A Markov chain on {1, 2, 3, 4} has rows p₁ = (0.5, 0.5, 0, 0), p₂ = (0.5, 0.5, 0, 0), p₃ = (0.25, 0.25, 0.25, 0.25), p₄ = (0, 0, 0, 1). Which statements are true?

{1, 2} is a closed recurrent class

A Markov chain moves deterministically 1 → 2 → 3 → 1. The period of state 1 is:

undefined, because the chain is deterministic

N(t) is a Poisson process with rate λ. Which statements are true?

The inter-arrival times are i.i.d. exponential with mean 1/λ

N(t) − N(s) ~ Poisson(λ(t − s)) for s < t

Merging N with an independent Poisson process of rate μ gives a Poisson process of rate λ + μ

The inter-arrival times are i.i.d. exponential with mean 1/λ

N(t) − N(s) ~ Poisson(λ(t − s)) for s < t

The time of the third arrival is exponentially distributed

Merging N with an independent Poisson process of rate μ gives a Poisson process of rate λ + μ

W(t) is a standard Brownian motion. Which statements are true?

W(t)/√t ~ N(0, 1) for every t > 0

For s < t, W(t) − W(s) is independent of W(s)

Its sample paths are differentiable with probability 1

W(t)/√t ~ N(0, 1) for every t > 0

For s < t, W(t) − W(s) is independent of W(s)

प्रसंभाव्य प्रक्रम: मार्कोव शृंखलाएँ, अवस्थाओं का वर्गीकरण, स्थिर बंटन, प्वासों प्रक्रम, जन्म-मृत्यु प्रक्रम व ब्राउनी गति

GATE सांख्यिकी पेपर का खंड 7, और वह जिसे कोई अभियांत्रिकी पेपर नहीं पूछता: परिमित व गणनीय अवस्था-समष्टि वाली मार्कोव शृंखलाएँ, अवस्थाओं का वर्गीकरण, n-चरण संक्रमण प्रायिकताओं का सीमांत व्यवहार व स्थिर बंटन; प्वासों प्रक्रम; शुद्ध-जन्म व शुद्ध-मृत्यु विशेष स्थितियों सहित जन्म-मृत्यु प्रक्रम; तथा अपने मूल गुणों सहित ब्राउनी गति। परीक्षित कौशल गणनात्मक हैं — आव्यूह घात से n-चरण प्रायिकता, πP = π से स्थिर सदिश, अवशोषण प्रायिकता, प्वासों-प्रक्रम प्रायिकता, जन्म-मृत्यु साम्य — और अध्याय प्रत्येक को संख्याओं सहित हल करता है।

1. मार्कोव शृंखलाएँ व n-चरण संक्रमण प्रायिकताएँ

(Xₙ) एक काल-समांगी मार्कोव शृंखला है यदि P(Xₙ₊₁ = j | Xₙ = i, Xₙ₋₁, …, X₀) = p_ij: भविष्य अतीत पर केवल वर्तमान के माध्यम से निर्भर है। संक्रमण आव्यूह P = [p_ij] प्रसंभाव्य है (अऋणात्मक, पंक्तियों का योग 1)। चैपमैन–कोल्मोगोरोव समीकरण p_ij^(m+n) = Σ_k p_ik^(m) p_kj⁽ⁿ⁾ कहते हैं P⁽ⁿ⁾ = Pⁿ, और यदि प्रारंभिक बंटन पंक्ति सदिश μ₀ हो, तो Xₙ का बंटन μ₀Pⁿ है।

P = [[0.7, 0.3], [0.4, 0.6]] हेतु p₁₁⁽²⁾ = 0.7 × 0.7 + 0.3 × 0.4 = 0.61। P = [[1 − α, α], [β, 1 − β]] वाली द्वि-अवस्था शृंखला हेतु Pⁿ = (1/(α + β))[[β, α], [β, α]] + ((1 − α − β)ⁿ/(α + β))[[α, −α], [−β, β]], अतः प्रत्येक पंक्ति गुणोत्तर गति से (β, α)/(α + β) की ओर जाती है।

2. अवस्थाओं का वर्गीकरण

शब्दावली
पद	अर्थ
i से j सुलभ	किसी n ≥ 0 हेतु p_ij⁽ⁿ⁾ > 0
संचारी वर्ग	परस्पर सुलभ अवस्थाओं का अधिकतम समुच्चय; एक ही वर्ग हो तो शृंखला अखंडनीय
संवृत वर्ग, अवशोषी अवस्था	वर्ग से कोई निकास नहीं; अवशोषी अवस्था में p_ii = 1
पुनरावर्ती / क्षणिक	i पर वापसी निश्चित (f_ii = 1) / अनिश्चित; पुनरावर्ती यदि और केवल यदि Σₙ p_ii⁽ⁿ⁾ = ∞
धनात्मक / शून्य पुनरावर्ती	माध्य वापसी काल μᵢ परिमित / अनंत
आवर्त	d(i) = gcd{n ≥ 1 : p_ii⁽ⁿ⁾ > 0}; d = 1 हो तो अनावर्ती

पुनरावर्तिता, क्षणिकता व आवर्त वर्ग गुण हैं: संचारी वर्ग की प्रत्येक अवस्था उन्हें साझा करती है।
परिमित शृंखला में कम से कम एक पुनरावर्ती अवस्था होती है और कोई शून्य-पुनरावर्ती नहीं; परिमित संवृत वर्ग धनात्मक पुनरावर्ती है, और जिस वर्ग से शृंखला सदा हेतु निकल सके वह क्षणिक है।
ℤ पर सरल सममित यादृच्छिक भ्रमण शून्य पुनरावर्ती है (p₀₀⁽²ⁿ⁾ ~ 1/√(πn), जिसका योग अपसारी है); p ≠ 1/2 सहित वह क्षणिक है।

अवशोषण: अवशोषी अवस्थाओं सहित hᵢ = P(A में अवशोषित | आरंभ i), hᵢ = Σ_j p_ijh_j हल करता है, A पर h = 1 व अन्य अवशोषी अवस्थाओं पर 0 सहित। ऊर्ध्व-प्रायिकता p व r = q/p ≠ 1 सहित {0, …, N} पर जुआरी के विनाश में P(N तक पहुँचना | आरंभ i) = (1 − rⁱ)/(1 − r^N); p = 1/2 हेतु यह i/N है। p = 0.6, i = 2, N = 4 सहित: (1 − 4/9)/(1 − 16/81) = 9/13 ≈ 0.69।

3. स्थिर बंटन व सीमांत व्यवहार

π स्थिर है यदि πᵢ ≥ 0 व Σπᵢ = 1 सहित πP = π: π से आरंभ होकर शृंखला π में ही रहती है। अखंडनीय शृंखला का स्थिर बंटन तभी होता है जब वह धनात्मक पुनरावर्ती हो, और तब वह अद्वितीय होता है, πᵢ = 1/μᵢ, माध्य वापसी काल का व्युत्क्रम। यदि साथ में शृंखला अनावर्ती भी हो, तो प्रत्येक i हेतु p_ij⁽ⁿ⁾ → π_j: Pⁿ ऐसे आव्यूह की ओर अभिसारी है जिसकी सभी पंक्तियाँ π हैं। आवर्ती शृंखला का भी स्थिर π होता है, पर Pⁿ दोलन करता है।

दो अवस्थाएँ: π = (β, α)/(α + β)। P = [[0.7, 0.3], [0.4, 0.6]] हेतु π = (4/7, 3/7)।
P = [[0.5, 0.5, 0], [0.25, 0.5, 0.25], [0, 0.5, 0.5]]: π₁ = 0.5π₁ + 0.25π₂ से π₂ = 2π₁, सममिति से π₃ = π₁, अतः π = (1/4, 1/2, 1/4) और अवस्था 1 पर माध्य वापसी काल 4।
k अवस्थाओं पर द्वि-प्रसंभाव्य P (स्तंभों का योग भी 1) का स्थिर बंटन एकसमान 1/k है।
विस्तृत संतुलन πᵢp_ij = π_jp_ji स्थिरता हेतु पर्याप्त है और जन्म-मृत्यु शृंखलाओं हेतु त्वरित मार्ग है।

4. प्वासों प्रक्रम

N(0) = 0 वाला गणना प्रक्रम N(t) दर λ का प्वासों प्रक्रम है यदि उसकी वृद्धियाँ स्वतंत्र हों तथा सभी s, t ≥ 0 हेतु N(t + s) − N(s) ~ प्वासों(λt)। समतुल्यतः: अंतर-आगमन काल i.i.d. Exp(λ) हैं, अतः n-वाँ आगमन काल Sₙ ~ Gamma(n, λ)। प्रति घंटा λ = 3 सहित P(N(2) = 4) = e⁻⁶6⁴/4! = 0.134 तथा P(20 मिनट में कोई आगमन नहीं) = e⁻¹ = 0.368।

अध्यारोपण: दर λ व μ वाले स्वतंत्र प्वासों प्रक्रम दर λ + μ वाले एक प्रक्रम में मिलते हैं, और प्रत्येक आगमन प्रायिकता λ/(λ + μ) से पहले से आता है।
विरलन: यदि प्रत्येक आगमन स्वतंत्र रूप से प्रायिकता p से रखा जाए, तो रखे गए आगमन दर λp का प्वासों प्रक्रम बनाते हैं, त्यागे गयों से स्वतंत्र। प्रति घंटा λ = 10 व p = 0.4 सहित पहला रखा गया आगमन आधे घंटे के बाद आने की प्रायिकता e^{−4 × 0.5} = e⁻² = 0.135।
सप्रतिबंध एकसमानता: N(t) = n दिए होने पर आगमन काल n i.i.d. U(0, t) के क्रम प्रतिदर्शजों की तरह बंटित हैं। अतः N(1) = 3 दिए होने पर N(0.5) ~ Bin(3, 1/2) तथा P(N(0.5) = 1) = 3/8।

5. जन्म-मृत्यु, शुद्ध-जन्म व शुद्ध-मृत्यु प्रक्रम

जन्म-मृत्यु प्रक्रम {0, 1, 2, …} पर एक संतत-काल मार्कोव शृंखला है जो दर λₙ से n → n + 1 व दर μₙ से n → n − 1 चलती है। उसकी प्रायिकताएँ Pₙ(t) अग्र समीकरण P′ₙ = λₙ₋₁Pₙ₋₁ − (λₙ + μₙ)Pₙ + μₙ₊₁Pₙ₊₁ मानती हैं। अवकलजों को शून्य रखकर व प्रत्येक विभाजन पर संतुलन लगाकर साम्य πₙ = π₀ ∏_k=1ⁿ λ_k−1/μ_k मिलता है, योग 1 तक प्रसामान्यीकृत (संभव यदि और केवल यदि श्रेणी अभिसारी हो)।

M/M/1 पंक्ति: λₙ = λ, μₙ = μ, ρ = λ/μ < 1 से πₙ = (1 − ρ)ρⁿ, P(रिक्त) = 1 − ρ, माध्य संख्या ρ/(1 − ρ)। λ = 2, μ = 3 सहित निकाय में माध्य संख्या 2।
परिमित शृंखला: अवस्थाएँ 0, 1, 2, λ₀ = 2, λ₁ = 1, μ₁ = 1, μ₂ = 2 सहित: π₁ = 2π₀, π₂ = π₁ × 1/2 = π₀, अतः π = (1/4, 1/2, 1/4)।
शुद्ध जन्म (μₙ = 0): λₙ = λ सहित यह प्वासों प्रक्रम है; एक व्यक्ति से आरंभित λₙ = nλ (यूल) सहित N(t) गुणोत्तर है, P(N(t) = n) = e^−λt(1 − e^−λt)ⁿ⁻¹ व E N(t) = e^λt।
शुद्ध मृत्यु (λₙ = 0): N(0) = N से μₙ = nμ सहित प्रत्येक व्यक्ति t तक स्वतंत्र रूप से प्रायिकता e^−μt से जीवित रहता है, अतः N(t) ~ Bin(N, e^−μt)।

6. ब्राउनी गति

मानक ब्राउनी गति W(t) में W(0) = 0, स्वतंत्र वृद्धियाँ, s < t हेतु W(t) − W(s) ~ N(0, t − s), तथा संतत पथ होते हैं। परिणाम: Cov(W(s), W(t)) = min(s, t), अतः Var(W(2) + W(3)) = 2 + 3 + 2 × 2 = 9; मापन W(ct)/√c पुनः मानक ब्राउनी गति है; पथ संतत हैं पर कहीं भी अवकलनीय नहीं व अपरिबद्ध विचरण वाले। परावर्तन सिद्धांत a > 0 हेतु P(max_0≤s≤t W(s) ≥ a) = 2P(W(t) ≥ a) देता है: t = 4 व a = 2 हेतु 2(1 − Φ(1)) = 0.3174।

⚠️ सहप्रसरण न्यूनतम है, गुणनफल नहीं

W(s) व W(t) प्रबल रूप से सहसंबद्ध हैं: W(t) = W(s) + (एक स्वतंत्र वृद्धि)। अतः s < t हेतु Cov(W(s), W(t)) = Var W(s) = s। W(2) व W(3) को स्वतंत्र मानना Var(W(2) + W(3)) = 9 के स्थान पर 5 देता है।

मुख्य बिंदु

P⁽ⁿ⁾ = Pⁿ (चैपमैन–कोल्मोगोरोव); काल n पर बंटन μ₀Pⁿ है।
पुनरावर्तिता, क्षणिकता व आवर्त वर्ग गुण हैं; परिमित शृंखला में शून्य-पुनरावर्ती अवस्थाएँ नहीं; पुनरावर्तिता ⇔ Σp_ii⁽ⁿ⁾ = ∞।
अखंडनीय धनात्मक पुनरावर्ती ⇒ अद्वितीय π, πᵢ = 1/μᵢ सहित; अनावर्तिता जोड़ें तो Pⁿ की प्रत्येक पंक्ति → π। दो अवस्थाएँ: π = (β, α)/(α + β)।
प्वासों प्रक्रम: N(t) ~ प्वासों(λt), Exp(λ) अंतराल, Gamma(n, λ) आगमन काल; अध्यारोपण दरें जोड़ता है, विरलन p से गुणा करता है, और N(t) = n दिए होने पर आगमन एकसमान हैं।
जन्म-मृत्यु साम्य: πₙ = π₀∏λ_k−1/μ_k; M/M/1 में πₙ = (1 − ρ)ρⁿ; यूल माध्य e^λt।
ब्राउनी गति: Cov = min(s, t), संतत कहीं-भी-अनवकलनीय पथ, P(max ≥ a) = 2P(W(t) ≥ a)।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

अवस्थाओं {1, 2} पर मार्कोव शृंखला का संक्रमण आव्यूह P = [[0.7, 0.3], [0.4, 0.6]] है। P(X₂ = 1 | X₀ = 1), दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.61
p₁₁⁽²⁾ = p₁₁p₁₁ + p₁₂p₂₁ = 0.49 + 0.12 = 0.61, P² की (1, 1) प्रविष्टि। प्रविष्टि का वर्ग, 0.7² = 0.49, पथ 1 → 2 → 1 भूलता है।
P = [[0.7, 0.3], [0.4, 0.6]] वाली शृंखला हेतु अवस्था 1 की स्थिर प्रायिकता, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.571
π₁ = 0.7π₁ + 0.4π₂ से 0.3π₁ = 0.4π₂, अतः π = (4/7, 3/7) व π₁ = 0.5714 → 0.571। α = 0.3 (1 छोड़ना) व β = 0.4 (1 में आना) सहित सूत्र β/(α + β) वही है; α/(α + β) = 3/7 लेना उन्हें अदल-बदल देता है।
{1, 2, 3} पर मार्कोव शृंखला का P = [[0.5, 0.5, 0], [0.25, 0.5, 0.25], [0, 0.5, 0.5]] है। अवस्था 1 से आरंभ करके शृंखला के अवस्था 1 पर प्रथम बार लौटने तक चरणों की प्रत्याशित संख्या ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 4
शृंखला अखंडनीय व परिमित है। πP = π: π₁ = 0.5π₁ + 0.25π₂ ⇒ π₂ = 2π₁, और सममिति से π₃ = π₁, अतः π = (1/4, 1/2, 1/4)। माध्य वापसी काल μ₁ = 1/π₁ = 4। 2 उत्तर अवस्था 2 का वापसी काल देता है।
{1, 2, 3, 4} पर मार्कोव शृंखला की पंक्तियाँ p₁ = (0.5, 0.5, 0, 0), p₂ = (0.5, 0.5, 0, 0), p₃ = (0.25, 0.25, 0.25, 0.25), p₄ = (0, 0, 0, 1) हैं। कौन-से कथन सत्य हैं?
1. अवस्था 4 अवशोषी है
2. अवस्था 3 क्षणिक है
3. {1, 2} एक संवृत पुनरावर्ती वर्ग है
4. शृंखला अखंडनीय है
उत्तर देखें
उत्तर: A — अवस्था 4 अवशोषी है; B — अवस्था 3 क्षणिक है; C — {1, 2} एक संवृत पुनरावर्ती वर्ग है
(A) p₄₄ = 1। (B) 3 से शृंखला प्रत्येक चरण प्रायिकता 3/4 से निकलती है और कभी लौट नहीं सकती (कोई अवस्था 3 की ओर नहीं ले जाती), अतः वापसी निश्चित नहीं। (C) 1 व 2 संचार करते हैं और {1, 2} से कुछ नहीं निकलता; परिमित संवृत वर्ग पुनरावर्ती है। (D) असत्य: 1, 2 या 4 से 3 सुलभ नहीं।
एक मार्कोव शृंखला निश्चयात्मक रूप से 1 → 2 → 3 → 1 चलती है। अवस्था 1 का आवर्त है:
1. 3
2. 1
3. 2
4. अपरिभाषित, क्योंकि शृंखला निश्चयात्मक है
उत्तर देखें
उत्तर: A — 3
1 पर वापसी केवल काल 3, 6, 9, … पर होती है, अतः d = gcd{3, 6, 9, …} = 3। ऐसी शृंखला का स्थिर बंटन (1/3, 1/3, 1/3) है, पर Pⁿ चक्रित होता है और कभी अभिसारी नहीं — यही कारण है कि अभिसरण प्रमेय को अनावर्तिता चाहिए।
एक जुआरी 2 इकाइयों से आरंभ करती है और एक बार में 1 इकाई दाँव लगाती है, प्रत्येक दाँव प्रायिकता 0.6 से जीतते हुए। 4 इकाइयाँ या 0 पहुँचने पर वह रुकती है। उसके 4 तक पहुँचने की प्रायिकता, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.69
r = q/p = 2/3 सहित: P = (1 − r²)/(1 − r⁴) = (1 − 4/9)/(1 − 16/81) = (5/9)/(65/81) = 9/13 = 0.692 → 0.69। प्रथम-चरण जाँच: h₂ = 0.6h₃ + 0.4h₁, h₁ = 0.6h₂, h₃ = 0.6 + 0.4h₂ से h₂ = 0.36/0.52 = 9/13। अनभिनत-खेल उत्तर i/N = 0.5 बढ़त की उपेक्षा करता है।
ग्राहक प्रति घंटा 3 की दर से प्वासों प्रक्रम के रूप में आते हैं। 2 घंटे में ठीक 4 आगमनों की प्रायिकता, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.134
N(2) ~ प्वासों(6): e⁻⁶ × 6⁴/4! = 0.002479 × 54 = 0.1339 → 0.134। 2 घंटे से मापे बिना λ = 3 लेना e⁻³3⁴/24 = 0.168 देता है।
आगमन प्रति घंटा 3 दर वाला प्वासों प्रक्रम बनाते हैं। 20 मिनट के अंतराल में कोई आगमन न होने की प्रायिकता, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.368
20 मिनट 1/3 घंटा है, अतः N ~ प्वासों(1) व P(N = 0) = e⁻¹ = 0.3679 → 0.368। 20 को घंटों में काल मानना e⁻⁶⁰ ≈ 0 देता है।
किसी प्वासों प्रक्रम हेतु दिया है कि [0, 1] में ठीक 3 आगमन हुए। उनमें से ठीक 1 के [0, 0.5] में होने की प्रायिकता, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.375
N(1) = 3 दिए होने पर तीनों आगमन काल बंटन में i.i.d. U(0, 1) हैं, अतः [0, 0.5] में संख्या Bin(3, 1/2) है: 3 × (1/2)³ = 0.375। दर λ निरस्त हो जाती है। असप्रतिबंध प्वासों प्रायिकता निकालने हेतु वह दर चाहिए जो प्रश्न ने कभी दी नहीं।
ग्राहक प्रति घंटा 10 दर वाले प्वासों प्रक्रम के रूप में आते हैं, और प्रत्येक स्वतंत्र रूप से प्रायिकता 0.4 से महिला है। पहली महिला ग्राहक के 30 मिनट के बाद आने की प्रायिकता, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.135
विरलन: महिला आगमन प्रति घंटा 10 × 0.4 = 4 दर वाले प्वासों हैं। P(0.5 घंटे में कोई नहीं) = e^{−4 × 0.5} = e⁻² = 0.1353 → 0.135। पूर्ण दर 10 लेना e⁻⁵ = 0.007 देता है।
एक M/M/1 पंक्ति की आगमन दर λ = 2 व सेवा दर μ = 3 है। साम्य में निकाय में ग्राहकों की प्रत्याशित संख्या ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 2
ρ = 2/3 व πₙ = (1 − ρ)ρⁿ, {0, 1, …} पर गुणोत्तर बंटन, माध्य ρ/(1 − ρ) = (2/3)/(1/3) = 2 सहित। 2/3, उपयोगिता, उत्तर P(सेवक व्यस्त) देता है, माध्य संख्या नहीं।
{0, 1, 2} पर एक जन्म-मृत्यु प्रक्रम की जन्म दरें λ₀ = 2, λ₁ = 1 व मृत्यु दरें μ₁ = 1, μ₂ = 2 हैं। अवस्था 0 की साम्य प्रायिकता, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.25
प्रत्येक विभाजन पर संतुलन: λ₀π₀ = μ₁π₁ ⇒ π₁ = 2π₀; λ₁π₁ = μ₂π₂ ⇒ π₂ = π₁/2 = π₀। अतः π₀(1 + 2 + 1) = 1 व π₀ = 0.25। दरें उलटी रखना (π₁ = (μ₁/λ₀)π₀) π₁ = π₀/2 व भिन्न उत्तर देता है।
W(t) एक मानक ब्राउनी गति है। Var(W(2) + W(3)) ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 9
Var W(2) + Var W(3) + 2Cov(W(2), W(3)) = 2 + 3 + 2 min(2, 3) = 9। समतुल्यतः W(2) + W(3) = 2W(2) + (W(3) − W(2)), प्रसरण 4 × 2 + 1 = 9 सहित। दोनों को स्वतंत्र मानना 5 देता है।
W(t) एक मानक ब्राउनी गति है। Φ(1) = 0.8413 प्रयोग करते हुए P(max_0≤s≤4 W(s) ≥ 2), चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.3174
परावर्तन सिद्धांत: P(max ≥ a) = 2P(W(t) ≥ a) = 2P(Z ≥ 2/√4) = 2(1 − 0.8413) = 0.3174 (Φ(1) अपूर्णांकित लेने पर 0.3173)। गुणक 2 भूलना P(W(4) ≥ 2) = 0.1587 देता है, जो केवल 2 से ऊपर समाप्त होने वाले पथ गिनता है, न कि वे जो 2 छूकर लौट आए।
N(t) दर λ वाला प्वासों प्रक्रम है। कौन-से कथन सत्य हैं?
1. अंतर-आगमन काल माध्य 1/λ वाले i.i.d. चरघातांकी हैं
2. s < t हेतु N(t) − N(s) ~ प्वासों(λ(t − s))
3. तीसरे आगमन का काल चरघातांकी बंटित है
4. N को दर μ वाले स्वतंत्र प्वासों प्रक्रम से मिलाने पर दर λ + μ वाला प्वासों प्रक्रम मिलता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — अंतर-आगमन काल माध्य 1/λ वाले i.i.d. चरघातांकी हैं; B — s < t हेतु N(t) − N(s) ~ प्वासों(λ(t − s)); D — N को दर μ वाले स्वतंत्र प्वासों प्रक्रम से मिलाने पर दर λ + μ वाला प्वासों प्रक्रम मिलता है
(A), (B) प्रक्रम की समतुल्य परिभाषाएँ हैं। (C) असत्य: S₃ तीन i.i.d. Exp(λ) अंतरालों का योग है, अतः S₃ ~ Gamma(3, λ)। (D) स्वतंत्र वृद्धियाँ मिलन के बाद भी रहती हैं, और प्वासों(λt) + प्वासों(μt) = प्वासों((λ + μ)t)।
W(t) एक मानक ब्राउनी गति है। कौन-से कथन सत्य हैं?
1. Cov(W(s), W(t)) = min(s, t)
2. उसके प्रतिदर्श पथ प्रायिकता 1 से अवकलनीय हैं
3. प्रत्येक t > 0 हेतु W(t)/√t ~ N(0, 1)
4. s < t हेतु W(t) − W(s), W(s) से स्वतंत्र है
उत्तर देखें
उत्तर: A — Cov(W(s), W(t)) = min(s, t); C — प्रत्येक t > 0 हेतु W(t)/√t ~ N(0, 1); D — s < t हेतु W(t) − W(s), W(s) से स्वतंत्र है
(A) Cov(W(s), W(s) + (W(t) − W(s))) = Var W(s) = s। (B) असत्य: पथ संतत हैं पर लगभग निश्चित रूप से कहीं भी अवकलनीय नहीं — अंतर-भागफल का प्रसरण 1/h → ∞। (C) W(t) ~ N(0, t)। (D) असंयुक्त अंतरालों [0, s] व [s, t] पर स्वतंत्र वृद्धियाँ।
प्रति व्यक्ति जन्म दर λ वाले यूल (रैखिक शुद्ध-जन्म) प्रक्रम में, एक व्यक्ति से आरंभित, E[N(t)] बराबर है:
1. e^λt
2. 1 + λt
3. λt
4. e^−λt
उत्तर देखें
उत्तर: A — e^{λt}
m(t) = E N(t), m(0) = 1 सहित m′ = λm संतुष्ट करता है, अतः m = e^λt; समतुल्यतः N(t) सफलता प्रायिकता e^−λt वाला गुणोत्तर है, माध्य e^λt। 1 + λt अचर जन्म दर (1 से आरंभित प्वासों प्रक्रम) का उत्तर है, जहाँ जनसंख्या अपनी वृद्धि को पोषित नहीं करती।

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