In the Reynolds Transport Theorem for a fixed control volume, the surface integral ∫_CS ρ b (V · n) dA represents:

the net rate at which the property is carried out across the control surface (outflow minus inflow)

the rate at which the property accumulates, that is, is stored, inside the control volume itself

the net rate at which the property is carried out across the control surface (outflow minus inflow)

the rate at which the property is created by internal sources and sinks within the control volume

the rate at which the control surface is displaced relative to the fluid particles it encloses

Which of the following statements about a system, a control volume and the Reynolds Transport Theorem are correct?

A system always contains the same fluid particles, whereas the fluid inside a control volume is replaced as flow crosses its surface

The theorem converts laws written for a system, such as conservation of mass and Newton’s second law, into statements about a control volume

A system always contains the same fluid particles, whereas the fluid inside a control volume is replaced as flow crosses its surface

The theorem converts laws written for a system, such as conservation of mass and Newton’s second law, into statements about a control volume

In steady flow the theorem shows that every extensive property of the system stays constant in time

The theorem can be used for linear momentum but not for energy, because energy has no per-unit-mass form

A control volume moves at a constant velocity of 4 m/s along +x. Water (density 1000 kg/m³) moves at 10 m/s along +x, measured in the ground frame, and crosses a 0.01 m² inlet face of the control volume that is normal to x. The mass flow rate into the control volume is:

60 kg/s, using the velocity of the water relative to the control surface

100 kg/s, using the ground-frame velocity of the water

140 kg/s, adding the water velocity and the control volume velocity

60 kg/s, using the velocity of the water relative to the control surface

40 kg/s, using only the velocity of the control volume itself

Air flows steadily through a duct whose cross-section area and the air density both change along its length. Which quantity has the same value at every cross-section?

the volume flow rate V A at the section

the average velocity V over the section

the mass flux ρ V per unit area at the section

Fully developed laminar flow in a circular pipe has the profile u = 2V (1 − r²/R²), where V is the average velocity. The momentum flux through a section is written as β ρ A V². The momentum-flux correction factor β is:

4/3, because ∫u² dA = (4/3) V² A for this parabola

1, because the average velocity already accounts for the profile

4/3, because ∫u² dA = (4/3) V² A for this parabola

3/2, because the centreline velocity is 3/2 of the average

2, because the centreline velocity is twice the average

A steady water flow passes through a horizontal pipe bend, and the momentum equation is applied to a control volume enclosing the water in the bend. Which statements are correct?

Gauge pressures can be used on every port, because a uniform atmospheric pressure acting over a closed surface has zero resultant force

The force of the water on the bend is equal in magnitude and opposite in direction to the force of the bend on the water

The force can be found from the port velocities and pressures alone, without knowing the energy loss inside the bend

Gauge pressures can be used on every port, because a uniform atmospheric pressure acting over a closed surface has zero resultant force

The force of the water on the bend is equal in magnitude and opposite in direction to the force of the bend on the water

The force can be found from the port velocities and pressures alone, without knowing the energy loss inside the bend

The force depends only on the change of velocity, so the same bend at a much higher line pressure carries the same load

Two identical water jets (same density, area and speed) strike two fixed surfaces. One surface is a flat plate normal to the jet, which spreads the water sideways. The other is a smooth cup that turns the jet through 180° and returns it parallel to the incident jet. In both cases the water speed relative to the surface is unchanged and gravity is ignored. The ratio of the force on the cup to the force on the plate is:

2, because the jet loses all its momentum on the plate but reverses its momentum in the cup

0.5, because the cup only turns the flow gently and so gives less force than the flat plate

1, because the jet mass flow rate and the jet speed are the same for both surfaces

2, because the jet loses all its momentum on the plate but reverses its momentum in the cup

4, because the reversal of the jet squares the effect found for the plate

A rocket motor ejects 30 kg/s of exhaust at 2000 m/s relative to the rocket, through an exit of area 0.1 m², at an absolute exit pressure of 150 kPa. The ambient absolute pressure is 100 kPa. The thrust is:

65 kN, the momentum thrust plus the pressure thrust

60 kN, the momentum thrust alone

75 kN, adding the full absolute exit pressure force

65 kN, the momentum thrust plus the pressure thrust

55 kN, subtracting the pressure thrust from the momentum thrust

Which of the following statements about thrust and rocket motion are correct?

When the exit pressure differs from the ambient pressure, the thrust contains an additional term (p_{e} − p_{a})A_{e} on top of ṁV_{e}

In gravity-free vacuum with constant exhaust speed relative to the rocket, the gain in speed depends on that exhaust speed and on the ratio of initial to final mass, not on how fast the propellant is burnt

When the exit pressure differs from the ambient pressure, the thrust contains an additional term (p_{e} − p_{a})A_{e} on top of ṁV_{e}

In the frame of an accelerating control volume the inertial term may be dropped provided all velocities are measured relative to the control volume

A rocket produces thrust only by pushing its exhaust against the surrounding air, so it cannot operate in vacuum

In gravity-free vacuum with constant exhaust speed relative to the rocket, the gain in speed depends on that exhaust speed and on the ratio of initial to final mass, not on how fast the propellant is burnt

नियंत्रण आयतन का समाकल विश्लेषण: रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय, द्रव्यमान व रैखिक संवेग

यह अध्याय XE1 तरल यांत्रिकी (Fluid Mechanics) के खंड XE1.4 का उत्तर देता है, जो अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है; परीक्षा में अभ्यर्थी इनमें से कोई दो चुनता है: “द्रव्यमान एवं रैखिक संवेग के संरक्षण हेतु रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय (RTT)।” यह निकाय (system) व नियंत्रण आयतन (control volume) का अंतर, रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय व उससे द्रव्यमान तथा रैखिक संवेग समीकरणों की प्राप्ति, स्थायी व अस्थायी प्रवाह हेतु सांतत्य (द्रव्यमान प्रवाह, आयतन प्रवाह, औसत वेग) तथा स्थिर, गतिमान व त्वरित नियंत्रण आयतनों हेतु संवेग समीकरण पढ़ाता है। यह भी बताता है कि ऊर्जा समीकरण कहाँ काम आता है (बर्नूली समीकरण स्वयं खंड XE1.5 का है)। संख्यात्मक प्रश्न टंकी का भरना व खाली होना, प्रोफ़ाइल से औसत वेग, पाइप-मोड़, नोज़ल व आकस्मिक प्रसार पर बल, प्लेट व वेन पर जेट, तथा रॉकेट का प्रणोद व वेग हैं।

1. निकाय, नियंत्रण आयतन व रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय

निकाय (system) पदार्थ की एक अचल पहचान है: वही तरल कण, चाहे वे जैसे भी चलें या विकृत हों, और उसकी सीमा से कोई द्रव्यमान पार नहीं होता। नियंत्रण आयतन (CV) विश्लेषक द्वारा चुना गया अंतरिक्ष का वह क्षेत्र है जो नियंत्रण पृष्ठ (CS) से घिरा है और जिससे होकर तरल पार हो सकता है। मूल नियम (द्रव्यमान संरक्षित है, F = d(mV)/dt, ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम) निकाय हेतु कहे गए हैं, पर पाइप, पंप या नोज़ल में हम कणों का पीछा नहीं कर सकते; केवल यह देख सकते हैं कि स्थिर सीमाओं से क्या पार होता है। रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय निकाय के कथन को नियंत्रण आयतन के कथन में बदलता है।

माना B तरल का कोई व्यापक (extensive) गुण है (द्रव्यमान, संवेग, ऊर्जा) और b = B प्रति इकाई द्रव्यमान उसका गहन (intensive) रूप है। अंतरिक्ष में स्थिर CV हेतु:
dB_sys/dt = (d/dt) ∫_CV ρ b dV + ∫_CS ρ b (V · n) dA
पहला पद संचयन है: CV के भीतर B के जमा होने की दर (स्थायी प्रवाह में शून्य)। दूसरा नेट बहिर्वाह है: CS से बाहर ले जाया गया B घटा भीतर लाया गया B, जहाँ n बाहर की ओर इकाई अभिलंब है, अतः निर्गम फलकों पर V · n > 0 और निवेश फलकों पर < 0। अचल वेग से गतिमान CV में फ्लक्स-पद का V, नियंत्रण पृष्ठ के सापेक्ष वेग V_r = V − V_cv से बदल जाता है।

एक ही प्रमेय, b के तीन चयन
नियम	B	b	CV हेतु परिणाम
द्रव्यमान	m	1	0 = d/dt ∫ρ dV + ∫ρ V · n dA
रैखिक संवेग	mV	V	ΣF = d/dt ∫ρ V dV + ∫ρ V (V · n) dA
ऊर्जा	E	e	ऊर्जा समीकरण (CV हेतु प्रथम नियम)

ℹ️ ऊर्जा समीकरण कहाँ प्रयुक्त होता है

द्रव्यमान व संवेग संतुलन दीवारों के बल को जाने बिना प्रवाह के अनुदिश दाब-परिवर्तन नहीं दे सकते। यह छूटा हुआ संबंध ऊर्जा समीकरण (b = e) देता है। धारा-रेखा के अनुदिश स्थायी, असंपीड्य, घर्षणरहित प्रवाह में यह बर्नूली समीकरण में बदल जाता है, जो खंड XE1.5 है; पंप-कार्य व शीर्ष-हानि सहित यह आंतरिक प्रवाहों का ऊर्जा समीकरण है। इस अध्याय में जब किसी संख्यात्मक प्रश्न को उससे मिलने वाला दाब चाहिए, तो प्रश्न-कथन वह दाब स्वयं देता है।

2. द्रव्यमान संरक्षण: सांतत्य, द्रव्यमान प्रवाह, आयतन प्रवाह व औसत वेग

B = m व b = 1 लेने पर निकाय के लिए dm/dt = 0, अतः 0 = (d/dt) ∫_CV ρ dV + ∫_CS ρ V · n dA। जिन द्वारों पर वेग व घनत्व एकसमान हैं, वहाँ फ्लक्स द्रव्यमान प्रवाह-दर ṁ = ρ V A (kg/s) है, और आयतन प्रवाह-दर Q = V A (m³/s)। यदि वेग काट पर बदलता है तो V का अर्थ औसत वेग V_avg = (1/A) ∫ u dA = Q/A है। स्थायी प्रवाह में Σṁ_in = Σṁ_out। असंपीड्य तरल व स्थिर आयतन के CV हेतु यह ΣQ_in = ΣQ_out हो जाता है, प्रवाह अस्थायी हो तब भी।

प्रोफ़ाइल से औसत वेग। लैमिनार पाइप प्रवाह u = u_max (1 − r²/R²) हेतु Q = ∫₀ᴿ u_max (1 − r²/R²) 2πr dr = u_max · 2π (R²/2 − R²/4) = u_max πR²/2, अतः V_avg = u_max/2। विक्षुब्ध घात-नियम u = u_max (1 − r/R)^(1/n) हेतु वही समाकल V_avg/u_max = 2n²/[(n + 1)(2n + 1)] देता है, जो n = 7 पर 0.817 है। प्रोफ़ाइल का समाकलन करें तो वह द्रव्यमान-प्रवाह में भूल नहीं कराती; भूल तब होती है जब केंद्र-रेखा वेग को क्षेत्रफल से गुणा कर दिया जाए।

अस्थायी प्रवाह। टंकी हेतु (d/dt)(ρ Vol) = ṁ_in − ṁ_out। स्थिर घनत्व व क्षैतिज क्षेत्रफल A_t हो तो A_t dh/dt = Q_in − Q_out। हल-पंक्ति: A_t = 1.5 m², Q_in = 0.012 m³/s, Q_out = 0.005 m³/s से dh/dt = 0.007/1.5 = 4.67 × 10⁻³ m/s। दृढ़ गैस-टंकी (आयतन Vol) हेतु Vol dρ/dt = ṁ_in − ṁ_out, अतः 2 m³ की टंकी को बिना निर्गम के 0.5 kg/s से भरें तो घनत्व 0.25 kg/m³ प्रति सेकंड बढ़ता है।

⚠️ संपीड्य प्रवाह में ṁ संरक्षित है, Q या V नहीं

परिवर्तनशील क्षेत्रफल की नलिका में गैस के स्थायी प्रवाह में ρ₁A₁V₁ = ρ₂A₂V₂। क्षेत्रफल आधा करने पर वेग तभी दोगुना होता है जब घनत्व स्थिर हो। आयतन प्रवाह का प्रयोग केवल द्रवों हेतु या निम्न मैक संख्या (लगभग 0.3 से नीचे) की गैसों हेतु करें।

3. स्थिर नियंत्रण आयतन हेतु रैखिक संवेग समीकरण

B = mV व b = V लेने पर निकाय हेतु न्यूटन का दूसरा नियम ΣF = (d/dt) ∫_CV ρ V dV + ∫_CS ρ V (V · n) dA बन जाता है, जो जड़त्वीय निर्देश-तंत्र में लिखा सदिश समीकरण है। ΣF, CV के तरल पर कुल बल है: पृष्ठ बल (दाब, अपरूपण, ठोस दीवारों की प्रतिक्रिया) तथा पिंड बल (भार)। एकसमान द्वारों वाले स्थायी प्रवाह में यह ΣF = Σṁ_out V_out − Σṁ_in V_in हो जाता है: बल, संवेग के नेट बहिर्वाह-दर के बराबर, घटक-दर-घटक, चिह्न चुने गए अक्षों से तय।

CV खींचें ताकि उसके निवेश व निर्गम तल वहाँ प्रवाह को काटें जहाँ दाब व वेग ज्ञात हों, और ध्यान रखें कि अज्ञात दीवार-बल R ठोस द्वारा तरल पर लगा बल है।
हर जगह गेज दाब लें। बंद पृष्ठ पर एकसमान वायुमंडलीय दाब का परिणामी बल शून्य होता है, अतः केवल गेज दाब नेट बल बनाता है। किसी द्वार पर दाब-बल pA है, जो CV के भीतर की ओर लगता है।
प्रत्येक घटक लिखें, फिर R का चिह्न उलट दें: तरल द्वारा आधार पर लगा बल −R है (न्यूटन का तीसरा नियम)।

संवेग-फ्लक्स सुधार गुणांक। किसी काट से यथार्थ फ्लक्स ∫ρ u² dA है। इसे β ρ A V² लिखने पर β = (1/(A V²)) ∫ u² dA परिभाषित होता है। एकसमान प्रोफ़ाइल हेतु β = 1; लैमिनार पाइप प्रवाह u = 2V (1 − r²/R²) हेतु समाकल ∫u² dA = 4V² · 2πR²/6 = (4/3) V² πR² देता है, अतः β = 4/3। विक्षुब्ध प्रोफ़ाइल चपटी होती है और β केवल 1 से थोड़ा ऊपर रहता है, अतः जब तक प्रश्न प्रोफ़ाइल या गुणांक न दे, β = 1 लें।

हल उदाहरण: घटता मोड़। पानी (ρ = 1000 kg/m³) Q = 0.2 m³/s से क्षैतिज 90° घटते मोड़ से बहता है; निवेश 0.30 m (प्रवाह +x के अनुदिश), निर्गम 0.15 m (प्रवाह +y के अनुदिश)। गेज दाब p₁ = 150 kPa व p₂ = 90 kPa हैं। A₁ = 0.07069 m², A₂ = 0.01767 m², V₁ = 2.829 m/s, V₂ = 11.318 m/s, ṁ = 200 kg/s।
x: p₁A₁ + R_x = ṁ(0 − V₁), अतः R_x = −10,603 − 566 = −11,169 N।
y: R_y − p₂A₂ = ṁ(V₂ − 0), अतः R_y = 1,590 + 2,264 = +3,854 N।
पानी मोड़ पर (+11,169, −3,854) N बल लगाता है, परिमाण 11.8 kN। ध्यान दें कि बड़ा भाग दाब-बल का है, संवेग-परिवर्तन का नहीं।

4. प्लेट व वेन पर जेट; गतिमान नियंत्रण आयतन

मुक्त जेट चारों ओर वायुमंडलीय दाब पर होता है, अतः चिकने (घर्षणरहित) पृष्ठ पर उसकी पृष्ठ-सापेक्ष चाल अपरिवर्तित रहती है (खंड XE1.5 के बर्नूली समीकरण का परिणाम) और केवल दिशा बदलती है। तब पृष्ठ पर बल, ṁ गुणा वेग-घटक का परिवर्तन है। जेट का क्षेत्रफल A, चाल V, घनत्व ρ, और प्लेट या वेन की जेट के अनुदिश चाल u लें।

जेट बल, घर्षणरहित व गुरुत्व उपेक्षित
स्थिति	जेट की दिशा में बल
जेट के अभिलंब स्थिर समतल प्लेट	ρAV²
जेट से θ कोण पर स्थिर चिकनी प्लेट	अभिलंब बल ρAV² sin θ; जेट के अनुदिश घटक ρAV² sin²θ
जेट को δ से मोड़ने वाली स्थिर वेन	ρAV² (1 − cos δ); 180° कप हेतु 2ρAV²
u से दूर हटती एकल प्लेट	ρA (V − u)²
प्लेटों या वेनों की श्रेणी (पूरा जेट रुकता है)	समतल प्लेटों हेतु ρAV (V − u); वेनों हेतु ρAV (V − u)(1 − cos δ)

अचल वेग से गतिमान CV। CV को प्लेट से जोड़ें और सापेक्ष वेग लें: जेट V − u से पहुँचता है, अतः एकल हटती प्लेट तक प्रति सेकंड पहुँचने वाला द्रव्यमान ρA(V − u) है, ρAV नहीं, और F = ρA(V − u)²। अनेक वेनों वाले चक्र में नई वेनें आती रहती हैं और पूरा जेट-प्रवाह ρAV अंततः रुकता है, अतः सापेक्ष चाल V − u, ρAV से गुणा होती है। शक्ति F · u है। एकल प्लेट हेतु P = ρA(V − u)² u का अधिकतम u = V/3 पर है। 180° वेनों की श्रेणी हेतु F = 2ρAV(V − u) और P का अधिकतम u = V/2 पर है, जहाँ P = ½ρAV³ जेट के पूरे गतिज ऊर्जा फ्लक्स के बराबर है।

हल उदाहरण। 50 mm व्यास व 20 m/s चाल का पानी का जेट (A = 1.963 × 10⁻³ m²) स्थिर अभिलंब प्लेट पर टकराता है: F = 1000 × 1.963 × 10⁻³ × 20² = 785 N। यदि प्लेट 5 m/s से हटे: F = 1000 × 1.963 × 10⁻³ × 15² = 442 N। यदि वह जेट को पूरा रोकने वाली प्लेटों की श्रेणी में एक हो: F = 1000 × 1.963 × 10⁻³ × 20 × 15 = 589 N। एक ही जेट, तीन उत्तर: अंतर केवल पृष्ठ तक पहुँचने वाले द्रव्यमान प्रवाह का है।

5. त्वरित नियंत्रण आयतन, प्रणोद व रॉकेट

यदि CV, a_cv से त्वरित हो (केवल स्थानांतरण), तो न्यूटन का नियम केवल जड़त्वीय निर्देश-तंत्र में लगता है, अतः एक काल्पनिक पिंड-बल जोड़ा जाता है। CV के सापेक्ष मापे V_r के साथ: ΣF − ∫_CV a_cv ρ dV = (d/dt) ∫_CV ρ V_r dV + ∫_CS ρ V_r (V_r · n) dA। वेगों को CV के सापेक्ष मापने से जड़त्वीय पद नहीं मिटता; जब भी a_cv ≠ 0 हो, यह अतिरिक्त पद आवश्यक है।

प्रणोद। जिस रॉकेट की निकास-गैस रॉकेट के सापेक्ष चाल V_e व द्रव्यमान प्रवाह ṁ से निकलती है, निर्गम क्षेत्रफल A_e व निर्गम दाब p_e है और परिवेश दाब p_a, उसके चारों ओर CV से T = ṁV_e + (p_e − p_a) A_e मिलता है। पहला पद संवेग-प्रणोद है, दूसरा दाब-प्रणोद। जेट इंजन हेतु, ईंधन का द्रव्यमान उपेक्षित करने पर, T = ṁ(V_exit − V_flight) + (p_e − p_a)A_e। रॉकेट को धकेलने हेतु वायु नहीं चाहिए, और वह निर्वात में बेहतर काम करता है क्योंकि p_a शून्य हो जाता है।

ऊर्ध्वाधर उड़ान। p_e = p_a, कोई कर्षण नहीं व g स्थिर हो तो रॉकेट का द्रव्यमान M = M₀ − ṁt और M dU/dt = ṁV_e − Mg। M से भाग देकर समाकलन करने पर U = V_e ln(M₀/M) − g t मिलता है। गुरुत्वहीन अंतरिक्ष में अंतिम चाल केवल द्रव्यमान-अनुपात M₀/M व V_e पर निर्भर है, इस पर नहीं कि प्रणोदक कितनी तेज़ी से जलता है। हल-पंक्ति: M₀ = 500 kg, ṁ = 5 kg/s, V_e = 2000 m/s से T = 10 kN, प्रारंभिक त्वरण 10,000/500 − 9.81 = 10.19 m/s², और 40 s बाद (M = 300 kg) U = 2000 ln(500/300) − 9.81 × 40 = 1021.7 − 392.4 = 629.3 m/s।

6. समीकरण का चयन: द्रव्यमान, संवेग या ऊर्जा

प्रश्न को संतुलन से जोड़ना
आपको चाहिए	प्रयोग करें	कारण
किसी अन्य काट पर चाल या प्रवाह-दर	सांतत्य	बल या दाब नहीं चाहिए
मोड़, नोज़ल, प्लेट, वेन या रॉकेट पर बल	संवेग	केवल द्वारों के वेग व दाब चाहिए, भीतर की हानियाँ नहीं
प्रवाह के अनुदिश दाब-परिवर्तन	ऊर्जा (घर्षणरहित हो तो बर्नूली)	p, V व ऊँचाई को जोड़ता है; शीर्ष-हानि पद घर्षण को सँभालता है
आकस्मिक परिवर्तन में शीर्ष-हानि	पहले संवेग, फिर ऊर्जा	संवेग दाब देता है; फिर ऊर्जा हानि देती है

हल उदाहरण: आकस्मिक प्रसार। पानी V₁ = 4 m/s से ऐसे पाइप में जाता है जिसका क्षेत्रफल चार गुना है, अतः सांतत्य से V₂ = 1 m/s। p₁ को पूरे सोपान-तल पर दाब मानें और दीवार का अपरूपण उपेक्षित करें: (p₁ − p₂)A₂ = ρQ(V₂ − V₁), अतः p₂ − p₁ = ρV₂(V₁ − V₂) = 1000 × 1 × 3 = 3000 Pa। घर्षणरहित बर्नूली वृद्धि ½ρ(V₁² − V₂²) = 7500 Pa होती। 4500 Pa की कमी ½ρ(V₁ − V₂)² के बराबर है, जो सोपान पर भँवरों की शीर्ष-हानि है: संवेग ने दाब दिया, फिर ऊर्जा ने हानि दी।

⚠️ चार भूलें जो अंक कटाती हैं

(1) एक द्वार पर निरपेक्ष व दूसरे पर गेज दाब लेना।
(2) यह भूलना कि निर्गम पर दाब-बल बाहरी अभिलंब के विपरीत लगता है, अतः संवेग फ्लक्स की तुलना में उसका चिह्न पलट जाता है।
(3) तरल पर बल को ही आधार पर बल मान लेना, चिह्न उलटे बिना।
(4) गतिमान प्लेट हेतु द्रव्यमान प्रवाह ρA(V − u) की जगह ρAV लेना।

मुख्य बिंदु

निकाय स्थिर पदार्थ का अनुसरण करता है; नियंत्रण आयतन नियंत्रण पृष्ठ वाला क्षेत्र है। RTT है dB_sys/dt = (d/dt)∫ρ b dV + ∫ρ b (V · n) dA: संचयन जमा नेट बहिर्वाह, और b = 1, V, e से द्रव्यमान, संवेग, ऊर्जा मिलते हैं।
सांतत्य: ṁ = ρVA व Q = VA, जहाँ V औसत वेग ∫u dA/A है। स्थायी प्रवाह में ṁ संरक्षित है (और ρ स्थिर हो तो Q भी); टंकी A_t dh/dt = Q_in − Q_out का पालन करती है।
स्थायी संवेग: ΣF = Σṁ_out V_out − Σṁ_in V_in, गेज दाब के साथ, pA भीतर की ओर, और आधार पर बल −R के बराबर। लैमिनार पाइप प्रवाह हेतु β = 4/3।
जेट बल: स्थिर अभिलंब प्लेट पर ρAV², स्थिर 180° कप पर 2ρAV², एकल हटती प्लेट पर ρA(V − u)², प्लेट-श्रेणी हेतु ρAV(V − u)। अधिकतम शक्ति एकल प्लेट हेतु u = V/3 पर और 180° वेन-श्रेणी हेतु u = V/2 पर है।
त्वरित CV में अतिरिक्त पद −∫a_cv ρ dV चाहिए। प्रणोद T = ṁV_e + (p_e − p_a)A_e; p_e = p_a हो तो रॉकेट की चाल U = V_e ln(M₀/M) − g t।
चाल हेतु सांतत्य, बल हेतु संवेग, और दाब-परिवर्तन व हानियों हेतु ऊर्जा प्रयोग करें। संवेग व ऊर्जा मिलकर आकस्मिक प्रसार की हानि ½ρ(V₁ − V₂)² देते हैं।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

स्थिर नियंत्रण आयतन हेतु रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय में पृष्ठ समाकल ∫_CS ρ b (V · n) dA क्या निरूपित करता है:
1. वह दर जिससे गुण नियंत्रण आयतन के भीतर ही संचित या जमा होता है
2. वह नेट दर जिससे गुण नियंत्रण पृष्ठ के पार बाहर ले जाया जाता है (निर्गम घटा निवेश)
3. वह दर जिससे गुण नियंत्रण आयतन के भीतर के स्रोतों व अवशोषकों द्वारा उत्पन्न होता है
4. वह दर जिससे नियंत्रण पृष्ठ अपने द्वारा घेरे गए तरल कणों के सापेक्ष विस्थापित होता है
उत्तर देखें
उत्तर: B — वह नेट दर जिससे गुण नियंत्रण पृष्ठ के पार बाहर ले जाया जाता है (निर्गम घटा निवेश)
पृष्ठ समाकल नियंत्रण पृष्ठ के प्रत्येक फलक पर प्रवाह द्वारा ले जाए जा रहे गुण को जोड़ता है। निर्गम फलकों पर V · n धनात्मक व निवेश फलकों पर ऋणात्मक है, अतः समाकल नेट बहिर्वाह (बाहर घटा भीतर) है। आयतन के भीतर का संचयन अलग पद है, समय-अवकलज (d/dt)∫ρ b dV; यही लुभावना विकल्प है, पर स्थायी प्रवाह में वह लुप्त हो जाता है जबकि बहिर्वाह नहीं। प्रमेय में कोई स्रोत-पद नहीं है, क्योंकि द्रव्यमान न बनता है न नष्ट होता है, और संवेग केवल नियम के बल-पद से बदलता है।
निकाय, नियंत्रण आयतन व रेनॉल्ड्स ट्रांसपोर्ट प्रमेय के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. निकाय में सदा वही तरल कण रहते हैं, जबकि नियंत्रण आयतन के भीतर का तरल प्रवाह के उसके पृष्ठ को पार करने से बदलता रहता है
2. प्रमेय निकाय हेतु लिखे नियमों, जैसे द्रव्यमान संरक्षण व न्यूटन का दूसरा नियम, को नियंत्रण आयतन के कथनों में बदलता है
3. स्थायी प्रवाह में प्रमेय दर्शाता है कि निकाय का प्रत्येक व्यापक गुण समय में स्थिर रहता है
4. प्रमेय रैखिक संवेग हेतु प्रयुक्त हो सकता है पर ऊर्जा हेतु नहीं, क्योंकि ऊर्जा का प्रति इकाई द्रव्यमान रूप नहीं होता
उत्तर देखें
उत्तर: A — निकाय में सदा वही तरल कण रहते हैं, जबकि नियंत्रण आयतन के भीतर का तरल प्रवाह के उसके पृष्ठ को पार करने से बदलता रहता है; B — प्रमेय निकाय हेतु लिखे नियमों, जैसे द्रव्यमान संरक्षण व न्यूटन का दूसरा नियम, को नियंत्रण आयतन के कथनों में बदलता है
निकाय कणों का निश्चित समूह है और नियंत्रण आयतन अंतरिक्ष का क्षेत्र; प्रमेय एक से दूसरे तक का सेतु है, इसीलिए कण-बनाम-क्षेत्र वाला और निकाय-नियमों के रूपांतरण वाला कथन सही हैं। स्थायी प्रवाह में केवल संचयन पद लुप्त होता है; बहिर्वाह पद बना रहता है, अतः नेट बल लगने पर (जैसे मोड़ पर) निकाय का संवेग फिर भी बदलता है। ऊर्जा का प्रति इकाई द्रव्यमान रूप e है, अतः b = e से ऊर्जा समीकरण मिलता है।
एक नियंत्रण आयतन +x के अनुदिश 4 m/s के अचल वेग से गतिमान है। पानी (घनत्व 1000 kg/m³) भू-निर्देश-तंत्र में मापे 10 m/s से +x के अनुदिश चलता है और नियंत्रण आयतन के x के अभिलंब 0.01 m² निवेश फलक को पार करता है। नियंत्रण आयतन में द्रव्यमान प्रवाह-दर है:
1. 100 kg/s, पानी का भू-निर्देश-तंत्र वेग लेने पर
2. 140 kg/s, पानी का वेग व नियंत्रण आयतन का वेग जोड़ने पर
3. 60 kg/s, नियंत्रण पृष्ठ के सापेक्ष पानी का वेग लेने पर
4. 40 kg/s, केवल नियंत्रण आयतन का अपना वेग लेने पर
उत्तर देखें
उत्तर: C — 60 kg/s, नियंत्रण पृष्ठ के सापेक्ष पानी का वेग लेने पर
अचल वेग से गतिमान नियंत्रण आयतन हेतु फ्लक्स-पद में सापेक्ष वेग V_r = V − V_cv = 10 − 4 = 6 m/s लिया जाता है। तब ṁ = ρ V_r A = 1000 × 6 × 0.01 = 60 kg/s। भू-निर्देश-तंत्र का 10 m/s लेने पर 100 kg/s मिलता है, यही लुभावनी भूल है, पर निवेश फलक स्वयं पानी से 4 m/s से दूर भाग रहा है; चालें जोड़ना गलत है क्योंकि फलक पानी की ही दिशा में गतिमान है।
वायु एक नलिका से स्थायी रूप से बहती है जिसकी अनुप्रस्थ-काट का क्षेत्रफल तथा वायु का घनत्व दोनों उसकी लंबाई के अनुदिश बदलते हैं। कौन-सी राशि प्रत्येक काट पर समान मान रखती है?
1. द्रव्यमान प्रवाह-दर ρ V A
2. काट पर आयतन प्रवाह-दर V A
3. काट पर औसत वेग V
4. काट पर प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान फ्लक्स ρ V
उत्तर देखें
उत्तर: A — द्रव्यमान प्रवाह-दर ρ V A
स्थायी प्रवाह में काटों के बीच कुछ जमा नहीं होता, अतः प्रति सेकंड प्रवेश करने वाला द्रव्यमान निकलने वाले के बराबर है: ρ₁A₁V₁ = ρ₂A₂V₂, अर्थात ρ V A स्थिर है। आयतन प्रवाह-दर V A केवल स्थिर घनत्व पर संरक्षित है, जो द्रवों से ली गई लुभावनी धारणा है। वेग क्षेत्रफल के साथ बदलता है और द्रव्यमान फ्लक्स ρ V भी क्षेत्रफल के साथ बदलता है।
2 m व्यास की एक खुली बेलनाकार टंकी में पानी 0.02 m³/s से आता है। पानी 50 mm व्यास के भरे बहते पाइप से 1.2 m/s के औसत वेग पर निकलता है। पानी असंपीड्य है। जलस्तर के बढ़ने की दर mm/s में, दशमलव के दो स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 5.62
निर्गम Q_out = V A = 1.2 × π(0.05)²/4 = 1.2 × 1.9635 × 10⁻³ = 2.356 × 10⁻³ m³/s। नेट निवेश = 0.02 − 0.002356 = 0.017644 m³/s। टंकी का क्षेत्रफल A_t = π(2)²/4 = 3.1416 m²। तब dh/dt = 0.017644/3.1416 = 5.616 × 10⁻³ m/s = 5.62 mm/s। प्रचलित भूलें हैं टंकी की त्रिज्या को व्यास मान लेना (4 गुना अधिक) या निर्गम घटाना भूल जाना।
0.2 m व्यास के वृत्तीय पाइप में विक्षुब्ध वेग-प्रोफ़ाइल u = u_max (1 − r/R)^(1/7) है, जहाँ R पाइप की त्रिज्या, r अक्ष से त्रिज्य दूरी और u_max = 3 m/s है। आयतन प्रवाह-दर, लीटर प्रति सेकंड में, निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 77
Q = ∫₀ᴿ u 2πr dr। s = 1 − r/R रखें: Q = 2πR² u_max ∫₀¹ s^(1/7) (1 − s) ds = 2πR² u_max [7/8 − 7/15] = 2πR² u_max × 49/120 = 0.8167 u_max πR²। अतः V_avg = 0.8167 × 3 = 2.450 m/s। A = π(0.1)² = 0.031416 m² लेने पर Q = 2.450 × 0.031416 = 0.07697 m³/s = 77 L/s (संख्यात्मक समाकलन से 76.97)। u_max × A = 94 L/s लेना जाल है।
2 m³ आयतन की एक दृढ़ टंकी में वायु 0.6 kg/s से भरी जा रही है जबकि 0.2 kg/s निकाली जा रही है। टंकी की वायु का घनत्व एकसमान है। उसके घनत्व की वृद्धि-दर है:
1. 0.10 kg/m³ प्रति सेकंड
2. 0.30 kg/m³ प्रति सेकंड
3. 0.40 kg/m³ प्रति सेकंड
4. 0.20 kg/m³ प्रति सेकंड
उत्तर देखें
उत्तर: D — 0.20 kg/m³ प्रति सेकंड
दृढ़ टंकी पर द्रव्यमान संतुलन: Vol dρ/dt = ṁ_in − ṁ_out = 0.6 − 0.2 = 0.4 kg/s, अतः dρ/dt = 0.4/2 = 0.20 kg/m³ प्रति सेकंड। 0.40 नेट द्रव्यमान-दर को आयतन से भाग देना भूलने से, 0.30 निर्गम की उपेक्षा से, और 0.10 नेट दर की जगह निर्गम को आयतन से भाग देने से आता है।
वृत्तीय पाइप में पूर्णतः विकसित लैमिनार प्रवाह की प्रोफ़ाइल u = 2V (1 − r²/R²) है, जहाँ V औसत वेग है। किसी काट से संवेग फ्लक्स β ρ A V² लिखा जाता है। संवेग-फ्लक्स सुधार गुणांक β है:
1. 1, क्योंकि औसत वेग प्रोफ़ाइल को पहले ही समाहित कर लेता है
2. 4/3, क्योंकि इस परवलय हेतु ∫u² dA = (4/3) V² A है
3. 3/2, क्योंकि केंद्र-रेखा वेग औसत का 3/2 गुना है
4. 2, क्योंकि केंद्र-रेखा वेग औसत का दोगुना है
उत्तर देखें
उत्तर: B — 4/3, क्योंकि इस परवलय हेतु ∫u² dA = (4/3) V² A है
β = (1/(A V²)) ∫u² dA। s = r/R लेने पर ∫u² dA = 4V² · 2πR² ∫₀¹ (1 − s²)² s ds = 4V² · 2πR² · (1/6) = (4/3) V² πR², अतः β = 4/3। मान 1 केवल एकसमान प्रोफ़ाइल हेतु है: औसत वेग सही द्रव्यमान फ्लक्स देता है, पर संवेग फ्लक्स तेज़ क्रोड को u² से भारित करता है, अतः वह बड़ा होता है। मान 2 इसी प्रोफ़ाइल का गतिज ऊर्जा गुणांक है, जो भिन्न राशि है।
पानी (घनत्व 1000 kg/m³) 0.1 m³/s से एकसमान आंतरिक व्यास 0.2 m के क्षैतिज 90° मोड़ से बहता है। निवेश व निर्गम दोनों पर गेज दाब 100 kPa है। मोड़ पर घर्षण व पानी का भार उपेक्षित करें। पानी द्वारा मोड़ पर लगे परिणामी बल का परिमाण, N में, निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 4893
A = π(0.2)²/4 = 0.031416 m², V = Q/A = 3.183 m/s, ṁ = 100 kg/s। निवेश का प्रवाह +x व निर्गम का +y के अनुदिश लें। पानी पर बल: x: p A + R_x = ṁ(0 − V), अतः R_x = −(pA + ṁV); y: R_y − pA = ṁ(V − 0), अतः R_y = pA + ṁV। यहाँ pA = 100,000 × 0.031416 = 3141.6 N और ṁV = 318.3 N, अतः प्रत्येक घटक का परिमाण 3459.9 N है। मोड़ पर बल का परिमाण √2 × 3459.9 = 4893 N है। प्रचलित भूल केवल संवेग-परिवर्तन (450 N) लेना या दाब-बल छोड़ देना है।
पानी 4 m/s के V₁ वेग से स्थायी रूप से एक पाइप से चार गुना क्षेत्रफल वाले समाक्षीय पाइप में जाता है। मानें कि वलयाकार सोपान-फलक पर दाब p₁ के बराबर है, जो सोपान से ऊपरी धारा का दाब है; दीवार का अपरूपण उपेक्षित करें और पानी का घनत्व 1000 kg/m³ लें। दोनों पाइपों के बीच, प्रत्येक ओर सोपान से दूर, दाब-वृद्धि p₂ − p₁ है:
1. 3.0 kPa
2. 7.5 kPa
3. 12 kPa
4. 4.5 kPa
उत्तर देखें
उत्तर: A — 3.0 kPa
सांतत्य से V₂ = V₁/4 = 1 m/s। दोनों तलों के बीच के तरल पर संवेग: (p₁ − p₂)A₂ = ρ V₂A₂ (V₂ − V₁), अतः p₂ − p₁ = ρ V₂ (V₁ − V₂) = 1000 × 1 × 3 = 3000 Pa। मान 7.5 kPa घर्षणरहित बर्नूली वृद्धि ½ρ(V₁² − V₂²) है, जो सोपान पर भँवरों की हानि की उपेक्षा करती है, और 12 kPa निर्गम पद में ρV₂ की जगह ρV₁ लिखने से आता है। हानि स्वयं 7.5 − 3.0 = 4.5 kPa = ½ρ(V₁ − V₂)² है।
पानी का एक स्थायी प्रवाह क्षैतिज पाइप-मोड़ से गुज़रता है और मोड़ के भीतर के पानी को घेरने वाले नियंत्रण आयतन पर संवेग समीकरण लगाया जाता है। कौन-से कथन सही हैं?
1. प्रत्येक द्वार पर गेज दाब प्रयुक्त हो सकता है, क्योंकि बंद पृष्ठ पर एकसमान वायुमंडलीय दाब का परिणामी बल शून्य होता है
2. पानी द्वारा मोड़ पर लगा बल, मोड़ द्वारा पानी पर लगे बल के परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होता है
3. बल केवल द्वारों के वेग व दाब से ज्ञात हो सकता है, मोड़ के भीतर की ऊर्जा-हानि जाने बिना
4. बल केवल वेग-परिवर्तन पर निर्भर है, अतः बहुत अधिक लाइन-दाब पर वही मोड़ वही भार वहन करता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — प्रत्येक द्वार पर गेज दाब प्रयुक्त हो सकता है, क्योंकि बंद पृष्ठ पर एकसमान वायुमंडलीय दाब का परिणामी बल शून्य होता है; B — पानी द्वारा मोड़ पर लगा बल, मोड़ द्वारा पानी पर लगे बल के परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होता है; C — बल केवल द्वारों के वेग व दाब से ज्ञात हो सकता है, मोड़ के भीतर की ऊर्जा-हानि जाने बिना
तीनों सही कथन इस विधि की मानक विशेषताएँ हैं: गेज दाब पर्याप्त है, न्यूटन का तीसरा नियम दोनों बलों को जोड़ता है, और नियंत्रण-आयतन रूप मोड़ के भीतर के ब्योरे, घर्षण व भँवर-हानियों, से बचाता है। यह दावा कि बल केवल वेग-परिवर्तन पर निर्भर है, गलत है क्योंकि प्रत्येक द्वार का दाब-बल pA संवेग-पद में जुड़ता है, और सैकड़ों किलोपास्कल के लाइन-दाब पर वही प्रायः बड़ा भाग होता है (एक विशिष्ट स्थिति में 318 N के सामने 3,142 N)।
दो समरूप पानी के जेट (समान घनत्व, क्षेत्रफल व चाल) दो स्थिर पृष्ठों पर टकराते हैं। एक पृष्ठ जेट के अभिलंब समतल प्लेट है, जो पानी को बगल में फैलाती है। दूसरा चिकना कप है जो जेट को 180° मोड़कर आपतित जेट के समानांतर लौटा देता है। दोनों में पृष्ठ के सापेक्ष पानी की चाल अपरिवर्तित है और गुरुत्व उपेक्षित है। कप पर बल का प्लेट पर बल से अनुपात है:
1. 0.5, क्योंकि कप प्रवाह को केवल धीरे से मोड़ता है और इसलिए समतल प्लेट से कम बल देता है
2. 1, क्योंकि दोनों पृष्ठों के लिए जेट की द्रव्यमान प्रवाह दर और जेट की चाल समान हैं
3. 2, क्योंकि जेट प्लेट पर अपना पूरा संवेग खोता है पर कप में अपना संवेग उलट देता है
4. 4, क्योंकि जेट का उलटाव प्लेट के लिए मिले प्रभाव का वर्ग कर देता है
उत्तर देखें
उत्तर: C — 2, क्योंकि जेट प्लेट पर अपना पूरा संवेग खोता है पर कप में अपना संवेग उलट देता है
प्लेट: पानी जेट के अनुदिश कोई घटक लेकर नहीं निकलता, अतः F = ṁ(V − 0) = ρAV²। कप: पानी जेट-अक्ष के अनुदिश वेग −V से निकलता है, अतः F = ṁ(V − (−V)) = 2ρAV²। अनुपात 2 है। समान द्रव्यमान प्रवाह व चाल से समान बल नहीं मिलता, क्योंकि बल द्रव्यमान प्रवाह गुणा वेग-परिवर्तन है, और परिवर्तन प्लेट हेतु V पर कप हेतु 2V है।
30 mm व्यास व 30 m/s चाल का पानी का जेट एक एकल समतल प्लेट पर टकराता है, जो जेट के अभिलंब है और जेट-अक्ष के अनुदिश नोज़ल से 10 m/s से दूर हट रही है। पानी का घनत्व 1000 kg/m³ लें और गुरुत्व उपेक्षित करें। जेट द्वारा प्लेट पर लगा बल, N में, निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 283
प्लेट से जुड़े निर्देश-तंत्र में कार्य करें। जेट सापेक्ष चाल V − u = 30 − 10 = 20 m/s से पहुँचता है, और प्लेट तक प्रति सेकंड पहुँचने वाला द्रव्यमान ρA(V − u) है, ρAV नहीं। A = π(0.03)²/4 = 7.0686 × 10⁻⁴ m²। F = ρA(V − u)² = 1000 × 7.0686 × 10⁻⁴ × 20² = 282.7 N, अर्थात 283 N। स्थिर प्लेट का मान ρAV² = 636 N या प्लेट-श्रेणी का मान ρAV(V − u) = 424 N लेना एकल प्लेट हेतु गलत है।
V चाल का पानी का जेट अनेक समरूप वेनों वाले चक्र को चलाता है; प्रत्येक वेन जेट को वेन के सापेक्ष 180° मोड़ती है, ताकि पूरा जेट-प्रवाह सदा रुकता रहे। वेनें चिकनी हैं और जेट के अनुदिश u चाल से चलती हैं; वेन के सापेक्ष पानी की चाल अपरिवर्तित है और प्रदत्त शक्ति F u है। शक्ति अधिकतम तब होती है जब u बराबर हो:
1. V/3
2. V/2
3. 2V/3
4. V
उत्तर देखें
उत्तर: B — V/2
पूरा प्रवाह रुकने पर बल F = ρAV (V − u)(1 − cos 180°) = 2ρAV (V − u), अतः P = 2ρAV (V − u) u। dP/du = 0 रखने पर V − 2u = 0, अर्थात u = V/2, और तब P = ½ρAV³, जो जेट का पूरा गतिज ऊर्जा फ्लक्स है। मान V/3 एकल हटती प्लेट का है, जहाँ बल ρA(V − u)² होता है, और u = V पर शक्ति शून्य है क्योंकि जेट अब वेनों को पकड़ नहीं पाता।
पानी का एक जेट (घनत्व ρ, क्षेत्रफल A, चाल V) जेट-अक्ष से 30° पर झुकी स्थिर चिकनी समतल प्लेट पर टकराता है। पानी अपनी चाल अपरिवर्तित रखकर प्लेट के अनुदिश निकलता है, और गुरुत्व उपेक्षित है। मूल जेट की दिशा में प्लेट पर बल का घटक है:
1. ρAV²/2
2. ρAV²
3. (√3/4) ρAV²
4. ρAV²/4
उत्तर देखें
उत्तर: D — ρAV²/4
चिकनी प्लेट केवल अपने अभिलंब के अनुदिश बल लगा सकती है। प्लेट के अभिलंब जेट के संवेग का घटक ρAV · V sin 30° है, और पानी बिना किसी घटक के निकलता है, अतः अभिलंब बल F_n = ρAV² sin 30° = ρAV²/2। यह अभिलंब जेट-अक्ष से 60° बनाता है, अतः जेट के अनुदिश घटक F_n cos 60° = F_n sin 30° = ρAV²/4। मान ρAV²/2 स्वयं अभिलंब बल है, और (√3/4)ρAV² जेट के लंबवत घटक है।
एक रॉकेट मोटर रॉकेट के सापेक्ष 2000 m/s पर 30 kg/s निकास-गैस 0.1 m² क्षेत्रफल के निर्गम से, 150 kPa निरपेक्ष निर्गम दाब पर, छोड़ती है। परिवेश का निरपेक्ष दाब 100 kPa है। प्रणोद है:
1. 60 kN, केवल संवेग-प्रणोद
2. 75 kN, पूर्ण निरपेक्ष निर्गम दाब-बल जोड़ने पर
3. 65 kN, संवेग-प्रणोद जमा दाब-प्रणोद
4. 55 kN, संवेग-प्रणोद में से दाब-प्रणोद घटाने पर
उत्तर देखें
उत्तर: C — 65 kN, संवेग-प्रणोद जमा दाब-प्रणोद
T = ṁV_e + (p_e − p_a)A_e = 30 × 2000 + (150,000 − 100,000) × 0.1 = 60,000 + 5,000 = 65,000 N। निकास-गैस परिवेश से ऊँचे दाब पर निकलती है, अतः असंतुलित निर्गम दाब रॉकेट को आगे धकेलता है। p_e A_e = 15 kN जोड़ना बाहरी पृष्ठ के शेष भाग पर लगने वाले परिवेश दाब की उपेक्षा है; घटाने से चिह्न गलत आता है।
प्रणोद व रॉकेट-गति के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. जब निर्गम दाब परिवेश दाब से भिन्न हो, तो प्रणोद में ṁV_e के ऊपर एक अतिरिक्त पद (p_e − p_a)A_e होता है
2. त्वरित नियंत्रण आयतन के निर्देश-तंत्र में जड़त्वीय पद छोड़ा जा सकता है, यदि सभी वेग नियंत्रण आयतन के सापेक्ष मापे जाएँ
3. रॉकेट अपनी निकास-गैस को आसपास की वायु पर धकेलकर ही प्रणोद उत्पन्न करता है, अतः वह निर्वात में काम नहीं कर सकता
4. गुरुत्वहीन निर्वात में, रॉकेट के सापेक्ष स्थिर निकास-चाल पर, चाल में वृद्धि उस निकास-चाल व प्रारंभिक-से-अंतिम द्रव्यमान के अनुपात पर निर्भर है, इस पर नहीं कि प्रणोदक कितनी तेज़ी से जलता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — जब निर्गम दाब परिवेश दाब से भिन्न हो, तो प्रणोद में ṁV_{e} के ऊपर एक अतिरिक्त पद (p_{e} − p_{a})A_{e} होता है; D — गुरुत्वहीन निर्वात में, रॉकेट के सापेक्ष स्थिर निकास-चाल पर, चाल में वृद्धि उस निकास-चाल व प्रारंभिक-से-अंतिम द्रव्यमान के अनुपात पर निर्भर है, इस पर नहीं कि प्रणोदक कितनी तेज़ी से जलता है
दाब-प्रणोद पद और चाल-परिणाम U = V_e ln(M₀/M) दोनों सही हैं: चाल-परिणाम M dU/dt = ṁV_e व M = M₀ − ṁt से आता है, और समाकलन में जलने की दर कट जाती है। जड़त्वीय पद छोड़ा नहीं जा सकता, क्योंकि वेगों को नियंत्रण आयतन के सापेक्ष मापने से काल्पनिक बल −a_cv ρ प्रति इकाई आयतन की आवश्यकता नहीं मिटती। रॉकेट को वायु नहीं चाहिए; p_a = 0 होने पर दाब-प्रणोद केवल प्रणोद में जुड़ता है।
500 kg प्रारंभिक द्रव्यमान का एक रॉकेट विरामावस्था से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर छोड़ा जाता है। वह 5 kg/s की स्थिर दर से प्रणोदक जलाता है और निकास-गैस रॉकेट के सापेक्ष 2000 m/s पर, परिवेश दाब के बराबर निर्गम दाब के साथ, निकलती है। g = 9.81 m/s² स्थिर लें और कर्षण उपेक्षित करें। 40 s जलने के बाद ऊर्ध्व चाल, m/s में, निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 629
M dU/dt = ṁV_e − Mg का M = M₀ − ṁt के साथ समाकलन U = V_e ln(M₀/M) − g t देता है। t = 40 s पर M = 500 − 5 × 40 = 300 kg। ln(500/300) = 0.5108, अतः V_e ln(M₀/M) = 2000 × 0.5108 = 1021.7 m/s। गुरुत्व-हानि = 9.81 × 40 = 392.4 m/s। U = 1021.7 − 392.4 = 629.3, अर्थात 629 m/s। गुरुत्व पद भूलने पर 1022 आता है; अंतिम द्रव्यमान की जगह जले द्रव्यमान 200 से ln लेना दूसरी भूल है।