प्रायिकता: अभिगृहीत, सप्रतिबंधता व बेज़, यादृच्छिक चर, आघूर्ण व जनक फलन, रूपांतरण व असमिकाएँ

GATE सांख्यिकी पेपर का खंड 3। अभियांत्रिकी पेपर प्रायिकता को सूत्रों के उपकरण-समूह के रूप में पूछते हैं; यह पेपर उसे एक सिद्धांत के रूप में पूछता है। अध्याय पाठ्यक्रम का अनुसरण करता है: प्रायिकता की अभिगृहीतीय परिभाषा व प्रायिकता फलन के गुण; सप्रतिबंध प्रायिकता, बेज़ प्रमेय व घटनाओं की स्वतंत्रता, युग्मशः व पारस्परिक स्वतंत्रता के अंतर सहित; यादृच्छिक चर, बंटन फलन, द्रव्यमान व घनत्व फलन तथा क्वांटाइल; प्रत्याशा, प्रसरण, आघूर्ण, आघूर्ण जनक फलन व प्रायिकता जनक फलन, सदा विद्यमान अभिलक्षणिक फलन सहित; यादृच्छिक चर के फलन का बंटन; तथा मार्कोव, चेबिशेव व जेन्सन असमिकाएँ। आगे का प्रत्येक खंड — बंटन, आकलन, परीक्षण — यहीं परिभाषित वस्तुओं से बना है।

1. अभिगृहीत व प्रायिकता फलन के गुण

प्रायिकता समष्टि (Ω, 𝓕, P) है: प्रतिदर्श समष्टि, घटनाओं का σ-क्षेत्र (पूरकों व गणनीय सम्मिलनों के अंतर्गत संवृत), तथा फलन P जिसमें P(A) ≥ 0, P(Ω) = 1, तथा गणनीय योज्यता — युग्मशः असंयुक्त Aᵢ हेतु P(∪Aᵢ) = ΣP(Aᵢ)। शेष सब प्रमेय है: P(∅) = 0, P(Aᶜ) = 1 − P(A), A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), बूल असमिका P(∪Aᵢ) ≤ ΣP(Aᵢ), तथा सांतत्य: यदि Aₙ ↑ A तो P(Aₙ) ↑ P(A), और यदि Aₙ ↓ A तो P(Aₙ) ↓ P(A)।

तीन घटनाओं हेतु समावेश–अपवर्जन: P(A ∪ B ∪ C) = ΣP(A) − ΣP(A ∩ B) + P(A ∩ B ∩ C)। बोनफ़ेरोनी: P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − 1। P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 व P(A ∪ B) = 0.7 सहित P(A ∩ B) = 0.2 तथा P(A ∩ Bᶜ) = 0.3।

2. सप्रतिबंध प्रायिकता, बेज़ प्रमेय व स्वतंत्रता

P(B) > 0 हेतु P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B), और स्थिर B हेतु यह स्वयं एक प्रायिकता फलन है। गुणन नियम P(A₁ ∩ … ∩ Aₙ) = P(A₁)P(A₂ | A₁)…; विभाजन पर सम्पूर्ण प्रायिकता नियम P(A) = ΣP(A | Bᵢ)P(Bᵢ); तथा बेज़: P(Bⱼ | A) = P(A | Bⱼ)P(Bⱼ)/ΣP(A | Bᵢ)P(Bᵢ)। 0.01 व्याप्ति वाली स्थिति हेतु 0.95 संवेदनशीलता व 0.05 मिथ्या-धनात्मक दर वाला परीक्षण P(स्थिति | धनात्मक) = 0.0095/(0.0095 + 0.0495) ≈ 0.16 देता है — निम्न पूर्व प्रायिकता यथार्थ परीक्षण पर हावी रहती है।

A व B स्वतंत्र हैं यदि P(A ∩ B) = P(A)P(B); तब A व Bᶜ, Aᶜ व Bᶜ भी स्वतंत्र हैं। घटनाएँ A₁, …, Aₙ पारस्परिक रूप से स्वतंत्र हैं यदि गुणन नियम प्रत्येक उपसंग्रह हेतु सत्य हो — 2ⁿ − n − 1 समीकरण, केवल युग्म नहीं। धनात्मक प्रायिकता वाली असंयुक्त घटनाएँ कभी स्वतंत्र नहीं: P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A)P(B)।

⚠️ युग्मशः पारस्परिक नहीं है
दो अनभिनत सिक्के उछालें। A = पहला चित, B = दूसरा चित, C = दोनों एक ही फलक दिखाएँ। प्रत्येक की प्रायिकता 1/2 है और प्रत्येक युग्म का प्रतिच्छेद 1/4 प्रायिकता का है, अतः तीनों युग्मशः स्वतंत्र हैं। पर A ∩ B ⊆ C, अतः P(A ∩ B ∩ C) = 1/4 ≠ 1/8: पारस्परिक रूप से स्वतंत्र नहीं।

3. यादृच्छिक चर, बंटन फलन, द्रव्यमान व घनत्व फलन, क्वांटाइल

यादृच्छिक चर एक मापनीय X : Ω → ℝ है। उसका बंटन फलन F(x) = P(X ≤ x) तीन गुणों से अभिलक्षित है: अह्रासमान, दक्षिण-संतत, F(−∞) = 0 व F(∞) = 1। प्रत्येक ऐसा F किसी यादृच्छिक चर का CDF है। उछाल बिंदु-द्रव्यमान देते हैं: P(X = x) = F(x) − F(x−), तथा P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)। असतत X का द्रव्यमान फलन p(x) है, Σp = 1 सहित; संतत X का घनत्व f ≥ 0 है, ∫f = 1 सहित व सांतत्य बिंदुओं पर F′ = f; मिश्रित X में उछाल व संतत भाग दोनों होते हैं।

p-वाँ क्वांटाइल ξ_p = inf{x : F(x) ≥ p} है; माध्यिका ξ0.5 है। संतत निरंतर-वर्धमान F हेतु यह F(ξ) = p हल करता है: माध्य θ वाले चरघातांकी का F(x) = 1 − e−x/θ, अतः माध्यिका θ ln 2 है — θ = 2 हेतु 1.386, माध्य से कम, जैसा दाहिना विषमता संकेत देती है।

4. प्रत्याशा, प्रसरण, आघूर्ण व जनक फलन

E[g(X)] = Σg(x)p(x) या ∫g(x)f(x) dx, जब योग या समाकल निरपेक्षतः अभिसारी हो। रैखिकता E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y] को स्वतंत्रता नहीं चाहिए; Var(aX + b) = a²Var X; Var X = E[X²] − (E X)²। X ≥ 0 हेतु E X = ∫₀^∞ P(X > x) dx (अऋणात्मक पूर्णांकों हेतु E X = Σk≥1 P(X ≥ k)) — यदि P(X > x) = 1/(1 + x)², तो E X = 1।

तीन जनक फलन
फलनपरिभाषाक्या देता है
आघूर्ण जनक फलनM(t) = E[etX]E[Xᵏ] = M⁽ᵏ⁾(0), जब M, 0 के निकट विद्यमान हो; स्वतंत्र X, Y हेतु MX+Y = M_X M_Y
प्रायिकता जनक फलनG(s) = E[s^X], X ∈ {0, 1, 2, …}P(X = k) = G⁽ᵏ⁾(0)/k!; G′(1) = E X; G″(1) = E[X(X − 1)]
अभिलक्षणिक फलनφ(t) = E[eitX]सदा विद्यमान; |φ| ≤ 1, φ(0) = 1; वास्तविक यदि और केवल यदि X, 0 के परितः सममित

M(t) = (1 − 2t)−3 से M′(0) = 6 व M″(0) = 48, अतः E X = 6 व Var X = 48 − 36 = 12 — आकृति 3 व मापक 2 वाला गामा बंटन। G(s) = (0.4 + 0.6s)⁵ से G″(1) = 5 × 4 × 0.6² = 7.2 = E[X(X − 1)]। 0 के किसी सामीप्य में विद्यमान आघूर्ण जनक फलन बंटन को अद्वितीय रूप से निर्धारित करता है। उसका विद्यमान होना आवश्यक नहीं: कौशी बंटन का कोई नहीं और कोई आघूर्ण नहीं, तथा लघुगणकीय-प्रसामान्य के सभी आघूर्ण हैं पर आघूर्ण जनक फलन नहीं, क्योंकि प्रत्येक t > 0 हेतु E[etX] = ∞।

5. यादृच्छिक चर के फलन का बंटन

  • बंटन-फलन विधि: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y), सीधे निकाला गया — सदा मान्य, और g एकैकी न हो तो सबसे सुरक्षित मार्ग।
  • एकदिष्ट अवकलनीय g हेतु चर-परिवर्तन: f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) |d g⁻¹(y)/dy|। अ-एकदिष्ट g हेतु मूलों पर योग: Y = X² से f_Y(y) = [f_X(√y) + f_X(−√y)]/(2√y)।
  • प्रायिकता समाकल रूपांतरण: यदि F संतत हो, F(X) ~ U(0, 1); विलोमतः F⁻¹(U) का CDF F है। अतः −θ ln U, माध्य θ वाला चरघातांकी है, और यदि X का घनत्व (0, 1) पर 2x हो, तो Y = X² = F(X) एकसमान है, प्रसरण 1/12 सहित।

6. मार्कोव, चेबिशेव व जेन्सन असमिकाएँ

  • मार्कोव: X ≥ 0 व a > 0 हेतु P(X ≥ a) ≤ E X/a। E X = 2 सहित P(X ≥ 10) ≤ 0.2 — बंटन जो भी हो।
  • चेबिशेव: P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1/k², (X − μ)² पर लगाया मार्कोव। μ = 50 व σ = 5 सहित P(40 < X < 60) ≥ 1 − 1/4 = 0.75।
  • जेन्सन: उत्तल φ हेतु φ(E X) ≤ E φ(X); अवतल φ हेतु उलटी, समता केवल अपभ्रष्ट X या रैखिक φ हेतु। अतः E[X²] ≥ (E X)², E[e^X] ≥ eE X, X > 0 हेतु E[1/X] ≥ 1/E X, तथा E[ln X] ≤ ln E X।
🎯 ये परिबंध ढीले होकर भी क्यों महत्त्वपूर्ण हैं
प्रसामान्य चर हेतु P(|X − μ| ≥ 2σ) ≈ 0.046, चेबिशेव के 0.25 से बहुत कम। असमिका का मूल्य यह है कि वह परिमित प्रसरण वाले प्रत्येक बंटन हेतु सत्य है, जो ठीक वही है जो बृहत् संख्याओं के दुर्बल नियम को चाहिए: P(|X̄ − μ| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²) → 0।

मुख्य बिंदु

  • तीन अभिगृहीत — अऋणात्मकता, P(Ω) = 1, गणनीय योज्यता — प्रत्येक अन्य नियम देते हैं, एकदिष्ट अनुक्रमों के अनुदिश P के सांतत्य सहित।
  • बेज़ P(A | B) को P(B | A) में बदलता है; दुर्लभ स्थिति यथार्थ परीक्षण हेतु भी पश्च प्रायिकता निम्न रखती है। युग्मशः स्वतंत्रता पारस्परिक स्वतंत्रता का निहितार्थ नहीं।
  • CDF अह्रासमान, दक्षिण-संतत, −∞ पर 0 व ∞ पर 1 होता है; P(X = x) उछाल F(x) − F(x−) है।
  • E Xᵏ = M⁽ᵏ⁾(0), G′(1) = E X, G″(1) = E X(X − 1)। अभिलक्षणिक फलन सदा विद्यमान है; आघूर्ण जनक फलन नहीं भी (कौशी; लघुगणकीय-प्रसामान्य के आघूर्ण हैं पर आघूर्ण जनक फलन नहीं)।
  • एकदिष्ट g हेतु f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y))|dg⁻¹/dy|; संतत F हेतु F(X) ~ U(0, 1)।
  • मार्कोव P(X ≥ a) ≤ E X/a; चेबिशेव P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²; उत्तल φ हेतु जेन्सन φ(E X) ≤ E φ(X)।

अभ्यास प्रश्न (15)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. किसी स्थिति की व्याप्ति 1% है। परीक्षण उपस्थित होने पर उसे 0.95 प्रायिकता से पहचानता है और अनुपस्थित होने पर 0.05 प्रायिकता से मिथ्या धनात्मक देता है। धनात्मक परिणाम दिया हो तो स्थिति उपस्थित होने की प्रायिकता, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.16

    P(+) = 0.95 × 0.01 + 0.05 × 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059। P(उपस्थित | +) = 0.0095/0.059 = 0.161 → 0.16। 0.95 उत्तर P(+ | उपस्थित) को P(उपस्थित | +) से भ्रमित करता है।

  2. दो अनभिनत सिक्के उछाले जाते हैं। A = {पहला सिक्का चित}, B = {दूसरा सिक्का चित}, C = {दोनों सिक्के एक ही फलक दिखाते हैं}। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. A व B स्वतंत्र हैं
    2. A व C स्वतंत्र हैं
    3. A, B व C पारस्परिक रूप से स्वतंत्र हैं
    4. P(A ∩ B ∩ C) = 1/4
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — A व B स्वतंत्र हैं; B — A व C स्वतंत्र हैं; D — P(A ∩ B ∩ C) = 1/4

    (A) P(A ∩ B) = 1/4 = (1/2)(1/2)। (B) A ∩ C = {HH}, प्रायिकता 1/4 = P(A)P(C)। (C) असत्य: A ∩ B = {HH} ⊆ C, अतः (D) P(A ∩ B ∩ C) = 1/4, न कि वह 1/8 जो पारस्परिक स्वतंत्रता चाहती। सभी युग्म जाँचना पर्याप्त नहीं; त्रिक गुणनफल भी सत्य होना चाहिए।

  3. किसी यादृच्छिक चर का आघूर्ण जनक फलन t < 1/2 हेतु M(t) = (1 − 2t)−3 है। उसका प्रसरण ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 12

    M′(t) = 6(1 − 2t)−4, M″(t) = 48(1 − 2t)−5। E X = 6, E X² = 48, Var X = 48 − 36 = 12 (गामा, आकृति 3, मापक 2: 3 × 2² = 12)। M″(0) = 48 को प्रसरण बताना (E X)² घटाना भूलता है।

  4. {0, 1, 2, …} पर यादृच्छिक चर X का प्रायिकता जनक फलन G(s) = (0.4 + 0.6s)⁵ है। E[X(X − 1)] का मान, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 7.2

    G″(s) = 5 × 4 × 0.6² (0.4 + 0.6s)³, अतः G″(1) = 20 × 0.36 = 7.2। यह Bin(5, 0.6) है: E X = 3, Var X = 1.2, तथा E[X(X − 1)] = Var X + (E X)² − E X = 1.2 + 9 − 3 = 7.2। E X² = 10.2 देना भिन्न आघूर्ण का उत्तर है।

  5. X का घनत्व (0, 1) पर f(x) = 2x है। Y = X² का प्रसरण, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.083

    F_X(x) = x², अतः प्रायिकता समाकल रूपांतरण से Y = F_X(X) ~ U(0, 1): P(Y ≤ y) = P(X ≤ √y) = y। Var Y = 1/12 = 0.0833 → 0.083। सीधे: E X² = ∫2x³ = 1/2, E X⁴ = ∫2x⁵ = 1/3, Var = 1/3 − 1/4 = 1/12। Var X = 1/18 = 0.056 निकालना X का उत्तर है, Y का नहीं।

  6. X का बंटन फलन x < 0 हेतु F(x) = 0, 0 ≤ x < 1 हेतु x/2, तथा x ≥ 1 हेतु 1 है। P(X = 1) है:

    1. 1/2
    2. 0
    3. 1
    4. 1/4
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1/2

    P(X = 1) = F(1) − F(1−) = 1 − 1/2 = 1/2: मिश्रित बंटन, [0, 1) पर घनत्व 1/2 सहित एकसमान तथा 1 पर द्रव्यमान 1/2 का परमाणु। 0 उत्तर उछलते CDF पर संतत-चर नियम "बिंदुओं की प्रायिकता शून्य" लगाता है।

  7. X का माध्य 50 व मानक विचलन 5 है। चेबिशेव असमिका P(40 < X < 60) हेतु निम्न परिबंध ____ देती है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.75

    अंतराल μ ± 2σ है, अतः P(|X − μ| ≥ 2σ) ≤ 1/4 तथा P(|X − μ| < 2σ) ≥ 3/4 = 0.75। प्रसामान्य मान 0.95 बताना वह बंटन मान लेता है जो प्रश्न नहीं देता।

  8. किसी अऋणात्मक यादृच्छिक चर का माध्य 2 है। P(X ≥ 10) हेतु मार्कोव असमिका का सर्वोत्तम उपरि परिबंध है:

    1. 0.2
    2. 0.04
    3. 0.8
    4. 0.5
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.2

    P(X ≥ 10) ≤ E X/10 = 0.2। मान 0.04 = (2/10)² को ज्ञात प्रसरण सहित चेबिशेव-प्रकार परिबंध चाहिए, जो दिया नहीं; मार्कोव केवल माध्य व अऋणात्मकता प्रयोग करता है।

  9. X एक धनात्मक, अनपभ्रष्ट यादृच्छिक चर है जिसकी नीचे की सभी प्रत्याशाएँ परिमित हैं। कौन-सी असमिकाएँ सत्य हैं?

    1. E[1/X] ≥ 1/E[X]
    2. E[ln X] ≤ ln E[X]
    3. E[X²] ≤ (E[X])²
    4. E[e^X] ≥ eE[X]
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — E[1/X] ≥ 1/E[X]; B — E[ln X] ≤ ln E[X]; D — E[e^X] ≥ e^{E[X]}

    जेन्सन: (0, ∞) पर 1/x व eˣ उत्तल हैं, अतः (A) व (D) सत्य; ln x अवतल है, अतः (B) सत्य। (C) उलटा है: x² उत्तल है, अतः E[X²] ≥ (E X)², अंतर अनपभ्रष्ट X हेतु Var X > 0 है।

  10. माध्य 2 वाले चरघातांकी बंटन की माध्यिका, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.39

    F(m) = 1 − e−m/2 = 1/2 से m = 2 ln 2 = 1.386 → 1.39। माध्यिका को माध्य 2 के बराबर लेना दाहिनी विषमता की उपेक्षा है; दर को माध्य मान लेना ln 2/2 = 0.35 देता है।

  11. P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 तथा P(A ∪ B) = 0.7। P(A ∩ Bᶜ) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.3

    P(A ∩ B) = 0.5 + 0.4 − 0.7 = 0.2, तथा P(A ∩ Bᶜ) = P(A) − P(A ∩ B) = 0.3। P(A)P(Bᶜ) = 0.3 का गुणन यहाँ केवल इसलिए मेल खाता है कि 0.2 = 0.5 × 0.4 — ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं, जो प्रश्न ने नहीं कहा और विधि को मानना नहीं चाहिए।

  12. किस बंटन के प्रत्येक कोटि के परिमित आघूर्ण हैं पर 0 के किसी सामीप्य में आघूर्ण जनक फलन नहीं है?

    1. लघुगणकीय-प्रसामान्य
    2. कौशी
    3. चरघातांकी
    4. प्वासों
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — लघुगणकीय-प्रसामान्य

    यदि ln X ~ N(μ, σ²), तो E[Xᵏ] = ekμ + k²σ²/2 सभी k हेतु परिमित है, पर प्रत्येक t > 0 हेतु E[etX] = ∞ क्योंकि etx लघुगणकीय-प्रसामान्य पुच्छ से तेज़ बढ़ता है। कौशी का कोई आघूर्ण नहीं; चरघातांकी का आघूर्ण जनक फलन दर से कम t हेतु विद्यमान है, और प्वासों का सभी t हेतु।

  13. किसी अऋणात्मक यादृच्छिक चर X हेतु x ≥ 0 पर P(X > x) = 1/(1 + x)²। E[X] ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1

    E X = ∫₀^∞ P(X > x) dx = ∫₀^∞ (1 + x)−2 dx = 1। घनत्व f(x) = 2/(1 + x)³ से: ∫₀^∞ 2x/(1 + x)³ dx = 1 भी। उत्तरजीविता फलन को x के साथ समाकलित करना (जो E[X²]/2 देता है) सामान्य चूक है; यहाँ E X² वस्तुतः अनंत है।

  14. प्रत्येक संचयी बंटन फलन F में कौन-सा गुण अवश्य होना चाहिए?

    1. दक्षिण-सांतत्य
    2. वाम-सांतत्य
    3. अवकलनीयता
    4. निरंतर-एकदिष्टता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दक्षिण-सांतत्य

    F(x) = P(X ≤ x) तथा {X ≤ x + 1/n} ↓ {X ≤ x}, अतः प्रायिकता का सांतत्य F(x + 1/n) → F(x) देता है: दक्षिण-सांतत्य। वह बाईं ओर से उछल सकता है (परमाणुओं पर), अवकलनीय होना आवश्यक नहीं (असतत X), और आधार के रिक्त भागों पर अचर रहता है, अतः निरंतर-वर्धमान होना आवश्यक नहीं।

  15. अभिलक्षणिक फलन φ(t) = E[eitX] के विषय में कौन-से कथन प्रत्येक यादृच्छिक चर X हेतु सत्य हैं?

    1. प्रत्येक वास्तविक t हेतु φ(t) विद्यमान है
    2. |φ(t)| ≤ 1
    3. φ(0) = 1
    4. φ(t) वास्तविक-मानी है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक वास्तविक t हेतु φ(t) विद्यमान है; B — |φ(t)| ≤ 1; C — φ(0) = 1

    |eitX| = 1, अतः प्रत्याशा सदा विद्यमान है और |φ(t)| ≤ E|eitX| = 1; φ(0) = E[1] = 1। (D) व्यापकतः विफल: φ ठीक तब वास्तविक है जब X व −X का बंटन समान हो — चरघातांकी चर हेतु φ(t) = 1/(1 − it) सम्मिश्र है।