An n × n real matrix is diagonalisable if and only if:

it has n linearly independent eigenvectors

all its eigenvalues are distinct

it has n linearly independent eigenvectors

A = [[4, 1], [2, 3]] has eigenvalues 5 and 2. The eigenvalues of A² and the corresponding eigenvectors are:

25 and 4, with the same eigenvectors as A

25 and 4, with eigenvectors that are squared

25 and 4, with the same eigenvectors as A

10 and 4, with the same eigenvectors as A

5 and 2, with the same eigenvectors as A

S = [[2, 1], [1, 2]] is real symmetric. Which statement is correct?

its eigenvectors for λ = 3 and λ = 1 are orthogonal, so S = QDQᵀ with orthogonal Q

its eigenvectors for λ = 3 and λ = 1 are parallel

its eigenvalues are complex conjugates, since the matrix is real

it is not diagonalisable, because its two columns are not orthogonal

its eigenvectors for λ = 3 and λ = 1 are orthogonal, so S = QDQᵀ with orthogonal Q

The function Log z = ln|z| + i Arg z (principal argument in (−π, π]) is analytic on:

the plane with the origin and the negative real axis removed

the plane without the origin only

the plane with the origin and the negative real axis removed

Which statements about eigenvalues and diagonalisation are correct?

A real symmetric matrix has only real eigenvalues

Eigenvectors of a real symmetric matrix for distinct eigenvalues are orthogonal

A 3 × 3 matrix with three distinct eigenvalues is diagonalisable

A real symmetric matrix has only real eigenvalues

Eigenvectors of a real symmetric matrix for distinct eigenvalues are orthogonal

A matrix with a repeated eigenvalue can never be diagonalised

A 3 × 3 matrix with three distinct eigenvalues is diagonalisable

Which statements about the Cayley-Hamilton theorem are correct?

Every square matrix satisfies its own characteristic equation

A⁻¹ can be written as a polynomial in A when det A ≠ 0

Every square matrix satisfies its own characteristic equation

It can be used to find the inverse of a singular matrix

A⁻¹ can be written as a polynomial in A when det A ≠ 0

The characteristic equation is obtained by replacing λ with A inside det(A − λI)

Which statements about analytic functions are correct?

eᶻ is analytic at every point of the complex plane

Log z (principal branch) is analytic away from the origin and the negative real axis

eᶻ is analytic at every point of the complex plane

f(z) = z̄ is analytic, because its real and imaginary parts are x and −y

Log z (principal branch) is analytic away from the origin and the negative real axis

u = x² + y² can be the real part of an analytic function

विकर्णीकरण, Cayley-Hamilton, LU हल, De Moivre प्रमेय तथा विश्लेषिक फलन

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के खंड XE0 (अभियांत्रिकी गणित) का है, जो प्रत्येक परीक्षार्थी के लिए 15 अंकों का समान भाग है। यह XE0.1, XE0.4 व XE0.8 में साझा अध्यायों की रिक्तियाँ भरता है: “आव्यूहों के आइगेन मान व आइगेन सदिश; सममित आव्यूहों के आइगेन मानों व आइगेन सदिशों के गुण, आव्यूहों का विकर्णीकरण; Cayley-Hamilton प्रमेय”, “De Moivre प्रमेय; विश्लेषिक फलनों की परिभाषा व उदाहरण; Cauchy-Riemann समीकरण” तथा “LU अपघटन व Gauss विलोपन विधि से रैखिक समीकरण निकायों का हल।” साझा अध्याय आइगेन मान के शॉर्टकट, कोटि, विकर्णीकरण की कसौटी और Cauchy-Riemann समीकरण कार्तीय रूप में देते हैं। यहाँ आप विकर्णीकरण करके उससे आव्यूह के घात निकालेंगे, देखेंगे कि सममित आव्यूह लंबकोणीय रूप से क्यों विकर्णित होते हैं, व्युत्क्रम व उच्च घात के लिए Cayley-Hamilton का प्रयोग करेंगे, 3 × 3 निकाय को LU व विलोपन से हल करेंगे, De Moivre प्रमेय से घात व मूल निकालेंगे और ध्रुवीय Cauchy-Riemann समीकरणों सहित प्रारंभिक फलनों की विश्लेषिकता जाँचेंगे। संख्यात्मक प्रश्न हैं: आव्यूह घात, Fibonacci आव्यूह घात, LU हल तथा सम्मिश्र संख्या का घात।

1. विकर्णीकरण व आव्यूह के घात

n × n आव्यूह A विकर्णीय है यदि कोई व्युत्क्रमणीय P हो जिससे P⁻¹AP = D विकर्ण हो। ऐसा ठीक तब होता है जब A के n रैखिकतः स्वतंत्र आइगेन सदिश हों; तब P के स्तंभ वे आइगेन सदिश हैं और D का विकर्ण संगत आइगेन मान उसी क्रम में रखता है। भिन्न आइगेन मान विकर्णीयता सुनिश्चित करते हैं; दोहराए आइगेन मान को उसकी बहुलता जितने स्वतंत्र आइगेन सदिश चाहिए।

हल। A = [[4, 1], [2, 3]]। det(A − λI) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 5)(λ − 2), अतः λ = 5, 2। λ = 5 के लिए (A − 5I)v = 0 से −x + y = 0, v = (1, 1)। λ = 2 के लिए 2x + y = 0, v = (1, −2)। अतः P = [[1, 1], [1, −2]], D = diag(5, 2)। तब Aᵏ = P Dᵏ P⁻¹, और A⁵ = [[2094, 1031], [2062, 1063]]। Aᵏ के आइगेन मान λᵏ हैं, आइगेन सदिश वही, अतः tr(A⁶) = 5⁶ + 2⁶ = 15689। जाँच: tr(A) = 7 = 5 + 2 और det A = 10 = 5 × 2।

⚠️ दोहराया आइगेन मान अविकर्णीय होना नहीं है

इकाई आव्यूह का आइगेन मान 1 दोहराया है और वह पहले से विकर्ण है; [[3, 1], [0, 3]] का भी आइगेन मान 3 दोहराया है पर स्वतंत्र आइगेन सदिश केवल एक है, अतः वह विकर्णीय नहीं। कसौटी स्वतंत्र आइगेन सदिशों की गिनती है, दोहराव नहीं। साथ ही P के स्तंभों का क्रम D के आइगेन मानों के क्रम जैसा हो।

2. सममित आव्यूह

वास्तविक सममित आव्यूह (A = Aᵀ) के लिए:
(i) सभी आइगेन मान वास्तविक हैं;
(ii) भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश लंबकोणीय हैं;
(iii) A सदा विकर्णीय है, दोहराए आइगेन मान होने पर भी, और n आइगेन सदिशों का प्रसामान्य लंबकोणीय समुच्चय चुना जा सकता है। इन्हें Q के स्तंभ बनाने पर QᵀAQ = D, Q⁻¹ = Qᵀ मिलता है। (ii) का प्रमाण: यदि Av = λv और Aw = μw तो λ vᵀw = (Av)ᵀw = vᵀAw = μ vᵀw, अतः (λ − μ) vᵀw = 0 और λ ≠ μ होने पर vᵀw = 0।

हल। S = [[2, 1], [1, 2]]: λ = 3 के लिए v = (1, 1)/√2, और λ = 1 के लिए v = (1, −1)/√2। ये लंबकोणीय हैं, और Q = (1/√2)[[1, 1], [1, −1]] से QᵀSQ = diag(3, 1)। [[4, 1], [2, 3]] जैसे असममित आव्यूह के आइगेन सदिश (1, 1) व (1, −2) का अदिश गुणनफल −1 ≠ 0 है, अतः लंबकोणीयता के परिणाम को सममिति चाहिए। वास्तविक विषम-सममित आव्यूह के आइगेन मान शुद्ध काल्पनिक (या शून्य) होते हैं; लंबकोणीय आव्यूह के आइगेन मानों का मापांक 1 होता है।

3. Cayley-Hamilton प्रमेय

प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है। यदि p(λ) = det(A − λI) = (−1)ⁿ(λⁿ + c₁λⁿ⁻¹ + … + cₙ), तो Aⁿ + c₁Aⁿ⁻¹ + … + cₙI = 0 (एकघाती रूप में अचर पद cₙ = (−1)ⁿ det A)। दो उपयोग:
(i) उच्च घात Aᵏ को A में घात n − 1 के बहुपद तक घटाना;
(ii) व्युत्क्रम: यदि cₙ ≠ 0, तो A⁻¹ से गुणा करने पर A⁻¹ = −(Aⁿ⁻¹ + c₁Aⁿ⁻² + … + cₙ₋₁I)/cₙ।

हल 1 (व्युत्क्रम)। A = [[2, 1], [1, 3]]: λ² − 5λ + 5 = 0, अतः A² − 5A + 5I = 0 और A⁻¹ = (5I − A)/5 = (1/5)[[3, −1], [−1, 2]]। जाँच: A·(5I − A) = [[5, 0], [0, 5]]। हल 2 (3 × 3)। A = [[2, 1, 0], [0, 2, 1], [0, 0, 3]] के आइगेन मान 2, 2, 3 (त्रिकोणीय) हैं, अभिलक्षणिक समीकरण (λ − 2)²(λ − 3) = λ³ − 7λ² + 16λ − 12 = 0, अतः A³ = 7A² − 16A + 12I और A⁻¹ = (A² − 7A + 16I)/12। इसकी (3, 3) प्रविष्टि (9 − 21 + 16)/12 = 1/3 है, जैसा होना चाहिए (अंतिम विकर्ण प्रविष्टि का व्युत्क्रम)।

Cayley-Hamilton से उच्च घात। F = [[1, 1], [1, 0]] के लिए λ² = λ + 1, अतः F² = F + I। बार-बार लगाने पर Fⁿ = FₙF + Fₙ₋₁I, जहाँ Fₙ Fibonacci संख्याएँ हैं (F₁ = F₂ = 1)। अतः F¹⁰ = 55F + 34I = [[89, 55], [55, 34]], और उसकी ऊपरी-बाईं प्रविष्टि 89 है। हाथ से दस बार वर्ग करने में कहीं अधिक समय लगता।

⚠️ det A = 0 होने पर प्रमेय A⁻¹ नहीं देता

यदि अभिलक्षणिक बहुपद का अचर पद शून्य हो तो A अव्युत्क्रमणीय है और cₙ से भाग विफल है। साथ ही det(A − λI) में λ की जगह A रखने पर det(A − A) = 0 मिलता है, जो निरर्थक है: बहुपद में प्रतिस्थापित कीजिए, सारणिक में नहीं।

4. Gauss विलोपन व LU अपघटन

Gauss विलोपन पिवट पंक्ति के गुणज mᵢⱼ = (प्रविष्टि)/(पिवट) घटाकर Ax = b को ऊपरी त्रिकोणीय निकाय बनाता है; पश्च-प्रतिस्थापन से x मिलता है। LU अपघटन उन गुणकों को सुरक्षित रखता है: A = LU, जहाँ L इकाई निम्न त्रिकोणीय (विकर्ण के नीचे गुणक) और U अंतिम ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है। Ax = b हल करने के लिए: अग्र प्रतिस्थापन Ly = b, फिर पश्च प्रतिस्थापन Ux = y। det A = पिवटों का गुणनफल (U का विकर्ण), और वही L, U प्रत्येक नए दाएँ पक्ष के लिए काम आते हैं।

हल। A = [[2, 1, 1], [4, 3, 3], [8, 7, 9]], b = (6, 14, 36)। विलोपन: m₂₁ = 2, m₃₁ = 4; पहले चरण के बाद दूसरी व तीसरी पंक्तियाँ (0, 1, 1) और (0, 3, 5) हैं; m₃₂ = 3 से (0, 0, 2)। अतः L = [[1, 0, 0], [2, 1, 0], [4, 3, 1]], U = [[2, 1, 1], [0, 1, 1], [0, 0, 2]], और det A = 2 × 1 × 2 = 4। अग्र: y₁ = 6, y₂ = 14 − 2(6) = 2, y₃ = 36 − 4(6) − 3(2) = 6। पश्च: z = 6/2 = 3, y = 2 − 3 = −1, x = (6 + 1 − 3)/2 = 2। हल (x, y, z) = (2, −1, 3) है, और मूल तीनों समीकरणों में प्रतिस्थापन से 6, 14, 36 लौटते हैं।

⚠️ गुणक अपने चिह्न सहित L में जाते हैं

यदि पंक्ति 2 को पंक्ति 2 − 2 × पंक्ति 1 से बदला जाए तो L₂₁ = +2 (प्रयुक्त गुणक) होता है, −2 नहीं। शून्य पिवट पर पंक्ति-विनिमय चाहिए, तब क्रमचय P सहित A = PᵀLU। मध्यवर्ती y में x के मान कभी न लीजिए; y केवल निम्न निकाय का हल है।

5. De Moivre प्रमेय: घात व मूल

ध्रुवीय रूप में z = r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ)। De Moivre प्रमेय: (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, अतः zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)। z = re^(iθ) के n-वें मूल w_k = r^(1/n) e^(i(θ + 2πk)/n), k = 0, 1, …, n − 1 हैं: त्रिज्या r^(1/n) के वृत्त पर समान अंतराल के n मान, और n ≥ 2 के लिए उनका योग शून्य है।

हल। (i) √3 + i = 2e^(iπ/6), अतः (√3 + i)⁶ = 64e^(iπ) = −64। (ii) (1 + i)⁸ = (√2)⁸e^(i2π) = 16। (iii) −8 = 8e^(iπ) के घनमूल: 2e^(i(π + 2πk)/3) = 1 + i√3, −2, 1 − i√3। (iv) (cos θ + i sin θ)³ का प्रसार करके वास्तविक भाग बराबर रखने पर cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ। सूत्र लगाने से पहले z का कोण (−π, π] (मुख्य कोणांक) में लीजिए, और शेष n − 1 मूल न भूलिए।

6. विश्लेषिक फलन: उदाहरण व ध्रुवीय Cauchy-Riemann समीकरण

f = u + iv किसी बिंदु पर विश्लेषिक है यदि वह उस बिंदु के प्रतिवेश में सम्मिश्र-अवकलनीय हो। संतत आंशिक अवकलजों के साथ यह वहाँ Cauchy-Riemann समीकरणों u_x = v_y, u_y = −v_x के तुल्य है। ध्रुवीय रूप में, z = re^(iθ) के साथ: u_r = v_θ/r तथा v_r = −u_θ/r, और तब f′(z) = e^(−iθ)(u_r + i v_r)। Log z = ln r + iθ से जाँच: u_r = 1/r = v_θ/r और v_r = 0 = −u_θ/r, अतः Log z विश्लेषिक है, f′ = e^(−iθ)/r = 1/z।

सामान्य फलन कहाँ विश्लेषिक हैं
फलन	विश्लेषिक	कारण
eᶻ = eˣ(cos y + i sin y)	सर्वत्र (पूर्ण फलन)	प्रत्येक बिंदु पर Cauchy-Riemann लागू
sin z, cos z फलन	सर्वत्र (पूर्ण फलन)	eᶻ से निर्मित; अपरिबद्ध, sin(iy) = i sinh y
1/z, tan z	0 को छोड़कर; z = π/2 + kπ को छोड़कर	जहाँ हर शून्य वहाँ ध्रुव
Log z = ln\|z\| + i Arg z (मुख्य शाखा)	मूलबिंदु व ऋणात्मक वास्तविक अक्ष को छोड़कर	शाखा-कट: Arg में 2π की छलाँग
z̄, \|z\|², Re z	कहीं नहीं	Cauchy-Riemann विफल (\|z\|² केवल 0 पर, और एक बिंदु प्रतिवेश नहीं)

⚠️ u का हार्मोनिक होना आवश्यक है

विश्लेषिक फलन के वास्तविक व काल्पनिक भाग Laplace समीकरण को संतुष्ट करते हैं। u = x² + y² के लिए u_xx + u_yy = 4 ≠ 0 है, अतः यह किसी विश्लेषिक फलन का वास्तविक भाग कभी नहीं हो सकता, जबकि u = x² − y² (z² का वास्तविक भाग) हो सकता है। कोई फलन केवल एक बिंदु पर Cauchy-Riemann समीकरण संतुष्ट कर सकता है और फिर भी विश्लेषिक न हो।

मुख्य बिंदु

n स्वतंत्र आइगेन सदिश खोजकर विकर्णित कीजिए: P = [v₁ … vₙ], P⁻¹AP = D, Aᵏ = PDᵏP⁻¹ और Aᵏ के आइगेन मान λᵏ हैं।
वास्तविक सममित आव्यूहों के आइगेन मान वास्तविक, भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश लंबकोणीय और प्रसामान्य लंबकोणीय आइगेन-आधार होता है, QᵀAQ = D।
Cayley-Hamilton: p(A) = 0। यह उच्च घात घटाता है (Fibonacci आव्यूह) और अचर पद अशून्य होने पर अभिलक्षणिक बहुपद से A⁻¹ देता है।
LU: A = LU, विलोपन गुणक L में; Ly = b अग्र, Ux = y पश्च हल कीजिए; det A पिवटों का गुणनफल है।
De Moivre: zⁿ = rⁿe^(inθ); n-वें मूल r^(1/n)e^(i(θ + 2πk)/n), k = 0 … n − 1, समान अंतराल पर, योग शून्य।
eᶻ, sin z, cos z पूर्ण फलन हैं; Log z ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के बाहर विश्लेषिक है; z̄ व |z|² कहीं विश्लेषिक नहीं; ध्रुवीय CR: u_r = v_θ/r, v_r = −u_θ/r।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

n × n वास्तविक आव्यूह विकर्णीय है यदि और केवल यदि:
1. उसके सभी आइगेन मान भिन्न हों
2. वह सममित हो
3. उसके n रैखिकतः स्वतंत्र आइगेन सदिश हों
4. उसका सारणिक अशून्य हो
उत्तर देखें
उत्तर: C — उसके n रैखिकतः स्वतंत्र आइगेन सदिश हों
विकर्णीकरण P⁻¹AP = D के लिए P के n स्वतंत्र स्तंभ चाहिए, जो आइगेन सदिश हैं। भिन्न आइगेन मान और सममिति पर्याप्त हैं पर आवश्यक नहीं (इकाई आव्यूह एक दोहराए आइगेन मान के साथ विकर्णीय है), और व्युत्क्रमणीयता का विकर्णीयता से संबंध नहीं।
A = [[4, 1], [2, 3]] के आइगेन मान 5 व 2 हैं। A² के आइगेन मान व संगत आइगेन सदिश हैं:
1. 25 और 4, जिनके आइगेन सदिश वर्गित हों
2. 25 और 4, A के ही आइगेन सदिशों के साथ
3. 10 और 4, A के ही आइगेन सदिशों के साथ
4. 5 और 2, A के ही आइगेन सदिशों के साथ
उत्तर देखें
उत्तर: B — 25 और 4, A के ही आइगेन सदिशों के साथ
यदि Av = λv तो A²v = λAv = λ²v, अतः आइगेन मानों का वर्ग (25, 4) होता है और आइगेन सदिश अपरिवर्तित रहते हैं। जाँच: tr(A²) = 18 + 11 = 29 = 25 + 4। आइगेन मान दुगुना (10) करना A² को 2A से भ्रमित करना है।
S = [[2, 1], [1, 2]] वास्तविक सममित है। कौन-सा कथन सही है?
1. λ = 3 व λ = 1 के उसके आइगेन सदिश समांतर हैं
2. उसके आइगेन मान सम्मिश्र संयुग्मी हैं, क्योंकि आव्यूह वास्तविक है
3. वह विकर्णीय नहीं है, क्योंकि उसके दोनों स्तंभ लंबकोणीय नहीं हैं
4. λ = 3 व λ = 1 के उसके आइगेन सदिश लंबकोणीय हैं, अतः लंबकोणीय Q के साथ S = QDQᵀ
उत्तर देखें
उत्तर: D — λ = 3 व λ = 1 के उसके आइगेन सदिश लंबकोणीय हैं, अतः लंबकोणीय Q के साथ S = QDQᵀ
λ = 3 के लिए (1, 1) और λ = 1 के लिए (1, −1) का अदिश गुणनफल 0 है। वास्तविक सममित आव्यूह के आइगेन मान वास्तविक होते हैं, अतः सम्मिश्र संयुग्मी युग्म नहीं हो सकते; S के स्तंभों का लंबकोणीय होना आवश्यक नहीं; भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश कभी समांतर नहीं होते।
A = [[2, 1], [1, 3]] का अभिलक्षणिक समीकरण λ² − 5λ + 5 = 0 है। Cayley-Hamilton प्रमेय से A⁻¹ बराबर है:
1. (1/5)[[2, −1], [−1, 3]]
2. (1/5)[[3, −1], [−1, 2]]
3. (1/5)[[3, 1], [1, 2]]
4. 5I − A
उत्तर देखें
उत्तर: B — (1/5)[[3, −1], [−1, 2]]
A² − 5A + 5I = 0 से A(5I − A) = 5I, अतः A⁻¹ = (5I − A)/5 = (1/5)[[3, −1], [−1, 2]]; जाँच det A = 5। गुणक 1/5 के बिना 5I − A, 5A⁻¹ के बराबर है, और अन्य रूप A·A⁻¹ = I में विफल रहते हैं।
ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह A = [[2, 1, 0], [0, 2, 1], [0, 0, 3]] का अभिलक्षणिक बहुपद λ³ − 7λ² + 16λ − 12 है। Cayley-Hamilton से A³ = 7A² − 16A + cI। c का मान है:
1. −12
2. 6
3. 16
4. 12
उत्तर देखें
उत्तर: D — 12
A³ − 7A² + 16A − 12I = 0 से A³ = 7A² − 16A + 12I, अतः c = 12 = det A (विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल 2 × 2 × 3)। चिह्न −12 बहुपद का अचर पद है, समता-चिह्न के पार ले जाने से पहले।
A = [[2, 1, 1], [4, 3, 3], [8, 7, 9]] पर Gauss विलोपन से पिवट 2, 1 व 2 मिलते हैं। A का सारणिक तथा अंतिम पंक्ति की दूसरे स्तंभ की प्रविष्टि (पहले चरण के बाद) मिटाने का गुणक है:
1. det A = 5, गुणक 3
2. det A = 4, गुणक 7
3. det A = 4, गुणक 3
4. det A = 56, गुणक 4
उत्तर देखें
उत्तर: C — det A = 4, गुणक 3
सारणिक पिवटों का गुणनफल 2 × 1 × 2 = 4 है (कोई पंक्ति-विनिमय नहीं हुआ)। पहले चरण के बाद अंतिम पंक्ति (0, 3, 5) है, पिवट पंक्ति (0, 1, 1) के नीचे, अतः गुणक 3/1 = 3 है, जो L₃₂ = 3 बनता है।
(1 + i)⁸ का मान है:
1. 16i
2. 16
3. −16
4. 256
उत्तर देखें
उत्तर: B — 16
1 + i = √2 e^(iπ/4), अतः (1 + i)⁸ = (√2)⁸e^(i2π) = 16 × 1 = 16। वर्ग करने पर (1 + i)² = 2i, (2i)² = −4, (−4)² = 16, सहमत। मापांक √2 की जगह 2 लेने पर 256 आता।
−16 के चारों चतुर्थ मूलों का योग है:
1. −16
2. 2
3. 0
4. 2i
उत्तर देखें
उत्तर: C — 0
मूल 2e^(i(π + 2πk)/4), k = 0 से 3, मूलबिंदु-केंद्रित वर्ग के शीर्ष हैं, अतः उनका योग शून्य है (समतुल्यतः λ⁴ + 16 में λ³ का गुणांक 0 है)। प्रत्येक मूल का मापांक 2 है, इसलिए योग 2 या 2i लुभाता है, पर उनकी दिशाएँ कट जाती हैं।
फलन Log z = ln|z| + i Arg z (मुख्य कोणांक (−π, π] में) किस पर विश्लेषिक है?
1. पूरे तल पर
2. केवल मूलबिंदु हटाए तल पर
3. मूलबिंदु व ऋणात्मक वास्तविक अक्ष हटाए तल पर
4. केवल ऊपरी अर्ध-तल पर
उत्तर देखें
उत्तर: C — मूलबिंदु व ऋणात्मक वास्तविक अक्ष हटाए तल पर
ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के आर-पार Arg z में 2π की छलाँग आती है, अतः Log z वहाँ असंतत है और अवकलनीय नहीं हो सकता; शेष सर्वत्र वह विश्लेषिक है, केवल 0 पर अपरिभाषित है। केवल मूलबिंदु हटाना पर्याप्त नहीं, और विश्लेषिक प्रांत ऊपरी अर्ध-तल से कहीं बड़ा है।
आइगेन मानों व विकर्णीकरण के बारे में कौन-से कथन सही हैं?
1. वास्तविक सममित आव्यूह के आइगेन मान केवल वास्तविक होते हैं
2. वास्तविक सममित आव्यूह के भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश लंबकोणीय होते हैं
3. दोहराए आइगेन मान वाला आव्यूह कभी विकर्णित नहीं हो सकता
4. तीन भिन्न आइगेन मानों वाला 3 × 3 आव्यूह विकर्णीय होता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — वास्तविक सममित आव्यूह के आइगेन मान केवल वास्तविक होते हैं; B — वास्तविक सममित आव्यूह के भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश लंबकोणीय होते हैं; D — तीन भिन्न आइगेन मानों वाला 3 × 3 आव्यूह विकर्णीय होता है
सममित आव्यूहों के आइगेन मान वास्तविक व भिन्न आइगेन मानों के आइगेन सदिश लंबकोणीय होते हैं, और भिन्न आइगेन मान स्वतंत्र आइगेन सदिश देते हैं। दोहराया आइगेन मान विकर्णीकरण नहीं रोकता: इकाई आव्यूह पहले से विकर्ण है।
Cayley-Hamilton प्रमेय के बारे में कौन-से कथन सही हैं?
1. प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है
2. इसका प्रयोग अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम निकालने में हो सकता है
3. det A ≠ 0 होने पर A⁻¹ को A के बहुपद के रूप में लिखा जा सकता है
4. अभिलक्षणिक समीकरण det(A − λI) में λ की जगह A रखकर मिलता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है; C — det A ≠ 0 होने पर A⁻¹ को A के बहुपद के रूप में लिखा जा सकता है
प्रमेय प्रत्येक वर्ग आव्यूह के लिए सत्य है, और अचर पद (चिह्न तक det A) अशून्य होने पर A⁻¹ को A के बहुपद के रूप में देता है। अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का कोई व्युत्क्रम नहीं होता, और सारणिक में प्रतिस्थापन से det(0) = 0 मिलता है, जो प्रमेय नहीं है; आव्यूह को बहुपद p(λ) में रखा जाता है।
विश्लेषिक फलनों के बारे में कौन-से कथन सही हैं?
1. eᶻ सम्मिश्र तल के प्रत्येक बिंदु पर विश्लेषिक है
2. f(z) = z̄ विश्लेषिक है, क्योंकि उसके वास्तविक व काल्पनिक भाग x और −y हैं
3. Log z (मुख्य शाखा) मूलबिंदु व ऋणात्मक वास्तविक अक्ष से दूर विश्लेषिक है
4. u = x² + y² किसी विश्लेषिक फलन का वास्तविक भाग हो सकता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — eᶻ सम्मिश्र तल के प्रत्येक बिंदु पर विश्लेषिक है; C — Log z (मुख्य शाखा) मूलबिंदु व ऋणात्मक वास्तविक अक्ष से दूर विश्लेषिक है
eᶻ पूर्ण फलन है और Log z शाखा-कट के बाहर विश्लेषिक है। z̄ के लिए u_x = 1 पर v_y = −1, अतः Cauchy-Riemann सर्वत्र विफल है। u = x² + y² के लिए u_xx + u_yy = 4 ≠ 0, अतः वह हार्मोनिक नहीं और वास्तविक भाग नहीं हो सकता।
A = [[4, 1], [2, 3]] के लिए A⁶ का अनुरेख (trace) ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 15689
A के आइगेन मान 5 व 2 हैं (λ² − 7λ + 10 = 0), अतः A⁶ के 5⁶ = 15625 और 2⁶ = 64 हैं और अनुरेख 15689 है। दूसरी विधि: A³ = [[86, 39], [78, 47]] और A⁶ = (A³)² के विकर्ण अवयव 10438 व 5251 हैं, जिनका योग 15689 है।
मान लीजिए F = [[1, 1], [1, 0]]। Cayley-Hamilton प्रमेय (या अन्य विधि) से F¹⁰ की ऊपरी-बाईं प्रविष्टि ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 89
λ² = λ + 1 अतः F² = F + I और Fibonacci संख्याओं सहित Fⁿ = FₙF + Fₙ₋₁I; F₁₀ = 55 व F₉ = 34 से F¹⁰ = 55F + 34I, ऊपरी-बाईं 55 + 34 = 89। Python में सीधे बार-बार आव्यूह गुणन से [[89, 55], [55, 34]] मिलता है।
A = [[2, 1, 1], [4, 3, 3], [8, 7, 9]] व b = (6, 14, 36) के लिए Ax = b को LU अपघटन (L का विकर्ण इकाई) से हल कीजिए। x + y + z का मान ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 4
L = [[1, 0, 0], [2, 1, 0], [4, 3, 1]], U = [[2, 1, 1], [0, 1, 1], [0, 0, 2]]। Ly = b से y = (6, 2, 6); Ux = y से z = 3, y = −1, x = 2। अतः x + y + z = 4। मूल समीकरणों में प्रतिस्थापन से (6, 14, 36) लौटता है; LU गुणनफल जाँच से भी A मिलता है।
(√3 + i)⁶ का वास्तविक भाग ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: -64
√3 + i = 2(cos 30° + i sin 30°), अतः De Moivre से छठा घात 64(cos 180° + i sin 180°) = −64, वास्तविक भाग −64। Python सम्मिश्र अंकगणित −64 देता है, काल्पनिक भाग 10⁻¹⁴ कोटि का (पूर्णांकन)।
विश्लेषिक f = u + iv, u = r² cos 2θ (ध्रुवीय निर्देशांक) के लिए ध्रुवीय Cauchy-Riemann समीकरण v_r = −u_θ/r से v_r बराबर है:
1. r sin 2θ
2. −2r sin 2θ
3. 2r cos 2θ
4. 2r sin 2θ
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उत्तर: D — 2r sin 2θ
u_θ = −2r² sin 2θ, अतः v_r = −u_θ/r = 2r sin 2θ, जिसका समाकलन v = r² sin 2θ देता है: f = r²e^(2iθ) = z²। −u_θ/r का ऋण चिह्न u_θ के चिह्न को निरस्त करता है। 1/r छोड़ने पर 2r² sin 2θ आता, जिसमें r की घात गलत है।