मापन व त्रुटि विश्लेषण: विमाएँ, अल्पतमांक, त्रुटि संचरण, चार-प्रोब प्रतिरोध, भूसंपर्कन, DC आपूर्ति व लॉक-इन संसूचन
1. इकाइयाँ, विमाएँ व विमीय विश्लेषण
SI में सात मूल राशियाँ हैं — लंबाई (m), द्रव्यमान (kg), समय (s), धारा (A), ताप (K), पदार्थ-मात्रा (mol) व ज्योति-तीव्रता (cd) — और प्रत्येक अन्य इकाई उनकी घातों का गुणनफल है। 2019 से वे नियतांकों के यथार्थ मानों से निर्धारित हैं: h, e, k_B व N_A परिभाषित संख्याएँ हैं। विमीय सूत्र M, L, T व A की घातें दर्ज करता है: बल [MLT⁻²] है, प्लांक नियतांक (ऊर्जा × समय) [ML²T⁻¹] है, और ε₀, F = q²/(4πε₀r²) से, [M⁻¹L⁻³T⁴A²] है।
विमीय विश्लेषण समांगता पर टिका है: किसी भौतिक समीकरण के प्रत्येक पद की विमाएँ समान होती हैं। यह समीकरणों की जाँच करता है और घात-नियम निर्भरताएँ निकालता है। लोलक हेतु मान लें T = k mᵃ lᵇ gᶜ: M⁰L⁰T¹ = Mᵃ Lᵇ⁺ᶜ T⁻²ᶜ मिलाने पर a = 0, c = −½, b = ½, अतः T = k√(l/g)। यह विधि नियतांक k (जो 2π है) नहीं दे सकती, पदों के योग को अलग नहीं कर सकती, और तब विफल होती है जब समान विमाओं वाली दो राशियाँ विमाहीन अनुपात बना सकती हैं।
2. अल्पतमांक व सार्थक अंक
- वर्नियर कैलिपर। अल्पतमांक = 1 MSD − 1 VSD। यदि 10 वर्नियर भाग 1 mm के 9 मुख्य-पैमाना भागों के बराबर हों, तो LC = 1 − 0.9 = 0.1 mm।
- स्क्रू गेज। LC = चूड़ी-अंतराल / वृत्तीय भागों की संख्या: 0.5 mm / 50 = 0.01 mm। पाठ्यांक = मुख्य पैमाना + (वृत्तीय भाग × LC) − शून्य त्रुटि, जहाँ धनात्मक शून्य त्रुटि (जबड़े बंद होने पर वृत्तीय पैमाने का शून्य रेखा से नीचे) घटाई जाती है।
- सार्थक अंक। सभी अशून्य अंक गिने जाते हैं; उनके बीच के शून्य गिने जाते हैं; अग्रणी शून्य कभी नहीं; दशमलव बिंदु के बाद के अनुगामी शून्य गिने जाते हैं। अतः 0.004020 में चार हैं। गुणनफल या भागफल में इनपुट के न्यूनतम सार्थक अंक रखें; योग या अंतर में न्यूनतम दशमलव स्थान।
3. त्रुटियाँ, मानक त्रुटि व अनिश्चितता का संचरण
क्रमबद्ध त्रुटियाँ प्रत्येक पाठ्यांक को एक ही ओर खिसकाती हैं — ग़लत अंशांकित पैमाना, शून्य त्रुटि, लीड प्रतिरोध — और दोहराव से नहीं घटतीं। यादृच्छिक त्रुटियाँ पाठ्यांकों को माध्य के परितः बिखेरती हैं और औसत से घटती हैं। σ मानक विचलन वाले N पाठ्यांकों हेतु सर्वोत्तम अनुमान माध्य है और उसकी मानक त्रुटि σ/√N है: σ = 0.8 वाले सोलह पाठ्यांक 0.2 मानक त्रुटि देते हैं। स्वतंत्र परिणाम xᵢ ± σᵢ भारित माध्य Σ(xᵢ/σᵢ²)/Σ(1/σᵢ²) से जोड़े जाते हैं, अनिश्चितता 1/√Σ(1/σᵢ²); 10.0 ± 0.1 व 10.3 ± 0.2 मिलकर 10.06 ± 0.09 देते हैं।
| परिणाम | अनिश्चितता (वर्ग-योग में) | अधिकतम (सबसे बुरा) अनुमान |
|---|---|---|
| q = x ± y | δq = √(δx² + δy²) | δq = δx + δy |
| q = c·x | δq = |c| δx | δq = |c| δx |
| q = xᵃ yᵇ / zᶜ | δq/q = √[(a δx/x)² + (b δy/y)² + (c δz/z)²] | δq/q = a δx/x + b δy/y + c δz/z |
| q = f(x) | δq = |df/dx| δx | δq = |df/dx| δx |
हल किया: लोलक से g = 4π²L/T², जहाँ L में 0.5% व T में 0.2% अनिश्चितता। T की घात उसका योगदान दोगुना करती है, अतः δg/g = √[(0.5)² + (2 × 0.2)²] % = √0.41 % = 0.64%। सबसे बुरा अनुमान उन्हें जोड़ता है, 0.5 + 0.4 = 0.9%। 1%, 2% व 1% सहित q = x²y/z³ हेतु योगदान 2%, 2% व 3% हैं, और δq/q = √17 % = 4.12%।
4. दो-प्रोब व चार-प्रोब प्रतिरोध मापन
दो-प्रोब मापन में लीड का एक ही युग्म धारा वहन करता है और वोल्टता भी मापता है, अतः मापा गया प्रतिरोध R_sample + 2R_lead + 2R_contact है। यह 10 kΩ प्रतिरोधक हेतु हानिरहित है और 10 mΩ वाले हेतु, या उस अतिचालक हेतु जिसका वास्तविक प्रतिरोध शून्य है, घातक। चार-प्रोब मापन में धारा स्रोत बाहरी युग्म से I चलाता है, और उच्च-प्रतिबाधा वोल्टमीटर भीतरी युग्म पर V पढ़ता है। वोल्टता लीडों में लगभग कोई धारा नहीं बहती, अतः उनके लीड व संपर्क प्रतिरोध कोई वोल्टता-पात नहीं करते, और V/I केवल भीतरी संपर्कों के बीच प्रतिदर्श का प्रतिरोध है।
- मोटे प्रतिदर्श पर समरेखीय चार-बिंदु प्रोब (अंतराल s, किनारों से दूर): ρ = 2πs (V/I)।
- पतली परत पर (मोटाई t ≪ s): पत्र-प्रतिरोध R_s = (π/ln 2)(V/I) ≈ 4.532 V/I, ओम प्रति वर्ग में, तथा ρ = R_s t। V/I = 2.0 Ω देने वाली परत का R_s ≈ 9.06 Ω/□ है।
- संपर्कों पर तापविद्युत विचलन चार प्रोब से नहीं हटते; वे धारा उलटकर तथा V(+I) व −V(−I) का औसत लेकर हटाए जाते हैं।
5. भूसंपर्कन, भू-पाश, DC शक्ति आपूर्ति व लॉक-इन प्रवर्धक
भू-पाश तब बनता है जब दो उपकरण भिन्न बिंदुओं पर भूसंपर्कित हों और संकेत केबल के परिरक्षक से भी जुड़े हों: दोनों "भू" में एक छोटी मुख्य-आवृत्ति वोल्टता का अंतर होता है, पाश में धारा घूमती है, और संकेत पर 50 Hz व उसके गुणावृत्तियों पर गुंजन आती है। उपाय पाश को तोड़ते हैं: एकल-बिंदु (तारा) भूसंपर्क, एक परिरक्षक केवल एक सिरे पर भूसंपर्कित, विभेदी या पृथक्कृत इनपुट, तथा चुंबकीय ग्रहण के विरुद्ध पाश-क्षेत्रफल छोटा रखना। गुंजन मिटाने हेतु सुरक्षा-भू कभी नहीं हटाया जाता।
DC शक्ति आपूर्ति चार चरण है। ट्रांसफ़ॉर्मर वोल्टता तय करता है और परिपथ को मुख्य आपूर्ति से पृथक करता है। दिष्टकारी — अर्ध-तरंग, मध्य-निष्कासित पूर्ण-तरंग या सेतु — उसे एकदिशीय बनाता है; सेतु को V_m शिखर प्रतीप वोल्टता के डायोड चाहिए और वह मुख्य आवृत्ति की दोगुनी पर उर्मिका देता है। संधारित्र फ़िल्टर आवेशन स्पंदों के बीच शिखर को थामे रखता है, और शिखर-से-शिखर उर्मिका अर्ध-तरंग हेतु V_r ≈ I/(fC) तथा पूर्ण-तरंग हेतु I/(2fC) छोड़ता है। नियामक — श्रेणी प्रतिरोधक सहित ज़ेनर डायोड, या IC नियामक — शेष उर्मिका व भार पर निर्भरता हटाता है। हल किया: 50 Hz पर पूर्ण-तरंग, C = 1000 μF व 100 mA भार V_r = 0.1/(2 × 50 × 10⁻³) = 1.0 V देते हैं।
लॉक-इन प्रवर्धक शोर में दबे संकेत को पुनः प्राप्त करता है — प्रयोग को संदर्भ आवृत्ति f_r पर मॉडुलित करके (प्रकाश-पुंज काटकर, या f_r पर धारा चलाकर) और फिर केवल f_r पर संसूचन करके। कला-संवेदी संसूचक इनपुट V_s sin(ω_r t + φ) को संदर्भ sin(ω_r t) से गुणा करता है; गुणनफल में DC पद ½V_s cos φ व 2f_r पर एक पद होता है, और निम्न-पारक फ़िल्टर केवल DC रखता है। अन्य आवृत्तियों का शोर औसत में मिट जाता है, अतः तुल्य बैंड-चौड़ाई फ़िल्टर समय-नियतांक τ से तय होती है (एकल-ध्रुव फ़िल्टर हेतु लगभग 1/(4τ)): लंबा τ अर्थात् संकीर्ण बैंड-चौड़ाई, स्वच्छ आउटपुट व धीमी अनुक्रिया। द्वि-कला लॉक-इन लंबकोणीय आउटपुट भी बनाता है और R = √(X² + Y²) व φ स्वतंत्र रूप से बताता है।
मुख्य बिंदु
- विमीय विश्लेषण घात-नियम तय करता है — T = k√(l/g) — पर नियतांक कभी नहीं, और पदों का योग या विमाहीन अनुपात नहीं संभाल सकता।
- स्क्रू गेज: पाठ्यांक = मुख्य पैमाना + भाग × LC − (चिह्नयुक्त) शून्य त्रुटि; LC = चूड़ी-अंतराल/भाग।
- q = xᵃyᵇ हेतु स्वतंत्र आपेक्षिक अनिश्चितताएँ घातों से भारित होकर वर्ग-योग में जुड़ती हैं; सबसे बुरी स्थिति उन्हें रैखिक जोड़ती है। माध्य की मानक त्रुटि σ/√N है।
- चार प्रोब लीड व संपर्क प्रतिरोध हटाते हैं क्योंकि वोल्टता लीड धारा वहन नहीं करतीं; धारा-उलटाव तापीय EMF हटाता है। पतली परत R_s = 4.532 V/I।
- संधारित्र फ़िल्टर की उर्मिका अर्ध-तरंग हेतु I/(fC) व पूर्ण-तरंग हेतु I/(2fC) है; लॉक-इन ½V_s cos φ देता है, बैंड-चौड़ाई उसके समय-नियतांक से तय।
अभ्यास प्रश्न (14)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
g, g = 4π²L/T² से निकाला जाता है। L में आपेक्षिक अनिश्चितता 0.5% व T में 0.2% है, स्वतंत्र व यादृच्छिक। g में आपेक्षिक अनिश्चितता, प्रतिशत में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.64
δg/g = √[(δL/L)² + (2δT/T)²] = √(0.25 + 0.16) = √0.41 = 0.64%। रैखिक जोड़ना 0.9% देता है, जो स्वतंत्र-त्रुटि अनुमान नहीं बल्कि सबसे बुरी सीमा है, और T की घात 2 भूलना √0.29 = 0.54% देता है।q = x²y/z³, जहाँ x, y व z की स्वतंत्र यादृच्छिक आपेक्षिक अनिश्चितताएँ 1%, 2% व 1% हैं। q में आपेक्षिक अनिश्चितता, प्रतिशत में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 4.12
योगदान 2 × 1 = 2%, 1 × 2 = 2% व 3 × 1 = 3% हैं, अतः δq/q = √(4 + 4 + 9) = √17 = 4.12%। z³ से भाग उसका योगदान नहीं घटाता — घातें परिमाण के रूप में आती हैं। रैखिक योग 7% है, और घातों की उपेक्षा √6 = 2.45% देती है।एक स्क्रू गेज का चूड़ी-अंतराल 0.5 mm व वृत्तीय भाग 50 हैं। जबड़े बंद होने पर वृत्तीय पैमाने का शून्य संदर्भ रेखा से 3 भाग नीचे है (धनात्मक शून्य त्रुटि)। एक तार मापने पर मुख्य पैमाना 3.5 mm व वृत्तीय पैमाना 27 भाग पढ़ता है। संशोधित व्यास, mm में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 3.74
LC = 0.5/50 = 0.01 mm। प्रेक्षित = 3.5 + 27 × 0.01 = 3.77 mm; 3 × 0.01 = 0.03 mm की धनात्मक शून्य त्रुटि घटाई जाती है, जिससे 3.74 mm। उसे जोड़ना 3.80 mm देता है, और उपेक्षा 3.77 mm।0.004020 में कितने सार्थक अंक हैं?
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उत्तर: A — 4
अग्रणी शून्य केवल दशमलव बिंदु का स्थान बताते हैं और सार्थक नहीं; 4, 4 व 2 के बीच का शून्य, 2 तथा दशमलव के बाद का अनुगामी शून्य सार्थक हैं — कुल चार। तीन अनुगामी शून्य छोड़ता है, जो गिना जाता है क्योंकि वह जान-बूझकर दर्ज किया गया।मुक्त आकाश की विद्युतशीलता ε₀ का विमीय सूत्र है:
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उत्तर: A — [M⁻¹L⁻³T⁴A²]
F = q²/(4πε₀r²) से ε₀ = q²/(Fr²) = [A²T²]/([MLT⁻²][L²]) = [M⁻¹L⁻³T⁴A²]। [MLT⁻²A⁻²], F/l = μ₀I²/(2πd) से μ₀ है; [MLT⁻³A⁻¹] विद्युत क्षेत्र है।किसी द्रव पृष्ठ पर तरंगिकाओं की चाल v को पृष्ठ तनाव S, घनत्व ρ व तरंगदैर्घ्य λ पर निर्भर माना जाता है। विमीय विश्लेषण देता है:
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उत्तर: A — v ∝ √(S/(ρλ))
S = [MT⁻²], ρ = [ML⁻³]। v = Sᵃρᵇλᶜ सहित: M: a + b = 0; T: −2a = −1, अतः a = ½ व b = −½; L: −3b + c = 1, अतः c = −½। अतः v ∝ √(S/(ρλ))। अंश में λ वाला विकल्प गुरुत्व-तरंग रूप √(gλ) है, जिसे g चाहिए।किसी लंबाई के सोलह दोहराए पाठ्यांकों का मानक विचलन 0.8 mm है। उनके माध्य की मानक त्रुटि, mm में, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.2
मानक त्रुटि σ/√N = 0.8/√16 = 0.8/4 = 0.2 mm है। स्वयं मानक विचलन (0.8 mm) एकल पाठ्यांकों का प्रसार है, और σ/N = 0.05 mm माध्य की अनिश्चितता को कम आँकता है।किसी लंबाई के दो स्वतंत्र मापन 10.0 ± 0.1 cm व 10.3 ± 0.2 cm हैं। उनका भारित माध्य, cm में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 10.06
भार 1/σ² हैं: 100 व 25। माध्य = (100 × 10.0 + 25 × 10.3)/125 = (1000 + 257.5)/125 = 10.06 cm, अनिश्चितता 1/√125 = 0.09 cm। अभारित औसत 10.15 cm कमज़ोर मापन को बराबर महत्व देता है।दो-प्रोब मापन की तुलना में, किसी छोटे प्रतिरोध का चार-प्रोब मापन:
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उत्तर: A — परिणाम से लीडों का प्रतिरोध हटाता है; B — वोल्टता प्रोबों पर संपर्क प्रतिरोध हटाता है; C — वोल्टमीटर द्वारा नगण्य धारा लेने पर निर्भर है
पृथक धारा व वोल्टता लीडों तथा लगभग कोई धारा न लेने वाले वोल्टमीटर सहित, वोल्टता लीडों या उनके संपर्कों पर कोई IR पात नहीं आता, अतः V/I केवल प्रतिदर्श है। तापीय EMF DC विचलन हैं जो वोल्टता परिपथ में फिर भी आते हैं; वे धारा उलटकर व औसत लेकर हटाए जाते हैं।एक पतली परत (मोटाई प्रोब अंतराल से बहुत कम) पर समरेखीय चार-बिंदु प्रोब V/I = 2.0 Ω देता है। R_s = (π/ln 2)(V/I) प्रयोग करके पत्र-प्रतिरोध, Ω प्रति वर्ग में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 9.06
π/ln 2 = 3.1416/0.6931 = 4.532, अतः R_s = 4.532 × 2.0 = 9.06 Ω/□। मोटे प्रतिदर्श का गुणक 2πs लेने हेतु अंतराल चाहिए और वह प्रतिरोधकता देता है, पत्र-प्रतिरोध नहीं; स्वयं V/I = 2.0 Ω बताना ज्यामितीय गुणक छोड़ देता है।50 Hz मुख्य आपूर्ति पर एक पूर्ण-तरंग दिष्टकारी 1000 μF भंडार संधारित्र व स्थिर 100 mA लेने वाले भार को पोषित करता है। शिखर-से-शिखर उर्मिका वोल्टता, V में, लगभग ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 1
पूर्ण-तरंग दिष्टकरण प्रति मुख्य चक्र संधारित्र को दो बार, 100 Hz पर, पुनः आवेशित करता है, अतः V_r = I/(2fC) = 0.1/(2 × 50 × 1000 × 10⁻⁶) = 1.0 V। अर्ध-तरंग रूप I/(fC) लेना 2 V देता है।जब भिन्न मुख्य सॉकेटों पर भूसंपर्कित एक संवेदक व एक प्रवर्धक, दोनों सिरों पर भूसंपर्कित परिरक्षित केबल से जोड़े जाते हैं, तो छोटे संकेत पर 50 Hz गुंजन आती है। सबसे उपयुक्त उपाय है:
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उत्तर: A — भू-पाश तोड़ना — एकल-बिंदु भूसंपर्क, या परिरक्षक केवल एक सिरे पर भूसंपर्कित
गुंजन दोनों भू के बीच के विभवांतर से उत्पन्न होती है जो परिरक्षक द्वारा बंद पाश में धारा घुमाता है। पाश तोड़ना धारा हटा देता है। सुरक्षा-भू हटाना ख़तरनाक व वर्जित है, लब्धि बढ़ाना संकेत के साथ गुंजन भी बढ़ाता है, और लंबी केबल पाश बड़ा करती है।एक लॉक-इन प्रवर्धक V_s sin(ωt + φ) तथा समान ω पर संदर्भ प्राप्त करता है। कला-संवेदी संसूचन व निम्न-पारक फ़िल्टरन के बाद उसका सम-कला आउटपुट किसके समानुपाती है?
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उत्तर: A — V_s cos φ
sin(ωt + φ) sin ωt = ½[cos φ − cos(2ωt + φ)]; फ़िल्टर 2ω पद हटाकर ½V_s cos φ छोड़ता है। sin φ पद द्वि-कला उपकरण का लंबकोणीय (Y) आउटपुट है, और ω से दूर का शोर आउटपुट पर आने के बजाय औसत में शून्य होता है।लॉक-इन प्रवर्धक के विषय में कौन-से कथन सही हैं?
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उत्तर: A — प्रयोग को संदर्भ आवृत्ति पर मॉडुलित करना आवश्यक है; B — आउटपुट समय-नियतांक बढ़ाने से संसूचन बैंड-चौड़ाई संकीर्ण होती है; C — यह उस संकेत को पुनः प्राप्त कर सकता है जिसका आयाम ब्रॉडबैंड शोर से छोटा है
लॉक-इन केवल संदर्भ आवृत्ति पर संसूचन करता है, अतः संकेत को मॉडुलन से वहाँ रखना पड़ता है। उसकी तुल्य बैंड-चौड़ाई लगभग 1/(4τ) है, अतः लंबा τ अधिक शोर अस्वीकार करता है, और इसी से ब्रॉडबैंड शोर से बहुत नीचे का संकेत पुनः प्राप्त होता है। यह संकीर्ण-बैंड संसूचक है — सभी आवृत्तियाँ मापने का उलटा।