संकेत व निकाय: संकेत, LTI निकाय, फुरिये श्रेणी, प्रतिचयन तथा फुरिये, लाप्लास व z रूपांतरण

रोबोटिकी व स्वचालन पेपर का खंड B1.2, भाग B1 में, एक अनुच्छेद है और पूरा विषय भी: सतत-काल व विविक्त-काल संकेतों का निरूपण, विस्थापन व मापन, रैखिक काल-अपरिवर्ती व कारणात्मक निकाय, दोनों काल-प्रांतों में आवर्ती संकेतों की फुरिये श्रेणी, शैनन का प्रतिचयन प्रमेय, फुरिये, लाप्लास व z रूपांतरणों की परिभाषाएँ व गुण, तथा R.M.S. व औसत मानों की गणना। यह आगे आने वाले नियंत्रण खंड की भाषा है और उस प्रत्येक संवेदक संकेत की भी जिसे छाना, प्रतिचयित या औसत किया जाता है। GATE इसे छोटी गणनाओं के रूप में पूछता है: एक आवर्तकाल, संवलन का एक प्रतिदर्श, एक फुरिये गुणांक, नाइक्विस्ट दर, R.M.S. मान, अभिसरण क्षेत्र।

1. संकेत: निरूपण, विस्थापन, मापन व आवर्तता

निर्माण-खंड थोड़े हैं। एकक सोपान u(t) t < 0 पर 0 व उसके बाद 1 है; एकक आवेग δ(t) का क्षेत्रफल इकाई है, ∫δ(t)dt = 1, और चयन गुण ∫x(t)δ(t − t₀)dt = x(t₀); δ(at) = δ(t)/|a|। आनति r(t) = t·u(t) सोपान का समाकल है, और सोपान आवेग का समाकल। विविक्त काल में δ[n] केवल n = 0 पर 1 है, u[n] − u[n − 1] = δ[n], और सम्मिश्र चरघातांकी ejωn, ejωt का स्थान लेता है। प्रत्येक संकेत इनका योग है, इसी कारण आवेग या सोपान की अनुक्रिया पूरे निकाय का वर्णन करती है।

संकेत सम है यदि x(−t) = x(t) व विषम यदि x(−t) = −x(t); प्रत्येक संकेत सम भाग [x(t) + x(−t)]/2 व विषम भाग [x(t) − x(−t)]/2 का योग है। उसकी ऊर्जा E = ∫|x|² dt व शक्ति P = lim (1/2T)∫|x|² dt है: ऊर्जा संकेत की E परिमित व P = 0 है, शक्ति संकेत की P परिमित अशून्य व E अनंत है, और प्रत्येक आवर्ती संकेत शक्ति संकेत है। e−2tu(t) की ऊर्जा ∫₀^∞ e−4t dt = 1/4 है; A cos ωt की शक्ति A²/2।

x(t) का विस्थापन, मापन व प्रतिवर्तन
संक्रियाआलेख पर प्रभाव
x(t − t₀)t₀ से विलंबित (t₀ > 0 पर दाएँ खिसका)
x(t + t₀)t₀ से अग्रगामी (बाएँ खिसका)
x(−t)t = 0 के सापेक्ष प्रतिवर्तित
x(at), |a| > 1गुणक a से संपीड़ित
x(at), |a| < 1गुणक 1/|a| से विस्तारित

x(at − b) हेतु सुरक्षित विधि इसे x(a(t − b/a)) लिखना है: a से मापन, फिर b/a से विलंब। यदि x(t) 0 ≤ t ≤ 2 पर अशून्य है, तो x(2t − 4) वहाँ अशून्य है जहाँ 0 ≤ 2t − 4 ≤ 2, अर्थात् 2 ≤ t ≤ 3: स्पंद की चौड़ाई आधी हो जाती है और वह t = 2 से आरंभ होता है, t = 4 से नहीं।

आवर्तता। दो आवर्ती सतत-काल संकेतों का योग आवर्ती है यदि उनके आवर्तकालों का अनुपात परिमेय हो, और मूल आवर्तकाल लघुत्तम समापवर्त्य है: cos 2πt का T₁ = 1, sin 3πt का T₂ = 2/3, अनुपात 3/2 है, और योग प्रत्येक 2 पर दोहराता है। विविक्त-काल ज्या-तरंग cos(ωn) तभी आवर्ती है जब ω/2π परिमेय हो, न्यूनतम पदों में m/N के बराबर, और तब उसका आवर्तकाल N है: cos(3πn/7) हेतु ω/2π = 3/14, अतः आवर्तकाल 14 है, 7/3 नहीं। सतत स्थिति के विपरीत, विविक्त आवृत्तियाँ ω व ω + 2π एक ही संकेत हैं।

⚠️ पहले विस्थापन या पहले मापन?
विलंब को t पर लगाकर फिर परिणाम पर मापन करने से उलटे क्रम से भिन्न संकेत मिलता है। x(2t − 4) 2 से संपीड़न के बाद 2 का विलंब है — 4 का विलंब नहीं। जाँचने हेतु स्पंद के सिरे प्रतिस्थापित करें: वे मूल आधार पर लौटने चाहिए।

2. रैखिक काल-अपरिवर्ती व कारणात्मक निकाय तथा संवलन

निकाय रैखिक है यदि ax₁ + bx₂ की अनुक्रिया ay₁ + by₂ हो (अध्यारोपण, जिसमें शून्य निवेश पर शून्य निर्गम सम्मिलित है); काल-अपरिवर्ती यदि निवेश को t₀ से विलंबित करने पर निर्गम केवल t₀ से विलंबित हो; कारणात्मक यदि समय t पर निर्गम केवल t व उससे पूर्व के निवेश पर निर्भर हो; स्मृतिहीन यदि केवल वर्तमान निवेश पर निर्भर हो; और BIBO स्थायी यदि प्रत्येक परिबद्ध निवेश परिबद्ध निर्गम दे। उदाहरणों पर परखने पर: y = t·x(t) रैखिक पर काल-परिवर्ती है (लाभ t घड़ी के साथ चलता है); y = x² अरैखिक है; y(t) = x(t + 1) आगे देखता है और अकारणात्मक है; y[n] = x[−n] रैखिक पर काल-परिवर्ती व अकारणात्मक है; y[n] = x[n] − x[n − 1] रैखिक, काल-अपरिवर्ती व कारणात्मक है।

LTI निकाय का पूर्ण वर्णन उसकी आवेग अनुक्रिया h करती है, और निर्गम संवलन y = x ∗ h है: y(t) = ∫x(τ)h(t − τ)dτ, व विविक्त काल में y[n] = Σ x[k]h[n − k]। संवलन क्रमविनिमेय, साहचर्य व वितरण है, अतः श्रेणीक्रम निकाय अपनी आवेग अनुक्रियाओं का संवलन करते हैं (अपने स्थानांतरण फलन गुणा करते हैं) और समांतर निकाय जोड़ते हैं; δ ∗ x = x, और δ(t − t₀) से संवलन t₀ का विलंब करता है। सोपान अनुक्रिया h का समाकल है, और h सोपान अनुक्रिया का अवकलज।

आवेग अनुक्रिया क्या बताती है
गुणh पर प्रतिबंध
कारणात्मकh(t) = 0 for t < 0; h[n] = 0 for n < 0
BIBO स्थायी∫|h(t)| dt < ∞; Σ|h[n]| < ∞
स्मृतिहीनh(t) = Kδ(t)
उदाहरण: e−tu(t)कारणात्मक व स्थायी
उदाहरण: u(t), समाकलककारणात्मक पर स्थायी नहीं

हल किए संवलन। विविक्त: {1, 2, 3} (n = 0 से आरंभ) का {1, 1} से संवलन y[0] = 1, y[1] = 1 + 2 = 3, y[2] = 2 + 3 = 5, y[3] = 3 देता है: {1, 3, 5, 3}, लंबाई 3 + 2 − 1 = 4। सतत: e−tu(t) ∗ e−2tu(t) = e−2t∫₀ᵗ eτdτ = e−t − e−2t, t ≥ 0 हेतु, जो t = ln 2 पर 0.5 − 0.25 = 0.25 है; और u(t) ∗ u(t) = t·u(t), आनति।

3. आवर्ती संकेतों की फुरिये श्रेणी तथा R.M.S. व औसत मान

आवर्तकाल T व ω₀ = 2π/T का आवर्ती सतत-काल संकेत x(t) = Σ c_k ejkω₀t है, c_k = (1/T)∫_T x(t) e−jkω₀t dt सहित। त्रिकोणमितीय रूप x = a₀ + Σ(a_k cos kω₀t + b_k sin kω₀t) में c₀ = a₀ व c_k = (a_k − jb_k)/2 है। सममिति श्रम बचाती है: सम x में केवल कोज्या पद, विषम x में केवल ज्या पद, और अर्ध-तरंग सममित x, x(t + T/2) = −x(t), में केवल विषम हार्मोनिक होते हैं। ±1 आयाम की वर्ग तरंग विषम व अर्ध-तरंग सममित है, अतः x = (4/π)(sin ω₀t + sin 3ω₀t/3 + sin 5ω₀t/5 + …)।

पार्सेवल संबंध गुणांकों से औसत शक्ति देता है: P = (1/T)∫|x|² dt = Σ|c_k|² = a₀² + Σ(a_k² + b_k²)/2। x = 3 + 4 cos ω₀t + 2 sin 2ω₀t हेतु P = 9 + 16/2 + 4/2 = 19, अतः R.M.S. मान √19 ≈ 4.36 है। DC पद औसत मान है और प्रत्येक ज्या-तरंग माध्य वर्ग में अपने आयाम-वर्ग का आधा जोड़ती है; ±1 वर्ग तरंग पर जाँच विषम k पर Σ ½(4/kπ)² = (8/π²)(π²/8) = 1 है, उस तरंग का माध्य वर्ग जो सदैव ±1 रहती है।

विविक्त काल। आवर्तकाल N का आवर्ती x[n], किन्हीं N क्रमागत k पर, x[n] = Σ c_k ejk(2π/N)n है, c_k = (1/N)Σn=0N−1 x[n] e−jk(2π/N)n सहित। सतत स्थिति के विपरीत श्रेणी परिमित है और गुणांक स्वयं आवर्ती हैं, ck+N = c_k, अतः ठीक N भिन्न गुणांक हैं। दोहराते x[n] = {1, 0, 1, 0}, N = 4, हेतु: c₀ = 1/2, c₁ = ¼(1 + e−jπ) = 0, c₂ = ¼(1 + e−j2π) = 1/2, c₃ = 0। पार्सेवल (1/N)Σ|x[n]|² = Σ|c_k|² है: दोनों पक्ष 1/2 के बराबर हैं।

सामान्य तरंगरूपों के औसत व R.M.S. मान, शिखर V_p
तरंगरूपऔसतR.M.S.
ज्या (पूरे चक्र पर)0V_p/√2 ≈ 0.707 V_p
पूर्ण-तरंग दिष्टकृत ज्या2V_p/π ≈ 0.637 V_pV_p/√2
अर्ध-तरंग दिष्टकृत ज्याV_p/π ≈ 0.318 V_pV_p/2
वर्ग तरंग, ±V_p0V_p
त्रिभुजाकार तरंग, ±V_p0V_p/√3

दोनों एक आवर्तकाल पर समाकल हैं: औसत = (1/T)∫x dt व R.M.S. = √[(1/T)∫x² dt]। 10 V शिखर की अर्ध-तरंग दिष्टकृत ज्या का औसत 10/π = 3.18 V व R.M.S. मान 5 V है: ऋणात्मक अर्ध-चक्र किसी में योगदान नहीं देता, अतः माध्य वर्ग पूर्ण ज्या का आधा, V_p²/4, है।

4. प्रतिचयन व शैनन प्रमेय

आदर्श प्रतिचयन x(t) को आवर्तकाल T_s के आवेग-श्रेणी से गुणा करता है, और आवृत्ति प्रांत में वर्णक्रम को प्रतिचयन आवृत्ति f_s = 1/T_s के प्रत्येक गुणज के इर्द-गिर्द, f_s से मापित, दोहराता है। शैनन का प्रतिचयन प्रमेय: उच्चतम आवृत्ति f_m तक बैंड-सीमित संकेत अपने प्रतिदर्शों से पूर्णतः निर्धारित, व पुनर्प्राप्य, है यदि उसका प्रतिचयन f_s > 2f_m पर हो; 2f_m नाइक्विस्ट दर है। पुनर्प्राप्ति f_m व f_s − f_m के बीच कट-ऑफ़ वाले आदर्श निम्न-पारक फ़िल्टर से होती है, जो काल प्रांत में sinc अंतर्वेशन है।

नाइक्विस्ट दर से नीचे प्रतिकृतियाँ अधिव्यापित होती हैं और f पर घटक उस k हेतु |f − kf_s| पर अलियास हो जाता है जो उसे ±f_s/2 के बैंड में लाता है: 10 kHz पर प्रतिचयित 7 kHz का स्वर 3 kHz से अभिन्न है। उपचार प्रतिचयक से पहले प्रति-अलियासन निम्न-पारक फ़िल्टर है। विविक्त काल में प्रतिचयित आवृत्ति ω = 2πf/f_s रेडियन प्रति प्रतिदर्श है, और असंदिग्ध परास |ω| ≤ π है।

बैंड-सीमित संकेतों के संयोजन के बाद बैंड-चौड़ाई (बैंड-चौड़ाइयाँ B₁ व B₂)
संक्रियापरिणाम की बैंड-चौड़ाई
x₁(t) + x₂(t)max(B₁, B₂)
x₁(t) · x₂(t)B₁ + B₂
x₁(t) ∗ x₂(t)min(B₁, B₂)
x(at)a · B
x²(t)2B

हल: x(t) = cos(2π·1000t) cos(2π·2000t) = ½[cos(2π·3000t) + cos(2π·1000t)] की उच्चतम आवृत्ति 3000 Hz है, अतः उसकी नाइक्विस्ट दर 6000 Hz है; गुणनफल हेतु बैंड-चौड़ाई नियम वही देता है, 1000 + 2000। ठीक 2f_m पर प्रतिचयन सीमांत है: f_m की ज्या-तरंग को उसके शून्य-पारणों पर प्रतिचयित करने पर वह खो जाएगी, इसी कारण प्रमेय कठोरतः अधिक कहता है।

5. फुरिये, लाप्लास व z रूपांतरण: परिभाषाएँ व गुण

फुरिये रूपांतरण X(jω) = ∫x(t)e−jωtdt निरपेक्षतः समाकलनीय संकेतों हेतु अस्तित्व में है और अनावर्ती संकेत को उसके वर्णक्रम में ले जाता है। जानने योग्य युग्म: δ(t) ↔ 1; e−atu(t) ↔ 1/(a + jω); e−a|t| ↔ 2a/(a² + ω²); चौड़ाई 2T का आयताकार स्पंद ↔ 2 sin ωT/ω; 1 ↔ 2πδ(ω); cos ω₀t ↔ π[δ(ω − ω₀) + δ(ω + ω₀)]। गुण अधिकांश काम करते हैं: रैखिकता; काल विस्थापन x(t − t₀) ↔ e−jωt₀X (परिमाण अपरिवर्तित, कला −ωt₀); आवृत्ति विस्थापन ejω₀tx ↔ X(ω − ω₀); मापन x(at) ↔ X(ω/a)/|a|, अतः काल में संकीर्ण आवृत्ति में चौड़ा; अवकलन dx/dt ↔ jωX; काल में संवलन आवृत्ति में गुणन है, और उलटा भी (1/2π सहित); तथा पार्सेवल, E = (1/2π)∫|X|²dω।

लाप्लास रूपांतरण X(s) = ∫x(t)e−stdt (एकपक्षीय रूप 0⁻ से आरंभ) फुरिये रूपांतरण को सम्मिश्र s = σ + jω तक व्यापक करता है, और वह केवल अभिसरण क्षेत्र (ROC) में अस्तित्व में है। युग्म: δ ↔ 1; u ↔ 1/s; t·u ↔ 1/s²; e−atu ↔ 1/(s + a); cos ω₀t·u ↔ s/(s² + ω₀²); e−atcos ω₀t·u ↔ (s + a)/[(s + a)² + ω₀²]। गुण: dx/dt ↔ sX − x(0⁻); ∫x ↔ X/s; T से विलंब e−sT से गुणा करता है; e−at से गुणा s को s + a पर खिसकाता है; प्रारंभिक मान x(0⁺) = lims→∞ sX(s); अंतिम मान x(∞) = lims→0 sX(s), केवल तब वैध जब sX(s) का प्रत्येक ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हो। X(s) = 5(s + 2)/[s(s + 5)] हेतु अंतिम मान 5 × 2/5 = 2 है।

z-रूपांतरण X(z) = Σ x[n]z−n विविक्त-काल का समकक्ष है। युग्म: δ[n] ↔ 1; u[n] ↔ z/(z − 1), |z| > 1; aⁿu[n] ↔ z/(z − a), |z| > |a|; n aⁿ u[n] ↔ az/(z − a)²; k से विलंब z−k से गुणा करता है; संवलन गुणन बन जाता है; अंतिम मान x[∞] = limz→1(z − 1)X(z), जब अस्तित्व में हो। लाप्लास चर से संबंध z = esT_s है, अतः s-तल का बायाँ अर्ध भाग इकाई वृत्त के भीतर प्रतिचित्रित होता है। स्थायित्व: लाप्लास ROC जिसमें jω अक्ष हो, या z-ROC जिसमें इकाई वृत्त हो। कारणात्मक संकेत का ROC उसके बाह्यतम ध्रुव के बाहर होता है; अतः कारणात्मक, स्थायी निकाय का प्रत्येक ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में, या |z| = 1 के भीतर, होता है।

⚠️ व्यंजक संकेत नहीं है
z/(z − a), |z| > |a| हेतु aⁿu[n] का और |z| < |a| हेतु −aⁿu[−n − 1] का रूपांतरण है: वही बीजगणित, दो भिन्न संकेत, जिन्हें केवल अभिसरण क्षेत्र अलग करता है। 1/(s + a) हेतु भी यही: Re s > −a पर e−atu(t), और Re s < −a पर −e−atu(−t)। ROC के बिना कभी प्रतिलोम न लें।

मुख्य बिंदु

  • क्रम से विस्थापन व मापन: x(at − b) = x(a(t − b/a)); DT ज्या-तरंग तभी आवर्ती है जब ω/2π परिमेय हो, आवर्तकाल N, m/N से।
  • LTI निकाय उसकी आवेग अनुक्रिया है: y = x ∗ h; कारणात्मक यदि t < 0 पर h = 0, BIBO स्थायी यदि h निरपेक्षतः समाकलनीय।
  • पार्सेवल: P = Σ|c_k|² = a₀² + Σ(a_k² + b_k²)/2; DC पद औसत है, √P R.M.S. मान; DT श्रेणी में N भिन्न गुणांक होते हैं।
  • शैनन: f_s > 2f_m; संकेतों का गुणनफल बैंड-चौड़ाइयाँ जोड़ता है, x² दुगुना करता है; f_s/2 से ऊपर का स्वर |f − kf_s| पर अलियास होता है।
  • काल में संवलन रूपांतरण प्रांत में गुणन है; FVT हेतु sX(s) के ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में चाहिए; ROC के बिना रूपांतरण संकेत नहीं है।

अभ्यास प्रश्न (19)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. विविक्त-काल संकेत x[n] = cos(ωn) आवर्ती है यदि और केवल यदि:

    1. ω/2π परिमेय संख्या हो
    2. ω परिमेय संख्या हो
    3. ω पूर्णांक हो
    4. ω < π हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ω/2π परिमेय संख्या हो

    आवर्तता हेतु ऐसा पूर्णांक N चाहिए जिसमें ωN, 2π का गुणज हो, अतः ω/2π = m/N परिमेय है। ω = 1 rad/प्रतिदर्श परिमेय है पर cos n कभी नहीं दोहराता, क्योंकि 1/2π अपरिमेय है।

  2. विविक्त-काल संकेत x[n] = cos(3πn/7) का मूल आवर्तकाल ____ प्रतिदर्श है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 14

    ω/2π = (3π/7)/(2π) = 3/14, न्यूनतम पदों में, अतः N = 14: 3πN/7 = 6π वह पहला 2π का गुणज है जिसे N पूर्णांक बनाता है। 7 देता है 3π, π का विषम गुणज, और कोज्या चिह्न बदलती है।

  3. x(t) = cos(2πt) + sin(3πt), t सेकंड में, का मूल आवर्तकाल ____ s है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    T₁ = 2π/2π = 1 s व T₂ = 2π/3π = 2/3 s। अनुपात T₁/T₂ = 3/2 परिमेय है, और 1 व 2/3 का लघुत्तम समापवर्त्य 2 s है: 2 = 2 × T₁ = 3 × T₂। बड़ा आवर्तकाल, 1, लेना गलत है क्योंकि sin(3πt) प्रत्येक सेकंड नहीं दोहराता।

  4. संकेत x(t) = e−2tu(t) की ऊर्जा ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.25

    E = ∫₀^∞ e−4t dt = 1/4 = 0.25। संकेत क्षीण होता है, अतः उसकी ऊर्जा परिमित व औसत शक्ति शून्य है: वह ऊर्जा संकेत है। वर्ग के स्थान पर e−2t का समाकल लेने पर 0.5 आता है।

  5. संकेत x(t) केवल 0 ≤ t ≤ 2 पर अशून्य है। संकेत y(t) = x(2t − 4) केवल किस पर अशून्य है:

    1. 2 ≤ t ≤ 3
    2. 4 ≤ t ≤ 6
    3. 0 ≤ t ≤ 1
    4. 2 ≤ t ≤ 4
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 2 ≤ t ≤ 3

    0 ≤ 2t − 4 ≤ 2 हल करें: 4 ≤ 2t ≤ 6, अतः 2 ≤ t ≤ 3। स्पंद आधी चौड़ाई तक संपीड़ित होकर 2 से आरंभ होने हेतु विलंबित है। 4 ≤ t ≤ 6 शुद्ध विलंब 4, x(t − 4), से मिलता — 2 से संपीड़न भुला दिया गया है।

  6. निकाय y(t) = t · x(t) है:

    1. रैखिक व काल-परिवर्ती
    2. रैखिक व काल-अपरिवर्ती
    3. अरैखिक व काल-अपरिवर्ती
    4. अरैखिक व काल-परिवर्ती
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — रैखिक व काल-परिवर्ती

    अध्यारोपण मान्य है क्योंकि t केवल निवेश का गुणक है। निवेश को t₀ से विलंबित करने पर t·x(t − t₀) मिलता है, जबकि निर्गम को विलंबित करने पर (t − t₀)·x(t − t₀), अतः निकाय काल-परिवर्ती है।

  7. विविक्त-काल अनुक्रम x[n] = {1, 2, 3}, n = 0, 1, 2 हेतु, व h[n] = {1, 1}, n = 0, 1 हेतु, संवलित किए जाते हैं। y[2] का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5

    y[2] = Σ x[k]h[2 − k] = x[1]h[1] + x[2]h[0] = 2·1 + 3·1 = 5; x[0]h[2] शून्य है क्योंकि h[2] = 0। पूर्ण निर्गम {1, 3, 5, 3} है।

  8. LTI निकाय की आवेग अनुक्रिया h(t) = e−2tu(t) है और उसे x(t) = e−tu(t) से चलाया जाता है। t = ln 2 पर निर्गम y(t) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.25

    y(t) = ∫₀ᵗ e−τe−2(t − τ)dτ = e−2t(eᵗ − 1) = e−t − e−2t। t = ln 2 पर e−t = 1/2 व e−2t = 1/4, अतः y = 0.25। ln 2 पर केवल x(t) या h(t) का मान (0.5 या 0.25) लेना प्रतिदर्श को संवलन से भ्रमित करना है।

  9. आवेग अनुक्रिया h(t) वाला सतत-काल LTI निकाय BIBO स्थायी है यदि और केवल यदि:

    1. ∫|h(t)| dt परिमित हो
    2. t < 0 पर h(t) = 0 हो
    3. t → ∞ पर h(t) शून्य की ओर जाए, अन्य कोई शर्त नहीं
    4. ∫h(t) dt = 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ∫|h(t)| dt परिमित हो

    h की निरपेक्ष समाकलनीयता आवश्यक भी है और पर्याप्त भी। t < 0 पर h(t) = 0 कारणात्मकता की शर्त है, और t ≥ 1 पर 1/t जैसा क्षीण होता h शून्य की ओर जाता है फिर भी उसका समाकल अनंत है, अतः केवल क्षय पर्याप्त नहीं।

  10. रैखिक काल-अपरिवर्ती व कारणात्मक निकायों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. y(t) = x²(t) अरैखिक निकाय है
    2. y[n] = x[n] − x[n − 1] रैखिक, काल-अपरिवर्ती व कारणात्मक है
    3. y(t) = x(t + 1) कारणात्मक है
    4. y[n] = x[−n] अकारणात्मक निकाय है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — y(t) = x²(t) अरैखिक निकाय है; B — y[n] = x[n] − x[n − 1] रैखिक, काल-अपरिवर्ती व कारणात्मक है; D — y[n] = x[−n] अकारणात्मक निकाय है

    (A) x दुगुना करने पर y चौगुना होता है, अतः समरूपता विफल है। (B) प्रथम अंतर का h[n] = δ[n] − δ[n − 1] है, जो n < 0 पर शून्य है। (C) असत्य: उसे निर्गम से एक सेकंड आगे का निवेश चाहिए। (D) n = −1 पर y[−1] = x[1], भविष्य का निवेश, और प्रत्येक n < 0 हेतु यही है।

  11. आवर्ती संकेत x(t) = 3 + 4 cos(ω₀t) + 2 sin(2ω₀t) है। उसकी 1 Ω के आर-पार औसत शक्ति ____ W है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 19

    P = a₀² + Σ(आयाम²)/2 = 9 + 16/2 + 4/2 = 9 + 8 + 2 = 19। आयामों के वर्ग 9 + 16 + 4 = 29 जोड़ना उस ½ को भूलना है जो ज्या-तरंग के माध्य वर्ग में होता है; R.M.S. मान √19 ≈ 4.36 है।

  12. ±1 आयाम की आवर्ती वर्ग तरंग में अर्ध-तरंग सममिति, x(t + T/2) = −x(t), है और वह विषम फलन है। उसकी फुरिये श्रेणी में हैं:

    1. केवल विषम हार्मोनिकों के ज्या पद
    2. केवल विषम हार्मोनिकों के कोज्या पद
    3. सभी हार्मोनिकों के ज्या व कोज्या पद
    4. केवल DC पद
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — केवल विषम हार्मोनिकों के ज्या पद

    विषमता DC पद व प्रत्येक कोज्या हटाती है, और अर्ध-तरंग सममिति सम हार्मोनिक हटाती है, विषम k हेतु b_k = 4/(kπ) शेष रहता है। 0 व 1 के बीच रहने वाली वर्ग तरंग में 1/2 का DC पद आ जाएगा पर प्रत्यावर्ती भाग के केवल विषम हार्मोनिक रहेंगे।

  13. अर्ध-तरंग दिष्टकृत ज्या तरंग का शिखर 10 V है। उसका R.M.S. मान ____ V है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5

    माध्य वर्ग = (1/2π)∫₀^π 100 sin²θ dθ = (100/2π)(π/2) = 25, अतः R.M.S. = 5 V। औसत 10/π ≈ 3.18 V है, और 10/√2 ≈ 7.07 V पूर्ण, अदिष्टकृत ज्या का मान है।

  14. संकेत x(t) = cos(2π·1000t) cos(2π·2000t) को अलियासन के बिना प्रतिचयित करना है। उसकी नाइक्विस्ट दर ____ Hz है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6000

    गुणनफल ½[cos(2π·3000t) + cos(2π·1000t)] के बराबर है, जिसकी उच्चतम आवृत्ति 3000 Hz है, अतः नाइक्विस्ट दर 2 × 3000 = 6000 Hz है। बड़े गुणक की आवृत्ति को दुगुना (4000 Hz) करना उस योग आवृत्ति की उपेक्षा है जो गुणनफल बनाता है।

  15. 7 kHz की ज्या-तरंग का 10 kHz पर प्रतिचयन किया जाता है और 5 kHz कट-ऑफ़ वाले आदर्श निम्न-पारक फ़िल्टर से पुनर्निर्माण किया जाता है। पुनर्निर्मित ज्या-तरंग की आवृत्ति ____ kHz है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    7 kHz घटक f_s/2 = 5 kHz से ऊपर है और |7 − 10| = 3 kHz पर मुड़ जाता है, जिसे फ़िल्टर पारित करता है; मूल 7 kHz हट जाता है। पुनर्निर्माण शुद्ध 3 kHz का स्वर है, वास्तविक 3 kHz निवेश से अभिन्न।

  16. e−2t cos(3t) u(t) का लाप्लास रूपांतरण है:

    1. (s + 2)/[(s + 2)² + 9]
    2. 3/[(s + 2)² + 9]
    3. s/(s² + 9)
    4. (s − 2)/[(s − 2)² + 9]
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (s + 2)/[(s + 2)² + 9]

    e−2t से गुणा cos 3t के रूपांतरण s/(s² + 9) में s को s + 2 पर खिसकाता है, जो (s + 2)/[(s + 2)² + 9] देता है। अंश 3 ज्या का है, और s − 2 बढ़ते चरघातांकी e+2t हेतु विस्थापन है।

  17. स्थायी संकेत का लाप्लास रूपांतरण X(s) = 5(s + 2)/[s(s + 5)] है। उसका अंतिम मान x(∞) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    sX(s) = 5(s + 2)/(s + 5) का एकमात्र ध्रुव s = −5 पर, बाएँ अर्ध-तल में, है, अतः प्रमेय लागू है: x(∞) = lims→0 5(s + 2)/(s + 5) = 5 × 2/5 = 2। आंशिक भिन्न 2/s + 3/(s + 5) पुष्टि करते हैं, क्योंकि दूसरा पद क्षीण होता है।

  18. फुरिये व z रूपांतरणों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. संकेत को t₀ से विलंबित करने पर उसका फुरिये रूपांतरण e−jωt₀ से गुणित होता है, परिमाण अपरिवर्तित रहता है
    2. काल में दो संकेतों का संवलन उनके फुरिये रूपांतरणों के गुणन के संगत है
    3. संकेत को काल में संपीड़ित करने पर उसका वर्णक्रम आवृत्ति में संपीड़ित होता है
    4. कारणात्मक संकेत के z-रूपांतरण का ROC उसके बाह्यतम ध्रुव के बाहर होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — संकेत को t₀ से विलंबित करने पर उसका फुरिये रूपांतरण e^{−jωt₀} से गुणित होता है, परिमाण अपरिवर्तित रहता है; B — काल में दो संकेतों का संवलन उनके फुरिये रूपांतरणों के गुणन के संगत है; D — कारणात्मक संकेत के z-रूपांतरण का ROC उसके बाह्यतम ध्रुव के बाहर होता है

    (A) काल-विस्थापन गुण। (B) संवलन गुण। (C) असत्य: x(at) ↔ X(ω/a)/|a|, अतः काल में संपीड़न (a > 1) वर्णक्रम को फैलाता है। (D) दक्षिण-पक्षीय अनुक्रम बड़े |z| पर अभिसरित होता है, प्रत्येक ध्रुव के बाहर।

  19. विविक्त-काल निकाय का स्थानांतरण फलन H(z) = z/(z − 0.5) है और वह कारणात्मक है। कौन-सा कथन सही है?

    1. वह स्थायी है, ROC |z| > 0.5 में इकाई वृत्त सम्मिलित है
    2. वह अस्थायी है, क्योंकि ध्रुव z = 0.5 पर है
    3. वह केवल तभी स्थायी है जब ROC |z| < 0.5 हो
    4. उसकी आवेग अनुक्रिया −(0.5)ⁿu[−n − 1] है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — वह स्थायी है, ROC |z| > 0.5 में इकाई वृत्त सम्मिलित है

    कारणात्मक निकाय का ROC बाह्यतम ध्रुव के बाहर, |z| > 0.5, होता है, और इकाई वृत्त |z| = 1 उस क्षेत्र के भीतर है, अतः वह स्थायी है; h[n] = (0.5)ⁿu[n], जो निरपेक्षतः योज्य है। अंतिम विकल्प का वाम-पक्षीय अनुक्रम वह है जो |z| < 0.5 देता।