बाह्य प्रवाह: सीमा-परत, पृथक्करण, अपकर्ष व उत्थापन

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के XE1 तरल यांत्रिकी के खंड XE1.9 का उत्तर देता है, जो नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है और जिनमें से किन्हीं दो को परीक्षार्थी परीक्षा में चुनता है। शीर्षक इस प्रकार है: “Concept of Prandtl boundary layer, Boundary layer thickness, Displacement thickness and momentum thickness. Qualitative idea of boundary layer separation, Streamlined and bluff bodies, Drag and lift forces.” इसमें सीमा-परत की अवधारणा व उसकी मोटाइयाँ, लैमिनार समतल-पट्टिका के परिणाम (संख्यात्मक नियतांक प्रश्नों में दिए जाते हैं), पृथक्करण व प्रतिकूल दाब-प्रवणता, धारारेखित व कुंद पिंड, पट्टिका, गोले व बेलन के अपकर्ष तथा अपकर्ष गुणांक, अपकर्ष संकट, और उत्थापन व स्टॉल पढ़ाए गए हैं। संख्यात्मक प्रश्न सीमा-परत की मोटाई, पट्टिका का अपकर्ष, मोटाई-समाकल, गेंद व गोले का अपकर्ष तथा स्टॉल चाल हैं।

1. प्रांडटल सीमा-परत की अवधारणा व उसकी मोटाई

उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर श्यानता का प्रभाव केवल दीवार से लगी पतली परत, अर्थात् सीमा-परत, में अनुभव होता है, जहाँ चाल दीवार पर शून्य (नो-स्लिप) से लगभग मुक्त-धारा मान U तक बढ़ती है। उसके बाहर प्रवाह अश्यान की तरह व्यवहार करता है और उसे विभव प्रवाह व बर्नूली से हल किया जा सकता है। प्रांडटल का विचार समस्या को दो भागों में बाँटता है: बाह्य प्रवाह दाब देता है, जिसे पतली परत केवल ग्रहण करती है, और परत फिर दीवार का अपरूपण व घर्षण अपकर्ष देती है। मोटाई δ पिंड की लंबाई L की तुलना में छोटी है, अतः δ/L ∼ 1/√Re_L।

सीमा-परत की मोटाई δ दीवार से वह दूरी है जिस पर u, U का 99% हो जाता है। यह एक परिपाटी है, क्योंकि परत बाह्य प्रवाह में सहज रूप से मिल जाती है। पतली परत के आर-पार दीवार के लंबवत दिशा में दाब लगभग स्थिर रहता है (∂p/∂y ≈ 0), अतः बाह्य-प्रवाह का दाब परत से अपरिवर्तित गुज़रता है। शून्य आपतन पर समतल पट्टिका में बाह्य प्रवाह एकसमान है, अतः dp/dx = 0 और U स्थिर है।

समतल पट्टिका पर सीमा-परत
अवस्थाकहाँविशेषताएँ
लैमिनारअग्रक किनारे से Re_x ≈ 5 × 10⁵ तकसहज परतें, मोटाई ∝ √x
संक्रमणRe_x ≈ 5 × 10⁵ के आसपास (खुरदुरेपन व मुक्त-धारा विक्षोभ से बदलता है)परत तेज़ी से मोटी होती है
विक्षुब्धअनुप्रवाहअधिक मोटी, भरी प्रोफ़ाइल, अधिक दीवार अपरूपण
ℹ️ Re_x बनाम Re_L
Re_x = Ux/ν अग्रक किनारे से विचाराधीन स्थान तक नापा जाता है और स्थानीय गुणों को तय करता है; Re_L पूरी पट्टिका की लंबाई लेता है और पट्टिका के औसत अपकर्ष को तय करता है। दोनों में ν = μ/ρ है, अतः वायु या जल कहने से Re में लगभग 15 गुना अंतर आ जाता है।

2. विस्थापन मोटाई व संवेग मोटाई

दो समाकल मोटाइयाँ यह नापती हैं कि परत बाह्य प्रवाह से क्या लेती है। विस्थापन मोटाई δ* = ∫₀^∞ (1 − u/U) dy वह दूरी है जिससे अश्यान प्रवाह में दीवार को बाहर खिसकाना पड़ता ताकि वही द्रव्यमान प्रवाह मिले, अतः वह आयतन प्रवाह की हानि नापती है: बाह्य धारा-रेखाएँ दीवार से δ* दूर धकेली जाती हैं। संवेग मोटाई θ = ∫₀^∞ (u/U)(1 − u/U) dy संवेग-अभिवाह की हानि नापती है: परत में खोया संवेग मोटाई θ के उस तरल-स्तर के बराबर है जो U से गतिमान हो।

ये क्यों महत्त्वपूर्ण हैं। dp/dx = 0 वाली समतल पट्टिका हेतु संवेग समाकल समीकरण दीवार का अपरूपण τ_w = ρU² dθ/dx देता है, अतः चौड़ाई b व लंबाई L की एक ओर पर अपकर्ष D = ρU² θ_L b है, जहाँ θ_L पश्च किनारे पर संवेग मोटाई है। अनुपात H = δ*/θ आकार गुणक है, जो लैमिनार समतल-पट्टिका परत हेतु लगभग 2.6 और विक्षुब्ध हेतु लगभग 1.3 से 1.4 है; परत के पृथक्करण के निकट आने पर H बढ़ता है, अतः बड़ा H पृथक् होने के निकट की परत का संकेत है।

हल किया उदाहरण। η = y/δ ≤ 1 हेतु प्रोफ़ाइल u/U = 2η − η² लें (और उसके आगे u = U)। तब δ* = δ∫(1 − 2η + η²)dη = δ(1 − 1 + 1/3) = δ/3। θ हेतु (2η − η²)(1 − η)² = 2η − 5η² + 4η³ − η⁴, जिसका समाकल 1 − 5/3 + 1 − 1/5 = 2/15 है, अतः θ = 2δ/15। δ = 15 mm हेतु δ* = 5.0 mm, θ = 2.0 mm, और H = 2.5 मिलता है। सदैव θ < δ* < δ।

3. लैमिनार समतल-पट्टिका परिणाम (ब्लेज़ियस)

शून्य आपतन पर समतल पट्टिका पर लैमिनार सीमा-परत हेतु यथातथ (ब्लेज़ियस) हल ये परिणाम देता है, जिनके नियतांक संख्यात्मक हल हैं और परीक्षा-प्रश्न उन्हें प्रश्न में बताते हैं:

Re_x = Ux/ν के साथ लैमिनार समतल-पट्टिका परिणाम
राशिपरिणाममापन
मोटाईδ = 5.0 x/√Re_xδ ∝ √x, δ ∝ 1/√U
विस्थापन व संवेगδ* = 1.72 x/√Re_x, θ = 0.664 x/√Re_xθ ≈ δ/7.5
स्थानीय त्वचा-घर्षणC_f = τ_w/(½ρU²) = 0.664/√Re_xτ_w ∝ x^(−1/2), U^(3/2)
औसत अपकर्ष गुणांक, एक ओर, लंबाई LC_D = 1.328/√Re_LD ∝ √L, U^(3/2)

दीवार का अपरूपण अग्रक किनारे पर, जहाँ परत सबसे पतली है, सर्वाधिक है और अनुप्रवाह में घटता है, किंतु कुल अपकर्ष √L के अनुसार बढ़ता रहता है। औसत गुणांक पश्च किनारे के स्थानीय मान का दुगुना है: 1.328 = 2 × 0.664। एक ओर का अपकर्ष D = ½ρU² C_D L b है। विक्षुब्ध परत हेतु (लगभग 5 × 10⁵ < Re_L < 10⁷) सामान्य अनुमान δ ≈ 0.37 x/Re_x^(1/5) और C_D ≈ 0.074/Re_L^(1/5) हैं, जो तेज़ वृद्धि (δ ∝ x^(0.8)) और अधिक अपकर्ष दर्शाते हैं।

हल किया उदाहरण। वायु (ν = 1.5 × 10⁻⁵ m²/s, ρ = 1.2 kg/m³) U = 10 m/s से पट्टिका पर: x = 0.50 m पर Re_x = 10 × 0.5/1.5 × 10⁻⁵ = 3.33 × 10⁵ (लैमिनार), अतः δ = 5.0 × 0.5/577 = 4.33 mm। U = 5 m/s से L = 1.0 m व b = 2.0 m की पट्टिका पर Re_L = 3.33 × 10⁵, C_D = 1.328/577 = 0.0023 और एक ओर D = ½ × 1.2 × 25 × 0.0023 × 2.0 = 0.069 N।

⚠️ केवल संक्रमण से पहले व शून्य दाब-प्रवणता में
संख्याएँ 5.0 व 0.664 केवल dp/dx = 0 वाली समतल पट्टिका पर लैमिनार परत हेतु हैं; पहले Re_L < लगभग 5 × 10⁵ जाँचें। चाल दुगुनी करने पर δ केवल 1/√2 गुना होता है, जबकि अपकर्ष 2^(3/2) = 2.83 गुना बढ़ता है, 4 गुना नहीं।

4. सीमा-परत पृथक्करण व प्रतिकूल दाब-प्रवणता

जहाँ बाह्य प्रवाह तेज़ होता है (dp/dx < 0, अनुकूल प्रवणता, जैसे बेलन के अगले भाग पर) दाब दीवार के निकट के तरल को आगे धकेलता है। जहाँ बाह्य प्रवाह धीमा होता है (dp/dx > 0, प्रतिकूल प्रवणता, जैसे बेलन के पिछले भाग, विसारक या एयरफ़ॉइल के चूषण-शिखर के पीछे ऊपरी सतह पर), वहाँ दीवार के निकट का तरल, जो पहले ही घर्षण से धीमा है, दाब-वृद्धि के आगे संवेग खो देता है। वह रुक जाता है, फिर उलट जाता है, और परत दीवार से पृथक् हो जाती है।

  • पृथक्करण बिंदु पर दीवार पर (∂u/∂y) शून्य होता है, अतः दीवार का अपरूपण शून्य है; उसके आगे उलटा प्रवाह व भँवरों का वेक होता है।
  • dp/dx = 0 वाली समतल पट्टिका इस प्रकार कभी पृथक् नहीं होती; पृथक्करण हेतु प्रतिकूल प्रवणता चाहिए, अतः वह वक्र या अपसारी सतहों व तीखे किनारों पर होता है।
  • विक्षुब्ध परत की प्रोफ़ाइल भरी होती है और दीवार के निकट अधिक संवेग होता है, अतः वह लैमिनार परत की तुलना में प्रतिकूल प्रवणता का अधिक देर तक सामना करती है।

पृथक्करण पिछले दाब को आदर्श प्रवाह द्वारा अनुमानित पुनःप्राप्ति के स्थान पर निम्न, लगभग एकसमान वेक दाब में बदल देता है। इसीलिए दाब अपकर्ष प्रकट होता है और वास्तविक पिंडों हेतु डी'अलेम्बर्ट विरोधाभास विफल होता है। केवल सीमा-परत का दीवार अपरूपण पृथक्करण नहीं कर सकता; दाब क्षेत्र करता है।

5. धारारेखित व कुंद पिंड, अपकर्ष तथा अपकर्ष गुणांक

अपकर्ष प्रवाह के अनुदिश बल-घटक है, F_D = ½ρU² C_D A, जहाँ A कुंद पिंडों हेतु अग्र (प्रक्षेपित) क्षेत्रफल या पट्टिका हेतु समतल क्षेत्रफल है। इसके दो भाग हैं: दीवार अपरूपण से घर्षण (त्वचा-घर्षण) अपकर्ष, और आगे व पीछे के दाब-अंतर से दाब (आकार) अपकर्ष। धारारेखित पिंड (एयरफ़ॉइल, फ़ेयरिंग, पतला दीर्घवृत्त) की आकृति ऐसी होती है कि परत लगभग पूरी सतह पर चिपकी रहती है, वेक पतला होता है, और अधिकांश अपकर्ष घर्षण होता है। कुंद पिंड (बेलन, गोला, प्रवाह के लंबवत पट्टिका) जल्दी पृथक् होता है, उसका वेक चौड़ा होता है और अधिकांश अपकर्ष दाब अपकर्ष होता है।

विशिष्ट अपकर्ष व्यवहार
स्थितिअपकर्ष गुणांकप्रमुख भाग
प्रवाह के अनुदिश समतल पट्टिका, लैमिनारC_D = 1.328/√Re_L (पट्टिका क्षेत्रफल)घर्षण
गोला, Re लगभग 10³ से 2 × 10⁵C_D ≈ 0.47 (अग्र क्षेत्रफल)दाब
चिकना बेलन, Re लगभग 10³ से 2 × 10⁵C_D ≈ 1.2 (प्रक्षेपित क्षेत्रफल)दाब
गोला, Re < 1 (रेंगता प्रवाह)F = 3πμVD, C_D = 24/Reश्यान

अपकर्ष संकट। गोले या बेलन का C_D Re की विस्तृत सीमा में लगभग स्थिर रहता है, फिर Re ≈ 3 × 10⁵ के निकट तेज़ी से गिरता है (गोले हेतु लगभग 0.47 से घटकर लगभग 0.1 से 0.2)। कारण यह है कि परत पृथक् होने से पहले विक्षुब्ध हो जाती है; उसकी भरी प्रोफ़ाइल प्रतिकूल प्रवणता का सामना करती है, अतः पृथक्करण अनुप्रवाह की ओर खिसकता है, वेक संकरा होता है, और दाब अपकर्ष घर्षण की वृद्धि से अधिक घटता है। सटीक Re सतह के खुरदुरेपन व मुक्त-धारा विक्षोभ पर निर्भर है, इसीलिए गोल्फ़ गेंद के गड्ढे उसी चाल पर अपकर्ष कम कर देते हैं।

हल किए उदाहरण। D = 0.070 m की गेंद वायु (ρ = 1.2 kg/m³) में 30 m/s पर, C_D = 0.47: A = π × 0.07²/4 = 3.85 × 10⁻³ m², अतः F = ½ × 1.2 × 900 × 0.47 × 3.85 × 10⁻³ = 0.98 N। D = 2 mm का इस्पात-मनका (ρ = 7800 kg/m³) तेल (ρ = 900 kg/m³, μ = 0.50 Pa·s) में गिरता है। सीमांत चाल पर भार घटा उत्प्लावन स्टोक्स अपकर्ष 3πμVD के बराबर है, अतः V = (ρ_s − ρ)gD²/(18μ) = 6900 × 9.81 × 4 × 10⁻⁶/9 = 0.0301 m/s, और Re = 0.11 रेंगते प्रवाह की मान्यता की पुष्टि करता है।

6. उत्थापन, उत्थापन गुणांक, एयरफ़ॉइल व स्टॉल

उत्थापन मुक्त धारा के लंबवत बल-घटक है, F_L = ½ρU² C_L A, जहाँ A पंख का समतल क्षेत्रफल है। छोटे आक्रमण कोण α पर एयरफ़ॉइल उत्थापन इसलिए देता है कि उसकी आकृति व आपतन से ऊपरी (चूषण) सतह पर प्रवाह तेज़ और निचली पर धीमा होता है, अतः ऊपर दाब कम और नीचे अधिक होता है; समतुल्यतः प्रवाह में कुल परिसंचरण होता है। आदर्श प्रवाह में पतले एयरफ़ॉइल हेतु C_L ≈ 2πα (α रेडियन में), अतः छोटे कोणों पर C_L, α के साथ रैखिक बढ़ता है, और अपकर्ष छोटा व मुख्यतः घर्षण-जनित रहता है।

स्टॉल। α बढ़ने पर अग्रक किनारे के निकट चूषण-शिखर बढ़ता है और उसके पीछे प्रतिकूल प्रवणता तीखी होती है। एक क्रांतिक कोण पर (अनेक अनुभागों हेतु लगभग 15°, आकृति व Re पर निर्भर) परत ऊपरी सतह के बड़े भाग पर पृथक् हो जाती है। तब उत्थापन घटता है, अपकर्ष तेज़ी से बढ़ता है, और एयरफ़ॉइल स्टॉल हो जाता है। अधिकतम उत्थापन गुणांक C_L,max न्यूनतम उड़ान-चाल तय करता है: समतल उड़ान में उत्थापन भार W के बराबर है, अतः स्टॉल चाल V_s = √(2W/(ρ A C_L,max)) है।

हल किया उदाहरण। W = 20,000 N, A = 16 m², C_L,max = 1.6, ρ = 1.2 kg/m³। V_s = √(2 × 20000/(1.2 × 16 × 1.6)) = √1302 = 36.1 m/s। आदर्श प्रवाह में उत्थापक पिंड पर अपकर्ष शून्य होता है; वास्तविक अपकर्ष घर्षण, पृथक्करण और, सीमित पंख हेतु, पंख-सिरे के भँवरों (प्रेरित अपकर्ष) से आता है।

⚠️ स्टॉल इंजन की चाल-सीमा नहीं है
स्टॉल उच्च आक्रमण कोण पर पृथक्करण से उत्थापन की हानि है, कम इंजन शक्ति नहीं। यदि α बहुत अधिक हो तो पंख किसी भी चाल पर स्टॉल हो सकता है, और स्टॉल चाल भार के साथ बढ़ती तथा घनत्व के साथ घटती है। F_L व F_D में क्षेत्रफल A वही होना चाहिए जिसके साथ गुणांक परिभाषित है: पंख हेतु समतल क्षेत्रफल, गोले हेतु अग्र क्षेत्रफल।

मुख्य बिंदु

  • सीमा-परत पतली श्यान परत है जहाँ u, मोटाई δ पर 0 से 0.99U तक बढ़ता है; उसके बाहर प्रवाह अश्यान है और दाब तय करता है।
  • δ* = ∫(1 − u/U)dy धारा-रेखाओं का बाह्य विस्थापन है; θ = ∫(u/U)(1 − u/U)dy संवेग हानि है, और dp/dx = 0 में एक ओर का अपकर्ष ρU²θ_L b है। सदैव θ < δ* < δ।
  • लैमिनार पट्टिका: δ = 5.0x/√Re_x, C_f = 0.664/√Re_x, C_D = 1.328/√Re_L; δ ∝ √x, अपकर्ष ∝ U^(3/2) व ∝ √L, लगभग Re ≈ 5 × 10⁵ से नीचे मान्य।
  • पृथक्करण हेतु प्रतिकूल दाब-प्रवणता चाहिए; पृथक्करण बिंदु पर दीवार का अपरूपण शून्य होता है। विक्षुब्ध परत लैमिनार से अधिक देर तक पृथक्करण का सामना करती है।
  • धारारेखित पिंडों में अधिकांशतः घर्षण अपकर्ष होता है; कुंद पिंडों में दाब अपकर्ष। F_D = ½ρU²C_D A; Re ≈ 3 × 10⁵ के निकट गोले का अपकर्ष संकट विक्षुब्ध परत द्वारा पृथक्करण में विलंब से आता है।
  • उत्थापन F_L = ½ρU²C_L A आक्रमण कोण के साथ स्टॉल तक बढ़ता है, जब ऊपरी सतह का पृथक्करण उत्थापन घटाता और अपकर्ष बढ़ाता है; स्टॉल चाल √(2W/(ρAC_L,max)) है।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर प्रांडटल की सीमा-परत अवधारणा का केंद्रीय विचार यह है कि

    1. श्यानता प्रवाह में सर्वत्र समान रूप से मायने रखती है, और वह केवल दाब क्षेत्र को बदलती है
    2. श्यान प्रभाव दीवार के निकट पतली परत तक सीमित हैं, और उसके बाहर अश्यान प्रवाह है
    3. दीवार पर वेग मुक्त-धारा वेग के बराबर होता है, अतः केवल बाह्य प्रवाह हल करना पड़ता है
    4. पतली परत के आर-पार दाब तेज़ी से बदलता है, अतः बाह्य दाब उस पर आरोपित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — श्यान प्रभाव दीवार के निकट पतली परत तक सीमित हैं, और उसके बाहर अश्यान प्रवाह है

    पतली परत सारा श्यान अपरूपण व नो-स्लिप प्रतिबंध वहन करती है, और बाह्य अश्यान प्रवाह दाब देता है। दीवार पर वेग शून्य है, U नहीं, और पतली परत के आर-पार दाब लगभग स्थिर है (∂p/∂y ≈ 0), जो अन्य कथनों के जाल हैं।

  2. परंपरागत सीमा-परत मोटाई δ दीवार से वह दूरी है जिस पर स्थानीय वेग पहुँचता है

    1. मुक्त-धारा वेग के 50% पर
    2. मुक्त-धारा वेग के 90% पर, जहाँ अपरूपण प्रतिबल लुप्त होता है
    3. ठीक मुक्त-धारा वेग पर
    4. मुक्त-धारा वेग के 99% पर
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — मुक्त-धारा वेग के 99% पर

    परिपाटी से δ वह स्थान है जहाँ u = 0.99U, क्योंकि परत बाह्य प्रवाह में अनंतस्पर्शी रूप से मिलती है और ठीक U तक कभी नहीं पहुँचती। 50% व 90% मान परिभाषा नहीं हैं, और वहाँ अपरूपण प्रतिबल छोटा होता है पर ठीक शून्य नहीं।

  3. सीमा-परत की विस्थापन मोटाई δ* निरूपित करती है

    1. परत के कारण बाह्य धारा-रेखाओं का बाहर की ओर विस्थापन
    2. दीवार से वह दूरी जिस पर वेग पहली बार U का 0.99 होता है
    3. वह दूरी जिस पर दीवार अपरूपण प्रतिबल गुज़रते तरल पर कार्य करता है
    4. परत में संवेग-अभिवाह की हानि, ρU² व इकाई चौड़ाई से विभाजित
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — परत के कारण बाह्य धारा-रेखाओं का बाहर की ओर विस्थापन

    δ* = ∫(1 − u/U)dy आयतन प्रवाह की कमी नापती है, जो दीवार को δ* बाहर खिसकाने के समतुल्य है। 99% वाली परिभाषा δ है, और संवेग हानि ÷ ρU² संवेग मोटाई θ है, जो भ्रामक उलझन है।

  4. शून्य आपतन पर समतल पट्टिका पर लैमिनार सीमा-परत बढ़ती है (ब्लेज़ियस हल, δ = 5.0x/√Re_x)। किसी स्थिर स्थान x पर मुक्त-धारा चाल दुगुनी की जाती है जबकि परत लैमिनार रहती है। मोटाई δ हो जाती है

    1. मूल की 0.5 गुना
    2. मूल की 1.41 गुना
    3. मूल की 0.71 गुना
    4. मूल की 2 गुना
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — मूल की 0.71 गुना

    δ ∝ 1/√Re_x ∝ 1/√U, अतः U दुगुना करने पर δ, 1/√2 = 0.71 से गुणित होता है। 0.5 हेतु δ ∝ 1/U चाहिए, और 1 से अधिक गुणकों का अर्थ होगा कि परत चाल के साथ मोटी होती है, जो वास्तविकता का उलटा है।

  5. चिकनी वक्र दीवार से सीमा-परत का पृथक्करण होता है

    1. जहाँ प्रवाह के अनुदिश दाब बढ़े और दीवार के निकट का तरल रुक जाए
    2. जहाँ दाब-प्रवणता अनुकूल हो और बाह्य प्रवाह तेज़ी से त्वरित हो
    3. केवल तब जब परत विक्षुब्ध हो, क्योंकि भँवर दीवार से संवेग दूर ले जाते हैं
    4. उस बिंदु पर जहाँ दीवार का अपरूपण प्रतिबल सर्वाधिक हो, जो अग्रक किनारे के निकट होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — जहाँ प्रवाह के अनुदिश दाब बढ़े और दीवार के निकट का तरल रुक जाए

    प्रवाह के अनुदिश बढ़ता दाब धीमे निकट-दीवार तरल का संवेग तब तक हर लेता है जब तक वह रुक न जाए (दीवार पर ∂u/∂y = 0) और उलट न जाए। अनुकूल प्रवणता परत को चिपकाए रखती है, और विक्षोभ पृथक्करण को देर से करता है, उत्पन्न नहीं। पृथक्करण पर दीवार अपरूपण शून्य होता है, सर्वाधिक नहीं।

  6. उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर, भली-भाँति बने धारारेखित पिंड का कुल अपकर्ष मुख्यतः बना होता है

    1. दाब (आकार) अपकर्ष से, क्योंकि वेक चौड़ा होता है
    2. तरंग अपकर्ष से, क्योंकि पिंड लंबा होता है
    3. घर्षण अपकर्ष से, क्योंकि परत चिपकी रहती है और वेक पतला होता है
    4. प्रेरित अपकर्ष से, क्योंकि पिंड सममित होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — घर्षण अपकर्ष से, क्योंकि परत चिपकी रहती है और वेक पतला होता है

    धारारेखण पृथक्करण में विलंब करता है, अतः वेक व दाब अपकर्ष छोटे रहते हैं और त्वचा-घर्षण मुख्य भाग रहता है। चौड़े वेक व दाब-प्रधान अपकर्ष कुंद पिंडों के हैं। तरंग व प्रेरित अपकर्ष भिन्न क्रियाविधियाँ हैं, जो लंबाई या सममिति से तय नहीं होतीं।

  7. चिकने गोले का अपकर्ष गुणांक Re ≈ 3 × 10⁵ के निकट तेज़ी से घटता है (अपकर्ष संकट)। मुख्य कारण यह है कि

    1. परत विक्षुब्ध होते ही अगले अर्धभाग पर त्वचा-घर्षण शून्य हो जाता है
    2. गोला ध्वनि की चाल के निकट पहुँचने पर प्रवाह संपीड्य हो जाता है
    3. प्रवाह अश्यान हो जाता है क्योंकि उच्च Re पर वायु की श्यानता घट जाती है
    4. परत विक्षुब्ध हो जाती है और पृथक्करण अनुप्रवाह की ओर खिसकता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — परत विक्षुब्ध हो जाती है और पृथक्करण अनुप्रवाह की ओर खिसकता है

    विक्षुब्ध परत में दीवार के निकट अधिक संवेग होता है और वह अधिक देर चिपकी रहती है, अतः वेक सिकुड़ता है और दाब अपकर्ष घर्षण की वृद्धि से अधिक घटता है। घर्षण लुप्त नहीं होता, संबंधित चालें कम हैं अतः संपीड्यता अप्रासंगिक है, और प्रवाह निश्चय ही अश्यान नहीं है।

  8. dp/dx = 0 वाली समतल पट्टिका पर लैमिनार सीमा-परत हेतु पट्टिका-औसत अपकर्ष गुणांक C_D (एक ओर) की तुलना पश्च किनारे के स्थानीय त्वचा-घर्षण गुणांक C_f से की जाती है। C_D है

    1. C_f के बराबर, क्योंकि पट्टिका एकसमान है
    2. C_f का आधा, क्योंकि अपरूपण अनुप्रवाह में घटता है
    3. C_f का दुगुना, क्योंकि अपरूपण ऊपरी ओर अधिक है
    4. C_f का चार गुना, क्योंकि अपकर्ष लंबाई के वर्ग से बढ़ता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — C_f का दुगुना, क्योंकि अपरूपण ऊपरी ओर अधिक है

    पश्च किनारे पर C_f = 0.664/√Re_L है और औसत C_D = 1.328/√Re_L है, ठीक दुगुना, क्योंकि अपरूपण अग्रक किनारे के निकट सर्वाधिक है और ∫x^(−1/2)dx/L का औसत 2L^(1/2)/L देता है। अपकर्ष √L के अनुसार बढ़ता है, L² के नहीं, और अपरूपण एकसमान नहीं है।

  9. समतल उड़ान में एक वायुयान का भार W = 20,000 N है, पंख का समतल क्षेत्रफल 16 m² और अधिकतम उत्थापन गुणांक 1.6 है। वायु का घनत्व 1.2 kg/m³ लें। स्टॉल चाल, m/s में, लगभग है

    1. 36.1
    2. 25.5
    3. 51.0
    4. 72.2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 36.1

    स्टॉल पर L = W = ½ρV²AC_L,max, अतः V = √(2W/(ρAC_L,max)) = √(40000/30.72) = 36.1 m/s। गुणक 2 छोड़ने पर 25.5 m/s मिलता है, और मान 51.0 व 72.2 उपर्युक्त दोनों परिणामों के 2 गुना हैं, जो किसी संगत चरण से नहीं आते।

  10. एक पतला एयरफ़ॉइल स्थिर धारा में बढ़ते आक्रमण कोण पर रखा गया है। स्टॉल कोण के बाद

    1. उत्थापन गुणांक उसी सीधी रेखा पर बढ़ता रहता है, और अपकर्ष छोटा बना रहता है
    2. प्रवाह ऊपरी सतह के बड़े भाग पर पृथक् हो जाता है, उत्थापन घटता है और अपकर्ष बढ़ता है
    3. प्रवाह सर्वत्र अघूर्णी हो जाता है और उत्थापन तब केवल परिसंचरण से स्थिर हो जाता है
    4. अपकर्ष घटता है क्योंकि परिच्छेद का अग्र क्षेत्रफल घटता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — प्रवाह ऊपरी सतह के बड़े भाग पर पृथक् हो जाता है, उत्थापन घटता है और अपकर्ष बढ़ता है

    स्टॉल ऊपरी सतह पर बड़े पैमाने के पृथक्करण से उत्थापन की हानि है। उत्थापन रैखिक प्रवृत्ति पर आगे नहीं चलता, और अपकर्ष बढ़ता है, क्योंकि अब वेक चौड़ा है और दाब अपकर्ष प्रधान है। प्रवाह आदर्श नहीं हो जाता, और अग्र क्षेत्रफल वास्तव में α के साथ बढ़ता है।

  11. व्यास 0.070 m की गेंद घनत्व 1.2 kg/m³ की वायु में 30 m/s से गति करती है, अग्र क्षेत्रफल पर आधारित C_D = 0.47। अपकर्ष बल लगभग है

    1. 0.49 N
    2. 1.95 N
    3. 3.9 N
    4. 0.98 N
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 0.98 N

    F = ½ρV²C_D A, जहाँ A = π × 0.07²/4 = 3.85 × 10⁻³ m²: F = 0.5 × 1.2 × 900 × 0.47 × 3.85 × 10⁻³ = 0.98 N। A हेतु व्यास का वर्ग (0.0049 m²) लेने पर 1.24 N मिलता है, जो विकल्प नहीं है, और गुणक ½ छोड़ने पर 1.95 N मिलता है।

  12. विस्थापन व संवेग मोटाइयों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. δ* = ∫₀^∞ (1 − u/U) dy बाह्य धारा-रेखाओं का बाह्य विस्थापन नापती है
    2. dp/dx = 0 वाली समतल पट्टिका हेतु एक ओर प्रति इकाई चौड़ाई अपकर्ष पश्च किनारे पर ρU²θ के बराबर है
    3. विस्थापन मोटाई सदैव δ से बड़ी होती है
    4. संवेग मोटाई सदैव विस्थापन मोटाई से बड़ी होती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — δ* = ∫₀^∞ (1 − u/U) dy बाह्य धारा-रेखाओं का बाह्य विस्थापन नापती है; B — dp/dx = 0 वाली समतल पट्टिका हेतु एक ओर प्रति इकाई चौड़ाई अपकर्ष पश्च किनारे पर ρU²θ के बराबर है

    δ* धारा-रेखा विस्थापन है, और dp/dx = 0 के साथ संवेग समाकल प्रति ओर D = ρU²θb देता है। चूँकि u/U ≤ 1, (u/U)(1 − u/U), (1 − u/U) से छोटा है, अतः θ < δ, और δ < δ क्योंकि δ के बाहर समाकल्य लुप्त है। दोनों 'सदैव बड़ी' वाले कथन उलटे हैं।

  13. सीमा-परत पृथक्करण के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. यह प्रतिकूल दाब-प्रवणता के क्षेत्र में होता है
    2. dp/dx = 0 वाली समतल पट्टिका पर लैमिनार परत तब पृथक् होती है जब पट्टिका पर्याप्त लंबी हो
    3. विक्षुब्ध परत लैमिनार परत से बेहतर पृथक्करण का प्रतिरोध करती है
    4. पृथक्करण बिंदु पर दीवार का अपरूपण प्रतिबल शून्य होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यह प्रतिकूल दाब-प्रवणता के क्षेत्र में होता है; C — विक्षुब्ध परत लैमिनार परत से बेहतर पृथक्करण का प्रतिरोध करती है; D — पृथक्करण बिंदु पर दीवार का अपरूपण प्रतिबल शून्य होता है

    पृथक्करण हेतु dp/dx > 0 चाहिए, उसके साथ दीवार पर ∂u/∂y = 0 होता है, और विक्षुब्ध परत की भरी प्रोफ़ाइल उसे विलंबित करती है। dp/dx = 0 वाली समतल पट्टिका में प्रतिकूल प्रवणता नहीं होती, अतः परत केवल विक्षुब्ध होकर मोटी होती है, स्वयं कभी पृथक् नहीं होती।

  14. अपकर्ष के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर कुंद पिंड हेतु दाब अपकर्ष प्रायः घर्षण अपकर्ष से अधिक होता है
    2. धारारेखण मुख्यतः पृथक्करण को विलंबित कर और वेक को सिकोड़कर अपकर्ष घटाता है
    3. C_D = F_D/(½ρU²A) विमाहीन है, जहाँ A इसकी परिभाषा में प्रयुक्त संदर्भ क्षेत्रफल है
    4. गोले का अपकर्ष गुणांक सभी रेनॉल्ड्स संख्याओं पर 0.47 होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर कुंद पिंड हेतु दाब अपकर्ष प्रायः घर्षण अपकर्ष से अधिक होता है; B — धारारेखण मुख्यतः पृथक्करण को विलंबित कर और वेक को सिकोड़कर अपकर्ष घटाता है; C — C_D = F_D/(½ρU²A) विमाहीन है, जहाँ A इसकी परिभाषा में प्रयुक्त संदर्भ क्षेत्रफल है

    कुंद पिंड जल्दी पृथक् होता है, अतः वेक का दाब-घाटा प्रधान है; धारारेखण प्रवाह को चिपकाता है; और C_D बलों का अनुपात है। 0.47 मान केवल Re की एक सीमा (लगभग 10³ से 2 × 10⁵) में सही है और अपकर्ष संकट में गिरता तथा निम्न Re पर बढ़ता है, जहाँ Re < 1 पर C_D = 24/Re है।

  15. वायु (शुद्धगतिक श्यानता 1.5 × 10⁻⁵ m²/s) शून्य आपतन पर समतल पट्टिका के ऊपर 10 m/s से बहती है। लैमिनार परिणाम δ = 5.0 x/√Re_x लें। x = 0.50 m पर सीमा-परत की मोटाई, मिलीमीटर में दो दशमलव स्थानों तक, है ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4.33

    Re_x = Ux/ν = 10 × 0.50/1.5 × 10⁻⁵ = 3.333 × 10⁵ < 5 × 10⁵, अतः परत लैमिनार है। √Re_x = 577.35, अतः δ = 5.0 × 0.50/577.35 = 4.330 × 10⁻³ m = 4.33 mm। वर्गमूल भूलने पर 7.5 μm मिलता है, जो अवास्तविक रूप से पतली परत है।

  16. लंबाई 1.0 m (प्रवाह दिशा में) व चौड़ाई 2.0 m की समतल पट्टिका वायु (ρ = 1.2 kg/m³, ν = 1.5 × 10⁻⁵ m²/s) में शून्य आपतन पर 5.0 m/s से रखी है। परत लैमिनार है, पट्टिका क्षेत्रफल पर आधारित पट्टिका-औसत C_D = 1.328/√Re_L। एक ओर का घर्षण अपकर्ष, मिलीन्यूटन में एक दशमलव स्थान तक, है ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 69.0

    Re_L = 5.0 × 1.0/1.5 × 10⁻⁵ = 3.333 × 10⁵ (लैमिनार), अतः C_D = 1.328/577.35 = 2.300 × 10⁻³। D = ½ρU²C_D(Lb) = 0.5 × 1.2 × 25 × 2.300 × 10⁻³ × 2.0 = 0.0690 N = 69.0 mN। दोनों ओर का बल 138.0 mN होता।

  17. δ = 15 mm मोटाई की सीमा-परत की वेग प्रोफ़ाइल u/U = 2η − η² है, जहाँ y ≤ δ हेतु η = y/δ और y > δ हेतु u = U। संवेग मोटाई θ = ∫₀^δ (u/U)(1 − u/U) dy, मिलीमीटर में एक दशमलव स्थान तक, है ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.0

    θ = δ∫₀¹(2η − η²)(1 − η)² dη। समाकल्य 2η − 5η² + 4η³ − η⁴ में फैलता है, जिसका समाकल 1 − 5/3 + 1 − 1/5 = 2/15 है। अतः θ = 15 mm × 2/15 = 2.0 mm। केवल (1 − u/U) लेने पर δ* = δ/3 = 5.0 mm मिलता।

  18. इस्पात का मनका (व्यास 2.0 mm, घनत्व 7800 kg/m³) तेल (घनत्व 900 kg/m³, गतिक श्यानता 0.50 Pa·s) में स्थिर रूप से गिरता है। रेंगता प्रवाह मानें, स्टोक्स अपकर्ष F = 3πμVD और g = 9.81 m/s²। सीमांत चाल, mm/s में एक दशमलव स्थान तक, है ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 30.1

    सीमांत चाल पर (ρ_s − ρ)g(πD³/6) = 3πμVD, अतः V = (ρ_s − ρ)gD²/(18μ) = 6900 × 9.81 × (0.002)²/(18 × 0.50) = 0.030084 m/s = 30.1 mm/s। जाँच: Re = 900 × 0.0301 × 0.002/0.5 = 0.11 < 1, अतः स्टोक्स अपकर्ष मान्य है। उत्प्लावन छोड़ने (7800 लेने) पर 34.0 mm/s मिलता।