विद्युतचुंबकीय सिद्धांत: सीमा-मान समस्याएँ, प्रतिबिंब, माध्यम, बहुध्रुव, विभव व गेज, तरंगें, फ़्रेनेल गुणांक व पॉइंटिंग सदिश
1. सीमा-मान समस्याएँ: अद्वितीयता, प्रतिबिंब व चर-पृथक्करण
आवेश-मुक्त क्षेत्र में विभव लाप्लास समीकरण ∇²V = 0 का पालन करता है (जहाँ आवेश हो वहाँ प्वासों का ∇²V = −ρ/ε₀)। अद्वितीयता प्रमेय — प्रत्येक सीमा पर V, या प्रत्येक चालक पर कुल आवेश, दिए जाते ही V निर्धारित है — किसी भी ऐसी युक्ति की अनुमति देता है जो समीकरण व सीमा प्रतिबंध संतुष्ट करे, क्योंकि जो काम करे वही उत्तर है।
- भूसंपर्कित तल से d ऊँचाई पर बिंदु आवेश q: तल को गहराई d पर प्रतिबिंब −q से बदलें। प्रेरित पृष्ठ आवेश का योग −q है, और q पर बल q²/[4πε₀(2d)²], आकर्षी। 0.1 m पर 1 μC हेतु यह 8.988 × 10⁹ × 10⁻¹²/0.04 = 0.225 N है।
- त्रिज्या R के भूसंपर्कित गोले के केंद्र से a दूरी पर बिंदु आवेश q: प्रतिबिंब केंद्र से R²/a दूरी पर q′ = −qR/a है। पृथक उदासीन गोले को केंद्र पर दूसरा प्रतिबिंब +qR/a चाहिए।
- चर-पृथक्करण: कार्तीय निर्देशांकों में V = X(x)Y(y), ∇²V = 0 को X″/X = −Y″/Y = k² में बदलता है, जो एक दिशा में ज्याएँ व दूसरी में घातांक देता है; सीमा प्रतिबंध k व फुरिये श्रेणी गुणांक तय करते हैं। दिगंशीय सममिति सहित गोलीय निर्देशांकों में V = Σ(Aₗrˡ + Bₗr−(l+1))Pₗ(cos θ)।
2. परावैद्युत, चालक, चुंबकीय पदार्थ व बहुध्रुव प्रसार
परावैद्युत का ध्रुवण P बद्ध आवेश ρ_b = −∇·P व σ_b = P·n̂ उत्पन्न करता है। विस्थापन D = ε₀E + P का ∇·D = ρ_free है, और रैखिक माध्यम में D = εE, ε = ε₀(1 + χ_e) सहित। चुंबकित पदार्थ में बद्ध धाराएँ J_b = ∇×M व K_b = M×n̂ हैं; H = B/μ₀ − M का ∇×H = J_free है, और B = μH, μ = μ₀(1 + χ_m) सहित। स्थिरवैद्युत साम्य में चालक के भीतर E = 0, कोई भी आवेश सतह पर रहता है, और ठीक बाहर E अभिलंब के अनुदिश σ/ε₀ है।
| संतत | असंतत |
|---|---|
| E_स्पर्शरेखीय, D_अभिलंब | E_अभिलंब विद्युतशीलताओं के अनुपात से उछलता है |
| H_स्पर्शरेखीय, B_अभिलंब | B_स्पर्शरेखीय पारगम्यताओं के अनुपात से उछलता है |
स्थानीकृत आवेश वितरण से दूर, बहुध्रुव प्रसार V = (1/4πε₀)Σ (1/rl+1) ∫ r′ˡ Pₗ(cos α) ρ dτ′ विभव को उसके ह्रास से छाँटता है: एकध्रुव (कुल आवेश) 1/r, द्विध्रुव 1/r², चतुर्ध्रुव 1/r³। द्विध्रुव पद V = p cos θ/(4πε₀r²) है, और उसका क्षेत्र 1/r³ की तरह घटता है। निम्नतम अलुप्त आघूर्ण मूल-बिंदु से स्वतंत्र है; आवेशों के उदासीन युग्म का एकध्रुव शून्य है, अतः उसका द्विध्रुव आघूर्ण मूल-बिंदु से स्वतंत्र है। चुंबकीय प्रसार में एकध्रुव पद होता ही नहीं, और उसका द्विध्रुव पद m = I × क्षेत्रफल लेता है।
3. मैक्सवेल समीकरण, विभव व गेज
| अवकल रूप | विषय-वस्तु |
|---|---|
| ∇·D = ρ_free | गाउस: आवेश D का स्रोत है |
| ∇·B = 0 | कोई चुंबकीय एकध्रुव नहीं |
| ∇×E = −∂B/∂t | फ़ैराडे: परिवर्ती B घूर्णी E प्रेरित करता है |
| ∇×H = J_free + ∂D/∂t | ऐम्पियर–मैक्सवेल: विस्थापन धारा नियम पूरा करती है |
विस्थापन धारा ∂D/∂t के बिना ऐम्पियर नियम का अपसरण ∇·J = 0 बाध्य करता, जो आवेश संचित होने पर, जैसे आवेशित होते संधारित्र पर, सांतत्य समीकरण ∇·J + ∂ρ/∂t = 0 का खंडन करता। क्योंकि ∇·B = 0, B = ∇×A लिखा जा सकता है; फ़ैराडे नियम तब E = −∇V − ∂A/∂t की अनुमति देता है। विभव अद्वितीय नहीं: गेज रूपांतरण A → A + ∇λ, V → V − ∂λ/∂t, E व B को अपरिवर्तित छोड़ता है।
- कूलॉम गेज ∇·A = 0: V तात्कालिक आवेश घनत्व सहित प्वासों समीकरण का पालन करता है — स्थैतिकी व स्रोत-मुक्त क्षेत्रों में विकिरण हेतु सुविधाजनक, और प्रत्यक्षतः आपेक्षिकीय नहीं।
- लोरेंज़ गेज ∇·A + (1/c²)∂V/∂t = 0: दोनों विभव समान संकारक सहित तरंग समीकरणों का पालन करते हैं, □²V = −ρ/ε₀ व □²A = −μ₀J — लोरेंट्ज़-सहपरिवर्ती चुनाव, और वह जिसके हल मंदित विभव हैं।
4. मुक्त आकाश, परावैद्युतों व चालकों में तरंगें
स्रोत-मुक्त रैखिक माध्यम में मैक्सवेल समीकरण ∇²E = με ∂²E/∂t² देते हैं, चाल v = 1/√(με) = c/n की तरंग, n = √(ε_rμ_r) सहित। समतल तरंग हेतु E, B व k परस्पर लंबवत् हैं, B = E/v, और आंतरिक प्रतिबाधा η = √(μ/ε) है: निर्वात में 376.7 Ω तथा ε_r = 4, μ_r = 1 हेतु 376.7/2 ≈ 188 Ω।
चालकता σ वाले चालक में तरंग-संख्या सम्मिश्र है, k = β + iα। उत्तम चालक (σ ≫ ωε) हेतु α = β = 1/δ, जहाँ त्वचा गहराई δ = √(2/(ωμσ)) = 1/√(πfμσ): आयाम e−z/δ की तरह गिरता है, B, E से 45° पीछे रहता है, कला वेग ωδ है, और लगभग संपूर्ण क्षेत्र-ऊर्जा चुंबकीय है। ताँबे (σ = 5.8 × 10⁷ S/m) हेतु 1 MHz पर δ = 1/√(π × 10⁶ × 4π × 10⁻⁷ × 5.8 × 10⁷) = 66 μm; 50 Hz पर यह लगभग 9 mm है, इसीलिए उच्च-आवृत्ति धारा तार की केवल सतह में बहती है।
5. परावर्तन, पारगमन व ध्रुवण
अभिलंब आपतन पर माध्यम 1 से माध्यम 2 (अचुंबकीय) तक, आयाम गुणांक r = (n₁ − n₂)/(n₁ + n₂) व t = 2n₁/(n₁ + n₂) हैं, और शक्ति गुणांक R = r² व T = (n₂/n₁)t², R + T = 1 सहित। वायु से काँच (n = 1.5) R = (0.5/2.5)² = 4% परावर्तित करता है। n₂ > n₁ हेतु ऋणात्मक r, सघन माध्यम से परावर्तन पर अर्ध-तरंग कला परिवर्तन है।
- तिर्यक आपतन s (TE, आपतन तल के लंबवत् E) व p (TM, उसमें E) में बँटता है, प्रत्येक के अपने फ़्रेनेल गुणांक, जैसे r_s = (n₁cos θᵢ − n₂cos θₜ)/(n₁cos θᵢ + n₂cos θₜ)।
- ब्रूस्टर कोण tan θ_B = n₂/n₁: r_p = 0, अतः परावर्तित प्रकाश पूर्णतः s-ध्रुवित है, और परावर्तित व अपवर्तित किरणें लंबवत् हैं। n₂/n₁ = √3 हेतु θ_B = 60°।
- पूर्ण आंतरिक परावर्तन n₁ > n₂ हेतु sin θ_c = n₂/n₁ से परे: |r| = 1, और एक क्षयी क्षेत्र माध्यम 2 में औसतन शक्ति वहन किए बिना क्षीण होता है।
- ध्रुवण E द्वारा बनाया प्रतिरूप है: रैखिक जब दोनों अनुप्रस्थ घटक सम-कला हों, वृत्तीय जब वे बराबर व 90° अंतर पर हों, अन्यथा दीर्घवृत्तीय।
6. पॉइंटिंग प्रमेय, तरंगों की ऊर्जा व संवेग
पॉइंटिंग प्रमेय, −∂u/∂t = ∇·S + J·E, क्षेत्रों हेतु ऊर्जा संरक्षण है: किसी आयतन में क्षेत्र-ऊर्जा u = ½(ε₀E² + B²/μ₀) उसकी सतह से बाहर S = E × H के फ़्लक्स तथा भीतर आवेशों पर किए कार्य से घटती है। निर्वात में समतल तरंग हेतु विद्युत व चुंबकीय ऊर्जाएँ बराबर हैं, और समय-औसत तीव्रता I = ⟨S⟩ = ½cε₀E₀² है। 1 mm² पर फैले 1 mW पुंज का I = 1000 W/m² व E₀ = √(2I/(cε₀)) ≈ 868 V/m है।
तरंग संवेग भी वहन करती है, घनत्व S/c² सहित, अतः वह विकिरण दाब डालती है: अभिलंब आपतन पर पूर्ण अवशोषक पर I/c और पूर्ण परावर्तक पर 2I/c। 1360 W/m² का सूर्यप्रकाश किसी अवशोषी सतह पर 1360/(3 × 10⁸) = 4.53 μPa दबाव डालता है। वृत्तीय ध्रुवित तरंग कोणीय संवेग भी वहन करती है, प्रति फ़ोटॉन ±ħ।
मुख्य बिंदु
- अद्वितीयता प्रतिबिंबों की अनुमति देती है: भूसंपर्कित तल हेतु गहराई d पर −q, भूसंपर्कित गोले हेतु R²/a पर −qR/a; E₀ में परावैद्युत गोले का E_in = 3E₀/(ε_r + 2)।
- बद्ध आवेश −∇·P व P·n̂, बद्ध धाराएँ ∇×M व M×n̂; बहुध्रुव 1/r, 1/r², 1/r³ की तरह घटते हैं, और कोई चुंबकीय एकध्रुव पद नहीं।
- E = −∇V − ∂A/∂t, B = ∇×A; कूलॉम गेज ∇·A = 0, लोरेंज़ गेज ∇·A + (1/c²)∂V/∂t = 0 दोनों विभवों हेतु तरंग समीकरण देता है।
- उत्तम चालक: δ = √(2/(ωμσ)), f व σ के साथ घटता; B, E से 45° पीछे।
- अभिलंब आपतन पर R = ((n₁ − n₂)/(n₁ + n₂))², tan θ_B = n₂/n₁; I = ½cε₀E₀², दाब अवशोषित I/c व परावर्तित 2I/c।
अभ्यास प्रश्न (14)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
1 μC का एक बिंदु आवेश एक अनंत भूसंपर्कित चालक तल से 0.1 m ऊपर रखा है। 1/(4πε₀) = 8.988 × 10⁹ N m² C⁻² लेकर आवेश पर बल का परिमाण, N में, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.225
प्रतिबिंब −q तल से 0.1 m नीचे, q से 0.2 m दूर है, अतः F = 8.988 × 10⁹ × (10⁻⁶)²/(0.2)² = 0.225 N, आकर्षी। ऊँचाई 0.1 m को पृथक्करण लेना 0.899 N देता है, चार गुना अधिक।एक बिंदु आवेश q, त्रिज्या R (a > R) के भूसंपर्कित चालक गोले के केंद्र से a दूरी पर है। प्रतिबिंब आवेश व केंद्र से उसकी दूरी हैं:
उत्तर देखें
उत्तर: A — R²/a पर −qR/a
पूरे गोले पर V = 0 की शर्त q′ = −qR/a को व्युत्क्रम बिंदु R²/a पर रखने को बाध्य करती है। पूर्ण −q तल का प्रतिबिंब है (R → ∞ सीमा), और −qa/R परिमाण में q से अधिक होता।आपेक्षिक विद्युतशीलता ε_r का एक रैखिक परावैद्युत गोला एकसमान क्षेत्र E₀ में रखा जाता है। गोले के भीतर क्षेत्र है:
उत्तर देखें
उत्तर: A — एकसमान, 3E₀/(ε_r + 2)
केवल l = 1 लेजेंड्रे पद सहित चर-पृथक्करण भीतर एकसमान क्षेत्र 3E₀/(ε_r + 2) देता है। E₀/ε_r क्षेत्र के लंबवत् पट्टिका का परिणाम है, गोले का नहीं, और शून्य चालक सीमा ε_r → ∞ है।उस उदासीन आवेश वितरण से दूर जिसका द्विध्रुव आघूर्ण लुप्त है पर चतुर्ध्रुव आघूर्ण नहीं, विभव किस प्रकार घटता है?
उत्तर देखें
उत्तर: A — 1/r³
l-वाँ बहुध्रुव V में 1/rl+1 योगदान देता है: एकध्रुव 1/r, द्विध्रुव 1/r², चतुर्ध्रुव (l = 2) 1/r³। 1/r⁴ चतुर्ध्रुव का क्षेत्र है, उसके विभव से एक घात तेज़।निर्वात में समय-निर्भर क्षेत्रों हेतु निम्न में से कौन-से सत्य हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — ∇·B = 0; B — ∇×E = −∂B/∂t; C — ∇·E = ρ/ε₀
पहले तीन मैक्सवेल समीकरण ज्यों-के-त्यों हैं। ∇×B = μ₀J केवल स्थिर धाराओं हेतु ऐम्पियर नियम है; समय-निर्भर क्षेत्रों में इसमें विस्थापन पद μ₀ε₀∂E/∂t नहीं है और यह आवेश संरक्षण का खंडन करता।लोरेंज़ गेज प्रतिबंध है:
उत्तर देखें
उत्तर: A — ∇·A + (1/c²)∂V/∂t = 0
लोरेंज़ प्रतिबंध A व V को ऐसे युग्मित करता है कि दोनों समान तरंग समीकरण मानें और प्रतिबंध लोरेंट्ज़ अपरिवर्ती हो। ∇·A = 0 कूलॉम गेज है; ∇×A = 0, B को लुप्त कर देता और गेज चुनाव है ही नहीं।ताँबे का σ = 5.8 × 10⁷ S/m व μ = μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H/m है। 1 MHz पर त्वचा गहराई, μm में, निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 66
δ = 1/√(πfμσ) = 1/√(3.1416 × 10⁶ × 1.2566 × 10⁻⁶ × 5.8 × 10⁷) = 1/√(2.29 × 10⁸) = 6.61 × 10⁻⁵ m = 66 μm। π छोड़ना, 1/√(fμσ), 117 μm देता है; 1/√(πfμσ) में πf के स्थान पर ω लेना 47 μm देता है।उत्तम चालक (σ ≫ ωε) में समतल तरंग हेतु कौन-से कथन सही हैं?
उत्तर देखें
उत्तर: A — B, E से 45° पीछे रहता है; B — त्वचा गहराई 1/√f के समानुपाती है; D — चुंबकीय ऊर्जा घनत्व विद्युत से बहुत अधिक है
k = (1 + i)/δ की कला 45° है, और B = kE/ω उतने कोण से E से पीछे है। δ = √(2/(ωμσ)), 1/√f व 1/√σ की तरह घटता है, अतः बेहतर चालक की त्वचा पतली है। |B|/|E| = |k|/ω बड़ा है, अतः B²/μ ≫ εE²: ऊर्जा अधिकांशतः चुंबकीय है।मुक्त आकाश की आंतरिक प्रतिबाधा 376.7 Ω है। ε_r = 4 वाले अचुंबकीय हानिरहित परावैद्युत हेतु आंतरिक प्रतिबाधा Ω में, निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 188
η = √(μ/ε) = η₀/√ε_r = 376.7/2 = 188 Ω। वर्गमूल के स्थान पर ε_r से भाग देना 94 Ω देता है।प्रकाश वायु से 1.5 अपवर्तनांक वाले काँच पर अभिलंबवत् पड़ता है। आपतित शक्ति का परावर्तित भाग ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.04
R = ((n₁ − n₂)/(n₁ + n₂))² = (−0.5/2.5)² = 0.04। आयाम गुणांक −0.2 है; उसके वर्ग के स्थान पर उसे, या उसका परिमाण, बताना सामान्य त्रुटि है।वायु में प्रकाश 1.732 अपवर्तनांक वाले माध्यम पर आपतित है। ब्रूस्टर कोण, अंशों में, निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 60
tan θ_B = n₂/n₁ = 1.732 = √3, अतः θ_B = 60°। इस कोण पर r_p = 0 और परावर्तित प्रकाश s-ध्रुवित है। sin θ = 1/n (क्रांतिक-कोण सूत्र) लेना 35° देता है।एक तरंग का E = E₀(x̂ cos(kz − ωt) + ŷ sin(kz − ωt)) है। वह है:
उत्तर देखें
उत्तर: A — वृत्तीय ध्रुवित
दोनों घटकों के आयाम बराबर हैं और वे 90° विपरीत-कला में हैं, अतः स्थिर z पर E का शीर्ष E₀ त्रिज्या का वृत्त बनाता है। 45° पर रैखिक ध्रुवण हेतु घटक सम-कला चाहिए; असमान आयाम उसे दीर्घवृत्तीय बनाते।1 mW का एकसमान तीव्रता वाला एक लेज़र पुंज 1 mm² अनुप्रस्थ काट का है। c = 3.00 × 10⁸ m/s व ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² F/m सहित उसके विद्युत क्षेत्र का आयाम, V/m में, निकटतम पूर्णांक तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 868
I = 10⁻³ W/10⁻⁶ m² = 1000 W/m², और I = ½cε₀E₀² से E₀ = √(2 × 1000/(3 × 10⁸ × 8.854 × 10⁻¹²)) = √(7.53 × 10⁵) = 868 V/m। ½ छोड़ना वर्ग-माध्य-मूल जैसा मान 614 V/m देता है।1360 W/m² तीव्रता का सूर्यप्रकाश एक पूर्णतः अवशोषी सतह पर अभिलंबवत् पड़ता है। c = 3.00 × 10⁸ m/s सहित विकिरण दाब μPa में, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 4.53
P = I/c = 1360/(3 × 10⁸) = 4.53 × 10⁻⁶ Pa = 4.53 μPa। पूर्ण परावर्तक इसका दोगुना, 9.07 μPa, अनुभव करता, क्योंकि संवेग अवशोषित होने के बजाय उलट जाता है।