अनुक्रम, श्रेणी, घात श्रेणी, टेलर प्रमेय तथा माध्यमान प्रमेय

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर तथा खंड XE0 (अभियांत्रिकी गणित) का है, जो 15 अंकों का वह भाग है जो प्रत्येक परीक्षार्थी के लिए, चुने गए दो वैकल्पिक खंड कोई भी हों, समान है। यह XE0.2 के उन अंशों का उत्तर देता है जिन्हें साझा गणित अध्याय नहीं पढ़ाते: “माध्यमान प्रमेय; टेलर प्रमेय; समाकल कलन का मूल प्रमेय व माध्यमान प्रमेय; … अनुक्रमों व श्रेणियों का अभिसरण; अऋणात्मक पदों वाली श्रेणियों के अभिसरण के परीक्षण (कॉशी संघनन परीक्षण, अनुपात, मूल व समाकल परीक्षण); घात श्रेणी; टेलर श्रेणी।” सीमा, L'Hospital नियम, Rolle व Lagrange प्रमेय तथा उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ साझा एकचर अध्यायों में पहले से हैं। यहाँ आप अनुक्रमों व श्रेणियों का अभिसरण और चारों परीक्षण, घात श्रेणी की त्रिज्या व अंतराल, Lagrange शेषफल सहित टेलर प्रमेय, कॉशी का माध्यमान प्रमेय तथा समाकल कलन के दो प्रमेय सीखेंगे। संख्यात्मक प्रश्न हैं: श्रेणियों के योग, अभिसरण त्रिज्या, दी गई त्रुटि के लिए आवश्यक टेलर पदों की संख्या, वर्गमूल का टेलर आकलन तथा कॉशी प्रमेय द्वारा आश्वस्त बिंदु।

1. अनुक्रमों व श्रेणियों का अभिसरण

अनुक्रम (aₙ), L पर अभिसरित होता है यदि n → ∞ पर aₙ, L के मनचाहे निकट आकर वहीं बना रहे; अन्यथा वह अपसरित है। परिबद्ध एकदिष्ट अनुक्रम सदा अभिसरित होता है (एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय)। मानक सीमाएँ: |r| < 1 के लिए rⁿ → 0, n^(1/n) → 1, (1 + 1/n)ⁿ → e तथा प्रत्येक x के लिए xⁿ/n! → 0।

श्रेणी Σaₙ अभिसरित होती है यदि उसके आंशिक योग Sₙ = a₁ + … + aₙ अभिसरित हों, और सीमा ही उसका योग है। गुणोत्तर श्रेणी Σn≥0 rⁿ = 1/(1 − r) यदि |r| < 1, अन्यथा वह अपसरित है। p-श्रेणी Σ1/nᵖ अभिसरित होती है यदि और केवल यदि p > 1। Σ n/3ⁿ = (1/3)/(1 − 1/3)² = 3/4, जो |x| < 1 के लिए Σ n xⁿ = x/(1 − x)² से मिलता है।

⚠️ aₙ → 0 आवश्यक है, पर्याप्त नहीं
यदि aₙ का सीमा मान 0 न हो तो श्रेणी अपसरित है। यदि aₙ → 0 हो तो कुछ तय नहीं होता: Σ1/n के पद → 0 हैं फिर भी वह अपसरित है (उसका आंशिक योग Hₙ, ln n की भाँति बढ़ता है; H₁₂₃₆₇ केवल लगभग 10 है)।

निरपेक्ष व सप्रतिबंध अभिसरण। Σaₙ निरपेक्षतः अभिसारी है यदि Σ|aₙ| अभिसरित हो, और निरपेक्ष अभिसरण से अभिसरण निकलता है। एकान्तर श्रेणी परीक्षण: यदि bₙ घटते हुए 0 पर जाए तो Σ(−1)ⁿbₙ अभिसरित होती है। अतः Σ(−1)ⁿ/n अभिसरित होती है (−ln 2 पर) पर केवल सप्रतिबंध, क्योंकि Σ1/n अपसरित है।

2. अऋणात्मक पदों वाली श्रेणियों के परीक्षण

aₙ ≥ 0 के लिए आंशिक योग केवल बढ़ते हैं, अतः श्रेणी या तो अभिसरित होती है या +∞ को अपसरित; नीचे के परीक्षण तय करते हैं कौन-सा। तुलना: यदि 0 ≤ aₙ ≤ bₙ और Σbₙ अभिसरित हो तो Σaₙ अभिसरित है; यदि Σaₙ अपसरित हो तो Σbₙ भी। सीमा तुलना: यदि aₙ/bₙ → c जहाँ 0 < c < ∞, तो दोनों श्रेणियाँ एक-सा व्यवहार करती हैं।

पाठ्यक्रम में नामित चारों परीक्षण
परीक्षणकथननिर्णय
अनुपातL = lim aₙ₊₁/aₙL < 1 अभिसारी; L > 1 अपसारी; L = 1 कोई निर्णय नहीं
मूलL = lim aₙ^(1/n)अनुपात परीक्षण जैसे ही तीन प्रकरण
समाकलaₙ = f(n), x ≥ 1 पर f धनात्मक, संतत, ह्रासमानΣaₙ तथा ∫₁^∞ f dx साथ-साथ अभिसरित या अपसरित होते हैं
कॉशी संघननaₙ अऋणात्मक व ह्रासमानΣaₙ तथा Σ2ᵏ a2ᵏ साथ-साथ अभिसरित या अपसरित होते हैं

हल उदाहरण। Σn²/3ⁿ: aₙ₊₁/aₙ = (n + 1)²/(3n²) → 1/3 < 1, अभिसारी। Σn!/nⁿ: aₙ₊₁/aₙ = (1 + 1/n)^(−n) → 1/e < 1, अभिसारी। Σ(n/(2n + 1))ⁿ: aₙ^(1/n) = n/(2n + 1) → 1/2 < 1, मूल परीक्षण से अभिसारी। Σ1/(n ln n), n ≥ 2: संघनन से 2ᵏ/(2ᵏ·k ln 2) = 1/(k ln 2) मिलता है, जो हरात्मक श्रेणी है, अतः यह अपसारी है; समाकल परीक्षण भी सहमत है क्योंकि ∫dx/(x ln x) = ln(ln x) → ∞। Σ1/(n(ln n)²): संघनित पद 1/(k²(ln 2)²), अतः यह अभिसारी है।

⚠️ L = 1 से कुछ तय नहीं होता
Σ1/n (अपसारी) और Σ1/n² (अभिसारी) दोनों में अनुपात व मूल सीमा 1 आती है। जब अनुपात परीक्षण 1 दे तो समाकल या संघनन परीक्षण (या p-श्रेणी से तुलना) लगाइए। 1/(n² + 1) जैसे परिमेय पदों के लिए अनुपात परीक्षण निरर्थक भी है।

3. घात श्रेणी: अभिसरण त्रिज्या व अंतराल

घात श्रेणी Σaₙ(x − c)ⁿ, |x − c| < R पर अभिसरित, |x − c| > R पर अपसरित होती है, और सिरों x = c ± R की जाँच अलग से करनी पड़ती है। त्रिज्या R = lim |aₙ/aₙ₊₁| अथवा R = 1/lim |aₙ|^(1/n) है, जब सीमा विद्यमान हो; R = 0 व R = ∞ संभव हैं। अंतराल के भीतर श्रेणी का पद-दर-पद अवकलन व समाकलन हो सकता है और त्रिज्या नहीं बदलती।

उदाहरण 1। Σ(x − 2)ⁿ/(n·3ⁿ): aₙ = 1/(n3ⁿ), अतः |aₙ/aₙ₊₁| = 3(n + 1)/n → 3 और R = 3, केंद्र 2, खुला अंतराल (−1, 5)। x = −1 पर श्रेणी Σ(−1)ⁿ/n है, जो अभिसरित है (एकान्तर परीक्षण); x = 5 पर Σ1/n है, जो अपसरित है। अभिसरण अंतराल [−1, 5) है।

उदाहरण 2। Σx²ⁿ/4ⁿ अनुपात x²/4 वाली गुणोत्तर श्रेणी है, अतः यह |x| < 2 पर अभिसरित होती है, R = 2। जब एकांतर गुणांक शून्य हों तो R = lim|aₙ/aₙ₊₁| अंधाधुंध न लगाइए; उसकी जगह पूरे पद पर अनुपात परीक्षण कीजिए। Σxⁿ/n! में R = ∞, Σn!xⁿ में R = 0, और Σ(2n)!xⁿ/(n!)² में aₙ₊₁/aₙ = (2n + 2)(2n + 1)/(n + 1)² → 4, अतः R = 1/4।

4. टेलर प्रमेय व टेलर श्रेणी

टेलर प्रमेय (Lagrange रूप)। यदि a के निकट f के n + 1 संतत अवकलज हों, तो f(x) = Σk=0n f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k! + Rₙ(x), जहाँ Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x − a)ⁿ⁺¹/(n + 1)!, ξ, a और x के बीच कोई बिंदु है। बहुपद स्थानीय सर्वोत्तम सन्निकटन है; शेषफल त्रुटि की सुनिश्चित सीमा देता है। यदि Rₙ → 0 तो टेलर श्रेणी Σf⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k! , f को निरूपित करती है; a = 0 पर यह Maclaurin श्रेणी है।

याद रखने योग्य Maclaurin श्रेणियाँ
फलनश्रेणीमान्य
eˣ1 + x + x²/2! + x³/3! + …सभी x
sin xx − x³/3! + x⁵/5! − …सभी x
cos x1 − x²/2! + x⁴/4! − …सभी x
ln(1 + x)x − x²/2 + x³/3 − …−1 < x ≤ 1
1/(1 − x)1 + x + x² + …|x| < 1
(1 + x)ᵐ1 + mx + m(m − 1)x²/2! + …|x| < 1

हल संख्यात्मक। (i) a = 4 पर √x का द्वितीय क्रम टेलर बहुपद: f = 2, f′ = 1/(2√x) = 1/4, f″ = −1/(4x^(3/2)) = −1/32। अतः P₂(x) = 2 + (x − 4)/4 − (x − 4)²/64, और P₂(4.1) = 2 + 0.025 − 0.00015625 = 2.02484375 (वास्तविक मान 2.0248457)। (ii) x = 1 पर eˣ के कितने पद 10⁻⁴ से कम त्रुटि सुनिश्चित करते हैं? Rₙ(1) ≤ e/(n + 1)! < 3/(n + 1)!। n = 6 पर 3/7! = 5.95 × 10⁻⁴, बहुत बड़ा; n = 7 पर 3/8! = 7.44 × 10⁻⁵, पर्याप्त। अतः n = 7। (iii) (cos x − 1 + x²/2)/x⁴: cos x = 1 − x²/2 + x⁴/24 − …, अतः सीमा 1/24 है।

🧠 श्रेणी बनाइए, अवकलन नहीं
टेलर गुणांक या सीमा पाने के लिए ज्ञात श्रेणियों का गुणन या प्रतिस्थापन कीजिए: eˣ sin x = (1 + x + x²/2 + …)(x − x³/6 + …) = x + x² + x³/3 + …, अतः x³ का गुणांक 1/3 है और f‴(0) = 6 × 1/3 = 2। यह गुणनफल का तीन बार अवकलन करने से तेज़ है।

5. कॉशी का माध्यमान प्रमेय

Rolle प्रमेय (f(a) = f(b) हो तो f′(c) = 0) और Lagrange प्रमेय (f′(c) = (f(b) − f(a))/(b − a)) के लिए [a, b] पर f संतत और (a, b) पर अवकलनीय होना चाहिए। कॉशी का माध्यमान प्रमेय इसे दो फलनों तक बढ़ाता है: यदि f, g, [a, b] पर संतत, (a, b) पर अवकलनीय हों और (a, b) पर g′ ≠ 0 हो, तो (a, b) में कोई c ऐसा है कि f′(c)/g′(c) = (f(b) − f(a))/(g(b) − g(a))। g(x) = x लेने पर Lagrange प्रमेय मिलता है, और L'Hospital नियम इसी से सिद्ध होता है।

उदाहरण। [1, 2] पर f = x², g = x³: दायाँ पक्ष (4 − 1)/(8 − 1) = 3/7 है, और f′/g′ = 2c/(3c²) = 2/(3c)। 2/(3c) = 3/7 रखने पर c = 14/9 ≈ 1.556 मिलता है, जो (1, 2) में है, जैसा प्रमेय आश्वस्त करता है। ध्यान रहे (1, 2) पर g′ = 3x² ≠ 0; शर्त g′ ≠ 0 महत्त्वपूर्ण है, और जहाँ दोनों अवकलज लुप्त हों वहाँ भागफल टूट जाता है।

6. समाकल कलन का मूल प्रमेय व माध्यमान प्रमेय

मूल प्रमेय, भाग 1। यदि [a, b] पर f संतत हो, तो F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt अवकलनीय है और F′(x) = f(x)। परिवर्ती सीमाओं में शृंखला नियम से d/dx ∫ₐu(x) f(t) dt = f(u(x))·u′(x)। भाग 2। यदि G′ = f हो तो ∫ₐᵇ f dx = G(b) − G(a)। उदाहरण: d/dx ∫₀x² e^(−t²) dt = e^(−x⁴)·2x, और x = 1 पर यह 2/e ≈ 0.7358 है।

समाकल कलन का माध्यमान प्रमेय। यदि [a, b] पर f संतत हो, तो [a, b] में कोई c ऐसा है कि ∫ₐᵇ f dx = f(c)(b − a); f(c) फलन का औसत मान है। [0, 3] पर f = x² के लिए समाकल 9, औसत 3 और c = √3 ≈ 1.732 है। संतति अनिवार्य है: उछाल वाला फलन अपना औसत मान कभी न ले, ऐसा हो सकता है।

🎯 अवकलन व समाकलन एक-दूसरे को क्यों निरस्त करते हैं
x और x + h के बीच f के नीचे की पतली पट्टी का क्षेत्रफल f(x)·h के निकट होता है, इसलिए संचित क्षेत्रफल की वृद्धि-दर f(x) है। भाग 2 इसलिए निकलता है कि समान अवकलज वाले दो फलनों में अचर का अंतर होता है, जो G(b) − G(a) में कट जाता है।

मुख्य बिंदु

  • Σaₙ के लिए aₙ → 0 आवश्यक है पर अकेला कभी पर्याप्त नहीं; Σ1/nᵖ अभिसरित होती है iff p > 1, और गुणोत्तर श्रेणी के लिए |r| < 1 चाहिए।
  • अनुपात व मूल परीक्षण में L < 1 अभिसारी, L > 1 अपसारी, L = 1 अनिर्णीत; तब समाकल परीक्षण, कॉशी संघनन (Σaₙ व Σ2ᵏa2ᵏ) या तुलना लगाइए।
  • घात श्रेणी की त्रिज्या R होती है; दोनों सिरों की जाँच अलग से कीजिए; पद-दर-पद अवकलन से R नहीं बदलता।
  • टेलर: f = Σf⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k! + f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x − a)ⁿ⁺¹/(n + 1)!; शेषफल त्रुटि-सीमा देता है। छह Maclaurin श्रेणियाँ याद कीजिए।
  • कॉशी MVT: f′(c)/g′(c) = Δf/Δg, g′ ≠ 0 के साथ; इसमें Lagrange प्रमेय (g = x) निहित है और L'Hospital नियम इसी पर आधारित है।
  • मूल प्रमेय: d/dx ∫ₐu(x) f = f(u)u′; समाकल माध्यमान f(c) = f का औसत।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. निम्नलिखित में से कौन-सी श्रेणी अभिसरित होती है?

    1. n ≥ 1 के लिए Σ 1/√n
    2. n ≥ 1 के लिए Σ 1/n^1.5
    3. n ≥ 1 के लिए Σ n/(n + 1)
    4. n ≥ 2 के लिए Σ 1/ln n
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — n ≥ 1 के लिए Σ 1/n^1.5

    Σ1/nᵖ अभिसरित होती है iff p > 1। यहाँ p = 1.5 > 1, अतः Σ1/n^1.5 अभिसरित है। Σ1/√n में p = 1/2 है और वह अपसरित है। n/(n + 1) के पद 0 पर नहीं 1 पर जाते हैं, अतः वह श्रेणी आवश्यक शर्त से अपसरित है, और 1/ln n > 1/n होने से Σ1/ln n हरात्मक श्रेणी से तुलना द्वारा अपसरित है।

  2. श्रेणी Σn≥1 n²/3ⁿ की जाँच अनुपात परीक्षण से की जाती है। aₙ₊₁/aₙ की सीमा व निष्कर्ष है:

    1. 1, अतः परीक्षण विफल है और दूसरा परीक्षण चाहिए
    2. 3, अतः श्रेणी अपसरित है
    3. 1/3, अतः श्रेणी अभिसरित है
    4. 1/9, अतः श्रेणी अभिसरित है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 1/3, अतः श्रेणी अभिसरित है

    aₙ₊₁/aₙ = (n + 1)²/(3n²) = (1/3)(1 + 1/n)² → 1/3 < 1, अतः श्रेणी अभिसरित है। गुणक n² केवल (1 + 1/n)² → 1 देता है; सीमा 1 होना Σ1/n² जैसी p-श्रेणी का लक्षण है, इस चरघातांकी-प्रकार के पद का नहीं।

  3. Σn≥2 1/(n (ln n)ᵖ) पर कॉशी संघनन परीक्षण लगाया जाता है। p के किन मानों के लिए श्रेणी अभिसरित होती है?

    1. केवल p > 1
    2. p ≥ 1
    3. p > 0
    4. केवल p < 1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — केवल p > 1

    संघनित पद 2ᵏ·1/(2ᵏ (k ln 2)ᵖ) = 1/((ln 2)ᵖ kᵖ) है, जो k में p-श्रेणी है। यह iff p > 1 पर अभिसरित होती है। p = 1 पर श्रेणी अपसरित है (यह Σ1/(n ln n) है), इसलिए p ≥ 1 उत्तर नहीं हो सकता।

  4. Σn≥1 (x − 2)ⁿ/(n·3ⁿ) का अभिसरण अंतराल है:

    1. (−1, 5)
    2. [−1, 5]
    3. (−1, 5]
    4. [−1, 5)
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — [−1, 5)

    R = 3 व केंद्र 2 से (−1, 5) मिलता है। x = −1 पर श्रेणी Σ(−1)ⁿ/n है, जो एकान्तर परीक्षण से अभिसारी है; x = 5 पर Σ1/n है, अपसारी। अतः अंतराल [−1, 5) है, जिसमें केवल बायाँ सिरा शामिल है। सिरों की जाँच भूलने पर (−1, 5) मिलता है।

  5. ln(1 + x) की Maclaurin श्रेणी −1 < x ≤ 1 के लिए अभिसरित होती है। इसके प्रयोग से श्रेणी 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … का योग है:

    1. 1
    2. ln 2
    3. π/4
    4. यह अपसरित है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ln 2

    x = 1 रखने पर, जो अनुमत है क्योंकि दायाँ सिरा शामिल है, ln 2 = 1 − 1/2 + 1/3 − … मिलता है। श्रेणी एकान्तर परीक्षण से सप्रतिबंध अभिसरित है। π/4 आर्कटैन श्रेणी 1 − 1/3 + 1/5 − … का योग है, इस श्रेणी का नहीं।

  6. फलन f में f(0) = 1, f′(0) = 0, f″(0) = −2 और f‴(0) = 0 है। इसका घात 3 का Maclaurin बहुपद P₃(x) = 1 − x² है। त्रुटि के Lagrange रूप के अनुसार |x| ≤ 0.5 के लिए, यदि सर्वत्र |f⁽⁴⁾| ≤ 48 हो, तो त्रुटि |f(x) − P₃(x)| अधिकतम है:

    1. 0.125
    2. 0.25
    3. 0.0625
    4. 0.03125
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.125

    |R₃| ≤ M|x|⁴/4! = 48 × (0.5)⁴/24 = 48 × 0.0625/24 = 0.125। शेषफल का घात बहुपद से एक अधिक होता है, इसलिए 4! और x⁴ लिए जाते हैं, 3! और x³ नहीं (जो 48 × 0.125/6 = 1 देते)।

  7. [1, 2] पर f(x) = x² व g(x) = x³ के लिए कॉशी माध्यमान प्रमेय लगाया जाता है। प्रमेय द्वारा आश्वस्त बिंदु c कहाँ है?

    1. c = 3/2
    2. c = 14/9
    3. c = 7/4
    4. c = 9/7
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — c = 14/9

    c पर भागफल f′/g′ = 2c/(3c²) = 2/(3c) को (f(2) − f(1))/(g(2) − g(1)) = 3/7 के बराबर होना चाहिए, अतः c = 14/9। मध्य बिंदु 3/2 एकल फलन x² का Lagrange बिंदु होता (f′ = 2c = 3), जो आम चूक है, परंतु यहाँ अवकलजों का भागफल प्रयुक्त होता है।

  8. [a, b] पर संतत f के लिए d/dx ∫ₐx³ f(t) dt बराबर है:

    1. f(x³)
    2. 3x² f(x)
    3. 3x² f(x³)
    4. f(x³) − f(a)
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 3x² f(x³)

    शृंखला नियम सहित मूल प्रमेय से परिणाम f(u(x))·u′(x) है, u = x³, अर्थात् 3x² f(x³)। केवल f(x³) लिखना u′ भूलना है; व्यंजक f(x³) − f(a) समाकल को प्रतिअवकलज समझने की भूल है।

  9. फलन [0, 2] पर संतत है, 0 ≤ x ≤ 1 के लिए f(x) = 1 तथा 1 < x ≤ 2 के लिए f(x) = 1 + (x − 1)²। समाकल कलन के माध्यमान प्रमेय से [0, 2] में c ऐसा है कि f(c) बराबर है:

    1. 7/6
    2. 4/3
    3. 1
    4. 2/3
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 7/6

    समाकल ∫₀¹ 1 dx + ∫₁² (1 + (x − 1)²) dx = 1 + (1 + 1/3) = 7/3 है। लंबाई 2 से भाग देने पर औसत 7/6 मिलता है, जो f के न्यूनतम 1 व अधिकतम 2 के बीच है, अतः c विद्यमान है। 4/3 केवल [1, 2] पर समाकल है।

  10. निम्नलिखित में से कौन-सी श्रेणियाँ अभिसरित होती हैं?

    1. Σ n!/nⁿ
    2. Σ (n/(2n + 1))ⁿ
    3. n ≥ 2 के लिए Σ 1/(n ln n)
    4. n ≥ 1 के लिए Σ n/(n + 5)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Σ n!/nⁿ; B — Σ (n/(2n + 1))ⁿ

    Σn!/nⁿ: अनुपात → 1/e < 1, अभिसारी। Σ(n/(2n + 1))ⁿ: मूल → 1/2 < 1, अभिसारी। Σ1/(n ln n) संघनन से (संघनित होकर हरात्मक) अपसारी है। Σn/(n + 5) के पद → 1 हैं, अतः आवश्यक शर्त से अपसारी।

  11. श्रेणियों व घात श्रेणियों के बारे में कौन-से कथन सही हैं?

    1. यदि Σ|aₙ| अभिसरित हो तो Σaₙ अभिसरित होती है
    2. यदि aₙ → 0 हो तो Σaₙ अभिसरित होती है
    3. घात श्रेणी का पद-दर-पद अवकलन उसकी अभिसरण त्रिज्या नहीं बदलता
    4. सीमा 1 होने पर अनुपात परीक्षण सदा अभिसरण तय कर देता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यदि Σ|aₙ| अभिसरित हो तो Σaₙ अभिसरित होती है; C — घात श्रेणी का पद-दर-पद अवकलन उसकी अभिसरण त्रिज्या नहीं बदलता

    निरपेक्ष अभिसरण से अभिसरण निकलता है, और पद-दर-पद अवकलन या समाकलन R को बनाए रखता है (सिरों का व्यवहार बदल सकता है)। aₙ → 0 केवल आवश्यक है, प्रतिउदाहरण Σ1/n। अनुपात सीमा 1 अनिर्णायक है, जैसा Σ1/n व Σ1/n² दिखाते हैं।

  12. माध्यमान प्रमेयों के बारे में कौन-से कथन सही हैं?

    1. Lagrange प्रमेय, g(x) = x लेने पर कॉशी प्रमेय है
    2. [−1, 1] पर f(x) = |x| के लिए Rolle प्रमेय लागू होता है क्योंकि f(−1) = f(1)
    3. समाकल कलन के माध्यमान प्रमेय के लिए [a, b] पर f संतत होना चाहिए
    4. यदि (a, b) में सभी x के लिए f′(x) = 0 हो तो [a, b] पर f अचर है (f, [a, b] पर संतत)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Lagrange प्रमेय, g(x) = x लेने पर कॉशी प्रमेय है; C — समाकल कलन के माध्यमान प्रमेय के लिए [a, b] पर f संतत होना चाहिए; D — यदि (a, b) में सभी x के लिए f′(x) = 0 हो तो [a, b] पर f अचर है (f, [a, b] पर संतत)

    g(x) = x से कॉशी भागफल (f(b) − f(a))/(b − a) बनता है, जो Lagrange का कथन है। समाकल माध्यमान प्रमेय को संतति चाहिए। शून्य अवकलज से Lagrange प्रमेय द्वारा अचरता मिलती है। |x| के लिए Rolle प्रमेय विफल है क्योंकि वह 0 पर अवकलनीय नहीं है, यद्यपि f(−1) = f(1); कोई बिंदु शून्य ढाल वाला नहीं है।

  13. श्रेणी Σn=1∞ n/3ⁿ का योग S है। 4S का मान ज्ञात कीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    |x| < 1 के लिए Σn xⁿ = x/(1 − x)²। x = 1/3 पर: S = (1/3)/(2/3)² = (1/3)(9/4) = 3/4, अतः 4S = 3। दूसरी जाँच: n = 200 तक n/3ⁿ का संख्यात्मक योग 0.75000 देता है।

  14. x = 1 पर eˣ के घात n वाले Maclaurin बहुपद की त्रुटि e/(n + 1)! से परिबद्ध है। e < 3 लेते हुए वह न्यूनतम n ज्ञात कीजिए जिसके लिए सुनिश्चित त्रुटि-सीमा 3/(n + 1)!, 10⁻⁴ से कम हो।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 7

    n = 6: 3/7! = 3/5040 = 5.95 × 10⁻⁴ > 10⁻⁴। n = 7: 3/8! = 3/40320 = 7.44 × 10⁻⁵ < 10⁻⁴। Python में n = 1…11 पर लूप चलाने से भी पहला n = 7 मिलता है।

  15. a = 4 के परितः f(x) = √x के द्वितीय क्रम टेलर बहुपद से √4.1 का आकलन कीजिए। उत्तर चार दशमलव स्थानों तक दीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.0248

    f(4) = 2, f′(4) = 1/4, f″(4) = −1/32। P₂(4.1) = 2 + 0.1/4 − (1/32)(0.01)/2 = 2 + 0.025 − 0.00015625 = 2.02484375 ≈ 2.0248। सीधे √4.1 = 2.0248457, चार स्थानों तक समान।

  16. [1, 2] पर f(x) = x² व g(x) = x³ के लिए कॉशी माध्यमान प्रमेय लगाया गया है। यदि आश्वस्त बिंदु c है तो 9c का मान ज्ञात कीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 14

    2c/(3c²) = 3/7 से 2/(3c) = 3/7, अतः c = 14/9 और 9c = 14। वापस रखने पर: 2/(3 × 14/9) = 18/42 = 3/7, जैसा चाहिए।

  17. घात श्रेणी Σn≥0 (2n)! xⁿ/(n!)² की अभिसरण त्रिज्या R है। 1/R ज्ञात कीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4

    aₙ₊₁/aₙ = (2n + 2)(2n + 1)/(n + 1)² = 2(2n + 1)/(n + 1) → 4। अतः R = 1/4 और 1/R = 4। n = 1000 पर जाँच: 2(2001)/1001 = 3.998।