बहुचर विश्लेषण: बहुचर प्रसामान्य, उसके उपांत व सप्रतिबंध, माध्य सदिश व प्रकीर्णन आव्यूह का MLE, विशार्ट, हॉटेलिंग T² तथा बहु व आंशिक सहसंबंध

GATE सांख्यिकी पेपर का खंड 11 खंड 5 के द्विचर प्रसामान्य को p विमाओं तक ले जाता है। यह पाठ्यक्रम का अनुसरण करता है: बहुचर प्रसामान्य बंटन व उसके गुण; उसके सप्रतिबंध व उपांत बंटन; माध्य सदिश व प्रकीर्णन आव्यूह का अधिकतम संभाविता आकलन; हॉटेलिंग T² परीक्षण; विशार्ट बंटन व उसके मूल गुण; तथा बहु व आंशिक सहसंबंध गुणांक। यह माध्य सदिशों व प्रकीर्णन आव्यूहों के बीजगणित से आरंभ होता है — रैखिक रूपांतरण, आइगेन-मान व Σ के मुख्य अक्ष — क्योंकि खंड का प्रत्येक आंकिक प्रश्न छोटे Σ पर आव्यूह अंकगणित है।

1. माध्य सदिश, प्रकीर्णन आव्यूह व उनके आइगेन-मान

माध्य μ व प्रकीर्णन (सहप्रसरण) आव्यूह Σ = E[(X − μ)(X − μ)ᵀ] वाले यादृच्छिक सदिश X हेतु: E[AX + b] = Aμ + b तथा Cov(AX + b) = AΣAᵀ; विशेषतः Var(aᵀX) = aᵀΣa ≥ 0, अतः Σ सममित धनात्मक अर्धनिश्चित है, और ठीक तब अव्युत्क्रमणीय जब कोई रैखिक संयोजन अचर हो। Σ = [[4, 2], [2, 3]] सहित Var(X₁ − 2X₂) = (1, −2)Σ(1, −2)ᵀ = 4 − 8 + 12 = 8।

Σ = PΛPᵀ, P लांबिक व Λ = diag(λ₁ ≥ … ≥ λ_p ≥ 0) सहित। कुल प्रसरण tr Σ = Σλᵢ, व्यापक प्रसरण det Σ = ∏λᵢ, तथा घटक Y = PᵀX असहसंबद्ध हैं, प्रसरण λᵢ सहित — Σ के मुख्य अक्ष, जिनके अनुदिश प्रसामान्य सदिश के अचर-घनत्व दीर्घवृत्तज संरेखित होते हैं (X के मुख्य घटक)। प्रथम अक्ष कुल प्रसरण का अनुपात λ₁/tr Σ वहन करता है: Σ = [[5, 2], [2, 2]] हेतु λ = 6, 1 व अनुपात 6/7 = 0.857।

2. बहुचर प्रसामान्य व उसके गुण

X ~ N_p(μ, Σ) यदि प्रत्येक रैखिक संयोजन aᵀX एकचर प्रसामान्य हो; Σ धनात्मक निश्चित होने पर घनत्व (2π)−p/2|Σ|−1/2 exp[−½(x − μ)ᵀΣ⁻¹(x − μ)] है, और आघूर्ण जनक फलन exp(tᵀμ + ½tᵀΣt)। पेपर द्वारा परखे जाने वाले गुण:

  • रैखिक प्रतिचित्रण: AX + b ~ N(Aμ + b, AΣAᵀ); प्रत्येक उपांत, और प्रत्येक उप-सदिश, प्रसामान्य है।
  • स्वतंत्रता: दो उप-सदिश स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि उनका अंतर-सहप्रसरण खंड शून्य हो — बहुचर प्रसामान्य हेतु असहसंबद्ध का अर्थ स्वतंत्र है।
  • द्विघात रूप: (X − μ)ᵀΣ⁻¹(X − μ) ~ χ²_p — वर्गित महालनोबिस दूरी। x − μ = (1, 1) व Σ = [[2, 1], [1, 2]] हेतु Σ⁻¹ = (1/3)[[2, −1], [−1, 2]] और दूरी² 2/3 है।
  • प्रसामान्य उपांत पर्याप्त नहीं: जिस सदिश के प्रत्येक घटक प्रसामान्य हों उसका बहुचर प्रसामान्य होना आवश्यक नहीं (खंड 5 की यादृच्छिक-चिह्न रचना)।

3. उपांत व सप्रतिबंध बंटन

X = (X₁, X₂) का विभाजन करें, μ = (μ₁, μ₂) व Σ = [[Σ₁₁, Σ₁₂], [Σ₂₁, Σ₂₂]] सहित। तब X₁ ~ N(μ₁, Σ₁₁), तथा X₁ | X₂ = x₂ ~ N(μ₁ + Σ₁₂Σ₂₂⁻¹(x₂ − μ₂), Σ₁₁ − Σ₁₂Σ₂₂⁻¹Σ₂₁)। सप्रतिबंध माध्य x₂ में रैखिक है (X₂ पर X₁ का समाश्रयण), और सप्रतिबंध प्रकीर्णन Σ₁₁.₂, x₂ पर निर्भर नहीं; यह शूर पूरक है, अतः det Σ = det Σ₂₂ · det Σ₁₁.₂।

उदाहरण: Σ = [[4, 1, 2], [1, 3, 1], [2, 1, 5]], X₁ को (X₂, X₃) पर सप्रतिबंधित करते हुए। Σ₂₂ = [[3, 1], [1, 5]] का प्रतिलोम (1/14)[[5, −1], [−1, 3]] है, और Σ₁₂Σ₂₂⁻¹Σ₂₁ = (1/14)(5 − 4 + 12) = 13/14, अतः Var(X₁ | X₂, X₃) = 4 − 13/14 = 43/14 ≈ 3.07 — जो det Σ/det Σ₂₂ = 43/14 के बराबर है।

4. अधिकतम संभाविता आकलन व विशार्ट बंटन

N_p(μ, Σ) से प्रतिदर्श X₁, …, Xₙ हेतु, A = Σ(Xᵢ − X̄)(Xᵢ − X̄)ᵀ सहित: μ̂ = X̄ तथा Σ̂ = A/n — उत्तरवर्ती अभिनत, S = A/(n − 1) अनभिनत। X̄ ~ N_p(μ, Σ/n), X̄ व A स्वतंत्र हैं, और A का विशार्ट बंटन W_p(n − 1, Σ) है।

  • परिभाषा: यदि Z₁, …, Z_m i.i.d. N_p(0, Σ) हों, तो W = ΣZᵢZᵢᵀ ~ W_p(m, Σ)। p = 1 हेतु यह σ²χ²_m है।
  • माध्य: E W = mΣ। m = 5 व σ₁₂ = 0.5 सहित E W₁₂ = 2.5।
  • योज्यता: स्वतंत्र W_p(m₁, Σ) व W_p(m₂, Σ) जुड़कर W_p(m₁ + m₂, Σ) बनते हैं।
  • रैखिक प्रतिचित्रण: CWCᵀ ~ W_q(m, CΣCᵀ); विशेषतः प्रत्येक स्थिर a ≠ 0 हेतु aᵀWa/aᵀΣa ~ χ²_m।

5. हॉटेलिंग T² परीक्षण

Σ अज्ञात सहित H₀: μ = μ₀ के परीक्षण हेतु T² = n(X̄ − μ₀)ᵀS⁻¹(X̄ − μ₀), और H₀ के अंतर्गत (n − p)T²/[p(n − 1)] ~ F(p, n − p)। p = 1 हेतु यह t² है, t एक-प्रतिदर्श t-प्रतिदर्शज, और T² संभाविता अनुपात परीक्षण है। n = 10, p = 2 व T² = 9 सहित (2, 8) df पर F प्रतिदर्शज 8 × 9/(2 × 9) = 4 है। T² आँकड़ों के व्युत्क्रमणीय रैखिक रूपांतरणों के अंतर्गत निश्चर है, अतः इकाइयाँ व पैमाने महत्त्व नहीं रखते। दो प्रतिदर्श: T² = [n₁n₂/(n₁ + n₂)](X̄₁ − X̄₂)ᵀS_p⁻¹(X̄₁ − X̄₂), S_p संयोजित प्रकीर्णन सहित।

⚠️ p पृथक t-परीक्षण क्यों नहीं
प्रत्येक निर्देशांक का स्तर α पर परीक्षण समग्र प्रकार I त्रुटि बढ़ाता है और निर्देशांकों के बीच सहसंबंध की उपेक्षा करता है: दो माध्य अलग-अलग सामान्य दिख सकते हैं जबकि उनका संयोजन, सहसंबंध के सापेक्ष मापने पर, चरम हो। T² पूरे सदिश का ठीक स्तर α पर परीक्षण करता है, और यह सभी a पर aᵀμ हेतु वर्गित t-प्रतिदर्शज का अधिकतम है।

6. बहु व आंशिक सहसंबंध

आंशिक सहसंबंध r₁₂.₃, दोनों में से X₃ का रैखिक प्रभाव हटाने के बाद X₁ व X₂ के बीच सहसंबंध है: r₁₂.₃ = (r₁₂ − r₁₃r₂₃)/√[(1 − r₁₃²)(1 − r₂₃²)]। बहु सहसंबंध R₁.₂₃, X₁ व X₂, X₃ से उसके सर्वोत्तम रैखिक पूर्वानुमापक के बीच सहसंबंध है: R²₁.₂₃ = (r₁₂² + r₁₃² − 2r₁₂r₁₃r₂₃)/(1 − r₂₃²), तथा व्यापकतः R²₁.₂₃…ₚ = 1 − |R|/R₁₁, R सहसंबंध आव्यूह व R₁₁ उसकी (1, 1) प्रविष्टि का सहखंड। r₁₂ = 0.6, r₁₃ = 0.5, r₂₃ = 0.4 सहित: r₁₂.₃ = 0.4/√0.63 = 0.504 तथा R²₁.₂₃ = 0.37/0.84 = 0.440, R₁.₂₃ = 0.664।

  • 0 ≤ R₁.₂₃ ≤ 1 — सरल व आंशिक सहसंबंधों के विपरीत, यह कभी ऋणात्मक नहीं।
  • R₁.₂₃ ≥ |r₁₂| व ≥ |r₁₃|: पूर्वानुमापक जोड़ना बहु सहसंबंध कभी घटाता नहीं।
  • 1 − R²₁.₂₃ = (1 − r₁₂²)(1 − r₁₃.₂²): अव्याख्यात भाग चरण-दर-चरण गुणनखंडित होता है।
  • आंशिक सहसंबंध का चिह्न सरल के विपरीत हो सकता है, और परिमाण में बड़ा या छोटा हो सकता है।

मुख्य बिंदु

  • Cov(AX + b) = AΣAᵀ; tr Σ कुल व det Σ व्यापक प्रसरण है; मुख्य अक्ष Σ के आइगेन-सदिश हैं, प्रसरण उसके आइगेन-मान।
  • N_p: प्रत्येक aᵀX प्रसामान्य; शून्य अंतर-सहप्रसरण ⇔ स्वतंत्रता; (X − μ)ᵀΣ⁻¹(X − μ) ~ χ²_p।
  • X₁ | X₂ ~ N(μ₁ + Σ₁₂Σ₂₂⁻¹(x₂ − μ₂), Σ₁₁ − Σ₁₂Σ₂₂⁻¹Σ₂₁); सप्रतिबंध प्रकीर्णन x₂ पर निर्भर नहीं।
  • μ̂ = X̄, Σ̂ = A/n (अभिनत); X̄ ⊥ A ~ W_p(n − 1, Σ); E W = mΣ, विशार्ट जुड़ते हैं।
  • T² = n(X̄ − μ₀)ᵀS⁻¹(X̄ − μ₀), (n − p)T²/[p(n − 1)] ~ F(p, n − p); p = 1 से t²।
  • r₁₂.₃ = (r₁₂ − r₁₃r₂₃)/√[(1 − r₁₃²)(1 − r₂₃²)]; R²₁.₂₃ = (r₁₂² + r₁₃² − 2r₁₂r₁₃r₂₃)/(1 − r₂₃²) ∈ [0, 1] व प्रत्येक r₁ⱼ² से ≥।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. X = (X₁, X₂) का प्रकीर्णन आव्यूह Σ = [[4, 2], [2, 3]] है। Var(X₁ − 2X₂) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 8

    a = (1, −2) सहित aᵀΣa: 4 + 4 × 3 + 2 × 1 × (−2) × 2 = 4 + 12 − 8 = 8। सहप्रसरण पद जोड़ना 24 देता है; उसकी उपेक्षा 16।

  2. एक यादृच्छिक सदिश का प्रकीर्णन आव्यूह Σ = [[5, 2], [2, 2]] है। उसके प्रथम मुख्य अक्ष (Σ का सबसे बड़ा आइगेन-मान) द्वारा वहन किए कुल प्रसरण का अनुपात, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.857

    ट्रेस 7 व सारणिक 10 − 4 = 6 से आइगेन-मान 6 व 1, अतः अनुपात 6/7 = 0.857। सबसे बड़ी विकर्ण प्रविष्टि 5/7 = 0.714 लेना उस सहप्रसरण की उपेक्षा करता है जिसे मुख्य अक्षों तक घूर्णन समाहित करता है।

  3. (X₁, X₂, X₃) त्रिचर प्रसामान्य है, प्रकीर्णन आव्यूह Σ = [[4, 1, 2], [1, 3, 1], [2, 1, 5]] सहित। Var(X₁ | X₂, X₃), दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

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    उत्तर: 3.07

    Σ₂₂ = [[3, 1], [1, 5]], Σ₂₂⁻¹ = (1/14)[[5, −1], [−1, 3]], Σ₁₂ = (1, 2): Σ₁₂Σ₂₂⁻¹Σ₂₁ = (5 − 4 + 12)/14 = 13/14। अतः Var = 4 − 13/14 = 43/14 = 3.071 → 3.07; जाँच det Σ/det Σ₂₂ = 43/14। केवल पृथक प्रभाव 1/3 + 4/5 घटाना X₂ व X₃ के बीच सहसंबंध की उपेक्षा करता है।

  4. (X, Y) द्विचर प्रसामान्य है, माध्य (1, 2) व प्रकीर्णन आव्यूह [[2, 1], [1, 3]] सहित। E[Y | X = 3] ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 3

    E[Y | X = x] = μ_Y + (σ_XY/σ_X²)(x − μ_X) = 2 + (1/2)(3 − 1) = 3। इसके स्थान पर σ_Y² = 3 से भाग देना Y पर X का ढाल व उत्तर 2.67 देता है।

  5. द्विचर प्रसामान्य समष्टि से n = 10 का प्रतिदर्श H₀: μ = μ₀ हेतु हॉटेलिंग T² = 9 देता है। संगत F प्रतिदर्शज ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 4

    F = (n − p)T²/[p(n − 1)] = (10 − 2) × 9/(2 × 9) = 4, (p, n − p) = (2, 8) स्वातंत्र्य-कोटियों पर। केवल p से T² को भाग देना 4.5 देता है, गुणक (n − p)/(n − 1) भूलते हुए।

  6. W ~ W₂(5, Σ), Σ = [[1, 0.5], [0.5, 2]] सहित। E(W₁₂), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2.5

    E W = mΣ, अतः E W₁₂ = 5 × 0.5 = 2.5 — पाँचों पदों ZᵢZᵢᵀ में से प्रत्येक Σ योगदान देता है। 0.5 बताना स्वातंत्र्य-कोटियाँ भूलता है।

  7. तीन चरों हेतु r₁₂ = 0.6, r₁₃ = 0.5 व r₂₃ = 0.4। आंशिक सहसंबंध r₁₂.₃, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.504

    (0.6 − 0.5 × 0.4)/√[(1 − 0.25)(1 − 0.16)] = 0.4/√0.63 = 0.4/0.7937 = 0.504। हर में वर्गमूल भूलना 0.4/0.63 = 0.635 देता है।

  8. उन्हीं सहसंबंधों (r₁₂ = 0.6, r₁₃ = 0.5, r₂₃ = 0.4) हेतु बहु सहसंबंध गुणांक R₁.₂₃, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.66

    R² = (0.36 + 0.25 − 2 × 0.6 × 0.5 × 0.4)/(1 − 0.16) = 0.37/0.84 = 0.4405, अतः R = 0.664 → 0.66। यह |r₁₂| = 0.6 से अधिक है, जैसा होना चाहिए। R² = 0.44 बताना वर्ग का उत्तर है।

  9. X ~ N_p(μ, Σ), Σ धनात्मक निश्चित सहित। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. प्रत्येक रैखिक संयोजन aᵀX एकचर प्रसामान्य है
    2. X के असहसंबद्ध घटक स्वतंत्र हैं
    3. (X − μ)ᵀΣ⁻¹(X − μ) का बंटन χ²_p है
    4. कोई भी यादृच्छिक सदिश जिसके घटक प्रत्येक प्रसामान्य हों, बहुचर प्रसामान्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक रैखिक संयोजन aᵀX एकचर प्रसामान्य है; B — X के असहसंबद्ध घटक स्वतंत्र हैं; C — (X − μ)ᵀΣ⁻¹(X − μ) का बंटन χ²_p है

    (A) यह परिभाषा है। (B) शून्य सहप्रसरण खंड घनत्व को गुणनखंडित करता है। (C) Z = Σ−1/2(X − μ) ~ N_p(0, I) और रूप ZᵀZ है, p वर्गित मानक प्रसामान्यों का योग। (D) असत्य: X ~ N(0, 1) व स्वतंत्र यादृच्छिक चिह्न S सहित SX प्रत्येक प्रसामान्य हैं, पर X + SX का 0 पर परमाणु है।

  10. X₁, …, Xₙ i.i.d. N_p(μ, Σ) हैं, X̄ प्रतिदर्श माध्य व Σ̂ = (1/n)Σ(Xᵢ − X̄)(Xᵢ − X̄)ᵀ सहित। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. X̄, μ का MLE है
    2. Σ̂, Σ का अनभिनत आकलक है
    3. X̄ व Σ̂ स्वतंत्र हैं
    4. nΣ̂ का बंटन विशार्ट W_p(n − 1, Σ) है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — X̄, μ का MLE है; C — X̄ व Σ̂ स्वतंत्र हैं; D — nΣ̂ का बंटन विशार्ट W_p(n − 1, Σ) है

    (A) किसी भी Σ हेतु μ पर अधिकतम करना X̄ देता है। (B) असत्य: E Σ̂ = (n − 1)Σ/n; अनभिनत रूप n − 1 से भाग देता है। (C) X̄ ⊥ S² का बहुचर अनुरूप। (D) nΣ̂ = A = Σ(Xᵢ − X̄)(Xᵢ − X̄)ᵀ, जो W_p(n − 1, Σ) है: एक स्वातंत्र्य-कोटि X̄ पर व्यय होती है।

  11. p = 1 होने पर H₀: μ = μ₀ हेतु हॉटेलिंग T² प्रतिदर्शज घटकर बनता है:

    1. एक-प्रतिदर्श t प्रतिदर्शज का वर्ग
    2. एक-प्रतिदर्श t प्रतिदर्शज
    3. काई-वर्ग प्रतिदर्शज (n − 1)S²/σ₀²
    4. दो प्रसरणों हेतु F प्रतिदर्शज
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — एक-प्रतिदर्श t प्रतिदर्शज का वर्ग

    n(X̄ − μ₀)S⁻²(X̄ − μ₀) = [√n(X̄ − μ₀)/S]² = t², और F(1, n − 1) = t²n−1, (n − 1)T²/(n − 1) से मेल खाता है। T² वर्गित दूरी है, अतः वह स्वयं चिह्नित t नहीं हो सकता।

  12. बहु व आंशिक सहसंबंध गुणांकों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. R₁.₂₃ ≥ |r₁₂|
    2. 0 ≤ R₁.₂₃ ≤ 1
    3. r₁₂.₃ का चिह्न सदा r₁₂ जैसा होता है
    4. 1 − R²₁.₂₃ = (1 − r₁₂²)(1 − r₁₃.₂²)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — R₁.₂₃ ≥ |r₁₂|; B — 0 ≤ R₁.₂₃ ≤ 1; D — 1 − R²₁.₂₃ = (1 − r₁₂²)(1 − r₁₃.₂²)

    (A) (X₂, X₃) से सर्वोत्तम रैखिक पूर्वानुमापक कम से कम अकेले X₂ से सर्वोत्तम जितना अच्छा है। (B) R, X₁ का अपने ही सर्वोत्तम रैखिक पूर्वानुमापक से सहसंबंध है, जो अऋणात्मक है। (C) असत्य: r₁₂ = 0.3 व r₁₃ = r₂₃ = 0.7 (एक मान्य सहसंबंध आव्यूह, सारणिक 0.224) सहित अंश 0.3 − 0.49 ऋणात्मक है। (D) X₂ द्वारा X₁ की व्याख्या 1 − r₁₂² छोड़ती है, जिसका भाग r₁₃.₂² फिर X₃ समझाता है।

  13. x − μ = (1, 1) व Σ = [[2, 1], [1, 2]] हेतु वर्गित महालनोबिस दूरी (x − μ)ᵀΣ⁻¹(x − μ), तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.667

    Σ⁻¹ = (1/3)[[2, −1], [−1, 2]], अतः रूप (2 − 1 − 1 + 2)/3 = 2/3 = 0.667 है। (1, 1), आइगेन-मान 3 सहित Σ का आइगेन-सदिश है, जो तत्काल वही 2/3 देता है। यूक्लिडी दूरी² 2 उपेक्षा करती है कि दिशा (1, 1) सबसे अधिक प्रसार की दिशा है।

  14. W₁ ~ W_p(m₁, Σ) व W₂ ~ W_p(m₂, Σ) स्वतंत्र हैं। W₁ + W₂ का बंटन है:

    1. W_p(m₁ + m₂, Σ)
    2. W_p(m₁ + m₂, 2Σ)
    3. W2p(m₁ + m₂, Σ)
    4. W_p(max(m₁, m₂), Σ)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — W_p(m₁ + m₂, Σ)

    प्रत्येक Wᵢ स्वतंत्र N_p(0, Σ) सदिशों के mᵢ बाह्य गुणनफलों ZZᵀ का योग है; साथ मिलकर वे ऐसे m₁ + m₂ गुणनफलों का योग हैं, अतः W_p(m₁ + m₂, Σ) — χ²m₁ + χ²m₂ = χ²m₁+m₂ का आव्यूह अनुरूप। मापक आव्यूह Σ ही रहता है, और विमा p।