आंतरिक प्रवाह: पाइप प्रवाह, घर्षण गुणांक व मूडी चार्ट, लघु हानियाँ, पाइप-निकाय तथा पंपन शक्ति

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

1. वृत्ताकार पाइप में पूर्ण विकसित लैमिनार प्रवाह हेतु डार्सी घर्षण गुणांक दिया जाता है

   1. 0.316/Re^(1/4) से, जो पाइप के खुरदुरेपन पर निर्भर नहीं करता
   2. Re व ε/D दोनों के फलन से, जो मूडी चार्ट से पढ़ा जाता है
   3. 16/Re से, जो मानक लैमिनार मान है
   4. 64/Re से, जो दीवार के खुरदुरेपन से स्वतंत्र है
   उत्तर देखें

   उत्तर: D — 64/Re से, जो दीवार के खुरदुरेपन से स्वतंत्र है

   बल-संतुलन व न्यूटन के नियम से f = 8τ_w/(ρV²) = 64/Re मिलता है, खुरदुरेपन पर निर्भरता के बिना। 16/Re फैनिंग गुणांक है, डार्सी मान का चौथाई, और यही भ्रामक गलत विकल्प है। 0.316/Re^(1/4) चिकने पाइप का ब्लेज़ियस विक्षुब्ध सह-संबंध है, और खुरदुरेपन-निर्भर चार्ट पाठ्यांक विक्षुब्ध प्रवाह पर लागू होता है।

2. स्थिर व्यास के सीधे पाइप में पूर्ण विकसित प्रवाह का वर्णन कौन-सा कथन करता है?

   1. वेग प्रोफ़ाइल पाइप के अनुदिश अपरिवर्तित रहती है और दाब-प्रवणता स्थिर रहती है
   2. दीवार का अपरूपण प्रतिबल पाइप के अनुदिश घटता ही जाता है
   3. अक्षीय वेग पाइप के अनुदिश बढ़ता ही जाता है
   4. पाइप के अनुदिश दाब एकसमान रहता है
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   उत्तर: A — वेग प्रोफ़ाइल पाइप के अनुदिश अपरिवर्तित रहती है और दाब-प्रवणता स्थिर रहती है

   सीमा-परतों के मिलने पर u(r) का x के साथ बदलना रुक जाता है, अतः dp/dx व दीवार का अपरूपण प्रतिबल स्थिर रहते हैं और दाब रैखिक रूप से घटता है। प्रवेश क्षेत्र में दीवार का अपरूपण व अक्षीय वेग बदलते हैं (अपरूपण घटता है, अक्षीय चाल बढ़ती है), और यही भ्रामक वर्णन है। वास्तविक तरल को दीवार के अपरूपण के विरुद्ध बहते रहने हेतु दाब घटना ही चाहिए, अतः वह कभी एकसमान नहीं होता।

3. जल एक लंबे, खुरदुरे पाइप में उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर बहता है, पूर्णतः खुरदुरी व्यवस्था में जिससे f स्थिर है। यदि प्रवाह-चाल दोगुनी कर दी जाए तो उसी लंबाई पर दाब-पात हो जाता है

   1. 2 गुना, जैसा लैमिनार प्रवाह में होता है
   2. 2.83 गुना, क्योंकि Δp, V^1.5 के समानुपाती है
   3. 4 गुना, क्योंकि f स्थिर होने पर Δp, V² के समानुपाती है
   4. 8 गुना, क्योंकि Δp, V³ के समानुपाती है
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — 4 गुना, क्योंकि f स्थिर होने पर Δp, V² के समानुपाती है

   पूर्णतः खुरदुरी व्यवस्था में f केवल ε/D पर निर्भर है, अतः Δp = f (L/D)(ρV²/2) ∝ V² और V दोगुना करने पर 4 गुना। गुणक 2 लैमिनार प्रवाह का है, जहाँ Δp ∝ V, और चिकना विक्षुब्ध पाइप लगभग 2^1.75 = 3.4 का गुणक देता है। गुणक 8 शक्ति का है, जो Q·Δp ∝ V³ के रूप में बदलती है।

4. किसी पाइप के आकस्मिक प्रसार में क्षेत्रफल-अनुपात A₂ = 3A₁ है। बोर्डा-कार्नो परिणाम से अपस्ट्रीम वेग V₁ पर आधारित हानि गुणांक (h_m = K V₁²/2g) है

   1. 0.67, जो 1 − A₁/A₂ के बराबर है
   2. 0.44, जो (1 − A₁/A₂)² के बराबर है
   3. 0.33, जो A₁/A₂ के बराबर है
   4. 1.00, जैसा जलाशय में निकास हेतु
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — 0.44, जो (1 − A₁/A₂)² के बराबर है

   V₂ = V₁/3 के साथ h_m = (V₁ − V₂)²/2g से h_m = (V₁²/2g)(1 − 1/3)², अतः K = (2/3)² = 0.444। मान 0.67 कोष्ठक का वर्ग लेना भूलने से आता है। K = 1 सीमा A₂ → ∞ की है, परिमित अनुपात की नहीं।

5. दो पाइप समान दो जलाशयों को समांतर क्रम में जोड़ते हैं। कौन-सा कथन सही है?

   1. दोनों पाइपों में प्रवाह-दर सदैव समान होती है
   2. प्रवाह-दरें जुड़ती हैं और प्रत्येक पाइप की शीर्ष-हानि समान होती है
   3. शीर्ष-हानियाँ जुड़ती हैं और प्रत्येक पाइप की प्रवाह-दर समान होती है
   4. अधिक प्रतिरोध वाला पाइप अधिक प्रवाह वहन करता है
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — प्रवाह-दरें जुड़ती हैं और प्रत्येक पाइप की शीर्ष-हानि समान होती है

   दोनों पाइप संधियों के उसी युग्म को पाटते हैं, अतः दोनों की शीर्ष-हानि समान है, और सांतत्य से कुल प्रवाह दोनों का योग है। प्रवाह समान तभी होते हैं जब पाइप सर्वसम हों। अधिक प्रतिरोध R वाला पाइप कम प्रवाह वहन करता है, क्योंकि Q = √(h/R)।

6. एक पंप किसी ऐसे पाइप से जल उठाता है जिसमें स्थैतिक शीर्ष नगण्य है और घर्षण गुणांक स्थिर रहता है। आयतन प्रवाह-दर दोगुनी कर दी जाती है। (उसी दक्षता पर) आवश्यक शाफ्ट शक्ति हो जाती है

   1. 2 गुना
   2. 4 गुना
   3. 16 गुना
   4. 8 गुना
   उत्तर देखें

   उत्तर: D — 8 गुना

   स्थैतिक शीर्ष न होने पर आवश्यक शीर्ष घर्षण हानि है, H ∝ Q²। शाफ्ट शक्ति ρgQH/η ∝ Q × Q² = Q³ है, अतः Q दोगुना करने पर शक्ति 8 गुना हो जाती है। गुणक 4 केवल शीर्ष में वृद्धि है, और 2 केवल शुद्ध स्थैतिक उत्थान हेतु होता।

7. मूडी चार्ट के दाहिने सिरे के पूर्णतः खुरदुरे क्षेत्र में घर्षण गुणांक f निर्भर करता है

   1. केवल रेनॉल्ड्स संख्या पर, जो Re बढ़ने पर घटता है
   2. Re व आपेक्षिक खुरदुरेपन ε/D दोनों पर
   3. केवल आपेक्षिक खुरदुरेपन ε/D पर
   4. किसी पर नहीं, क्योंकि सभी पाइपों हेतु f = 0.02
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — केवल आपेक्षिक खुरदुरेपन ε/D पर

   उच्च Re पर खुरदुरेपन के अवयव श्यान उपपरत से बाहर निकल आते हैं और उन पर रूप-कर्षण दीवार का अपरूपण तय करता है, अतः f, Re से स्वतंत्र होकर केवल ε/D का फलन हो जाता है (क्षैतिज वक्र)। केवल Re पर निर्भरता लैमिनार प्रवाह और चिकने पाइपों की है। f = 0.02 मात्र एक प्रतिनिधि मान है, नियम नहीं।

8. तेल एक लंबे पाइप में स्थिर आयतन प्रवाह-दर Q पर लैमिनार रूप से बहता है। पाइप को आधे व्यास वाले पाइप (समान लंबाई) से बदल दिया जाता है। दाब-पात हो जाता है

   1. 4 गुना
   2. 16 गुना
   3. 32 गुना
   4. 8 गुना
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — 16 गुना

   लैमिनार प्रवाह हेतु Δp = 128μLQ/(πD⁴) ∝ 1/D⁴, अतः D आधा करने पर Δp, 2⁴ = 16 गुना हो जाता है। गुणक 32 वह है जो पूर्णतः खुरदुरी विक्षुब्ध लाइन देती है (स्थिर f पर Δp ∝ 1/D⁵), और 4 केवल माध्य वेग की वृद्धि है (V ∝ 1/D²), जबकि Δp = 32μLV/D² में एक और 1/D² आता है।

9. जल निश्चित व्यास D के पाइप में लैमिनार रूप से बहता है, प्रवेश लंबाई L_e = 0.05 Re D से दी जाती है। यदि प्रवाह-दर दोगुनी कर दी जाए और प्रवाह लैमिनार रहे तो प्रवेश लंबाई

   1. अपरिवर्तित रहती है, क्योंकि वह केवल D पर निर्भर है
   2. आधी हो जाती है, क्योंकि तेज़ प्रवाह जल्दी विकसित होता है
   3. चार गुनी हो जाती है, क्योंकि Re दोगुना होता है और D दोगुना होता है
   4. दोगुनी हो जाती है, क्योंकि स्थिर D पर Re प्रवाह-दर के समानुपाती है
   उत्तर देखें

   उत्तर: D — दोगुनी हो जाती है, क्योंकि स्थिर D पर Re प्रवाह-दर के समानुपाती है

   स्थिर D पर Re = 4ρQ/(πμD), Q के समानुपाती है, अतः Q दोगुना करने पर Re और इसलिए L_e दोगुनी हो जाती है। जल्दी विकसित होने का विचार गलत है क्योंकि लैमिनार प्रवाह में सीमा-परत श्यान विसरण से बढ़ती है, और तेज़ धारा पाइप में फैलने से पहले अधिक दूर तक चली जाती है। इस प्रश्न में D नहीं बदलता।

10. पूर्ण विकसित पाइप प्रवाह के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. वृत्ताकार पाइप में लैमिनार प्रवाह में अक्षीय वेग माध्य वेग का दोगुना होता है
    2. क्षैतिज पाइप हेतु दीवार का अपरूपण प्रतिबल, दाब-पात से τ_w = ΔpD/(4L) द्वारा संबंधित है
    3. लैमिनार प्रवाह में दीवार के अधिक खुरदुरी होने पर घर्षण गुणांक बढ़ता है
    4. डार्सी घर्षण गुणांक, फैनिंग घर्षण गुणांक का एक-चौथाई होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — वृत्ताकार पाइप में लैमिनार प्रवाह में अक्षीय वेग माध्य वेग का दोगुना होता है; B — क्षैतिज पाइप हेतु दीवार का अपरूपण प्रतिबल, दाब-पात से τ_w = ΔpD/(4L) द्वारा संबंधित है

    परवलयाकार प्रोफ़ाइल से u_max = 2V मिलता है, और पाइप में तरल पर बल-संतुलन किसी भी व्यवस्था में τ_w = ΔpD/(4L) देता है। लैमिनार घर्षण गुणांक 64/Re की खुरदुरेपन पर निर्भरता नहीं है, और डार्सी गुणांक फैनिंग गुणांक का चार गुना है, चौथाई नहीं।

11. लघु हानियों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. लघु हानि h_m = K V²/(2g) लिखी जाती है, जहाँ K मुख्यतः फिटिंग की ज्यामिति पर निर्भर है
    2. हानि गुणांक K वाली फिटिंग KD/f लंबाई के सीधे पाइप के तुल्य है
    3. प्रत्येक पाइप-निकाय में लघु हानियों की उपेक्षा की जा सकती है क्योंकि वे परिभाषा से ही छोटी हैं
    4. बड़े जलाशय में मुक्त निकास में समस्त निकास-गतिज ऊर्जा नष्ट होती है, अतः K = 1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — लघु हानि h_m = K V²/(2g) लिखी जाती है, जहाँ K मुख्यतः फिटिंग की ज्यामिति पर निर्भर है; B — हानि गुणांक K वाली फिटिंग KD/f लंबाई के सीधे पाइप के तुल्य है; D — बड़े जलाशय में मुक्त निकास में समस्त निकास-गतिज ऊर्जा नष्ट होती है, अतः K = 1

    K V²/2g मानक रूप है, L_eq = KD/f, f L_eq/D = K से मिलता है, और शांत जलाशय में निकास-धारा अपना पूरा वेग-शीर्ष खो देती है। लघु शब्द ऐतिहासिक है: छोटी लाइन में, या लगभग बंद वाल्व के साथ, लघु हानियों का योग घर्षण हानि से अधिक हो सकता है।

12. श्रेणी व समांतर क्रम के पाइपों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. श्रेणी में प्रत्येक पाइप का दाब-पात समान होता है
    2. श्रेणी में प्रत्येक पाइप से वही प्रवाह-दर गुज़रती है और शीर्ष-हानियाँ जुड़ती हैं
    3. समांतर में, यदि शाखाओं की लंबाई समान हो तो प्रत्येक शाखा की प्रवाह-दर समान होती है
    4. समांतर में, समान घर्षण गुणांकों हेतु, शाखा की प्रवाह-दर √(D⁵/L) के समानुपाती होती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — श्रेणी में प्रत्येक पाइप से वही प्रवाह-दर गुज़रती है और शीर्ष-हानियाँ जुड़ती हैं; D — समांतर में, समान घर्षण गुणांकों हेतु, शाखा की प्रवाह-दर √(D⁵/L) के समानुपाती होती है

    श्रेणी के पाइप एक ही प्रवाह वहन करते हैं और उनकी हानियाँ जुड़ती हैं, और h_f = 8fLQ²/(π²gD⁵) से स्थिर शीर्ष पर समांतर शाखा Q ∝ √(D⁵/(fL)) वहन करती है। भिन्न आकार के श्रेणी-पाइपों के दाब-पात भिन्न होते हैं, और समान लंबाई की समांतर शाखाएँ समान प्रवाह तभी वहन करती हैं जब उनके व्यास भी समान हों।

13. 900 kg/m³ घनत्व व 0.20 Pa·s गतिक श्यानता का तेल 20 mm व्यास, 10 m लंबे क्षैतिज पाइप से 2.0 × 10⁻⁴ m³/s आयतन प्रवाह-दर पर स्थिर रूप से बहता है। प्रवाह लैमिनार व पूर्ण विकसित है। 10 m लंबाई पर दाब-पात, kPa में एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 101.9

    V = 4Q/(πD²) = 4 × 2.0 × 10⁻⁴/(π × 0.02²) = 0.6366 m/s। Re = 900 × 0.6366 × 0.02/0.20 = 57, अतः प्रवाह लैमिनार है। Δp = 128μLQ/(πD⁴) = 128 × 0.20 × 10 × 2.0 × 10⁻⁴/(π × 1.6 × 10⁻⁷) = 101,859 Pa = 101.9 kPa। यही 32μLV/D² = 32 × 0.20 × 10 × 0.6366/(4 × 10⁻⁴) से भी मिलता है।

14. जल 50 mm व्यास, 40 m लंबे पाइप से 2.0 m/s पर बहता है, डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.025। लाइन में तीक्ष्ण-किनारे का प्रवेश (K = 0.5), दो मोड़ (प्रत्येक K = 0.9), एक वाल्व (K = 10) तथा जलाशय में मुक्त निकास (K = 1.0) हैं, सभी 2.0 m/s वेग पर आधारित। g = 9.81 m/s² लें। कुल शीर्ष-हानि, मीटर में दो दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 6.79

    ΣK = 0.5 + 2 × 0.9 + 10 + 1.0 = 13.3। f L/D = 0.025 × 40/0.05 = 20। V²/2g = 4/19.62 = 0.2039 m। कुल h = (20 + 13.3) × 0.2039 = 33.3 × 0.2039 = 6.79 m। इसमें से 4.08 m घर्षण है और 2.71 m लघु हानि; फिटिंगों की तुल्य लंबाई ΣK D/f = 26.6 m है।

15. एक पंप दो खुली टंकियों के बीच, जिनके तल-स्तर 20 m भिन्न हैं, 0.040 m³/s प्रवाह-दर पर जल (ρ = 1000 kg/m³) उठाता है। पाइप का व्यास 0.15 m और लंबाई 300 m है, f = 0.020, और लघु हानियों का योग पाइप-वेग पर ΣK = 6.0 (निकास सहित) है। पंप की दक्षता 0.65 है। g = 9.81 m/s² लें और टंकी-तलों पर वेग-शीर्ष की उपेक्षा करें। पंप की शाफ्ट शक्ति, kW में एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 19.3

    V = 4 × 0.040/(π × 0.15²) = 2.264 m/s, V²/2g = 0.2611 m। h_f = 0.020 × (300/0.15) × 0.2611 = 10.45 m तथा Σh_m = 6.0 × 0.2611 = 1.57 m। H = 20 + 10.45 + 1.57 = 32.01 m। P_hyd = 1000 × 9.81 × 0.040 × 32.01 = 12.56 kW, और P_shaft = 12.56/0.65 = 19.3 kW। भाग देने के बजाय दक्षता से गुणा करने पर 8.2 kW आता है, और हानियाँ छोड़ देने पर 7.8/0.65 = 12.1 kW।

16. जल एक संधि पर 0.060 m³/s कुल प्रवाह में आता है और दो समांतर पाइपों में बँट जाता है जो आगे जाकर फिर मिलते हैं। पाइप 1 का D = 0.10 m व L = 100 m है; पाइप 2 का D = 0.20 m व L = 400 m। दोनों का घर्षण गुणांक समान है और लघु हानियों की उपेक्षा की जाती है। पाइप 2 में प्रवाह-दर, लीटर प्रति सेकंड में एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 44.3

    समान f पर समान शीर्ष-हानि से Q ∝ √(D⁵/L)। Q₂/Q₁ = √[(0.20/0.10)⁵ × (100/400)] = √(32/4) = √8 = 2.828। Q₁ + Q₂ = 60 L/s, अतः Q₂ = 60 × 2.828/3.828 = 44.3 L/s तथा Q₁ = 15.7 L/s। केवल व्यास-अनुपात 2^(5/2) = 5.66 लेने पर चार गुना लंबे पाइप की उपेक्षा हो जाती।

17. 0.080 m व्यास व 50 m लंबाई के क्षैतिज वृत्ताकार पाइप में स्थिर, पूर्ण विकसित प्रवाह में दाब-पात 12 kPa है। औसत दीवार अपरूपण प्रतिबल, Pa में एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 4.8

    क्षैतिज पाइप हेतु बल-संतुलन Δp·πD²/4 = τ_w·πDL देता है, अतः τ_w = ΔpD/(4L) = 12,000 × 0.080/(4 × 50) = 4.8 Pa। परिणाम लैमिनार व विक्षुब्ध दोनों प्रवाहों हेतु मान्य है। गुणक 4 के बिना Δp·D/L लेने पर 19.2 Pa आता।