स्प्रिंग-कठोरता हैं। जहाँ भार आए वहाँ g = 9.81 m/s² लें।

1. आघूर्ण, बलयुग्म व समतुल्य बल-निकाय

बल F का बिंदु O के सापेक्ष आघूर्ण M_O = r × F है। समतल में इसका परिमाण F·d होता है, जहाँ d, O से क्रिया-रेखा तक की लंबवत दूरी है, और वामावर्त को धनात्मक लिया जाता है। दृढ़ पिंड पर बल को उसकी क्रिया-रेखा के अनुदिश सरकाने से प्रभाव नहीं बदलता (संचरणीयता), पर उसे उस रेखा से हटाने पर आघूर्ण बदल जाता है। बलयुग्म (couple) भिन्न रेखाओं पर लगे दो समान, विपरीत, समांतर बलों का युग्म है: कुल बल शून्य होता है और आघूर्ण F·d (d दोनों रेखाओं के बीच की दूरी) प्रत्येक बिंदु के सापेक्ष समान रहता है, इसलिए बलयुग्म एक मुक्त सदिश है जिसे अपने तल में कहीं भी रखा जा सकता है।

बल-बलयुग्म प्रतिस्थापन। A पर लगा बल F, O पर लगे उसी बल F तथा F·d आघूर्ण वाले एक बलयुग्म के समतुल्य है, जहाँ d, O से मूल क्रिया-रेखा की लंबवत दूरी है और बलयुग्म का अभिप्राय O के सापेक्ष F के आघूर्ण वाला ही है। अतः कोई भी समतलीय निकाय O पर परिणामी R = ΣF तथा परिणामी आघूर्ण M_O = ΣM_O (बलों के आघूर्ण जमा सभी बलयुग्म) में समानीत हो जाता है। यदि R ≠ 0 हो तो निकाय एक ही बल R है जिसकी रेखा O से d = M_O/R खिसकी होती है, उस ओर जिधर M_O की दिशा पुन: बने। यदि R = 0 व M_O ≠ 0 हो तो यह शुद्ध बलयुग्म है। वितरित भार को उसके परिणामी से बदलते हैं, जो भार-आरेख के क्षेत्रफल के बराबर होता है और उसके केंद्रक से गुज़रता है: लंबाई L पर एकसमान भार w से wL मध्य-बिंदु पर मिलता है, और L पर शून्य से w₀ तक बढ़ते त्रिभुजाकार भार से w₀L/2 बड़े सिरे से L/3 पर मिलता है।

हल किया उदाहरण। एक धरन पर x = 0.6 m पर 50 N का अधोमुखी बल तथा 20 N·m का वामावर्त बलयुग्म लगा है। x = 0 के सापेक्ष: R = 50 N नीचे की ओर और M_O = −50(0.6) + 20 = −10 N·m, अर्थात् 10 N·m दक्षिणावर्त। O के दाईं ओर d = 10/50 = 0.20 m पर 50 N का एक अधोमुखी बल वही दक्षिणावर्त आघूर्ण देता है (O के दाएँ का अधोमुखी बल धरन को दक्षिणावर्त घुमाता है), अतः यही समतुल्य एकल बल है।

⚠️ बलयुग्म मुक्त हैं, बल नहीं

बलयुग्म का आघूर्ण हर बिंदु के सापेक्ष समान रहता है, पर बल का आघूर्ण चुने गए बिंदु पर निर्भर करता है। बल को उसकी रेखा के अनुदिश सरकाना केवल दृढ़ पिंड हेतु मान्य है; विरूपणीय पिंड में आंतरिक प्रतिबल बदल जाते हैं। सबसे प्रचलित भूल बल को उसकी रेखा से हटाकर बलयुग्म F·d भूल जाना है।

2. मुक्त-पिंड आरेख, साम्य समीकरण व आधार प्रतिक्रियाएँ

कोई पिंड साम्य में तब होता है जब किसी भी बिंदु O के सापेक्ष ΣF = 0 व ΣM_O = 0 हों। 2-D में इससे तीन स्वतंत्र समीकरण मिलते हैं (ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0); दो आघूर्ण समीकरण व एक बल समीकरण, या असरेखीय बिंदुओं के सापेक्ष तीन आघूर्ण समीकरण भी उतने ही उपयुक्त हैं (पहले समुच्चय में बल की दिशा दोनों आघूर्ण-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के लंबवत नहीं होनी चाहिए)। 3-D में छह समीकरण हैं: ΣFx, ΣFy, ΣFz, ΣMx, ΣMy, ΣMz = 0। विधि मुक्त-पिंड आरेख (FBD) से शुरू होती है: पिंड को अलग करें, गुरुत्व-केंद्र पर भार दिखाएँ, हर आरोपित भार बनाएँ, और प्रत्येक आधार या संपर्क को उस प्रतिक्रिया से बदलें जो वह लगा सकता है, अनुमानित दिशा में (ऋणात्मक उत्तर का अर्थ बस उलटी दिशा है)।

आधार प्रतिक्रियाएँ
आधार या संपर्क	अज्ञात राशियाँ	दिशा
रोलर, रॉकर, चिकनी सतह	1 बल (2-D)	सतह के लंबवत
लिंक या केबल	1 बल	अवयव के अनुदिश; केबल केवल खींचती है
पिन (कब्ज़ा)	2 बल-घटक	Rx व Ry; कोई आघूर्ण नहीं
स्थिर (अंतःस्थापित) आधार	Rx, Ry व आघूर्ण M (3)	घूर्णन भी रोकता है
गेंद-कटोरी (3-D)	3 बल	कोई आघूर्ण नहीं
स्थिर आधार (3-D)	3 बल व 3 आघूर्ण	छह अज्ञात

द्वि-बल अवयव: केवल दो बिंदुओं पर भारित व बिना बलयुग्म के, यह ऐसे बल लगाता है जो समान, विपरीत और दोनों बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश होते हैं।
त्रि-बल अवयव: तीनों बल संगामी होते हैं, या सब समांतर।
निर्धार्यता: अज्ञात प्रतिक्रियाओं की संख्या स्वतंत्र समीकरणों के बराबर (2-D में तीन) हो तो स्थैतिकतः निर्धार्य; अधिक हों तो अनिर्धार्य; और संख्या बराबर होने पर भी प्रतिक्रियाएँ सब संगामी या सब समांतर हों तो अनुचित प्रतिबंध, यानी अस्थायी पिंड।

हल किया उदाहरण। 6 m प्रास की एक सरल आधारित धरन (A पर पिन, B पर रोलर) पूरे प्रास पर 5 kN/m और A से 2 m पर 10 kN बिंदु भार वहन करती है। एकसमान भार का परिणामी 5 × 6 = 30 kN है, 3 m पर। ΣM_A = 0: R_B(6) = 10(2) + 30(3) = 110, अतः R_B = 18.33 kN। ΣFy = 0: R_A = 40 − 18.33 = 21.67 kN। B के सापेक्ष आघूर्ण से जाँच: R_A(6) = 10(4) + 30(3) = 130, जो मेल खाता है।

⚠️ प्रतिक्रियाएँ गिन लेना पर्याप्त नहीं

पिन और ऐसे रोलर से थमी प्लेट, जिसकी क्रिया-रेखा पिन से गुज़रती है, में तीन अज्ञात व तीन समीकरण हैं, फिर भी वह पिन के गिर्द घूम सकती है: तीनों प्रतिक्रियाएँ संगामी हैं और उस बिंदु के सापेक्ष आघूर्ण संतुलित नहीं कर सकतीं। आघूर्ण-केंद्र वहाँ चुनें जहाँ दो अज्ञात रेखाएँ मिलती हों, ताकि एक समीकरण से एक अज्ञात मिले।

3. निर्धार्य ट्रस व फ्रेम

समतल ट्रस (truss) को आदर्श रूप में पिन-जोड़ों, केवल जोड़ों पर लगे भारों व प्रतिक्रियाओं, तथा भारहीन सीधे अवयवों से बना मानते हैं। तब प्रत्येक अवयव द्वि-बल अवयव होता है जो केवल अक्षीय बल वहन करता है: तनाव (अपने सिरों के जोड़ों को खींचता है) या संपीडन (धकेलता है)। m अवयव, j जोड़ व r प्रतिक्रिया-घटकों हेतु m + r अज्ञात और 2j जोड़-समीकरण होते हैं। m + r = 2j का अर्थ स्थैतिकतः निर्धार्य (यदि अवयव ठीक से सजे हों), m + r < 2j का अर्थ यांत्रिक चालन (mechanism), और m + r > 2j का अर्थ स्थैतिकतः अनिर्धार्य। सरल ट्रस एक त्रिभुज से हर नए जोड़ पर दो अवयव जोड़कर बढ़ता है, अतः m = 2j − 3, और r = 3 के साथ वह निर्धार्य होता है।

जोड़ों की विधि: ऐसा जोड़ लें जिसमें अधिकतम दो अज्ञात अवयव-बल हों, ΣFx = 0 व ΣFy = 0 लगाएँ (तनाव धनात्मक, जोड़ से दूर की ओर खींचा गया) और जोड़-दर-जोड़ आगे बढ़ें। इससे हर अवयव मिल जाता है।
काट की विधि: अधिकतम तीन ऐसे अवयवों से, जिनकी रेखाएँ सब संगामी या सब समांतर न हों, एक काल्पनिक काट निकालें, किसी भी एक ओर के भाग को दृढ़ पिंड मानें और तीन साम्य समीकरण लिखें। जहाँ दो कटे अवयव मिलते हैं उस बिंदु के सापेक्ष आघूर्ण लेने पर तीसरा तुरंत मिल जाता है, अतः आधारों से दूर का कोई एक अवयव पूरे ट्रस में चले बिना निकल आता है।
शून्य-बल अवयव (गणना की आवश्यकता नहीं):
(i) बिना भार व बिना आधार वाले जोड़ पर मिलते दो असरेखीय अवयव दोनों शून्य होते हैं;
(ii) बिना भार वाले जोड़ पर तीन अवयव मिलें और दो संरेख हों तो तीसरा शून्य होता है। इन्हें स्थिरता व अन्य भार-स्थितियों हेतु रखा जाता है।

हल किया उदाहरण (जोड़ों की विधि)। A (0, 0) पर पिन, B (4 m, 0) पर रोलर, शीर्ष C (2 m, 3 m), C पर 12 kN नीचे की ओर भार। जाँच: m + r = 3 + 3 = 2(3)। सममिति से R_A = R_B = 6 kN। जोड़ A पर अवयव AC क्षैतिज से tan θ = 3/2 बनाता है (sin θ = 0.832, cos θ = 0.555)। ΣFy: 6 = F_AC sin θ, अतः F_AC = 7.21 kN संपीडन। ΣFx: F_AB = F_AC cos θ = 4.00 kN तनाव।

फ्रेम (frame) में कम से कम एक बहु-बल अवयव होता है, जो तीन या अधिक बिंदुओं पर अथवा अनक्षीय भार से भारित हो, इसीलिए वह ट्रस नहीं है। बाह्य प्रतिक्रियाओं हेतु पूरे फ्रेम का FBD बनाएँ (वह प्रायः कुछ ही प्रतिक्रियाएँ देता है), फिर उसे अलग-अलग करें: प्रत्येक अवयव अलग खींचें, हर पिन पर बल-घटक दिखाएँ, और न्यूटन का तृतीय नियम लगाएँ (पिन पर एक अवयव पर लगा बल उसके साथी अवयव पर लगे बल के समान व विपरीत होता है, इसे संगत रूप से बनाएँ)। 2-D में प्रत्येक दृढ़ अवयव तीन समीकरण देता है, और फ्रेम के भीतर द्वि-बल अवयव में एक ही अज्ञात, उसका अक्षीय बल, होता है, इसलिए पहले उन्हें पहचानें।

⚠️ भारित अवयव द्वि-बल अवयव नहीं है

जो अवयव अपनी लंबाई पर भार वहन करता है, जैसे एकसमान भार वाली धरन, वह झुकता है और द्वि-बल अवयव नहीं है; उसे ऐसा मान लेना फ्रेम की मानक भूल है।

4. फिसलन व चिपकन घर्षण, पलटना, पट्टा व पाचर

शुष्क (कूलॉम) घर्षण संपर्क की स्पर्शरेखा के अनुदिश लगता है और सापेक्ष फिसलन या उसकी प्रवृत्ति का विरोध करता है। जब तक सतहें चिपकी रहती हैं, F वही होता है जो साम्य माँगे, सीमा F ≤ μ_s N तक; आसन्न फिसलन पर ठीक F = μ_s N; और फिसलने लगे तो गतिज घर्षण F = μ_k N, सामान्यतः μ_k < μ_s, जो संपर्क क्षेत्रफल व चाल से लगभग स्वतंत्र होता है। N साम्य से निकलता है, उसे W के बराबर मान नहीं लेते। घर्षण कोण φ = tan⁻¹ μ वह अधिकतम कोण है जो कुल संपर्क प्रतिक्रिया अभिलंब से बना सकती है। θ कोण के आनत तल पर ब्लॉक तब चिपका रहता है जब tan θ ≤ μ_s, चाहे उसका भार कुछ भी हो, और तल के समांतर बल P से वह ऊपर खिसकने को तब होता है जब P = W(sin θ + μ_s cos θ)।

पलटना बनाम फिसलना। भार W व आधार-चौड़ाई b के एक पेटी (crate) को फ़र्श से ऊँचाई a पर क्षैतिज बल P से धकेला जाता है। वह P = μ_s W पर फिसलता है। वह अपनी अग्र निचली कोर के गिर्द तब पलटता है जब अभिलंब बल उस कोर पर आ चुका हो, अतः P·a = W·b/2 और P = Wb/(2a)। जो बल छोटा हो वही पहले घटित होता है: μ_s < b/(2a) हो तो पेटी पहले फिसलती है और μ_s > b/(2a) हो तो पहले पलटती है।

हल किया उदाहरण (सीढ़ी)। 20 kg द्रव्यमान की 5 m लंबी एकसमान सीढ़ी का पाद चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार से 3 m दूर टिका है, अतः उसका शीर्ष 4 m ऊँचाई पर है। W = 20 × 9.81 = 196.2 N पाद से क्षैतिजतः 1.5 m पर लगता है। पाद के सापेक्ष आघूर्ण: N_w(4) = 196.2(1.5), अतः N_w = 73.6 N (चिकनी दीवार केवल क्षैतिज बल देती है)। ΣFy: N = 196.2 N। ΣFx: F = N_w = 73.6 N। फिसलन न हो इसके लिए F ≤ μ_s N, अतः μ_s ≥ 73.6/196.2 = 0.375।

स्थिर ड्रम पर पट्टा (या रस्सी), आसन्न फिसलन पर: T₁/T₂ = e^(μβ), जहाँ β संपर्क कोण रेडियन में है (1.5 फेरे अर्थात् 3π) और T₁ बड़ा तनाव है, उस ओर जिधर पट्टा ड्रम के सापेक्ष फिसलने को होता है। यह ड्रम की त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता। पाचर (wedge) नियम: हर फलक पर घर्षण को छूते फलकों की सापेक्ष फिसलन के विरुद्ध खींचें, प्रत्येक फलक पर N लंबवत रखें, और हर पिंड के लिए साम्य लिखें। अर्ध-कोण α की सममित पाचर किसी खाँचे में ठोंकने पर टिकी रहती है (स्वतः-जकड़न) जब tan α ≤ μ_s, क्योंकि तब बाहर की धक्का 2N sin α पकड़ 2μ_s N cos α से अधिक नहीं होता।

⚠️ घर्षण सदैव μN नहीं होता

स्थैतिक प्रश्न में F = μ_s N केवल तब लगता है जब फिसलन आसन्न हो; अन्यथा F, ΣF = 0 से निकलता है, और सीमा से कम धक्के को उतना ही घर्षण बल संतुलित करता है। बिना फिसले लुढ़कते संपर्क पर घर्षण स्थैतिक होता है और कार्य नहीं करता।

5. न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा व साम्य का स्थायित्व

जब केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं (भार व स्प्रिंग), तंत्र की स्थितिज ऊर्जा V(q) उस निर्देशांक q में होती है जो उसका विन्यास तय करता है: V = m g y_G (किसी स्थिर संदर्भ तल से गुरुत्व-केंद्र की ऊँचाई, y ऊपर की ओर) जमा स्प्रिंग ऊर्जा ½kδ² (δ अतानित लंबाई से विस्तार है; मरोड़ी स्प्रिंग हेतु ½k_tθ²)। साम्य हेतु dV/dq = 0 चाहिए, जो हर स्वीकार्य विस्थापन के लिए शून्य आभासी कार्य के समतुल्य है। उस स्थिति का स्थायित्व V की वक्रता से तय होता है।

साम्य-स्थिति पर V(q) से स्थायित्व
प्रकार	कसौटी	छोटे विक्षोभ के बाद	चित्र
स्थायी	d²V/dq² > 0 (V न्यूनतम)	उसी स्थिति में लौटता है	कटोरे में गेंद
अस्थायी	d²V/dq² < 0 (V अधिकतम)	और दूर चला जाता है	पहाड़ी की चोटी पर गेंद
उदासीन	V अचर, सभी अवकलज शून्य	नई स्थिति में टिक जाता है	समतल फ़र्श पर गेंद

यदि d²V/dq² = 0 हो तो उच्चतर अवकलज देखें: पहला अशून्य अवकलज सम व धनात्मक हो तो स्थायी, सम व ऋणात्मक हो तो अस्थायी, और विषम हो तो एक ओर अस्थायी (अर्ध-स्थायी)। हल किया उदाहरण (स्प्रिंग-युक्त उलटी छड़)। द्रव्यमान m व लंबाई L की एकसमान छड़ अपने निचले सिरे पर कीलित है और मरोड़ी स्प्रिंग से ऊर्ध्वाधर (θ = 0) थमी है, जो θ = 0 पर तनावमुक्त है। V = ½k_tθ² + mg(L/2) cos θ, अतः dV/dθ = k_tθ − (mgL/2) sin θ, जो हर k_t के लिए θ = 0 पर शून्य है। उस स्थिति में d²V/dθ² = k_t − mgL/2। ऊर्ध्वाधर स्थिति k_t > mgL/2 पर स्थायी, k_t < mgL/2 पर अस्थायी है, और क्रांतिक कठोरता mgL/2 है। m = 2 kg व L = 1 m हेतु k_cr = 2(9.81)(1)/2 = 9.81 N·m/rad। हलकी छड़ पर बिंदु-द्रव्यमान m हो तो क्रांतिक मान mgL होता है, इसलिए दोनों स्थितियाँ मिलाएँ नहीं।

डोलते पिंड। क्षैतिज समतल पर डोलता वक्र आधार वाला पिंड तब स्थायी होता है जब उसका गुरुत्व-केंद्र संपर्क के वक्रता-केंद्र के नीचे हो। अपनी वक्र सतह पर टिके ठोस अर्धगोले का गुरुत्व-केंद्र गोले के केंद्र से 3R/8 नीचे होता है, अतः V = mg[R − (3R/8) cos θ] और d²V/dθ² = 3mgR/8 > 0: स्थायी।

⚠️ स्थिर V केवल साम्य देता है

dV/dq = 0 साम्य-स्थितियाँ बताता है; d²V/dq² का चिह्न स्थायित्व तय करता है। ऊँचाइयाँ स्थिर संदर्भ तल से y ऊपर की ओर नापें, ताकि गुरुत्व पद +mgy रहे: चिह्न की एक भूल स्थायी साम्य को अस्थायी बना देती है।

मुख्य बिंदु

बल, किसी अन्य बिंदु पर उसी बल जमा F·d के बलयुग्म के समतुल्य है, और बलयुग्म का आघूर्ण हर बिंदु के सापेक्ष समान होता है। समतलीय निकाय R = ΣF व M_O = ΣM_O में समानीत होता है; वितरित भार अपने क्षेत्रफल के रूप में केंद्रक पर लगता है।
मुक्त-पिंड आरेख से साम्य 2-D में तीन व 3-D में छह समीकरण देता है। द्वि-बल अवयव अक्षीय और त्रि-बल अवयव संगामी होते हैं; प्रतिक्रियाएँ संगामी या समांतर हों तो संख्या बराबर होने पर भी निर्धार्यता सिद्ध नहीं होती।
समतल ट्रस में m + r = 2j का अर्थ निर्धार्य है। हर जोड़ दो समीकरण देता है और एक काट तीन; फ्रेम को न्यूटन के तृतीय नियम से अलग-अलग किया जाता है, और भारित अवयव धरन है, द्वि-बल अवयव नहीं।
चिपके रहने तक घर्षण F ≤ μ_s N है, F = μ_s N केवल आसन्न फिसलन पर, और फिसलते समय μ_k N। μ_s > b/(2a) हो तो पेटी फिसलने से पहले पलटती है। पट्टे से T₁/T₂ = e^(μβ) मिलता है, β रेडियन में।
संरक्षी तंत्र का साम्य dV/dq = 0 है; d²V/dq² > 0 हो तो स्थायी, ऋणात्मक हो तो अस्थायी, V अचर हो तो उदासीन। मरोड़ी स्प्रिंग पर उलटी एकसमान छड़ k_t > mgL/2 होने पर स्थायी है।
परीक्षा के जाल: बल को उसकी रेखा से हटाकर बलयुग्म भूल जाना, चिपकी स्थिति में N = W या F = μN ले लेना, एकसमान छड़ हेतु mgL/2 की जगह mgL, और पट्टे के घातांक में अंश (degrees)।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

एक दृढ़ पिंड के बिंदु A पर 40 N का बल लगा है और उसकी क्रिया-रेखा बिंदु O से 0.5 m (लंबवत दूरी) पर है। इस बल को O पर लगे समतुल्य निकाय से बदलना है। क्या चाहिए?
1. O पर केवल वही 40 N का बल, क्योंकि दृढ़ पिंड पर किसी बल को बिना प्रभाव बदले किसी भी बिंदु पर ले जाया जा सकता है
2. O पर वही 40 N का बल तथा 20 N·m का एक बलयुग्म, उसी दिशा में जो O के सापेक्ष मूल बल के आघूर्ण की है
3. O पर वही 40 N का बल तथा 20 N·m का एक बलयुग्म, उस दिशा में जो O के सापेक्ष मूल बल के आघूर्ण के विपरीत है
4. O पर 20 N का बल तथा 40 N·m का बलयुग्म, क्योंकि बल व दूरी केवल अपनी भूमिकाएँ बदल लेते हैं
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उत्तर: B — O पर वही 40 N का बल तथा 20 N·m का एक बलयुग्म, उसी दिशा में जो O के सापेक्ष मूल बल के आघूर्ण की है
बल को उसकी क्रिया-रेखा से O पर ले जाने पर वही बल F रहता है और O के सापेक्ष F के आघूर्ण के बराबर, यहाँ 40 × 0.5 = 20 N·m, उसी दिशा का एक बलयुग्म जुड़ता है, ताकि पिंड पर घुमाव का प्रभाव न बदले। बिना बलयुग्म के बल खिसका देना भ्रामक उत्तर है, पर बल को स्वतंत्र रूप से केवल उसकी अपनी क्रिया-रेखा के अनुदिश खिसकाया जा सकता है। विपरीत दिशा घुमाव का प्रभाव बदल देती, और बल को खिसकाने पर उसका परिमाण नहीं बदलता।
एक प्लेट पर 30 N के दो समांतर व विपरीत बल, 0.4 m दूर की रेखाओं के अनुदिश, एक बलयुग्म बनाते हैं। प्लेट के तल में बिंदु P इस युग्म के बाहर है और निकटतर क्रिया-रेखा से 1.0 m दूर है। P के सापेक्ष बलयुग्म का आघूर्ण है:
1. 42 N·m, क्योंकि दूरवर्ती बल P से 1.4 m दूर है
2. 30 N·m, क्योंकि निकटवर्ती बल P से 1.0 m दूर है
3. शून्य, क्योंकि दोनों बल समान व विपरीत हैं और एक-दूसरे को निरस्त करते हैं
4. 12 N·m, जो तल के किसी भी अन्य बिंदु के सापेक्ष भी यही रहता है
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उत्तर: D — 12 N·m, जो तल के किसी भी अन्य बिंदु के सापेक्ष भी यही रहता है
P के सापेक्ष दोनों बल 30(1.4) − 30(1.0) = 12 N·m देते हैं, जो F·d = 30 × 0.4 है और P की स्थिति से स्वतंत्र है: बलयुग्म का आघूर्ण हर बिंदु के सापेक्ष समान होता है। केवल एक बल का आघूर्ण लेने पर 42 या 30 N·m मिलता है, जो गलत है क्योंकि दूसरे बल का भी P के सापेक्ष आघूर्ण है। परिणामी बल के रूप में बल निरस्त होते हैं, आघूर्ण के रूप में नहीं, इसलिए कुल आघूर्ण शून्य नहीं है।
ऊर्ध्वाधर तल में एक दृढ़ आयताकार प्लेट कोने A पर पिन से और कोने B पर जुड़े एक सीधे लिंक से थमी है, और लिंक की रेखा A की पिन से गुज़रती है। प्लेट के केंद्र पर ऊर्ध्वाधर भार लगा है। कौन-सा कथन सही है?
1. तीनों प्रतिक्रिया-घटक A पर संगामी हैं, इसलिए कोई भी A के सापेक्ष भार के आघूर्ण को संतुलित नहीं कर सकता: तीन अज्ञात होने पर भी प्लेट अनुचित रूप से प्रतिबंधित है
2. प्लेट स्थैतिकतः निर्धार्य है, क्योंकि तल में तीन अज्ञात प्रतिक्रियाएँ व तीन स्वतंत्र साम्य समीकरण उपलब्ध हैं
3. प्लेट प्रथम कोटि की स्थैतिकतः अनिर्धार्य है, क्योंकि लिंक और पिन दोनों A से गुज़रती एक ही रेखा के अनुदिश बल का प्रतिरोध करते हैं
4. प्लेट दो स्वातंत्र्य-कोटि वाला यांत्रिक चालन है, क्योंकि जिस लिंक की रेखा पिन से गुज़रे वह कोई प्रतिबंध नहीं जोड़ता
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उत्तर: A — तीनों प्रतिक्रिया-घटक A पर संगामी हैं, इसलिए कोई भी A के सापेक्ष भार के आघूर्ण को संतुलित नहीं कर सकता: तीन अज्ञात होने पर भी प्लेट अनुचित रूप से प्रतिबंधित है
पिन A पर दो बल-घटक देती है और लिंक का बल A से गुज़रता है, अतः तीनों प्रतिक्रियाओं में से किसी का भी A के सापेक्ष आघूर्ण नहीं है। तब A के सापेक्ष भार का आघूर्ण असंतुलित रहता है और प्लेट A के गिर्द घूमती है; उसकी एक स्वातंत्र्य-कोटि (दो नहीं) यही घूर्णन है। संख्या का बराबर होना (3 = 3) भ्रामक तर्क है, पर निर्धार्यता हेतु प्रतिक्रियाओं का सब संगामी या सब समांतर न होना भी चाहिए। यह अनिर्धार्य नहीं है: घूर्णन की दिशा में आवश्यकता से अधिक नहीं, कम प्रतिबंध हैं।
4 m लंबी एक प्रास-धरन (cantilever) अपने बाएँ सिरे पर स्थिर है और उस पर अधोमुखी वितरित भार है जो स्थिर सिरे पर 6 kN/m से घटकर मुक्त सिरे पर शून्य हो जाता है। स्थिर-सिरे के आघूर्ण का परिमाण ____ kN·m है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 16
परिणामी भार-त्रिभुज का क्षेत्रफल है: ½ × 6 × 4 = 12 kN। यह केंद्रक पर, बड़े सिरे से लंबाई के एक-तिहाई पर, यानी स्थिर सिरे से 4/3 m पर लगता है। आघूर्ण = 12 × 4/3 = 16 kN·m। भार को एकसमान 6 kN/m मान लें तो 48 kN·m मिलता, और परिणामी को मध्य-बिंदु पर रखें तो 24 kN·m।
समतल में दृढ़ पिंडों के साम्य के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. समतल में दृढ़ पिंड के तीन स्वतंत्र साम्य समीकरण होते हैं, और उन्हें असरेखीय बिंदुओं के सापेक्ष तीन आघूर्ण समीकरणों से बदला जा सकता है
2. तीन असमांतर समतलीय बलों के अधीन साम्य में पड़े अवयव में उन बलों की क्रिया-रेखाएँ एक बिंदु पर संगामी होती हैं
3. बलयुग्म का किसी बिंदु के सापेक्ष आघूर्ण तब बढ़ता है जब वह बिंदु युग्म से और दूर लिया जाए
4. समतल प्रश्न में पिन आधार दो प्रतिक्रिया-घटक देता है और अंतःस्थापित आधार दो बल व एक आघूर्ण देता है
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उत्तर: A — समतल में दृढ़ पिंड के तीन स्वतंत्र साम्य समीकरण होते हैं, और उन्हें असरेखीय बिंदुओं के सापेक्ष तीन आघूर्ण समीकरणों से बदला जा सकता है; B — तीन असमांतर समतलीय बलों के अधीन साम्य में पड़े अवयव में उन बलों की क्रिया-रेखाएँ एक बिंदु पर संगामी होती हैं; D — समतल प्रश्न में पिन आधार दो प्रतिक्रिया-घटक देता है और अंतःस्थापित आधार दो बल व एक आघूर्ण देता है
2-D में तीन स्वतंत्र समीकरण असरेखीय बिंदुओं के सापेक्ष तीन आघूर्ण समीकरणों के रूप में चुने जा सकते हैं। त्रि-बल अवयव के लिए बल संगामी होने चाहिए, अन्यथा उनमें से दो के प्रतिच्छेद के सापेक्ष आघूर्णों का योग शून्य नहीं हो सकता। पिन Rx व Ry देती है और अंतःस्थापित आधार एक प्रतिक्रिया-आघूर्ण और जोड़ता है। बलयुग्म का आघूर्ण हर बिंदु के सापेक्ष F·d है, अतः वह युग्म से दूरी के साथ नहीं बढ़ता।
एक समतल पिन-जोड़ ट्रस में 13 अवयव व 8 जोड़ हैं और वह एक पिन व एक रोलर पर टिका है। यह है:
1. यांत्रिक चालन, क्योंकि 8 जोड़ वाले ट्रस को दृढ़ होने हेतु 2 × 8 = 16 अवयव चाहिए
2. प्रथम कोटि का स्थैतिकतः अनिर्धार्य, क्योंकि अज्ञात राशियाँ जोड़ों की संख्या से अधिक हैं
3. स्थैतिकतः निर्धार्य, क्योंकि m + r = 13 + 3 = 16 = 2j
4. द्वितीय कोटि का स्थैतिकतः अनिर्धार्य, क्योंकि आधार में तीन प्रतिक्रिया-घटक हैं
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उत्तर: C — स्थैतिकतः निर्धार्य, क्योंकि m + r = 13 + 3 = 16 = 2j
अज्ञात राशियाँ 13 अवयव-बल जमा 3 प्रतिक्रिया-घटक, कुल 16 हैं, और जोड़-समीकरण 2 × 8 = 16 हैं, अतः m + r = 2j और ठीक से सजा हो तो ट्रस निर्धार्य है। जब आधार तीन प्रतिक्रियाएँ दें तब ट्रस को 2j − 3 = 13 अवयव चाहिए, 2j नहीं; इसीलिए 16 अवयवों की गणना गलत है। अज्ञातों की गिनती की तुलना 2j से होती है, j से नहीं।
एक समतल पिन-जोड़ ट्रस 2 m भुजा के समबाहु त्रिभुजों से बना है; √3 = 1.732 लें। उसके निचले जोड़ (0, 0), (2, 0), (4, 0), (6, 0) व (8, 0) m पर और ऊपरी जोड़ (1, 1.732), (3, 1.732), (5, 1.732) व (7, 1.732) m पर हैं। अवयव क्रमागत निचले जोड़ों, क्रमागत ऊपरी जोड़ों, और प्रत्येक ऊपरी जोड़ को उसके दो निकटतम निचले जोड़ों से जोड़ते हैं। ट्रस में (0, 0) पर पिन व (8, 0) पर रोलर है, और (4, 0) पर एक 10 kN ऊर्ध्वाधर भार है। (3, 1.732) व (5, 1.732) को जोड़ने वाले ऊपरी-कॉर्ड अवयव का बल परिमाण में ____ kN है, दो दशमलव स्थानों तक।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 11.55
जाँच: m = 4 + 3 + 8 = 15, j = 9, r = 3 और 15 + 3 = 18 = 2j। सममिति से प्रत्येक प्रतिक्रिया 5 kN है। x = 3.5 m पर ऊर्ध्वाधर काट केवल ऊपरी कॉर्ड (3 से 5), (3, 1.732) से (4, 0) तक के विकर्ण और निचले कॉर्ड (2 से 4) को काटती है। बायाँ भाग लेकर (4, 0), जहाँ विकर्ण व निचला कॉर्ड मिलते हैं, के सापेक्ष आघूर्ण लें: 5 kN प्रतिक्रिया 4 m बाईं ओर है और 20 kN·m देती है, जिसे ऊपरी-कॉर्ड बल F भुजा 1.732 m पर संतुलित करता है: F × 1.732 = 20, अतः F = 11.55 kN, संपीडन।
एक समतल ट्रस के जोड़ पर कोई बाह्य भार व कोई आधार नहीं है। दो अवयव उस जोड़ पर 0° व 180° से भिन्न कोण पर मिलते हैं। दोनों अवयवों के बल हैं:
1. समान व विपरीत, एक तनाव और एक संपीडन, जो जोड़ को किसी भी कोण पर साम्य में रखता है
2. दोनों शून्य, क्योंकि भिन्न रेखाओं के अनुदिश कोई दो बल, पिन पर और कुछ न लगा हो तो, संतुलित नहीं हो सकते
3. परिमाण में समान, जिसका मान अवयवों के बीच के कोण पर निर्भर करता है
4. अकेले जोड़ से अनिर्धार्य, क्योंकि तब दोनों जोड़-समीकरण केवल एक संबंध देते हैं
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उत्तर: B — दोनों शून्य, क्योंकि भिन्न रेखाओं के अनुदिश कोई दो बल, पिन पर और कुछ न लगा हो तो, संतुलित नहीं हो सकते
भिन्न रेखाओं के अनुदिश केवल दो बल हों तो पिन पर ΣF = 0 तभी संभव है जब दोनों शून्य हों: एक रेखा के अनुदिश बल का दूसरे अवयव के लंबवत घटक होता है जिसे कोई संतुलित नहीं करता। समान व विपरीत बल संरेख होने चाहिए, अतः असरेखीय अवयवों हेतु वह व्यवस्था असंभव है। यह पहला शून्य-बल नियम है, और इसमें कोण की आवश्यकता नहीं।
ट्रस व फ्रेम के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. काट की विधि में, जहाँ दो कटे अवयव मिलते हैं उस बिंदु के सापेक्ष आघूर्ण लेने पर तीसरे कटे अवयव का बल सीधे मिल जाता है
2. दो फ्रेम-अवयवों को जोड़ने वाली पिन पर, एक अवयव जो बल दूसरे पर लगाता है वह उस बल के समान व विपरीत होता है जो दूसरा उस पर लगाता है
3. अपनी लंबाई पर एकसमान वितरित भार वहन करती धरन को फ्रेम में द्वि-बल अवयव माना जा सकता है
4. ठीक से सजे अवयवों वाला ट्रस जिसमें m + r = 2j हो, स्थैतिकतः निर्धार्य होता है
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उत्तर: A — काट की विधि में, जहाँ दो कटे अवयव मिलते हैं उस बिंदु के सापेक्ष आघूर्ण लेने पर तीसरे कटे अवयव का बल सीधे मिल जाता है; B — दो फ्रेम-अवयवों को जोड़ने वाली पिन पर, एक अवयव जो बल दूसरे पर लगाता है वह उस बल के समान व विपरीत होता है जो दूसरा उस पर लगाता है; D — ठीक से सजे अवयवों वाला ट्रस जिसमें m + r = 2j हो, स्थैतिकतः निर्धार्य होता है
दो कटे अवयवों के मिलन-बिंदु के सापेक्ष आघूर्ण वे दोनों अज्ञात हटा देते हैं। फ्रेम-अवयवों के बीच पिन के बल न्यूटन के तृतीय नियम से तय होते हैं। उचित सज्जा के साथ m + r = 2j का अर्थ निर्धार्य है। जिस अवयव पर लंबाई के अनुदिश भार हो वह झुकता है, क्योंकि उस पर दो से अधिक बिंदुओं पर बल हैं, अतः वह द्वि-बल अवयव नहीं है।
10 kg का ब्लॉक रूखे क्षैतिज फ़र्श पर रखा है जिसके लिए μ_s = 0.4 व μ_k = 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। उस पर 30 N का क्षैतिज धक्का लगाया जाता है। ब्लॉक पर लगने वाला घर्षण बल है:
1. 30 N, धक्के के बराबर, क्योंकि ब्लॉक 39.2 N की सीमा से कम पर चिपका रहता है
2. 39.2 N, सीमांत स्थैतिक घर्षण μ_s N के बराबर, जो धक्का रहने पर सदैव लगता है
3. 29.4 N, गतिज घर्षण μ_k N के बराबर, क्योंकि ब्लॉक अभी चलना शुरू ही कर रहा है
4. शून्य, क्योंकि 30 N का धक्का ब्लॉक के भार 98.1 N से छोटा है
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उत्तर: A — 30 N, धक्के के बराबर, क्योंकि ब्लॉक 39.2 N की सीमा से कम पर चिपका रहता है
यहाँ N = 98.1 N है, अतः सीमांत स्थैतिक घर्षण 0.4 × 98.1 = 39.2 N है। 30 N का धक्का इस सीमा से कम है, इसलिए ब्लॉक चिपका रहता है और ΣFx = 0 से घर्षण धक्के के बराबर, 30 N, है। F = μ_s N (39.2 N) लिख देना भ्रामक भूल है: वह मान केवल आसन्न फिसलन पर लगता है। गतिज घर्षण 29.4 N फिसलने के बाद ही लगता है। क्षैतिज घर्षण के लिए धक्के की भार से तुलना का कोई अर्थ नहीं है।
भार W का एक एकसमान आयताकार पेटी (crate) जिसकी आधार-चौड़ाई 0.8 m व ऊँचाई 1.6 m है, ऐसे फ़र्श पर रखा है जहाँ μ_s = 0.45 है। एक क्षैतिज बल P उसकी ऊर्ध्वाधर पार्श्व सतह पर फ़र्श से 1.2 m ऊँचाई पर, उस दिशा में लगाया जाता है जो पेटी को उसकी निचली अग्र कोर के गिर्द पलटाने की प्रवृत्ति देती है, और उसे शून्य से धीरे-धीरे बढ़ाया जाता है। पहले क्या होता है?
1. पेटी तब फिसलती है जब P = 0.45 W हो जाए, क्योंकि पेटी के घूमने से पहले ही घर्षण परास्त हो जाता है
2. पेटी फिसलती और पलटती दोनों साथ-साथ हैं, क्योंकि 0.45 W के बल पर दोनों सीमांत शर्तें एक साथ पूरी होती हैं
3. पेटी न फिसलती है न पलटती है, क्योंकि उसे हिलाने हेतु लगाया गया बल भार W से अधिक होना चाहिए
4. पेटी अग्र निचली कोर के गिर्द P = 0.333 W पर पलटती है, जो फिसलन-बल 0.45 W से कम है
उत्तर देखें
उत्तर: D — पेटी अग्र निचली कोर के गिर्द P = 0.333 W पर पलटती है, जो फिसलन-बल 0.45 W से कम है
फिसलन हेतु P = μ_s W = 0.45 W चाहिए। पलटने हेतु अभिलंब बल का अग्र कोर तक खिसक आना चाहिए, अतः P × 1.2 = W × 0.4, जिससे P = 0.333 W। जो बल छोटा है वही पहले घटित होता है, इसलिए पेटी पलटती है। समतुल्यतः μ_s = 0.45, b/(2a) = 0.333 से अधिक है। फिसलने वाला उत्तर इस तुलना को उलट देता है: पेटी पहले तभी फिसलती जब μ_s, 0.333 से कम होता।
5 m लंबी व 20 kg द्रव्यमान की एकसमान सीढ़ी चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार से टिकी है और उसका पाद रूखे क्षैतिज फ़र्श पर दीवार से 3 m दूर है। 60 kg का एक व्यक्ति सीढ़ी पर पाद से लंबाई के अनुदिश 3 m दूर खड़ा है। g = 9.81 m/s² लें। फ़र्श पर फिसलन रोकने हेतु न्यूनतम स्थैतिक घर्षण गुणांक ____ है, दो दशमलव स्थानों तक।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.43
सीढ़ी फ़र्श से cos θ = 3/5 बनाती है और उसका शीर्ष 4 m ऊँचा है। फ़र्श का अभिलंब बल N = (20 + 60)(9.81) = 784.8 N। पाद के सापेक्ष आघूर्ण, क्षैतिज दीवार-बल N_w के साथ: N_w(4) = 196.2(2.5 × 0.6) + 588.6(3 × 0.6) = 294.3 + 1059.5 = 1353.8, अतः N_w = 338.4 N। फ़र्श का घर्षण N_w के बराबर है, इसलिए μ_s ≥ 338.4/784.8 = 0.431, अर्थात् 0.43।
एक रस्सी μ = 0.3 वाले स्थिर रूखे ड्रम पर से गुज़रती है और फिसलने की कगार पर है। संपर्क कोण 180° होने पर बड़े व छोटे तनाव का अनुपात e^(0.3π) ≈ 2.57 है। यदि शेष सब वही रखकर रस्सी 360° में लपेटी जाए तो अनुपात लगभग हो जाता है:
1. 5.13, दोगुना, क्योंकि संपर्क कोण दोगुना हो गया है
2. 2.57, अपरिवर्तित, क्योंकि अनुपात केवल μ पर निर्भर करता है, कोण पर नहीं
3. 6.59, 2.57 का वर्ग, क्योंकि घातांक दोगुना हो जाता है
4. 3.57, पहले से एक अधिक, क्योंकि हर आधा फेरा एक निश्चित तनाव जोड़ता है
उत्तर देखें
उत्तर: C — 6.59, 2.57 का वर्ग, क्योंकि घातांक दोगुना हो जाता है
T₁/T₂ = e^(μβ)। β को π से 2π करने पर घातांक दोगुना, 0.942 से 1.885, हो जाता है, अतः अनुपात e^1.885 = 6.59 है, जो 2.57 का वर्ग है। अनुपात दोगुना (5.13) मान लेना संबंध को रैखिक समझना है, जो भ्रामक भूल है। अनुपात संपर्क कोण पर निर्भर करता है, और यह गुणनात्मक है, योगात्मक नहीं, इसलिए एक जोड़ना भी गलत है।
एक निर्देशांक q वाले संरक्षी तंत्र की स्थितिज ऊर्जा V(q) है। साम्य-स्थिति q₀ स्थायी तब होती है जब:
1. q₀ पर dV/dq = 0 व d²V/dq² > 0 हो, ताकि वहाँ V का स्थानीय न्यूनतम हो
2. q₀ पर dV/dq = 0 व d²V/dq² < 0 हो, ताकि वहाँ V का स्थानीय अधिकतम हो
3. q₀ पर V(q₀) = 0 व dV/dq > 0 हो, ताकि ऊर्जा दोनों ओर बढ़े
4. q₀ पर d²V/dq² = 0 व dV/dq ≠ 0 हो, ताकि वक्रता शून्य हो जाए
उत्तर देखें
उत्तर: A — q₀ पर dV/dq = 0 व d²V/dq² > 0 हो, ताकि वहाँ V का स्थानीय न्यूनतम हो
साम्य हेतु dV/dq = 0 चाहिए, और V का न्यूनतम (धनात्मक द्वितीय अवकलज) स्थायी स्थिति है: छोटा विस्थापन ऊर्जा बढ़ाता है और प्रत्यानयन बल तंत्र को लौटा लाता है। अधिकतम अस्थायी है। अशून्य प्रथम अवकलज का अर्थ है कि वह साम्य-स्थिति है ही नहीं, और V का मान स्वयं, जो केवल संदर्भ-तल की बात है, स्थायित्व के बारे में कुछ नहीं कहता।
एक तंत्र की स्थितिज ऊर्जा V(x) = 2x³ − 9x² + 12x जूल है, जहाँ x मीटर में है, और केवल संरक्षी बल कार्य करते हैं। इसकी साम्य-स्थितियों के बारे में कौन-सा कथन सही है?
1. x = 1 m स्थायी और x = 2 m अस्थायी है, क्योंकि x = 1 m पर V अधिक है
2. x = 1 m व x = 2 m दोनों स्थायी हैं, क्योंकि प्रत्येक से दूर जाने पर V बढ़ता है
3. x = 1 m व x = 2 m दोनों अस्थायी हैं, क्योंकि V में घन पद हावी है
4. x = 1 m अस्थायी और x = 2 m स्थायी है, क्योंकि वहाँ V″ क्रमशः −6 व +6 है
उत्तर देखें
उत्तर: D — x = 1 m अस्थायी और x = 2 m स्थायी है, क्योंकि वहाँ V″ क्रमशः −6 व +6 है
V′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2), अतः साम्य x = 1 व x = 2 पर है। V″ = 12x − 18, x = 1 पर −6 (स्थानीय अधिकतम, अस्थायी) और x = 2 पर +6 (स्थानीय न्यूनतम, स्थायी) देता है। V के मानों की तुलना भ्रामक है: V(1) = 5 J, V(2) = 4 J से अधिक है, पर वह स्थानीय अधिकतम है और पास में स्थानीय न्यूनतम है, और स्थायित्व हर बिंदु पर वक्रता से तय होता है।
साम्य व स्थायित्व के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. स्थिर चिकने गोले के शीर्ष पर टिकी गेंद अस्थायी साम्य में है
2. द्रव्यमान m व लंबाई L की एकसमान छड़, जो अपने निचले सिरे पर कीलित है और ऐसी मरोड़ी स्प्रिंग से ऊर्ध्वाधर थमी है जो ऊर्ध्वाधर स्थिति में तनावमुक्त है, तब स्थायी है जब स्प्रिंग-कठोरता mgL/2 से अधिक हो
3. उदासीन साम्य में q के एक परास में V अचर होता है, अतः वहाँ dV/dq व d²V/dq² दोनों शून्य होते हैं
4. जिस स्थिति में dV/dq = 0 हो वह अनिवार्यतः स्थायी साम्य-स्थिति होती है
उत्तर देखें
उत्तर: A — स्थिर चिकने गोले के शीर्ष पर टिकी गेंद अस्थायी साम्य में है; B — द्रव्यमान m व लंबाई L की एकसमान छड़, जो अपने निचले सिरे पर कीलित है और ऐसी मरोड़ी स्प्रिंग से ऊर्ध्वाधर थमी है जो ऊर्ध्वाधर स्थिति में तनावमुक्त है, तब स्थायी है जब स्प्रिंग-कठोरता mgL/2 से अधिक हो; C — उदासीन साम्य में q के एक परास में V अचर होता है, अतः वहाँ dV/dq व d²V/dq² दोनों शून्य होते हैं
गोले के शीर्ष पर गेंद अपनी गुरुत्वीय ऊर्जा के अधिकतम पर है, अतः अस्थायी है। छड़ के लिए V = ½k_tθ² + mg(L/2) cos θ से V″(0) = k_t − mgL/2 मिलता है, जो mgL/2 से अधिक कठोरता पर धनात्मक है। उदासीन साम्य में V, q के साथ नहीं बदलता, इसलिए उसके सभी अवकलज शून्य हैं। अकेला dV/dq = 0 अधिकतमों को भी समेटता है, जो अस्थायी हैं, अतः वह स्थायित्व की गारंटी नहीं देता।
3 kg द्रव्यमान व 0.8 m लंबाई की एकसमान छड़ अपने निचले सिरे पर कीलित है और ऐसी मरोड़ी स्प्रिंग से ऊर्ध्वाधर थमी है जो छड़ के ऊर्ध्वाधर होने पर कोई बलाघूर्ण नहीं लगाती। g = 9.81 m/s² लें। वह न्यूनतम मरोड़ी कठोरता जिसके लिए ऊर्ध्वाधर स्थिति स्थायी हो, ____ N·m/rad है, दो दशमलव स्थानों तक।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 11.77
V = ½k_tθ² + mg(L/2) cos θ, अतः V″(0) = k_t − mgL/2। स्थायित्व हेतु V″ > 0 चाहिए, इसलिए क्रांतिक कठोरता mgL/2 = 3 × 9.81 × 0.8/2 = 11.772 N·m/rad, यानी 11.77। छड़ हेतु mgL लेना, जैसे सिरे पर बिंदु-द्रव्यमान हेतु होता है, 23.54 देता।