संक्रिया अनुसंधान व संक्रिया प्रबंधन

रैखिक प्रोग्राम में निर्णय चर, अधिकतम या न्यूनतम करने हेतु एक रैखिक उद्देश्य, रैखिक बाधाएँ व अऋणात्मकता होती हैं। अधिकतम करें Z = 3x + 5y बशर्ते x ≤ 4, 2y ≤ 12, 3x + 2y ≤ 18, x, y ≥ 0 लें। सुसंगत क्षेत्र एक उत्तल बहुभुज है और इष्टतम एक कोने के बिंदु पर है: कोने (0, 0), (4, 0), (4, 3), (2, 6) व (0, 6) हैं, Z = 0, 12, 27, 36 व 30 सहित, अतः इष्टतम x = 2, y = 6, Z = 36 है। यदि उद्देश्य रेखा किसी बंधनकारी किनारे के समांतर हो तो अनेक इष्टतम हैं; यदि क्षेत्र सुधार की दिशा में असीमित हो तो समस्या असीमित है; यदि कोई बिंदु सभी बाधाएँ पूरी न करे तो वह असुसंगत है।

सिंप्लेक्स विधि एक मूल सुसंगत हल (कोना) से निकटवर्ती बेहतर हल तक जाती है। प्रत्येक ≤ बाधा को शिथिल (स्लैक) चर, प्रत्येक ≥ बाधा को अधिशेष (सरप्लस) व कृत्रिम चर, और प्रत्येक = बाधा को कृत्रिम चर मिलता है, जिसे बिग-M या द्वि-चरण विधि से सँभाला जाता है। अधिकतमीकरण हेतु प्रविष्ट चर वह है जिसका शुद्ध योगदान C_j − Z_j सबसे अधिक धनात्मक हो; निर्गामी चर न्यूनतम अनुपात परीक्षण का पालन करता है (दक्षिण-पक्ष बटा प्रविष्ट स्तंभ की धनात्मक प्रविष्टियाँ)। तालिका इष्टतम है जब प्रत्येक C_j − Z_j ≤ 0। किसी अमूल चर हेतु शून्य C_j − Z_j वैकल्पिक इष्टतम का, अनुपात परीक्षण में बराबरी अपभ्रष्टता का, बिना धनात्मक प्रविष्टि वाला प्रविष्ट स्तंभ असीमितता का, और अंतिम तालिका में धनात्मक बचा कृत्रिम चर असुसंगतता का संकेत है।

प्रत्येक LP का एक द्वैत होता है। मूल 'अधिकतम करें c·x बशर्ते Ax ≤ b, x ≥ 0' हेतु द्वैत है 'न्यूनतम करें b·u बशर्ते Aᵀu ≥ c, u ≥ 0': प्रति मूल बाधा एक द्वैत चर, और उद्देश्य गुणांकों व दक्षिण-पक्षों की भूमिकाएँ अदल-बदल जाती हैं। दुर्बल द्वैतता: कोई भी सुसंगत द्वैत उद्देश्य मूल को सीमित करता है। प्रबल द्वैतता: इष्टतम पर दोनों उद्देश्य बराबर हैं। पूरक शिथिलता: इष्टतम पर शिथिलता वाली बाधा का द्वैत मूल्य शून्य है, और धनात्मक द्वैत मूल्य का अर्थ है उसकी बाधा बंधनकारी है। यदि मूल असीमित है तो द्वैत असुसंगत है। इष्टतम द्वैत मान छाया मूल्य हैं — दक्षिण-पक्ष में प्रति इकाई वृद्धि पर Z में लाभ। उदाहरण में x ≤ 4 में शिथिलता है (x = 2) अतः उसका मूल्य 0 है, और अन्य दो मूल्य 1.5 व 1 हैं: जाँचें 12 × 1.5 + 18 × 1 = 36। संवेदनशीलता विश्लेषण पूछता है कि इष्टतम आधार बदलने से पहले कोई लागत गुणांक कितना खिसक सकता है (इष्टतमता परास) और छाया मूल्य मान्य रहते हुए कोई दक्षिण-पक्ष कितना खिसक सकता है (सुसंगतता परास); किसी अमूल चर की घटी लागत वह राशि है जितना उसके उद्देश्य गुणांक को प्रवेश से पहले सुधरना चाहिए।

परिवहन मॉडल m स्रोतों से n गंतव्यों तक न्यूनतम लागत पर भेजता है। यह संतुलित है जब कुल आपूर्ति कुल माँग के बराबर हो; अन्यथा शून्य लागत वाली एक कूट पंक्ति या स्तंभ अंतर सोख लेती है। प्रारंभिक मूल सुसंगत हल उत्तर-पश्चिम कोना नियम (लागत की उपेक्षा), न्यूनतम-लागत विधि, या वोगेल सन्निकटन (दंड = प्रत्येक पंक्ति व स्तंभ में दो सबसे छोटी लागतों का अंतर; जहाँ दंड सबसे बड़ा हो वहाँ आवंटन) से आता है, जो प्रायः इष्टतम के सबसे निकट से आरंभ करता है। मूल हल में m + n − 1 आवंटन होते हैं; कम होना अपभ्रष्ट है, जिसे किसी स्वतंत्र रिक्त कोष्ठ में सूक्ष्म ε रखकर सुधारा जाता है। इष्टतमता MODI से जाँची जाती है: भरे कोष्ठों पर u_i + v_j = c_ij हल करें (एक u = 0 रखकर), फिर रिक्त कोष्ठों हेतु Δ_ij = c_ij − u_i − v_j गणित करें; यदि सभी Δ_ij ≥ 0 तो हल इष्टतम है, अन्यथा सबसे ऋणात्मक कोष्ठ एक बंद पाश के परितः प्रवेश करता है। नियतन मॉडल n कार्यों को n कर्ताओं को एक-एक सौंपने की विशेष स्थिति है, हंगेरियन विधि से हल: पंक्ति न्यूनतम घटाएँ, फिर स्तंभ न्यूनतम, सभी शून्यों को न्यूनतम रेखाओं से ढकें, और यदि n से कम रेखाएँ लगें तो सबसे छोटी अनढकी संख्या अनढके कोष्ठों से घटाकर प्रतिच्छेदों पर जोड़ें; n रेखाएँ होने तक दोहराएँ, फिर स्वतंत्र शून्यों पर नियतन करें। अधिकतमीकरण समस्याएँ प्रत्येक प्रविष्टि को सबसे बड़ी से घटाकर बदली जाती हैं; असंतुलित को कूट पंक्ति या स्तंभ मिलता है।

पूर्णांक प्रोग्रामन कुछ या सभी चरों का पूर्णांक होना माँगता है (संयंत्र खोलने जैसे हाँ/नहीं निर्णयों हेतु 0-1 चर)। LP इष्टतम को पूर्णांकित करना असुसंगत या इष्टतम से दूर हो सकता है। शाखा व सीमा LP शिथिलन हल करती है, किसी भिन्नात्मक चर पर शाखा बनाती है (x ≤ ⌊x⌋ व x ≥ ⌈x⌉), और उस शाखा को काट देती है जिसकी शिथिलन सीमा अब तक मिले सर्वोत्तम पूर्णांक हल से बेहतर न हो; गोमरी की कर्तन-तल विधि इसके स्थान पर ऐसी बाधाएँ जोड़ती है जो भिन्नात्मक इष्टतम को काटें पर किसी पूर्णांक बिंदु को नहीं। LP शिथिलन का इष्टतम सदा पूर्णांक इष्टतम जितना ही अच्छा या बेहतर होता है, इसीलिए वह सीमा का कार्य करता है।

मार्कोवी पंक्तियों में प्वासों आगमन (चरघातांकी अंतर-आगमन समय, दर λ) व चरघातांकी सेवा (दर μ) होती है; केंडॉल संकेतन (a/b/c):(d/e) आगमन व सेवा बंटन, सेवक, क्षमता व अनुशासन नामित करता है। ρ = λ/μ < 1 सहित एकल-सेवक M/M/1 पंक्ति हेतु: P0 = 1 − ρ, P(n) = (1 − ρ)ρⁿ, P(n ≥ k) = ρᵏ, L = ρ/(1 − ρ), L_q = ρ²/(1 − ρ), W = 1/(μ − λ) व W_q = λ/[μ(μ − λ)]। लिटिल नियम L = λW (व L_q = λW_q) किसी भी स्थिर पंक्ति हेतु लागू है। λ = 8 प्रति घंटा व μ = 10 प्रति घंटा सहित: ρ = 0.8, L = 4, L_q = 3.2, W = 0.5 h = 30 min व W_q = 0.4 h = 24 min। बहु-सेवक M/M/c पंक्तियाँ c सेवकों द्वारा भार बाँटते हुए उसी तर्क का पालन करती हैं।

विविक्त घटना अनुकरण ऐसे तंत्र का मॉडल बनाता है जिसकी अवस्था केवल क्षणों पर बदलती है — आगमन, सेवा पूर्णता, भंग। एक अनुकरण घड़ी समय-क्रमित भावी घटना सूची से ली गई घटना से घटना तक कूदती है; सत्ताएँ गुण वहन करती हैं; घड़ी आगे बढ़ने पर सांख्यिकी संचित होती है। यादृच्छिक निवेश (0, 1) में एकसमान यादृच्छिक संख्याओं U से प्रतिलोम-रूपांतरण विधि द्वारा बनते हैं: दर λ वाले चरघातांकी चर हेतु x = −(1/λ) ln(1 − U), तुल्यतः −(1/λ) ln U। आनुभविक बंटन से मोंटे कार्लो प्रतिचयन संचयी प्रायिकताओं द्वारा यादृच्छिक-संख्या परासों को मानों से जोड़ता है। परिणाम आकलन हैं: निष्कर्ष से पहले अनेक स्वतंत्र पुनरावृत्तियाँ, त्यागी गई तापन अवधि, और विश्वास अंतराल आवश्यक हैं।

मूल्यह्रास किसी संपत्ति की लागत, निस्तारण घटाकर, उसके जीवन पर फैलाता है। प्रथम लागत P, निस्तारण S व जीवन n सहित: सीधी रेखा प्रति वर्ष D = (P − S)/n (P = Rs 1 00 000, S = Rs 10 000, n = 9 से Rs 10 000 प्रति वर्ष व तीन वर्ष बाद Rs 70 000 बही मूल्य); ह्रासमान शेष प्रति वर्ष आरंभिक बही मूल्य पर स्थिर दर लगाता है, अतः प्रभार वर्ष-दर-वर्ष घटता है (द्वि-ह्रासमान सीधी-रेखा दर का दोगुना प्रयोग करता है); वर्षों के अंकों का योग (शेष जीवन/SYD) × (P − S) प्रभारित करता है, SYD = n(n + 1)/2 — n = 5 हेतु SYD = 15 व प्रथम वर्ष का प्रभार (5/15) × 90 000 = Rs 30 000; और निक्षेप-निधि (सिंकिंग फ़ंड) विधि समान वार्षिक राशियाँ अलग रखती है जो ब्याज सहित P − S तक संचित होती हैं। त्वरित विधियाँ आरंभ में अधिक बट्टे खाते डालती हैं, जो प्रायः मूल्य खोने के ढंग से मेल खाता है और कर टालता है।

सम-विच्छेद विश्लेषण स्थिर लागत F को प्रति इकाई परिवर्ती लागत v से अलग करता है। विक्रय मूल्य p पर लाभ = Q(p − v) − F, अतः सम-विच्छेद मात्रा Q_BE = F/(p − v) है, जहाँ p − v प्रति इकाई अंशदान है; सम-विच्छेद विक्रय मूल्य F बटा लाभ-मात्रा अनुपात (p − v)/p है, और सुरक्षा सीमा वास्तविक बिक्री घटा सम-विच्छेद बिक्री है। F = Rs 60 000, p = Rs 50 व v = Rs 30 सहित Q_BE = 60 000/20 = 3000 इकाई। गतिविधि-आधारित लागत निर्धारण एकल उपरिव्यय दर (मान लें प्रति प्रत्यक्ष श्रम घंटा) को उन गतिविधियों हेतु लागत कोषों से बदलता है जो वास्तव में उपरिव्यय उत्पन्न करती हैं — मशीन सेट-अप, क्रय आदेश, निरीक्षण, पदार्थ चालन — प्रत्येक का अपना लागत चालक व दर: यदि 100 सेट-अप की लागत Rs 50 000 है, दर Rs 500 प्रति सेट-अप है, और 20 सेट-अप वाला उत्पाद अपने श्रम घंटों से स्वतंत्र Rs 10 000 सेट-अप उपरिव्यय वहन करता है। यह कम-मात्रा, जटिल उत्पादों को उच्च-मात्रा सरल उत्पादों द्वारा अनुदानित होने से रोकता है।

कारणात्मक पूर्वानुमान माँग को किसी चालक x से न्यूनतम-वर्ग रैखिक समाश्रयण y = a + bx द्वारा जोड़ता है, b = (nΣxy − ΣxΣy)/(nΣx² − (Σx)²) व a = ȳ − b x̄ सहित। (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 8) हेतु: n = 4, Σx = 10, Σy = 19, Σxy = 57, Σx² = 30, अतः b = (228 − 190)/(120 − 100) = 1.9 व a = (19 − 19)/4 = 0, x = 5 पर 9.5 का पूर्वानुमान देते हुए। काल-श्रेणी विधियाँ केवल माँग इतिहास प्रयोग करती हैं। अंतिम N अवधियों का सरल चल माध्य शोर समतल करता है पर प्रवृत्ति से पीछे रहता है; भारित चल माध्य हाल के आँकड़ों को अधिक भार देता है। चरघातांकी समतलन F_t+1 = F_t + α(D_t − F_t) = αD_t + (1 − α)F_t पिछले आँकड़ों को गुणोत्तर भार देता है: F_t = 100, D_t = 120 व α = 0.2 सहित F_t+1 = 104। बड़ा α तेज़ प्रतिक्रिया देता है पर अधिक शोर आगे बढ़ाता है। प्रवृत्ति द्वि (होल्ट) समतलन या समय पर रेखा बैठाकर सँभाली जाती है; मौसमीयता मौसमी सूचकांकों (किसी ऋतु के औसत का समग्र औसत से अनुपात) से, मौसमीयता हटाकर, पूर्वानुमान करके और फिर पुनः मौसमीकरण से। यथार्थता MAD, MSE व MAPE से, और अभिनति अनुवर्तन संकेत = त्रुटियों का चालू योग/MAD से मापी जाती है।

समग्र उत्पादन योजना किसी उत्पाद परिवार हेतु मध्यम अवधि (प्रायः महीनों) पर प्रति अवधि कुल निर्गत, कार्यबल व माल-सूची तय करती है। इसकी तीन शुद्ध रणनीतियाँ हैं समतल योजना (स्थिर निर्गत, माल-सूची माँग के उतार-चढ़ाव सोखती है), अनुगमन योजना (भर्ती, छँटनी या अधिसमय द्वारा निर्गत माँग का पीछा करता है) व मिश्रित योजना; विनिमय की जाने वाली लागतें हैं नियमित व अधिसमय उत्पादन, भर्ती व छँटनी, माल-सूची धारण, पश्च-आदेश व उप-ठेका। मास्टर उत्पादन अनुसूची योजना को सप्ताह अनुसार विशिष्ट अंतिम वस्तुओं की मात्राओं में विघटित करती है; इसकी समय बाड़ें निकट अवधि को स्थिर करती हैं, और वचन-हेतु-उपलब्ध मात्रा बिक्री को बताती है कि अब भी क्या वचन दिया जा सकता है। MRP MPS को पदार्थ सूची (BOM) द्वारा विस्फोटित करता है: प्रत्येक वस्तु हेतु शुद्ध आवश्यकता = सकल आवश्यकता − हाथ में माल-सूची − अनुसूचित प्राप्तियाँ (+ सुरक्षा भंडार), और नियोजित आदेश एक अग्रता समय पहले जारी होते हैं (अग्रता-समय विस्थापन), लॉट-दर-लॉट या अन्यथा लॉट-आकारित। सकल 500, हाथ में 120 व अनुसूचित प्राप्तियाँ 80 शुद्ध आवश्यकता 300 देती हैं। MRP-II (निर्माण संसाधन योजना) क्षमता आवश्यकता योजना, कार्यशाला नियंत्रण व वित्तीय योजना से पाश बंद करता है; ERP उसी एकीकृत आँकड़ा-आधार को पूरे उद्यम तक बढ़ाता है — बिक्री, क्रय, वित्त, मानव संसाधन व आपूर्ति शृंखला।

मार्ग निर्धारण वह पथ व संक्रियाओं का क्रम तय करता है जिसका कोई भाग पालन करता है; अनुसूचन तय करता है कि प्रत्येक संक्रिया कब किस मशीन पर हो; प्रेषण कार्य जारी करता है और तय करता है कि प्रतीक्षारत कौन-सा कार्य आगे जाए। एकल मशीन पर प्राथमिकता नियम: SPT (सबसे छोटा प्रसंस्करण समय पहले) माध्य प्रवाह समय, माध्य प्रतीक्षा समय व औसत प्रक्रियाधीन कार्य न्यूनतम करता है; EDD (सबसे पहली नियत तिथि पहले) अधिकतम विलंबता न्यूनतम करता है; FCFS न्यायसंगत है पर निम्न निष्पादन देता है; क्रांतिक अनुपात = नियत तिथि तक शेष समय/शेष प्रसंस्करण समय, सबसे छोटा पहले; मूर की कलन-विधि विलंबित कार्यों की संख्या न्यूनतम करती है। समान क्रम में दो मशीनों से होकर n कार्यों हेतु जॉनसन नियम कुल समय (मेकस्पैन) न्यूनतम करता है: कहीं भी सबसे छोटा समय खोजें; यदि वह मशीन 1 पर है तो उस कार्य को यथासंभव जल्दी रखें, यदि मशीन 2 पर तो यथासंभव देर से; उसे हटाकर दोहराएँ। कार्य A (5, 2), B (1, 6), C (9, 7), D (3, 8), E (10, 4) क्रम B-D-C-E-A व 30 का कुल समय देते हैं।

धक्का तंत्र में उत्पादन पूर्वानुमानों से पहले ही अनुसूचित होता है (MRP उत्कृष्ट धक्का तंत्र है) और कार्य अगले चरण तक धकेला जाता है चाहे वह तैयार हो या नहीं। खिंचाव तंत्र में अनुप्रवाह उपभोग प्रतिप्रवाह उत्पादन को अधिकृत करता है, प्रायः कानबान कार्डों द्वारा, प्रक्रियाधीन कार्य को सीमित करते हुए। टोयोटा उत्पादन तंत्र से आया लीन निर्माण सात अपव्ययों (मुडा) — अति-उत्पादन, प्रतीक्षा, परिवहन, अति-प्रसंस्करण, माल-सूची, गति व दोष — को मूल्य-धारा मानचित्रण, 5S, सेट-अप कमी (SMED), एकल-नग प्रवाह, समतलित उत्पादन (हेइजुंका), भूल-रोधन (पोका-योके) व सतत सुधार से हटाता है। फुर्तीला निर्माण पुनर्विन्यास-योग्य संसाधनों, मॉड्यूलर उत्पादों व आभासी साझेदारियों द्वारा माँग व उत्पाद विविधता के अप्रत्याशित परिवर्तनों पर तेज़ी से व मितव्ययी रूप से प्रतिक्रिया की क्षमता पर बल देता है; लीन स्थिर माँग में सबसे सशक्त है, फुर्तीला अस्थिर माँग में। संचालन-तंत्र (लॉजिस्टिक्स) उद्गम से उपभोग तक वस्तुओं व सूचना के प्रवाह व भंडारण की योजना व नियंत्रण करता है; वितरण भंडारण, परिवहन साधन, क्रॉस-डॉकिंग व नेटवर्क अभिकल्प समेटता है; आपूर्ति शृंखला प्रबंधन आपूर्तिकर्ताओं, निर्माताओं, वितरकों व खुदरा विक्रेताओं को एक तंत्र के रूप में समन्वित करता है। बुलव्हिप प्रभाव — आदेश परिवर्तनशीलता का प्रतिप्रवाह जाते हुए प्रवर्धित होना, आदेश बैचिंग, पूर्वानुमान अद्यतन, मूल्य उतार-चढ़ाव व कमी-जनित खेल से — इसकी उत्कृष्ट समस्या है, जो माँग सूचना साझा करने, छोटे बैचों व विक्रेता-प्रबंधित माल-सूची से घटती है।

माल-सूची के कार्य: चक्र भंडार (लॉटों में आदेश), सुरक्षा भंडार (अनिश्चितता के विरुद्ध बफ़र), प्रत्याशा भंडार (मौसमी संचय), पाइपलाइन भंडार (मार्ग में) व वियोजन भंडार (चरणों को स्वतंत्र चलने देना)। लागतें: प्रति आदेश आदेश या सेट-अप लागत (S), प्रति इकाई प्रति वर्ष धारण या वहन लागत (H — पूँजी, भंडारण, बीमा, अप्रचलन, प्रायः इकाई मूल्य का प्रतिशत), कमी या भंडार-शून्यता लागत, तथा स्वयं क्रय लागत। वर्गीकरण: वार्षिक उपभोग मूल्य अनुसार ABC (कुछ A वस्तुएँ अधिकांश मूल्य लेती हैं और कड़ा नियंत्रण पाती हैं); महत्ता अनुसार VED (अति आवश्यक, आवश्यक, वांछनीय); गति अनुसार FSN (तेज़, धीमी, अचल); इकाई मूल्य अनुसार HML; उपलब्धता अनुसार SDE (दुर्लभ, कठिन, आसान)।

D = 10 000 इकाई प्रति वर्ष, S = Rs 200 व H = Rs 4 सहित Q* = √(2 × 10 000 × 200/4) = 1000 इकाई, आदेश व धारण लागत प्रत्येक Rs 2000, साथ में Rs 4000। मात्रा छूट: प्रत्येक मूल्य पर EOQ गणित करें (H मूल्य का प्रतिशत होने से); यदि कोई EOQ अपने मूल्य परास में सुसंगत है तो उसे रखें, अन्यथा उसे उस परास की निकटतम सीमा पर ले जाएँ; फिर प्रत्येक उम्मीदवार पर क्रय लागत सहित कुल लागत की तुलना कर न्यूनतम लें। H = मूल्य का 20 %, 2000 इकाई से कम पर Rs 20 व 2000 या अधिक पर Rs 19 सहित: Rs 20 पर 1000 का EOQ मान्य है, कुल Rs 2 04 000; Rs 19 पर 1026 का EOQ 2000 से कम है, अतः उम्मीदवार 2000 है, कुल 1 90 000 + 1000 + 3800 = Rs 1 94 800 — 2000 का आदेश दें। सतत तंत्र में पुनःआदेश बिंदु ROP = dL + सुरक्षा भंडार है (d प्रति दिन माँग, L दिनों में अग्रता समय)।

सतत (निरंतर-समीक्षा, Q) तंत्र: भंडार लगातार अनुवर्तित होता है और जब भी भंडार पुनःआदेश बिंदु तक गिरे एक स्थिर मात्रा Q, प्रायः EOQ, का आदेश होता है; आदेश अंतराल बदलता है, और सुरक्षा भंडार केवल अग्रता समय को ढकता है — कम सुरक्षा भंडार, अधिक अभिलेख-रखाव (द्वि-डिब्बा तंत्र इसका हस्त रूप है)। आवधिक (नियत-अंतराल, P) तंत्र: भंडार की हर T अवधियों पर समीक्षा होती है और आदेश उसे लक्ष्य स्तर M तक लाता है, अतः आदेश मात्रा बदलती है; सुरक्षा भंडार को समीक्षा अवधि व अग्रता समय दोनों ढकने होते हैं, अतः अधिक चाहिए, पर एक आपूर्तिकर्ता से अनेक वस्तुओं के आदेश मिलाए जा सकते हैं।

परियोजना नेटवर्क गतिविधियों को तीरों पर (AOA, निर्भरता दिखाने हेतु आवश्यकतानुसार कूट गतिविधियों सहित) या नोडों पर (AON) दिखाता है। अग्र पास प्रत्येक गतिविधि का सबसे पहला आरंभ ES व सबसे पहली समाप्ति EF = ES + t देता है (ES = उसके पूर्ववर्तियों का सबसे बड़ा EF); परियोजना अंत से पश्च पास सबसे देर की समाप्ति LF व सबसे देर का आरंभ LS = LF − t देता है (LF = उसके अनुवर्तियों का सबसे छोटा LS)। कुल प्लव (फ़्लोट) = LS − ES = LF − EF वह सीमा है जितनी कोई गतिविधि परियोजना को विलंबित किए बिना खिसक सकती है; मुक्त प्लव वह जितनी वह किसी अनुवर्ती के सबसे पहले आरंभ को विलंबित किए बिना खिसक सकती है। क्रांतिक पथ सबसे लंबा पथ है, शून्य-प्लव गतिविधियों से बना, और उसकी लंबाई परियोजना अवधि है; एक से अधिक हो सकते हैं। उदाहरण: A(3) व B(4) आरंभ करते हैं; C(2) व D(5) A के बाद; E(3) B व C के बाद; F(2) D व E के बाद। अग्र: A 0-3, B 0-4, C 3-5, D 3-8, E 5-8, F 8-10, अतः परियोजना 10 लेती है; पश्च, B का LS 1 व ES 0 है, कुल प्लव 1, और A-D-F व A-C-E-F दोनों क्रांतिक हैं।

PERT गतिविधि समयों को अनिश्चित मानता है, बीटा बंटन से आशावादी a, सबसे संभावित m व निराशावादी b आकलनों सहित: प्रत्याशित समय t_e = (a + 4m + b)/6 व मानक विचलन σ = (b − a)/6 — 4, 6 व 14 दिनों हेतु t_e = 7 व σ = 1.67। परियोजना समय को क्रांतिक पथ के अनुदिश माध्य T_e = Σt_e व प्रसरण Σσ² सहित प्रसामान्य माना जाता है (प्रसरण जुड़ते हैं, मानक विचलन नहीं), अतः T तक पूरा होने की प्रायिकता Φ(Z) है, Z = (T − T_e)/σ_परियोजना सहित। गैंट चार्ट प्रत्येक गतिविधि को समय पैमाने के विरुद्ध क्षैतिज दंड के रूप में खींचता है — प्रगति अनुवर्तन हेतु स्पष्ट, पर वह निर्भरताएँ नहीं दिखाता जो नेटवर्क दिखाता है। समय-लागत विनिमय (क्रैशिंग): प्रत्येक गतिविधि का एक सामान्य समय व लागत तथा उच्च क्रैश लागत पर एक छोटा क्रैश समय होता है; उसका लागत ढाल = (क्रैश लागत − सामान्य लागत)/(सामान्य समय − क्रैश समय)। परियोजना छोटी करने हेतु न्यूनतम लागत ढाल वाली क्रांतिक गतिविधि को एक इकाई दर इकाई क्रैश करें, प्रत्येक चरण के बाद क्रांतिक पथ पुनः जाँचते हुए; जब अनेक पथ क्रांतिक हों, सभी को साथ छोटा करना होगा। कुल लागत = प्रत्यक्ष लागत (परियोजना क्रैश होने पर बढ़ती) + अप्रत्यक्ष लागत (छोटी होने पर घटती), और इष्टतम अवधि उनका योग न्यूनतम करती है।