मानक एकचर बंटन: बर्नूली से प्वासों, एकसमान से कौशी तक, तथा उनके परस्पर संबंध

GATE सांख्यिकी पेपर का खंड 4 पंद्रह बंटन नामित करता है: बर्नूली, द्विपद, गुणोत्तर, ऋणात्मक द्विपद, अतिगुणोत्तर, असतत एकसमान, प्वासों, संतत एकसमान, चरघातांकी, द्वि-चरघातांकी, गामा, प्रथम व द्वितीय प्रकार के बीटा, वाइबुल, प्रसामान्य व कौशी। पेपर अपेक्षा करता है कि प्रत्येक का द्रव्यमान या घनत्व फलन, माध्य, प्रसरण व जनक फलन देखते ही ज्ञात हो, और — अधिकतर — उनके परस्पर संबंध: द्विपद की सीमा के रूप में प्वासों, वह स्मृतिहीन गुण जो गुणोत्तर व चरघातांकी को अलग करता है, चरघातांकियों के योग गामा के रूप में, गामा के अनुपात बीटा के रूप में, तथा बिना माध्य वाले बंटन के रूप में कौशी। यह अध्याय उन्हें सारणियों में एकत्र करता है, फिर संख्याएँ निकालकर संबंध पढ़ाता है।

1. असतत कुल

असतत बंटन (q = 1 − p)
बंटनद्रव्यमान फलनमाध्यप्रसरण
बर्नूली(p)pˣq1−x, x = 0, 1ppq
द्विपद(n, p)C(n, x)pˣqⁿ⁻ˣnpnpq
गुणोत्तर: प्रथम सफलता तक प्रयासqx−1p, x = 1, 2, …1/pq/p²
ऋणात्मक द्विपद: r-वीं सफलता से पहले असफलताएँC(x + r − 1, x)pʳqˣrq/prq/p²
अतिगुणोत्तर: N में M चिह्नित, n निकासीC(M, x)C(N − M, n − x)/C(N, n)nM/N(nM/N)(1 − M/N)(N − n)/(N − 1)
1, …, k पर असतत एकसमान1/k(k + 1)/2(k² − 1)/12
प्वासों(λ)e−λλˣ/x!λλ
⚠️ कौन-सा गुणोत्तर, कौन-सा ऋणात्मक द्विपद
दो परिपाटियाँ प्रचलित हैं। प्रयास गिनने पर गुणोत्तर का माध्य 1/p है; प्रथम सफलता से पहले असफलताएँ गिनने पर q/p — प्रसरण q/p² दोनों हेतु समान है, क्योंकि दोनों चर अचर 1 से भिन्न हैं। सूत्र बताने से पहले प्रश्न में पढ़ें कि कौन-सी गणना अभिप्रेत है; ऋणात्मक द्विपद के भी वही दो रूप हैं, माध्य r/p व rq/p सहित।

अतिगुणोत्तर प्रसरण में परिमित समष्टि संशोधन (N − n)/(N − 1) होता है: 20 में से, जिनमें 8 दोषपूर्ण हैं, बिना प्रतिस्थापन 5 वस्तुएँ निकालने पर माध्य 2 व प्रसरण 5 × 0.4 × 0.6 × 15/19 = 0.947, द्विपद के 1.2 से कम, क्योंकि बिना प्रतिस्थापन प्रतिचयन चलते-चलते अनिश्चितता घटाता है।

2. असतत कुलों के परस्पर संबंध

  • प्वासों सीमा: n → ∞, p → 0 व np = λ स्थिर सहित Bin(n, p), प्वासों(λ) की ओर जाता है। Bin(1000, 0.002) का P(X = 0) = 0.998¹⁰⁰⁰ ≈ e−2।
  • द्विपद सीमा: M/N स्थिर रखते हुए N → ∞ पर अतिगुणोत्तर Bin(n, M/N) की ओर जाता है।
  • योग: स्वतंत्र Bin(n₁, p) + Bin(n₂, p) = Bin(n₁ + n₂, p); प्वासों(λ₁) + प्वासों(λ₂) = प्वासों(λ₁ + λ₂); r स्वतंत्र गुणोत्तरों (असफलता गणना) का योग ऋणात्मक द्विपद (r, p) है।
  • सप्रतिबंधन: यदि X, Y स्वतंत्र प्वासों हों, तो X | X + Y = n ~ Bin(n, λ₁/(λ₁ + λ₂))।
  • स्मृतिहीनता: गुणोत्तर एकमात्र असतत बंटन है जिसमें P(X > m + n | X > m) = P(X > n)। p = 0.2 सहित P(X > 5 | X > 2) = P(X > 3) = 0.8³ = 0.512।

प्वासों द्रव्यमान फलन p(x)/p(x − 1) = λ/x संतुष्ट करता है, अतः x < λ तक वह बढ़ता है और उसका बहुलक ⌊λ⌋ है (λ पूर्णांक हो तो λ − 1 व λ दोनों)। λ = 2 सहित: P(X = 0) = e−2 = 0.1353, P(X ≤ 1) = 3e−2 = 0.406।

3. संतत कुल

संतत बंटन
बंटनघनत्वमाध्यप्रसरण
एकसमान(a, b)1/(b − a)(a + b)/2(b − a)²/12
चरघातांकी, दर λλe−λx, x > 01/λ1/λ²
द्वि-चरघातांकी (लाप्लास)(1/2β)e−|x − μ|/βμ2β²
गामा(α, दर λ)λ^α xα−1e−λx/Γ(α)α/λα/λ²
प्रथम प्रकार बीटा β₁(a, b)xa−1(1 − x)b−1/B(a, b), 0 < x < 1a/(a + b)ab/[(a + b)²(a + b + 1)]
द्वितीय प्रकार बीटा β₂(a, b)xa−1/[B(a, b)(1 + x)a+b], x > 0a/(b − 1), b > 1a(a + b − 1)/[(b − 1)²(b − 2)], b > 2
वाइबुल(आकृति k, मापक θ)F = 1 − e−(x/θ)ᵏθΓ(1 + 1/k)θ²[Γ(1 + 2/k) − Γ(1 + 1/k)²]
प्रसामान्य(μ, σ²)(σ√(2π))−1e−(x − μ)²/2σ²μσ²
कौशी(μ, σ)σ/[π(σ² + (x − μ)²)]विद्यमान नहींविद्यमान नहीं

याद रखने योग्य जनक फलन: प्वासों eλ(eᵗ − 1); द्विपद (q + peᵗ)ⁿ; चरघातांकी t < λ हेतु λ/(λ − t); गामा (1 − t/λ)−α; प्रसामान्य eμt + σ²t²/2; लाप्लास (μ = 0, β = 1) |t| < 1 हेतु 1/(1 − t²); कौशी अभिलक्षणिक फलन eiμt − σ|t|, जो t = 0 पर अवकलनीय नहीं — अनुपस्थित माध्य का चिह्न।

4. चरघातांकी, गामा, बीटा व वाइबुल: संबंध

  • स्मृतिहीन: P(X > s + t | X > s) = P(X > t) संतत बंटनों में चरघातांकी को अभिलक्षित करता है; उसकी संकट दर f/(1 − F) = λ अचर है।
  • योग: n स्वतंत्र Exp(λ) का योग Gamma(n, λ) है; समान दर वाले स्वतंत्र गामा अपनी आकृतियाँ जोड़ते हैं। स्वतंत्र चरघातांकियों का न्यूनतम, दरों के योग वाला चरघातांकी है।
  • अनुपात: X ~ Gamma(a, λ), Y ~ Gamma(b, λ) स्वतंत्र ⇒ X/(X + Y) ~ β₁(a, b), X + Y से स्वतंत्र, तथा X/Y ~ β₂(a, b)। यदि U ~ β₁(a, b) तो U/(1 − U) ~ β₂(a, b)।
  • लाप्लास: दो स्वतंत्र Exp(1) चरों के अंतर का घनत्व ½e−|x| है, प्रसरण 1 + 1 = 2।
  • वाइबुल: यदि E ~ Exp(1), तो θE1/k, वाइबुल(k, θ) है; k = 1 चरघातांकी है, k > 1 वर्धमान संकट। माध्यिका θ(ln 2)1/k है: k = 2, θ = 1 हेतु 0.833।
  • एकसमान: दो स्वतंत्र U(0, 1) चरों का योग (0, 2) पर त्रिभुजाकार है, 1 पर शिखर सहित, एकसमान नहीं; −ln U ~ Exp(1)।

5. प्रसामान्य व कौशी

यदि X ~ N(μ, σ²), तो Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1), और स्वतंत्र प्रसामान्यों के रैखिक संयोजन प्रसामान्य होते हैं। Z के विषम आघूर्ण 0, E Z² = 1, E Z⁴ = 3 (अतः कुकुदता 3) तथा E|Z| = √(2/π) ≈ 0.798 हैं। P(|Z| ≤ 1) ≈ 0.683, P(|Z| ≤ 2) ≈ 0.954, P(|Z| ≤ 3) ≈ 0.997। X ~ N(10, 4) हेतु P(X > 12) = P(Z > 1) = 1 − Φ(1) = 0.1587।

कौशी का घनत्व सममित व घंटाकार है पर पुच्छ 1/x² जैसी, अतः E|X| = ∞: न माध्य, न प्रसरण। उसकी माध्यिका व स्थान μ हैं, और चतुर्थक μ ± σ। वह दो स्वतंत्र मानक प्रसामान्यों के अनुपात के रूप में और tan(πU − π/2) के रूप में उत्पन्न होता है। n स्वतंत्र मानक कौशी चरों का औसत पुनः मानक कौशी है — अभिलक्षणिक फलन e−|t| की n-वीं घात t/n पर e−|t| ही लौटाती है — अतः n कितना भी बड़ा हो, प्रतिदर्श माध्य स्थिर नहीं होता।

🎯 कौशी पाठ्यक्रम में क्यों है
यह स्थायी प्रति-उदाहरण है: बृहत् संख्याओं के नियम का (अभिसरण हेतु कोई माध्य नहीं), केंद्रीय सीमा प्रमेय का (कोई प्रसरण नहीं), "सममित बंटन का माध्य उसके केंद्र के बराबर होता है" का, तथा आघूर्ण विधि का। जब कोई विकल्प दावा करे कि कुछ "प्रत्येक बंटन हेतु" सत्य है, तो उसे परखने हेतु कौशी पहली वस्तु है।

मुख्य बिंदु

  • द्विपद npq, प्वासों माध्य = प्रसरण = λ, गुणोत्तर (प्रयास) 1/p व q/p², ऋणात्मक द्विपद (असफलताएँ) rq/p व rq/p²; अतिगुणोत्तर में (N − n)/(N − 1)।
  • गुणोत्तर व चरघातांकी स्मृतिहीन हैं; Bin(n, λ/n) → प्वासों(λ); चरघातांकियों का न्यूनतम दरें जोड़ता है।
  • Gamma(α, λ) का माध्य α/λ व प्रसरण α/λ²; समान दर वाले दो गामा का X/(X + Y), β₁ तथा X/Y, β₂ है।
  • β₁(a, b): माध्य a/(a + b), प्रसरण ab/[(a + b)²(a + b + 1)]; लाप्लास प्रसरण 2β²; वाइबुल माध्यिका θ(ln 2)1/k।
  • E|Z| = √(2/π), E Z⁴ = 3; कौशी का माध्य नहीं, उसका प्रतिदर्श माध्य पुनः कौशी है, और उसके अभिलक्षणिक फलन e−|t| में 0 पर कोना है।

अभ्यास प्रश्न (15)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. Bin(10, 0.3) यादृच्छिक चर का प्रसरण, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

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    उत्तर: 2.1

    Var = npq = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1। माध्य np = 3 सामान्य गलत उत्तर है, और np² = 0.9 गुणक q छोड़ देता है।

  2. X ~ प्वासों(2)। P(X ≤ 1), तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.406

    P(0) + P(1) = e−2(1 + 2) = 3 × 0.13534 = 0.406। P(X = 0) = 0.135 पर रुकना P(X < 1) का उत्तर है।

  3. X, प्रथम सफलता हेतु आवश्यक बर्नूली(0.2) प्रयासों की संख्या है। P(X > 5 | X > 2), तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.512

    P(X > k) = 0.8ᵏ (पहले k प्रयास असफल)। अतः P(X > 5 | X > 2) = 0.8⁵/0.8² = 0.8³ = 0.512 — स्मृतिहीनता: 2 प्रयास प्रतीक्षा से कुछ नहीं बदलता। 0.8⁵ = 0.328 उत्तर सप्रतिबंधन की उपेक्षा करता है।

  4. X, सफलता प्रायिकता 0.5 वाले स्वतंत्र प्रयासों में तीसरी सफलता से पहले असफलताओं की संख्या है। X का प्रसरण ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 6

    X तीन स्वतंत्र गुणोत्तर असफलता-गणनाओं का योग है, प्रत्येक का प्रसरण q/p² = 0.5/0.25 = 2, अतः Var X = rq/p² = 6। माध्य rq/p = 3 है। द्विपद-सदृश सूत्र rq लेना 1.5 देता है।

  5. 20 वस्तुओं के लॉट से, जिनमें 8 दोषपूर्ण हैं, बिना प्रतिस्थापन पाँच वस्तुएँ निकाली जाती हैं। निकाली गई दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या का प्रसरण, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.95

    अतिगुणोत्तर: n(M/N)(1 − M/N)(N − n)/(N − 1) = 5 × 0.4 × 0.6 × 15/19 = 1.2 × 0.7895 = 0.947 → 0.95। परिमित समष्टि संशोधन छोड़ना द्विपद 1.2 देता है।

  6. X का द्वि-चरघातांकी घनत्व f(x) = ½e−|x|, −∞ < x < ∞ है। X का प्रसरण ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2

    सममिति से E X = 0, तथा E X² = ∫₀^∞ x²e−x dx = Γ(3) = 2। समतुल्यतः X दो स्वतंत्र Exp(1) चरों का अंतर है, अतः Var = 1 + 1 = 2। 1 उत्तर |X| के द्वितीय आघूर्ण को चरघातांकी का प्रसरण मान लेता है।

  7. X प्राचल a = 2 व b = 3 वाले प्रथम प्रकार के बीटा बंटन का अनुसरण करता है। X का प्रसरण, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.04

    ab/[(a + b)²(a + b + 1)] = 6/(25 × 6) = 0.04; माध्य 2/5 = 0.4 है। गुणक (a + b + 1) छोड़ना 0.24 देता है — (0, 1) पर किसी चर का अधिकतम संभव प्रसरण 1/4 है, उससे सदा जाँचें।

  8. कौन-से कथन सत्य हैं? (प्रत्येक कथन के सभी चर स्वतंत्र हैं।)

    1. यदि X, Y ~ Exp(1), तो X − Y द्वि-चरघातांकी बंटन का है
    2. यदि X ~ Gamma(a, λ) व Y ~ Gamma(b, λ), तो X/(X + Y) ~ β₁(a, b)
    3. पिछले विकल्प वाले X, Y सहित X/Y ~ β₂(a, b)
    4. यदि X, Y ~ U(0, 1), तो X + Y ~ U(0, 2)
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    उत्तर: A — यदि X, Y ~ Exp(1), तो X − Y द्वि-चरघातांकी बंटन का है; B — यदि X ~ Gamma(a, λ) व Y ~ Gamma(b, λ), तो X/(X + Y) ~ β₁(a, b); C — पिछले विकल्प वाले X, Y सहित X/Y ~ β₂(a, b)

    (A) उपयुक्त परिसरों पर e−x व ex का संवलन ½e−|z| देता है। (B) (x, y) → (x + y, x/(x + y)) का जैकोबियन संयुक्त घनत्व को योग में गामा व अनुपात में बीटा में पृथक करता है। (C) X/Y = V/(1 − V), V ~ β₁(a, b) सहित, जो β₂(a, b) है। (D) असत्य: योग का घनत्व त्रिभुजाकार है, (0, 1) पर z व (1, 2) पर 2 − z।

  9. मान लें X₁, …, Xₙ स्वतंत्र मानक कौशी चर हैं। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. E(X₁) विद्यमान नहीं है
    2. X₁ का अभिलक्षणिक फलन t = 0 पर अवकलनीय है
    3. प्रतिदर्श माध्य X̄ का मानक कौशी बंटन है
    4. Var(X₁) = 1
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    उत्तर: A — E(X₁) विद्यमान नहीं है; C — प्रतिदर्श माध्य X̄ का मानक कौशी बंटन है

    (A) ∫|x|/(π(1 + x²)) dx लघुगणकीय रूप से अपसारी है। (B) असत्य: φ(t) = e−|t| में 0 पर कोना है, और 0 पर अवकलनीयता परिमित माध्य देती। (C) φ_X̄(t) = [e−|t|/n]ⁿ = e−|t|। (D) असत्य: माध्य नहीं, अतः प्रसरण नहीं; मापक 1 अर्ध-अंतर्चतुर्थक परिसर है, मानक विचलन नहीं।

  10. X का वाइबुल बंटन है जिसमें x > 0 हेतु P(X ≤ x) = 1 − e−x²। X की माध्यिका, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.83

    1 − e−m² = 1/2 से m² = ln 2 व m = √0.6931 = 0.8326 → 0.83। E ~ Exp(1) हेतु X = E1/2 है, और E की माध्यिका ln 2 = 0.69 है — वर्गमूल भूलना E का उत्तर है, X का नहीं।

  11. X ~ N(10, 4), जहाँ 4 प्रसरण है। Φ(1) = 0.8413 प्रयोग करते हुए P(X > 12), चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.1587

    σ = 2, अतः z = (12 − 10)/2 = 1 व P(X > 12) = 1 − 0.8413 = 0.1587। प्रसरण 4 से भाग देना z = 0.5 देता है, जो N(μ, σ²) के दूसरे प्राचल को σ पढ़ने की सबसे आम चूक है।

  12. Z ~ N(0, 1) हेतु E|Z| का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.80

    E|Z| = 2∫₀^∞ z φ(z) dz = 2 × (1/√(2π)) × ∫₀^∞ z e−z²/2 dz = 2/√(2π) = √(2/π) = 0.7979 → 0.80। सममिति से E Z = 0 उत्तर नहीं: निरपेक्ष मान निरसन हटा देता है।

  13. X ~ Bin(1000, 0.002)। P(X = 0) का प्वासों सन्निकटन है:

    1. e−2
    2. e−0.002
    3. 2e−2
    4. 1 − e−2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — e^{−2}

    λ = np = 2, अतः P(X = 0) ≈ e−2 = 0.1353 (यथार्थतः 0.998¹⁰⁰⁰ = 0.1351)। e−0.002, np के स्थान पर p लेता है, और 2e−2, P(X = 1) है।

  14. X द्वितीय प्रकार के बीटा बंटन β₂(m, n) का अनुसरण करता है, x > 0 पर घनत्व ∝ xm−1/(1 + x)m+n सहित। n > 1 हेतु E(X) बराबर है:

    1. m/(n − 1)
    2. m/(m + n)
    3. m/n
    4. (m − 1)/(n + 1)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — m/(n − 1)

    E X = B(m + 1, n − 1)/B(m, n) = [Γ(m + 1)Γ(n − 1)]/[Γ(m)Γ(n)] = m/(n − 1), केवल n > 1 हेतु परिमित क्योंकि पुच्छ x−n−1 है। m/(m + n) प्रथम प्रकार के बीटा का माध्य है; दोनों प्रकारों का भ्रम ही जाल है।

  15. (0, ∞) पर कौन-सा संतत बंटन स्मृतिहीन है, अर्थात् सभी s, t > 0 हेतु P(X > s + t | X > s) = P(X > t)?

    1. चरघातांकी
    2. आकृति 2 वाला गामा
    3. आकृति 2 वाला वाइबुल
    4. (0, 1) पर एकसमान
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — चरघातांकी

    स्मृतिहीनता का अर्थ है उत्तरजीविता फलन S(s + t) = S(s)S(t) संतुष्ट करे; एकमात्र एकदिष्ट हल S(t) = e−λt हैं। Gamma(2) व Weibull(2) का संकट वर्धमान है (पुराना अर्थात् विफलता अधिक संभव), और (0, 1) पर एकसमान 1 के आगे जीवित भी नहीं रह सकता।