प्रकाशिक भौतिकी: तरंगें, कलासंबद्धता व व्यतिकरण, फ़्रेनेल व फ़्राउनहोफ़र विवर्तन, ग्रेटिंग, जोन्स कलन, किरण आव्यूह व लेज़र
1. तरंग समीकरण, अध्यारोपण, अप्रगामी तरंगें, कला व समूह वेग
तरंग समीकरण ∇²ψ = (1/v²)∂²ψ/∂t² के हल स्थिर आयाम वाली समतल तरंगें A cos(k·r − ωt) तथा गोलीय तरंगें (A/r)cos(kr − ωt) हैं, जिनका आयाम 1/r की तरह घटता है ताकि किसी भी गोले से शक्ति समान रहे। यह रैखिक है, अतः हल अध्यारोपित होते हैं। विपरीत दिशाओं में चलती दो समान तरंगें अप्रगामी तरंग 2A sin kx cos ωt देती हैं, जिसके निस्पंद λ/2 दूर हैं और कोई ऊर्जा वहन नहीं करते। थोड़ी भिन्न आवृत्तियों की दो तरंगें |f₁ − f₂| पर विस्पंद देती हैं।
एकल आवृत्ति कला वेग v_p = ω/k से चलती है; तरंग-संवेष्टन का आवरण, जो ऊर्जा व सूचना वहन करता है, समूह वेग v_g = dω/dk = v_p − λ dv_p/dλ से चलता है। वे केवल अविक्षेपी माध्यम में बराबर हैं। गहरे जल की तरंगों हेतु ω = √(gk), अतः v_g = v_p/2; ω = ak² हेतु v_g = 2v_p; प्लाज़्मा या तरंगपथक में प्रकाश हेतु ω² = ω_c² + c²k², अतः v_p > c जबकि v_g < c व v_p v_g = c²।
2. कलासंबद्धता व व्यतिकरण: परतें, न्यूटन वलय, माइकेलसन व फ़ैब्री–पेरो
व्यतिकरण हेतु स्थायी कला-संबंध चाहिए। कालिक कलासंबद्धता बैंड-चौड़ाई से तय होती है: Δλ चौड़ाई के स्रोत की कलासंबद्धता लंबाई l_c ≈ λ²/Δλ है (600 nm व Δλ = 0.01 nm हेतु 36 mm) और कलासंबद्धता काल l_c/c; l_c से परे पथांतर फ़्रिंजें मिटा देते हैं। स्थानिक कलासंबद्धता स्रोत के कोणीय आकार θ_s से तय होती है: दो बिंदु कलासंबद्ध हैं यदि उनका पृथक्करण लगभग λ/θ_s से कम हो — इसीलिए दूरस्थ तारा द्वि-रेखाछिद्र को कलासंबद्ध प्रकाशित कर सकता है पर निकट का दीपक नहीं।
| व्यवस्था | प्रतिबंध | टिप्पणी |
|---|---|---|
| परावर्तन में पतली परत (परत दोनों ओर से सघन) | 2nt cos r = (m + ½)λ दीप्त; = mλ अदीप्त | एक अर्ध-तरंग विस्थापन, ऊपरी सतह पर |
| परावर्तन-रोधी लेप (n_air < n < n_glass) | nt = λ/4, आदर्शतः n = √n_glass | दो विस्थापन निरस्त; 550 nm पर MgF₂ (1.38) को t = 99.6 nm चाहिए |
| परावर्तन में न्यूटन वलय | अदीप्त: r_m² = mλR | केंद्र अदीप्त; त्रिज्याएँ √m की तरह बढ़ती हैं |
| माइकेलसन व्यतिकरणमापी | दर्पण d खिसका ⇒ N = 2d/λ फ़्रिंजें | पथ दर्पण की गति का दोगुना बदलता है |
फ़ैब्री–पेरो व्यतिकरणमापी (परावर्तकता R के दो समांतर दर्पण; अंतराल स्थिर हो तो एटलॉन) में बहु-पुंज व्यतिकरण एयरी पारगमन T = 1/(1 + F sin²(δ/2)) देता है, जहाँ सूक्ष्मता गुणांक F = 4R/(1 − R)²। पारगमन शिखर 2nd cos θ = mλ पर हैं, और उनकी तीक्ष्णता सूक्ष्मता (finesse) ℱ = π√R/(1 − R) है — शिखर-अंतराल (मुक्त स्पेक्ट्रमी परास) का शिखर-चौड़ाई से अनुपात। R = 0.9 हेतु ℱ ≈ 29.8। विभेदन क्षमता λ/Δλ ≈ mℱ द्वि-पुंज उपकरण से कहीं अधिक है, इसीलिए एटलॉन अतिसूक्ष्म संरचना विभेदित करता है।
3. विवर्तन: द्वारक, विभेदन, रेखाछिद्र व ग्रेटिंग
विवर्तन फ़्राउनहोफ़र है जब स्रोत व पर्दा प्रभावतः अनंत पर हों (फ़्रेनेल संख्या a²/(Lλ) ≪ 1, या लेंस प्रयुक्त हों) और फ़्रेनेल जब द्वारक के पार तरंगाग्र की वक्रता महत्वपूर्ण हो। a चौड़ाई के एकल रेखाछिद्र के निम्निष्ठ a sin θ = mλ (m ≠ 0) पर हैं और तीव्रता I₀(sin β/β)², β = πa sin θ/λ सहित; आयताकार द्वारक ऐसे दो प्रतिरूपों का गुणनफल देता है। D व्यास का वृत्तीय द्वारक एयरी चक्रिका देता है, प्रथम शून्य sin θ = 1.22λ/D पर। रैले कसौटी — एक प्रतिबिंब का उच्चिष्ठ दूसरे के प्रथम निम्निष्ठ पर — विभेदन सीमा θ_min = 1.22λ/D तय करती है: 550 nm पर 10 cm दूरबीन 6.71 μrad विभेदित करती है।
- द्वि-रेखाछिद्र (पृथक्करण d, चौड़ाई a): एकल-रेखाछिद्र आवरण के नीचे व्यतिकरण फ़्रिंजें cos²(πd sin θ/λ)। जो व्यतिकरण उच्चिष्ठ विवर्तन शून्य पर पड़े वह लुप्त कोटि है: m = d/a × (पूर्णांक)। d = 3a पर कोटियाँ ±3 लुप्त हैं, अतः केंद्रीय आवरण के भीतर 5 दीप्त फ़्रिंजें (m = 0, ±1, ±2) हैं।
- N रेखाछिद्र: d sin θ = mλ पर मुख्य उच्चिष्ठ, तीव्रता ∝ N², पड़ोसी मुख्य उच्चिष्ठों के बीच N − 1 निम्निष्ठ व N − 2 द्वितीयक उच्चिष्ठ, और मुख्य उच्चिष्ठों की कोणीय चौड़ाई ∝ 1/N।
- ग्रेटिंग: d sin θ = mλ, अतः उच्चतम कोटि d/λ से नीचे का सबसे बड़ा m है (600 nm पर 5000 रेखाएँ/cm: d = 2 μm, m_max = 3)। कोणीय विक्षेपण dθ/dλ = m/(d cos θ); विभेदन क्षमता λ/Δλ = mN। द्वितीय कोटि में 500.0 nm को 500.1 nm (λ/Δλ = 5000) से विभेदित करने हेतु N = 2500 प्रदीप्त रेखाएँ चाहिए।
4. जोन्स कलन, द्विअपवर्तन व किरण-स्थानांतरण आव्यूह
| अवयव या अवस्था | जोन्स रूप |
|---|---|
| रैखिक, क्षैतिज / 45° पर | (1, 0) / (1, 1)/√2 |
| वृत्तीय (दोनों दिशाएँ) | (1, i)/√2 and (1, −i)/√2 |
| दीर्घवृत्तीय | (a, b eiφ), a ≠ b या φ ≠ ±π/2 सहित |
| क्षैतिज रैखिक ध्रुवक | [[1, 0], [0, 0]] |
| चतुर्थांश-तरंग पट्टिका, तीव्र अक्ष क्षैतिज | [[1, 0], [0, i]] (एक कला तक) |
| अर्ध-तरंग पट्टिका, तीव्र अक्ष क्षैतिज | [[1, 0], [0, −1]] |
द्विअपवर्तक क्रिस्टल के दो अपवर्तनांक होते हैं, साधारण किरण हेतु n_o व असाधारण हेतु n_e; t मोटाई की पट्टिका एक ध्रुवण को Γ = 2πΔn t/λ से मंदित करती है। चतुर्थांश-तरंग पट्टिका में Δn t = λ/4 — 540 nm पर Δn = 0.009 हेतु t = 15 μm — और वह अपने अक्षों से 45° पर रैखिक प्रकाश को वृत्तीय बना देती है ((1, 1)/√2 पर QWP आव्यूह (1, i)/√2 देता है)। अर्ध-तरंग पट्टिका रैखिक ध्रुवण को उसके व तीव्र अक्ष के बीच के कोण के दोगुने से घुमाती है। ध्रुवक के पीछे मैलस नियम I = I₀cos²θ लागू होता है।
उपाक्षीय किरणें सदिश (y, θ) हैं, और प्रत्येक अवयव 2 × 2 किरण-स्थानांतरण (ABCD) आव्यूह है: d पर मुक्त संचरण [[1, d], [0, 1]]; f फ़ोकस दूरी का पतला लेंस [[1, 0], [−1/f, 1]]; R त्रिज्या का गोलीय दर्पण f = R/2 के लेंस की तरह, [[1, 0], [−2/R, 1]]। निकाय यात्रा के उलटे क्रम में गुणनफल है। लेंस के बाद दूरी f, [[0, f], [−1/f, 1]] देती है: A = 0, अतः प्रत्येक समांतर किरण y = 0 पर पहुँचती है — फ़ोकस बिंदु। एक ही माध्यम में सारणिक 1 है।
5. लेज़र: आइंस्टाइन गुणांक व समष्टि प्रतिलोमन
स्तरों 1 व 2 (समान अपभ्रष्टता) के बीच तीन प्रक्रम प्रतिस्पर्धा करते हैं: दर B₁₂ρ(ν)N₁ पर अवशोषण, उद्दीपित उत्सर्जन B₂₁ρ(ν)N₂ तथा स्वतः उत्सर्जन A₂₁N₂। यह माँगना कि कृष्णिका विकिरण के साथ साम्य प्लांक नियम दे, B₁₂ = B₂₁ (g₁ = g₂ हेतु) व A₂₁/B₂₁ = 8πhν³/c³ देता है। तापीय विकिरण में उद्दीपित का स्वतः उत्सर्जन से अनुपात 1/(ehν/k_BT − 1) है — कक्ष ताप पर दृश्य प्रकाश हेतु अति लघु — अतः उद्दीपित उत्सर्जन केवल तीव्र, अतापीय क्षेत्र तथा निचले से अधिक ऊपरी स्तर के परमाणुओं के साथ प्रभावी हो सकता है: समष्टि प्रतिलोमन, जो तापीय साम्य (N₂/N₁ = e−hν/k_BT < 1) कभी नहीं देता।
- द्वि-स्तरीय निकाय: प्रकाशिक पम्पन अवशोषण व उद्दीपित उत्सर्जन को समान रूप से चलाता है, अतः अधिकतम N₂ → N₁ (संतृप्ति); स्थायी प्रतिलोमन असंभव।
- त्रि-स्तरीय निकाय (रूबी): पम्प 1 → 3, मितस्थायी स्तर 2 तक तीव्र क्षय, लेज़िंग 2 → 1। क्योंकि निचला लेज़र स्तर मूल अवस्था है, आधे से अधिक परमाणु पम्प करने पड़ते हैं — उच्च देहली, प्रायः स्पंदित।
- चतुर्-स्तरीय निकाय (Nd:YAG, He–Ne): निचला लेज़र स्तर मूल अवस्था से ऊपर है और शीघ्र रिक्त होता है, अतः ऊपरी स्तर की कोई भी समष्टि पहले से प्रतिलोमन है — निम्न देहली व सतत संचालन।
- देहली: चक्कर-लब्धि चक्कर-हानि के बराबर होनी चाहिए, R₁R₂e2(g − α)L = 1, और गुहिका c/(2L) अंतराल की अनुदैर्ध्य विधाएँ चुनती है।
मुख्य बिंदु
- v_g = dω/dk ऊर्जा वहन करता है; गहरे जल हेतु v_g = v_p/2, ω ∝ k² हेतु 2v_p, तथा ω² = ω_c² + c²k² हेतु v_p v_g = c²।
- l_c = λ²/Δλ; न्यूटन के अदीप्त वलय r_m² = mλR; माइकेलसन 2d/λ फ़्रिंजें गिनता है; फ़ैब्री–पेरो सूक्ष्मता π√R/(1 − R)।
- θ_min = 1.22λ/D; लुप्त कोटियाँ m = (d/a) × पूर्णांक पर; ग्रेटिंग विभेदन क्षमता mN व उच्चतम कोटि d/λ से नीचे।
- वृत्तीय प्रकाश (1, ±i)/√2 है; QWP को Δn t = λ/4 चाहिए; किरण आव्यूह यात्रा के उलटे क्रम में गुणित होते हैं।
- A/B = 8πhν³/c³; दो स्तर प्रतिलोमित नहीं हो सकते, तीन स्तरों में आधे से अधिक पम्प चाहिए, चार स्तर सहजता से प्रतिलोमित होते हैं।
अभ्यास प्रश्न (15)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक माध्यम का विक्षेपण संबंध ω = ak² (a नियतांक) है। समूह वेग है:
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उत्तर: A — कला वेग का दोगुना
v_p = ω/k = ak तथा v_g = dω/dk = 2ak = 2v_p — क्वांटम यांत्रिकी का मुक्त-कण संबंध, जहाँ समूह वेग कण की चाल है। कला वेग का आधा गहरे जल की स्थिति ω ∝ √k है।589 nm तरंगदैर्घ्य के परावर्तित प्रकाश में 1.00 m वक्रता-त्रिज्या के लेंस से न्यूटन वलय बनते हैं। 10वें अदीप्त वलय की त्रिज्या, mm में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
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उत्तर: 2.43
r_m = √(mλR) = √(10 × 589 × 10⁻⁹ × 1.00) = √(5.89 × 10⁻⁶) = 2.43 × 10⁻³ m = 2.43 mm। दीप्त-वलय सूत्र √((m + ½)λR) लेना 2.49 mm देता है, और वर्गमूल छोड़ना विमीय रूप से ग़लत है।एक माइकेलसन व्यतिकरणमापी में चल दर्पण को 0.100 mm विस्थापित करने पर 320 फ़्रिंजें दृष्टि-क्षेत्र पार करती हैं। तरंगदैर्घ्य, nm में, ____ है।
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उत्तर: 625
प्रत्येक फ़्रिंज λ के पथ-परिवर्तन के संगत है, और दर्पण को d खिसकाना पथ को 2d बदलता है: λ = 2d/N = 2 × 0.100 × 10⁻³/320 = 6.25 × 10⁻⁷ m = 625 nm। गुणक 2 भूलना 312.5 nm देता है।अभिलंब आपतन पर λ = 550 nm हेतु काँच (n = 1.52) पर MgF₂ परत (n = 1.38) परावर्तन-रोधी लेप के रूप में प्रयुक्त है। न्यूनतम परत-मोटाई, nm में, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
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उत्तर: 99.6
दोनों परावर्तन (वायु→परत, परत→काँच) सघन माध्यमों से हैं, अतः दोनों λ/2 विस्थापित होकर निरस्त होते हैं; विनाशी व्यतिकरण हेतु 2nt = λ/2, t = λ/(4n) = 550/(4 × 1.38) = 99.6 nm। केवल एक सतह हेतु अर्ध-तरंग जोड़ना t = λ/(2n) = 199.3 nm देता है।एक स्रोत 0.01 nm स्पेक्ट्रमी चौड़ाई सहित 600 nm माध्य तरंगदैर्घ्य पर उत्सर्जन करता है। उसकी कलासंबद्धता लंबाई, mm में, ____ है।
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उत्तर: 36
l_c = λ²/Δλ = (600 × 10⁻⁹)²/(0.01 × 10⁻⁹) = 3.6 × 10⁻¹³/10⁻¹¹ = 0.036 m = 36 mm। λ/Δλ = 6 × 10⁴ लेना कलासंबद्धता लंबाई में तरंगदैर्घ्यों की संख्या है, लंबाई नहीं।एक फ़ैब्री–पेरो व्यतिकरणमापी के दर्पणों की परावर्तकता R = 0.9 है। उसकी सूक्ष्मता (finesse), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।
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उत्तर: 29.8
ℱ = π√R/(1 − R) = 3.1416 × 0.9487/0.1 = 29.8। सूक्ष्मता गुणांक F = 4R/(1 − R)² = 360 भिन्न राशि है; ℱ = (π/2)√F।एक दूरबीन के अभिदृश्यक का व्यास 10 cm है। λ = 550 nm हेतु रैले कसौटी से उसकी कोणीय विभेदन सीमा, μrad में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 6.71
θ = 1.22λ/D = 1.22 × 550 × 10⁻⁹/0.1 = 6.71 × 10⁻⁶ rad। 1.22 छोड़ना (रेखाछिद्र परिणाम λ/a) 5.50 μrad देता है; 1.22 वृत्तीय द्वारक के एयरी प्रतिरूप का प्रथम शून्य है।एक द्वि-रेखाछिद्र प्रयोग में रेखाछिद्र पृथक्करण रेखाछिद्र चौड़ाई का तीन गुना है। केंद्रीय विवर्तन उच्चिष्ठ के भीतर दीप्त व्यतिकरण फ़्रिंजों की संख्या ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 5
केंद्रीय आवरण a sin θ = λ, अर्थात् d sin θ = 3λ पर समाप्त होता है, जहाँ m = ±3 फ़्रिंजें होतीं — वे लुप्त हैं। भीतर m = 0, ±1, ±2 हैं: पाँच फ़्रिंजें। लुप्त ±3 गिनना 7 देता है; 2d/a = 6 अंतराल गिनता है, फ़्रिंजें नहीं।500.0 nm व 500.1 nm की दो स्पेक्ट्रमी रेखाएँ किसी विवर्तन ग्रेटिंग की द्वितीय कोटि में ठीक विभेदित होनी हैं। प्रदीप्त रेखाओं की न्यूनतम संख्या ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 2500
λ/Δλ = mN, अतः N = λ/(mΔλ) = 500.0/(2 × 0.1) = 2500। कोटि की उपेक्षा 5000 देती है — प्रथम कोटि की आवश्यकता।एक ग्रेटिंग में प्रति cm 5000 रेखाएँ हैं और वह 600 nm तरंगदैर्घ्य के प्रकाश से अभिलंबवत् प्रदीप्त है। प्रेक्षित हो सकने वाली उच्चतम कोटि है:
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उत्तर: A — 3
d = 1 cm/5000 = 2 μm, और sin θ ≤ 1 हेतु m ≤ d/λ = 2/0.6 = 3.33, अतः m_max = 3। 3.33 को 4 तक पूर्णांकित करने हेतु sin θ > 1 चाहिए।अक्षों से 45° पर रैखिक ध्रुवित प्रकाश, जोन्स सदिश (1, 1)/√2, जोन्स आव्यूह [[1, 0], [0, i]] वाली चतुर्थांश-तरंग पट्टिका से गुज़रता है। निर्गत प्रकाश है:
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उत्तर: A — वृत्तीय ध्रुवित, (1, i)/√2
[[1, 0], [0, i]](1, 1)/√2 = (1, i)/√2: 90° अंतर पर बराबर आयाम — वृत्तीय। अर्ध-तरंग पट्टिका [[1, 0], [0, −1]], (1, −1)/√2 देती, −45° पर रैखिक।एक क्वार्ट्ज़ पट्टिका का n_e − n_o = 0.009 है। उसे 540 nm पर चतुर्थांश-तरंग पट्टिका बनाने वाली न्यूनतम मोटाई, μm में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 15
Δn t = λ/4 से t = 540 × 10⁻⁹/(4 × 0.009) = 1.5 × 10⁻⁵ m = 15 μm। अर्ध-तरंग प्रतिबंध Δn t = λ/2, 30 μm देता है।f फ़ोकस दूरी के पतले लेंस के बाद f दूरी पर मुक्त संचरण है। संयोजन का किरण-स्थानांतरण आव्यूह, और उसका निहितार्थ, है:
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उत्तर: A — [[0, f], [−1/f, 1]]; प्रत्येक आगत समांतर किरण अक्ष पर पहुँचती है
उलटे क्रम में गुणा करें: [[1, f], [0, 1]][[1, 0], [−1/f, 1]] = [[1 − 1, f], [−1/f, 1]] = [[0, f], [−1/f, 1]]। A = 0 से y_out = f θ_in, अतः समांतर प्रवेश करने वाली (θ_in = 0) सभी किरणें y = 0 पर पहुँचती हैं: फ़ोकस तल। यात्रा के क्रम में गुणा करना [[1, f], [−1/f, 0]] देता है, ग़लत निकाय।समष्टि प्रतिलोमन के विषय में कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — द्वि-स्तरीय निकाय के प्रकाशिक पम्पन से स्थायी अवस्था में यह प्राप्त नहीं किया जा सकता; B — त्रि-स्तरीय लेज़र में, जिसका निचला लेज़र स्तर मूल अवस्था है, आधे से अधिक परमाणु पम्प करने पड़ते हैं; C — चतुर्-स्तरीय लेज़र में निचला लेज़र स्तर शीघ्र रिक्त होता है, अतः प्रतिलोमन सहज है
B₁₂ = B₂₁ सहित दो स्तरों का पम्पन केवल समष्टियाँ बराबर करता है। त्रि-स्तरीय रूबी लेज़र मूल अवस्था तक लेज़िंग करता है, अतः N₂ > N₁ हेतु आधे से अधिक परमाणु ऊपर चाहिए; चतुर्-स्तरीय योजना लगभग रिक्त स्तर तक लेज़िंग करती है। साम्य में प्रत्येक धनात्मक ताप पर N₂/N₁ = e−hν/k_BT < 1।समान अपभ्रष्टता के दो स्तरों हेतु आइंस्टाइन गुणांकों का अनुपात A₂₁/B₂₁ किसके समानुपाती है?
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उत्तर: A — ν³
कृष्णिका विकिरण के साथ साम्य हेतु A₂₁/B₂₁ = 8πhν³/c³: विधा-घनत्व (∝ ν²) गुणा फ़ोटॉन ऊर्जा hν। ν³ ही कारण है कि लघु तरंगदैर्घ्यों पर स्वतः उत्सर्जन उद्दीपित पर भारी पड़ता है और X-किरण लेज़र बनाना कठिन है।