अभियांत्रिकी गणित — जो केवल MN पेपर जोड़ता है: श्रेणी, टेलर प्रमेय, अरैखिक प्रथम-कोटि समीकरण, परिकल्पना परीक्षण, समाश्रयण व अंतर्वेशन

GATE खनन अभियांत्रिकी (MN) पेपर का खंड 1 अधिकांशतः वही अभियांत्रिकी सूची है जो साझा गणित अध्याय पहले से पढ़ाते हैं, पर इसके छह उप-विषय उनमें से किसी में नहीं पढ़ाए गए, और यह अध्याय केवल इसी पेपर हेतु उन्हें सम्मिलित करने के लिए लिखा गया है। कलन शीर्षक से: अनुक्रम व श्रेणी तथा टेलर प्रमेय। अवकल समीकरण से: अरैखिक प्रथम-कोटि रूप — यथातथ समीकरण व बर्नूली समीकरण — जिन तक उधार लिया प्रथम-कोटि अध्याय नहीं पहुँचता। प्रायिकता व सांख्यिकी से: प्रतिचयन सिद्धांत व परिकल्पना परीक्षण, तथा पियर्सन सहसंबंध व रैखिक समाश्रयण। आंकिक विधियों से: अंतर्वेशन, और उसके साथ रैखिक समीकरणों का पुनरावृत्त हल। पहले साझा अध्याय पढ़ें — रैखिक बीजगणित, सीमा व अवकलज, आंशिक अवकलज, रूपांतर अध्याय का फुरिये-श्रेणी खंड, सदिश कलन, अवकल समीकरण, प्रायिकता व आंकिक विधियाँ — और शेष हेतु यहाँ आएँ। उदाहरण जहाँ संभव है खनन आँकड़ों पर आधारित हैं: वेधछिद्र की परख-सारणी ही वह जगह है जहाँ समाश्रयण रेखा या अंतर्वेशित श्रेणी (grade) सचमुच चाहिए।

1. अनुक्रम, श्रेणी व अभिसरण परीक्षण

अनुक्रम aₙ, L की ओर अभिसरित होता है यदि उसके पद L के यथेष्ट निकट पहुँचकर वहीं बने रहें; श्रेणी Σaₙ अभिसरित होती है यदि उसके आंशिक योगों Sₙ = a₁ + … + aₙ का अनुक्रम अभिसरित हो। किसी भी श्रेणी से पहला प्रश्न n-वें पद का परीक्षण है: यदि aₙ शून्य की ओर न जाए तो श्रेणी अपसरित होती है। विलोम असत्य है — हरात्मक श्रेणी Σ1/n में aₙ → 0 है फिर भी वह अपसरित होती है — अतः aₙ → 0 आवश्यक है, पर्याप्त कभी नहीं।

मानक परीक्षण, और कब कौन-सा अपनाएँ
परीक्षणकथनकब उपयोग करें
गुणोत्तर श्रेणीΣarⁿ, a/(1 − r) पर अभिसरित होती है यदि और केवल यदि |r| < 1क्रमागत पदों का अनुपात अचर हो
p-श्रेणीΣ1/nᵖ अभिसरित होती है यदि और केवल यदि p > 1पद n की घात हो
तुलना / सीमा तुलनायदि aₙ/bₙ किसी परिमित अशून्य सीमा पर जाए तो Σaₙ व Σbₙ समान व्यवहार करती हैंपद n का परिमेय फलन हो
अनुपात (डी’एलेम्बर्ट)L = lim |aₙ₊₁/aₙ|: L < 1 अभिसरण, L > 1 अपसरण, L = 1 निर्णय नहींक्रमगुणित या चरघातांक आएँ
मूल (कौशी)L = lim |aₙ|1/n, अनुपात परीक्षण जैसे ही निर्णयपूरा पद n-वीं घात पर हो
समाकलधनात्मक ह्रासमान f(n) = aₙ हेतु Σaₙ व ∫₁^∞ f dx साथ अभिसरित होते हैंln n आए, जैसे Σ1/(n ln n)
लाइबनिज़ (एकांतर)Σ(−1)ⁿbₙ अभिसरित होती है यदि bₙ घटते हुए 0 पर जाएचिह्न एकांतर हों

कोई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है यदि Σ|aₙ| अभिसरित हो, और सप्रतिबंध अभिसारी यदि Σaₙ अभिसरित हो पर Σ|aₙ| नहीं; एकांतर हरात्मक श्रेणी 1 − ½ + ⅓ − … (योग ln 2) दूसरी का मानक उदाहरण है। घात श्रेणी Σcₙxⁿ, |x| < R हेतु अभिसरित होती है, जहाँ R अभिसरण त्रिज्या है, अनुपात परीक्षण से R = lim |cₙ/cₙ₊₁|; अंत-बिंदु x = ±R अलग से जाँचने होते हैं।

⚠️ L = 1 कुछ तय नहीं करता
Σ1/n (अपसारी) व Σ1/n² (अभिसारी) दोनों अनुपात-परीक्षण सीमा ठीक 1 देती हैं। जब अनुपात या मूल परीक्षण 1 दे, परीक्षण बदलें — p-श्रेणी तुलना या समाकल परीक्षण लगभग सदैव निर्णय दे देता है।

2. टेलर प्रमेय

यदि a के निकट f के n + 1 अवकलज हों, तो f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! + Rₙ, और शेषफल का लग्रांज रूप Rₙ = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x − a)ⁿ⁺¹/(n + 1)! है, a व x के बीच किसी ξ हेतु। a = 0 पर यह मैक्लॉरिन श्रेणी है। यह प्रमेय माध्यमान प्रमेय का उच्च कोटि तक विस्तार है: n = 0 ठीक f(x) = f(a) + f′(ξ)(x − a) देता है।

कंठस्थ रखने योग्य मैक्लॉरिन श्रेणियाँ
फलनश्रेणीवैध परास
eˣ1 + x + x²/2! + x³/3! + …सभी x
sin xx − x³/3! + x⁵/5! − …सभी x
cos x1 − x²/2! + x⁴/4! − …सभी x
ln(1 + x)x − x²/2 + x³/3 − …−1 < x ≤ 1
(1 + x)ⁿ1 + nx + n(n − 1)x²/2! + …|x| < 1 (कोई भी वास्तविक n)
1/(1 − x)1 + x + x² + x³ + …|x| < 1
🧠 त्रुटि की सीमा
घटते पदों वाली एकांतर श्रेणी में रुकने की त्रुटि छोड़े गए पहले पद से कम होती है: sin 0.1 ≈ 0.1 − 0.1³/6 की त्रुटि 0.1⁵/120 ≈ 8 × 10⁻⁸ से कम है। eˣ हेतु अंतराल पर eᶿ के सबसे बड़े मान के साथ लग्रांज सीमा लें।

3. अरैखिक प्रथम-कोटि समीकरण: यथातथ व बर्नूली

यथातथ समीकरण। M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 यथातथ है जब ∂M/∂y = ∂N/∂x; तब एक फलन F है जिसके लिए ∂F/∂x = M व ∂F/∂y = N, और हल F(x, y) = c है। M को x के सापेक्ष समाकलित कर F पाएँ, फिर ∂F/∂y को N के बराबर बनाने हेतु केवल y वाले जो पद चाहिए वे जोड़ें। यदि परीक्षण विफल हो तो समाकलन गुणक उसे सुधार सकता है: यदि (M_y − N_x)/N केवल x का फलन हो, μ = exp∫[(M_y − N_x)/N] dx; यदि (N_x − M_y)/M केवल y का फलन हो, μ = exp∫[(N_x − M_y)/M] dy।

बर्नूली समीकरण dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ (n ≠ 0, 1) अरैखिक है, पर प्रतिस्थापन v = y1−n उसे रैखिक समीकरण dv/dx + (1 − n)P v = (1 − n)Q में बदल देता है, जिसे समाकलन गुणक exp∫(1 − n)P dx हल करता है। v हेतु हल करें, फिर y = v1/(1−n) पर लौटें।

⚠️ (1 − n) भूलना
v = y1−n का अवकलन dv/dx = (1 − n)y−n dy/dx देता है, अतः रैखिक समीकरण में P व Q दोनों (1 − n) से गुणा होते हैं। n = 2 हेतु यह गुणक −1 है, और इसे छोड़ना दाएँ पक्ष के प्रत्येक पद का चिह्न उलट देता है।

4. प्रतिचयन सिद्धांत व परिकल्पना परीक्षण

माध्य μ व मानक विचलन σ वाली समष्टि से आकार n के यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य x̄ स्वयं एक यादृच्छिक चर है, जिसका माध्य μ व मानक त्रुटि σ/√n है। केंद्रीय सीमा प्रमेय से बड़े n हेतु (कार्यकारी नियम n ≥ 30) x̄ लगभग प्रसामान्य है, समष्टि का आकार जो भी हो। μ हेतु विश्वास्यता अंतराल x̄ ± z·σ/√n है, जहाँ 90%, 95% व 99% विश्वास्यता हेतु z = 1.645, 1.96 व 2.576; जब σ अज्ञात और n छोटा हो, प्रतिदर्श मानक विचलन s, σ का स्थान और n − 1 स्वातंत्र्य-कोटि वाला स्टूडेंट t, z का स्थान लेता है।

  • शून्य परिकल्पना H₀ — परीक्षित दावा, जैसे μ = μ₀; वैकल्पिक H₁, μ ≠ μ₀ (द्वि-पुच्छीय) या μ > μ₀, μ < μ₀ (एक-पुच्छीय) है।
  • परीक्षण प्रतिदर्शज z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), या छोटे प्रतिदर्श से σ आकलित हो तो n − 1 स्वातंत्र्य-कोटि के साथ t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)।
  • सार्थकता स्तर α — H₀ सत्य होने पर उसे अस्वीकार करने की प्रायिकता (प्रकार I त्रुटि)। α = 0.05 द्वि-पुच्छीय पर, |z| > 1.96 हो तो अस्वीकार करें।
  • प्रकार II त्रुटि β — H₀ असत्य होने पर उसे स्वीकार करना; शक्ति = 1 − β। नियत α पर बड़ा प्रतिदर्श β घटाता है।
  • इसी तर्क पर अन्य परीक्षण: समंजन-सुष्ठुता व स्वतंत्रता हेतु χ² परीक्षण, Σ(O − E)²/E; दो प्रसरणों के अनुपात हेतु F परीक्षण।
🎯 n क्यों नहीं, √n क्यों
n स्वतंत्र मानों का औसत प्रसरण को n से भाग देता है, अतः माध्य का मानक विचलन केवल √n के अनुसार घटता है: किसी ग्रेड आकलन की मानक त्रुटि आधी करने हेतु चार गुना प्रतिदर्श चाहिए।

5. पियर्सन सहसंबंध व रैखिक समाश्रयण

युग्मित आँकड़ों (xᵢ, yᵢ) हेतु Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), Sxx = Σ(x − x̄)² व Syy = Σ(y − ȳ)² लिखें। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy) है, −1 ≤ r ≤ 1; यह केवल रैखिक संबद्धता मापता है, अतः r = 0 का अर्थ यह नहीं कि चर असंबद्ध हैं। x पर y की न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण रेखा y − ȳ = b_yx(x − x̄) है, जहाँ b_yx = Sxy/Sxx = r·σy/σx; y पर x की रेखा में b_xy = Sxy/Syy = r·σx/σy।

  • दोनों समाश्रयण रेखाएँ माध्य-बिंदु (x̄, ȳ) से होकर जाती हैं।
  • r² = b_yx · b_xy, और r दोनों गुणांकों का उभयनिष्ठ चिह्न लेता है, जो सदैव एक ही चिह्न के होते हैं।
  • r² निर्धारण गुणांक है: y के प्रसरण का वह अंश जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
  • किसी भी चर के मूल या पैमाने (धनात्मक पैमाना गुणक) के परिवर्तन से r अपरिवर्तित रहता है; समाश्रयण गुणांक पैमाने से अपरिवर्तित नहीं रहते।
⚠️ दो रेखाएँ, एक नहीं
y पर x की रेखा, x के लिए हल की गई x पर y की रेखा नहीं है; दोनों केवल |r| = 1 पर संपाती होती हैं। दिए x से y का पूर्वानुमान करने हेतु b_yx लें।

6. अंतर्वेशन, तथा रैखिक समीकरणों का पुनरावृत्त हल

अंतर्वेशन सारणीबद्ध बिंदुओं से होकर बहुपद बिठाता है और उनके बीच के मान पढ़ता है। चरण h वाले समान अंतरित x हेतु अग्र अंतर Δy₀ = y₁ − y₀, Δ²y₀ = Δy₁ − Δy₀ इत्यादि हैं, और u = (x − x₀)/h सहित न्यूटन का अग्र सूत्र y = y₀ + uΔy₀ + u(u − 1)Δ²y₀/2! + u(u − 1)(u − 2)Δ³y₀/3! + … है; पश्च सूत्र सारणी के अंत के अंतर लेता है। असमान अंतराल हेतु लग्रांज सूत्र y = Σ yᵢ Lᵢ(x) लिखता है, जहाँ Lᵢ(x) = Πj≠i(x − xⱼ)/(xᵢ − xⱼ)। n + 1 बिंदुओं से होकर घात ≤ n का अंतर्वेशी बहुपद अद्वितीय है, अतः प्रत्येक विधि एक ही उत्तर देती है।

Ax = b का गाउस निरसन व LU वियोजन से प्रत्यक्ष हल रैखिक बीजगणित अध्याय में है। पुनरावृत्त विधियाँ एक अनुमान से आरंभ कर उसे सुधारती हैं। जैकोबी प्रत्येक नया घटक पिछले पुनरावर्त से निकालता है: xᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ = (bᵢ − Σj≠i aᵢⱼxⱼ⁽ᵏ⁾)/aᵢᵢ। गाउस–सीडल प्रत्येक नया घटक मिलते ही उपयोग करता है, अतः प्रायः लगभग दुगुनी गति से अभिसरित होता है। जब A कठोरतः विकर्ण-प्रधान हो (प्रत्येक पंक्ति में |aᵢᵢ| > Σj≠i|aᵢⱼ|), दोनों किसी भी आरंभिक अनुमान हेतु अभिसरित होते हैं; सबसे बड़े गुणांकों को विकर्ण पर लाने हेतु समीकरणों का पुनर्क्रम प्रायः पहला चरण है।

ℹ️ शेष आंकिक विधियाँ कहाँ हैं
समलंबी व सिम्पसन नियम तथा अवकल समीकरणों हेतु एक-चरणीय (आयलर, रुंगे–कुट्टा) व बहु-चरणीय (ऐडम्स–बैशफ़ोर्थ) विधियाँ साझा आंकिक विधियाँ अध्याय में हैं, और गाउस निरसन व LU रैखिक बीजगणित अध्याय में।

मुख्य बिंदु

  • श्रेणी तभी अभिसरित हो सकती है जब उसके पद शून्य की ओर जाएँ, पर पदों का शून्य की ओर जाना कुछ सिद्ध नहीं करता; अनुपात-परीक्षण सीमा 1 का अर्थ है परीक्षण बदलें।
  • लग्रांज शेषफल f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x − a)ⁿ⁺¹/(n + 1)! सहित टेलर प्रमेय सन्निकटन बनाता भी है और उसकी त्रुटि सीमित भी करता है।
  • यथातथ समीकरण हेतु सबसे पहले M_y = N_x जाँचें; बर्नूली हेतु v = y1−n रखें और P व Q को (1 − n) से गुणा करें।
  • माध्य की मानक त्रुटि σ/√n है; परीक्षण प्रतिदर्शज परिकल्पित मान से दूरी है, मानक त्रुटियों में मापी गई।
  • दोनों समाश्रयण रेखाएँ (x̄, ȳ) से होकर जाती हैं और r² = b_yx·b_xy; n + 1 बिंदुओं से होकर अंतर्वेशन एक ही बहुपद देता है, कोई भी सूत्र उसे बनाए।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. अनंत श्रेणी 1 + 2/3 + (2/3)² + (2/3)³ + … का योग ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    यह प्रथम पद a = 1 व अनुपात r = 2/3 वाली गुणोत्तर श्रेणी है, और |r| < 1, अतः योग a/(1 − r) = 1/(1/3) = 3 है। केवल कुछ पद जोड़ना (1 + 0.667 + 0.444 ≈ 2.1) या 1/(1 + r) = 0.6 लेना सामान्य भूलें हैं।

  2. निम्न में से कौन-सी श्रेणी अभिसरित होती है?

    1. Σ 1/n
    2. Σ 1/√n
    3. Σ 1/n²
    4. Σ n/(n + 1)
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — Σ 1/n²

    Σ1/nᵖ केवल p > 1 हेतु अभिसरित होती है, अतः Σ1/n² (p = 2) अभिसरित होती है जबकि Σ1/n (p = 1) व Σ1/√n (p = ½) अपसरित होती हैं। Σn/(n + 1) n-वें पद के परीक्षण में ही विफल है, क्योंकि उसके पद 0 नहीं, 1 की ओर जाते हैं।

  3. निम्न में से कौन-सी श्रेणियाँ अभिसरित होती हैं? (सभी सही विकल्प चुनें।)

    1. Σ (−1)ⁿ⁺¹/n
    2. Σ n!/nⁿ
    3. Σ 2ⁿ/n²
    4. Σ 1/(n ln n), n ≥ 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Σ (−1)ⁿ⁺¹/n; B — Σ n!/nⁿ

    एकांतर हरात्मक श्रेणी लाइबनिज़ परीक्षण से (सप्रतिबंध) अभिसरित होती है। n!/nⁿ हेतु अनुपात (n/(n + 1))ⁿ → 1/e < 1 है, अतः वह अभिसरित होती है। 2ⁿ/n² असीम बढ़ता है और n-वें पद के परीक्षण में विफल है, तथा Σ1/(n ln n) समाकल परीक्षण से अपसरित होती है, क्योंकि ∫dx/(x ln x) = ln(ln x) → ∞।

  4. घात श्रेणी Σ xⁿ/(n·2ⁿ), n = 1 से ∞, की अभिसरण त्रिज्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    cₙ = 1/(n·2ⁿ) के साथ R = lim |cₙ/cₙ₊₁| = lim 2(n + 1)/n = 2। गुणक n केवल अंत-बिंदुओं को प्रभावित करता है (श्रेणी x = 2 पर अपसरित व x = −2 पर अभिसरित होती है), त्रिज्या को नहीं; 1/2 उत्तर देना अनुपात को उलटना है।

  5. x³ पद तक (उसे सम्मिलित कर) eˣ के मैक्लॉरिन बहुपद से e0.5 का सन्निकट मान, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.646

    1 + 0.5 + 0.5²/2 + 0.5³/6 = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.020833 = 1.645833 ≈ 1.646। वास्तविक मान 1.648721 है, और अगला पद 0.5⁴/24 ≈ 0.0026 लगभग पूरा अंतर बताता है। 3! = 6 के स्थान पर 3 से भाग देने पर 1.667 आता है।

  6. ln(1 + x) की मैक्लॉरिन श्रेणी में x³ का गुणांक है:

    1. 1/3
    2. −1/3
    3. 1/6
    4. 1/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 1/3

    ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + …, अतः x³ का गुणांक +1/3 है: n-वाँ गुणांक (−1)ⁿ⁺¹/n है, बिना क्रमगुणित के। मान 1/6 = 1/3! ज्या व चरघातांकी श्रेणियों का है, और −1/3 में सम घात का चिह्न है।

  7. यथातथ समीकरण (2xy + 3) dx + (x² + 4y) dy = 0 का व्यापक हल है:

    1. x²y + 3x + 2y² = c
    2. x²y + 3x + 4y² = c
    3. 2x²y + 3x + 2y² = c
    4. x²y + 2y² = c
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x²y + 3x + 2y² = c

    M_y = 2x = N_x, अतः यह यथातथ है। ∫M dx = x²y + 3x; इसका y-अवकलज x² है, और N = x² + 4y को अतिरिक्त 4y चाहिए, जिसका समाकल 2y² है। अतः F = x²y + 3x + 2y² = c। 4y² लिखना 4y का समाकलन भूलना है, और 3x छोड़ना M का वह भाग खोना है जिसमें y नहीं।

  8. बर्नूली समीकरण dy/dx + y = y², y(0) = 0.5 का हल x = ln 3 पर निकाला जाता है। y का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.25

    n = 2, अतः v = 1/y से dv/dx − v = −1 आता है, जिसका हल v = 1 + Ceˣ है। y(0) = 0.5 का अर्थ v(0) = 2, अतः C = 1 व y = 1/(1 + eˣ)। x = ln 3 पर y = 1/(1 + 3) = 0.25। जाँच: y′ + y = 1/(1 + eˣ)² = y²। (1 − n) = −1 गुणक छोड़ने से dv/dx + v = 1 व गलत वक्र मिलता है।

  9. किसी कोयला परत के परख-मानों का ज्ञात मानक विचलन 12 इकाई है। 36 कोर का प्रतिदर्श 100 के दावा किए गए समष्टि माध्य के विरुद्ध 104 का माध्य देता है। दावे के परीक्षण हेतु z प्रतिदर्शज ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    मानक त्रुटि σ/√n = 12/6 = 2 है, अतः z = (104 − 100)/2 = 2। स्वयं σ से भाग देने पर 0.33, और σ/n से भाग देने पर 12 आता है; चूँकि |z| = 2 > 1.96, 5% स्तर (द्वि-पुच्छीय) पर दावा अस्वीकार होगा।

  10. σ = 10 वाली समष्टि से n = 100 का प्रतिदर्श लिया जाता है। माध्य हेतु 95% विश्वास्यता अंतराल (z = 1.96) की अर्ध-चौड़ाई, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.96

    अर्ध-चौड़ाई = z·σ/√n = 1.96 × 10/10 = 1.96। पूरा अंतराल x̄ ± 1.96 है, जो 3.92 चौड़ा है; 3.92 बताना अलग प्रश्न का उत्तर है, और σ/n = 0.1 लेने पर 0.196 आता है।

  11. परिकल्पना परीक्षण में प्रकार I त्रुटि है:

    1. शून्य परिकल्पना सत्य होने पर उसे अस्वीकार करना
    2. शून्य परिकल्पना असत्य होने पर उसे स्वीकार करना
    3. वैकल्पिक परिकल्पना असत्य होने पर उसे अस्वीकार करना
    4. जहाँ द्वि-पुच्छीय परीक्षण चाहिए वहाँ एक-पुच्छीय परीक्षण लेना
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — शून्य परिकल्पना सत्य होने पर उसे अस्वीकार करना

    प्रकार I त्रुटि सत्य H₀ को अस्वीकार करती है, और उसकी प्रायिकता सार्थकता स्तर α है। असत्य H₀ स्वीकार करना प्रकार II त्रुटि है, जिसकी प्रायिकता β है; असत्य वैकल्पिक को अस्वीकार करना सही निर्णय है, और गलत पुच्छ चुनना अभिकल्प की भूल है, त्रुटि का प्रकार नहीं।

  12. पाँच वेधछिद्र गहराई x (10 m की इकाइयों में) = 1, 2, 3, 4, 5 और ग्रेड y (%) = 2, 4, 5, 4, 5 देते हैं। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.77

    x̄ = 3 व ȳ = 4। विचलन: x − x̄ = −2, −1, 0, 1, 2 तथा y − ȳ = −2, 0, 1, 0, 1। Sxy = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6, Sxx = 10, Syy = 6। r = 6/√60 = 0.7746 ≈ 0.77। ढाल Sxy/Sxx = 0.6 समाश्रयण गुणांक है, r नहीं।

  13. वेधछिद्र आँकड़ों x = 1, 2, 3, 4, 5 व y = 2, 4, 5, 4, 5 हेतु, x पर y की न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण रेखा की ढाल, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.6

    b_yx = Sxy/Sxx = 6/10 = 0.6, अतः रेखा y = 4 + 0.6(x − 3) = 2.2 + 0.6x है, और वह माध्यों (3, 4) से होकर जाती है। हर में Syy लेने पर b_xy = 1.0 आता है, जो दूसरी रेखा की ढाल है।

  14. किसी आँकड़ा समुच्चय के दो समाश्रयण गुणांक b_yx = 0.8 व b_xy = 0.45 हैं। सहसंबंध गुणांक r, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.6

    r² = b_yx·b_xy = 0.8 × 0.45 = 0.36, अतः r = +0.6, धनात्मक क्योंकि दोनों गुणांक धनात्मक हैं। दोनों गुणांकों का औसत 0.625 देता है, और वर्गमूल भूलने पर 0.36 आता है।

  15. एक फलन के मान f(0) = 1, f(1) = 3 व f(2) = 7 हैं। न्यूटन के अग्र अंतर्वेशन सूत्र से f(1.5) का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4.75

    Δy₀ = 2, Δy₁ = 4, Δ²y₀ = 2, तथा u = 1.5। y = 1 + 1.5 × 2 + 1.5 × 0.5 × 2/2 = 1 + 3 + 0.75 = 4.75। आँकड़े ठीक x² + x + 1 पर बैठते हैं, जो वही 4.75 देता है। रैखिक पद पर रुकने से 4.0, और f(1) से f(2) को सीधी रेखा से जोड़ने पर 5.0 आता है।

  16. निकाय 4x + y = 9, x + 3y = 7 को x = 0, y = 0 से आरंभ कर गाउस–सीडल विधि से हल किया जाता है। पहले पुनरावर्तन के बाद y का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.58

    x₁ = (9 − 0)/4 = 2.25, और गाउस–सीडल इसे तुरंत उपयोग करता है: y₁ = (7 − 2.25)/3 = 1.5833 ≈ 1.58। जैकोबी अभी भी x = 0 लेता और y₁ = 7/3 = 2.33 देता। यथार्थ हल x = 20/11 ≈ 1.818, y = 19/11 ≈ 1.727 है, और आव्यूह विकर्ण-प्रधान है, अतः पुनरावर्तन उसी पर अभिसरित होता है।

  17. Ax = b हेतु पुनरावृत्त विधियों के बारे में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं? (सभी सही विकल्प चुनें।)

    1. A की कठोर विकर्ण-प्रधानता जैकोबी व गाउस–सीडल विधियों का अभिसरण सुनिश्चित करती है
    2. गाउस–सीडल उसी पुनरावर्तन के भीतर अद्यतन मान उपयोग करता है
    3. दोनों विधियों को प्रत्येक विकर्ण अवयव aᵢᵢ अशून्य चाहिए
    4. गाउस–सीडल प्रत्येक व्युत्क्रमणीय आव्यूह हेतु अभिसरित होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — A की कठोर विकर्ण-प्रधानता जैकोबी व गाउस–सीडल विधियों का अभिसरण सुनिश्चित करती है; B — गाउस–सीडल उसी पुनरावर्तन के भीतर अद्यतन मान उपयोग करता है; C — दोनों विधियों को प्रत्येक विकर्ण अवयव aᵢᵢ अशून्य चाहिए

    विकर्ण-प्रधानता दोनों विधियों हेतु पर्याप्त प्रतिबंध है; गाउस–सीडल जैकोबी से ठीक इसी में भिन्न है कि वह प्रत्येक नया मान तुरंत उपयोग करता है; और दोनों aᵢᵢ से भाग देती हैं, अतः शून्य विकर्ण पहले पुनर्क्रम से हटाना होता है। केवल व्युत्क्रमणीयता किसी भी विधि को अभिसारी नहीं बनाती — अनेक व्युत्क्रमणीय आव्यूह पुनरावर्तों को अपसारी कर देते हैं।