खनन हेतु अभियांत्रिकी यांत्रिकी: बल निकाय, साम्यावस्था, कैंची व ढाँचे, घर्षण, कण गतिकी व धरन

GATE खनन अभियांत्रिकी (MN) पेपर के खंड 3, भू-यांत्रिकी व भूमि नियंत्रण, के दो अध्यायों में से पहला। खंड एक ऐसे उप-शीर्षक से आरंभ होता है जो स्वयं एक विषय है — अभियांत्रिकी यांत्रिकी — और यह वह उपकरण-समूह है जिस पर शेष खंड, तथा मशीनरी खंड का अधिकांश भाग, टिका है, अतः इसका यह अध्याय है; इसके बाद आने वाली शैल यांत्रिकी व भूमि नियंत्रण का दूसरा अध्याय है। पाठ्यक्रम छह बिंदु नामित करता है और यह अध्याय उन्हें क्रम से लेता है: तुल्य बल निकाय, साम्यावस्था के समीकरण, द्वि-विमीय ढाँचे व कैंचियाँ, घर्षण बल, कण शुद्धगतिकी व गतिकी, तथा धरन विश्लेषण। उदाहरण जहाँ संभव हो खनन के हैं — शाफ़्ट में मंद होता केज, ड्रम पर रस्सा, नत मार्ग पर खान-गाड़ी, अपने भार के नीचे छत की धरन।

1. तुल्य बल निकाय व साम्यावस्था के समीकरण

दृढ़ पिंड पर किसी भी बल निकाय को चुने हुए बिंदु पर कार्यरत एकल परिणामी बल तथा एक बलयुग्म से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, और दो निकाय तुल्य हैं यदि उनका परिणामी समान हो और प्रत्येक बिंदु के परितः आघूर्ण समान हो। किसी बिंदु के परितः बल का आघूर्ण बल × लंबवत् दूरी है, और वैरिग्नन प्रमेय कहता है कि परिणामी का आघूर्ण उसके घटकों के आघूर्णों के योग के बराबर है। बलयुग्म — दो समान, विपरीत, समांतर बल — का परिणामी शून्य व प्रत्येक बिंदु के परितः आघूर्ण Fd समान होता है, अतः उसे केवल दूसरा बलयुग्म ही संतुलित कर सकता है।

समतल में पिंड साम्यावस्था में है जब किसी भी बिंदु के परितः ΣFx = 0, ΣFy = 0 व ΣM = 0 — तीन समीकरण, अतः एक मुक्त पिंड अधिकतम तीन अज्ञात प्रतिक्रियाएँ दे सकता है। साम्यावस्था में तीन संगामी बलों हेतु लामी प्रमेय प्रत्येक बल को अन्य दो के बीच के कोण की ज्या के समानुपाती देता है: P/sin α = Q/sin β = R/sin γ। प्रत्येक प्रश्न का पहला चरण मुक्त-पिंड आरेख है: पिंड को अलग करें, और परिवेश द्वारा उस पर लगाए प्रत्येक बल को, आधारों की प्रतिक्रियाओं सहित, बनाएँ — रोलर अपनी सतह के लंबवत् एक बल देता है, पिन दो घटक, और स्थिर आधार दो घटक व एक आघूर्ण।

🧠 समांतर बलों के परिणामी का स्थान
x = 0 पर 30 N व x = 4 m पर 50 N के समांतर बलों का परिणामी 80 N है, और वैरिग्नन उसे वहाँ रखता है जहाँ 80x̄ = 30 × 0 + 50 × 4, अर्थात् x̄ = 2.5 m — बड़े बल के निकट, जैसा होना चाहिए।

2. द्वि-विमीय कैंचियाँ व ढाँचे

कैंची (truss) सिरों पर पिन से जुड़े सीधे द्वि-बल अवयवों का समुच्चय है जो केवल जोड़ों पर भारित हो, अतः प्रत्येक अवयव शुद्ध तनाव या संपीडन में होता है। j जोड़ों व m अवयवों की समतल कैंची m = 2j − 3 होने पर स्थैतिकतः निर्धार्य व ठीक दृढ़ होती है; कम अवयवों पर वह यंत्रावली है, अधिक पर अतिरिक्त (अनिर्धार्य)। अवयव बल जोड़ विधि से — प्रत्येक जोड़ पर दो साम्य समीकरण, वहाँ से आरंभ करते हुए जहाँ केवल दो बल अज्ञात हों — या काट विधि से ज्ञात होते हैं, अधिकतम तीन अवयवों को काटकर और उनमें से दो के प्रतिच्छेद के परितः आघूर्ण लेकर तीसरे को सीधे पाकर।

  • शून्य-बल अवयव: दो असंरेखी अवयवों वाले अभारित जोड़ पर दोनों शून्य बल वहन करते हैं; तीन अवयवों वाले अभारित जोड़ पर जिनमें दो संरेखी हों, तीसरा शून्य बल वहन करता है। इन्हें पहले पहचानना कार्य छोटा करता है।
  • ढाँचे (frame) में कम से कम एक बहु-बल अवयव होता है — जो अपनी लंबाई पर भारित हो या जिसमें दो से अधिक पिन हों — जो अक्षीय बल के साथ बंकन भी वहन करता है। इसे मुक्त पिंडों में विभाजित कर प्रत्येक पिन पर न्यूटन के तीसरे नियम से हल किया जाता है। शाफ़्ट के ऊपर हेडफ़्रेम व लदान-बिन संरचनाएँ ढाँचे हैं।

3. घर्षण बल

शुष्क (कूलॉम) घर्षण आसन्न या वास्तविक फिसलन का विरोध करता है। फिसलन के बिंदु तक घर्षण बल F उतना ही होता है जितना साम्य को चाहिए, F ≤ μs N; आसन्न गति पर F = μs N, और फिसलते समय F = μk N, जहाँ गतिज गुणांक प्रायः स्थैतिक से थोड़ा कम होता है। घर्षण संपर्क के आभासी क्षेत्रफल से स्वतंत्र है। घर्षण कोण φ = tan⁻¹ μ विश्राम कोण के बराबर है — वह सबसे खड़ा नत तल जिस पर गुटका बिना सहायता टिका रहे। W भार के गुटके को θ नत तल पर उसके समांतर बल से ऊपर धकेलने हेतु P = W(sin θ + μ cos θ); नीचे की ओर, W(μ cos θ − sin θ) यदि वह धनात्मक हो।

ड्रम या घिरनी पर θ (रेडियन में) कोण तक लिपटा रस्सा या पट्टा फिसलने से पहले अधिकतम T₁/T₂ = eμθ का तनाव अनुपात धारण कर सकता है — कैप्स्टन (पट्टा घर्षण) समीकरण। यह बेल्ट कन्वेयर ड्राइव, घर्षण (कोएपे) वाइंडर व खंभे के चारों ओर लपेटे रस्से को नियंत्रित करता है। μ = 0.3 व आधे चक्कर (θ = π) पर e0.3π = 2.566, अतः 10 kN का ढीला पक्ष कसे पक्ष पर 25.66 kN तक धारण करता है। फन्नी (wedge) व पेंच इसी प्रकार के घर्षण प्रश्न हैं, जो घर्षण कोण से हल होते हैं।

⚠️ F = μN केवल सीमा पर
μ = 0.4 वाले समतल फ़र्श पर रखे 1000 N के गुटके पर 100 N क्षैतिज धक्का लगे तो घर्षण बल 100 N है, 400 N नहीं — घर्षण μN तक पहुँचने तक धक्के के बराबर रहता है। पिंड फिसलन के बिंदु पर है या नहीं, यह जाँचे बिना F = μN लिखना घर्षण प्रश्नों की सबसे सामान्य त्रुटि है।

4. कण शुद्धगतिकी व गतिकी

समान त्वरण a हेतु v = u + at, s = ut + ½at² व v² = u² + 2as; 12 m/s से चलता केज 1.5 m/s² पर रोका जाए तो 12²/(2 × 1.5) = 48 m चलता है। वक्ररेखीय गति में त्वरण का स्पर्शरेखीय भाग dv/dt व केंद्र की ओर अभिलंब भाग v²/r होता है। न्यूटन का दूसरा नियम, ΣF = ma, सम्पूर्ण कण गतिकी है; डी’एलेम्बर्ट सिद्धांत के रूप में लिखने पर — जड़त्व बल −ma जोड़कर प्रश्न को स्थैतिकी मानें — उत्थापन भार इसी से ज्ञात होते हैं। ऊपर की ओर a से त्वरित m द्रव्यमान का केज T = m(g + a) रस्सा तनाव से लटकता है, और मंदन के दौरान रस्से पर भार सबसे कम, m(g − a), होता है।

दो समाकलित रूप वह समय बचाते हैं जो मुक्त-पिंड हल पथ पर लगाता। कार्य–ऊर्जा: सभी बलों का कार्य गतिज ऊर्जा के परिवर्तन के बराबर है, ΣW = ½mv₂² − ½mv₁², अतः 5 m/s पर लुढ़कती 1000 kg की गाड़ी अचर 500 N प्रतिरोध के विरुद्ध (½ × 1000 × 25)/500 = 25 m में रुकती है। आवेग–संवेग: ∫F dt = mv₂ − mv₁, टक्करों व अल्पकालिक बड़े बलों का उपकरण, जहाँ प्रत्यावस्थान गुणांक e = (पृथक्करण चाल)/(निकटागमन चाल) टक्कर प्रश्न पूरा करता है। शक्ति बल × वेग है, मशीनरी अध्याय से जोड़ने वाली कड़ी।

5. धरन विश्लेषण

धरन प्रत्येक काट पर अपरूपण बल V व बंकन आघूर्ण M द्वारा भार वहन करती है। ये भार तीव्रता w से dV/dx = −w व dM/dx = V द्वारा जुड़े हैं, अतः बंकन आघूर्ण वहाँ अधिकतम है जहाँ अपरूपण बल शून्य से गुज़रे, समान वितरित भार M को परवलयिक व V को रैखिक बनाता है, और बिंदु भार V में उछाल व M में मोड़ बनाता है। वह बिंदु जहाँ M का चिह्न बदले प्रतिनति बिंदु है।

स्मरण योग्य अधिकतम बंकन आघूर्ण
धरन व भारअधिकतम आघूर्णकहाँ
सरल आलंबित, L विस्तार पर समान वितरित भार wwL²/8मध्य-विस्तार
सरल आलंबित, केंद्रीय बिंदु भार PPL/4मध्य-विस्तार
प्रास (कैंटिलीवर), मुक्त सिरे पर बिंदु भार PPLस्थिर सिरा
प्रास, समान वितरित भार wwL²/2स्थिर सिरा
दोनों सिरों पर स्थिर, समान वितरित भार wआधारों पर wL²/12, मध्य-विस्तार पर wL²/24आधार

बंकन प्रतिबल आनमन सूत्र σ = M y/I का पालन करता है, बाहरी तंतु पर अधिकतम, σmax = M/Z, जहाँ b चौड़े व h गहरे आयत का काट मापांक Z = bh²/6 है। 10 kN/m के नीचे 6 m की सरल आलंबित छत-धरन पर M = 10 × 36/8 = 45 kN·m; यदि वह 0.2 m चौड़ी व 0.3 m गहरी हो तो Z = 0.2 × 0.09/6 = 0.003 m³ और σmax = 45 000/0.003 = 15 MPa। यही आनमन सूत्र, गैलरी पर फैली छत-शैल की परत पर लगाने पर, अगले अध्याय में छत अभिकल्प के धरन सिद्धांत का आरंभ-बिंदु है।

🎯 शैल धरनें तनाव में क्यों विफल होती हैं
मुड़ी धरन के बाहरी तंतु सबसे बड़ा प्रतिबल वहन करते हैं, और छत-परत के निचले भाग पर वह प्रतिबल तनन है। शैल प्रायः संपीडन की तुलना में तनाव में दस या अधिक गुना दुर्बल होता है, अतः छत-परत कुचलने से बहुत पहले ही मध्य-विस्तार पर नीचे से, या आलंबों पर ऊपर से, दरक जाती है।

मुख्य बिंदु

  • कोई भी बल निकाय एक परिणामी व एक बलयुग्म में समानीत होता है; समतल में साम्यावस्था तीन समीकरण है, अतः मुक्त पिंड अधिकतम तीन अज्ञात देता है।
  • समतल कैंची m = 2j − 3 पर निर्धार्य व ठीक दृढ़ है; पहले शून्य-बल अवयव खोजें, फिर जोड़ या काट।
  • घर्षण अधिकतम μN है और केवल आसन्न फिसलन पर μN के बराबर; ड्रमों पर रस्से T₁/T₂ = eμθ का पालन करते हैं, θ रेडियन में।
  • उत्थापित द्रव्यमान ऊपर त्वरित होते समय T = m(g + a) खींचता है; v² = u² + 2as रुकने की दूरी देता है, और कार्य–ऊर्जा पथ से बचाती है।
  • सरल विस्तारों हेतु Mmax = wL²/8 व PL/4; σ = M/Z जहाँ Z = bh²/6, और अधिकतम आघूर्ण वहाँ है जहाँ अपरूपण बल शून्य हो।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक छड़ पर x = 0 व x = 4 m पर एक ही दिशा में 30 N व 50 N के दो समांतर बल लगते हैं। उनके परिणामी की x = 0 से दूरी, m में, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.5

    R = 30 + 50 = 80 N, और वैरिग्नन से 80x̄ = 30 × 0 + 50 × 4 = 200, अतः x̄ = 2.5 m, बड़े बल के निकट। मध्य-बिंदु (2 m) लेना असमान परिमाणों की उपेक्षा है, और 50 × 4/30 = 6.67 m ग़लत बल से भाग देता है।

  2. तीन संगामी बल एक कण को साम्यावस्था में रखते हैं। लामी प्रमेय से प्रत्येक बल समानुपाती है:

    1. अन्य दो बलों के बीच के कोण की कोज्या के
    2. अन्य दो बलों के बीच के कोण की ज्या के
    3. क्षैतिज से उसके द्वारा बनाए कोण की ज्या के
    4. अन्य दो बलों के बीच के कोण के
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अन्य दो बलों के बीच के कोण की ज्या के

    लामी: P/sin α = Q/sin β = R/sin γ, जहाँ प्रत्येक कोण अन्य दो बलों के बीच का है — यह बंद बल-त्रिभुज पर लगाया ज्या नियम है। कोज्या बलों के वियोजन में आती है, लामी में नहीं, और क्षैतिज से कोण की कोई भूमिका नहीं।

  3. एक समतल पिन-जुड़ी कैंची में 6 जोड़ हैं। स्थैतिकतः निर्धार्य व ठीक दृढ़ होने हेतु अवयवों की संख्या होनी चाहिए:

    1. 8
    2. 9
    3. 10
    4. 12
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 9

    m = 2j − 3 = 2 × 6 − 3 = 9। 8 अवयवों पर यह यंत्रावली होकर ढह जाती; 10 या अधिक पर अतिरिक्त होती, जिसे स्थैतिकी से परे संगतता समीकरण चाहिए। 3j − 6 = 12 की गिनती आकाशीय कैंची का नियम है।

  4. कैंची के एक अभारित जोड़ पर तीन अवयव मिलते हैं, जिनमें से दो संरेखी हैं। तीसरे अवयव में बल है:

    1. किसी भी संरेखी अवयव के बल के बराबर
    2. शून्य
    3. अन्य दो के योग का आधा
    4. अन्यत्र भार जाने बिना अनिर्धार्य
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — शून्य

    संरेखी युग्म के लंबवत् वियोजन करने पर समीकरण में केवल तीसरे अवयव का बल बचता है, उसे संतुलित करने को कुछ नहीं, अतः वह शून्य होना चाहिए। तब दोनों संरेखी अवयव समान बल वहन करते हैं; परिणाम कैंची में अन्यत्र भारों पर निर्भर नहीं।

  5. शुष्क घर्षण के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं? (सभी सही चुनें।)

    1. विश्राम कोण घर्षण कोण के बराबर है
    2. सीमांत घर्षण संपर्क के आभासी क्षेत्रफल से स्वतंत्र है
    3. गतिज घर्षण गुणांक प्रायः स्थैतिक गुणांक से अधिक होता है
    4. विरामावस्था में पिंड पर घर्षण बल सदैव μN के बराबर होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — विश्राम कोण घर्षण कोण के बराबर है; B — सीमांत घर्षण संपर्क के आभासी क्षेत्रफल से स्वतंत्र है

    विश्राम कोण वाले नत तल पर tan θ = μ, जो घर्षण कोण की परिभाषा है; और कूलॉम घर्षण अभिलंब बल पर निर्भर है, संपर्क क्षेत्रफल पर नहीं। गतिज घर्षण प्रायः स्थैतिक से थोड़ा कम होता है, और विरामावस्था का पिंड केवल उतना घर्षण अनुभव करता है जितना साम्य को चाहिए, μN तक।

  6. 1000 N भार की खान-गाड़ी को 30° नत तल पर उसके समांतर बल से ऊपर खींचना है। घर्षण गुणांक 0.2 है। उसे ऊपर चलाना आरंभ करने हेतु आवश्यक बल, N में, दो दशमलव स्थानों तक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 673.21

    P = W(sin θ + μ cos θ) = 1000 × (0.5 + 0.2 × 0.86603) = 500 + 173.21 = 673.21 N। गति ऊपर की ओर है अतः घर्षण ढलान के नीचे की ओर लगता है; उसे घटाना (326.79 N) गाड़ी को अचर चाल से नीचे उतारने का बल है, और μ sin θ लेना घटकों को अदल-बदल देता है।

  7. एक रस्सा घर्षण गुणांक 0.3 वाले स्थिर ड्रम के आधे चारों ओर (लपेट कोण 180°) जाता है। यदि ढीले पक्ष का तनाव 10 kN हो, तो फिसलने से पहले कसे पक्ष का अधिकतम तनाव, kN में, दो दशमलव स्थानों तक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 25.66

    T₁ = T₂ eμθ, θ = π rad: e0.3π = e0.9425 = 2.5663, अतः T₁ = 25.66 kN। θ = 180 अंशों में लेना असंगत e54 देता है; चरघातांक के स्थान पर 1 + μθ लेना 10 × 1.94 = 19.4 kN देता है।

  8. शाफ़्ट में 12 m/s से नीचे जाता केज 1.5 m/s² के समान मंदन से रोका जाता है। रुकते समय वह कितनी दूरी, m में, तय करता है ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 48

    v = 0 सहित v² = u² + 2as: s = u²/(2a) = 144/3 = 48 m। 2 का गुणक भूलना 96 m देता है, और s = u/a = 8 सेकंड में रुकने का समय है, दूरी नहीं।

  9. 5000 kg कुल द्रव्यमान का भरा केज 1.5 m/s² से ऊपर त्वरित होता है। g = 9.81 m/s² लेकर, त्वरण के दौरान रस्सा तनाव, kN में, दो दशमलव स्थानों तक ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 56.55

    T − mg = ma, अतः T = m(g + a) = 5000 × 11.31 = 56 550 N = 56.55 kN। स्थैतिक भार 49.05 kN है; m(g − a) = 41.55 kN ऊपर जाते मंदन या नीचे की ओर त्वरण के दौरान का तनाव है।

  10. समतल पटरी पर 5 m/s से लुढ़कती 1000 kg की खान-गाड़ी 500 N के अचर प्रतिरोध से रोकी जाती है। वह कितनी दूरी, m में, लुढ़कती है ____।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 25

    कार्य–ऊर्जा: F s = ½mv², अतः s = (0.5 × 1000 × 25)/500 = 12 500/500 = 25 m। ½ छोड़ना 50 m देता है; मंदन का मार्ग, a = 0.5 m/s² व s = v²/2a, वही 25 m देता है।

  11. 6 m विस्तार की एक सरल आलंबित धरन अपने पूरे विस्तार पर 10 kN/m का समान वितरित भार वहन करती है। अधिकतम बंकन आघूर्ण, kN·m में, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 45

    Mmax = wL²/8 = 10 × 36/8 = 45 kN·m, मध्य-विस्तार पर जहाँ अपरूपण बल शून्य है। wL²/2 = 180 प्रास का मान है, और पूरे 60 kN को केंद्रीय बिंदु भार मानना PL/4 = 90 देता है।

  12. 10 kN/m के नीचे 6 m विस्तार की धरन की आयताकार काट 0.2 m चौड़ी व 0.3 m गहरी है। अधिकतम बंकन प्रतिबल, MPa में, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 15

    M = 45 kN·m व Z = bh²/6 = 0.2 × 0.09/6 = 0.003 m³, अतः σ = M/Z = 45 000/0.003 = 15 × 10⁶ Pa = 15 MPa। b व h अदल-बदल करना (Z = 0.3 × 0.04/6 = 0.002 m³) 22.5 MPa देता है — धरन करवट पर — और Z के स्थान पर I लेना दूरी y छोड़ देता है।

  13. अपरूपण बल व बंकन आघूर्ण के विषय में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं? (सभी सही चुनें।)

    1. बंकन आघूर्ण वहाँ अधिकतम है जहाँ अपरूपण बल शून्य से गुज़रे
    2. समान वितरित भार के नीचे बंकन आघूर्ण परवलयिक रूप से बदलता है
    3. मुक्त सिरे पर बिंदु भार वाले प्रास में बंकन आघूर्ण मुक्त सिरे पर सबसे अधिक है
    4. प्रतिनति बिंदु वह है जहाँ बंकन आघूर्ण का चिह्न बदले
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — बंकन आघूर्ण वहाँ अधिकतम है जहाँ अपरूपण बल शून्य से गुज़रे; B — समान वितरित भार के नीचे बंकन आघूर्ण परवलयिक रूप से बदलता है; D — प्रतिनति बिंदु वह है जहाँ बंकन आघूर्ण का चिह्न बदले

    dM/dx = V से M वहाँ स्थिर है जहाँ V = 0, और अचर w को दो बार समाकलित करना परवलय देता है; प्रतिनति M के चिह्न-परिवर्तन से परिभाषित है। प्रास का आघूर्ण मुक्त सिरे पर शून्य व स्थिर सिरे पर अधिकतम (PL) है, अतः तीसरा कथन दोनों सिरों को उलट देता है।