रोबोट वर्गीकरण, घूर्णन आव्यूह, समघाती रूपांतरण व अग्र शुद्धगतिकी

खंड A.3, रोबोटिकी व स्वचालन के सिद्धांत, का प्रथम आधा भाग: रोबोटिक वर्गीकरण — क्रमिक व समांतर मैनिपुलेटर, ज्यामितीय विन्यास, कड़ियाँ व संधियाँ, निर्देशांक तंत्र व स्वातंत्र्य-कोटियाँ; 2D व 3D में घूर्णन आव्यूह; समघाती रूपांतरण; अग्र शुद्धगतिकी; और अनुच्छेद को समाप्त करने वाले रोबोट अनुप्रयोग — बिंदु-से-बिंदु व सतत-पथ नियंत्रण, अंत्य-प्रभावकों के प्रकार, तथा रोबोट यथार्थता व पुनरावर्तनीयता। अग्र शुद्धगतिकी वह स्थान है जहाँ खंड का गणित उसकी मशीनों से मिलता है: संधि चर दिए हों, तो उपकरण कहाँ है? अध्याय यह उत्तर घूर्णन आव्यूहों से डेनाविट–हार्टनबर्ग परिपाटी तक बनाता है, और GATE द्वारा रखी समतलीय भुजाओं पर हल करता है। खंड केवल अग्र शुद्धगतिकी नामित करता है — प्रतिलोम या वेग शुद्धगतिकी, प्रक्षेप-पथ नियोजन या रोबोट दृष्टि नहीं — और अध्याय उसी तक सीमित है जो वह नामित करता है।

1. वर्गीकरण: क्रमिक व समांतर मैनिपुलेटर, विन्यास, कड़ियाँ व संधियाँ

क्रमिक मैनिपुलेटर खुली शृंखला है: आधार, कड़ी, संधि, कड़ी, … अंत्य-प्रभावक तक, प्रत्येक संधि अपने आगे की सब चीज़ें चलाती है। इसका कार्यक्षेत्र बड़ा है, पर त्रुटियाँ व नम्यता शृंखला के अनुदिश संचित होती हैं। समांतर मैनिपुलेटर गतिमान मंच को आधार से एक साथ कई शृंखलाओं द्वारा जोड़ता है — स्टुअर्ट–गफ़ मंच, डेल्टा रोबोट — अतः यह अपने द्रव्यमान के अनुपात में अधिक दृढ़, अधिक यथार्थ व तीव्र है, छोटे कार्यक्षेत्र व अधिक जटिल शुद्धगतिकी सहित। मूल संधियाँ घूर्णी (R), एक घूर्णन, व प्रिज़्मीय (P), एक सर्पी स्थानांतरण, हैं, प्रत्येक एक स्वातंत्र्य-कोटि की; बेलनाकार संधि की दो व गोलीय संधि की तीन।

ज्यामितीय विन्यास, प्रथम तीन (मुख्य-अक्ष) संधियों के अनुसार
विन्याससंधियाँकार्यक्षेत्र
कार्तीय (गैन्ट्री)PPPएक आयताकार बक्सा
बेलनाकारRPPखोखले बेलन का एक भाग
गोलीय (ध्रुवीय)RRPखोखले गोले का एक भाग
SCARARRP, दो घूर्णी अक्ष ऊर्ध्वाधर व समांतरमोटा वलयाकार क्षेत्र; पार्श्व में नम्य, ऊर्ध्वाधर में दृढ़
संधियुक्त (मानवरूपी)RRRलगभग गोलीय, अपने आकार हेतु सबसे बड़ा

स्वातंत्र्य-कोटियाँ। अंतरिक्ष में दृढ़ पिंड की छह होती हैं — तीन स्थिति की, तीन अभिविन्यास की — अतः सामान्य-उद्देश्य भुजा में छह संधियाँ होती हैं, प्रायः कलाई को रखने हेतु भुजा में तीन और उपकरण को अभिविन्यस्त करने हेतु कलाई में तीन; छह से अधिक अतिरेकी है। n कड़ियों (भूमि सहित) वाली क्रियाविधि की गतिशीलता ग्रुब्लर का पालन करती है: समतल में M = 3(n − 1) − 2j₁ − j₂, j₁ एक-स्वातंत्र्य संधियाँ व j₂ दो-स्वातंत्र्य वाली; अंतरिक्ष में M = 6(n − 1) − 5j₁ − 4j₂ − 3j₃ − …। पाँच घूर्णी संधियों वाली समतलीय पंच-कड़ी हेतु M = 3 × 4 − 10 = 2। निर्देशांक तंत्र विश्व, आधार, प्रत्येक संधि व उपकरण से जुड़े होते हैं, और शुद्धगतिकी उनके बीच का लेखा-जोखा है।

कार्यक्षेत्र उन बिंदुओं का समुच्चय है जहाँ उपकरण पहुँच सकता है। लंबाइयों l₁ ≥ l₂ व अप्रतिबंधित घूर्णी संधियों वाली समतलीय दो-कड़ी भुजा त्रिज्याओं l₁ − l₂ व l₁ + l₂ के बीच के वलय तक पहुँचती है; l₁ = 0.5 m व l₂ = 0.3 m हेतु यह π(0.8² − 0.2²) = 0.6π ≈ 1.88 m² है। समान कड़ी-लंबाइयाँ छिद्र बंद करती हैं और उपकरण को आधार तक पहुँचने देती हैं; संधि-सीमाएँ वलय को छोटे क्षेत्र में काटती हैं।

2. 2D व 3D में घूर्णन आव्यूह

समतल में θ से घूर्णन R(θ) = [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]] है; इसके स्तंभ घूर्णित एकक सदिश हैं। अंतरिक्ष में तीन प्रारंभिक घूर्णन R_z(θ) = [[c, −s, 0], [s, c, 0], [0, 0, 1]], R_y(θ) = [[c, 0, s], [0, 1, 0], [−s, 0, c]] व R_x(θ) = [[1, 0, 0], [0, c, −s], [0, s, c]] हैं, c = cos θ व s = sin θ सहित। प्रत्येक घूर्णन आव्यूह लांबिक है, सारणिक +1 सहित: R⁻¹ = Rᵀ, इसके स्तंभ (व पंक्तियाँ) प्रसामान्य-लांबिक हैं, और यह लंबाइयाँ व कोण संरक्षित रखता है। R_z(90°), (1, 0, 0) को (0, 1, 0) पर ले जाता है।

घूर्णन क्रमविनिमेय नहीं हैं, अतः संयोजन का क्रम महत्त्वपूर्ण है, और यह प्रयुक्त अक्षों पर निर्भर करता है। स्थिर (विश्व) अक्षों के परितः क्रमिक घूर्णनों हेतु प्रत्येक नया घूर्णन पूर्व-गुणा करता है: स्थिर x के परितः, फिर स्थिर z के परितः घुमाना R = R_z R_x देता है। वर्तमान (गतिमान) अक्षों के परितः क्रमिक घूर्णनों हेतु प्रत्येक पश्च-गुणा करता है: x के परितः, फिर नए z के परितः घुमाना R = R_x R_z देता है। रोल–पिच–यॉ व ऑयलर कोण ऐसे तीन घूर्णनों के नामित अनुक्रम हैं।

⚠️ स्थिर अक्ष या वर्तमान अक्ष?
वही दो शब्द, "x के परितः, फिर z के परितः", अक्ष विश्व के हों तो R_z R_x और पिंड के अपने हों तो R_x R_z देते हैं। गुणा करने से पहले पढ़ें कि प्रश्न का अभिप्राय कौन-सा है; जब तक कोई कोण शून्य न हो, दोनों गुणनफल भिन्न होते हैं।

3. समघाती रूपांतरण

फ़्रेम A के सापेक्ष घूर्णन R व अपने मूल के स्थानांतरण d से स्थित फ़्रेम B किसी बिंदु को p_A = R p_B + d से प्रतिचित्रित करता है। बिंदुओं को (x, y, z, 1) लिखने से यह एक 4 × 4 आव्यूह में समा जाता है, T = [[R, d], [0 0 0, 1]], अतः p_A = T p_B, और फ़्रेमों की शृंखला गुणा से संयोजित होती है: ⁰T₃ = ⁰T₁ ¹T₂ ²T₃। प्रतिलोम सामान्य व्युत्क्रमण से नहीं निकाला जाता: T⁻¹ = [[Rᵀ, −Rᵀd], [0 0 0, 1]]।

हल: फ़्रेम B, z_A के परितः 90° घूर्णित है और उसका मूल A में (2, 1, 0) पर है। B में बिंदु (3, 1, 0), A में R_z(90°)(3, 1, 0) + (2, 1, 0) = (−1, 3, 0) + (2, 1, 0) = (1, 4, 0) है। पहले घुमाना और बाद में स्थानांतरित करना T में निहित है: स्थानांतरण d, A में व्यक्त है, B में नहीं।

4. अग्र शुद्धगतिकी व डेनाविट–हार्टनबर्ग परिपाटी

अग्र शुद्धगतिकी संधि चरों से अंत्य-प्रभावक की मुद्रा देती है। समतलीय दो-कड़ी भुजा हेतु: x = l₁ cos θ₁ + l₂ cos(θ₁ + θ₂) व y = l₁ sin θ₁ + l₂ sin(θ₁ + θ₂), अभिविन्यास φ = θ₁ + θ₂ सहित। l₁ = 1 m, l₂ = 0.5 m, θ₁ = 30° व θ₂ = 60° हेतु: x = 0.866 + 0.5 cos 90° = 0.866 m व y = 0.5 + 0.5 sin 90° = 1.0 m। आधार से दूरी केवल θ₂ पर निर्भर है: r² = l₁² + l₂² + 2l₁l₂ cos θ₂।

सामान्य शृंखला हेतु डेनाविट–हार्टनबर्ग (DH) परिपाटी फ़्रेम i को कड़ी i से जोड़ती है, zi−1 को संधि i के अक्ष के अनुदिश रखते हुए, और प्रत्येक कड़ी को चार संख्याओं से वर्णित करती है: θᵢ, zi−1 के परितः xi−1 से xᵢ तक कोण; dᵢ, zi−1 के अनुदिश विचलन; aᵢ, zi−1 व zᵢ के बीच xᵢ के अनुदिश कड़ी-लंबाई; व αᵢ, xᵢ के परितः zi−1 से zᵢ तक ऐंठन। घूर्णी संधि हेतु θᵢ चर है, प्रिज़्मीय संधि हेतु dᵢ। प्रत्येक कड़ी Aᵢ = Rot_z(θᵢ) Trans_z(dᵢ) Trans_x(aᵢ) Rot_x(αᵢ) का योगदान देती है, और ⁰Tₙ = A₁A₂…Aₙ।

समतलीय दो-कड़ी भुजा की DH सारणी
कड़ीθᵢdᵢaᵢαᵢ
1θ₁ (variable)0l₁0
2θ₂ (variable)0l₂0

गुणा करने पर Aᵢ का स्थिति-स्तंभ (aᵢ cos θᵢ, aᵢ sin θᵢ, dᵢ) है — अतः θ = 60°, d = 0.1 m, a = 0.4 m वाली कड़ी अगले मूल को अपने आधार फ़्रेम में (0.2, 0.346, 0.1) पर रखती है, उसकी ऐंठन जो भी हो — और ऊपर की सारणी हेतु A₁A₂ दो-कड़ी समीकरण पुनः देता है।

5. अनुप्रयोग: नियंत्रण विधाएँ, अंत्य-प्रभावक, यथार्थता व पुनरावर्तनीयता

बिंदु-से-बिंदु (PTP) नियंत्रण को केवल सिखाई गई अंतिम स्थितियों की चिंता है, बीच के पथ की नहीं: बिंदु वेल्डन, उठाओ-रखो, पैलेटीकरण, मशीन भरण। सतत-पथ (CP) नियंत्रण उपकरण को निर्दिष्ट गति से निर्दिष्ट पथ पर चलाता है, जिसके लिए सभी संधियों की समन्वित गति व बिंदुओं के बीच अंतर्वेशन चाहिए: चाप वेल्डन, स्प्रे पेंटिंग, सीलन, खुरदरापन हटाना। अंत्य-प्रभावक या तो ग्रिपर हैं — घर्षण से या भाग को घेरकर पकड़ने वाले दो- या तीन-उँगली यांत्रिक ग्रिपर, समतल व चिकने भागों हेतु निर्वात कप, लौह भागों हेतु चुंबकीय ग्रिपर, वस्त्रों हेतु आसंजी ग्रिपर — या उपकरण: वेल्डन गन या टॉर्च, स्प्रे गन, तर्कु।

घर्षण ग्रिपर को भार को मार्जिन सहित धारित रखना चाहिए: प्रत्येक F से दबाती n उँगलियाँ घर्षण nμF ≥ mg देती हैं, अतः μ = 0.4 सहित दो उँगलियों से पकड़े 2 kg भाग को प्रति उँगली F = mg/(nμ) = 2 × 9.81/(2 × 0.4) ≈ 24.5 N चाहिए, त्वरण हेतु किसी छूट से पहले। पुनरावर्तनीयता यह है कि रोबोट सिखाए गए बिंदु पर कितनी निकटता से लौटता है, सामान्यतः प्रकीर्णन के ±3σ के रूप में उद्धृत; यथार्थता यह है कि वह कभी न सिखाए गए आदेशित बिंदु तक कितनी निकटता से पहुँचता है, और यह बदतर होती है, क्योंकि शुद्धगतिक-मॉडल त्रुटियाँ, कड़ी विक्षेप व अंशांकन प्रकीर्णन में जुड़ते हैं। रोबोट अत्यधिक पुनरावर्तनीय व अयथार्थ हो सकता है। नियंत्रण विभेदन सबसे छोटी वृद्धि है जिसे नियंत्रक आदेशित कर सकता है, संधि की स्थिति-कूटन के बिटों से तय, और यह दोनों को सीमित करता है।

मुख्य बिंदु

  • क्रमिक भुजाएँ बड़े कार्यक्षेत्रों वाली खुली शृंखलाएँ हैं; समांतर मैनिपुलेटर छोटे कार्यक्षेत्रों सहित अधिक दृढ़ व यथार्थ हैं।
  • कार्तीय PPP, बेलनाकार RPP, गोलीय RRP, समांतर ऊर्ध्वाधर अक्षों वाला SCARA RRP, संधियुक्त RRR; समतलीय गतिशीलता M = 3(n − 1) − 2j₁ − j₂।
  • घूर्णन आव्यूह सारणिक +1 वाला लांबिक है; स्थिर-अक्ष घूर्णन पूर्व-गुणा, वर्तमान-अक्ष घूर्णन पश्च-गुणा करते हैं।
  • T = [[R, d], [0, 1]] व T⁻¹ = [[Rᵀ, −Rᵀd], [0, 1]]; DH: A = Rot_z(θ) Trans_z(d) Trans_x(a) Rot_x(α)।
  • दो-कड़ी पहुँच: |l₁ − l₂| से l₁ + l₂ तक वलय; बिंदु वेल्डन हेतु PTP, चाप वेल्डन हेतु CP; पुनरावर्तनीयता यथार्थता नहीं है।

अभ्यास प्रश्न (16)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. SCARA रोबोट के प्रथम तीन अक्षों का संधि विन्यास है:

    1. RRP
    2. PPP
    3. RPP
    4. RRR
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — RRP

    SCARA में समांतर ऊर्ध्वाधर अक्षों वाली दो घूर्णी संधियाँ हैं, जो भुजा को क्षैतिज तल में चलाती हैं, और एक प्रिज़्मीय ऊर्ध्वाधर अक्ष। PPP कार्तीय, RPP बेलनाकार व RRR संधियुक्त है। गोलीय रोबोट भी RRP है, पर उसके दोनों घूर्णी अक्ष लंबवत् हैं।

  2. समान आकार के क्रमिक मैनिपुलेटर की तुलना में समांतर मैनिपुलेटर में सामान्यतः होता है:

    1. अधिक दृढ़ता व छोटा कार्यक्षेत्र
    2. कम दृढ़ता व बड़ा कार्यक्षेत्र
    3. समान दृढ़ता व बड़ा कार्यक्षेत्र
    4. कोई बंद शुद्धगतिक शृंखला नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अधिक दृढ़ता व छोटा कार्यक्षेत्र

    कई शृंखलाएँ समांतर में भार बाँटती हैं, अतः विक्षेप वैसे संचित नहीं होते जैसे क्रमिक शृंखला के अनुदिश — पर शृंखलाएँ एक-दूसरे को प्रतिबंधित करती हैं, जिससे पहुँच-योग्य क्षेत्र सिकुड़ता है। समांतर मैनिपुलेटर परिभाषा से बंद शृंखला है।

  3. एक समतलीय बंद-पाश क्रियाविधि में पाँच कड़ियाँ हैं, स्थिर कड़ी सहित, जो पाँच घूर्णी संधियों से जुड़ी हैं। ग्रुब्लर कसौटी से इसकी स्वातंत्र्य-कोटि ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    M = 3(n − 1) − 2j₁ − j₂ = 3 × 4 − 2 × 5 − 0 = 2: पंच-कड़ी को तय करने हेतु दो निवेश चाहिए। भूमि घटाए बिना कड़ियाँ गिनने (3 × 5) पर 5 आता है।

  4. एक समतलीय दो-कड़ी भुजा की कड़ी-लंबाइयाँ 0.5 m व 0.3 m हैं और घूर्णी संधियाँ 360° घूमने हेतु स्वतंत्र हैं। उसके पहुँच-योग्य कार्यक्षेत्र का क्षेत्रफल, एक दशमलव स्थान तक, ____ m² है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.9

    सिरा l₁ − l₂ = 0.2 m (कोहनी मुड़ी) से l₁ + l₂ = 0.8 m (फैली) तक प्रत्येक त्रिज्या तक पहुँचता है, अतः कार्यक्षेत्र π(0.64 − 0.04) = 0.6π ≈ 1.885 क्षेत्रफल का वलय है, जो एक स्थान तक 1.9 है। 0.8 m त्रिज्या की पूरी चकती लेने पर 2.01 m² आता है।

  5. प्रत्येक 3 × 3 घूर्णन आव्यूह R में कौन-सा गुण होता है?

    1. R⁻¹ = Rᵀ व det R = +1
    2. R⁻¹ = R व det R = −1
    3. R सममित है
    4. R का ट्रेस 3 है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — R⁻¹ = Rᵀ व det R = +1

    इसके स्तंभ प्रसामान्य-लांबिक हैं, अतः RᵀR = I, और यह हस्तता संरक्षित रखता है, अतः सारणिक +1 है (−1 परावर्तन होगा)। R केवल 0° या 180° के घूर्णनों हेतु सममित है, और उसका ट्रेस 1 + 2 cos θ है, जो केवल तत्समक हेतु 3 है।

  6. फ़्रेम B, फ़्रेम A से z_A के परितः 90° घूर्णन और फिर अपने मूल को A में (2, 1, 0) पर रखकर प्राप्त होता है। एक बिंदु के B में निर्देशांक (3, 1, 0) हैं। A में उसका y-निर्देशांक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4

    p_A = R_z(90°)p_B + d। R_z(90°)(3, 1, 0) = (0·3 − 1·1, 1·3 + 0·1, 0) = (−1, 3, 0); (2, 1, 0) जोड़ने पर (1, 4, 0), अतः y = 4। घुमाने से पहले स्थानांतरण जोड़ने पर R_z(90°)(5, 2, 0) = (−2, 5, 0) आएगा।

  7. एक पिंड पहले स्थिर विश्व x-अक्ष के परितः α से और फिर स्थिर विश्व z-अक्ष के परितः γ से घुमाया जाता है। उसका परिणामी अभिविन्यास आव्यूह है:

    1. R_z(γ) R_x(α)
    2. R_x(α) R_z(γ)
    3. R_x(α) + R_z(γ)
    4. R_z(α) R_x(γ)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — R_z(γ) R_x(α)

    स्थिर अक्षों के परितः घूर्णन पूर्व-गुणा करते हैं: R_x(α) के बाद दूसरा घूर्णन विश्व फ़्रेम में लगता है, जिससे R_z(γ)R_x(α)। R_x(α)R_z(γ) वह परिणाम है जब दूसरा घूर्णन पिंड के अपने (वर्तमान) z-अक्ष के परितः हो। घूर्णन आव्यूह कभी जोड़े नहीं जाते।

  8. समघाती रूपांतरण T = [[R, d], [0 0 0, 1]] हेतु प्रतिलोम T⁻¹ है:

    1. [[Rᵀ, −Rᵀd], [0 0 0, 1]]
    2. [[Rᵀ, −d], [0 0 0, 1]]
    3. [[R, −d], [0 0 0, 1]]
    4. [[−R, d], [0 0 0, 1]]
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — [[Rᵀ, −Rᵀd], [0 0 0, 1]]

    p_A = Rp_B + d से p_B = Rᵀ(p_A − d) = Rᵀp_A − Rᵀd। स्थानांतरण को ऋणात्मक करने के साथ B में वापस घुमाना भी चाहिए; केवल −d तभी सही है जब R = I।

  9. एक समतलीय दो-कड़ी भुजा में l₁ = 1 m व l₂ = 0.5 m हैं। θ₁ = 30° व θ₂ = 60° (θ₂ कड़ी 1 से मापा) पर उसके सिरे का x-निर्देशांक, दो दशमलव स्थानों तक, ____ m है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.87

    x = l₁ cos θ₁ + l₂ cos(θ₁ + θ₂) = cos 30° + 0.5 cos 90° = 0.866 + 0 ≈ 0.87 m (और y = 0.5 + 0.5 = 1.0 m)। दूसरी कड़ी हेतु cos θ₂ लेना, मानो θ₂ आधार से मापा हो, 0.866 + 0.25 = 1.12 देता है।

  10. एक समतलीय दो-कड़ी भुजा में l₁ = 0.4 m व l₂ = 0.3 m हैं। कोहनी कोण θ₂ = 60° होने पर आधार संधि से सिरे तक की दूरी, दो दशमलव स्थानों तक, ____ m है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.61

    r² = l₁² + l₂² + 2l₁l₂ cos θ₂ = 0.16 + 0.09 + 2 × 0.12 × 0.5 = 0.37, अतः r = 0.608 ≈ 0.61 m, θ₁ जो भी हो। त्रिभुज के कोज्या नियम का ऋण चिह्न आंतरिक कोण 180° − θ₂ का है और θ₂ पर ही लगाने से √0.13 ≈ 0.36 देता है।

  11. डेनाविट–हार्टनबर्ग कड़ी रूपांतरण में एक कड़ी के θ = 60°, d = 0.1 m, a = 0.4 m व α = 90° हैं। फ़्रेम i − 1 में फ़्रेम i के मूल का x-निर्देशांक ____ m है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.2

    A = Rot_z(θ)Trans_z(d)Trans_x(a)Rot_x(α) का स्थिति-स्तंभ (a cos θ, a sin θ, d) = (0.4 × 0.5, 0.4 × 0.866, 0.1) = (0.2, 0.346, 0.1) है। ऐंठन α नए फ़्रेम को अभिविन्यस्त करती है पर उसका मूल नहीं खिसकाती, अतः 90° भ्रामक है।

  12. मानक डेनाविट–हार्टनबर्ग परिपाटी में xᵢ के अनुदिश अक्ष zi−1 से अक्ष zᵢ तक मापी गई दूरी है:

    1. कड़ी-लंबाई aᵢ
    2. कड़ी विचलन dᵢ
    3. संधि कोण θᵢ
    4. कड़ी ऐंठन αᵢ
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — कड़ी-लंबाई aᵢ

    aᵢ क्रमिक संधि अक्षों के बीच xᵢ के अनुदिश उभयनिष्ठ-अभिलंब दूरी है। dᵢ, zi−1 के अनुदिश मापा जाता है, θᵢ, zi−1 के परितः कोण है, और αᵢ, xᵢ के परितः कोण।

  13. किस कार्य को बिंदु-से-बिंदु के स्थान पर सतत-पथ नियंत्रण चाहिए?

    1. जोड़ के अनुदिश चाप वेल्डन
    2. कार ढाँचे का बिंदु वेल्डन
    3. मशीन में भाग भरना
    4. बक्सों का पैलेटीकरण
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — जोड़ के अनुदिश चाप वेल्डन

    चाप वेल्डन पूरे पथ के अनुदिश धातु जमा करता है, अतः बिंदुओं के बीच का पथ व गति वेल्ड तय करते हैं। बिंदु वेल्डन, मशीन भरण व पैलेटीकरण को केवल अंतिम स्थितियाँ चाहिए, और उनके बीच का पथ स्वतंत्र है।

  14. दो-उँगली घर्षण ग्रिपर 2 kg भाग को उँगलियों से विपरीत फलकों पर दबाते हुए पकड़ता है; घर्षण गुणांक 0.4 है। g = 9.81 m/s² लेकर व त्वरण नगण्य मानते हुए प्रत्येक उँगली द्वारा लगाया जाने वाला न्यूनतम पकड़ बल, एक दशमलव स्थान तक, ____ N है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 24.5

    दोनों उँगली संपर्क घर्षण देते हैं: 2μF ≥ mg, अतः F = 2 × 9.81/(2 × 0.4) = 24.525 ≈ 24.5 N। दो घर्षण पृष्ठ होना भूलने पर 49.1 N आता है; व्यवहार में सुरक्षा गुणक व त्वरण हेतु छूट जोड़ी जाती है।

  15. रोबोट यथार्थता व पुनरावर्तनीयता के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. पुनरावर्तनीयता पहले सिखाए गए बिंदु पर लौटने की क्षमता है
    2. रोबोट अत्यधिक पुनरावर्तनीय होते हुए भी अयथार्थ हो सकता है
    3. यथार्थता सामान्यतः पुनरावर्तनीयता से बेहतर (छोटी त्रुटि) होती है
    4. नियंत्रण विभेदन संधि-स्थिति कूटन हेतु प्रयुक्त बिटों की संख्या पर निर्भर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — पुनरावर्तनीयता पहले सिखाए गए बिंदु पर लौटने की क्षमता है; B — रोबोट अत्यधिक पुनरावर्तनीय होते हुए भी अयथार्थ हो सकता है; D — नियंत्रण विभेदन संधि-स्थिति कूटन हेतु प्रयुक्त बिटों की संख्या पर निर्भर है

    (A) परिभाषा। (B) गलत बिंदु के परितः सुसंगत प्रकीर्णन: अच्छी पुनरावर्तनीयता, खराब यथार्थता। (C) असत्य: न सिखाए बिंदु तक पहुँचना प्रकीर्णन में मॉडल व अंशांकन त्रुटियाँ जोड़ता है, अतः यथार्थता बड़ी संख्या है। (D) n बिट संधि के परास को 2ⁿ वृद्धियों में बाँटते हैं।

  16. रोबोट विन्यासों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. गोलीय (ध्रुवीय) रोबोट की प्रथम तीन में दो प्रिज़्मीय संधियाँ हैं
    2. बेलनाकार रोबोट का कार्यक्षेत्र खोखले बेलन का भाग है
    3. कार्तीय रोबोट में तीन प्रिज़्मीय संधियाँ हैं
    4. संधियुक्त रोबोट की प्रथम तीन संधियाँ सभी घूर्णी हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — बेलनाकार रोबोट का कार्यक्षेत्र खोखले बेलन का भाग है; C — कार्तीय रोबोट में तीन प्रिज़्मीय संधियाँ हैं; D — संधियुक्त रोबोट की प्रथम तीन संधियाँ सभी घूर्णी हैं

    (A) असत्य: गोलीय रोबोट RRP है — दो घूर्णी संधियाँ व एक प्रिज़्मीय। (B) आधार घूर्णन, ऊर्ध्वाधर सर्पण व त्रिज्य सर्पण एक मोटा बेलनाकार कोश बनाते हैं। (C) PPP। (D) मानव भुजा की भाँति RRR।