Which statement correctly distinguishes a fluid from a solid?

A fluid goes on deforming for as long as a shear stress, however small, is applied to it

A fluid has a constant density, whereas the density of a solid changes with the load applied to it

A fluid at rest cannot sustain a stress of any kind, normal or tangential

A fluid goes on deforming for as long as a shear stress, however small, is applied to it

A fluid has zero viscosity, whereas a solid resists shear through viscous friction

The temperature of both liquid water and air is raised from 20 °C to 60 °C at atmospheric pressure. How do their dynamic viscosities change?

The viscosity of water falls, while that of air rises

Both rise, because faster molecules transfer more momentum between layers

The viscosity of water falls, while that of air rises

The viscosity of water rises, while that of air falls

Both fall, because the fluid expands and becomes less dense on heating

A fluid obeys the power law τ = Kγ̇ⁿ with n = 0.5. The shear rate is increased by a factor of 4 at constant temperature. What happens to its apparent viscosity?

It halves, because μ_app = Kγ̇ⁿ⁻¹ and 4⁻⁰·⁵ = 0.5

It doubles, because the shear stress doubles when the shear rate is quadrupled

It is unchanged, because K and n are constants of the fluid

It falls to one quarter, because the stress is proportional to the square root of the shear rate

It halves, because μ_app = Kγ̇ⁿ⁻¹ and 4⁻⁰·⁵ = 0.5

Which description fits a shear-thickening (dilatant) fluid?

Its apparent viscosity increases as the shear rate increases, as in a power-law fluid with n > 1

Its apparent viscosity decreases as the shear rate increases, as in a power-law fluid with n < 1

It does not flow until the shear stress exceeds a yield stress and then flows with a constant viscosity

Its viscosity is independent of the shear rate and falls when the fluid is heated

A Bingham plastic of yield stress 10 Pa and plastic viscosity μ_p lies in a thin film in which the shear stress is 6 Pa everywhere. What does the material do?

It does not flow: it behaves as a rigid solid with zero shear rate

It flows with shear rate (6 − 10)/μ_p, which is negative, so the layers move backwards

It flows as a Newtonian fluid of viscosity μ_p, because the yield stress only matters for solids

It does not flow: it behaves as a rigid solid with zero shear rate

It flows with shear rate 6/μ_p, because the stress is positive

Which of the following statements about viscosity are correct?

The kinematic viscosity ν = μ/ρ has the SI unit m²/s

The viscosity of a gas decreases when it is heated at constant pressure

The viscosity of a liquid arises mainly from momentum carried by molecules that cross between layers, so it rises with temperature

A rigid body moves at a constant velocity through a large volume of fluid at rest. Idealise the flow as smooth, with no turbulent fluctuations. How should the flow be classified?

Unsteady for an observer fixed to the ground, but steady for an observer moving with the body

Steady for an observer fixed to the ground, because the body’s velocity does not change

Unsteady for an observer fixed to the ground, but steady for an observer moving with the body

Unsteady in both frames, because the velocity at a point near the body changes as the body approaches

Uniform in both frames, because the body’s velocity is the same everywhere along its path

Oil is pumped through a circular pipe at a fixed volumetric flow rate Q. The pipe is replaced by one of twice the diameter and the oil temperature is unchanged. By what factor does the Reynolds number based on the pipe diameter change?

It halves, because Re = 4ρQ/(πμD) is inversely proportional to D at fixed Q

It doubles, because D appears in the numerator of ρVD/μ

It is unchanged, because the same oil flows at the same rate

It becomes one quarter, because the area increases four times

Which of the following statements about the classification of flows are correct?

Water flowing through a pipe is an internal flow, while air flowing past a building is an external flow

Flow in a long pipe of constant diameter, whose discharge is being steadily increased by opening a valve, is unsteady

Water flowing through a pipe is an internal flow, while air flowing past a building is an external flow

Flow in a long pipe of constant diameter, whose discharge is being steadily increased by opening a valve, is unsteady

In a steady flow every fluid particle must have zero acceleration

A flow in which the velocity has the same value at every point at a given instant must be steady

Air at 20 °C, in which the speed of sound is 343 m/s, flows past a car at 60 m/s. Treat a flow as incompressible when M < 0.3, the usual convention. Which statement is correct?

Incompressible is a good model: M = 60/343 = 0.175, below 0.3, and the density change is about M²/2 ≈ 1.5 %

The flow must be treated as compressible, because air is a gas and every gas flow is compressible

The flow must be treated as compressible, because the Mach number 0.175 exceeds 0.1

The flow is incompressible, and the density changes by about 17 %, because the Mach number equals the fractional density change

Incompressible is a good model: M = 60/343 = 0.175, below 0.3, and the density change is about M²/2 ≈ 1.5 %

Which of the following statements about compressibility are correct?

A flow is incompressible when ∇·V = 0, which can happen for a gas as well as for a liquid

The limit M < 0.3 corresponds to a density change of roughly 5 % or less, from the isentropic relation

A flow is incompressible when ∇·V = 0, which can happen for a gas as well as for a liquid

Water can be treated as incompressible in every flow, including pressure waves in a pipe after a sudden valve closure

The limit M < 0.3 corresponds to a density change of roughly 5 % or less, from the isentropic relation

Air in a duct at M = 0.8 can be treated as having a constant density to within 5 %

Which statement about laminar and turbulent flow in a circular pipe is correct?

The limits of about 2300 and 4000 are conventions: transition depends on inlet disturbances and roughness

Pipe flow always turns turbulent at exactly Re = 2300, whatever the inlet disturbance and wall roughness

At the same mean velocity the wall shear stress is lower in turbulent flow than in laminar flow, because eddies reduce friction

The limits of about 2300 and 4000 are conventions: transition depends on inlet disturbances and roughness

The Reynolds number is the ratio of viscous to inertial forces, so a small Re means that inertia dominates

Air flows at a very high Reynolds number over a streamlined body. In which region is the inviscid-flow model an acceptable approximation?

In the region outside the thin boundary layer and wake, where velocity gradients are small

In the whole flow including the layer at the wall, because at high Re viscous forces vanish

In the region outside the thin boundary layer and wake, where velocity gradients are small

Only inside the boundary layer, where the velocity gradient is large and viscosity is negligible

Nowhere, because an inviscid model cannot give the pressure distribution on any real body

प्रवाहों का वर्गीकरण: तरल, श्यानता, न्यूटनी व अन्यूटनी व्यवहार तथा प्रवाह व्यवस्थाएँ

यह अध्याय XE1 तरल यांत्रिकी के खंड XE1.1 का उत्तर देता है, जो अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है; परीक्षा में परीक्षार्थी इनमें से कोई भी दो चुनता है: “तरल की अवधारणा, श्यान बनाम अश्यान प्रवाह, श्यानता की अवधारणा, न्यूटनी बनाम अन्यूटनी तरल, असंपीड्य बनाम संपीड्य प्रवाह, आंतरिक बनाम बाह्य प्रवाह, स्थायी बनाम अस्थायी प्रवाह, स्तरीय बनाम विक्षुब्ध प्रवाह।” यह सिखाता है कि तरल व सांतत्य क्या हैं, न्यूटन का श्यानता नियम (इकाइयों व तापमान-निर्भरता सहित), घात-नियम व बिंघम मॉडल, और फिर प्रवाह-वर्गीकरण के युग्म, जिनमें से दो का निर्णय मैक संख्या व रेनॉल्ड्स संख्या करती हैं। संख्यात्मक प्रश्न हैं: कूएट अंतराल व जर्नल बेयरिंग में अपरूपण प्रतिबल व बल, घात-नियम व बिंघम तरलों की आभासी श्यानता, मैक संख्या, तथा रेनॉल्ड्स संख्या व प्रवाह व्यवस्था।

1. तरल क्या है, और सांतत्य

तरल (fluid) वह पदार्थ है जो उस पर कोई भी अपरूपण प्रतिबल, चाहे कितना ही सूक्ष्म हो, लगे रहने तक लगातार विरूपित होता रहता है। ठोस अपरूपण प्रतिबल का सामना एक निश्चित विरूपण से करता है और फिर विराम में आ जाता है; तरल बहता ही रहता है। द्रव व गैस दोनों तरल हैं: द्रव की मुक्त सतह होती है और वह लगभग असंपीड्य होता है, जबकि गैस पूरे पात्र को भर लेती है और आसानी से संपीडित होती है। विराम में तरल अभिलंब (संपीडक) प्रतिबल, अर्थात दाब, सह सकता है पर अपरूपण प्रतिबल नहीं, इसीलिए स्थिर तरल में किसी बिंदु पर दाब हर दिशा में समान होता है।

तरल यांत्रिकी तरल को सांतत्य (continuum) मानती है: घनत्व, वेग व दाब स्थिति के सतत फलन हैं, जिनमें से प्रत्येक ऐसे छोटे आयतन पर औसत लेकर परिभाषित होता है जिसमें फिर भी असंख्य अणु हों। कसौटी नुडसन संख्या Kn = λ/L है, यानी माध्य मुक्त पथ λ को रुचि की सबसे छोटी लंबाई L से भाग देना। Kn ≪ 1 (परंपरा से लगभग 0.01 से कम) पर सांतत्य मॉडल व दीवार पर नो-स्लिप प्रतिबंध मान्य रहते हैं। वायुमंडलीय दाब पर वायु का λ कुछ दहाई नैनोमीटर होता है, अतः सांतत्य केवल बहुत विरल गैसों या नैनो-नलिकाओं के प्रवाह में विफल होता है। तीन गुणधर्म सर्वत्र काम आते हैं: घनत्व ρ (kg/m³), विशिष्ट भार γ = ρg (N/m³) तथा आपेक्षिक घनत्व SG = ρ/ρ_जल।

2. श्यानता व न्यूटन का नियम, कूएट-अंतराल संख्यात्मकों सहित

श्यानता तरल का आंतरिक घर्षण है, यानी पास-पास की परतों की आपेक्षिक गति के प्रति उसका प्रतिरोध। ठोस दीवार पर तरल दीवार से चिपक जाता है (नो-स्लिप प्रतिबंध), इसलिए चलती पट्टिका अपने सटे तरल को खींचती है और वह परत अगली को। वेग u(y) वाले सरल अपरूपण हेतु न्यूटन का श्यानता नियम τ = μ du/dy है: τ अपरूपण प्रतिबल (Pa), du/dy वेग-प्रवणता (जो अपरूपण विकृति-दर के बराबर है, s⁻¹) और μ गतिक श्यानता (dynamic viscosity) है। शुद्धगतिक श्यानता (kinematic viscosity) ν = μ/ρ की इकाई m²/s है और यह बताती है कि संवेग तरल में कितनी तेज़ी से विसरित होता है। इकाइयाँ: μ, Pa·s = N·s/m² = kg/(m·s) में; 1 पॉइज़ = 0.1 Pa·s तथा 1 cP = 1 mPa·s; 1 स्टोक्स = 10⁻⁴ m²/s। 20 °C पर जल का μ ≈ 1.0 × 10⁻³ Pa·s व ν ≈ 1.0 × 10⁻⁶ m²/s है, वायु का μ ≈ 1.8 × 10⁻⁵ Pa·s व ν ≈ 1.5 × 10⁻⁵ m²/s।

तापमान। द्रव में अणु पास-पास होते हैं और अपरूपण का प्रतिरोध मुख्यतः संसंजक बलों से आता है; गर्म करने पर ये ढीले पड़ते हैं और μ तेज़ी से घटता है (मोटे तौर पर exp(B/T) की तरह)। गैस में अणु दूर-दूर होते हैं और अपरूपण प्रतिबल परतों के बीच आते-जाते अणुओं द्वारा संवेग ले जाने से बनता है; गर्म करने पर अणु तेज़ होते हैं, यह विनिमय बढ़ता है और μ बढ़ता है। साधारण दाबों पर गैस की श्यानता दाब पर लगभग निर्भर नहीं करती।

हल किया उदाहरण 1 (कूएट अंतराल)। दो बड़ी पट्टिकाएँ h = 2 mm की दूरी पर हैं और बीच में μ = 0.08 Pa·s का तेल है। ऊपरी पट्टिका, क्षेत्रफल 0.4 m², U = 1.5 m/s से चलती है और निचली स्थिर है। दाब-प्रवणता के बिना प्रोफ़ाइल रैखिक है, u = Uy/h, अतः du/dy = U/h = 1.5/0.002 = 750 s⁻¹। तब τ = μU/h = 0.08 × 750 = 60 Pa, जो पूरे अंतराल में समान है, और F = τA = 60 × 0.4 = 24 N।

हल किया उदाहरण 2 (घूमते शाफ़्ट पर पतली परत)। जब क्लीयरेंस c व्यास D से बहुत छोटा हो तो परत को खोलकर कूएट अंतराल मान सकते हैं: दीवार की चाल U = πDN/60, क्षेत्रफल πDL पर τ = μU/c, बल-आघूर्ण T = τ(πDL)(D/2) और शक्ति = Tω। D = 50 mm, N = 600 rpm, c = 0.25 mm, L = 80 mm व μ = 0.1 Pa·s हेतु: U = π × 0.05 × 10 = 1.571 m/s; τ = 0.1 × 1.571/0.00025 = 628 Pa; F = 628 × π × 0.05 × 0.08 = 7.90 N; T = 7.90 × 0.025 = 0.197 N·m; ω = 2π × 10 = 62.83 rad/s, अतः शक्ति = 0.197 × 62.83 = 12.4 W, जो पूरी की पूरी तेल में ऊष्मा बनकर क्षय होती है।

⚠️ प्रतिस्थापन से पहले रूपांतरण कीजिए

अंतराल mm में, चाल rpm में व श्यानता cP में दी जाती है। पहले m, m/s (या rad/s) व Pa·s में बदलिए: 100 cP = 0.1 Pa·s। यह भी याद रखिए कि वायु का μ जल से कम है (लगभग 55 गुना) पर ν अधिक (लगभग 15 गुना), क्योंकि उसका घनत्व बहुत कम है; शुद्धगतिक श्यानता वाले प्रश्न का उत्तर गतिक श्यानता वाले प्रश्न के उल्टा होता है।

3. न्यूटनी व अन्यूटनी तरल

न्यूटनी तरल किसी तापमान व दाब पर एक स्थिर μ के साथ τ = μ du/dy का पालन करता है, अतः τ का अपरूपण-दर γ̇ = du/dy के विरुद्ध आलेख मूलबिंदु से जाती सीधी रेखा है। जल, वायु, अधिकांश गैसें, पतले तेल व सरल द्रव न्यूटनी हैं। अन्यूटनी तरल में अनुपात τ/γ̇, जिसे आभासी श्यानता (apparent viscosity) μ_app कहते हैं, γ̇ पर (और कभी-कभी समय पर) निर्भर करता है।

समय-स्वतंत्र तरलों के संघटक मॉडल
मॉडल	नियम	आभासी श्यानता	व्यवहार व उदाहरण
न्यूटनी	τ = μγ̇	μ, स्थिर	जल, वायु, पतले तेल
अपरूपण-पतलाव (स्यूडोप्लास्टिक)	τ = Kγ̇ⁿ, n < 1	Kγ̇ⁿ⁻¹, γ̇ बढ़ने पर घटती है	बहुलक विलयन, रक्त, अनेक पेंट
अपरूपण-गाढ़ाव (डायलेटेंट)	τ = Kγ̇ⁿ, n > 1	Kγ̇ⁿ⁻¹, γ̇ बढ़ने पर बढ़ती है	सघन कॉर्नस्टार्च-जल निलंबन
बिंघम प्लास्टिक	τ > τ_y पर τ = τ_y + μ_p γ̇; τ ≤ τ_y पर γ̇ = 0	(τ_y + μ_p γ̇)/γ̇, μ_p की ओर घटती है	टूथपेस्ट, अनेक पेस्ट व कीचड़

घात-नियम (ऑस्टवाल्ड–डी वेले) मॉडल में K संगतता सूचकांक (इकाई Pa·sⁿ) और n प्रवाह-व्यवहार सूचकांक है; n = 1 पर न्यूटनी तरल मिलता है। बिंघम प्लास्टिक तब तक दृढ़ ठोस है जब तक प्रतिबल पराभव प्रतिबल τ_y से अधिक न हो, उसके बाद स्थिर प्लास्टिक श्यानता μ_p के साथ बहता है। कुछ तरल समय पर भी निर्भर करते हैं: थिक्सोट्रॉपिक तरल स्थिर अपरूपण में समय के साथ पतला होता है और विराम में लौट आता है, तथा श्यानप्रत्यास्थ तरल अपने विरूपण का एक भाग ठोस की तरह वापस पा लेता है।

हल किया उदाहरण 3 (घात-नियम)। एक बहुलक विलयन का K = 0.9 Pa·sⁿ व n = 0.5 है। γ̇ = 25 s⁻¹ पर: τ = 0.9 × 25^0.5 = 4.5 Pa तथा μ_app = τ/γ̇ = 0.18 Pa·s। γ̇ = 100 s⁻¹ पर: τ = 9 Pa तथा μ_app = 0.09 Pa·s। γ̇ चौगुना करने पर μ_app आधा हो जाता है, क्योंकि 4^(n−1) = 4^(−0.5) = 0.5, जबकि अपरूपण प्रतिबल दोगुना हो जाता है।

हल किया उदाहरण 4 (कूएट अंतराल में बिंघम प्लास्टिक)। τ_y = 12 Pa, μ_p = 0.3 Pa·s, अंतराल 4 mm, पट्टिका की चाल 0.2 m/s। कूएट अंतराल में अपरूपण प्रतिबल एकसमान होता है, अतः पट्टिका की चाल पूरे अंतराल को पराभूत होने को विवश करती है और γ̇ = U/h = 0.2/0.004 = 50 s⁻¹। तब τ = 12 + 0.3 × 50 = 27 Pa तथा μ_app = 27/50 = 0.54 Pa·s, जो μ_p से अधिक है। यदि लगाया प्रतिबल केवल 8 Pa (τ_y से कम) होता तो कुछ भी नहीं बहता।

⚠️ दो आसान भ्रम

अपरूपण-पतलाव का अर्थ अपरूपण-दर के साथ आभासी श्यानता का घटना है; यह तापमान के साथ श्यानता का घटना नहीं है, जो हर द्रव दिखाता है। और n < 1 वाले घात-नियम तरल में अपरूपण प्रतिबल फिर भी अपरूपण-दर के साथ बढ़ता है; केवल अनुपात τ/γ̇ घटता है। बिंघम प्लास्टिक में μ_p प्रवाह-वक्र की ढाल है, आभासी श्यानता नहीं।

4. श्यान बनाम अश्यान, असंपीड्य बनाम संपीड्य

श्यान प्रवाह में श्यानता से उत्पन्न अपरूपण प्रतिबल मायने रखते हैं; अश्यान प्रवाह मॉडल के रूप में μ = 0 रखता है, क्योंकि कोई वास्तविक तरल अश्यान नहीं है। यह मॉडल वहाँ चलता है जहाँ जड़त्व हावी हो, यानी बड़ी रेनॉल्ड्स संख्या पर और ठोस सतहों से दूर। दीवार पर श्यानता छोड़ी नहीं जा सकती: वही नो-स्लिप लागू कराती है और पतली सीमा-परत बनाती है। पिंड के ऊपर स्थायी, असंपीड्य, अघूर्णी प्रवाह हेतु अश्यान मॉडल शून्य कर्षण बताता है (डी’आलेम्बर का विरोधाभास), इसलिए कर्षण श्यान परत से ही आना होता है। आदर्श तरल वह है जो अश्यान व असंपीड्य दोनों हो।

प्रवाह तब असंपीड्य है जब प्रत्येक तरल कण का घनत्व चलते समय स्थिर रहे, Dρ/Dt = 0, जो ∇·V = 0 के समान है। यह प्रवाह का वर्णन है, तरल का नहीं: कम चाल पर वायु असंपीड्य है, जबकि जल वाटर-हैमर व ध्वनि तरंगों में संपीड्य है। गैसों हेतु कसौटी मैक संख्या M = V/c है, जहाँ V प्रवाह की चाल और c स्थानीय ध्वनि-वेग है: आदर्श गैस हेतु c = √(γRT) और आयतन-प्रत्यास्थता गुणांक K वाले द्रव हेतु c = √(K/ρ)। γ = 1.4 हेतु समएन्ट्रॉपिक रोध संबंध ρ₀/ρ = (1 + 0.2M²)^2.5 है, जो M = 0.3 पर 1.046 है, यानी लगभग 4.6 % परिवर्तन, और छोटे M पर परिवर्तन लगभग M²/2 है। परंपरा से M < 0.3 वाला प्रवाह असंपीड्य माना जाता है। 20 °C की वायु हेतु c ≈ 343 m/s, अतः 0.3 लगभग 103 m/s के संगत है।

हल किया उदाहरण 5 (मैक संख्या)। वायु (γ = 1.4, R = 287 J/kg·K) वहाँ 250 m/s से चलती है जहाँ T = 230 K है। तब c = √(1.4 × 287 × 230) = √92,414 = 304.0 m/s और M = 250/304.0 = 0.82। यह अवध्वनिक है पर 0.3 से बहुत अधिक, अतः घनत्व-परिवर्तन बड़े हैं और प्रवाह को संपीड्य मानना होगा। 20 °C की वायु में 30 m/s से चलती कार का M = 30/343 = 0.087 और घनत्व-परिवर्तन लगभग M²/2 = 0.4 % है: असंपीड्य।

5. आंतरिक बनाम बाह्य, स्थायी बनाम अस्थायी

आंतरिक प्रवाह चारों ओर दीवारों से घिरा होता है: पाइप, नलिकाएँ, चैनल व टर्बोमशीनों के मार्ग। दीवारें व अनुप्रस्थ-काट प्रवाह तय करती हैं और श्यान प्रभाव अंततः पूरे काट को भर देते हैं। बाह्य प्रवाह मूलतः असीमित धारा में किसी पिंड (वायुपर्ण, कार, भवन, गोला) के चारों ओर विकसित होता है: श्यानता सीमा-परत व वेक में सीमित रहती है और रुचि की राशियाँ कर्षण व उत्थापन हैं।

प्रवाह स्थायी है जब हर स्थिर बिंदु पर गुणधर्म समय के साथ नहीं बदलते, ∂/∂t = 0; अन्यथा वह अस्थायी है। स्थायी का अर्थ एकसमान नहीं है; एकसमान का अर्थ है किसी क्षण सभी बिंदुओं पर वही वेग: स्थायी प्रवाह में भी तरल कण नोज़ल से गुज़रते समय त्वरित होता है। स्थायित्व प्रेक्षक पर भी निर्भर है। स्थिर तरल में नियत वेग से चलता पिंड भू-प्रेक्षक हेतु अस्थायी प्रवाह बनाता है पर पिंड के निर्देश-तंत्र में स्थायी, इसीलिए पवन-सुरंग में मॉडल स्थिर रखा जाता है। विक्षुब्ध प्रवाह अपने तात्क्षणिक मानों में अस्थायी होता है पर समय-औसत मान स्थिर हों तो उसे स्थायी कहा जाता है।

⚠️ स्थायी, एकसमान व स्तरीय तीन भिन्न बातें हैं

नल से नियत दर पर गिरता जल स्थायी है पर एकसमान नहीं (धार पतली होती व तेज़ होती जाती है)। नियत व्यास के लंबे पाइप में, जिसका प्रवाह बढ़ाया जा रहा हो, प्रवाह पाइप के अनुदिश एकसमान है पर अस्थायी। विक्षुब्ध प्रवाह माध्य में स्थायी हो सकता है। लेबलों का हर युग्म भिन्न प्रश्न का उत्तर देता है।

6. स्तरीय व विक्षुब्ध प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या

स्तरीय प्रवाह में तरल चिकनी परतों में चलता है और परतों के बीच मिश्रण केवल आणविक होता है। विक्षुब्ध प्रवाह में वेग व दाब अनियमित रूप से घटते-बढ़ते हैं और अनेक आमापों के भँवर संवेग, ऊष्मा व द्रव्यमान को आणविक विसरण से कहीं तेज़ी से प्रवाह के आर-पार ले जाते हैं। समान माध्य वेग पर विक्षुब्ध पाइप-प्रवाह का क्रोड-प्रोफ़ाइल अधिक चपटा, दीवार पर प्रवणता अधिक तीव्र, और इसलिए दीवार पर अपरूपण प्रतिबल व घर्षण स्तरीय प्रवाह से अधिक होता है, तथा वह मिश्रण व ऊष्मा-अंतरण में बेहतर है।

रेनॉल्ड्स संख्या Re = ρVL/μ = VL/ν जड़त्व बलों व श्यान बलों का अनुपात है। पाइप-प्रवाह हेतु L = D और V माध्य वेग Q/A है। परंपरा से प्रवाह Re ≈ 2300 से नीचे स्तरीय (कुछ पुस्तकें 2000 लेती हैं), लगभग 4000 तक संक्रमणकालीन और उसके ऊपर विक्षुब्ध माना जाता है। ये परिपाटियाँ हैं, प्रकृति के स्थिरांक नहीं: क्रांतिक मान प्रवेश-विक्षोभ, खुरदुरेपन व कंपन पर निर्भर है, और बहुत शांत उपकरण में स्तरीय प्रवाह कहीं अधिक Re तक बनाए रखा गया है। समतल पट्टिका पर सीमा-परत में संक्रमण परंपरा से Re_x ≈ 5 × 10⁵ के निकट लिया जाता है। अवृत्ताकार नलिका हेतु द्रवचालित व्यास (hydraulic diameter) D_h = 4A/P लें, जहाँ A प्रवाह-क्षेत्र व P भीगा परिमाप है।

हल किया उदाहरण 6 (अधिकतम स्तरीय प्रवाह)। 20 mm पाइप में जल (ρ = 1000 kg/m³, μ = 1.0 × 10⁻³ Pa·s) Re = 2300 तक स्तरीय रहता है। V = Reμ/(ρD) = 2300 × 10⁻³/(1000 × 0.02) = 0.115 m/s और Q = V × πD²/4 = 0.115 × 3.142 × 10⁻⁴ = 3.61 × 10⁻⁵ m³/s ≈ 36 mL/s, जो अत्यल्प प्रवाह है; साधारण जल-पाइपों में विक्षुब्ध प्रवाह चलता है।

हल किया उदाहरण 7 (नियत प्रवाह-दर पर Re)। V = 4Q/(πD²), अतः Re = ρVD/μ = 4ρQ/(πμD): नियत Q पर Re ∝ 1/D, और व्यास दोगुना करने पर Re आधा हो जाता है। हल किया उदाहरण 8 (नलिका)। 0.3 m × 0.1 m नलिका में 6 m/s पर वायु (ν = 1.5 × 10⁻⁵ m²/s): A = 0.03 m², P = 0.8 m, D_h = 4 × 0.03/0.8 = 0.15 m और Re = 6 × 0.15/(1.5 × 10⁻⁵) = 6.0 × 10⁴, जो विक्षुब्ध है।

मुख्य बिंदु

तरल किसी भी अपरूपण प्रतिबल में लगातार विरूपित होता है और विराम में अपरूपण नहीं सहता; Kn ≪ 1 पर उसे सांतत्य माना जाता है, दीवारों पर नो-स्लिप के साथ।
न्यूटन का नियम τ = μ du/dy है, μ Pa·s में और ν = μ/ρ m²/s में; ताप बढ़ने पर द्रव की श्यानता घटती व गैस की बढ़ती है; कूएट अंतराल में τ = μU/h व F = τA।
घात-नियम तरल में τ = Kγ̇ⁿ व μ_app = Kγ̇ⁿ⁻¹ होता है: n < 1 पर अपरूपण-पतलाव, n > 1 पर अपरूपण-गाढ़ाव। बिंघम प्लास्टिक τ_y से नीचे दृढ़ है और उससे ऊपर τ = τ_y + μ_p γ̇।
असंपीड्य प्रवाह का अर्थ Dρ/Dt = 0 (∇·V = 0) है, जो प्रवाह का गुण है; गैस की कसौटी M = V/c < 0.3 है, c = √(γRT), और M = 0.3 पर घनत्व-परिवर्तन लगभग 4.6 % है।
अश्यान प्रवाह एक मॉडल है जो बड़े Re पर सीमा-परतों के बाहर मान्य है। स्थायी का अर्थ स्थिर बिंदु पर ∂/∂t = 0 है और यह प्रेक्षक पर निर्भर है; स्थायी एकसमान नहीं है; आंतरिक प्रवाह दीवारों से घिरे और बाह्य प्रवाह पिंड को घेरे होते हैं।
Re = ρVD/μ जड़त्व बल को श्यान बल से भाग देने पर मिलता है; पाइप-प्रवाह परंपरा से लगभग 2300 से नीचे स्तरीय और लगभग 4000 से ऊपर विक्षुब्ध है; नलिकाओं हेतु D_h = 4A/P लें, और नियत प्रवाह-दर पर Re ∝ 1/D।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

निम्नलिखित में से कौन-सा कथन तरल को ठोस से सही ढंग से अलग करता है?
1. तरल का घनत्व स्थिर रहता है, जबकि ठोस का घनत्व उस पर लगे भार से बदलता है
2. विराम में तरल किसी भी प्रकार का प्रतिबल, अभिलंब या स्पर्शरेखीय, नहीं सह सकता
3. तरल पर कितना भी सूक्ष्म अपरूपण प्रतिबल लगा हो, जब तक वह लगा रहता है तरल विरूपित होता रहता है
4. तरल की श्यानता शून्य होती है, जबकि ठोस श्यान घर्षण से अपरूपण का प्रतिरोध करता है
उत्तर देखें
उत्तर: C — तरल पर कितना भी सूक्ष्म अपरूपण प्रतिबल लगा हो, जब तक वह लगा रहता है तरल विरूपित होता रहता है
तरल का परिभाषक गुण किसी भी बने रहने वाले अपरूपण प्रतिबल में सतत विरूपण है। विराम में तरल अभिलंब प्रतिबल, यानी दाब, सह सकता है, इसलिए यह दावा कि वह किसी भी प्रकार का प्रतिबल नहीं सहता, आकर्षक पर गलत है: विराम में केवल अपरूपण प्रतिबल का शून्य होना आवश्यक है। तरल संपीड्य हो सकते हैं और वास्तविक तरल श्यान होते हैं, अतः स्थिर घनत्व व शून्य श्यानता परिभाषक गुण नहीं हैं।
वायुमंडलीय दाब पर द्रव जल और वायु दोनों का तापमान 20 °C से 60 °C किया जाता है। उनकी गतिक श्यानताएँ कैसे बदलती हैं?
1. दोनों बढ़ती हैं, क्योंकि तेज़ अणु परतों के बीच अधिक संवेग ले जाते हैं
2. जल की श्यानता घटती है, जबकि वायु की बढ़ती है
3. जल की श्यानता बढ़ती है, जबकि वायु की घटती है
4. दोनों घटती हैं, क्योंकि गर्म करने पर तरल फैलकर कम सघन हो जाता है
उत्तर देखें
उत्तर: B — जल की श्यानता घटती है, जबकि वायु की बढ़ती है
द्रव में अपरूपण प्रतिरोध मुख्यतः पास-पास के अणुओं के संसंजन से आता है, जिसे गर्म करना कमज़ोर करता है, अतः μ घटता है। गैस में वह परतों के बीच आते-जाते व संवेग ले जाते अणुओं से आता है, जो गर्म करने पर तेज़ होते हैं, अतः μ बढ़ता है। गैस की क्रियाविधि को द्रव पर लगाना आकर्षक भूल है: वह वायु को समझाती है, जल को नहीं।
2 mm दूरी पर दो बड़ी समांतर पट्टिकाओं के बीच गतिक श्यानता 0.08 Pa·s का तेल है। ऊपरी पट्टिका का भीगा क्षेत्रफल 0.4 m² है और वह स्थिर निचली पट्टिका के सापेक्ष 1.5 m/s से चलती है। रैखिक वेग-प्रोफ़ाइल व दाब-प्रवणता का अभाव मानिए। ऊपरी पट्टिका को चलाने हेतु आवश्यक बल ____ N है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 24
वेग-प्रवणता du/dy = U/h = 1.5/0.002 = 750 s⁻¹। अपरूपण प्रतिबल τ = μ du/dy = 0.08 × 750 = 60 Pa। बल F = τA = 60 × 0.4 = 24 N। अंतराल को m में बदले बिना mm में प्रयोग करना प्रचलित भूल है।
50 mm व्यास का एक शाफ़्ट 80 mm लंबे संकेंद्री स्थिर स्लीव के भीतर 600 rpm से घूमता है। 0.25 mm का अरीय क्लीयरेंस गतिक श्यानता 0.1 Pa·s के तेल से भरा है। परत को रैखिक वेग-प्रोफ़ाइल वाला कूएट अंतराल मानिए और सिरों के प्रभाव की उपेक्षा कीजिए। तेल में क्षयित शक्ति ____ W (एक दशमलव स्थान तक) है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 12.4
सतही चाल U = πDN/60 = π × 0.05 × 600/60 = 1.5708 m/s। τ = μU/c = 0.1 × 1.5708/0.00025 = 628.3 Pa। क्षेत्रफल = πDL = π × 0.05 × 0.08 = 0.012566 m², अतः F = 7.896 N। बल-आघूर्ण T = F × D/2 = 7.896 × 0.025 = 0.1974 N·m। ω = 2π × 10 = 62.83 rad/s, अतः शक्ति = Tω = 12.40 W। जाँच: P = Fv = 7.896 × 1.5708 = 12.40 W।
एक तरल घात-नियम τ = Kγ̇ⁿ का पालन करता है, n = 0.5 के साथ। स्थिर तापमान पर अपरूपण-दर 4 गुना की जाती है। उसकी आभासी श्यानता का क्या होगा?
1. वह दोगुनी हो जाती है, क्योंकि अपरूपण-दर चौगुनी करने पर अपरूपण प्रतिबल दोगुना हो जाता है
2. वह अपरिवर्तित रहती है, क्योंकि K व n तरल के स्थिरांक हैं
3. वह घटकर एक-चौथाई रह जाती है, क्योंकि प्रतिबल अपरूपण-दर के वर्गमूल के समानुपाती है
4. वह आधी हो जाती है, क्योंकि μ_app = Kγ̇ⁿ⁻¹ और 4⁻⁰·⁵ = 0.5
उत्तर देखें
उत्तर: D — वह आधी हो जाती है, क्योंकि μ_app = Kγ̇ⁿ⁻¹ और 4⁻⁰·⁵ = 0.5
आभासी श्यानता τ/γ̇ = Kγ̇ⁿ⁻¹ है। n = 0.5 हेतु वह γ̇^(−0.5) की तरह बदलती है, अतः γ̇ चौगुना करने पर वह 1/2 से गुणित होती है। आकर्षक उत्तर प्रतिबल को श्यानता से मिला देता है: प्रतिबल सचमुच दोगुना होता है (4^0.5 = 2), पर प्रतिबल व दर का अनुपात आधा हो जाता है। K व n स्थिरांक हैं, पर μ_app नहीं।
एक बिंघम प्लास्टिक का पराभव प्रतिबल 12 Pa और प्लास्टिक श्यानता 0.3 Pa·s है। वह एक स्थिर पट्टिका व 0.2 m/s से चलती पट्टिका के बीच 4 mm के अंतराल को भरता है, और पूरा अंतराल रैखिक वेग-प्रोफ़ाइल के साथ अपरूपित होता है। आभासी श्यानता, जो अपरूपण प्रतिबल को अपरूपण-दर से भाग देकर परिभाषित है, ____ Pa·s (दो दशमलव स्थान तक) है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.54
अपरूपण-दर γ̇ = U/h = 0.2/0.004 = 50 s⁻¹। बिंघम नियम: τ = τ_y + μ_p γ̇ = 12 + 0.3 × 50 = 27 Pa। आभासी श्यानता = τ/γ̇ = 27/50 = 0.54 Pa·s। 0.3 (प्लास्टिक श्यानता) उत्तर देना पराभव-प्रतिबल का योगदान τ_y/γ̇ = 0.24 Pa·s भूल जाना है।
अपरूपण-गाढ़ाव (डायलेटेंट) तरल पर निम्नलिखित में से कौन-सा वर्णन ठीक बैठता है?
1. अपरूपण-दर बढ़ने पर उसकी आभासी श्यानता बढ़ती है, जैसे n > 1 वाले घात-नियम तरल में
2. अपरूपण-दर बढ़ने पर उसकी आभासी श्यानता घटती है, जैसे n < 1 वाले घात-नियम तरल में
3. पराभव प्रतिबल पार होने तक वह नहीं बहता और उसके बाद स्थिर श्यानता से बहता है
4. उसकी श्यानता अपरूपण-दर से स्वतंत्र है और गर्म करने पर घटती है
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उत्तर: A — अपरूपण-दर बढ़ने पर उसकी आभासी श्यानता बढ़ती है, जैसे n > 1 वाले घात-नियम तरल में
अपरूपण-गाढ़ाव तरल में μ_app = Kγ̇ⁿ⁻¹ और n > 1 होता है, अतः μ_app अपरूपण-दर के साथ बढ़ती है (सघन कॉर्नस्टार्च निलंबन मानक उदाहरण है)। γ̇ के साथ μ_app का घटना अपरूपण-पतलाव है, पराभव-प्रतिबल वाला वर्णन बिंघम प्लास्टिक का है, और दर-स्वतंत्र श्यानता न्यूटनी तरल की है।
10 Pa पराभव प्रतिबल व प्लास्टिक श्यानता μ_p वाला एक बिंघम प्लास्टिक पतली परत में है जिसमें अपरूपण प्रतिबल हर जगह 6 Pa है। पदार्थ क्या करता है?
1. वह (6 − 10)/μ_p अपरूपण-दर से बहता है, जो ऋणात्मक है, अतः परतें पीछे की ओर चलती हैं
2. वह μ_p श्यानता वाले न्यूटनी तरल की तरह बहता है, क्योंकि पराभव प्रतिबल केवल ठोसों हेतु मायने रखता है
3. वह नहीं बहता: वह शून्य अपरूपण-दर वाले दृढ़ ठोस की तरह व्यवहार करता है
4. वह 6/μ_p अपरूपण-दर से बहता है, क्योंकि प्रतिबल धनात्मक है
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उत्तर: C — वह नहीं बहता: वह शून्य अपरूपण-दर वाले दृढ़ ठोस की तरह व्यवहार करता है
बिंघम नियम τ ≤ τ_y पर γ̇ = 0 देता है। चूँकि 6 Pa पराभव प्रतिबल 10 Pa से कम है, कोई अपरूपण नहीं होता और परत दृढ़ पिंड की तरह चलती है। सूत्र γ̇ = (τ − τ_y)/μ_p केवल पराभव के ऊपर लागू होता है; पराभव के नीचे लगाने पर ऋणात्मक, अर्थहीन दर मिलती है, जो आकर्षक विकल्पों की भूल है।
श्यानता के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. शुद्धगतिक श्यानता ν = μ/ρ की SI इकाई m²/s है
2. 1 पॉइज़ 0.1 Pa·s के बराबर है
3. नियत दाब पर गर्म करने पर गैस की श्यानता घटती है
4. द्रव की श्यानता मुख्यतः परतों के बीच आते-जाते अणुओं द्वारा ले जाए गए संवेग से आती है, इसलिए वह तापमान के साथ बढ़ती है
उत्तर देखें
उत्तर: A — शुद्धगतिक श्यानता ν = μ/ρ की SI इकाई m²/s है; B — 1 पॉइज़ 0.1 Pa·s के बराबर है
ν = μ/ρ की इकाई (kg/m·s)/(kg/m³) = m²/s है, और 1 पॉइज़ = 1 g/(cm·s) = 0.1 Pa·s। गैस की श्यानता तापमान के साथ बढ़ती है, और द्रव की श्यानता मुख्यतः संसंजन से आती है व तापमान के साथ घटती है, अतः शेष दो कथन गलत हैं।
एक दृढ़ पिंड स्थिर तरल की विशाल मात्रा में नियत वेग से चलता है। प्रवाह को चिकना, बिना विक्षुब्ध उच्चावचनों के, आदर्शीकृत कीजिए। प्रवाह का वर्गीकरण कैसे होगा?
1. भूमि पर स्थिर प्रेक्षक हेतु स्थायी, क्योंकि पिंड का वेग नहीं बदलता
2. भूमि पर स्थिर प्रेक्षक हेतु अस्थायी, पर पिंड के साथ चलते प्रेक्षक हेतु स्थायी
3. दोनों निर्देश-तंत्रों में अस्थायी, क्योंकि पिंड के पास आने पर किसी बिंदु पर वेग बदलता है
4. दोनों निर्देश-तंत्रों में एकसमान, क्योंकि पिंड का वेग उसके पथ पर हर जगह समान है
उत्तर देखें
उत्तर: B — भूमि पर स्थिर प्रेक्षक हेतु अस्थायी, पर पिंड के साथ चलते प्रेक्षक हेतु स्थायी
भू-प्रेक्षक देखता है कि पिंड के गुज़रने पर किसी स्थिर बिंदु पर वेग बदलता है, अतः ∂/∂t ≠ 0 और प्रवाह अस्थायी है। पिंड के निर्देश-तंत्र में पैटर्न स्थिर है और आती धारा स्थायी है। पिंड का नियत वेग भू-तंत्र के प्रवाह को स्थायी नहीं बनाता; स्थायित्व चुने हुए निर्देश-तंत्र के स्थिर बिंदुओं पर प्रवाह-क्षेत्र के बारे में है। प्रवाह एकसमान भी नहीं है, क्योंकि वेग एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर बदलता है।
1000 kg/m³ घनत्व व 1.0 × 10⁻³ Pa·s गतिक श्यानता का जल 20 mm व्यास के वृत्ताकार पाइप में बहता है। प्रवाह को Re = 2300 तक स्तरीय मानिए, जहाँ Re माध्य वेग व व्यास पर आधारित है। जिस सबसे बड़ी प्रवाह-दर तक प्रवाह स्तरीय रहता है वह ____ mL/s (निकटतम पूर्णांक तक) है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 36
Re = ρVD/μ = 2300 से V = 2300 × 10⁻³/(1000 × 0.02) = 0.115 m/s। क्षेत्रफल = π(0.02)²/4 = 3.1416 × 10⁻⁴ m²। Q = VA = 3.613 × 10⁻⁵ m³/s = 36.1 mL/s, अतः 36। Q = Re π D μ/(4ρ) = 2300 × π × 0.02 × 10⁻³/4000 = 3.613 × 10⁻⁵ m³/s से जाँच।
तेल को नियत आयतनी प्रवाह-दर Q पर वृत्ताकार पाइप से पंप किया जाता है। पाइप को दोगुने व्यास वाले पाइप से बदल दिया जाता है और तेल का तापमान अपरिवर्तित है। पाइप-व्यास पर आधारित रेनॉल्ड्स संख्या किस गुणक से बदलती है?
1. वह आधी हो जाती है, क्योंकि Re = 4ρQ/(πμD) नियत Q पर D के व्युत्क्रमानुपाती है
2. वह दोगुनी हो जाती है, क्योंकि D, ρVD/μ के अंश में है
3. वह अपरिवर्तित रहती है, क्योंकि वही तेल उसी दर से बहता है
4. वह एक-चौथाई हो जाती है, क्योंकि क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — वह आधी हो जाती है, क्योंकि Re = 4ρQ/(πμD) नियत Q पर D के व्युत्क्रमानुपाती है
नियत Q पर माध्य वेग V = 4Q/(πD²) है, अतः Re = ρVD/μ = 4ρQ/(πμD)। D दोगुना करने पर Re आधी हो जाती है। आकर्षक उत्तर केवल स्पष्ट D गिनता है और भूल जाता है कि वेग घटकर चौथाई रह जाता है; चौथाई वाला उत्तर इसका उलटा करता है और स्पष्ट D भूल जाता है।
प्रवाहों के वर्गीकरण के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. पाइप में बहता जल आंतरिक प्रवाह है, जबकि भवन के पास से बहती वायु बाह्य प्रवाह है
2. नियत व्यास के लंबे पाइप में, जिसका प्रवाह वाल्व खोलकर लगातार बढ़ाया जा रहा हो, प्रवाह अस्थायी है
3. स्थायी प्रवाह में प्रत्येक तरल कण का त्वरण शून्य होना आवश्यक है
4. जिस प्रवाह में किसी क्षण हर बिंदु पर वेग का मान समान हो वह स्थायी होना ही चाहिए
उत्तर देखें
उत्तर: A — पाइप में बहता जल आंतरिक प्रवाह है, जबकि भवन के पास से बहती वायु बाह्य प्रवाह है; B — नियत व्यास के लंबे पाइप में, जिसका प्रवाह वाल्व खोलकर लगातार बढ़ाया जा रहा हो, प्रवाह अस्थायी है
पाइप-प्रवाह दीवारों से घिरा (आंतरिक) है और भवन के चारों ओर का प्रवाह असीमित (बाह्य) है। बढ़ता प्रवाह मतलब स्थिर बिंदु पर वेग समय के साथ बदलता है, अतः प्रवाह अस्थायी है। स्थायी प्रवाह में भी संवहनी त्वरण हो सकता है, जैसे नोज़ल में, और एकसमान प्रवाह अस्थायी हो सकता है, जैसे बढ़ते प्रवाह वाले पाइप में, इसलिए शून्य कण-त्वरण वाला कथन और एकसमान प्रवाह के स्थायी होने वाला कथन, दोनों विफल होते हैं।
20 °C की वायु, जिसमें ध्वनि-वेग 343 m/s है, कार के पास से 60 m/s पर बहती है। M < 0.3 होने पर प्रवाह को असंपीड्य मानिए, जो प्रचलित परिपाटी है। कौन-सा कथन सही है?
1. प्रवाह को संपीड्य मानना ही होगा, क्योंकि वायु गैस है और हर गैस-प्रवाह संपीड्य होता है
2. प्रवाह को संपीड्य मानना ही होगा, क्योंकि मैक संख्या 0.175, 0.1 से अधिक है
3. प्रवाह असंपीड्य है, और घनत्व लगभग 17 % बदलता है, क्योंकि मैक संख्या भिन्नात्मक घनत्व-परिवर्तन के बराबर होती है
4. असंपीड्य अच्छा मॉडल है: M = 60/343 = 0.175, जो 0.3 से कम है, और घनत्व-परिवर्तन लगभग M²/2 ≈ 1.5 % है
उत्तर देखें
उत्तर: D — असंपीड्य अच्छा मॉडल है: M = 60/343 = 0.175, जो 0.3 से कम है, और घनत्व-परिवर्तन लगभग M²/2 ≈ 1.5 % है
M = 60/343 = 0.175, जो 0.3 से बहुत कम है, अतः प्रवाह असंपीड्य माना जाता है। घनत्व-परिवर्तन की कोटि M²/2 = 0.0153, यानी लगभग 1.5 % है, M स्वयं नहीं: मैक संख्या भिन्नात्मक घनत्व-परिवर्तन नहीं है, जो उस विकल्प की भूल है जो मैक संख्या को घनत्व-परिवर्तन के बराबर मानता है। गैस होने से प्रवाह संपीड्य नहीं हो जाता, और 0.1 कथित परिपाटी नहीं है।
संपीड्यता के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. प्रवाह असंपीड्य तब है जब ∇·V = 0 हो, जो द्रव के साथ गैस हेतु भी हो सकता है
2. जल को हर प्रवाह में असंपीड्य माना जा सकता है, जिसमें वाल्व अचानक बंद होने के बाद पाइप में दाब-तरंगें भी शामिल हैं
3. सीमा M < 0.3 समएन्ट्रॉपिक संबंध से लगभग 5 % या उससे कम घनत्व-परिवर्तन के संगत है
4. M = 0.8 पर नलिका में वायु को 5 % के भीतर स्थिर घनत्व वाली माना जा सकता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — प्रवाह असंपीड्य तब है जब ∇·V = 0 हो, जो द्रव के साथ गैस हेतु भी हो सकता है; C — सीमा M < 0.3 समएन्ट्रॉपिक संबंध से लगभग 5 % या उससे कम घनत्व-परिवर्तन के संगत है
असंपीड्यता ∇·V = 0 है, जो प्रवाह के बारे में कथन है, और γ = 1.4 हेतु M = 0.3 पर रोध घनत्व-परिवर्तन 4.6 % है। वाटर-हैमर में जल संपीड्य है, जहाँ परिमित ध्वनि-वेग (लगभग 1.5 km/s) दाब-तरंग को नियंत्रित करता है। M = 0.8 पर समएन्ट्रॉपिक अनुपात ρ₀/ρ = (1 + 0.2 × 0.64)^2.5 = 1.35 है, यानी लगभग 35 % परिवर्तन, 5 % से बहुत दूर।
वायु को γ = 1.4 व R = 287 J/kg·K वाली आदर्श गैस मानिए, जो ऐसे बिंदु पर 250 m/s से बहती है जहाँ उसका स्थैतिक तापमान 230 K है। स्थानीय मैक संख्या ____ (दो दशमलव स्थान तक) है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.82
ध्वनि-वेग c = √(γRT) = √(1.4 × 287 × 230) = √92,414 = 304.0 m/s। मैक संख्या M = V/c = 250/304.0 = 0.822, अतः 0.82। 230 K के स्थान पर 340 m/s या समुद्र-तल का तापमान लेना प्रचलित भूल है।
वृत्ताकार पाइप में स्तरीय व विक्षुब्ध प्रवाह के बारे में कौन-सा कथन सही है?
1. पाइप-प्रवाह प्रवेश-विक्षोभ व दीवार के खुरदुरेपन की परवाह किए बिना ठीक Re = 2300 पर सदा विक्षुब्ध हो जाता है
2. समान माध्य वेग पर विक्षुब्ध प्रवाह में दीवार पर अपरूपण प्रतिबल स्तरीय प्रवाह से कम होता है, क्योंकि भँवर घर्षण घटाते हैं
3. लगभग 2300 व 4000 की सीमाएँ परंपरा हैं: संक्रमण प्रवेश-विक्षोभ व खुरदुरेपन पर निर्भर करता है
4. रेनॉल्ड्स संख्या श्यान बलों व जड़त्व बलों का अनुपात है, अतः छोटा Re का अर्थ जड़त्व का हावी होना है
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उत्तर: C — लगभग 2300 व 4000 की सीमाएँ परंपरा हैं: संक्रमण प्रवेश-विक्षोभ व खुरदुरेपन पर निर्भर करता है
2300 व 4000 की सीमाएँ प्रारूपिक व्यावसायिक स्थितियों की परिपाटियाँ हैं; बहुत शांत प्रवेश में स्तरीय प्रवाह कहीं अधिक Re तक बनाए रखा गया है, और प्रबल विक्षोभ विक्षुब्धता को पहले भी भड़का सकते हैं। विक्षुब्ध प्रवाह में समान माध्य वेग पर दीवार-प्रवणता अधिक तीव्र और दीवार पर अपरूपण प्रतिबल अधिक होता है। Re जड़त्व बल बनाम श्यान बल है, अतः छोटे Re का अर्थ श्यानता का हावी होना है, जो उस कथन को उलट देता है कि छोटे Re पर जड़त्व हावी होता है।
वायु बहुत उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर एक धारारेखित पिंड के ऊपर बहती है। किस क्षेत्र में अश्यान-प्रवाह मॉडल स्वीकार्य सन्निकटन है?
1. दीवार की परत समेत पूरे प्रवाह में, क्योंकि उच्च Re पर श्यान बल लुप्त हो जाते हैं
2. पतली सीमा-परत व वेक के बाहर के क्षेत्र में, जहाँ वेग-प्रवणताएँ छोटी हैं
3. केवल सीमा-परत के भीतर, जहाँ वेग-प्रवणता बड़ी है और श्यानता नगण्य है
4. कहीं नहीं, क्योंकि अश्यान मॉडल किसी भी वास्तविक पिंड पर दाब-वितरण नहीं दे सकता
उत्तर देखें
उत्तर: B — पतली सीमा-परत व वेक के बाहर के क्षेत्र में, जहाँ वेग-प्रवणताएँ छोटी हैं
श्यान प्रतिबल μ व वेग-प्रवणता का गुणनफल है। पतली सीमा-परत व वेक के बाहर प्रवणताएँ छोटी हैं, अतः श्यान प्रतिबल नगण्य है और अश्यान मॉडल अच्छे दाब-वितरण देता है। सीमा-परत के भीतर प्रवणता बड़ी है, इसलिए वहाँ श्यानता महत्त्वपूर्ण है; और दीवार पर नो-स्लिप अश्यान मॉडल से पूरा नहीं हो सकता। उच्च Re श्यान क्षेत्र को पतला करता है, उसे मिटाता नहीं।