चिरसम्मत यांत्रिकी: लाग्रांजी व हैमिल्टनी गतिकी, केंद्रीय बल, प्रसामान्य विधाएँ, दृढ़ पिंड व विशिष्ट आपेक्षिकता
1. डी’एलम्बर्ट, लाग्रांज, हैमिल्टन सिद्धांत व विचरण-कलन
डी’एलम्बर्ट सिद्धांत कहता है कि प्रतिबंधों से संगत किसी भी आभासी विस्थापन में प्रयुक्त बल घटा "जड़त्वीय बल" कोई कार्य नहीं करते: Σ(Fᵢ − ṗᵢ)·δrᵢ = 0। होलोनोमिक प्रतिबंध (f(r, t) = 0 रूप में व्यक्त) 3N निर्देशांकों को n व्यापकीकृत निर्देशांकों qⱼ तक घटाते हैं, और आदर्श प्रतिबंध बल, कोई आभासी कार्य न करने से, हट जाते हैं। परिणाम ऑयलर–लाग्रांज समीकरण d/dt(∂L/∂q̇ⱼ) − ∂L/∂qⱼ = 0 है, जहाँ L = T − V। समतल लोलक हेतु L = ½ml²θ̇² + mgl cos θ, और समीकरण ml²θ̈ + mgl sin θ = 0 है — तनाव कभी नहीं आता।
हैमिल्टन सिद्धांत वही समीकरण दूसरी ओर से प्राप्त करता है: स्थिर अंत-बिंदुओं के बीच वास्तविक पथ क्रिया S = ∫L dt को स्थिर करता है, δS = 0। यह विचरण-कलन की एक स्थिति है: फलनक J = ∫f(y, y′, x) dx तब स्थिर है जब d/dx(∂f/∂y′) − ∂f/∂y = 0। f = √(1 + y′²) (चाप लंबाई) सहित, ∂f/∂y = 0 से y′ = नियतांक: समतल में न्यूनतम पथ सरल रेखा है। जब f में स्पष्ट x न हो, तो बेल्ट्रामी सर्वसमिका f − y′∂f/∂y′ = नियतांक सीधे प्रथम समाकल देती है — ब्रैकिस्टोक्रोन, एक चक्रज, तक का मार्ग।
2. सममिति व संरक्षण नियम
qⱼ का संयुग्मी व्यापकीकृत संवेग pⱼ = ∂L/∂q̇ⱼ है। यदि L में qⱼ नहीं है — निर्देशांक चक्रीय है — तो ṗⱼ = ∂L/∂qⱼ = 0 और pⱼ संरक्षित है। यह अपने सरलतम रूप में नोएथर प्रमेय है: L की प्रत्येक संतत सममिति एक संरक्षित राशि देती है।
| L की सममिति | संरक्षित राशि | उदाहरण |
|---|---|---|
| x में स्थानांतरण | रैखिक संवेग pₓ | मुक्त कण; x चक्रीय |
| किसी अक्ष के परितः घूर्णन | उसके परितः कोणीय संवेग | केंद्रीय बल: p_θ = mr²θ̇ |
| स्पष्ट समय-निर्भरता नहीं | ऊर्जा फलन h = Σpq̇ − L | h = T + V जब T, q̇ में द्विघाती व प्रतिबंध स्थिर हों |
3. केंद्रीय-बल गति व केप्लर समस्या
V(r) से अन्योन्यक्रिया करते दो पिंड समानीत द्रव्यमान μ = m₁m₂/(m₁ + m₂) के एक पिंड में घटते हैं। गति समतलीय है, कोणीय संवेग l = μr²θ̇ संरक्षित है (समान समय में समान क्षेत्रफल), और त्रिज्य गति प्रभावी विभव V_eff = V(r) + l²/(2μr²) में एक-विमीय है। कक्षा समीकरण, u = 1/r सहित, d²u/dθ² + u = −(μ/(l²u²)) F(1/u) है। वृत्तीय कक्षा V_eff के निम्निष्ठ पर होती है; घात-नियम F = −krⁿ हेतु वह केवल n > −3 पर स्थायी है।
- केप्लर कक्षाएँ। V = −k/r हेतु कक्षा एक शांकव है, r = p/(1 + e cos θ)। e < 1 दीर्घवृत्त (E < 0), e = 1 परवलय (E = 0), e > 1 अतिपरवलय (E > 0)। दीर्घवृत्त हेतु r_min = a(1 − e) व r_max = a(1 + e), अतः e = (r_max − r_min)/(r_max + r_min)।
- ऊर्जा व आवर्तकाल। E = −k/(2a), केवल अर्ध-दीर्घ अक्ष पर निर्भर। केप्लर का तृतीय नियम T² = 4π²a³/[G(m₁ + m₂)] है, अतः a दोगुना करना आवर्तकाल को 23/2 = 2.83 से गुणा करता है।
- चालें व वीरियल प्रमेय। l का संरक्षण v_peri r_min = v_apo r_max देता है। 1/r विभवों हेतु समय-औसत ⟨T⟩ = −½⟨V⟩ मानते हैं, अतः वृत्तीय कक्षा पर E = −T।
4. लघु दोलन, युग्मित दोलक व प्रसामान्य विधाएँ
किसी स्थायी साम्य के परितः प्रसार करें: T = ½ q̇ᵀMq̇ तथा V = ½ qᵀKq, नियत सममित आव्यूहों सहित। q = a eiωt रखने पर (K − ω²M)a = 0 मिलता है, और अतुच्छ गति हेतु det(K − ω²M) = 0 चाहिए। इसके मूल प्रसामान्य-विधा आवृत्तियों के वर्ग हैं; प्रत्येक आइगेन-सदिश वह प्रतिरूप है जिसमें प्रत्येक निर्देशांक समान आवृत्ति पर दोलित होता है। कोई भी लघु गति प्रसामान्य विधाओं का अध्यारोपण है, और प्रसामान्य निर्देशांक T व V को एक साथ विकर्णित करते हैं।
| निकाय | प्रसामान्य-विधा आवृत्तियाँ | विधा आकार |
|---|---|---|
| दीवार–k–m–k–m–k–दीवार | √(k/m), √(3k/m) | सम-कला (1, 1); विपरीत-कला (1, −1) |
| स्प्रिंग k से जुड़े दो लोलक (l, m) | √(g/l), √(g/l + 2k/m) | स्प्रिंग अविस्तारित; स्प्रिंग सक्रिय |
| रैखिक त्रिपरमाणुक m–k–M–k–m | 0, √(k/m), √[(k/m)(1 + 2m/M)] | स्थानांतरण; सममित तनन (M स्थिर); प्रतिसममित तनन |
5. दृढ़ पिंड: जड़त्व प्रदिश, ऑयलर कोण व बल-आघूर्ण-मुक्त सममित लट्टू
कोणीय संवेग व कोणीय वेग जड़त्व प्रदिश से संबंधित हैं, L = Iω, जहाँ Iᵢⱼ = Σ m(r²δᵢⱼ − xᵢxⱼ): विकर्ण प्रविष्टियाँ जड़त्व-आघूर्ण हैं, जैसे Iₓₓ = Σm(y² + z²), और अविकर्ण प्रविष्टियाँ जड़त्व-गुणनफल हैं, Iₓᵧ = −Σmxy। हल किया: (1, 1, 0) m पर 1 kg व (0, 1, 1) m पर 2 kg से Iₓₓ = 1(1) + 2(1 + 1) = 5 kg m² तथा Iₓᵧ = −(1·1·1 + 2·0·1) = −1 kg m²। प्रदिश वास्तविक व सममित है, अतः मुख्य अक्षों तक लांबिक रूपांतरण उसे विकर्णित करता है; वहाँ T = ½(I₁ω₁² + I₂ω₂² + I₃ω₃²)।
पिंड-फ़्रेम का अभिविन्यास तीन ऑयलर कोणों से निर्धारित होता है — आकाश z-अक्ष के परितः φ, नए x-अक्ष (पात-रेखा) के परितः θ, पिंड z-अक्ष के परितः ψ — तीन घूर्णन आव्यूहों का गुणनफल, प्रत्येक लांबिक व सारणिक +1। मुख्य फ़्रेम में बल-आघूर्ण-मुक्त गति ऑयलर समीकरणों का पालन करती है, I₁ω̇₁ = (I₂ − I₃)ω₂ω₃ तथा चक्रीय क्रम में। सममित लट्टू (I₁ = I₂ ≠ I₃) हेतु ω₃ नियत है और ω का लंबवत् भाग पिंड-फ़्रेम में सममिति अक्ष के परितः Ω = (I₃ − I₁)ω₃/I₁ पर घूमता है; आकाश से देखने पर सममिति अक्ष व ω स्थिर L के परितः पुरस्सरण करते हैं। गतिज ऊर्जा व L पूरे समय नियत रहते हैं।
6. हैमिल्टन समीकरण, विहित रूपांतरण व प्वासों कोष्ठक
हैमिल्टनी लेजेंड्रे रूपांतर H(q, p, t) = Σpq̇ − L है, q व p में लिखा। L = ½mq̇² − ½kq² हेतु p = mq̇ तथा H = p²/(2m) + ½kq²। हैमिल्टन समीकरण q̇ = ∂H/∂p, ṗ = −∂H/∂q प्रावस्था समष्टि में n द्वितीय-कोटि समीकरणों को 2n प्रथम-कोटि समीकरणों से बदलते हैं, और dH/dt = ∂H/∂t, अतः स्पष्ट समय न होने पर H संरक्षित है।
- प्वासों कोष्ठक {f, g} = Σ(∂f/∂q ∂g/∂p − ∂f/∂p ∂g/∂q)। तब df/dt = {f, H} + ∂f/∂t, अतः f गति-नियतांक है जब H के साथ उसका कोष्ठक शून्य हो और कोई स्पष्ट समय न हो।
- मूल कोष्ठक {qᵢ, pⱼ} = δᵢⱼ, {qᵢ, qⱼ} = {pᵢ, pⱼ} = 0; कोणीय संवेग हेतु {Lₓ, L_y} = L_z तथा चक्रीय क्रम में। क्वांटम यांत्रिकी { , } को [ , ]/(iħ) से बदलती है।
- विहित रूपांतरण (q, p) → (Q, P) हैमिल्टन समीकरणों का रूप संरक्षित रखता है; परीक्षण {Q, P}q,p = 1 है। Q = p, P = −q उत्तीर्ण है; Q = p, P = q से {Q, P} = −1, अतः विफल। F₂(q, P) जैसे जनक फलन इन्हें क्रमबद्ध रूप से देते हैं।
7. विशिष्ट आपेक्षिकता: लोरेंट्ज़ रूपांतरण, शुद्धगतिकी व E = mc²
x के अनुदिश आपेक्षिक वेग v वाले मानक विन्यास के फ़्रेमों हेतु लोरेंट्ज़ रूपांतरण x′ = γ(x − vt), t′ = γ(t − vx/c²) है, जहाँ γ = 1/√(1 − v²/c²)। यह अंतराल c²t² − x² − y² − z² अपरिवर्तित रखता है। इसके परिणाम: गतिमान घड़ी धीमी चलती है (Δt = γΔτ, काल-वृद्धि); गतिमान छड़ गति के अनुदिश छोटी होती है (L = L₀/γ, लंबाई संकुचन); एक फ़्रेम में युगपत् घटनाएँ दूसरे में नहीं होतीं; और वेग u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²) के अनुसार जुड़ते हैं, अतः 0.5c पर 0.5c, 0.8c है।
चतुर्-संवेग (E/c, p) की अपरिवर्ती लंबाई है: E² = p²c² + m²c⁴, जहाँ E = γmc², p = γmv, गतिज ऊर्जा K = (γ − 1)mc² तथा विराम ऊर्जा mc²। K = 1.022 MeV वाले इलेक्ट्रॉन (mc² = 0.511 MeV) हेतु γ = 3 व v = √(1 − 1/9) c = 0.943c। किसी निकाय का अपरिवर्ती द्रव्यमान √(E_tot² − p_tot²c²)/c² है, प्रत्येक फ़्रेम में समान — वही राशि जो देहलियाँ तय करती है: आमने-सामने टकराते दो 1 MeV फ़ोटॉनों का अपरिवर्ती द्रव्यमान 2 MeV/c² है, जो इलेक्ट्रॉन–पॉज़िट्रॉन युग्म (1.022 MeV/c²) बनाने हेतु पर्याप्त है।
मुख्य बिंदु
- L = T − V तथा d/dt(∂L/∂q̇) = ∂L/∂q; आदर्श प्रतिबंध बल कभी नहीं आते। यही समीकरण किसी भी फलनक ∫f(y, y′, x) dx को चरम बनाता है।
- चक्रीय निर्देशांक अपना संवेग संरक्षित करता है; समय-स्वतंत्र L, h संरक्षित करता है, जो केवल स्थिर प्रतिबंधों हेतु T + V है।
- केप्लर: E = −k/2a, T² ∝ a³, e = (r_max − r_min)/(r_max + r_min), तथा वृत्तीय कक्षा पर E = −T।
- प्रसामान्य विधाएँ det(K − ω²M) = 0 हल करती हैं; पहले सममिति से सम-कला व विपरीत-कला प्रतिरूप अनुमानित करें।
- विहित का अर्थ {Q, P} = 1; प्वासों कोष्ठक df/dt = {f, H} देते हैं। आपेक्षिकीय शुद्धगतिकी E² = p²c² + m²c⁴ व अपरिवर्ती द्रव्यमान पर चलती है।
अभ्यास प्रश्न (15)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
एक कण केंद्रीय विभव V(r) के अंतर्गत समतल में गति करता है, L = ½m(ṙ² + r²θ̇²) − V(r)। θ चक्रीय होने से कौन-सी राशि संरक्षित है?
उत्तर देखें
उत्तर: A — mr²θ̇
L में θ नहीं है, अतः p_θ = ∂L/∂θ̇ = mr²θ̇ संरक्षित है — कोणीय संवेग। mṙ त्रिज्य संवेग है, जो बदलता है क्योंकि L, r पर निर्भर है; mrθ̇ अनुप्रस्थ रैखिक संवेग है, संयुग्मी संवेग नहीं।समतल में दो स्थिर बिंदुओं के बीच फलनक J = ∫√(1 + y′²) dx स्थिर है:
उत्तर देखें
उत्तर: A — सरल रेखा हेतु
f में y नहीं, अतः ∂f/∂y′ = y′/√(1 + y′²) नियत है, जो y′ नियत बनाता है: सरल रेखा, न्यूनतम पथ। चक्रज ब्रैकिस्टोक्रोन समय ∫√[(1 + y′²)/y] dx को, और कैटेनरी लटकती शृंखला की स्थितिज ऊर्जा को चरम बनाती है।L = ½mq̇² − ½kq² हेतु हैमिल्टनी है:
उत्तर देखें
उत्तर: A — p²/(2m) + ½kq²
p = ∂L/∂q̇ = mq̇, अतः H = pq̇ − L = p²/m − (p²/(2m) − ½kq²) = p²/(2m) + ½kq²। ½mq̇² + ½kq² का मान सही है पर वह p नहीं q̇ में लिखा है, अतः हैमिल्टनी नहीं; p²/m − ½kq², L का गतिज पद घटाना भूलता है।(q, p) से (Q, P) तक कौन-सा रूपांतरण विहित है?
उत्तर देखें
उत्तर: A — Q = p, P = −q
{Q, P} = ∂Q/∂q ∂P/∂p − ∂Q/∂p ∂P/∂q। Q = p, P = −q हेतु यह 0 − (1)(−1) = 1 है: विहित। Q = p, P = q से −1; Q = 2q, P = 2p से 4; Q = q², P = p² से 4qp — कोई भी 1 नहीं।घर्षणहीन रेखा पर दो 1 kg द्रव्यमान तीन सर्वसम 100 N/m स्प्रिंगों से दीवार–स्प्रिंग–द्रव्यमान–स्प्रिंग–द्रव्यमान–स्प्रिंग–दीवार जुड़े हैं। उच्चतर प्रसामान्य-विधा कोणीय आवृत्ति, rad/s में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 17.32
m = 1 सहित K = [[2k, −k], [−k, 2k]]: आइगेन-मान k व 3k, अतः ω = √(k/m) = 10 व √(3k/m) = √300 = 17.32 rad/s। विपरीत-कला विधा बीच के स्प्रिंग को दोगुना खींचती है, अतः प्रत्येक द्रव्यमान k + 2k अनुभव करता है। √(2k/m) = 14.14 युग्मन की उपेक्षा करता है।रैखिक सममित त्रिपरमाणुक अणु O–C–O को दो सर्वसम स्प्रिंगों से जुड़े 16, 12 व 16 (u में) द्रव्यमानों के रूप में मॉडल किया जाता है। प्रतिसममित-तनन आवृत्ति से सममित-तनन आवृत्ति का अनुपात, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 1.91
सममित तनन: C विराम में, ω₁ = √(k/m)। प्रतिसममित: ω₃ = √[(k/m)(1 + 2m/M)]। अनुपात = √(1 + 2·16/12) = √3.667 = 1.91। m/M के स्थान पर M/m लेना √(1 + 1.5) = 1.58 देता है।उपग्रह B उसी ग्रह की परिक्रमा उपग्रह A के दोगुने अर्ध-दीर्घ अक्ष सहित करता है। B के आवर्तकाल का A के आवर्तकाल से अनुपात, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 2.83
T² ∝ a³ से T_B/T_A = 23/2 = 2.83। अनुपात उत्केंद्रताओं या उपग्रहों के द्रव्यमानों (दोनों ग्रह से ≪) पर निर्भर नहीं। T ∝ a से 2, और T ∝ a² से 4 मिलता।व्युत्क्रम-वर्ग आकर्षी क्षेत्र में किसी पिंड की बल-केंद्र से निकटतम व दूरतम दूरियाँ 1 व 3 (समान इकाइयाँ) हैं। कक्षा की उत्केंद्रता ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.5
r_min = a(1 − e) व r_max = a(1 + e), अतः e = (3 − 1)/(3 + 1) = 0.5 व a = 2। (r_max − r_min)/r_max = 0.667 व r_min/r_max = 0.333 लुभावने ग़लत अनुपात हैं।व्युत्क्रम-वर्ग आकर्षी बल के अंतर्गत वृत्तीय कक्षा में किसी कण हेतु कुल ऊर्जा E व गतिज ऊर्जा T का संबंध है:
उत्तर देखें
उत्तर: A — E = −T
V ∝ 1/r हेतु वीरियल प्रमेय ⟨T⟩ = −½⟨V⟩ देता है, अर्थात् वृत्तीय कक्षा पर V = −2T, अतः E = T + V = −T। सीधे: mv²/r = k/r² से T = k/(2r) व V = −k/r। E = −2T, V को E समझ लेता है।(1, 1, 0) m पर 1 kg व (0, 1, 1) m पर 2 kg के बिंदु द्रव्यमान एक दृढ़ पिंड बनाते हैं। उसके जड़त्व प्रदिश का जड़त्व-गुणनफल घटक Iₓᵧ, kg m² में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: -1
Iₓᵧ = −Σ m x y = −(1 × 1 × 1 + 2 × 0 × 1) = −1 kg m²। ऋण चिह्न परिभाषा Iᵢⱼ = Σm(r²δᵢⱼ − xᵢxⱼ) का भाग है; उसे छोड़ना +1 देता है। Iₓₓ = Σm(y² + z²) = 5 kg m² एक विकर्ण घटक है। उत्तर -1 के रूप में टाइप करें।एक सममित लट्टू (I₁ = I₂ ≠ I₃) बिना बाह्य बल-आघूर्ण के मुक्त घूमता है। कौन-से कथन सही हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — सममिति अक्ष के अनुदिश घटक ω₃ नियत है; B — कोणीय संवेग L आकाश में स्थिर है; C — गतिज ऊर्जा नियत है
ऑयलर का तृतीय समीकरण, I₃ω̇₃ = (I₁ − I₂)ω₁ω₂ = 0, ω₃ नियत रखता है। बल-आघूर्ण न होने पर L आकाश में नियत और T संरक्षित है। ω का लंबवत् भाग पिंड-फ़्रेम में सममिति अक्ष के परितः Ω = (I₃ − I₁)ω₃/I₁ पर घूमता है, अतः वहाँ उसकी दिशा स्थिर नहीं।किसी कण के कोणीय-संवेग घटकों हेतु प्वासों कोष्ठक {Lₓ, L_y} बराबर है:
उत्तर देखें
उत्तर: A — L_z
Lₓ = yp_z − zp_y व L_y = zpₓ − xp_z सहित केवल {y, p_y}-प्रकार के युग्मों के पद बचते हैं और xp_y − ypₓ = L_z देते हैं। iħL_z क्वांटम क्रमविनिमेयक [Lₓ, L_y] है, जो चिरसम्मत कोष्ठक का iħ गुना है।एक रॉकेट पृथ्वी के सापेक्ष 0.5c से चलता है और अपने सापेक्ष 0.5c से आगे एक प्रोब छोड़ता है। पृथ्वी के सापेक्ष प्रोब की चाल, c के भिन्न के रूप में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.8
u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²) = (0.5 + 0.5)/(1 + 0.25) = 0.8c। गैलीलियो योग 1.0c देता है, जिसे आपेक्षिकता किसी द्रव्यमान वाले पिंड हेतु वर्जित करती है।एक इलेक्ट्रॉन (विराम ऊर्जा 0.511 MeV) की गतिज ऊर्जा 1.022 MeV है। उसकी चाल c के भिन्न के रूप में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.94
K = (γ − 1)mc² से γ = 1 + 1.022/0.511 = 3, अतः v/c = √(1 − 1/γ²) = √(8/9) = 0.94। चिरसम्मत ½mv² = K से v/c = √(2 × 2) = 2, जो असंभव है — आपेक्षिकता आवश्यक होने का संकेत।प्रत्येक 1 MeV ऊर्जा के दो फ़ोटॉन आमने-सामने टकराते हैं। कौन-से कथन सही हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — युग्म का अपरिवर्ती द्रव्यमान 2 MeV/c² है; B — टक्कर इलेक्ट्रॉन–पॉज़िट्रॉन युग्म बना सकती है; C — प्रयोगशाला में युग्म का कुल संवेग शून्य है
आमने-सामने संवेग निरस्त होते हैं, अतः M c² = E_tot = 2 MeV, e⁺e⁻ हेतु आवश्यक 1.022 MeV से अधिक। एक ही दिशा में चलते फ़ोटॉनों हेतु p_tot c = E_tot, अतः उनका अपरिवर्ती द्रव्यमान शून्य है — इसीलिए एकल फ़ोटॉन रिक्त आकाश में युग्म नहीं बना सकता।