NM हेतु अभियांत्रिकी गणित: आंकिक अवकलन, तथा यथातथ व बर्नूली समीकरण

नौवास्तुकला व समुद्री अभियांत्रिकी (NM) पेपर का खंड 1 दो ऐसी बातें नामित करता है जो साझा अभियांत्रिकी गणित अध्याय नहीं पढ़ाते, और यह अध्याय ठीक उन्हीं दो हेतु लिखा गया है। पहली है अवकलन हेतु आंकिक विधियाँ: साझा आंकिक विधियाँ अध्याय समलंब व सिम्पसन नियमों से समाकलन करता है पर किसी सारणी का अवकलन कभी नहीं करता, अतः अग्र, पश्च व केंद्रीय अंतर सूत्र, उनकी छिन्नन त्रुटियाँ, द्वितीय-अवकलज सूत्र, न्यूटन अग्र-अंतर अवकलज व रिचर्डसन बहिर्वेशन यहाँ हैं। दूसरी है "रैखिक, अरैखिक, प्रथम व उच्च कोटि साधारण अवकल समीकरण" का अरैखिक आधा भाग: उधार लिया प्रथम-कोटि अध्याय पृथक्करणीय, समघातीय व रैखिक रूप पढ़ाता है, अतः यथातथ (exact) समीकरण, उसके समाकलन गुणक और बर्नूली समीकरण, जिसे एक प्रतिस्थापन रैखिक बना देता है, भी यहाँ हैं। NM खंड 1 सूची का शेष सब साझा अध्यायों में है। दोनों प्रकरण छोटे, त्वरित व भरोसे से परीक्षणीय हैं: तीन सारणीबद्ध मानों पर अंतर-भागफल, या यथातथता का परीक्षण, एक मिनट का एक-अंक प्रश्न है।

1. टेलर श्रेणी से अंतर सूत्र

प्रत्येक आंकिक-अवकलन सूत्र एक छिन्न टेलर श्रेणी है। f(x + h) = f(x) + hf′(x) + (h²/2)f″(x) + (h³/6)f‴(x) + … लिखकर f′ हेतु हल करने पर अग्र अंतर f′(x) ≈ [f(x + h) − f(x)]/h मिलता है, जिसकी प्रमुख त्रुटि −(h/2)f″(ξ) है: प्रथम कोटि, O(h)। इसके स्थान पर f(x − h) का प्रसार पश्च अंतर [f(x) − f(x − h)]/h देता है, यह भी O(h)। दोनों प्रसारों को घटाने पर f″ पद कट जाते हैं और केंद्रीय अंतर f′(x) ≈ [f(x + h) − f(x − h)]/(2h) बचता है, जिसकी प्रमुख त्रुटि −(h²/6)f‴(ξ) है: द्वितीय कोटि, O(h²)। उन्हें जोड़ने पर f′ कट जाता है और द्वितीय-अवकलज सूत्र f″(x) ≈ [f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)]/h² मिलता है, यह भी O(h²), प्रमुख त्रुटि −(h²/12)f⁗ सहित।

चार सूत्र व उनकी त्रुटियाँ
सूत्रव्यंजकछिन्नन त्रुटि
अग्र अंतर[f(x + h) − f(x)]/h−(h/2)f″, कोटि h
पश्च अंतर[f(x) − f(x − h)]/h+(h/2)f″, कोटि h
केंद्रीय अंतर[f(x + h) − f(x − h)]/(2h)−(h²/6)f‴, कोटि h²
द्वितीय अवकलज[f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)]/h²−(h²/12)f⁗, कोटि h²
🧠 ज्ञात अवकलज वाले फलन पर सूत्र जाँचें
x = 1 पर h = 0.1 सहित f(x) = x³ हेतु: अग्र (1.331 − 1)/0.1 = 3.31 देता है, केंद्रीय (1.331 − 0.729)/0.2 = 3.01 देता है, और यथार्थ मान 3 है। अग्र त्रुटि 0.31, (h/2)f″ = 0.05 × 6 = 0.3 के निकट है; केंद्रीय त्रुटि 0.01 ठीक (h²/6)f‴ = 0.01 × 6/6 = 0.01 है, क्योंकि घन की टेलर श्रेणी तीसरे पद पर रुक जाती है।

2. सारणी का अवकलन: न्यूटन सूत्र व रिचर्डसन बहिर्वेशन

जब f केवल समान दूरी वाले बिंदुओं x₀, x₀ + h, x₀ + 2h, … पर ज्ञात हो, तो अग्र-अंतर सारणी Δf₀ = f₁ − f₀, Δ²f₀ = Δf₁ − Δf₀, आदि बनाएँ। न्यूटन के अग्र अंतर्वेशन बहुपद का x₀ पर अवकलन f′(x₀) ≈ (1/h)[Δf₀ − Δ²f₀/2 + Δ³f₀/3 − Δ⁴f₀/4 + …] देता है। केवल पहला पद रखना अग्र अंतर है; प्रत्येक अगला पद कोटि बढ़ाता है। यदि आँकड़े n घात के बहुपद से आए हों तो n-वें अंतर अचर और (n + 1)-वें शून्य होते हैं, अतः श्रेणी समाप्त हो जाती है और अवकलज यथार्थ होता है।

रिचर्डसन बहिर्वेशन दो चरण-आकारों को मिलाकर प्रमुख त्रुटि पद हटाता है। यदि D(h) की त्रुटि ch² है, तो D(h/2) की त्रुटि ch²/4 है, और c का विलोपन सुधरा आकलन D = [4D(h/2) − D(h)]/3 देता है, कोटि h⁴ का। प्रथम-कोटि सूत्र (त्रुटि ch) हेतु संयोजन 2D(h/2) − D(h) है। यही विचार समलंब नियम पर लगाने से रॉमबर्ग समाकलन बनता है।

⚠️ छोटा चरण सदैव बेहतर नहीं
h घटने पर छिन्नन त्रुटि घटती है, पर f(x + h) − f(x) की पूर्णांकन त्रुटि, h से भाग देने पर, 1/h के अनुसार बढ़ती है। अतः कुल त्रुटि का एक इष्टतम चरण पर न्यूनतम होता है, जिसके नीचे उत्तर बिगड़ता है। सीमित परिशुद्धता वाले कंप्यूटर पर h → 0 होने पर क्या होता है, ऐसा प्रश्न यही उत्तर चाहता है, "त्रुटि शून्य हो जाती है" नहीं।

3. यथातथ समीकरण व समाकलन गुणक

प्रथम-कोटि समीकरण M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 तब यथातथ है जब उसका बायाँ पक्ष किसी फलन u(x, y) का संपूर्ण अवकल हो, जो ठीक तब होता है जब ∂M/∂y = ∂N/∂x (एकधा संबद्ध क्षेत्र पर)। हल u(x, y) = C है, जो M का x के सापेक्ष समाकलन (y अचर रखकर) करके, फिर N के वे पद जोड़कर मिलता है जिनमें x नहीं है। (2xy + 3) dx + (x² + 4y) dy = 0 हेतु: ∂M/∂y = 2x = ∂N/∂x, अतः यह यथातथ है; ∫M dx = x²y + 3x, और N केवल-y पद 4y देता है, जिसका समाकल 2y² है। हल x²y + 3x + 2y² = C है।

जो समीकरण यथातथ नहीं है उसे प्रायः समाकलन गुणक μ से यथातथ बनाया जा सकता है। यदि (∂M/∂y − ∂N/∂x)/N केवल x का फलन हो, तो μ = exp∫[(∂M/∂y − ∂N/∂x)/N] dx; यदि (∂N/∂x − ∂M/∂y)/M केवल y का फलन हो, तो μ = exp∫[(∂N/∂x − ∂M/∂y)/M] dy। कुछ रूप देखते ही पहचाने जाते हैं: y dx − x dy को 1/x², 1/y² या 1/(xy) यथातथ बनाते हैं, क्रमशः −d(y/x), d(x/y) व d(ln x − ln y) देते हुए। रैखिक समीकरण dy/dx + Py = Q वह विशेष स्थिति है जिसका समाकलन गुणक e∫P dx है।

⚠️ यथातथता को तिर्यक अवकलजों से जाँचें, समान-चर वालों से नहीं
परीक्षण ∂M/∂y बनाम ∂N/∂x है — M का y से व N का x से अवकलन। ∂M/∂x की ∂N/∂y से तुलना सबसे आम भूल है और कुछ सिद्ध नहीं करती।

4. बर्नूली समीकरण

बर्नूली समीकरण dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ, n ≠ 0, 1 हेतु अरैखिक है, पर प्रतिस्थापन v = y1−n इसे रैखिक बना देता है: yⁿ से भाग देकर और dv/dx = (1 − n)y−n dy/dx प्रयोग करके dv/dx + (1 − n)P v = (1 − n)Q मिलता है, जो समाकलन गुणक e(1−n)∫P dx से हल होता है। n = 0 हेतु यह पहले से रैखिक है और n = 1 हेतु पृथक्करणीय, इसीलिए ये दोनों बाहर रखे जाते हैं।

हल किया उदाहरण, लॉजिस्टिक समीकरण dy/dx = y − y², अर्थात् dy/dx − y = −y² (n = 2)। v = 1/y सहित: dv/dx + v = 1, अतः v = 1 + Ce−x। यदि y(0) = 0.5 तो v(0) = 2 और C = 1, अतः y = 1/(1 + e−x), जो 0.5 से 1 की ओर बढ़ता है; x = ln 2 पर यह 1/(1 + 0.5) = 0.667 है।

  • दाईं ओर y की घात से n पहचानें; प्रतिस्थापन v = y1−n है, v = yⁿ नहीं।
  • प्रतिस्थापन के बाद v का गुणांक (1 − n)P व दायाँ पक्ष (1 − n)Q है; (1 − n) गुणक भूलना सामान्य त्रुटि है।
  • अचर ज्ञात करने से पहले प्रारंभिक प्रतिबंध को v में बदलें, फिर अंत में वापस y में।

5. NM खंड 1 का शेष कहाँ पढ़ाया गया है

NM खंड 1, उसे पढ़ाने वाले अध्यायों पर मानचित्रित
पाठ्यक्रम शब्दावलीकहाँ पढ़ाया गया है
सारणिक व आव्यूह, रैखिक समीकरण निकाय, आइगेन मान व आइगेन सदिशरैखिक बीजगणित अध्याय
फलन, निश्चित व अनिश्चित समाकलउधार लिए एकचर कलन अध्याय
शृंखला नियम, आंशिक व दिक्-अवकलज, प्रवणता, अपसरण, कर्ल, रेखा, पृष्ठ व आयतन समाकल, स्टोक्स, गाउस व ग्रीनबहुचर कलन व सदिश कलन अध्याय
प्रथम-कोटि रैखिक समीकरण; उच्च-कोटि ODE, PDE, चर-पृथक्करण, लाप्लास रूपांतरणउधार लिया प्रथम-कोटि अध्याय व अवकल समीकरण अध्याय
फुरिये श्रेणीकेवल रूपांतर अध्याय का पहला खंड
सम्मिश्र चरों के वैश्लेषिक फलन, सम्मिश्र विश्लेषणसम्मिश्र चर अध्याय
आंकिक समाकलन; प्रायिकता व सांख्यिकीआंकिक विधियाँ (उसका क्षेत्रकलन खंड) व प्रायिकता व सांख्यिकी अध्याय
आंकिक अवकलन; यथातथ व बर्नूली समीकरणयह अध्याय
ℹ️ द्रवस्थैतिकी में आंकिक समाकलन
नौवास्तुकला ऑफ़सेट का समाकलन सिम्पसन नियमों से करता है — जलतल क्षेत्रफल, काट क्षेत्रफल, आयतन व आघूर्ण। क्षेत्रकलन स्वयं साझा आंकिक विधियाँ अध्याय में पढ़ाया गया है; अर्ध-चौड़ाइयों पर उसका प्रयोग NM नौवास्तुकला अध्याय में है।

मुख्य बिंदु

  • अग्र व पश्च अंतर प्रथम कोटि के हैं (त्रुटि −(h/2)f″ व +(h/2)f″); केंद्रीय अंतर द्वितीय कोटि का है (त्रुटि −(h²/6)f‴)।
  • f″ ≈ [f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)]/h², द्वितीय कोटि; सारणी से f′(x₀) ≈ (1/h)[Δ − Δ²/2 + Δ³/3 − …]।
  • h² विधि हेतु रिचर्डसन: D = [4D(h/2) − D(h)]/3; पूर्णांकन के कारण बहुत छोटा h बेहतर नहीं, बदतर होता है।
  • M dx + N dy = 0 यथातथ है यदि और केवल यदि ∂M/∂y = ∂N/∂x; y dx − x dy हेतु 1/x², 1/y² या 1/(xy) समाकलन गुणक हैं।
  • बर्नूली dy/dx + Py = Qyⁿ: v = y1−n रखकर dv/dx + (1 − n)Pv = (1 − n)Q प्राप्त करें।

अभ्यास प्रश्न (12)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. केंद्रीय अंतर सन्निकटन f′(x) ≈ [f(x + h) − f(x − h)]/(2h) की छिन्नन त्रुटि किस कोटि की है?

    1. h²
    2. h
    3. h³
    4. h⁴
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — h²

    f(x + h) व f(x − h) के टेलर प्रसार घटाने पर सम-कोटि पद कट जाते हैं, अतः प्रमुख त्रुटि −(h²/6)f‴ है: कोटि h²। एकपक्षीय अग्र व पश्च अंतर कोटि h के हैं; कोटि h⁴ हेतु रिचर्डसन बहिर्वेशन या पाँच-बिंदु सूत्र चाहिए।

  2. f(x) = x³ हेतु, h = 0.1 सहित f′(1) का अग्र-अंतर आकलन, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3.31

    [f(1.1) − f(1)]/0.1 = (1.331 − 1)/0.1 = 3.31, यथार्थ 3 की तुलना में। त्रुटि 0.31 लगभग (h/2)f″(1) = 0.05 × 6 = 0.3 है, जैसा प्रथम-कोटि त्रुटि पद बताता है। केंद्रीय अंतर 3.01 देता।

  3. f(x) = x⁴ हेतु, h = 0.1 सहित x = 1 पर द्वितीय अवकलज का केंद्रीय-अंतर आकलन, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 12.02

    [f(1.1) − 2f(1) + f(0.9)]/h² = (1.4641 − 2 + 0.6561)/0.01 = 0.1202/0.01 = 12.02, यथार्थ f″(1) = 12 की तुलना में। त्रुटि 0.02, (h²/12)f⁗ = (0.01/12) × 24 = 0.02 के बराबर है, सूत्र का प्रमुख त्रुटि पद।

  4. f(x) = x³ हेतु f′(1) के केंद्रीय-अंतर आकलन h = 0.2 सहित 3.04 व h = 0.1 सहित 3.01 हैं। रिचर्डसन-बहिर्वेशित आकलन, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    केंद्रीय अंतर की त्रुटि ch² है, अतः D = [4D(h/2) − D(h)]/3 = (4 × 3.01 − 3.04)/3 = (12.04 − 3.04)/3 = 3.00, यथार्थ मान। दोनों आकलनों का औसत 3.025 देता है; प्रथम-कोटि संयोजन 2D(h/2) − D(h) 2.98 देता है।

  5. एक फलन x = 0, 1, 2, 3 पर f = 2, 5, 10, 17 सारणीबद्ध है। अवकलज हेतु न्यूटन अग्र-अंतर सूत्र से f′(0) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    प्रथम अंतर 3, 5, 7; द्वितीय अंतर 2, 2; तृतीय अंतर 0। h = 1 सहित f′(0) = Δf₀ − Δ²f₀/2 + Δ³f₀/3 = 3 − 1 + 0 = 2। आँकड़े f = x² + 2x + 2 हैं, जिसका 0 पर अवकलज ठीक 2 है। प्रथम अंतर पर रुकने से 3 आता है।

  6. आंकिक अवकलन के विषय में कौन-से कथन सही हैं?

    1. h आधा करने पर अग्र अंतर की छिन्नन त्रुटि लगभग आधी होती है
    2. h आधा करने पर केंद्रीय अंतर की छिन्नन त्रुटि लगभग चौथाई होती है
    3. h बहुत छोटा होने पर पूर्णांकन त्रुटि बढ़ती है
    4. केंद्रीय अंतर प्रत्येक घन बहुपद हेतु यथार्थ है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — h आधा करने पर अग्र अंतर की छिन्नन त्रुटि लगभग आधी होती है; B — h आधा करने पर केंद्रीय अंतर की छिन्नन त्रुटि लगभग चौथाई होती है; C — h बहुत छोटा होने पर पूर्णांकन त्रुटि बढ़ती है

    अग्र त्रुटि h के व केंद्रीय त्रुटि h² के समानुपाती है, अतः h आधा करने पर एक आधी व दूसरी चौथाई होती है; h घटने पर व्यवकलन f(x + h) − f(x) सार्थक अंक खोता है, अतः पूर्णांकन 1/h जैसे बढ़ता है। केंद्रीय अंतर केवल द्विघात तक यथार्थ है: घन हेतु उसकी त्रुटि (h²/6)f‴, एक शून्येतर अचर है।

  7. यथातथ समीकरण (2xy + 3) dx + (x² + 4y) dy = 0 का व्यापक हल है

    1. x²y + 3x + 2y² = C
    2. x²y + 3x + 4y² = C
    3. 2xy + 3x + 2y² = C
    4. x²y + 3y + 2x² = C
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x²y + 3x + 2y² = C

    ∂M/∂y = 2x = ∂N/∂x, अतः यह यथातथ है। M का x में समाकलन x²y + 3x देता है; N का x-रहित एकमात्र पद 4y है, जिसका समाकल 2y² है। 4y² लिखना समाकलन भूलना है, और 2xy + … समाकल के स्थान पर M ही रखना है।

  8. समीकरण (3x²y + ky²) dx + (x³ + 4xy) dy = 0, k = ____ हेतु यथातथ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    ∂M/∂y = 3x² + 2ky व ∂N/∂x = 3x² + 4y; सभी x, y हेतु समान जब 2k = 4, अतः k = 2। इसके स्थान पर ∂M/∂x की ∂N/∂y से तुलना 6xy की 4x से तुलना है और कोई अचर k नहीं देती।

  9. निम्न में से कौन-से y dx − x dy = 0 के समाकलन गुणक हैं?

    1. 1/x²
    2. 1/y²
    3. 1/(xy)
    4. 1/(x + y)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1/x²; B — 1/y²; C — 1/(xy)

    1/x² से गुणा करने पर (y/x²) dx − (1/x) dy = −d(y/x); 1/y² से, (1/y) dx − (x/y²) dy = d(x/y); 1/(xy) से, dx/x − dy/y = d(ln x − ln y)। 1/(x + y) सहित ∂M/∂y = x/(x + y)² पर ∂N/∂x = −y/(x + y)², जो भिन्न हैं, अतः यह समाकलन गुणक नहीं है।

  10. बर्नूली समीकरण dy/dx + y = xy³ किस प्रतिस्थापन से रैखिक बनता है?

    1. v = y⁻²
    2. v = y³
    3. v = y⁻³
    4. v = y²
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — v = y⁻²

    n = 3 सहित प्रतिस्थापन v = y1−n = y−2 है, जो dv/dx − 2v = −2x देता है, जो रैखिक है। v = yⁿ = y³ या v = y−n = y−3 अरैखिकता नहीं काटते; v = y² में घातांक का परिमाण सही पर चिह्न गलत है।

  11. y(0) = 0.5 सहित dy/dx = y − y² का हल, x = ln 2 पर, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.667

    n = 2 सहित बर्नूली: v = 1/y से dv/dx + v = 1, अतः v = 1 + Ce−x; v(0) = 2 से C = 1। x = ln 2 पर v = 1 + 1/2 = 1.5 व y = 1/1.5 = 0.667। उत्तर v = 1.5 छोड़ना वापस y में बदलना भूलना है।

  12. बर्नूली समीकरण dy/dx + Py = Qyⁿ हेतु n के वे मान जिन पर यह पहले से रैखिक या पृथक्करणीय है, अतः कोई प्रतिस्थापन नहीं चाहिए, हैं

    1. n = 0 व n = 1
    2. n = 1 व n = 2
    3. n = −1 व n = 1
    4. n = 0 व n = 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — n = 0 व n = 1

    n = 0 पर समीकरण dy/dx + Py = Q है, रैखिक; n = 1 पर dy/dx = (Q − P)y, पृथक्करणीय। अन्य हर n हेतु, 2 व −1 सहित, v = y1−n चाहिए।