यादृच्छिक चरों का अभिसरण: चार प्रकार व उनके संबंध, स्लट्स्की, बोरेल–कैंटेली, बृहत् संख्याओं के नियम व केंद्रीय सीमा प्रमेय

GATE सांख्यिकी पेपर का खंड 6 पृष्ठ पर छोटा और पेपर में लंबा है, क्योंकि आगे का प्रत्येक बृहत्-प्रतिदर्श परिणाम — संगतता, MLE की अनंतस्पर्शी प्रसामान्यता, बृहत्-प्रतिदर्श परीक्षण — अभिसरण के विषय में एक कथन है। अध्याय पाठ्यक्रम का अनुसरण करता है: बंटन में, प्रायिकता में, लगभग निश्चित तथा r-वें माध्य में अभिसरण, और उनके बीच के निहितार्थ, प्रत्येक अनुपस्थित तीर को रोकने वाले प्रति-उदाहरण सहित; स्लट्स्की प्रमेयिका; बोरेल–कैंटेली प्रमेयिकाएँ; बृहत् संख्याओं के दुर्बल व प्रबल नियम; तथा i.i.d. यादृच्छिक चरों हेतु केंद्रीय सीमा प्रमेय, उससे उत्पन्न प्रसामान्य-सन्निकटन आंकिक प्रश्नों सहित।

1. अभिसरण के चार प्रकार

परिभाषाएँ
प्रकारXₙ → X का अर्थ
लगभग निश्चित (a.s.)P(lim Xₙ = X) = 1
प्रायिकता मेंप्रत्येक ε > 0 हेतु P(|Xₙ − X| > ε) → 0
r-वें माध्य में (r ≥ 1)E|Xₙ − X|ʳ → 0
बंटन मेंF के प्रत्येक सांतत्य बिंदु x पर Fₙ(x) → F(x)

बंटन में अभिसरण केवल बंटनों के विषय में है — चरों का एक ही समष्टि पर परिभाषित होना भी आवश्यक नहीं — और सांतत्य-बिंदु वाक्यांश महत्त्वपूर्ण है: Xₙ = 1/n, बंटन में X = 0 की ओर अभिसारी है, यद्यपि प्रत्येक n हेतु Fₙ(0) = 0 व F(0) = 1, क्योंकि 0, F का असांतत्य बिंदु है। लेवी के सांतत्य प्रमेय से Xₙ → X बंटन में यदि और केवल यदि अभिलक्षणिक फलन बिंदुशः अभिसारी हों।

2. प्रकार परस्पर कैसे संबंधित हैं

  • a.s. ⇒ प्रायिकता में ⇒ बंटन में।
  • r-वाँ माध्य ⇒ प्रायिकता में (मार्कोव: P(|Xₙ − X| > ε) ≤ E|Xₙ − X|ʳ/εʳ), तथा s < r हेतु r-वाँ माध्य ⇒ s-वाँ माध्य (ल्यापुनोव)।
  • बंटन में किसी अचर की ओर ⇒ प्रायिकता में उसी अचर की ओर।
  • प्रायिकता में ⇒ किसी उप-अनुक्रम के अनुदिश a.s.; तथा यदि प्रत्येक ε हेतु Σ P(|Xₙ − X| > ε) < ∞, तो a.s. (बोरेल–कैंटेली)।
प्रति-उदाहरण जो शेष तीरों को रोकते हैं
अनुक्रमअभिसारीविफल
Xₙ = n·1{U < 1/n}, एक U ~ U(0, 1)a.s. व प्रायिकता में 0 की ओरमाध्य में: E Xₙ = 1
स्वतंत्र Xₙ = 1 प्रायिकता 1/n से, अन्यथा 0प्रायिकता में व प्रत्येक माध्य में 0 की ओरa.s.: Xₙ = 1 अनंत बार
स्वतंत्र Xₙ = n प्रायिकता 1/n से, अन्यथा 0प्रायिकता में 0 की ओरa.s. व माध्य में
X ~ N(0, 1) हेतु Xₙ = −Xबंटन में X की ओरप्रायिकता में: |Xₙ − X| = 2|X|

3. स्लट्स्की प्रमेयिका व संतत प्रतिचित्रण प्रमेय

स्लट्स्की: यदि Xₙ → X बंटन में तथा Yₙ → c (अचर) प्रायिकता में, तो Xₙ + Yₙ → X + c, XₙYₙ → cX तथा Xₙ/Yₙ → X/c (c ≠ 0), सभी बंटन में। Xₙ → N(0, 1) व Yₙ → 2 सहित XₙYₙ + Yₙ → N(2, 4)। संतत प्रतिचित्रण प्रमेय: संतत g तीनों प्रकार — a.s., प्रायिकता में व बंटन में — संरक्षित करता है।

मानक प्रयोग: CLT से √n(X̄ − μ)/σ → N(0, 1) तथा बृहत् संख्याओं के नियम से S → σ प्रायिकता में, अतः √n(X̄ − μ)/S → N(0, 1) भी — इसीलिए परिमित प्रसरण वाले किसी भी बंटन हेतु t-प्रतिदर्शज अनंतस्पर्शी रूप से प्रसामान्य है। प्रथम-कोटि टेलर प्रसार (डेल्टा विधि) से जोड़ने पर √n(g(X̄) − g(μ)) → N(0, g′(μ)²σ²): प्वासों(4) आँकड़ों हेतु √n(√X̄ − 2) → N(0, (1/4)² × 4) = N(0, 0.25)।

⚠️ स्लट्स्की को अचर सीमा चाहिए
यदि Xₙ → X व Yₙ → Y केवल बंटन में हों, तो Xₙ + Yₙ का X + Y की ओर अभिसारी होना आवश्यक नहीं: Z ~ N(0, 1) सहित Xₙ = Z व Yₙ = −Z लें। दोनों बंटन में N(0, 1) की ओर अभिसारी हैं, पर उनका योग 0 है, N(0, 2) नहीं। प्रमेयिका ठीक इसलिए सुरक्षित है कि एक सीमा अपभ्रष्ट है।

4. बोरेल–कैंटेली प्रमेयिकाएँ

घटनाओं Aₙ हेतु {Aₙ अनंत बार} = lim sup Aₙ = ∩ₙ ∪k≥n A_k वह घटना है कि अनंत रूप से अनेक घटित हों। प्रथम प्रमेयिका: यदि ΣP(Aₙ) < ∞, तो P(Aₙ अनंत बार) = 0 — स्वतंत्रता आवश्यक नहीं। द्वितीय प्रमेयिका: यदि Aₙ स्वतंत्र हों व ΣP(Aₙ) = ∞, तो P(Aₙ अनंत बार) = 1। अतः स्वतंत्र Aₙ हेतु P(Aₙ अनंत बार) 0 या 1 है, श्रेणी अभिसारी या अपसारी होने के अनुसार: P(Aₙ) = 1/n², 0 देता है, P(Aₙ) = 1/n, 1 देता है।

🎯 द्वितीय प्रमेयिका को स्वतंत्रता क्यों चाहिए
एक U ~ U(0, 1) व Aₙ = {U < 1/n} लें। ΣP(Aₙ) = Σ1/n = ∞, पर Aₙ नीड़ित हैं और किसी दिए U > 0 को केवल परिमित ही समाविष्ट करते हैं, अतः P(Aₙ अनंत बार) = P(U = 0) = 0। आश्रितता घटनाओं को उन्हीं परिणामों पर एकत्र होने देती है।

5. बृहत् संख्याओं के नियम व केंद्रीय सीमा प्रमेय

  • दुर्बल नियम (चेबिशेव): समान माध्य μ व प्रसरण σ² वाले असहसंबद्ध Xᵢ, P(|X̄ − μ| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²) → 0 देते हैं। खिंचिन: i.i.d. Xᵢ हेतु परिमित माध्य पर्याप्त है, X̄ → μ प्रायिकता में।
  • प्रबल नियम (कोल्मोगोरोव): i.i.d. Xᵢ हेतु X̄ → μ लगभग निश्चित यदि और केवल यदि E|X₁| < ∞, और तब μ = E X₁। कौशी आँकड़ों हेतु कोई नियम लागू नहीं, और प्रत्येक n हेतु X̄ कौशी है।
  • केंद्रीय सीमा प्रमेय (लिंडबर्ग–लेवी): माध्य μ व परिमित प्रसरण σ² > 0 वाले i.i.d. Xᵢ हेतु √n(X̄ − μ)/σ → N(0, 1) बंटन में। बंटन के विषय में और कुछ आवश्यक नहीं।

उदाहरण: माध्य 2, प्रसरण 4 व n = 100 सहित X̄ लगभग N(2, 0.04) है, अतः P(X̄ > 2.4) ≈ P(Z > 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228। गणना हेतु सांतत्य संशोधन लगाएँ: 400 अनभिनत उछालों में S का माध्य 200 व मानक विचलन 10 है, और P(S ≥ 220) ≈ P(Z ≥ (219.5 − 200)/10) = P(Z ≥ 1.95) = 0.0256। चेबिशेव इसके स्थान पर वह प्रतिदर्श आमाप देता है जो σ² = 1 होने पर P(|X̄ − μ| ≥ 0.1) ≤ 0.05 सुनिश्चित करे: n ≥ 1/(0.01 × 0.05) = 2000।

ℹ️ चरम मान भी अभिसारी होते हैं
प्रत्येक सीमा प्रसामान्य नहीं होती। i.i.d. U(0, 1) हेतु P(n X₍₁₎ > x) = (1 − x/n)ⁿ → e−x: मापित न्यूनतम बंटन में Exp(1) की ओर अभिसारी है। ऐसी सीमाएँ सीधे बंटन में अभिसरण की परिभाषा से आती हैं, केंद्रीय सीमा प्रमेय के बिना।

मुख्य बिंदु

  • a.s. ⇒ P ⇒ D; r-वाँ माध्य ⇒ P; अचर की ओर D ⇒ P। प्रत्येक अन्य तीर का प्रति-उदाहरण है।
  • n·1{U < 1/n} → 0 a.s. पर माध्य में नहीं; स्वतंत्र 1{प्रायिकता 1/n} → 0 प्रायिकता में पर a.s. नहीं।
  • स्लट्स्की: Xₙ → X बंटन में व Yₙ → c प्रायिकता में से Xₙ + Yₙ → X + c, XₙYₙ → cX, Xₙ/Yₙ → X/c।
  • बोरेल–कैंटेली: ΣP(Aₙ) < ∞ ⇒ सदा P(अनंत बार) = 0; ΣP(Aₙ) = ∞ ⇒ P(अनंत बार) = 1 केवल स्वतंत्र घटनाओं हेतु।
  • WLLN को परिमित माध्य (i.i.d.) चाहिए; SLLN सत्य यदि और केवल यदि E|X| < ∞; CLT को परिमित प्रसरण चाहिए, और गणनाएँ सांतत्य संशोधन लेती हैं।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. अभिसरण के प्रकारों के बीच कौन-से निहितार्थ सदा सत्य हैं?

    1. लगभग निश्चित अभिसरण प्रायिकता में अभिसरण का निहितार्थ है
    2. प्रायिकता में अभिसरण लगभग निश्चित अभिसरण का निहितार्थ है
    3. किसी अचर की ओर बंटन में अभिसरण उसकी ओर प्रायिकता में अभिसरण का निहितार्थ है
    4. द्वितीय माध्य में अभिसरण प्रथम माध्य में अभिसरण का निहितार्थ है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — लगभग निश्चित अभिसरण प्रायिकता में अभिसरण का निहितार्थ है; C — किसी अचर की ओर बंटन में अभिसरण उसकी ओर प्रायिकता में अभिसरण का निहितार्थ है; D — द्वितीय माध्य में अभिसरण प्रथम माध्य में अभिसरण का निहितार्थ है

    (A) मानक। (B) असत्य: P(Xₙ = 1) = 1/n वाले स्वतंत्र Xₙ प्रायिकता में 0 की ओर अभिसारी हैं, पर द्वितीय बोरेल–कैंटेली प्रमेयिका से Xₙ = 1 अनंत बार। (C) P(|Xₙ − c| > ε) ≤ 1 − Fₙ(c + ε) + Fₙ(c − ε) → 0, c ± ε दोनों सांतत्य बिंदु होने से। (D) ल्यापुनोव (या कौशी–श्वार्ज़): E|Y| ≤ (E Y²)1/2।

  2. Xₙ स्वतंत्र हैं, P(Xₙ = n) = 1/n व P(Xₙ = 0) = 1 − 1/n सहित। तब Xₙ, 0 की ओर अभिसारी है:

    1. प्रायिकता में, पर न लगभग निश्चित न प्रथम माध्य में
    2. लगभग निश्चित व प्रथम माध्य में
    3. प्रथम माध्य में पर प्रायिकता में नहीं
    4. किसी भी अर्थ में नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रायिकता में, पर न लगभग निश्चित न प्रथम माध्य में

    P(|Xₙ| > ε) = 1/n → 0, अतः प्रायिकता में। प्रत्येक n हेतु E|Xₙ| = n × 1/n = 1, अतः प्रथम माध्य में नहीं। Σ1/n = ∞ व घटनाएँ स्वतंत्र हैं, अतः द्वितीय बोरेल–कैंटेली प्रमेयिका से Xₙ = n अनंत बार: लगभग निश्चित नहीं। प्रायिकता में अभिसरण को मानों का परिबद्ध रहना आवश्यक नहीं।

  3. मान लें U ~ U(0, 1) एक यादृच्छिक चर है व Xₙ = n·1{U < 1/n}। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. Xₙ → 0 लगभग निश्चित
    2. Xₙ → 0 प्रायिकता में
    3. Xₙ → 0 प्रथम माध्य में
    4. E(Xₙ) → 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Xₙ → 0 लगभग निश्चित; B — Xₙ → 0 प्रायिकता में

    (A) किसी स्थिर U = u > 0 हेतु n > 1/u होते ही Xₙ = 0, तथा P(U = 0) = 0। (B), (A) से निकलता है। (C), (D) असत्य: प्रत्येक n हेतु E Xₙ = n × P(U < 1/n) = 1। सारा द्रव्यमान एक सिकुड़ते समुच्चय में चला जाता है जहाँ मान विस्फोटित होता है — मानक उदाहरण कि a.s. अभिसरण माध्यों के अभिसरण का निहितार्थ नहीं।

  4. X₁, …, X₁₀₀ i.i.d. हैं, माध्य 2 व प्रसरण 4 सहित। केंद्रीय सीमा प्रमेय व Φ(2) = 0.9772 प्रयोग करते हुए P(X̄ > 2.4) का सन्निकट मान, चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.0228

    X̄ ≈ N(2, 4/100), मानक विचलन 0.2। z = (2.4 − 2)/0.2 = 2 तथा P(Z > 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228। एकल प्रेक्षण का मानक विचलन 2 लेना z = 0.2 देता है और भूलता है कि औसत प्रसार को √n से घटाता है।

  5. एक अनभिनत सिक्का 400 बार उछाला जाता है और S चितों की संख्या है। सांतत्य संशोधन सहित प्रसामान्य सन्निकटन व Φ(1.95) = 0.9744 प्रयोग करते हुए P(S ≥ 220) का सन्निकट मान, चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.0256

    E S = 200, मानक विचलन = √(400 × 0.25) = 10। P(S ≥ 220) = P(S > 219.5) ≈ P(Z > 1.95) = 1 − 0.9744 = 0.0256। संशोधन के बिना z = 2 से 0.0228; उलटी दिशा में संशोधन (220.5) से z = 2.05।

  6. i.i.d. प्रेक्षणों का प्रसरण 1 है। चेबिशेव असमिका प्रयोग करते हुए वह न्यूनतम प्रतिदर्श आमाप n जो P(|X̄ − μ| ≥ 0.1) ≤ 0.05 सुनिश्चित करे, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2000

    P(|X̄ − μ| ≥ 0.1) ≤ σ²/(n × 0.01) = 100/n ≤ 0.05 हेतु n ≥ 2000। प्रसामान्य सन्निकटन को केवल लगभग (1.96/0.1)² ≈ 385 चाहिए, पर वह सन्निकटन है, गारंटी नहीं, और प्रश्न चेबिशेव माँगता है।

  7. Xₙ → N(0, 1) बंटन में तथा Yₙ → 2 प्रायिकता में। तब XₙYₙ + Yₙ बंटन में अभिसारी है:

    1. N(2, 4)
    2. N(2, 2)
    3. N(0, 4)
    4. N(2, 1)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — N(2, 4)

    स्लट्स्की से XₙYₙ → 2Z, और Yₙ → 2 जोड़ने पर 2Z + 2 ~ N(2, 4): प्रसरण 2² = 4 से मापित होता है। N(2, 2) प्रसरण को 4 के स्थान पर 2 से मापता है, और N(0, 4) जोड़ा गया अचर छोड़ देता है।

  8. X₁, …, Xₙ i.i.d. प्वासों(4) हैं। √n(√X̄ − 2) का सीमांत बंटन N(0, v) है। v का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.25

    CLT: √n(X̄ − 4) → N(0, 4)। g(x) = √x सहित g′(4) = 1/(2√4) = 1/4, अतः डेल्टा विधि प्रसरण (1/4)² × 4 = 0.25 देती है — वर्गमूल प्वासों हेतु प्रसरण-स्थिरीकारी रूपांतरण है, और प्रत्येक λ हेतु उत्तर 1/4 होता। 4 उत्तर गुणक g′(μ)² भूलता है।

  9. घटनाओं Aₙ के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. यदि P(Aₙ) = 1/n², तो P(Aₙ अनंत बार) = 0
    2. यदि Aₙ स्वतंत्र हैं व P(Aₙ) = 1/n, तो P(Aₙ अनंत बार) = 1
    3. प्रथम बोरेल–कैंटेली प्रमेयिका को Aₙ का स्वतंत्र होना आवश्यक है
    4. स्वतंत्रता के बिना ΣP(Aₙ) = ∞, P(Aₙ अनंत बार) = 1 बाध्य नहीं करता
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यदि P(Aₙ) = 1/n², तो P(Aₙ अनंत बार) = 0; B — यदि Aₙ स्वतंत्र हैं व P(Aₙ) = 1/n, तो P(Aₙ अनंत बार) = 1; D — स्वतंत्रता के बिना ΣP(Aₙ) = ∞, P(Aₙ अनंत बार) = 1 बाध्य नहीं करता

    (A) Σ1/n² < ∞: प्रथम प्रमेयिका। (B) स्वतंत्रता सहित Σ1/n = ∞: द्वितीय प्रमेयिका। (C) असत्य: प्रथम प्रमेयिका सम्मिलन परिबंध है, P(∪k≥nA_k) ≤ Σk≥nP(A_k) → 0, स्वतंत्रता के बिना। (D) एक एकसमान U हेतु Aₙ = {U < 1/n} में ΣP = ∞ पर P(अनंत बार) = 0।

  10. E|X₁| < ∞ व माध्य μ वाले i.i.d. X₁, X₂, … हेतु बृहत् संख्याओं का प्रबल नियम कहता है:

    1. X̄ₙ → μ लगभग निश्चित
    2. X̄ₙ → μ केवल प्रायिकता में
    3. √n(X̄ₙ − μ) → N(0, σ²)
    4. सभी बड़े n हेतु X̄ₙ = μ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — X̄ₙ → μ लगभग निश्चित

    कोल्मोगोरोव का SLLN लगभग निश्चित अभिसरण देता है, जो दुर्बल नियम के प्रायिकता-में कथन से प्रबल है। √n कथन CLT है, जिसे परिमित प्रसरण भी चाहिए; और X̄ₙ प्रत्येक n हेतु यादृच्छिक है, अतः उसका कभी ठीक μ के बराबर होना आवश्यक नहीं।

  11. X₁, …, Xₙ i.i.d. U(0, 1) हैं और X₍₁₎ उनका न्यूनतम है। n → ∞ पर P(n X₍₁₎ > 2) की सीमा, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.135

    P(nX₍₁₎ > 2) = P(सभी Xᵢ > 2/n) = (1 − 2/n)ⁿ → e−2 = 0.1353 → 0.135: nX₍₁₎ बंटन में Exp(1) की ओर अभिसारी है। 0 उत्तर तर्क देता है कि X₍₁₎ → 0, पर गुणक n ठीक क्षतिपूर्ति करता है।

  12. Xₙ = 1/n प्रायिकता 1 से तथा X = 0। Fₙ व F उनके बंटन फलन हों, तो कौन-सा सही है?

    1. Fₙ(0) → 0 ≠ F(0) = 1, फिर भी Xₙ → X बंटन में क्योंकि 0, F का सांतत्य बिंदु नहीं
    2. Xₙ बंटन में X की ओर अभिसारी नहीं क्योंकि Fₙ(0), F(0) की ओर अभिसारी नहीं
    3. Xₙ बंटन में X की ओर अभिसारी है पर प्रायिकता में नहीं
    4. प्रत्येक वास्तविक x हेतु Fₙ(x) → F(x)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Fₙ(0) → 0 ≠ F(0) = 1, फिर भी Xₙ → X बंटन में क्योंकि 0, F का सांतत्य बिंदु नहीं

    Fₙ(x) = 1{x ≥ 1/n}, जो x > 0 हेतु 1 व x ≤ 0 हेतु 0 की ओर जाता है, अतः x = 0 को छोड़ F से मेल खाता है, जहाँ F उछलता है। परिभाषा असांतत्य बिंदुओं को छूट देती है, ठीक इसलिए कि 0 की ओर अभिसारी अचरों का अनुक्रम बंटन में 0 की ओर अभिसारी हो। प्रायिकता में भी वह तुच्छ रूप से अभिसारी है।

  13. i.i.d. प्रेक्षणों का माध्य 3 व प्रसरण 9 है। n = 100 हेतु P(|X̄ − 3| ≥ 1) का चेबिशेव असमिका द्वारा दिया उपरि परिबंध, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.09

    Var X̄ = 9/100 = 0.09, तथा P(|X̄ − 3| ≥ 1) ≤ 0.09/1² = 0.09। एक प्रेक्षण का प्रसरण लेना 9 देता है, 1 से ऊपर एक निरर्थक परिबंध।