टेलर श्रेणी, विलोपन व पुनरावृत्ति से रैखिक निकाय, रैखिक समाश्रयण, तथा एक-विमीय विसरणशीलता व लाप्लास समीकरण

GATE पेट्रोलियम अभियांत्रिकी (PE) पेपर के खंड 1 के चार उप-विषय जिन्हें कोई साझा गणित अध्याय उस गहराई पर नहीं पढ़ाता जो पेपर नामित करता है, यहाँ केवल इसी पेपर हेतु लिखे गए ताकि इसका अभियांत्रिकी गणित पूर्ण हो। कलन शीर्षक से: एक चर के फलन की टेलर श्रेणी। आंकिक विधियों से: रैखिक बीजीय समीकरणों का आंकिक हल — गाउस विलोपन तथा जैकोबी व गाउस-सीडल पुनरावृत्तियाँ (साझा आंकिक विधियाँ अध्याय एकल अरैखिक समीकरण के मूल, संख्यात्मक समाकलन व ODE के चरण पढ़ाता है)। प्रायिकता व सांख्यिकी से: रैखिक समाश्रयण विश्लेषण। अवकल समीकरणों से: एक-विमीय विसरणशीलता समीकरण व लाप्लास समीकरण का हल — साझा अवकल समीकरण अध्याय ऊष्मा व लाप्लास समीकरणों को नामित व वर्गीकृत करता है; यह अध्याय उन्हें उस रूप में हल करता है जिसमें पेट्रोलियम अभियंता उनसे मिलता है। PE के गणित का शेष — आव्यूह व आइगेन-मान, एकचर व बहुचर कलन, सदिश कलन, प्रथम व उच्च-कोटि ODE, लाप्लास रूपांतरण, ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ, प्रायिकता व बंटन, मूल-खोज, समलंब व सिम्पसन नियम, एकल व बहु-चरण ODE विधियाँ — साझा अध्यायों में है।

1. एक चर के फलन की टेलर श्रेणी

यदि x = a पर f के हर कोटि के अवकलज हों, तो a के परितः उसकी टेलर श्रेणी f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + f‴(a)(x − a)³/3! + … है, और a = 0 के परितः इसे मैक्लॉरिन श्रेणी कहते हैं। (x − a)ⁿ वाले पद के बाद काटने पर शेषफल बचता है जो लाग्रांज रूप में, a व x के बीच किसी ξ हेतु, Rₙ = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x − a)ⁿ⁺¹/(n + 1)! है — अतः कटी हुई श्रेणी की त्रुटि पहले छोड़े गए पद से नियंत्रित होती है। पाँच मैक्लॉरिन श्रेणियाँ कंठस्थ होनी चाहिए: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … (सभी x); sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − … व cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − … (सभी x); ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … (−1 < x ≤ 1); तथा 1/(1 − x) = 1 + x + x² + … (|x| < 1)।

टेलर श्रेणी हर परिमित-अंतर सूत्र का स्रोत है। f(x + h) व f(x − h) को x के परितः लिखकर घटाने पर केंद्रीय अंतर f′(x) ≈ [f(x + h) − f(x − h)]/(2h) मिलता है, जिसकी खंडन त्रुटि −h²f‴(x)/6, कोटि h², है; केवल f(x + h) रखने पर अग्र अंतर [f(x + h) − f(x)]/h मिलता है, कोटि h। दोनों प्रसारों को जोड़ने पर द्वितीय अवकलज f″(x) ≈ [f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)]/h² मिलता है, वह भी कोटि h²। यही अंतिम सूत्र है जिससे भंडार अनुकारी (reservoir simulator) ग्रिड पर विसरणशीलता समीकरण के ∂²p/∂x² को विविक्त करता है, इसीलिए इस पेपर के आंकिक-विधि व भंडार-अनुकरण उप-विषय एक ही गणित हैं।

टेलर श्रेणी से अंतर सूत्र
सूत्रसन्निकटनखंडन त्रुटि
[f(x + h) − f(x)]/hf′(x), अग्रO(h)
[f(x) − f(x − h)]/hf′(x), पश्चO(h)
[f(x + h) − f(x − h)]/(2h)f′(x), केंद्रीयO(h²)
[f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)]/h²f″(x), केंद्रीयO(h²)
⚠️ h आधा करने से हर त्रुटि आधी नहीं होती
सूत्र की कोटि बताती है कि उसकी खंडन त्रुटि कैसे बदलती है। h आधा करने पर अग्र अंतर (कोटि h) की त्रुटि आधी होती है पर केंद्रीय अंतर (कोटि h²) की एक-चौथाई। जो प्रश्न h व h/2 पर दो अनुमान देकर त्रुटि-अनुपात पूछे, वह ठीक यही जाँचता है।

2. रैखिक बीजीय समीकरणों का आंकिक हल

निकाय Ax = b को प्रत्यक्ष या पुनरावृत्ति से हल किया जा सकता है। गाउस विलोपन प्रत्यक्ष है: प्रत्येक धुरी-पंक्ति (pivot row) के गुणज नीचे की पंक्तियों से घटाएँ जब तक A ऊपरी त्रिभुजाकार न हो जाए, फिर अंतिम अज्ञात से ऊपर की ओर पश्च-प्रतिस्थापन करें। n समीकरणों हेतु इसमें लगभग n³/3 गुणन लगते हैं, और धुरी शून्य होने पर यह पूर्णतः विफल होता है — तथा धुरी मात्र छोटी होने पर परिशुद्धता खोता है — अतः व्यावहारिक कोड आंशिक धुरीकरण प्रयोग करते हैं, हर विलोपन-चरण से पहले सबसे बड़ी उपलब्ध धुरी वाली पंक्ति ऊपर लाते हुए। त्रि-विकर्णी निकाय, जो एक-विमीय परिमित-अंतर ग्रिड देता है, थॉमस कलनविधि से हल होता है — गाउस विलोपन जो केवल तीन विकर्णों को छूता है और कोटि n का व्यय करता है।

जैकोबी पुनरावृत्ति प्रत्येक समीकरण को उसके विकर्ण अज्ञात हेतु पुनर्लिखित करती है और हर नया मान पिछली पुनरावृत्ति से निकालती है: xᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ = [bᵢ − Σⱼ≠ᵢ aᵢⱼxⱼ⁽ᵏ⁾]/aᵢᵢ। गाउस-सीडल वही सूत्र है, सिवाय इसके कि प्रत्येक नया मान निकलते ही प्रयुक्त होता है, अतः एक ही आवृत्ति में x₂ नया x₁ प्रयोग करता है; यह प्रायः जैकोबी से लगभग दोगुनी तेज़ी से अभिसरित होता है। दोनों किसी भी प्रारंभिक अनुमान से अभिसरण की गारंटी देते हैं जब A सख़्ती से विकर्ण-प्रधान हो (हर पंक्ति में |aᵢᵢ| > Σⱼ≠ᵢ |aᵢⱼ|), और गाउस-सीडल किसी भी सममित धनात्मक-निश्चित A हेतु भी अभिसरित होता है। समीकरणों का ऐसा पुनर्क्रम कि सबसे बड़े गुणांक विकर्ण पर आएँ, प्रायः अभिसरित न होते निकाय की एकमात्र आवश्यकता होती है।

🧠 गाउस-सीडल की एक आवृत्ति, क्रम से
(0, 0) से 4x + y = 9 व x + 3y = 7 हेतु: x = (9 − 0)/4 = 2.25, फिर y = (7 − 2.25)/3 = 1.583। जैकोबी पुराना x = 0 प्रयोग कर y = 7/3 = 2.333 पाता। यथार्थ हल x = 20/11 ≈ 1.818, y = 19/11 ≈ 1.727 है, और आव्यूह विकर्ण-प्रधान है, अतः दोनों पुनरावृत्तियाँ उसी की ओर बढ़ती हैं।

3. रैखिक समाश्रयण विश्लेषण

n युग्म (xᵢ, yᵢ) दिए होने पर न्यूनतम-वर्ग रेखा y = a + bx वह है जो ऊर्ध्वाधर विचलनों के वर्गों का योग Σ(yᵢ − a − bxᵢ)² न्यूनतम करे। दोनों आंशिक अवकलजों को शून्य रखने पर प्रसामान्य समीकरण Σy = na + bΣx व Σxy = aΣx + bΣx² मिलते हैं, जिनका हल b = Sxy/Sxx व a = ȳ − b x̄ है, जहाँ Sxy = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) व Sxx = Σ(xᵢ − x̄)²। समंजित रेखा सदा माध्य-बिंदु (x̄, ȳ) से होकर जाती है। सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 व 1 के बीच होता है और ढाल का चिह्न रखता है; इसका वर्ग, निर्धारण गुणांक R², y के प्रसरण का वह अंश है जिसे रेखा समझाती है। x पर y का समाश्रयण व y पर x का समाश्रयण भिन्न रेखाएँ हैं जब तक |r| = 1 न हो, और वे (x̄, ȳ) पर काटती हैं।

अधिकांश पेट्रोलियम आँकड़े समंजन से पहले सीधे किए जाते हैं। चरघातांकी उत्पादन-ह्रास q = qᵢe^(−Dt) रेखा ln q = ln qᵢ − Dt बन जाता है, अतः ह्रास-दर t के विरुद्ध ln q के ढाल का ऋणात्मक है। हॉर्नर समय-अनुपात के लघुगणक के विरुद्ध आलेखित दाब-पुनर्प्राप्ति एक रेखा है जिसका ढाल पारगम्यता देता है, और log t के विरुद्ध आलेखित दाब-पात भी ऐसी रेखा है। हर स्थिति में समाश्रयण रूपांतरित चरों पर साधारण न्यूनतम वर्ग है, और भौतिक स्थिरांक ढाल से पढ़ा जाता है, अंतःखंड से नहीं।

हल किया आँकड़ा-समुच्चय: x = 1, 2, 3, 4 व y = 2, 4, 5, 8
राशिमान
x̄, ȳ2.5, 4.75
Sxx = Σ(x − x̄)²5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)9.5
Syy = Σ(y − ȳ)²18.75
ढाल b = Sxy/Sxx; अंतःखंड a = ȳ − b x̄1.9; 0
सहसंबंध गुणांक r0.981
⚠️ ऊँचा r रेखा को सही प्रतिरूप नहीं बनाता
r केवल रैखिक संबद्धता मापता है। वक्र संबंध के आँकड़े 0.95 से ऊपर r दे सकते हैं जबकि अवशिष्ट स्पष्ट व्यवस्थित प्रतिरूप दिखाएँ, और x̄ के परितः सममित पूर्णतः नियतात्मक परवलय r = 0 देता है। समंजन पर भरोसे से पहले अवशिष्टों को, या भौतिकी को, देखें।

4. एक-विमीय विसरणशीलता समीकरण व लाप्लास समीकरण का हल

छिद्रिल माध्यम से होकर अल्प-संपीड्य एकल-प्रावस्था प्रवाह विसरणशीलता समीकरण का पालन करता है। एक रैखिक विमा में यह ∂²p/∂x² = (1/η)∂p/∂t है, द्रवचालित विसरणशीलता η = k/(φμcₜ) सहित; त्रिज्य रूप में यह (1/r)∂/∂r(r ∂p/∂r) = (1/η)∂p/∂t है। गणितीय रूप से यह ऊष्मा समीकरण है: परवलयी, विसरणी, अपने प्रारंभिक आँकड़ों को चिकना करने वाला। दो हल-विधियाँ महत्त्वपूर्ण हैं। दोनों सिरों पर शून्य पर रखे p वाले परिबद्ध प्रांत 0 < x < L हेतु चर-पृथक्करण p(x, t) = Σ Bₙ sin(nπx/L) exp(−n²π²ηt/L²) देता है, Bₙ प्रारंभिक रूपरेखा के फुरिये ज्या गुणांक; उच्च विधाएँ सबसे तेज़ी से मरती हैं, अतः देर के समय पर केवल पहली बचती है। अर्ध-अनंत प्रांत हेतु, जिसका x = 0 पृष्ठ अचानक pᵢ से p₀ किया जाए, समरूपता हल (p − p₀)/(pᵢ − p₀) = erf(x/(2√(ηt))) देता है: विक्षोभ √(ηt) की भाँति चलता है, इसीलिए दाब-स्पंद को दोगुनी दूरी तक पहुँचने में चार गुना समय लगता है।

जब समय के साथ कुछ न बदले तो दक्षिण पक्ष लुप्त होता है और विसरणशीलता समीकरण लाप्लास समीकरण बन जाता है, स्थायी अवस्था। एक रैखिक विमा में d²p/dx² = 0, अतः p अपने सीमा-मानों के बीच x में रैखिक है। त्रिज्य प्रवाह में d/dr(r dp/dr) = 0 का समाकलन p = C₁ ln r + C₂ देता है, और कूपछिद्र त्रिज्या r_w पर p = p_w तथा बाह्य त्रिज्या r_e पर p = p_e सहित, p(r) = p_w + (p_e − p_w) ln(r/r_w)/ln(r_e/r_w)। दाब त्रिज्या में लघुगणकीय है, अतः अधिकांश दाब-पात कूप के निकट ही व्यय होता है — यही कारण है कि कुछ फ़ुट मोटा क्षतिग्रस्त क्षेत्र (स्किन) इतना महत्त्व रखता है। इस रूपरेखा को डार्सी नियम में रखने पर भंडार अभियांत्रिकी अध्याय का स्थायी-अवस्था त्रिज्य अंतर्वाह समीकरण मिलता है।

  • प्रारंभिक-मान बनाम सीमा-मान। विसरणशीलता समीकरण को एक प्रारंभिक प्रतिबंध व दो सीमा प्रतिबंध चाहिए; लाप्लास समीकरण को केवल सीमा प्रतिबंध।
  • स्थिर-दर आंतरिक सीमा। स्थिर दर पर उत्पादन करता कूप r_w पर प्रवणता r ∂p/∂r नियत करता है (न्यूमान प्रतिबंध), दाब नहीं; तेल व गैस कूप परीक्षण अध्याय का रेखा-स्रोत हल ठीक उसी समस्या का उत्तर है।
  • विसरणशीलता समय-पैमाना तय करती है। समय-पैमाना L²/η: अधिक पारगम्यता इसे छोटा करती है, अधिक श्यानता, सरंध्रता या संपीड्यता इसे लंबा।
🎯 देर के समय की रूपरेखा एकल ज्या क्यों है
विधा n, exp(−n²π²ηt/L²) की भाँति क्षय होती है। जब तक पहली विधा अपने आरंभ के e⁻¹ तक गिरती है, दूसरी e⁻⁴ व तीसरी e⁻⁹ तक गिर चुकी होती है। इसीलिए कूप परीक्षण चरणों में विश्लेषित होता है: आरंभिक आँकड़ों पर कूप के निकट का प्रभुत्व होता है, देर के आँकड़ों पर सीमाओं का।

मुख्य बिंदु

  • कटी हुई टेलर श्रेणी लगभग अपने पहले छोड़े पद जितनी त्रुटि करती है; केंद्रीय अंतर O(h²) हैं, अग्र व पश्च अंतर O(h)।
  • गाउस विलोपन प्रत्यक्ष है और धुरीकरण चाहता है; जैकोबी व गाउस-सीडल पुनरावृत्तीय हैं और सख़्ती से विकर्ण-प्रधान निकायों हेतु अभिसरित होते हैं, गाउस-सीडल तेज़ क्योंकि वह नए मान तुरंत प्रयोग करता है।
  • न्यूनतम वर्ग: b = Sxy/Sxx, a = ȳ − b x̄, रेखा माध्यों से होकर जाती है, और r = Sxy/√(Sxx·Syy)।
  • पहले रैखिक करें: चरघातांकी ह्रास हेतु t के विरुद्ध ln q, क्षणिक परीक्षणों हेतु log समय के विरुद्ध दाब; भौतिकी ढाल में है।
  • विसरणशीलता समीकरण में η = k/(φμcₜ) है और यह √(ηt) की भाँति फैलता है; स्थायी अवस्था में यह लाप्लास समीकरण बनता है, x में रैखिक व r में लघुगणकीय।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. eˣ की मैक्लॉरिन श्रेणी के पहले तीन पदों से e^0.2 का सन्निकट मान ______ है (दो दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.22

    e^x ≈ 1 + x + x²/2 = 1 + 0.2 + 0.04/2 = 1 + 0.2 + 0.02 = 1.22। वास्तविक मान 1.2214 है; पहला छोड़ा पद x³/6 = 0.0013 लगभग पूरा अंतर समझाता है, जैसा लाग्रांज शेषफल कहता है।

  2. ln(1 + x) की मैक्लॉरिन श्रेणी, −1 < x ≤ 1 हेतु वैध, है

    1. x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + …
    2. x + x²/2 + x³/3 + x⁴/4 + …
    3. 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
    4. x − x³/3! + x⁵/5! − …
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + …

    अवकलन करें: d/dx ln(1 + x) = 1/(1 + x) = 1 − x + x² − …, और 0 से पदशः समाकलन x − x²/2 + x³/3 − … देता है। सब-धन श्रेणी −ln(1 − x) है, तीसरी eˣ और चौथी sin x।

  3. f(x) = x³ का x = 1 पर अवकलज h = 0.1 सहित केंद्रीय अंतर [f(x + h) − f(x − h)]/(2h) से अनुमानित किया जाता है। अनुमान ______ है (दो दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 3.01

    f(1.1) = 1.331 व f(0.9) = 0.729, अतः अनुमान (1.331 − 0.729)/0.2 = 0.602/0.2 = 3.01 है। त्रुटि-सूत्र से जाँच: यथार्थ अवकलज 3 है और खंडन त्रुटि h²f‴/6 = 0.01 × 6/6 = 0.01, फिर 3.01।

  4. यदि f′(x) के केंद्रीय-अंतर अनुमान का चरण-आकार h आधा किया जाए, तो उसकी खंडन त्रुटि लगभग हो जाती है

    1. पहले की एक-चौथाई
    2. पहले की आधी
    3. अपरिवर्तित
    4. पहले की दोगुनी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — पहले की एक-चौथाई

    केंद्रीय अंतर की खंडन त्रुटि −h²f‴/6 है, कोटि h², अतः h आधा करने पर त्रुटि 2² = 4 से विभाजित होती है। आधी, अग्र या पश्च अंतर का उत्तर होता, जो केवल प्रथम कोटि है।

  5. निकाय 4x + y = 9, x + 3y = 7 को x = 0, y = 0 से आरंभ कर, पहले x अद्यतन करते हुए, गाउस-सीडल पुनरावृत्ति से हल किया जाता है। पहली पुनरावृत्ति के बाद y का मान ______ है (दो दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.58

    x₁ = (9 − y₀)/4 = 9/4 = 2.25। गाउस-सीडल यह नया x तुरंत प्रयोग करता है: y₁ = (7 − x₁)/3 = 4.75/3 = 1.583, अर्थात् 1.58। जैकोबी x₀ = 0 प्रयोग कर 2.33 देता, जो बचने योग्य भ्रामक उत्तर है।

  6. निम्न में से कौन-से गारंटी देते हैं कि Ax = b हेतु गाउस-सीडल पुनरावृत्ति किसी भी प्रारंभिक सदिश से अभिसरित होगी? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. A सख़्ती से विकर्ण-प्रधान है
    2. A सममित व धनात्मक-निश्चित है
    3. A केवल व्युत्क्रमणीय है
    4. A के विकर्ण पर एक शून्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — A सख़्ती से विकर्ण-प्रधान है; B — A सममित व धनात्मक-निश्चित है

    सख़्त विकर्ण-प्रधानता व सममित धनात्मक-निश्चितता, दोनों गाउस-सीडल हेतु पर्याप्त प्रतिबंध हैं। व्युत्क्रमणीयता हल के अस्तित्व की गारंटी देती है, पुनरावृत्ति द्वारा उसे पाने की नहीं, और विकर्ण पर शून्य अद्यतन सूत्र को शून्य से भाग दिलाता है।

  7. गाउस विलोपन में आंशिक धुरीकरण मुख्यतः किसलिए प्रयुक्त होता है

    1. शून्य या बहुत छोटी धुरी से भाग से बचने और इस प्रकार पूर्णांकन त्रुटि सीमित करने हेतु
    2. संक्रिया-गणना n³ से n² करने हेतु
    3. गुणांक आव्यूह को सममित बनाने हेतु
    4. प्रत्यक्ष विधि को पुनरावृत्तीय बनाने हेतु
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — शून्य या बहुत छोटी धुरी से भाग से बचने और इस प्रकार पूर्णांकन त्रुटि सीमित करने हेतु

    सबसे बड़ी उपलब्ध धुरी वाली पंक्ति को स्थान पर लाने से गुणक परिमाण में अधिकतम 1 रहते हैं, जो पूर्णांकन को बढ़ने से रोकता है और शून्य-धुरी विफलता हटाता है। यह कोटि-n³ व्यय, A की सममिति या विधि की प्रत्यक्ष प्रकृति नहीं बदलता।

  8. आँकड़ों x = 1, 2, 3, 4 व y = 2, 4, 5, 8 हेतु, x पर y की न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण रेखा का ढाल ______ है (एक दशमलव स्थान तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.9

    x̄ = 2.5 व ȳ = 19/4 = 4.75। Sxy = (−1.5)(−2.75) + (−0.5)(−0.75) + (0.5)(0.25) + (1.5)(3.25) = 4.125 + 0.375 + 0.125 + 4.875 = 9.5 व Sxx = 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 = 5, अतः b = 9.5/5 = 1.9। प्रसामान्य समीकरणों से जाँच: Σx = 10, Σx² = 30, Σy = 19, Σxy = 2 + 8 + 15 + 32 = 57; b = (4·57 − 10·19)/(4·30 − 100) = 38/20 = 1.9।

  9. उन्हीं आँकड़ों (x = 1, 2, 3, 4; y = 2, 4, 5, 8) हेतु सहसंबंध गुणांक r निकटतम है

    1. 0.98
    2. 0.90
    3. 0.51
    4. −0.98
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.98

    Syy = 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 10.5625 = 18.75, अतः r = 9.5/√(5 × 18.75) = 9.5/√93.75 = 9.5/9.682 = 0.981। चिह्न धनात्मक है क्योंकि ढाल धनात्मक है; R² = 0.963, अतः रेखा y के प्रसरण का लगभग 96% समझाती है।

  10. q = qᵢe^(−Dt) का पालन करते माने गए उत्पादन-दर आँकड़ों में सीधी रेखा की जाँच सबसे अच्छी किस आलेख पर होती है

    1. t के विरुद्ध ln q
    2. ln t के विरुद्ध q
    3. t के विरुद्ध q
    4. t के विरुद्ध 1/q
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — t के विरुद्ध ln q

    लघुगणक लेने पर ln q = ln qᵢ − Dt मिलता है, जो t में रैखिक है, ढाल −D व अंतःखंड ln qᵢ सहित। t के विरुद्ध q वक्र है, और t के विरुद्ध 1/q इसके स्थान पर अतिपरवलयिक ह्रास की हार्मोनिक (b = 1) सीधी रेखा है।

  11. स्थायी त्रिज्य प्रवाह लाप्लास समीकरण का पालन करता है। r_w = 0.5 ft पर p = 1000 psi व r_e = 500 ft पर p = 3000 psi होने पर r = 5 ft पर दाब ______ psi है (निकटतम पूर्णांक तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1667

    p(r) = p_w + (p_e − p_w) ln(r/r_w)/ln(r_e/r_w)। यहाँ r/r_w = 10 व r_e/r_w = 1000, अतः भिन्न ln 10/ln 1000 = 1/3 और p = 1000 + 2000/3 = 1666.7, जो 1667 psi तक पूर्णांकित होता है। पूरे दाब-पात का एक-तिहाई कूप के 4.5 ft भीतर ही है — लघुगणकीय रूपरेखा का प्रभाव।

  12. η = k/(φμcₜ) सहित एक-विमीय विसरणशीलता समीकरण ∂²p/∂x² = (1/η)∂p/∂t हेतु कौन-से कथन सही हैं? (एक से अधिक विकल्प सही हो सकते हैं।)

    1. यह परवलयी आंशिक अवकल समीकरण है
    2. दाब-विक्षोभ √(ηt) के समानुपाती दूरी तक पैठता है
    3. श्यानता दोगुनी करने से विसरणशीलता दोगुनी होती है
    4. स्थायी अवस्था में यह d²p/dx² = 0 बनता है, अतः p, x में रैखिक है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यह परवलयी आंशिक अवकल समीकरण है; B — दाब-विक्षोभ √(ηt) के समानुपाती दूरी तक पैठता है; D — स्थायी अवस्था में यह d²p/dx² = 0 बनता है, अतः p, x में रैखिक है

    दो स्थान-अवकलजों के सामने एक समय-अवकलज होने से समीकरण परवलयी है (B² − 4AC = 0)। समरूपता चर x/(2√(ηt)) पैठ को √(ηt) के अनुपात में करता है। ∂p/∂t = 0 रखने पर d²p/dx² = 0 बचता है, रैखिक रूपरेखा। श्यानता η के हर में है, अतः μ दोगुना करने से विसरणशीलता आधी होती है।

  13. 0 < x < L पर, दोनों सिरों पर p = 0 सहित, ∂p/∂t = η ∂²p/∂x² के चर-पृथक्करण हल में n-वीं फुरिये विधा समय के साथ किस रूप में क्षय होती है

    1. exp(−n²π²ηt/L²)
    2. exp(−nπηt/L)
    3. exp(−n²π²t/(ηL²))
    4. cos(nπ√η t/L)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — exp(−n²π²ηt/L²)

    X(x)T(t) रखने पर X″ + λX = 0 व X(0) = X(L) = 0 मिलते हैं, अतः λₙ = (nπ/L)², फिर T′ = −ηλₙT, अतः T = exp(−n²π²ηt/L²)। समय में कोज्या तरंग समीकरण की होती, और η को t से गुणा होना चाहिए, भाग नहीं, क्योंकि अधिक विसरणी माध्यम तेज़ी से शिथिल होता है।