सामान्य अभियांत्रिकी: पदार्थ, अनुप्रयुक्त यांत्रिकी, मशीन व अभिकल्प, तापीय व तरल
1. अभियांत्रिकी पदार्थ: संरचना, गुण व पाँच परिवार
अधिकांश अभियांत्रिकी धातुएँ तीन में से एक संरचना में क्रिस्टलित होती हैं। अंतःकेंद्रित घनीय (BCC) — 912 °C से नीचे लोहा, क्रोमियम, टंगस्टन, मॉलिब्डेनम — में प्रति कोष्ठिका 2 परमाणु, समन्वय संख्या 8 तथा परमाणु संकुलन गुणांक 0.68 है। फलक-केंद्रित घनीय (FCC) — ऐलुमिनियम, ताँबा, निकेल, ऑस्टेनाइटी लोहा — में प्रति कोष्ठिका 4 परमाणु, समन्वय संख्या 12 व संकुलन गुणांक 0.74 है। षट्कोणीय निविड-संकुलित (HCP) — जस्ता, मैग्नीशियम, कक्ष-ताप पर टाइटेनियम — भी 0.74 तक संकुलित है और समन्वय 12 है। संकुलन गुणांक केवल तथ्य नहीं है: FCC धातुओं में निविड-संकुलित तलों पर अनेक सर्पण निकाय होते हैं और वे बहुत निम्न ताप तक तन्य रहती हैं, BCC धातुएँ ताप घटने पर तन्य-से-भंगुर संक्रमण दिखाती हैं, और HCP धातुएँ, कम सक्रिय सर्पण निकायों के कारण, तीनों में शीत कर्म हेतु सबसे कठिन हैं।
| परिवार | आबंधन व संरचना | विशिष्ट गुण | सामान्य अनुप्रयोग |
|---|---|---|---|
| धातु व मिश्रधातु | धात्विक आबंध, क्रिस्टलीय | तन्य, चीमड़, ऊष्मा व विद्युत के अच्छे चालक | संरचनाएँ, शाफ़्ट, मशीन ढाँचे, औज़ार |
| अर्धचालक | सहसंयोजी (Si, Ge), लगभग 1 eV का बैंड अंतराल | ताप व अपमिश्रण के साथ चालकता बढ़ती है | डायोड, ट्रांज़िस्टर, संवेदक, सौर सेल |
| सिरैमिक | आयनिक व सहसंयोजी, ऑक्साइड, कार्बाइड, नाइट्राइड | कठोर, उच्चतापसह, भंगुर, संपीडन में सशक्त, तनाव में दुर्बल | कर्तन औज़ार इंसर्ट, उच्चतापसह, विद्युतरोधी |
| बहुलक | सहसंयोजी शृंखलाएँ; तापसुघट्य (रैखिक) व तापदृढ़ (तिर्यक-आबंधित) | हल्के, संक्षारण-प्रतिरोधी, निम्न दृढ़ता, कक्ष-ताप पर विसर्पण | आवरण, पाइप, फ़िल्म, हल्के कार्य के गियर |
| कंपोज़िट (धातु, बहुलक, सिरैमिक आधात्री) | आधात्री में प्रबलक (तंतु या कण) | अनुकूलित दृढ़ता-भार अनुपात; गुण दिशा पर निर्भर | GFRP व CFRP पैनल (PMC), Al-SiC ब्रेक भाग (MMC), SiC-SiC टरबाइन भाग (CMC) |
तंतुओं की दिशा में भारित तंतु कंपोज़िट के लिए मिश्रण नियम अनुदैर्ध्य मापांक को आयतन-भारित औसत देता है, E_c = E_f V_f + E_m V_m (सम-विकृति स्थिति)। तंतुओं के आर-पार भारित होने पर प्रावस्थाएँ समान प्रतिबल वहन करती हैं, और 1/E_c = V_f/E_f + V_m/E_m (सम-प्रतिबल स्थिति), जो सदा दोनों में कम होता है। यही अंतर कारण है कि एकदिशीय परत अपने तंतुओं की दिशा में दृढ़ व आर-पार दुर्बल होती है, और वास्तविक भाग अनेक कोणों पर परतें क्यों रखते हैं।
2. लौह-कार्बन आरेख, ऊष्मा उपचार व प्रतिबल-विकृति वक्र
लौह-लौह कार्बाइड आरेख में तीन निश्चर अभिक्रियाएँ हैं, और GATE निचली दो सबसे अधिक पूछता है। 727 °C व लगभग 0.76 % कार्बन पर यूटेक्टॉइड ऑस्टेनाइट को पर्लाइट में बदलता है, जो फ़ेराइट व सीमेंटाइट का पटलित मिश्रण है: γ → α + Fe3C। लगभग 1147 °C व 4.3 % कार्बन पर यूटेक्टिक द्रव को लेडेब्यूराइट में बदलता है: L → γ + Fe3C। लगभग 1493 °C पर पेरिटेक्टिक (δ + L → γ) बहुत निम्न कार्बन पर है। ऑस्टेनाइट लगभग 2.1 % कार्बन तक घोलता है, जो इस्पात व ढलवाँ लोहे के बीच परंपरागत सीमा है; फ़ेराइट केवल लगभग 0.022 % घोलता है। 0.76 % से नीचे इस्पात अव-यूटेक्टॉइड (पूर्व-यूटेक्टॉइड फ़ेराइट व पर्लाइट) है, उससे ऊपर अति-यूटेक्टॉइड (पूर्व-यूटेक्टॉइड सीमेंटाइट व पर्लाइट)।
| उपचार | चक्र | परिणामी संरचना | गुणों पर प्रभाव |
|---|---|---|---|
| पूर्ण तापानुशीतन | ऑस्टेनाइटीकरण, भट्ठी में शीतलन | स्थूल पर्लाइट | सबसे नरम, सर्वाधिक तन्य, प्रतिबल मुक्त |
| सामान्यीकरण | ऑस्टेनाइटीकरण, स्थिर वायु में शीतलन | सूक्ष्म पर्लाइट, परिष्कृत कण | तापानुशीतित से अधिक सशक्त व कठोर, एकसमान |
| कठोरीकरण | ऑस्टेनाइटीकरण, जल या तेल में शमन | मार्टेन्साइट (अतिसंतृप्त अंतःकेंद्रित चतुष्कोणीय) | अत्यंत कठोर व भंगुर, उच्च अवशिष्ट प्रतिबल |
| पायन (टेम्परिंग) | कठोरित इस्पात को 727 °C से नीचे पुनः तापन | पायित मार्टेन्साइट | कुछ कठोरता के बदले चीमड़पन |
| ऑस्टेम्परिंग | मार्टेन्साइट आरंभ से ऊपर तक शमन, समतापी धारण | बेनाइट | कम विरूपण के साथ चीमड़ व कठोर |
| पृष्ठ कठोरीकरण (कार्बनीकरण, नाइट्रीकरण, प्रेरण, ज्वाला) | केवल सतह को समृद्ध या तप्त करें, फिर शमन | चीमड़ क्रोड पर कठोर मार्टेन्साइटी आवरण | आघात प्रतिरोध सहित घिसाव प्रतिरोध, जैसे गियर व कैम में |
तन्य धातु के अभियांत्रिक प्रतिबल-विकृति वक्र पर, आनुपातिक सीमा तक प्रतिबल विकृति के अनुक्रमानुपाती है (ढाल E), पदार्थ पराभव करता है (मृदु इस्पात में स्पष्ट ऊपरी व निचला पराभव बिंदु, अन्यत्र 0.2 % अंतरित पराभव), चरम तनन सामर्थ्य तक विकृति-कठोरित होता है, फिर उसमें ग्रीवायन होता है और अभियांत्रिक प्रतिबल विभंग तक गिरता है। वास्तविक प्रतिबल σ_T = σ(1 + ε) व वास्तविक विकृति ε_T = ln(1 + ε) ग्रीवायन तक मान्य हैं; वास्तविक वक्र बढ़ता रहता है। प्रति इकाई आयतन प्रत्यास्थ भाग के नीचे का क्षेत्रफल प्रत्यास्थता ऊर्जा (रेज़िलिएंस) σ_y²/(2E) है; पूरे वक्र के नीचे का क्षेत्रफल चीमड़पन है। प्रतिशत दीर्घीकरण व क्षेत्रफल में कमी तन्यता मापते हैं।
3. संतुलन, प्रतिबल-विकृति संबंध, विफलता सिद्धांत व मोर वृत्त
दृढ़ पिंड पर कोई भी बल-निकाय चुने गए बिंदु पर एक तुल्य बल-बलयुग्म निकाय में घटता है: एक परिणामी बल R = ΣF व एक बलयुग्म M = Σ(r × F)। पिंड संतुलन में है जब दोनों शून्य हों, जो समतल में तीन अदिश समीकरण देता है, ΣFx = 0, ΣFy = 0 व ΣM = 0 — अतः समतलीय मुक्त-पिंड आरेख अधिकतम तीन अज्ञात दे सकता है। पिंड को पूर्णतः पृथक करके और प्रत्येक आधार को उसकी संभव प्रतिक्रियाओं से बदलकर मुक्त पिंड खींचें: रोलर अपनी सतह के लंबवत एक बल, पिन दो बल घटक, स्थिर आधार दो बल व एक आघूर्ण। द्वि-बल अवयव अपना भार दोनों बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश वहन करता है।
प्रत्यास्थ परास में हुक का नियम प्रतिबल व विकृति को जोड़ता है, σ = Eε व τ = Gγ, और खिंची छड़ पॉयसन अनुपात ν = −ε_पार्श्व/ε_अक्षीय से पार्श्वतः सिकुड़ती है। समदैशिक पदार्थ के तीन प्रत्यास्थ नियतांक स्वतंत्र नहीं हैं: E = 2G(1 + ν) = 3K(1 − 2ν)। चूँकि K ऋणात्मक हुए बिना ν 0.5 से अधिक नहीं हो सकता, ν = 0.5 असंपीड्य सीमा है। त्रिविमा में ε_x = [σ_x − ν(σ_y + σ_z)]/E, और पिंड की आयतनिक विकृति ε_v = ε_x + ε_y + ε_z है।
समतल प्रतिबल हेतु मोर वृत्त: (σx, τxy) व (σy, −τxy) अंकित करें; उनसे होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र C = (σx + σy)/2 व त्रिज्या R = √[((σx − σy)/2)² + τxy²] है। मुख्य प्रतिबल σ1,2 = C ± R हैं, अधिकतम समतलीय अपरूपण प्रतिबल R है, मुख्य तल tan 2θp = 2τxy/(σx − σy) पर हैं, और अवयव का θ घूर्णन वृत्त पर 2θ है। σx = 80 MPa, σy = 20 MPa, τxy = 40 MPa हेतु: C = 50, R = √(30² + 40²) = 50, अतः σ1 = 100 MPa, σ2 = 0 और अधिकतम समतलीय अपरूपण 50 MPa है।
| सिद्धांत | विफलता जब | अनुमानित अपरूपण पराभव | उपयुक्त |
|---|---|---|---|
| अधिकतम मुख्य प्रतिबल (रैंकिन) | σ1 = σ_ut | τ_y = σ_y | भंगुर पदार्थ |
| अधिकतम अपरूपण प्रतिबल (ट्रेस्का, गेस्ट) | (σ1 − σ3)/2 = σ_y/2 | τ_y = 0.5 σ_y | तन्य पदार्थ, सावधान (सुरक्षित पक्ष) |
| अधिकतम विरूपण ऊर्जा (फ़ॉन मीज़ेस, हेन्की) | σ1² + σ2² − σ1σ2 = σ_y² (समतल प्रतिबल) | τ_y = σ_y/√3 = 0.577 σ_y | तन्य पदार्थ, परीक्षण आँकड़ों के सबसे निकट |
| अधिकतम मुख्य विकृति (सेंट वेनां) | σ1 − ν(σ2 + σ3) = σ_y | τ_y = σ_y/(1 + ν) | अब विरले प्रयुक्त |
4. बंकन व अपरूपण प्रतिबल, धरन विक्षेप, पतले व मोटे बेलन, ऐंठन
बंकन सूत्र M/I = σ/y = E/R बंकन प्रतिबल σ = My/I देता है, उदासीन अक्ष पर शून्य व बाह्य तंतु पर सबसे अधिक, अतः परिच्छेद मापांक Z = I/y_max (आयत हेतु bd²/6, ठोस वृत्त हेतु πd³/32) के साथ σ_max = M/Z। अनुप्रस्थ अपरूपण प्रतिबल τ = VQ/(Ib) है, जहाँ Q विचाराधीन तंतु से परे क्षेत्रफल का प्रथम आघूर्ण है; यह बाह्य तंतु पर शून्य है और उदासीन अक्ष पर शिखर पर, आयत हेतु औसत का 1.5 गुना व ठोस वृत्त हेतु 4/3 गुना।
| स्थिति | अधिकतम विक्षेप | अधिकतम ढाल |
|---|---|---|
| प्रास धरन, मुक्त सिरे पर बिंदु भार P | PL³/(3EI) | PL²/(2EI) |
| प्रास धरन, लंबाई L पर समवितरित भार w | wL⁴/(8EI) | wL³/(6EI) |
| सरल आधारित, केंद्रीय बिंदु भार P | PL³/(48EI) | PL²/(16EI) |
| सरल आधारित, समवितरित भार w | 5wL⁴/(384EI) | wL³/(24EI) |
आंतरिक दाब p के अधीन पतला बेलन (t < d/20) वलय प्रतिबल σ_h = pd/(2t) व अनुदैर्ध्य प्रतिबल σ_l = pd/(4t) वहन करता है, वलय मान का आधा — अतः पतला बॉयलर खोल पहले लंबाई के अनुदिश फटता है। पतला गोला हर दिशा में pd/(4t) वहन करता है। मोटे बेलन में प्रतिबल दीवार में बदलते हैं और लामे के समीकरणों का पालन करते हैं, σ_r = A − B/r² व σ_θ = A + B/r², जहाँ A व B दोनों त्रिज्याओं पर दाबों से नियत होते हैं; वलय प्रतिबल आंतरिक सतह पर सबसे अधिक है। केवल आंतरिक दाब हेतु छिद्र पर σ_θ = p(r_o² + r_i²)/(r_o² − r_i²)।
वृत्तीय शाफ़्ट की ऐंठन: T/J = τ/r = Gθ/L, ध्रुवीय आघूर्ण J = πd⁴/32 (ठोस) या π(D⁴ − d⁴)/32 (खोखला) सहित। ठोस शाफ़्ट का पृष्ठ अपरूपण प्रतिबल 16T/(πd³) है। ऐंठन दृढ़ता GJ/L है, और श्रेणी में शाफ़्ट ऐंठन कोण जोड़ते हैं जबकि समांतर में शाफ़्ट अपनी दृढ़ता के अनुपात में बलाघूर्ण बाँटते हैं। संचरित शक्ति P = 2πNT/60 है, N rpm में।
5. समतलीय यंत्रावली, कैम व अनुगामी, गवर्नर व गतिपालक चक्र
समतलीय यंत्रावली की गतिशीलता ग्रूबलर निकष का पालन करती है, F = 3(n − 1) − 2j − h, जहाँ n ढाँचे सहित कड़ियाँ, j निम्न युग्म (घूर्णी या सर्पी, प्रत्येक एक स्वातंत्र्य कोटि) व h उच्च युग्म गिनता है। चार-दंड कड़ी में n = 4, j = 4, अतः F = 1। ग्राशॉफ़ चार-दंड (s + l ≤ p + q, सबसे छोटी व सबसे लंबी का योग अन्य दो से अधिक नहीं) में कम से कम एक कड़ी पूर्ण घूम सकती है: क्रैंक-रॉकर हेतु सबसे छोटी के बगल की कड़ी, द्वि-क्रैंक हेतु स्वयं सबसे छोटी, और द्वि-रॉकर हेतु सबसे छोटी के सम्मुख कड़ी स्थिर करें। सर्पी-क्रैंक अपने व्युत्क्रमों सहित प्रत्यागामी इंजन, व्हिटवर्थ तथा क्रैंक-व-खाँचेदार-उत्तोलक द्रुत-वापसी गतियाँ देता है।
वेग विश्लेषण तात्क्षणिक केंद्रों का उपयोग करता है: n कड़ियों की यंत्रावली में n(n − 1)/2 होते हैं, और केनेडी प्रमेय कहता है कि किन्हीं तीन कड़ियों के तीन तात्क्षणिक केंद्र एक सरल रेखा पर होते हैं। किसी बिंदु का वेग ω गुणा ढाँचे के साथ उसकी कड़ी के तात्क्षणिक केंद्र से उसकी दूरी है। ω पर घूमती कड़ी के बिंदु के त्वरण का एक अभिकेंद्र भाग ω²r केंद्र की ओर व एक स्पर्शरेखीय भाग αr है; घूमती कड़ी पर सर्पी कोरिऑलिस घटक 2vω जोड़ता है।
कैम अनुगामी (धार-नुकीला, रोलर, सपाट-मुख) को उत्थान, विराम व वापसी से चलाता है। एकसमान वेग गति के सिरों पर अनंत त्वरण होता है और वह केवल संशोधनों सहित प्रयुक्त होती है; सरल आवर्त गति में त्वरण सीमित है पर सिरों पर उछाल है; एकसमान त्वरण व मंदन (परवलयिक) दिए उत्थान हेतु न्यूनतम अधिकतम त्वरण देता है; चक्रजीय गति के दोनों सिरों पर त्वरण शून्य है और उच्च गति हेतु उपयुक्त है। दाब कोण — अनुगामी की गति-दिशा व उभयनिष्ठ अभिलंब के बीच — पार्श्व प्रणोद कम रखने हेतु छोटा रहना चाहिए (स्थानांतरी रोलर अनुगामी हेतु लगभग 30° एक सामान्य सीमा है); बड़ा आधार वृत्त इसे घटाता है।
गवर्नर ईंधन नियंत्रित करके अनेक चक्रों में माध्य गति नियंत्रित करता है; गतिपालक चक्र ऊर्जा संचित करके एक चक्र के भीतर उतार-चढ़ाव नियंत्रित करता है, और कोई दूसरे का काम नहीं करता। वाट गवर्नर हेतु ऊँचाई h = g/ω² (N rpm में होने पर h ≈ 895/N² मीटर), अतः ऊँचाई गति के वर्ग के साथ घटती है। पोर्टर (भारित केंद्रीय स्लीव) व हार्टनेल (कमानी-भारित) गवर्नर अधिक शक्तिशाली हैं। शब्द: सुग्राही — छोटा गति परिवर्तन स्लीव को बहुत खिसकाता है; स्थायी — घूर्णन त्रिज्या गति के साथ बढ़ती है; समकालिक — सभी त्रिज्याओं हेतु एक संतुलन गति, अनंत सुग्राही और हंटिंग प्रवृत्त। गतिपालक चक्र हेतु ऊर्जा का अधिकतम उतार-चढ़ाव ΔE = Iω²C_s है, जहाँ ω माध्य गति है व गति-उतार-चढ़ाव गुणांक C_s = (ω_max − ω_min)/ω।
6. जोड़, फिट, शाफ़्ट, चाबी, युग्मक, गियर, पट्टे, ब्रेक व क्लच का अभिकल्प
- बोल्टित जोड़: बोल्ट उसके तनन प्रतिबल क्षेत्रफल पर अभिकल्पित होता है; प्रारंभिक पूर्वभार जोड़ को बंद रखता है ताकि बोल्ट बाह्य भार का केवल एक अंश देखे, जिसका हिस्सा बोल्ट बनाम अवयवों की दृढ़ता से तय होता है।
- रिवेटित जोड़ रिवेटों के बीच प्लेट के विदरण, P_t = (p − d)tσ_t, रिवेटों के अपरूपण, प्रति अपरूपण तल P_s = n(π/4)d²τ, या कुचलन, P_c = n d t σ_c, से विफल होते हैं। जोड़ दक्षता = तीनों में न्यूनतम भाग बिना-छिद्रित प्लेट की सामर्थ्य p t σ_t।
- वेल्डित जोड़: पाद s का फ़िलेट वेल्ड अपने कंठ के आर-पार विफल होता है, t = s cos 45° = 0.707s, अतः लंबाई L का समांतर फ़िलेट प्रति वेल्ड P = 0.707 s L τ वहन करता है; बट वेल्ड प्लेट मोटाई पर अभिकल्पित होता है।
- व्यतिकरण (संकुचन) फिट: ठोस शाफ़्ट व समान पदार्थ के हब (बाह्य व्यास D) के बीच व्यासीय व्यतिकरण δ संपर्क दाब p = (Eδ/2d)(1 − d²/D²) उत्पन्न करता है; वह घर्षण द्वारा जो बलाघूर्ण संचारित कर सकता है वह T = μpπd²L/2 है।
- संयुक्त बंकन M व बलाघूर्ण T के अधीन शाफ़्ट: अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत से तुल्य बलाघूर्ण T_e = √(M² + T²) व d³ = 16T_e/(πτ); अधिकतम अभिलंब प्रतिबल से तुल्य आघूर्ण M_e = [M + √(M² + T²)]/2 व d³ = 32M_e/(πσ)।
- चाबियाँ चौड़ाई के आर-पार अपरूपण, τ = 2T/(w l d), व पार्श्व फलक पर कुचलन से बलाघूर्ण संचारित करती हैं, शाफ़्ट में आधी धँसी चाबी हेतु σ_c = 4T/(h l d)। युग्मक: संरेखित शाफ़्टों हेतु दृढ़ (स्लीव, फ़्लैंज); जहाँ असंरेखण हो वहाँ नम्य (बुश-पिन, ओल्डहम, सार्वत्रिक जोड़)।
- स्पर गियर: मापांक m = d/z, वृत्तीय पिच πm; पिच-रेखा वेग अनुपात ω1/ω2 = z2/z1। लुइस समीकरण दाँत की धरन सामर्थ्य देता है, F_t = σ_b b m Y, फलक चौड़ाई b व रूप गुणांक Y सहित; प्रयुक्त दाब कोण हेतु पिनियन दाँतों की न्यूनतम संख्या से व्यतिकरण टाला जाता है (14.5° हेतु 20° से अधिक)।
- पट्टा चालन: सपाट पट्टे हेतु T1/T2 = eμθ (θ छोटी घिरनी पर आलिंगन कोण, रेडियन में), V-पट्टे हेतु eμθ/sin β, β अर्ध खाँचा कोण। शक्ति = (T1 − T2)v। अपकेंद्री तनाव T_c = mv² दोनों ओर जुड़ता है; शक्ति सबसे अधिक है जब T_c = T_max/3।
- ब्रेक: पट्टा ब्रेक उसी eμθ तनाव अनुपात का पालन करता है, ब्रेकन बलाघूर्ण (T1 − T2)r; गुटका ब्रेक ड्रम पर घर्षण μN देता है। क्लच (एकल प्लेट, प्रति घर्षण सतह): एकसमान घिसाव, T = μW(R1 + R2)/2; एकसमान दाब, T = (2/3)μW(R1³ − R2³)/(R1² − R2²)। नया क्लच एकसमान दाब के निकट होता है, घिसा हुआ एकसमान घिसाव के, जो सुरक्षित (कम) अभिकल्प मान है।
घर्षण व स्नेहन: शुष्क (कूलॉम) घर्षण F = μN देता है, आभासी क्षेत्रफल से स्वतंत्र। जर्नल बेयरिंग, गति बढ़ने पर, सीमा स्नेहन (खुरदुरेपन संपर्क में, उच्च μ) से मिश्रित होकर द्रवगतिक स्नेहन तक जाता है, जहाँ पूरी तेल परत भार वहन करती है और μ गति के साथ केवल धीरे-धीरे पुनः बढ़ता है। हल्के भारित संकेंद्रीय जर्नल हेतु पेट्रॉफ़ समीकरण, f = 2π²(μN/P)(r/c), दिखाता है कि घर्षण श्यानता μ व गति N के साथ बढ़ता है और बेयरिंग दाब P के साथ घटता है; विमाहीन समूह μN/P (सोमरफ़ेल्ड चर) वह है जिसके विरुद्ध स्ट्रिबेक वक्र अंकित होता है।
7. तरल स्थैतिकी, बर्नूली, पाइप प्रवाह, सांतत्य व संवेग, केशिकत्व, विमीय विश्लेषण
स्थिर तरल में दाब गहराई के साथ रैखिक बढ़ता है, p = p0 + ρgh, और सभी दिशाओं में समान कार्य करता है। निमग्न समतल सतह पर परिणामी बल F = ρg h̄ A है (h̄ केंद्रक की गहराई), जो दाब केंद्र पर कार्य करता है, जो ऊर्ध्वाधर सतह हेतु केंद्रक से सदा I_G/(A h̄) नीचे होता है। असंपीड्य प्रवाह हेतु सांतत्य A1V1 = A2V2 है। स्थायी, अश्यान, असंपीड्य प्रवाह की धारारेखा के अनुदिश बर्नूली समीकरण p/ρg + V²/2g + z = नियतांक; हानियों सहित अनुप्रवाह पक्ष पर शीर्ष-हानि पद h_L जुड़ता है। नियंत्रण आयतन हेतु संवेग समीकरण, ΣF = ρQ(V_निर्गत − V_आगत), मोड़ों, तुंडों व फलकों पर बल देता है।
पाइप प्रवाह लगभग 2000 की रेनॉल्ड्स संख्या Re = ρVD/μ से नीचे स्तरीय और उससे काफ़ी ऊपर विक्षुब्ध होता है। डार्सी-वाइसबाख समीकरण, h_f = fLV²/(2gD), दोनों हेतु घर्षण शीर्ष-हानि देता है; स्तरीय प्रवाह में f = 64/Re, जो हेगन-पॉइज़ुई परिणाम Δp = 32μVL/D² पुनः देता है, और वेग परिच्छेदिका परवलयिक है जिसका अधिकतम माध्य का दोगुना है। विक्षुब्ध प्रवाह में f Re व सापेक्ष खुरदुरेपन पर निर्भर है (मूडी चार्ट) और परिच्छेदिका कहीं अधिक सपाट है। मोड़ों, वाल्वों व अचानक प्रसार पर लघु हानियाँ K V²/(2g) लिखी जाती हैं।
केशिका क्रिया: व्यास d की नली में पृष्ठ तनाव σ द्रव को ऊँचाई h = 4σ cos θ/(ρgd) तक उठाता (या दबाता) है। जल स्वच्छ काँच को गीला करता है (θ ≈ 0) और चढ़ता है; पारा (θ > 90°) दब जाता है। चढ़ाव व्यास के व्युत्क्रमानुपाती है, अतः छिद्र आधा करने से वह दोगुना होता है। बकिंघम π प्रमेय द्वारा विमीय विश्लेषण: m मूल विमाओं में n चर n − m स्वतंत्र विमाहीन समूह बनाते हैं। रेनॉल्ड्स (जड़त्व/श्यान), फ़्रूड (जड़त्व/गुरुत्व), वेबर (जड़त्व/पृष्ठ तनाव), मैक (जड़त्व/संपीड्यता) व ऑयलर (दाब/जड़त्व) संख्याएँ वे हैं जिन पर मॉडल मिलाए जाते हैं।
8. ऊष्मागतिकी के नियम, कार्य व ऊष्मा, वायु-मानक चक्र, चालन, संवहन व विकिरण
शून्यांकी नियम — किसी तीसरे से ऊष्मीय संतुलन में दो पिंड परस्पर संतुलन में हैं — ही तापमापी को अर्थपूर्ण बनाता है। संवृत निकाय हेतु प्रथम नियम Q − W = ΔU है; स्थायी-प्रवाह नियंत्रण आयतन हेतु वह स्थायी-प्रवाह ऊर्जा समीकरण बनता है, प्रति इकाई द्रव्यमान q − w = (h2 − h1) + (V2² − V1²)/2 + g(z2 − z1)। द्वितीय नियम अपने केल्विन-प्लांक रूप में उस चक्र को निषिद्ध करता है जो एक भंडार की ऊष्मा पूर्णतः कार्य में बदले, और क्लॉसियस रूप में ऊष्मा का बिना सहायता ठंडे से गर्म की ओर बहना; साथ मिलकर वे हर इंजन को कार्नो दक्षता 1 − T_L/T_H पर सीमित करते हैं और एन्ट्रॉपी प्रस्तुत करते हैं, dS ≥ δQ/T।
| प्रक्रम | नियम | गैस द्वारा किया गया कार्य |
|---|---|---|
| स्थिर आयतन | V = स्थिर | 0 |
| स्थिर दाब | p = स्थिर | p(V2 − V1) |
| समतापी | pV = स्थिर | p1V1 ln(V2/V1) |
| बहुदैशिक (n = γ होने पर रुद्धोष्म) | pV^n = स्थिर | (p1V1 − p2V2)/(n − 1) |
वायु-मानक चक्र दहन को आदर्श गैस माने गए वायु में ऊष्मा-योग से बदलते हैं। ऑटो (स्थिर-आयतन ऊष्मा-योग): η = 1 − 1/rγ−1, केवल संपीडन अनुपात r पर निर्भर — r = 8 व γ = 1.4 हेतु 56.5 %। डीज़ल (स्थिर-दाब ऊष्मा-योग): η = 1 − (1/rγ−1)[(ρ^γ − 1)/(γ(ρ − 1))], विच्छेद अनुपात ρ सहित; समान r हेतु डीज़ल ऑटो से कम दक्ष है, पर वह कहीं अधिक r पर चलता है। द्वैत दोनों को मिलाता है। ब्रेटन (गैस टरबाइन): η = 1 − 1/r_p(γ−1)/γ, दाब अनुपात r_p पर निर्भर।
चालन फ़ूरिये नियम का पालन करता है, Q = −kA dT/dx, अतः समतल दीवार Q = kAΔT/L चालित करती है और उसका ऊष्मीय प्रतिरोध L/(kA) है; श्रेणी में प्रतिरोध विद्युत प्रतिरोधों की तरह जुड़ते हैं। संवहन न्यूटन के शीतलन नियम का पालन करता है, Q = hAΔT, प्रतिरोध 1/(hA)। कृष्ण पिंड से विकिरण प्रति इकाई क्षेत्रफल σT⁴ है, σ = 5.67 × 10⁻⁸ W/m²K⁴; धूसर पिंड εσT⁴ उत्सर्जित करता है, और शुद्ध विनिमय T1⁴ − T2⁴ पर निर्भर है, तापांतर पर कभी नहीं। छोटी पाइप को ऊष्मारोधित करने से ऊष्मा हानि बढ़ सकती है जब तक बाह्य त्रिज्या क्रांतिक त्रिज्या r_c = k/h (गोले हेतु 2k/h) पार न करे।
मुख्य बिंदु
- BCC 0.68 तक तथा FCC व HCP 0.74 तक संकुलित होते हैं; यूटेक्टॉइड (727 °C, लगभग 0.76 % C) पर्लाइट देता है, यूटेक्टिक (लगभग 1147 °C, 4.3 % C) लेडेब्यूराइट, और उत्तोलक नियम सदा विपरीत खंड पढ़ता है।
- मोर वृत्त: केंद्र (σx + σy)/2, त्रिज्या √[((σx − σy)/2)² + τ²]; ट्रेस्का अपरूपण पराभव 0.5σ_y पर व फ़ॉन मीज़ेस 0.577σ_y पर अनुमानित करते हैं, और समतल प्रतिबल में ट्रेस्का को σ3 = 0 गिनना चाहिए।
- पतला बेलन: वलय pd/2t अनुदैर्ध्य pd/4t का दोगुना; ऐंठन T/J = τ/r = Gθ/L; धरन विक्षेप PL³/3EI (प्रास) तथा PL³/48EI या 5wL⁴/384EI (सरल आधारित)।
- साथ रखने योग्य अभिकल्प सूत्र: शाफ़्ट हेतु T_e = √(M² + T²), पट्टों व पट्टा ब्रेक हेतु θ रेडियन में लेकर T1/T2 = eμθ, एकसमान-घिसाव क्लच बलाघूर्ण μW(R1 + R2)/2, फ़िलेट कंठ 0.707s।
- स्तरीय पाइप प्रवाह में f = 64/Re; केशिका चढ़ाव 4σcosθ/(ρgd) व्यास के साथ घटता है; ऑटो दक्षता 1 − 1/rγ−1 व ब्रेटन 1 − 1/r_p(γ−1)/γ; सभी कार्नो व विकिरण ताप केल्विन में।
अभ्यास प्रश्न (16)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
फलक-केंद्रित घनीय क्रिस्टल का परमाणु संकुलन गुणांक क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: C — 0.74
FCC में प्रति कोष्ठिका 4 परमाणु व a = 4R/√2 है, अतः संकुलन गुणांक 4 × (4/3)πR³ / a³ = 0.74 है, HCP के समान। 0.68 BCC है, जो सामान्य भ्रम है, और 0.52 सरल घनीय है।लौह-लौह कार्बाइड आरेख के यूटेक्टॉइड बिंदु पर कौन-सी अभिक्रिया होती है?
उत्तर देखें
उत्तर: A — ऑस्टेनाइट → फ़ेराइट + सीमेंटाइट
727 °C पर यूटेक्टॉइड एक ठोस-अवस्था अभिक्रिया है, γ → α + Fe3C, जिसका उत्पाद पर्लाइट है। द्रव → ऑस्टेनाइट + सीमेंटाइट यूटेक्टिक (लेडेब्यूराइट) है, δ + L → γ पेरिटेक्टिक है, और ऑस्टेनाइट → मार्टेन्साइट एक असंतुलित शमन रूपांतरण है जो संतुलन आरेख पर दिखता ही नहीं।0.4 भार% C वाले सादे कार्बन इस्पात को धीरे-धीरे 727 °C से ठीक नीचे तक ठंडा किया जाता है। यूटेक्टॉइड संघटन 0.76 भार% C व फ़ेराइट में कार्बन विलेयता 0.022 भार% लेते हुए, सूक्ष्मसंरचना का कितना प्रतिशत पर्लाइट है? (एक दशमलव स्थान तक उत्तर दें।)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 51.2
727 °C से ठीक नीचे यूटेक्टॉइड पर उपस्थित सारा ऑस्टेनाइट पर्लाइट बन जाता है, अतः फ़ेराइट (0.022) व यूटेक्टॉइड (0.76) के बीच उत्तोलक नियम लगाएँ: पर्लाइट अंश = (0.4 − 0.022)/(0.76 − 0.022) = 0.378/0.738 = 0.512, अर्थात् 51.2 %। निकट खंड पढ़ने से, (0.76 − 0.4)/0.738 = 48.8 %, पूर्व-यूटेक्टॉइड फ़ेराइट मिलता है, जो लुभावना ग़लत उत्तर है।किसी इस्पात गियर की सतह कठोर व घिसाव-प्रतिरोधी तथा क्रोड आघात सह सकने योग्य चीमड़ होना चाहिए। कौन-सा उपचार यह प्राप्त करता है?
उत्तर देखें
उत्तर: C — कार्बनीकरण के बाद शमन व पायन
कार्बनीकरण केवल सतह को कार्बन से समृद्ध करता है, अतः शमन आवरण को कठोर मार्टेन्साइट बनाता है जबकि निम्न-कार्बन क्रोड चीमड़ रहता है; पायन फिर शमन प्रतिबल मुक्त करता है। तापानुशीतन व सामान्यीकरण पूरे परिच्छेद को नरम करते हैं, और अपायित पूर्ण-कठोरित गियर हर जगह कठोर व क्रोड में भंगुर है, जो आघात भार की आवश्यकता का उलटा है।समतल प्रतिबल में किसी बिंदु पर σx = 80 MPa, σy = 20 MPa व τxy = 40 MPa है। अधिकतम समतलीय अपरूपण प्रतिबल MPa में क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 50
मोर वृत्त की त्रिज्या अधिकतम समतलीय अपरूपण है: R = √[((80 − 20)/2)² + 40²] = √(900 + 1600) = 50 MPa। मुख्य प्रतिबल 50 ± 50, अर्थात् 100 व 0 MPa हैं। केवल (σx − σy)/2 = 30 MPa लेना लगाए गए अपरूपण की उपेक्षा करता है, और σ1/2 लेना यहाँ 50 केवल इसलिए देता है कि σ2 = 0 है।विफलता सिद्धांतों के विषय में निम्नलिखित में कौन-से कथन सही हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — तन्य पदार्थ हेतु अधिकतम अपरूपण प्रतिबल (ट्रेस्का) सिद्धांत विरूपण ऊर्जा (फ़ॉन मीज़ेस) सिद्धांत से अधिक सावधान है; B — फ़ॉन मीज़ेस सिद्धांत शुद्ध अपरूपण में पराभव τ = σ_y/√3 पर अनुमानित करता है; D — ट्रेस्का सिद्धांत शुद्ध अपरूपण में पराभव τ = 0.5σ_y पर अनुमानित करता है
ट्रेस्का का षट्भुज फ़ॉन मीज़ेस दीर्घवृत्त के भीतर है, अतः वह पराभव पहले अनुमानित करता है — अधिक सावधान। शुद्ध अपरूपण में σ1 = τ, σ2 = −τ: फ़ॉन मीज़ेस 3τ² = σ_y², τ = 0.577σ_y देता है, और ट्रेस्का 2τ = σ_y, τ = 0.5σ_y। अधिकतम मुख्य प्रतिबल सिद्धांत अपरूपण-चालित पराभव की उपेक्षा करता है और भंगुर पदार्थों हेतु प्रयुक्त है, अतः वह कथन असत्य है।आंतरिक व्यास 1000 mm व दीवार मोटाई 10 mm का एक पतला बेलनाकार पात्र 2 MPa पर गैस रखता है। दीवार में वलय प्रतिबल MPa में क्या है?
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 100
वलय प्रतिबल σ_h = pd/(2t) = 2 × 1000/(2 × 10) = 100 MPa। अनुदैर्ध्य प्रतिबल pd/(4t) = 50 MPa वह मान है जो दोनों सूत्र मिलाने पर अभ्यर्थी देते हैं; वलय प्रतिबल सदा बड़ा है, इसीलिए पतला खोल लंबाई के अनुदिश विफल होता है।एक ठोस शाफ़्ट 3 kN·m बंकन आघूर्ण व 4 kN·m बलाघूर्ण वहन करता है। 50 MPa अनुमेय अपरूपण प्रतिबल के साथ अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत प्रयोग करते हुए न्यूनतम शाफ़्ट व्यास mm में क्या है? (एक दशमलव स्थान तक उत्तर दें।)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 79.9
तुल्य बलाघूर्ण T_e = √(3² + 4²) = 5 kN·m = 5 × 10⁶ N·mm। फिर d³ = 16T_e/(πτ) = 16 × 5 × 10⁶/(π × 50) = 5.093 × 10⁵ mm³, अतः d = 79.9 mm। केवल बलाघूर्ण (4 kN·m) पर अभिकल्प 74.1 mm देता है, जो शाफ़्ट द्वारा वहन किए जा रहे बंकन की उपेक्षा करता है।एक समतलीय यंत्रावली में 6 कड़ियाँ (ढाँचे सहित) 7 निम्न युग्मों से जुड़ी हैं और कोई उच्च युग्म नहीं। ग्रूबलर निकष से उसकी स्वातंत्र्य कोटि क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: B — 1
F = 3(n − 1) − 2j − h = 3 × 5 − 2 × 7 − 0 = 15 − 14 = 1, वाट या स्टीफ़ेन्सन षट्-दंड जैसी बाधित यंत्रावली। 3(n − 1) के बजाय 3n लेना भूलता है कि ढाँचा स्थिर है और 4 देता है, और युग्मों को कड़ियों के रूप में गिनना अन्य विकल्प देता है।एक खुले सपाट पट्टे का तना-पक्ष तनाव 1000 N, घर्षण गुणांक 0.3 व छोटी घिरनी पर आलिंगन कोण 180° है। अपकेंद्री तनाव की उपेक्षा करते हुए 10 m/s पट्टा गति पर वह कितनी शक्ति संचारित करता है?
उत्तर देखें
उत्तर: B — 6.10 kW
T1/T2 = e0.3π = e0.942 = 2.566, अतः T2 = 1000/2.566 = 389.7 N। शक्ति = (T1 − T2)v = 610.3 × 10 = 6.10 kW। 3.90 kW T2 × v है, ढीले-पक्ष तनाव को प्रभावी खिंचाव मान लेना, और 10 kW T1 × v है, जो भूलता है कि ढीला पक्ष पीछे खींचता है।गवर्नरों, गतिपालक चक्रों व क्लचों के विषय में निम्नलिखित में कौन-से कथन सही हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — गतिपालक चक्र एक चक्र के भीतर गति उतार-चढ़ाव सीमित करता है; गवर्नर भार बदलने पर माध्य गति नियंत्रित करता है; B — समकालिक गवर्नर अनंत सुग्राही है और हंटिंग प्रवृत्त है; D — समान अक्षीय भार व घर्षण त्रिज्याओं हेतु एकसमान-घिसाव मान्यता एकसमान-दाब मान्यता से कम क्लच बलाघूर्ण देती है
गतिपालक चक्र व गवर्नर भिन्न कार्य करते हैं, और समकालिक गवर्नर, हर त्रिज्या हेतु एक गति सहित, अनंत सुग्राही है और हंटिंग करता है। वाट ऊँचाई h = g/ω² है, अतः गति दोगुनी करने से ऊँचाई एक-चौथाई होती है — वह कथन असत्य है। एकसमान घिसाव μW(R1 + R2)/2 देता है, जो सदा एकसमान-दाब मान से थोड़ा कम है, अतः वह सुरक्षित अभिकल्प मान्यता है।50 mm व्यास का एक ठोस इस्पात शाफ़्ट 100 mm बाह्य व्यास के इस्पात हब में 0.05 mm व्यासीय व्यतिकरण के साथ संकुचित किया जाता है। दोनों हेतु E = 200 GPa लेते हुए अंतरापृष्ठ पर संपर्क दाब क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: B — 75 MPa
समान पदार्थ के हब में ठोस शाफ़्ट हेतु p = (Eδ/2d)(1 − d²/D²) = (200 000 × 0.05/100)(1 − 0.25) = 100 × 0.75 = 75 MPa। 100 MPa (1 − d²/D²) गुणक छोड़ देता है, हब को अनंत मोटा मानकर, और 150 MPa 2 के गुणक के बिना δ/d लेता है जो व्यतिकरण को शाफ़्ट व हब में बाँटता है।किसी केशिका नली में जल जिस ऊँचाई तक चढ़ता है वह अपने मूल मान का आधा हो जाता है। अन्य बातें समान रहने पर नली व्यास कैसे बदला है?
उत्तर देखें
उत्तर: B — यह दोगुना हो गया है
केशिका चढ़ाव h = 4σ cos θ/(ρgd) व्यास के व्युत्क्रमानुपाती है, अतः h आधा होने का अर्थ है व्यास दोगुना हुआ। चार गुना तभी होता जब h 1/d² के अनुसार चलता, जो क्षेत्रफल है, वह परिधि नहीं जिसके अनुदिश पृष्ठ तनाव कार्य करता है।वृत्तीय पाइप में पूर्ण विकसित स्तरीय प्रवाह हेतु डार्सी घर्षण गुणांक रेनॉल्ड्स संख्या पर कैसे निर्भर है?
उत्तर देखें
उत्तर: B — f = 64/Re
हेगन-पॉइज़ुई हल Δp = 32μVL/D² देता है, जो h_f = fLV²/(2gD) से केवल तब मेल खाता है जब f = 64/Re। 16/Re फ़ैनिंग घर्षण गुणांक है, डार्सी का एक-चौथाई; 0.316/Re^0.25 चिकने विक्षुब्ध प्रवाह हेतु ब्लेसियस सहसंबंध है; और Re से स्वतंत्रता पूर्णतः खुरदुरे विक्षुब्ध प्रवाह की है।एक वायु-मानक ऑटो चक्र का संपीडन अनुपात 8 है। γ = 1.4 लेते हुए उसकी ऊष्मीय दक्षता प्रतिशत में क्या है? (एक दशमलव स्थान तक उत्तर दें।)
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 56.5
η = 1 − 1/rγ−1 = 1 − 1/80.4 = 1 − 1/2.297 = 1 − 0.4353 = 0.5647, अर्थात् 56.5 %। घातांक में γ − 1 के स्थान पर γ लेने से 1 − 8−1.4 = 94.6 % आता है, जो किसी वास्तविक इंजन की पहुँच से बहुत ऊपर है, और यही उस भूल का चेतावनी संकेत है।ऊष्मा 0.2 K/W व 0.3 K/W ऊष्मीय प्रतिरोध की श्रेणी में दो परतों से बनी भट्ठी दीवार से बहती है, पूरी दीवार के आर-पार 500 K तापांतर सहित। ऊष्मा प्रवाह क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: A — 1000 W
श्रेणी ऊष्मीय प्रतिरोध विद्युत प्रतिरोधकों की तरह जुड़ते हैं: R = 0.2 + 0.3 = 0.5 K/W, अतः Q = ΔT/R = 500/0.5 = 1000 W। 4167 W परतों को समांतर मानता है (R = 0.12 K/W), और 2500 W केवल पहली परत प्रयोग करता है।