सांस्थिति: आधार, रचनाएँ, संबद्धता, संहतता व पृथक्करण अभिगृहीत

अभ्यास प्रश्न (16)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

1. दो अवयवों वाले समुच्चय पर भिन्न सांस्थितियों की संख्या ____ है।

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   उत्तर: 4

   {a, b} पर सांस्थिति में ∅ व X तथा ∪ व ∩ के अंतर्गत संवृत {a}, {b} का कोई चयन होता है: {∅, X}, {∅, {a}, X}, {∅, {b}, X}, तथा विविक्त। यह 4 है; केवल अंतिम हाउसडॉर्फ़ है।

2. X = {a, b, c} पर उपाधार {{a, b}, {b, c}} से जनित सांस्थिति में विवृत समुच्चयों की संख्या ____ है।

   संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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   उत्तर: 5

   उपाधार-अवयवों के परिमित प्रतिच्छेद आधार {a, b}, {b, c}, {a, b} ∩ {b, c} = {b} देते हैं, X सहित (रिक्त प्रतिच्छेद)। सम्मिलन तब ∅, {b}, {a, b}, {b, c}, X देते हैं — 5 विवृत समुच्चय। {a} व {c} विवृत नहीं।

3. निम्नलिखित में से कौन-सी समष्टियाँ हाउसडॉर्फ़ हैं?

   1. सहपरिमित सांस्थिति सहित ℝ
   2. प्रत्येक दूरीक समष्टि
   3. [a, b) से जनित निम्न-सीमा सांस्थिति सहित ℝ
   4. अविविक्त सांस्थिति सहित दो-बिंदु समुच्चय
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   उत्तर: B — प्रत्येक दूरीक समष्टि; C — [a, b) से जनित निम्न-सीमा सांस्थिति सहित ℝ

   (1) नहीं: दो अरिक्त विवृत समुच्चयों के पूरक परिमित हैं और वे सदा मिलते हैं। (2) त्रिज्या d(x, y)/2 की गेंदें x व y को अलग करती हैं। (3) हाँ: यह सामान्य सांस्थिति से सूक्ष्मतर है, जो पहले से हाउसडॉर्फ़ है। (4) नहीं: किसी भी बिंदु का एकमात्र प्रतिवेश पूरा समुच्चय है।

4. निम्न-सीमा सांस्थिति (आधार {[a, b) : a < b}) सहित ℝ में समुच्चय [0, 1) है

   1. विवृत व संवृत दोनों
   2. विवृत परंतु संवृत नहीं
   3. संवृत परंतु विवृत नहीं
   4. न विवृत न संवृत
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   उत्तर: A — विवृत व संवृत दोनों

   [0, 1) आधार-अवयव है, अतः विवृत है। इसका पूरक (−∞, 0) ∪ [1, ∞) = ⋃[−n, 0) ∪ ⋃[1, n) आधार-अवयवों का सम्मिलन है, अतः विवृत है और [0, 1) संवृत। ऐसे विवृत-संवृत समुच्चय ही कारण हैं कि निम्न-सीमा रेखा पूर्णतः असंबद्ध है।

5. X × Y पर गुणन सांस्थिति के मानक आधार में हैं

   1. X में विवृत U तथा Y में विवृत V सहित सभी समुच्चय U × V
   2. विविक्त सांस्थिति में X × Y के सभी विवृत उपसमुच्चय
   3. संवृत U, V सहित सभी समुच्चय U × V
   4. X में विवृत U सहित सभी समुच्चय U × Y
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   उत्तर: A — X में विवृत U तथा Y में विवृत V सहित सभी समुच्चय U × V

   विवृत आयत U × V परिमित प्रतिच्छेद के अंतर्गत संवृत हैं, (U₁ × V₁) ∩ (U₂ × V₂) = (U₁ ∩ U₂) × (V₁ ∩ V₂), और X × Y को ढँकते हैं, अतः आधार बनाते हैं; उनके सम्मिलन गुणन सांस्थिति हैं। केवल समुच्चय U × Y उपाधार का एक भाग ही बनाते हैं।

6. सभी x, y हेतु (x, 0) ∼ (x, 1) तथा (0, y) ∼ (1, y) जोड़कर वर्ग [0, 1] × [0, 1] से प्राप्त विभाग समष्टि किसके समरूपी है

   1. टोरस S¹ × S¹
   2. गोला S²
   3. क्लाइन बोतल
   4. संवृत चकती
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   उत्तर: A — टोरस S¹ × S¹

   सम्मुख भुजाओं के एक युग्म को उसी दिशा में जोड़ने से बेलन S¹ × [0, 1] मिलता है; उसके दोनों सीमा-वृत्तों को, फिर उसी ढंग से, जोड़ने पर S¹ × S¹। एक युग्म को उलटने से क्लाइन बोतल मिलती है।

7. संबद्धता के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

   1. सहपरिमित सांस्थिति सहित ℝ संबद्ध है
   2. निम्न-सीमा सांस्थिति सहित ℝ संबद्ध है
   3. संबद्ध समष्टियों का गुणन गुणन सांस्थिति में संबद्ध है
   4. सांस्थितिज्ञ का ज्या वक्र पथ-संबद्ध है
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   उत्तर: A — सहपरिमित सांस्थिति सहित ℝ संबद्ध है; C — संबद्ध समष्टियों का गुणन गुणन सांस्थिति में संबद्ध है

   (1) कोई भी दो अरिक्त विवृत समुच्चय मिलते हैं (सहपरिमित पूरक), अतः कोई पृथक्करण नहीं। (2) [0, ∞) विवृत-संवृत है। (3) स्वेच्छ गुणनों हेतु लागू। (4) असत्य: ऊर्ध्वाधर खंड के बिंदु को sin(1/x) के आलेख से कोई पथ नहीं जोड़ता, यद्यपि वक्र संबद्ध है।

8. {(x, y) ∈ ℝ² : xy ≠ 0} के संबद्ध घटकों की संख्या ____ है।

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   उत्तर: 4

   दोनों अक्ष हटाने पर चार विवृत चतुर्थांश बचते हैं। प्रत्येक उत्तल, अतः संबद्ध, है; तथा संतत फलन sign(x) व sign(y) घटकों पर अचर हैं, अतः भिन्न चतुर्थांशों के बिंदु भिन्न घटकों में हैं।

9. ℝ⁴ की सांस्थिति सहित व्युत्क्रमणीय वास्तविक 2 × 2 आव्यूहों के समूह GL₂(ℝ) के पथ-घटकों की संख्या ____ है।

   संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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   उत्तर: 2

   det, GL₂(ℝ) पर संतत व अशून्य है, अतः पथ के अनुदिश चिह्न नहीं बदल सकता: det > 0 व det < 0 अलग हैं। प्रत्येक पथ-संबद्ध है (धनात्मक सारणिक का कोई भी आव्यूह I तक विरूपित हो सकता है, उदा. ग्राम–श्मिट से घूर्णन तक)। अतः 2 हैं।

10. निम्नलिखित में से कौन-सी समष्टियाँ संहत हैं?

    1. सहपरिमित सांस्थिति सहित ℝ
    2. गुणन सांस्थिति सहित [0, 1]^ℕ
    3. सामान्य सांस्थिति सहित (0, 1]
    4. विविक्त सांस्थिति सहित ℤ
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    उत्तर: A — सहपरिमित सांस्थिति सहित ℝ; B — गुणन सांस्थिति सहित [0, 1]^{ℕ}

    (1) आवरण का कोई भी एक विवृत समुच्चय केवल परिमित बिंदु छोड़ता है, जिनमें प्रत्येक एक और समुच्चय से ढँकता है। (2) टाइकोनॉफ़। (3) आवरण (1/n, 1] का कोई परिमित उपावरण नहीं। (4) एकल-बिंदु समुच्चय बिना परिमित उपावरण का विवृत आवरण बनाते हैं।

11. सांस्थितिक समष्टियों हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. हाउसडॉर्फ़ समष्टि का संहत उपसमुच्चय संवृत है
    2. संहत समष्टि से हाउसडॉर्फ़ समष्टि पर संतत एकैकी आच्छादन समरूपता है
    3. किसी भी सांस्थितिक समष्टि का प्रत्येक संहत उपसमुच्चय संवृत है
    4. संहत समष्टि का संवृत उपसमुच्चय संहत है
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    उत्तर: A — हाउसडॉर्फ़ समष्टि का संहत उपसमुच्चय संवृत है; B — संहत समष्टि से हाउसडॉर्फ़ समष्टि पर संतत एकैकी आच्छादन समरूपता है; D — संहत समष्टि का संवृत उपसमुच्चय संहत है

    (1) y ∉ K हेतु हाउसडॉर्फ़ता व संहतता K के परिमित प्रतिवेश तथा y का एक असंयुक्त प्रतिवेश देती हैं। (2) संवृत समुच्चय संहत, अतः संवृत, समुच्चयों पर जाते हैं, अतः व्युत्क्रम संतत है। (4) किसी भी आवरण में विवृत पूरक जोड़ें। (3) असत्य: ℝ पर सहपरिमित सांस्थिति में [0, 1] संहत है और संवृत नहीं।

12. संहतता के रूपों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. दूरीक समष्टि में संहत व अनुक्रमतः संहत समतुल्य हैं
    2. प्रत्येक संहत समष्टि सीमा-बिंदु संहत है
    3. प्रत्येक सीमा-बिंदु संहत समष्टि संहत है
    4. सामान्य सांस्थिति सहित ℝ सीमा-बिंदु संहत है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दूरीक समष्टि में संहत व अनुक्रमतः संहत समतुल्य हैं; B — प्रत्येक संहत समष्टि सीमा-बिंदु संहत है

    (1) दूरीक प्रमेय है। (2) बिना सीमा बिंदु का अनंत समुच्चय संवृत व विविक्त है, अतः उसके बिंदुओं के ऐसे प्रतिवेश हैं जिनमें अन्य कोई बिंदु नहीं; पूरक सहित ये X को बिना परिमित उपावरण के ढँकते हैं। (3) विफल: ℕ × {0, 1}, ℕ विविक्त तथा {0, 1} अविविक्त सहित, सीमा-बिंदु संहत है परंतु विवृत समुच्चयों {n} × {0, 1} का कोई परिमित उपावरण नहीं। (4) ℤ ⊂ ℝ का कोई सीमा बिंदु नहीं।

13. निम्न-सीमा रेखा ℝ_ℓ (आधार {[a, b)}) हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. यह प्रथम गणनीय है
    2. यह वियोज्य है
    3. यह द्वितीय गणनीय है
    4. यह दूरीकरणीय है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यह प्रथम गणनीय है; B — यह वियोज्य है

    (1) {[x, x + 1/n)}, x पर गणनीय प्रतिवेश-आधार है। (2) ℚ प्रत्येक [a, b) से मिलता है। (3) विफल: किसी भी आधार में प्रत्येक x हेतु [x, x + 1) के भीतर न्यूनतम x वाला समुच्चय होना चाहिए, जो अगणनीय भिन्न समुच्चय देता है। (4) विफल: वियोज्य दूरीक समष्टि द्वितीय गणनीय होती है।

14. पृथक्करण अभिगृहीतों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. प्रत्येक दूरीक समष्टि प्रसामान्य है
    2. प्रत्येक संहत हाउसडॉर्फ़ समष्टि प्रसामान्य है
    3. प्रत्येक T₁ समष्टि हाउसडॉर्फ़ है
    4. प्रत्येक नियमित द्वितीय गणनीय T₁ समष्टि दूरीकरणीय है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक दूरीक समष्टि प्रसामान्य है; B — प्रत्येक संहत हाउसडॉर्फ़ समष्टि प्रसामान्य है; D — प्रत्येक नियमित द्वितीय गणनीय T₁ समष्टि दूरीकरणीय है

    (1) U = {d(x, A) < d(x, B)} तथा V = {d(x, B) < d(x, A)} असंयुक्त संवृत A, B को अलग करते हैं। (2) संहतता बिंदु-पृथक्करण को दो बार समुच्चय-पृथक्करण में उन्नत करती है। (4) उरिसोन का दूरीकरण प्रमेय है। (3) विफल: ℝ पर सहपरिमित सांस्थिति T₁ है, हाउसडॉर्फ़ नहीं।

15. उरिसोन प्रमेयिका कहती है कि T₁ समष्टि X प्रसामान्य है यदि और केवल यदि

    1. किन्हीं असंयुक्त संवृत समुच्चयों A व B हेतु संतत f: X → [0, 1] हो जिसके लिए A पर f = 0 तथा B पर f = 1
    2. X पर प्रत्येक संतत वास्तविक फलन परिबद्ध है
    3. X दूरीकरणीय है
    4. किन्हीं दो भिन्न बिंदुओं हेतु उन्हें अलग करने वाला संतत फलन हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — किन्हीं असंयुक्त संवृत समुच्चयों A व B हेतु संतत f: X → [0, 1] हो जिसके लिए A पर f = 0 तथा B पर f = 1

    ऐसे f से f⁻¹[0, 1/2) तथा f⁻¹(1/2, 1], A व B के परितः असंयुक्त विवृत समुच्चय हैं, अतः फलनात्मक शर्त प्रसामान्यता देती है; प्रमेयिका विलोम है, विवृत समुच्चयों के द्विआधारी कुल से बनी। प्रसामान्य समष्टियों का दूरीकरणीय होना आवश्यक नहीं (ℝ_ℓ), तथा परिबद्ध फलन संहतता-प्रकार के गुणों का अभिलक्षण करते हैं, प्रसामान्यता का नहीं।

16. A = (0, 1] पर f(x) = sin(1/x) का ℝ तक कोई संतत विस्तार नहीं। यह टीट्ज़ विस्तार प्रमेय का विरोध नहीं करता क्योंकि

    1. A, ℝ का संवृत उपसमुच्चय नहीं
    2. ℝ प्रसामान्य समष्टि नहीं
    3. f, A पर संतत नहीं
    4. f, A पर अपरिबद्ध है
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    उत्तर: A — A, ℝ का संवृत उपसमुच्चय नहीं

    टीट्ज़ प्रसामान्य समष्टि के संवृत उपसमुच्चयों से संतत फलनों का विस्तार करता है। ℝ दूरीक, अतः प्रसामान्य, है; f, A पर संतत व 1 से परिबद्ध है। विफलता यह है कि 0, A के बाहर A का सीमा बिंदु है, जहाँ f दोलन करता है, अतः A संवृत नहीं।