For a plane stress state at a point, the sum of the normal stresses on any two mutually perpendicular planes through that point:

is the same for every such pair of planes and equals σx + σy, which is also σ1 + σ2

equals the difference σ1 − σ2 of the two principal stresses, whatever the planes chosen

is the same for every such pair of planes and equals σx + σy, which is also σ1 + σ2

is largest on the principal planes and smallest on planes inclined at 45° to them

equals twice the maximum in-plane shear stress, 2τmax

The principal stresses at a point on the free surface of a body are σ1 = 100 MPa and σ2 = 20 MPa, both in the plane of the surface, with no stress normal to the surface. The absolute maximum shear stress at the point is:

50 MPa, half of σ1 − σ3 with the zero normal stress σ3 = 0 included

40 MPa, half of σ1 − σ2, as found from the radius of the in-plane Mohr’s circle

50 MPa, half of σ1 − σ3 with the zero normal stress σ3 = 0 included

60 MPa, the mean of the two principal stresses

80 MPa, the difference σ1 − σ2

In Mohr’s circle for plane strain, drawn with the normal strain ε on the horizontal axis, the vertical axis represents:

half the engineering shear strain, γ/2

the engineering shear strain γ, exactly as τ is used for stress

the shear stress τ divided by Young’s modulus E

twice the engineering shear strain, 2γ

half the engineering shear strain, γ/2

Which of the following statements about Mohr’s circle for plane stress are correct?

Two points at opposite ends of a diameter represent two mutually perpendicular planes of the element.

The shear stress is zero at the two points where the circle cuts the σ axis, and these points give the principal stresses.

Two points at opposite ends of a diameter represent two mutually perpendicular planes of the element.

An angle θ between two planes of the element appears as an angle θ/2 between the corresponding points on the circle.

The shear stress is zero at the two points where the circle cuts the σ axis, and these points give the principal stresses.

The centre of the circle lies at (σx − σy)/2 on the σ axis.

For an isotropic, linear elastic material with Poisson’s ratio ν = 0.25, the ratio E/G of Young’s modulus to the shear modulus is:

1.25, since G exceeds E by the factor (1 + ν)

2.00, the value obtained when ν = 0

3.00, the value obtained for an incompressible material

A long tunnel lining is in plane strain (εz = 0 along the axis). At a point σx = 100 MPa and σy = 40 MPa, and ν = 0.3. The axial stress σz at that point is:

42 MPa, from σz = ν(σx + σy)

0 MPa, because no load is applied along the axis

18 MPa, the value νσ1 − νσ2 from the in-plane difference

42 MPa, from σz = ν(σx + σy)

140 MPa, the sum σx + σy carried along the axis

A steel rod is clamped between two rigid walls and heated uniformly by ΔT. If the length of the rod is doubled, keeping the same cross-section, material and ΔT, the thermal stress in it:

remains the same, because σ = −EαΔT does not contain the length

doubles, because the longer rod tries to expand twice as much

halves, because the same wall spacing is now shared among more material

doubles, because the compressive force is proportional to the length

A steel block (E = 200 GPa, ν = 0.3) is compressed along x by σx = −100 MPa while its faces normal to y and to z are held between rigid platens so that εy = εz = 0. Its axial strain εx is:

−3.71 × 10⁻⁴, with σy = σz = νσx/(1 − ν) = −42.9 MPa developing

−5.00 × 10⁻⁴, from σx/E as for a free bar

−4.55 × 10⁻⁴, from (1 − ν²)σx/E with only one lateral direction held

−3.71 × 10⁻⁴, with σy = σz = νσx/(1 − ν) = −42.9 MPa developing

−2.00 × 10⁻⁴, from (1 − 2ν)σx/E

A ductile steel sphere lies deep in the ocean so that the stress at every point is hydrostatic compression, σ1 = σ2 = σ3 = −p, with p large. Which statement is correct?

Tresca and von Mises predict no yield at any p, whereas the maximum principal stress theory would predict failure at p = σY

Tresca predicts yield at p = σY/2, since every plane carries a shear stress of p/2

von Mises predicts yield at p = σY, since the largest normal stress then equals σY

All three theories predict yield at p = σY, since every principal stress has magnitude p

Tresca and von Mises predict no yield at any p, whereas the maximum principal stress theory would predict failure at p = σY

Which of the following statements about the plane-stress yield loci of a ductile metal with uniaxial yield strength σY are correct?

The Tresca hexagon meets the von Mises ellipse at the points (σY, 0) and (σY, σY) of the σ1–σ2 plane.

For every plane stress state the von Mises equivalent stress is less than or equal to the Tresca equivalent stress.

In pure shear, the Tresca theory predicts a larger yield shear stress than the von Mises theory.

The Tresca hexagon meets the von Mises ellipse at the points (σY, 0) and (σY, σY) of the σ1–σ2 plane.

The square of the maximum principal stress theory lies wholly inside the Tresca hexagon.

For every plane stress state the von Mises equivalent stress is less than or equal to the Tresca equivalent stress.

Which of the following statements about the elastic constants of an isotropic, linear elastic solid are correct?

Positive shear modulus and positive bulk modulus together require −1 < ν < 0.5.

Only the mean stress (σx + σy + σz)/3 changes the volume of an isotropic element; shear stresses change its shape only.

Positive shear modulus and positive bulk modulus together require −1 < ν < 0.5.

A material with ν = 0.5 has a bulk modulus K = 0 and changes volume freely under pressure.

Only the mean stress (σx + σy + σz)/3 changes the volume of an isotropic element; shear stresses change its shape only.

E, G and ν are three independent constants of an isotropic material.

प्रतिबल व विकृति, Mohr’s circle, प्रत्यास्थ स्थिरांक, ऊष्मीय प्रतिबल तथा विफलता के सिद्धांत

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर का है और XE3 ठोस यांत्रिकी के खंड XE3.2, विकृतिशील पिंडों की यांत्रिकी, के पहले भाग का उत्तर देता है; XE3 उन नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है जिनमें से कोई दो अभ्यर्थी परीक्षा में चुनता है। यह जिन पंक्तियों को पूरा करता है: “प्रतिबल व विकृति की परिभाषा; प्रतिबलों व विकृतियों का रूपांतरण; मुख्य प्रतिबल; समतल प्रतिबल व समतल विकृति हेतु Mohr’s circle; प्रत्यास्थ स्थिरांक; व्यापक हुक नियम; ऊष्मीय प्रतिबल; विफलता के सिद्धांत: वॉन मीज़ेस, ट्रेस्का व अधिकतम मुख्य प्रतिबल सिद्धांत।” यह प्रतिबल व विकृति को उनकी चिह्न-परिपाटी सहित, रूपांतरण समीकरण, मुख्य प्रतिबल व अधिकतम अपरूपण, प्रतिबल व विकृति हेतु Mohr’s circle (विकृति रोज़ेट सहित), प्रत्यास्थ स्थिरांक व त्रि-विमीय हुक नियम, समतल प्रतिबल व समतल विकृति, अवरुद्ध व संयुक्त छड़ों में ऊष्मीय प्रतिबल, तथा तीनों विफलता सिद्धांत उनके पराभव-पथों सहित पढ़ाता है। संख्यात्मक प्रश्न हैं: मुख्य प्रतिबल व तिरछे तलों पर प्रतिबल, गेज पाठ्यांकों से मुख्य विकृतियाँ, हुक नियम से विकृतियाँ, अंतराल सहित व रहित ऊष्मीय प्रतिबल, संयुक्त छड़ें तथा सुरक्षा गुणांक।

1. प्रतिबल व विकृति: परिभाषाएँ, चिह्न-परिपाटी व अक्षीय विरूपण

प्रतिबल किसी काल्पनिक कट पर प्रति इकाई क्षेत्रफल आंतरिक बल है। अभिलंब प्रतिबल σ = F/A कट के लंबवत लगता है (तनन धनात्मक); अपरूपण प्रतिबल τ = V/A कट के अनुदिश। किसी बिंदु पर त्रि-विमीय अवस्था छह राशियों σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx से बनती है, क्योंकि छोटे अवयव का आघूर्ण-साम्य τxy = τyx बाध्य करता है। इस अध्याय की चिह्न-परिपाटी: तनन धनात्मक, और अपरूपण प्रतिबल तब धनात्मक है जब उस फलक पर, जिसका बाह्य अभिलंब +x की ओर है, वह +y की ओर लगे (अन्य फलकों पर भी इसी प्रकार)। विकृति प्रति इकाई लंबाई विरूपण है: अभिलंब विकृति ε = ΔL/L (वृद्धि धनात्मक, विमाहीन); अपरूपण विकृति γ मूल समकोण में रेडियन में कमी है (अभियांत्रिकी अपरूपण विकृति, जो प्रदिश अपरूपण विकृति की दुगुनी है)।

प्रत्यास्थ परिसर में σ = Eε, और पार्श्व विकृति ε_lat = −ν ε_axial है, जहाँ ν पॉइसन अनुपात है। क्षेत्रफल A व लंबाई L की छड़ पर अक्षीय बल P से वृद्धि δ = PL/(AE) होती है; सीढ़ीनुमा छड़ या बदलते बल हेतु δ = Σ P_iL_i/(A_iE_i) अथवा ∫P dx/(AE)। हल किया उदाहरण। इस्पात की छड़ (E = 200 GPa) 800 mm लंबी है: पहले 500 mm का क्षेत्रफल 100 mm², शेष 300 mm का 50 mm² है, और सर्वत्र 10 kN तनन लगता है। δ = 10 000 × 500/(100 × 200 000) + 10 000 × 300/(50 × 200 000) = 0.25 + 0.30 = 0.55 mm। मोटे भाग में प्रतिबल 100 MPa और पतले भाग में 200 MPa है: बल वही, प्रतिबल भिन्न, इसलिए σ सदा काट-दर-काट ज्ञात करें।

⚠️ इकाइयाँ संगत रखें

बल N, लंबाई mm और क्षेत्रफल mm² में हो तो प्रतिबल N/mm² = MPa में आता है, अतः E भी MPa में चाहिए (1 GPa = 1000 MPa)। इन संख्यात्मक प्रश्नों में 1000 का गुणनखंड सबसे प्रचलित भूल है। अपरूपण विकृति रेडियन में है, अतः τ = Gγ में γ शुद्ध संख्या होनी चाहिए।

2. प्रतिबल रूपांतरण, मुख्य प्रतिबल व अधिकतम अपरूपण

समतल प्रतिबल (σz = 0) में मान लें कि x व y फलकों पर σx, σy व τxy लगते हैं। जिस तल का अभिलंब x अक्ष से θ वामावर्त घूमा हो, उस पर:

अभिलंब प्रतिबल: σθ = (σx + σy)/2 + [(σx − σy)/2] cos 2θ + τxy sin 2θ
अपरूपण प्रतिबल: τθ = −[(σx − σy)/2] sin 2θ + τxy cos 2θ
अपरिवर्ती: σθ + σθ+90° = σx + σy, अर्थात् किन्हीं दो परस्पर लंबवत तलों पर अभिलंब प्रतिबलों का योग
मुख्य तल (τθ = 0): tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), 90° के अंतर पर दो तल; मुख्य प्रतिबल σ1,2 = (σx + σy)/2 ± R, जहाँ R = √[((σx − σy)/2)² + τxy²]
तल-अंतर्गत अधिकतम अपरूपण: τmax = R = (σ1 − σ2)/2, मुख्य तलों से 45° पर के तलों पर, जहाँ अभिलंब प्रतिबल (σx + σy)/2 है

हल किया उदाहरण। σx = 100 MPa, σy = −50 MPa, τxy = 40 MPa। केंद्र = (100 − 50)/2 = 25; अर्ध-अंतर = 75; R = √(75² + 40²) = 85। अतः σ1 = 25 + 85 = 110 MPa, σ2 = 25 − 85 = −60 MPa और तल-अंतर्गत τmax = 85 MPa। tan 2θp = 80/150 = 0.533, अतः 2θp = 28.07° और θp = 14.04°। जाँच: 14.04° पर σθ = 25 + 75 cos 28.07° + 40 sin 28.07° = 25 + 66.2 + 18.8 = 110 MPa, अतः σ1 14.04° वाले तल पर और σ2 104.04° वाले तल पर लगता है।

⚠️ निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण में शून्य भी गिना जाता है

समतल प्रतिबल में तीसरा मुख्य प्रतिबल σ3 = 0 है, अतः निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σ1, σ2 व 0 के सबसे बड़े अंतर का आधा है, जो सदा R नहीं होता। σx = 100 MPa, σy = 20 MPa, τxy = 0 हेतु R = 40 MPa है, पर सबसे बड़ा अपरूपण (100 − 0)/2 = 50 MPa है, मुक्त z दिशा से 45° झुके तलों पर। जब भी σ1 व σ2 समान चिह्न के हों, R बताने से अपरूपण कम आँका जाता है।

3. समतल प्रतिबल व समतल विकृति हेतु Mohr’s circle

Mohr’s circle रूपांतरण समीकरणों को σ (क्षैतिज) व τ (ऊर्ध्व) अक्षों पर वृत्त के रूप में खींचता है। ऊपर की परिपाटी में τxy ऊपर की ओर आलेखित करने पर X = (σx, τxy) व Y = (σy, −τxy) एक व्यास के सिरे हैं; केंद्र C = (σx + σy)/2 और त्रिज्या R = √[((σx − σy)/2)² + τxy²] है। वृत्त जहाँ σ अक्ष को काटता है वहाँ σ1 = C + R व σ2 = C − R हैं; सबसे ऊपर व सबसे नीचे के बिंदु τmax = ±R देते हैं; वृत्त पर कोण अवयव के कोण का दुगुना होता है, और परस्पर लंबवत तल व्यास के विपरीत सिरों पर होते हैं। X से σ1 बिंदु तक का कोण 2θp है। τxy ऊपर आलेखित करने पर तल का वामावर्त घुमाव θ वृत्त पर दक्षिणावर्त घुमाव 2θ होता है; जो पुस्तकें τxy नीचे आलेखित करती हैं उनमें यह उलटाव नहीं होता, अतः कोण पढ़ने से पहले परिपाटी तय कर लें।

विकृति हेतु Mohr’s circle का रूप वही है, बस σ के स्थान पर ε और τ के स्थान पर γ/2 (कभी γ नहीं)। केंद्र (εx + εy)/2, त्रिज्या R = √[((εx − εy)/2)² + (γxy/2)²]; मुख्य विकृतियाँ ε1,2 = C ± R; तल-अंतर्गत अधिकतम अपरूपण विकृति γmax = 2R = ε1 − ε2। रूपांतरण ε_θ = (εx + εy)/2 + [(εx − εy)/2] cos 2θ + (γxy/2) sin 2θ है। समदैशिक पदार्थ में विकृति व प्रतिबल के मुख्य अक्ष संपाती होते हैं।

विकृति रोज़ेट। गेज केवल अपने अक्ष के अनुदिश अभिलंब विकृति मापता है, इसलिए समतल विकृति-अवस्था तय करने को तीन गेज चाहिए। x अक्ष से 0°, 45° व 90° पर लगे गेजों हेतु εx = ε0, εy = ε90 और, चूँकि ε45 = (εx + εy)/2 + γxy/2, γxy = 2ε45 − ε0 − ε90। हल किया उदाहरण: ε0 = 800, ε45 = 600, ε90 = −200 (सभी × 10⁻⁶)। γxy = 1200 − 800 + 200 = 600 × 10⁻⁶। C = 300; R = √(500² + 300²) = 583.1; ε1 = 883.1 × 10⁻⁶, ε2 = −283.1 × 10⁻⁶, γmax = 1166 × 10⁻⁶।

ℹ️ समतल प्रतिबल, समतल विकृति नहीं है

समतल प्रतिबल: σz = 0 पर εz = −ν(σx + σy)/E ≠ 0 (अपने तल में भारित पतली प्लेट)। समतल विकृति: εz = 0 पर σz = ν(σx + σy) ≠ 0 (अक्ष के अनुदिश अवरुद्ध लंबा बाँध, सुरंग या पाइप)। तल-अंतर्गत वृत्त दोनों में एक-सा खिंचता है, पर समतल विकृति में σz तीसरा मुख्य प्रतिबल है जिसे निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण व वॉन मीज़ेस प्रतिबल में गिनना होगा।

4. प्रत्यास्थ स्थिरांक व व्यापक हुक नियम

रैखिक प्रत्यास्थ समदैशिक पदार्थ में केवल दो स्वतंत्र स्थिरांक होते हैं। यंग गुणांक E = σ/ε (एकअक्षीय), अपरूपण गुणांक G = τ/γ, आयतन गुणांक K = p/ε_v (p जलस्थैतिक दाब, ε_v आयतनिक विकृति) और पॉइसन अनुपात ν इन संबंधों से जुड़े हैं:

G = E/[2(1 + ν)]; K = E/[3(1 − 2ν)]; E = 9KG/(3K + G); ν = (3K − 2G)/[2(3K + G)]
सीमाएँ: G > 0 व K > 0 से −1 < ν < 0.5 आवश्यक है; ν = 0.5 असंपीड्य है (K → ∞); अधिकांश धातुओं में ν ≈ 0.25 से 0.35; 0 < ν < 0.5 हेतु E/G = 2(1 + ν) का मान 2 व 3 के बीच है

व्यापक हुक नियम (त्रि-विमीय, समदैशिक): εx = [σx − ν(σy + σz)]/E, εy व εz चक्रीय परिवर्तन से, तथा γxy = τxy/G, γyz = τyz/G, γzx = τzx/G। तीनों अभिलंब विकृतियों का योग आयतनिक विकृति देता है: ε_v = (1 − 2ν)(σx + σy + σz)/E = (σx + σy + σz)/(3K); आयतन केवल माध्य प्रतिबल बदलता है, अपरूपण प्रतिबल केवल आकृति।

समतल प्रतिबल (σz = 0): εx = (σx − νσy)/E, εy = (σy − νσx)/E, εz = −ν(σx + σy)/E
समतल विकृति (εz = 0): σz = ν(σx + σy) तथा εx = [(1 − ν²)σx − ν(1 + ν)σy]/E

हल किया उदाहरण। समतल प्रतिबल में ऐलुमिनियम प्लेट, E = 70 GPa, ν = 0.33, σx = 140 MPa, σy = 70 MPa। εx = (140 − 0.33 × 70)/70 000 = 1.67 × 10⁻³; εy = (70 − 0.33 × 140)/70 000 = 3.4 × 10⁻⁴; εz = −0.33 × 210/70 000 = −9.9 × 10⁻⁴, अतः मोटाई के अनुदिश कोई प्रतिबल न होने पर भी प्लेट पतली होती है।

⚠️ एकअक्षीय प्रतिबल, एकअक्षीय विकृति नहीं है

जिस खंड को x के अनुदिश दबाया जाए और उसके y व z फलक कठोरता से रोके हों (εy = εz = 0), वह अधिक दृढ़ होता है: σx = E(1 − ν)εx/[(1 + ν)(1 − 2ν)], जो ν = 0.3 हेतु 1.346 E है। ऐसे अवरुद्ध खंड में σ = Eε लेने पर विकृति उसी गुणनखंड से अधिक आँकी जाती है।

5. अवरुद्ध व संयुक्त छड़ों में ऊष्मीय प्रतिबल

मुक्त ताप-परिवर्तन ΔT से विकृति αΔT होती है (α रैखिक ऊष्मीय प्रसार गुणांक है) और कोई प्रतिबल नहीं; प्रतिबल तभी बनता है जब प्रसार अवरुद्ध हो। कुल विकृति = यांत्रिक + ऊष्मीय: ε = σ/E + αΔT। समान रूप से गर्म किया स्थैतिकतः निर्धार्य पिंड प्रतिबल-मुक्त रहता है।

कठोर दीवारों के बीच कसी छड़: ε = 0, अतः σ = −EαΔT (गर्म करने पर संपीडक) और बल −EAαΔT। इस्पात, E = 200 GPa, α = 12 × 10⁻⁶ प्रति °C, ΔT = 50 °C: σ = −200 000 × 12 × 10⁻⁶ × 50 = −120 MPa। प्रतिबल में न L आता है न A।
अंतराल g सहित: मुक्त प्रसार αLΔT; प्रतिबल तभी बनता है जब वह g से अधिक हो, और σ = E(αLΔT − g)/L। L = 1000 mm, g = 0.3 mm, ΔT = 50 °C हेतु: मुक्त प्रसार 0.6 mm, σ = 200 000 × 0.3/1000 = 60 MPa। यहाँ L मायने रखता है।
द्विअक्षीय व त्रिअक्षीय अवरोध: दोनों तल-दिशाओं में रोकी प्लेट में σ = −EαΔT/(1 − ν); तीनों दिशाओं में रोके खंड में σ = −EαΔT/(1 − 2ν)। दोनों एकअक्षीय मान से अधिक हैं क्योंकि पॉइसन संकुचन भी रुक जाता है।

संयुक्त छड़। समान लंबाई L की दो छड़ें, दोनों सिरों पर कठोरता से जुड़ी (या एक नली के भीतर), बिना बाह्य भार के ΔT से गर्म। साम्य: F1 + F2 = 0। संगतता, समान कुल विकृति: σ1/E1 + α1ΔT = σ2/E2 + α2ΔT। पदार्थ 1 में तनन F लेने पर F = (α2 − α1)ΔT/[1/(A1E1) + 1/(A2E2)], और बड़े α वाला पदार्थ, जो रोक लिया जाता है, संपीडन में रहता है। हल किया उदाहरण: इस्पात (A = 300 mm², E = 200 GPa, α = 12 × 10⁻⁶) ताँबे (A = 600 mm², E = 100 GPa, α = 17 × 10⁻⁶) से जुड़ा, ΔT = 60 °C। 1/(300 × 200 000) + 1/(600 × 100 000) = 3.333 × 10⁻⁸ mm/N, अतः F = 5 × 10⁻⁶ × 60/3.333 × 10⁻⁸ = 9000 N। इस्पात में +30 MPa (तनन) और ताँबे में −15 MPa (संपीडन)।

⚠️ देखें कि वास्तव में क्या अवरुद्ध है

σ = −EαΔT केवल उस छड़ पर लागू है जिसके दोनों सिरे कठोरता से कसे हों। एक सिरा मुक्त हो या निर्धार्य फ्रेम हो तो वह हिलता है पर प्रतिबल-मुक्त रहता है। अवरुद्ध छड़ को ठंडा करने पर तनन बनता है, क्योंकि ΔT का चिह्न पलटता है। आस्तीन के भीतर या लचीले आलंबन पर टिकी छड़ हेतु पूरे संयोजन की संगतता लिखें।

6. विफलता के सिद्धांत: अधिकतम मुख्य प्रतिबल, ट्रेस्का व वॉन मीज़ेस

विफलता सिद्धांत बहु-अक्षीय अवस्था की तुलना तनन-परीक्षण की एक संख्या से करता है: तन्य धातुओं हेतु पराभव सामर्थ्य σY, भंगुर पदार्थों हेतु तनन सामर्थ्य। मुख्य प्रतिबलों को σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 क्रम में रखें, समतल प्रतिबल में σ3 = 0। सुरक्षा गुणांक n = σY/σeq, जहाँ σeq चुने सिद्धांत का तुल्य प्रतिबल है और सभी भार साथ-साथ बढ़ते हैं।

अधिकतम मुख्य प्रतिबल (रैंकिन): विफलता तब जब σ1 तनन सामर्थ्य तक पहुँचे (या σ3 संपीडन सामर्थ्य तक)। ढलवाँ लोहा, सिरेमिक व कंक्रीट जैसे भंगुर पदार्थों हेतु तनन में उपयुक्त; तन्य धातुओं हेतु अनुपयुक्त।
ट्रेस्का (अधिकतम अपरूपण प्रतिबल): पराभव तब जब τmax = σY/2, अर्थात् max(|σ1 − σ2|, |σ2 − σ3|, |σ3 − σ1|) = σY।
वॉन मीज़ेस (विरूपण ऊर्जा): पराभव तब जब σvm = √{½[(σ1 − σ2)² + (σ2 − σ3)² + (σ3 − σ1)²]} = σY। समतल प्रतिबल में σvm = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²) = √(σx² − σxσy + σy² + 3τxy²)।

σ1–σ2 तल में पराभव-पथ (समतल प्रतिबल)
सिद्धांत	सीमा	आकृति	शुद्ध अपरूपण में पराभव τ
अधिकतम मुख्य प्रतिबल	\|σ1\| = σY, \|σ2\| = σY	वर्ग, कोने (±σY, ±σY)	σY
ट्रेस्का	\|σ1\| = σY, \|σ2\| = σY, और चिह्न भिन्न होने पर \|σ1 − σ2\| = σY	दीर्घवृत्त में अंतर्लिखित षट्भुज	0.5σY
वॉन मीज़ेस	σ1² − σ1σ2 + σ2² = σY²	षट्भुज के छह शीर्षों से गुज़रता दीर्घवृत्त	0.577σY

शुद्ध अपरूपण (σ1 = τ, σ2 = −τ) में ट्रेस्का τy = 0.5σY देता है और वॉन मीज़ेस τy = σY/√3 = 0.577σY। जलस्थैतिक प्रतिबल (σ1 = σ2 = σ3) में दोनों का तुल्य प्रतिबल शून्य है, अतः किसी भी दाब पर पराभव नहीं बताते, जबकि अधिकतम मुख्य प्रतिबल सिद्धांत बताएगा: तन्य धातुओं हेतु उसके अनुपयुक्त होने का एक कारण। ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से कभी कम रूढ़िवादी नहीं होता; दोनों एकअक्षीय प्रतिबल व समान द्विअक्षीय प्रतिबल (σ1 = σ2) में सहमत हैं और शुद्ध अपरूपण में सबसे अधिक, 2/√3 = 1.155 (15.5%) से, भिन्न हैं। हल किया उदाहरण: खंड 2 की अवस्था, σY = 300 MPa के साथ, के मुख्य प्रतिबल 110, −60 व 0 MPa हैं। ट्रेस्का: max(170, 60, 110) = 170 MPa, n = 300/170 = 1.76। वॉन मीज़ेस: √(110² + 110 × 60 + 60²) = √22 300 = 149.3 MPa, n = 2.01। अधिकतम मुख्य प्रतिबल: 110 MPa, n = 2.73, जो तन्य धातु हेतु सबसे कम रूढ़िवादी अनुमान है।

⚠️ ट्रेस्का में तीनों मुख्य प्रतिबल चाहिए

समतल प्रतिबल में σ1 व σ2 दोनों तननी हों तो सबसे बड़ा अंतर σ1 − σ3 = σ1 है (σ3 = 0), σ1 − σ2 नहीं, इसलिए ट्रेस्का σ1 = σY में बदल जाता है। σ3 = 0 भूलने पर ट्रेस्का वास्तविकता से अधिक सुरक्षित दिखता है।

मुख्य बिंदु

प्रतिबल तनन-धनात्मक है और σx + σy अपरिवर्ती है; σ1,2 = (σx + σy)/2 ± R, और समतल प्रतिबल में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण ज्ञात करते समय σ3 = 0 अवश्य गिनें।
Mohr’s circle का केंद्र (σx + σy)/2, त्रिज्या R और कोण दुगुने होते हैं; विकृति हेतु γ/2 आलेखित करें, γ नहीं, और तीन-गेज रोज़ेट γxy = 2ε45 − ε0 − ε90 देता है।
केवल दो प्रत्यास्थ स्थिरांक स्वतंत्र हैं: G = E/[2(1 + ν)] व K = E/[3(1 − 2ν)]। समतल प्रतिबल में εz ≠ 0; समतल विकृति में σz = ν(σx + σy)।
ऊष्मीय प्रतिबल हेतु अवरोध चाहिए: कसी छड़ में σ = −EαΔT, L से स्वतंत्र; अंतराल हो तो σ = E(αLΔT − g)/L; संयुक्त छड़ में F1 + F2 = 0 और कुल विकृति समान।
शुद्ध अपरूपण में ट्रेस्का 0.5σY पर और वॉन मीज़ेस 0.577σY पर पराभव बताता है; ट्रेस्का षट्भुज वॉन मीज़ेस दीर्घवृत्त में अंतर्लिखित है, और अधिकतम मुख्य प्रतिबल सिद्धांत केवल भंगुर विभंग हेतु उपयुक्त है।
प्रत्येक संख्यात्मक प्रश्न में पहले परिपाटी व इकाइयाँ तय करें, फिर मुख्य प्रतिबल (σ3 सहित), और तब जाकर तुल्य प्रतिबल व सुरक्षा गुणांक।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

किसी बिंदु पर समतल प्रतिबल अवस्था में, उस बिंदु से गुज़रने वाले किन्हीं दो परस्पर लंबवत तलों पर अभिलंब प्रतिबलों का योग:
1. चुने गए तल कोई भी हों, दोनों मुख्य प्रतिबलों के अंतर σ1 − σ2 के बराबर होता है
2. ऐसे प्रत्येक तल-युग्म हेतु समान रहता है और σx + σy के बराबर है, जो σ1 + σ2 भी है
3. मुख्य तलों पर सबसे अधिक और उनसे 45° झुके तलों पर सबसे कम होता है
4. तल-अंतर्गत अधिकतम अपरूपण प्रतिबल के दुगुने, 2τmax, के बराबर होता है
उत्तर देखें
उत्तर: B — ऐसे प्रत्येक तल-युग्म हेतु समान रहता है और σx + σy के बराबर है, जो σ1 + σ2 भी है
रूपांतरण समीकरण से σθ व σθ+90° जोड़ने पर cos 2θ व sin 2θ वाले पद कट जाते हैं और योग σx + σy = 2C रह जाता है, जो Mohr’s circle के केंद्र के σ-निर्देशांक का दुगुना है और σ1 + σ2 के बराबर है। अंतर σ1 − σ2 = 2R भी नियत है, पर वह अंतर है, योग नहीं; वह 2τmax के बराबर होने के कारण भ्रामक विकल्प है, जबकि योग घुमाव से बिल्कुल नहीं बदलता।
समतल प्रतिबल में किसी बिंदु पर σx = 120 MPa, σy = 40 MPa व τxy = −30 MPa (तनन धनात्मक; τxy धनात्मक तब जब +x फलक पर वह +y की ओर लगे)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल MPa में ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x अक्ष से 30° वामावर्त घूमा है। उत्तर एक दशमलव स्थान तक दीजिए।
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उत्तर: 74.0
σθ = (σx + σy)/2 + [(σx − σy)/2] cos 2θ + τxy sin 2θ = 80 + 40 cos 60° + (−30) sin 60° = 80 + 20 − 25.98 = 74.02, अर्थात् 74.0 MPa। प्रचलित भूल τxy का ऋणात्मक चिह्न छोड़ देना है, जिससे 125.98 MPa मिलता है।
किसी पिंड की मुक्त सतह पर एक बिंदु के मुख्य प्रतिबल σ1 = 100 MPa व σ2 = 20 MPa हैं, दोनों सतह के तल में, और सतह के लंबवत कोई प्रतिबल नहीं। उस बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल है:
1. 40 MPa, σ1 − σ2 का आधा, जो तल-अंतर्गत Mohr’s circle की त्रिज्या से मिलता है
2. 50 MPa, शून्य अभिलंब प्रतिबल σ3 = 0 को सम्मिलित कर σ1 − σ3 का आधा
3. 60 MPa, दोनों मुख्य प्रतिबलों का माध्य
4. 80 MPa, अंतर σ1 − σ2
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उत्तर: B — 50 MPa, शून्य अभिलंब प्रतिबल σ3 = 0 को सम्मिलित कर σ1 − σ3 का आधा
σ3 = 0 के साथ तीनों Mohr वृत्तों के व्यास 100 − 20, 20 − 0 व 100 − 0 हैं, अतः सबसे बड़ा अपरूपण (100 − 0)/2 = 50 MPa है। तल-अंतर्गत त्रिज्या 40 MPa भ्रामक उत्तर है, क्योंकि वह तीसरे मुख्य प्रतिबल की उपेक्षा करता है, जो इसलिए मायने रखता है कि σ1 व σ2 समान चिह्न के हैं। माध्य 60 MPa अभिलंब प्रतिबल है, अपरूपण नहीं।
समतल विकृति हेतु Mohr’s circle में, जब क्षैतिज अक्ष पर अभिलंब विकृति ε हो, ऊर्ध्व अक्ष निरूपित करता है:
1. अभियांत्रिकी अपरूपण विकृति γ, ठीक वैसे जैसे प्रतिबल हेतु τ प्रयुक्त होता है
2. अपरूपण प्रतिबल τ को यंग गुणांक E से भाग देने पर
3. अभियांत्रिकी अपरूपण विकृति का दुगुना, 2γ
4. अभियांत्रिकी अपरूपण विकृति का आधा, γ/2
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उत्तर: D — अभियांत्रिकी अपरूपण विकृति का आधा, γ/2
विकृति रूपांतरण समीकरण प्रतिबल वाले जैसे रूप के तभी बनते हैं जब τ के स्थान पर γ/2 (प्रदिश अपरूपण विकृति) लिया जाए। γ को ही आलेखित करना, जो भ्रामक चुनाव है, वृत्त को दीर्घवृत्त में बिगाड़ देता और त्रिज्याएँ गलत देता। τ/E बिल्कुल विकृति नहीं है।
पतली प्लेट पर लगा 0°–45°–90° आयताकार विकृति रोज़ेट ε0 = 500, ε45 = 700 व ε90 = 100 माइक्रोविकृति (1 माइक्रोविकृति = 10⁻⁶) पढ़ता है। 0° गेज x के अनुदिश, 90° गेज y के अनुदिश और 45° गेज +x व +y के बीच है। प्लेट के तल में सबसे बड़ी मुख्य विकृति, माइक्रोविकृति में, निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।
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उत्तर: 747
εx = 500, εy = 100 तथा γxy = 2ε45 − ε0 − ε90 = 1400 − 500 − 100 = 800 (× 10⁻⁶)। केंद्र C = (500 + 100)/2 = 300; R = √[((500 − 100)/2)² + (800/2)²] = √(200² + 400²) = 447.2। ε1 = C + R = 747.2, अर्थात् 747 माइक्रोविकृति। त्रिज्या में γ/2 = 400 के स्थान पर γ = 800 लेना प्रचलित भूल है।
समतल प्रतिबल हेतु Mohr’s circle के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. व्यास के विपरीत सिरों के दो बिंदु अवयव के दो परस्पर लंबवत तलों को निरूपित करते हैं।
2. अवयव के दो तलों के बीच का कोण θ वृत्त पर संगत बिंदुओं के बीच θ/2 कोण के रूप में दिखता है।
3. जिन दो बिंदुओं पर वृत्त σ अक्ष को काटता है वहाँ अपरूपण प्रतिबल शून्य है, और वे बिंदु मुख्य प्रतिबल देते हैं।
4. वृत्त का केंद्र σ अक्ष पर (σx − σy)/2 पर स्थित है।
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उत्तर: A — व्यास के विपरीत सिरों के दो बिंदु अवयव के दो परस्पर लंबवत तलों को निरूपित करते हैं।; C — जिन दो बिंदुओं पर वृत्त σ अक्ष को काटता है वहाँ अपरूपण प्रतिबल शून्य है, और वे बिंदु मुख्य प्रतिबल देते हैं।
व्यास के विपरीत सिरे वृत्त पर 180° के अंतर पर होते हैं, अर्थात् अवयव पर 90° के अंतर पर, और σ-अक्ष के कटान शून्य-अपरूपण बिंदु हैं, जो परिभाषा से मुख्य प्रतिबल हैं। वृत्त पर कोण दुगुने होते हैं, आधे नहीं, और केंद्र माध्य (σx + σy)/2 है, अर्ध-अंतर नहीं, जो व्यास XY का क्षैतिज अर्ध-विस्तार है।
पॉइसन अनुपात ν = 0.25 वाले समदैशिक, रैखिक प्रत्यास्थ पदार्थ में यंग गुणांक व अपरूपण गुणांक का अनुपात E/G है:
1. 1.25, क्योंकि G, E से (1 + ν) गुणक अधिक है
2. 2.00, जो ν = 0 पर प्राप्त होने वाला मान है
3. 2.50, G = E/[2(1 + ν)] से
4. 3.00, जो असंपीड्य पदार्थ हेतु प्राप्त होने वाला मान है
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उत्तर: C — 2.50, G = E/[2(1 + ν)] से
G = E/[2(1 + ν)] से E/G = 2(1 + 0.25) = 2.5। 3.00 का मान ν = 0.5 का है और 2.00 ν = 0 का, जो परिसर के दो छोर हैं, अतः मध्य-परिसर का ν = 0.25 इनके बीच होगा। G सदा E से छोटा है, अतः ν ≥ 0 हेतु 2 से कम अनुपात संभव नहीं।
एक पतली इस्पात प्लेट (E = 200 GPa, ν = 0.3) समतल प्रतिबल में है, σx = 150 MPa व σy = −60 MPa (तनन धनात्मक), और कोई अपरूपण प्रतिबल नहीं। अभिलंब विकृति εx, माइक्रोविकृति (10⁻⁶) में, निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।
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उत्तर: 840
εx = (σx − νσy)/E = (150 − 0.3 × (−60))/200 000 = (150 + 18)/200 000 = 8.4 × 10⁻⁴ = 840 माइक्रोविकृति। संपीडक σy पॉइसन प्रभाव से εx में जुड़ता है; उसका चिह्न छोड़ने पर 660 मिलता है।
एक लंबी सुरंग-अस्तर समतल विकृति में है (अक्ष के अनुदिश εz = 0)। किसी बिंदु पर σx = 100 MPa व σy = 40 MPa हैं और ν = 0.3। उस बिंदु पर अक्षीय प्रतिबल σz है:
1. 0 MPa, क्योंकि अक्ष के अनुदिश कोई भार नहीं लगाया गया
2. 18 MPa, जो तल के अंतर से νσ1 − νσ2 का मान है
3. 42 MPa, σz = ν(σx + σy) से
4. 140 MPa, अक्ष के अनुदिश वहन होने वाला योग σx + σy
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उत्तर: C — 42 MPa, σz = ν(σx + σy) से
εz = 0 हेतु: [σz − ν(σx + σy)]/E = 0, अतः σz = 0.3 × 140 = 42 MPa। शून्य समतल प्रतिबल का उत्तर है और भ्रामक है क्योंकि अक्ष पर कोई भार नहीं लगा, पर अक्षीय विकृति के रुकने से ही σz बनता है। 18 MPa का समीकरणों में कोई आधार नहीं।
एक इस्पात छड़ (A = 200 mm², E = 200 GPa, α = 12 × 10⁻⁶ प्रति °C) और एक ऐलुमिनियम छड़ (A = 400 mm², E = 70 GPa, α = 23 × 10⁻⁶ प्रति °C), दोनों समान लंबाई की, दोनों सिरों पर कठोरता से जुड़ी हैं और बिना बाह्य भार के 50 °C एकसमान गर्म की जाती हैं। ऐलुमिनियम छड़ में प्रतिबल का परिमाण, MPa में, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
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उत्तर: 22.6
साम्य: F_st + F_al = 0; संगतता: σst/Est + αst ΔT = σal/Eal + αal ΔT। इस्पात में तनन F लेने पर F = (αal − αst)ΔT/[1/(AstEst) + 1/(AalEal)] = (11 × 10⁻⁶ × 50)/[1/(200 × 200 000) + 1/(400 × 70 000)] = 5.5 × 10⁻⁴/(2.5 × 10⁻⁸ + 3.571 × 10⁻⁸) = 9058.8 N। ऐलुमिनियम (बड़ा α) संपीडित है: σal = 9058.8/400 = 22.6 MPa (इस्पात में 45.3 MPa तनन)।
1.2 m लंबी इस्पात छड़ (E = 200 GPa, α = 12 × 10⁻⁶ प्रति °C) इस प्रकार रखी है कि उसके मुक्त सिरे व एक कठोर दीवार के बीच 0.5 mm अंतराल है, और दूसरा सिरा कठोरता से कसा है। छड़ को 80 °C एकसमान गर्म किया जाता है। दीवार को छूने के बाद छड़ में संपीडक प्रतिबल, MPa में, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
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उत्तर: 108.7
मुक्त प्रसार = αLΔT = 12 × 10⁻⁶ × 1200 × 80 = 1.152 mm। दीवार 0.5 mm के बाद छड़ को रोक देती है, अतः 1200 mm लंबाई पर 0.652 mm दबता है: σ = E × 0.652/1200 = 200 000 × 5.433 × 10⁻⁴ = 108.7 MPa। अंतराल की उपेक्षा कर पूरा 1.152 mm लेने पर 192 MPa मिलता है।
एक इस्पात छड़ दो कठोर दीवारों के बीच कसी है और ΔT से एकसमान गर्म की जाती है। यदि अनुप्रस्थ काट, पदार्थ व ΔT वही रखकर छड़ की लंबाई दुगुनी कर दी जाए, तो उसमें ऊष्मीय प्रतिबल:
1. वही रहता है, क्योंकि σ = −EαΔT में लंबाई आती ही नहीं
2. दुगुना हो जाता है, क्योंकि लंबी छड़ दुगुना प्रसार करना चाहती है
3. आधा हो जाता है, क्योंकि उतनी ही दीवार-दूरी अब अधिक पदार्थ में बँट जाती है
4. दुगुना हो जाता है, क्योंकि संपीडक बल लंबाई के समानुपाती है
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उत्तर: A — वही रहता है, क्योंकि σ = −EαΔT में लंबाई आती ही नहीं
मुक्त प्रसार αLΔT दुगुना होता है, पर जिस लंबाई पर वह दबता है वह भी दुगुनी हो जाती है, अतः विकृति αΔT, और इसलिए प्रतिबल EαΔT, अपरिवर्तित रहता है; बल EAαΔT भी अपरिवर्तित है। प्रसार का दुगुना होना भ्रामक तर्क है, पर प्रतिबल विकृति से बनता है, वृद्धि से नहीं। लंबाई तभी आती है जब अंतराल हो।
एक इस्पात खंड (E = 200 GPa, ν = 0.3) को x के अनुदिश σx = −100 MPa से दबाया जाता है, जबकि y व z के लंबवत उसके फलक कठोर पट्टिकाओं के बीच रोके हैं, जिससे εy = εz = 0। उसकी अक्षीय विकृति εx है:
1. −5.00 × 10⁻⁴, मुक्त छड़ की भाँति σx/E से
2. −4.55 × 10⁻⁴, (1 − ν²)σx/E से, जिसमें केवल एक पार्श्व दिशा रुकी है
3. −3.71 × 10⁻⁴, जिसमें σy = σz = νσx/(1 − ν) = −42.9 MPa बनते हैं
4. −2.00 × 10⁻⁴, (1 − 2ν)σx/E से
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उत्तर: C — −3.71 × 10⁻⁴, जिसमें σy = σz = νσx/(1 − ν) = −42.9 MPa बनते हैं
εy = 0 व εz = 0 रखने पर σy = σz = νσx/(1 − ν) = −42.86 MPa आता है। तब εx = [σx − ν(σy + σz)]/E = [−100 + 0.3 × 85.71]/200 000 = −3.71 × 10⁻⁴। पहला मान पार्श्व प्रतिक्रियाओं की पूरी उपेक्षा करता है, और −4.55 × 10⁻⁴ वह समतल विकृति मान है जिसमें σy = 0 है, अर्थात् केवल z फलक रुके हैं।
σY = 240 MPa पराभव सामर्थ्य की तन्य धातु शुद्ध अपरूपण में भारित है। जिस अपरूपण प्रतिबल पर पराभव आरंभ होता है, उसका पूर्वानुमान ट्रेस्का व वॉन मीज़ेस सिद्धांत क्रमशः देते हैं:
1. 138.6 MPa व 120 MPa
2. 120 MPa व 138.6 MPa
3. 120 MPa व 120 MPa
4. 240 MPa व 138.6 MPa
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उत्तर: B — 120 MPa व 138.6 MPa
शुद्ध अपरूपण में σ1 = τ, σ2 = −τ, σ3 = 0। ट्रेस्का: σ1 − σ2 = 2τ = σY से τ = σY/2 = 120 MPa। वॉन मीज़ेस: √3 τ = σY से τ = σY/√3 = 138.6 MPa। ट्रेस्का पहले पराभव बताता है, अतः अधिक रूढ़िवादी है; उलटा युग्म भ्रामक भूल है।
तन्य इस्पात का एक गोला समुद्र में गहरा पड़ा है, जिससे प्रत्येक बिंदु पर प्रतिबल जलस्थैतिक संपीडन है, σ1 = σ2 = σ3 = −p, p बड़ा। कौन-सा कथन सही है?
1. ट्रेस्का p = σY/2 पर पराभव बताता है, क्योंकि प्रत्येक तल पर अपरूपण प्रतिबल p/2 है
2. वॉन मीज़ेस p = σY पर पराभव बताता है, क्योंकि तब सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σY के बराबर होता है
3. तीनों सिद्धांत p = σY पर पराभव बताते हैं, क्योंकि प्रत्येक मुख्य प्रतिबल का परिमाण p है
4. ट्रेस्का व वॉन मीज़ेस किसी भी p पर पराभव नहीं बताते, जबकि अधिकतम मुख्य प्रतिबल सिद्धांत p = σY पर विफलता बताएगा
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उत्तर: D — ट्रेस्का व वॉन मीज़ेस किसी भी p पर पराभव नहीं बताते, जबकि अधिकतम मुख्य प्रतिबल सिद्धांत p = σY पर विफलता बताएगा
जलस्थैतिक अवस्था में सभी मुख्य-प्रतिबल अंतर लुप्त होते हैं, अतः ट्रेस्का व वॉन मीज़ेस के तुल्य प्रतिबल शून्य हैं; किसी तल पर अपरूपण प्रतिबल नहीं है। अधिकतम मुख्य प्रतिबल सिद्धांत केवल सबसे बड़े प्रतिबल का परिमाण देखता है, इसलिए p = σY पर विफलता गलत बताएगा, जो तन्य धातुओं हेतु उसके प्रयुक्त न होने का एक कारण है। प्रत्येक तल पर p/2 अपरूपण का दावा असत्य है: प्रत्येक तल पर अपरूपण शून्य है।
किसी मशीन-अवयव पर एक बिंदु समतल प्रतिबल में है, σx = 150 MPa, σy = 30 MPa व τxy = 50 MPa (तनन धनात्मक)। पदार्थ तन्य है और उसकी पराभव सामर्थ्य 400 MPa है। वॉन मीज़ेस सिद्धांत से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणांक, दो दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 2.46
σvm = √(σx² − σxσy + σy² + 3τxy²) = √(22 500 − 4 500 + 900 + 7 500) = √26 400 = 162.5 MPa। सुरक्षा गुणांक = 400/162.5 = 2.46। τxy² पर गुणक 3 भूल जाने (केवल τxy² लेने) पर 2.73 मिलता है, जो प्रचलित भूल है।
σY एकअक्षीय पराभव सामर्थ्य वाली तन्य धातु के समतल प्रतिबल पराभव-पथों के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. शुद्ध अपरूपण में ट्रेस्का सिद्धांत वॉन मीज़ेस की तुलना में पराभव अपरूपण प्रतिबल अधिक बताता है।
2. ट्रेस्का षट्भुज σ1–σ2 तल में बिंदुओं (σY, 0) व (σY, σY) पर वॉन मीज़ेस दीर्घवृत्त से मिलता है।
3. अधिकतम मुख्य प्रतिबल सिद्धांत का वर्ग पूरी तरह ट्रेस्का षट्भुज के भीतर स्थित है।
4. प्रत्येक समतल प्रतिबल अवस्था हेतु वॉन मीज़ेस तुल्य प्रतिबल ट्रेस्का तुल्य प्रतिबल से कम या उसके बराबर होता है।
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उत्तर: B — ट्रेस्का षट्भुज σ1–σ2 तल में बिंदुओं (σY, 0) व (σY, σY) पर वॉन मीज़ेस दीर्घवृत्त से मिलता है।; D — प्रत्येक समतल प्रतिबल अवस्था हेतु वॉन मीज़ेस तुल्य प्रतिबल ट्रेस्का तुल्य प्रतिबल से कम या उसके बराबर होता है।
(σY, 0) पर दोनों सिद्धांत σ1 = σY बन जाते हैं और (σY, σY) पर दोनों σY देते हैं, अतः षट्भुज के शीर्ष दीर्घवृत्त पर हैं; अन्यत्र षट्भुज भीतर है, जो σvm ≤ σTresca के समतुल्य है। शुद्ध अपरूपण में ट्रेस्का 0.5σY देता है, जो वॉन मीज़ेस के 0.577σY से कम है, अतः शुद्ध अपरूपण वाला कथन असत्य है। वर्ग षट्भुज को घेरता है (दूसरे व चौथे चतुर्थांश में वह उसके बाहर है), इसलिए वह भीतर नहीं है।
समदैशिक, रैखिक प्रत्यास्थ ठोस के प्रत्यास्थ स्थिरांकों के विषय में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. धनात्मक अपरूपण गुणांक व धनात्मक आयतन गुणांक मिलकर −1 < ν < 0.5 की माँग करते हैं।
2. ν = 0.5 वाले पदार्थ का आयतन गुणांक K = 0 होता है और वह दाब में आयतन बदलने को स्वतंत्र होता है।
3. समदैशिक अवयव का आयतन केवल माध्य प्रतिबल (σx + σy + σz)/3 बदलता है; अपरूपण प्रतिबल केवल उसकी आकृति बदलते हैं।
4. समदैशिक पदार्थ के E, G व ν तीन स्वतंत्र स्थिरांक हैं।
उत्तर देखें
उत्तर: A — धनात्मक अपरूपण गुणांक व धनात्मक आयतन गुणांक मिलकर −1 < ν < 0.5 की माँग करते हैं।; C — समदैशिक अवयव का आयतन केवल माध्य प्रतिबल (σx + σy + σz)/3 बदलता है; अपरूपण प्रतिबल केवल उसकी आकृति बदलते हैं।
G = E/[2(1 + ν)] > 0 और K = E/[3(1 − 2ν)] > 0 से −1 < ν < 0.5 की सीमाएँ निकलती हैं, और ε_v = (σx + σy + σz)(1 − 2ν)/E में केवल अभिलंब प्रतिबलों का योग है। ν = 0.5 पर आयतन गुणांक अनंत हो जाता है (असंपीड्य), शून्य नहीं। E, G, ν (या K) में केवल दो स्वतंत्र हैं क्योंकि G = E/[2(1 + ν)]।