अप्राचलिक सांख्यिकी: आनुभविक बंटन फलन, समंजन-सुष्ठुता, रन, चिह्न व चिह्नित-कोटि परीक्षण, मैन–व्हिटनी, क्रुस्कल–वालिस व कोटि सहसंबंध
1. आनुभविक बंटन फलन
प्रतिदर्श X₁, …, Xₙ हेतु Fₙ(x) = (1/n)#{i : Xᵢ ≤ x}, प्रत्येक प्रेक्षण पर 1/n उछलने वाला सोपान फलन। स्थिर x हेतु nFₙ(x) ~ Bin(n, F(x)), अतः Fₙ(x), F(x) हेतु अनभिनत है, प्रसरण F(x)[1 − F(x)]/n सहित, और संगत है (SLLN से प्रबल रूप में)। ग्लिवेंको–कैंटेली प्रमेय इसे एकसमान अभिसरण तक सुदृढ़ करता है: supₓ|Fₙ(x) − F(x)| → 0 लगभग निश्चित। प्रतिदर्श 3.1, 1.2, 4.5, 2.2, 5.0 हेतु F₅(3) = 2/5 = 0.4; यदि F(x) = 0.3 व n = 20, तो Var Fₙ(x) = 0.21/20 = 0.0105।
2. समंजन-सुष्ठुता: काई-वर्ग व कोल्मोगोरोव–स्मिर्नोव परीक्षण
पियर्सन काई-वर्ग: k वर्गों, प्रेक्षित Oᵢ व H₀ के अंतर्गत प्रत्याशित Eᵢ = npᵢ सहित χ² = Σ(Oᵢ − Eᵢ)²/Eᵢ ≈ χ², k − 1 − m स्वातंत्र्य-कोटियों सहित, m आँकड़ों से आकलित प्राचलों की संख्या। प्रत्याशित गणनाएँ बहुत छोटी नहीं होनी चाहिए (सामान्य नियम Eᵢ ≥ 5, आवश्यकता हो तो वर्ग मिलाएँ)। 60 बार उछाले पासे की गणनाएँ 8, 12, 9, 11, 6, 14, 5 df पर χ² = (4 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16)/10 = 4.2 देती हैं — अनभिनतता के विरुद्ध कोई साक्ष्य नहीं। 6 वर्गों पर λ आकलित प्वासों समंजित करना 6 − 1 − 1 = 4 df छोड़ता है। यही प्रतिदर्शज r × c सारणी में (r − 1)(c − 1) df पर स्वतंत्रता का परीक्षण करता है।
कोल्मोगोरोव–स्मिर्नोव: पूर्णतः निर्दिष्ट संतत F₀ हेतु Dₙ = supₓ|Fₙ(x) − F₀(x)|। उच्चक किसी आँकड़ा बिंदु पर प्राप्त होता है, अतः D⁺ = maxᵢ[i/n − F₀(x₍ᵢ₎)] व D⁻ = maxᵢ[F₀(x₍ᵢ₎) − (i − 1)/n] निकालकर D = max(D⁺, D⁻) लें। चूँकि F₀(X) एकसमान है, Dₙ का शून्य बंटन प्रत्येक संतत F₀ हेतु समान है — परीक्षण बंटन-मुक्त है। द्वि-प्रतिदर्श रूप sup|Fₘ − Gₙ| प्रयोग करता है।
| i | x₍ᵢ₎ | i/n − x₍ᵢ₎ | x₍ᵢ₎ − (i − 1)/n |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.1 | 0.15 | 0.10 |
| 2 | 0.4 | 0.10 | 0.15 |
| 3 | 0.45 | 0.30 | −0.05 |
| 4 | 0.8 | 0.20 | 0.05 |
अतः D⁺ = 0.30, D⁻ = 0.15 व D₄ = 0.30, सबसे बड़ा ऊर्ध्वाधर अंतर, तीसरे प्रेक्षण के ठीक बाद।
3. रन परीक्षण
रन समान प्रतीकों का अधिकतम खंड है। एक प्रकार के n₁ व दूसरे के n₂ प्रतीकों की यादृच्छिक व्यवस्था में रनों की संख्या R का E R = 1 + 2n₁n₂/(n₁ + n₂) तथा Var R = 2n₁n₂(2n₁n₂ − n₁ − n₂)/[(n₁ + n₂)²(n₁ + n₂ − 1)] है। बहुत कम रन गुच्छन या प्रवृत्ति, बहुत अधिक एकांतरण सुझाते हैं। A A B B B A B A A A B B में छह रन हैं (AA | BBB | A | B | AAA | BB), n₁ = n₂ = 6 सहित, E R = 1 + 72/12 = 7 के विरुद्ध। वाल्ड–वुल्फ़ोविट्ज़ द्वि-प्रतिदर्श परीक्षण दो प्रतिदर्शों को संयोजित कर प्रत्येक मान पर उसके प्रतिदर्श का लेबल लगाता है और क्रमित संयोजित अनुक्रम में रन गिनता है: कम रन का अर्थ प्रतिदर्श भिन्न हैं।
4. चिह्न परीक्षण व विलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण
H₀: माध्यिका = m₀ (या युग्मित आँकड़ों हेतु माध्यिका अंतर 0) हेतु चिह्न परीक्षण: शून्य हटाएँ; शेष n में धनात्मक अंतरों की संख्या S, H₀ के अंतर्गत Bin(n, 1/2) है। 12 में 10 धनात्मक सहित एक-पक्षीय p-मान P(S ≥ 10) = (66 + 12 + 1)/4096 = 0.0193 है। यह केवल चिह्न प्रयोग करता है, अतः लगभग कोई मान्यता नहीं चाहिए — और परिमाण व्यर्थ कर देता है।
विलकॉक्सन चिह्नित-कोटि (सममित बंटन मानता है): |dᵢ| को 1 से n तक कोटि दें और W⁺ धनात्मक dᵢ की कोटियों का योग हो। W⁺ + W⁻ = n(n + 1)/2, तथा H₀ के अंतर्गत E W⁺ = n(n + 1)/4, Var W⁺ = n(n + 1)(2n + 1)/24। d = 1.5, −0.5, 2.0, 3.1, −1.0, 2.6 हेतु |d| की कोटियाँ 3, 1, 4, 6, 2, 5 हैं, अतः W⁺ = 3 + 4 + 6 + 5 = 18 व W⁻ = 3, शून्य माध्य 10.5 के विरुद्ध।
5. मैन–व्हिटनी U-परीक्षण व क्रुस्कल–वालिस परीक्षण
मैन–व्हिटनी: प्रतिदर्शों X (आकार n₁) व Y (आकार n₂) हेतु U_X = #{(i, j) : Xᵢ > Yⱼ}। समतुल्यतः, यदि R_X संयोजित प्रतिदर्श में X कोटियों का योग हो, तो U_X = R_X − n₁(n₁ + 1)/2, तथा U_X + U_Y = n₁n₂। H₀ (समान बंटन) के अंतर्गत E U = n₁n₂/2, Var U = n₁n₂(n₁ + n₂ + 1)/12। X = 3, 7, 9 व Y = 1, 4, 5, 8 से X की संयोजित कोटियाँ 2, 5, 7, R_X = 14 व U_X = 14 − 6 = 8, शून्य माध्य 6 के विरुद्ध — सीधे, 3 एक Y से, 7 तीन से और 9 चार से बड़ा है।
क्रुस्कल–वालिस इसे k प्रतिदर्शों तक बढ़ाता है: सभी N प्रेक्षणों को साथ कोटि दें, Rᵢ प्रतिदर्श i (आकार nᵢ) का कोटि-योग हो, और H = 12/[N(N + 1)] Σ Rᵢ²/nᵢ − 3(N + 1) निकालें, H₀ के अंतर्गत लगभग χ²k−1। कोटि-योग 6, 15 व 24 (पूर्ण पृथक्करण) वाले तीन-तीन के तीन समूहों हेतु H = (12/90)(12 + 75 + 192) − 30 = 37.2 − 30 = 7.2, इन आकारों सहित अधिकतम संभव मान। k = 2 हेतु H मानकीकृत मैन–व्हिटनी प्रतिदर्शज का वर्ग है।
6. कोटि सहसंबंध: स्पीयरमैन व केंडल
स्पीयरमैन ρ_s कोटियों का पियर्सन सहसंबंध है; बंधों के बिना ρ_s = 1 − 6Σdᵢ²/[n(n² − 1)], dᵢ कोटि-अंतर। केंडल τ युग्म गिनता है: τ = (C − D)/[n(n − 1)/2], C संगत व D असंगत युग्मों सहित। दोनों [−1, 1] में हैं, पूर्ण एकदिष्ट सहमति या असहमति हेतु ±1 हैं, और किसी भी चर के किसी वर्धमान रूपांतरण से अपरिवर्तित हैं। x-कोटियाँ 1, 2, 3, 4, 5 व y-कोटियाँ 2, 1, 4, 3, 5 हेतु: d = −1, 1, −1, 1, 0, Σd² = 4, ρ_s = 1 − 24/120 = 0.8; असंगत युग्म (1, 2) व (3, 4) हैं, अतः C = 8, D = 2 व τ = 0.6। वे एक ही वस्तु को भिन्न पैमानों पर मापते हैं और व्यापकतः समान नहीं।
मुख्य बिंदु
- nFₙ(x) ~ Bin(n, F(x)): Fₙ(x) अनभिनत है, प्रसरण F(1 − F)/n सहित; ग्लिवेंको–कैंटेली एकसमान a.s. अभिसरण देता है।
- काई-वर्ग GOF: k − 1 − m df पर Σ(O − E)²/E। K–S: आँकड़ा बिंदुओं पर i/n − F₀(x₍ᵢ₎) व F₀(x₍ᵢ₎) − (i − 1)/n का अधिकतम D; बंटन-मुक्त।
- रन: E R = 1 + 2n₁n₂/(n₁ + n₂)। चिह्न परीक्षण: शून्य हटाने के बाद S ~ Bin(n, 1/2)।
- चिह्नित कोटि: E W⁺ = n(n + 1)/4, Var = n(n + 1)(2n + 1)/24। मैन–व्हिटनी: U = R − n₁(n₁ + 1)/2, E U = n₁n₂/2, Var = n₁n₂(n₁ + n₂ + 1)/12।
- क्रुस्कल–वालिस H = 12/[N(N + 1)]ΣRᵢ²/nᵢ − 3(N + 1) ≈ χ²k−1। स्पीयरमैन 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)]; केंडल (C − D)/C(n, 2)।
अभ्यास प्रश्न (16)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक प्रतिदर्श 3.1, 1.2, 4.5, 2.2, 5.0 है। आनुभविक बंटन फलन F₅(3) का मान, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
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उत्तर: 0.4
दो प्रेक्षण, 1.2 व 2.2, ≤ 3 हैं, अतः F₅(3) = 2/5 = 0.4। 3.1 को भी गिनना (वह निकटतम मान है) 0.6 देता है; Fₙ, x पर या उससे नीचे के मान गिनता है, उसके निकट के नहीं।F(x₀) = 0.3 वाले बंटन से 20 आकार के प्रतिदर्श हेतु आनुभविक बंटन फलन F₂₀(x₀) का प्रसरण, चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।
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उत्तर: 0.0105
20F₂₀(x₀) ~ Bin(20, 0.3), अतः Var F₂₀(x₀) = 0.3 × 0.7/20 = 0.0105। द्विपद प्रसरण 20 × 0.21 = 4.2 देना गणना का उत्तर है, अनुपात का नहीं।चार का प्रतिदर्श, 0.1, 0.4, 0.45, 0.8, H₀: U(0, 1) के विरुद्ध परखा जाता है। कोल्मोगोरोव–स्मिर्नोव प्रतिदर्शज D₄, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
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उत्तर: 0.3
D⁺ = max(0.25 − 0.1, 0.5 − 0.4, 0.75 − 0.45, 1 − 0.8) = 0.30 तथा D⁻ = max(0.1, 0.15, −0.05, 0.05) = 0.15, अतः D = 0.3। केवल अंतर F₀(x₍ᵢ₎) − (i − 1)/n, या प्रत्येक सोपान के केवल बाएँ सिरे पर जाँचना सबसे बड़ा अंतर चूकता है, 0.45 के ठीक बाद।एक पासा 60 बार उछाला जाता है, फलक-गणनाएँ 8, 12, 9, 11, 6, 14 सहित। अनभिनतता हेतु काई-वर्ग समंजन-सुष्ठुता प्रतिदर्शज, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
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उत्तर: 4.2
प्रत्येक Eᵢ = 10: Σ(O − E)²/E = (4 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16)/10 = 4.2, 5 df पर — 5% बिंदु 11.07 से बहुत नीचे। प्रत्याशित के स्थान पर प्रेक्षित गणनाओं से भाग देना (नेमन रूप) भिन्न संख्या देता है और पियर्सन प्रतिदर्शज नहीं है।आँकड़ों से आकलित λ सहित एक प्वासों बंटन 6 वर्गों में समूहीकृत गणनाओं पर समंजित किया जाता है। काई-वर्ग समंजन-सुष्ठुता परीक्षण की स्वातंत्र्य-कोटियाँ ____ हैं।
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उत्तर: 4
df = k − 1 − m = 6 − 1 − 1 = 4: एक गणनाओं के योग n होने के प्रतिबंध हेतु, एक आकलित λ हेतु। 5 उत्तर भूलता है कि λ का आकलन एक स्वातंत्र्य-कोटि व्यय करता है।अनुक्रम A A B B B A B A A A B B में छह A व छह B हैं। यादृच्छिकता के अंतर्गत रनों की प्रत्याशित संख्या ____ है।
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उत्तर: 7
E R = 1 + 2n₁n₂/(n₁ + n₂) = 1 + 72/12 = 7। प्रेक्षित संख्या 6 है (AA | BBB | A | B | AAA | BB), 7 के निकट, अतः यादृच्छिकता के विरुद्ध कोई साक्ष्य नहीं। 6 उत्तर प्रेक्षित गणना बताता है, प्रत्याशा नहीं।एक युग्मित प्रयोग में 12 अशून्य अंतर हैं, जिनमें 10 धनात्मक हैं। H₀: माध्यिका अंतर = 0 बनाम धनात्मक विस्थापन के चिह्न परीक्षण हेतु p-मान, चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।
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उत्तर: 0.0193
S ~ Bin(12, 1/2): P(S ≥ 10) = [C(12, 10) + C(12, 11) + C(12, 12)]/2¹² = (66 + 12 + 1)/4096 = 79/4096 = 0.0193। अकेला P(S = 10), 66/4096 = 0.0161, p-मान नहीं: उसमें अधिक चरम परिणाम 11 व 12 सम्मिलित होने चाहिए।युग्मित अंतर 1.5, −0.5, 2.0, 3.1, −1.0, 2.6 हैं। विलकॉक्सन चिह्नित-कोटि प्रतिदर्शज W⁺ (धनात्मक अंतरों की कोटियों का योग) ____ है।
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उत्तर: 18
|d| की कोटियाँ: 0.5 → 1, 1.0 → 2, 1.5 → 3, 2.0 → 4, 2.6 → 5, 3.1 → 6। W⁺ = 3 + 4 + 6 + 5 = 18 व W⁻ = 1 + 2 = 3; जाँच W⁺ + W⁻ = 21 = 6 × 7/2। निरपेक्ष मानों के स्थान पर चिह्नित मानों को कोटि देना ऋणात्मकों को रचना से ही न्यूनतम कोटियाँ दे देता है।प्रतिदर्श X: 3, 7, 9 व Y: 1, 4, 5, 8 की मैन–व्हिटनी परीक्षण से तुलना की जाती है। प्रतिदर्शज U_X = #{(i, j) : Xᵢ > Yⱼ} ____ है।
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उत्तर: 8
3 एक Y (1) से, 7 तीन (1, 4, 5) से, 9 चारों से बड़ा है: U_X = 8। कोटियों से: X की संयोजित कोटियाँ 2, 5, 7, R_X = 14, U_X = 14 − 3 × 4/2 = 8। R_X = 14 बताना n₁(n₁ + 1)/2 घटाना भूलता है; U_Y = 12 − 8 = 4 दूसरी गणना है।तीन-तीन प्रेक्षणों के तीन समूहों को साथ कोटि दी जाती है; कोटि-योग 6, 15 व 24 हैं। क्रुस्कल–वालिस प्रतिदर्शज H, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
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उत्तर: 7.2
N = 9: H = 12/(9 × 10) × (6²/3 + 15²/3 + 24²/3) − 3 × 10 = (12/90)(12 + 75 + 192) − 30 = 37.2 − 30 = 7.2, χ²₂ से तुलना हेतु। प्रत्येक Rᵢ² को nᵢ से भाग देना भूलना घटाव से पहले तीन गुना बड़ा H देता है।दो निर्णायक पाँच वस्तुओं को कोटि देते हैं: निर्णायक A 1, 2, 3, 4, 5 व निर्णायक B 2, 1, 4, 3, 5 देता है। स्पीयरमैन कोटि सहसंबंध गुणांक, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
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उत्तर: 0.8
d = −1, 1, −1, 1, 0, Σd² = 4, ρ_s = 1 − 6 × 4/(5 × 24) = 1 − 0.2 = 0.8। n² − 1 के स्थान पर n² लेना 1 − 24/125 = 0.81 देता है।उन्हीं कोटियों (A: 1, 2, 3, 4, 5; B: 2, 1, 4, 3, 5) हेतु केंडल τ, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.6
C(5, 2) = 10 युग्मों में केवल (1, 2) व (3, 4) को B भिन्न क्रम देता है, अतः C = 8, D = 2 व τ = (8 − 2)/10 = 0.6। यह स्पीयरमैन के 0.8 के बराबर नहीं — दोनों गुणांक भिन्न पैमाने प्रयोग करते हैं। 20 (क्रमित युग्म) से भाग देना उत्तर आधा कर देता है।कौन-से कथन सत्य हैं?
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उत्तर: A — पूर्णतः निर्दिष्ट संतत F₀ हेतु कोल्मोगोरोव–स्मिर्नोव परीक्षण H₀ के अंतर्गत बंटन-मुक्त है; B — प्रत्येक स्थिर x हेतु nFₙ(x) का बंटन Bin(n, F(x)) है; D — क्रुस्कल–वालिस परीक्षण मैन–व्हिटनी परीक्षण को दो से अधिक प्रतिदर्शों तक बढ़ाता है
(A) H₀ के अंतर्गत F₀(Xᵢ) i.i.d. U(0, 1) हैं, और Dₙ उस रूपांतरण से अपरिवर्तित है। (B) प्रत्येक 1{Xᵢ ≤ x}, बर्नूली(F(x)) है। (C) असत्य: यह केवल चिह्न प्रयोग करता है; परिमाण जोड़ने वाला चिह्नित-कोटि परीक्षण है। (D) k = 2 हेतु H मानकीकृत कोटि-योग प्रतिदर्शज का वर्ग है।कोटि प्रतिदर्शजों (बंध रहित) के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?
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उत्तर: A — मैन–व्हिटनी गणनाओं हेतु U_X + U_Y = n₁n₂; B — चिह्नित-कोटि योगों हेतु W⁺ + W⁻ = n(n + 1)/2
(A) n₁n₂ युग्मों में से प्रत्येक में Xᵢ > Yⱼ, Yⱼ > Xᵢ में से ठीक एक होता है। (B) साथ मिलकर वे 1 से n तक सभी कोटियों का योग हैं। (C) असत्य: H₀ के अंतर्गत सममिति से U_X व U_Y का बंटन समान है, अतः E U_X = n₁n₂/2। (D) असत्य: कोटियों (1, 2, 3, 4, 5) व (2, 1, 4, 3, 5) हेतु ρ_s = 0.8 पर τ = 0.6।दो स्वतंत्र प्रतिदर्शों की तुलना प्रसामान्यता माने बिना स्थान-विस्थापन हेतु करनी है। इनमें उपयुक्त परीक्षण है:
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उत्तर: A — मैन–व्हिटनी U-परीक्षण
मैन–व्हिटनी संयोजित प्रतिदर्शों को कोटि देकर पूछता है कि क्या एक प्रतिदर्श की कोटियाँ व्यवस्थित रूप से ऊँची हैं। चिह्नित-कोटि परीक्षण एक प्रतिदर्श या युग्मित अंतरों हेतु है — स्वतंत्र प्रतिदर्शों में कोई युग्मन नहीं; रन परीक्षण एकल अनुक्रम का क्रम जाँचता है, और कोटि सहसंबंध युग्मित चरों के बीच साहचर्य मापता है, विस्थापन नहीं।चिह्न परीक्षण की तुलना में माध्यिका हेतु विलकॉक्सन चिह्नित-कोटि परीक्षण अतिरिक्त रूप से मानता है कि:
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उत्तर: A — बंटन अपनी माध्यिका के परितः सममित है
H₀ के अंतर्गत चिह्नों को परिमाणों से स्वतंत्र होना चाहिए, प्रत्येक |d| पर प्रत्येक चिह्न समान संभाव्य — जो परिकल्पित माध्यिका के परितः सममिति है। प्रसामान्यता व ज्ञात प्रसरण t- व z-परीक्षणों को चाहिए; यहाँ किसी परीक्षण को बड़ा प्रतिदर्श नहीं चाहिए, क्योंकि यथार्थ शून्य बंटन सारणीबद्ध हैं।