आंशिक अवकल समीकरण: अभिलक्षण, वर्गीकरण, तथा लाप्लास, ऊष्मा व तरंग समीकरण

आंशिक अवकल समीकरण GATE गणित (MA) पेपर का खंड 9 है। इसका प्रथम-कोटि भाग एक विचार है — अभिलक्षणों की विधि, जो रैखिक या अर्ध-रैखिक समीकरण को वक्रों के अनुदिश साधारण अवकल समीकरणों में बदलती है, और जो यह भी समझाती है कि कौशी समस्या कब हल होती है और अर्ध-रैखिक हल कब टूटता है। इसका द्वितीय-कोटि भाग दो चरों में तीन समीकरण हैं और उन्हें अलग करने वाला वर्गीकरण: विविक्तकर तय करता है कि समीकरण अतिपरवलयिक (तरंग समीकरण), परवलयिक (ऊष्मा समीकरण) या दीर्घवृत्तीय (लाप्लास समीकरण) है, और प्रत्येक प्रकार का अपना विहित रूप, अपने सही परिसीमा आँकड़े और अपना गुणात्मक व्यवहार है। अध्याय अधिकतम सिद्धांत सहित कार्तीय व ध्रुवीय निर्देशांकों में लाप्लास समीकरण हेतु चरों का पृथक्करण, अंतराल पर ऊष्मा व तरंग समीकरण, दलाम्बेर सूत्र सहित तरंग समीकरण की कौशी समस्या, आश्रितता व प्रभाव प्रांत तथा असमघात समीकरण, ऊष्मा समीकरण की कौशी समस्या, तथा लाप्लास व फ़ूरिये रूपांतर विधियाँ लेता है।

1. प्रथम-कोटि रैखिक व अर्ध-रैखिक समीकरण: अभिलक्षणों की विधि

अर्ध-रैखिक समीकरण a(x, y, u)uₓ + b(x, y, u)uy = c(x, y, u) हेतु हल का आलेख अभिलाक्षणिक वक्रों का सम्मिलन है, जो dx/a = dy/b = du/c (लग्रांज के सहायक समीकरण) के हल हैं। यदि φ(x, y, u) = c₁ तथा ψ(x, y, u) = c₂ दो स्वतंत्र समाकल हों, तो व्यापक हल F(φ, ψ) = 0 है। कौशी समस्या हेतु — वक्र Γ के अनुदिश u निर्धारित — अद्वितीय स्थानीय हल तब है जब Γ अनभिलाक्षणिक हो: उसकी स्पर्शरेखा कहीं भी प्रक्षेपित अभिलाक्षणिक दिशा (a, b) के समांतर न हो।

हल किए गए अभिलक्षण
समस्याअभिलक्षणहल
ut + cuₓ = 0, u(x, 0) = f(x)x − ct = अचर, प्रत्येक पर u अचरu = f(x − ct), गतिशील तरंग
uₓ + 2uy = 0, u(x, 0) = sin xy − 2x = अचरu = sin(x − y/2)
xuₓ + yuy = 2u, u(x, 1) = xy/x = c₁, u/x² = c₂u = x² f(y/x), f(s) = s, अतः u = xy
ut + uuₓ = 0, u(x, 0) = f(x) (अश्यान बर्गर्स)सरल रेखाएँ x = x₀ + f(x₀)t, जिन पर u = f(x₀)अस्पष्टतः u = f(x − ut); f(x) = x हेतु u = x/(1 + t)
⚠️ अर्ध-रैखिक हल परिमित समय में टूट सकते हैं
ut + uuₓ = 0 हेतु x₀ से अभिलक्षण की चाल f(x₀) है। यदि f कहीं ह्रासमान हो, तो तेज़ अभिलक्षण धीमों के पीछे से आरंभ होकर उन्हें काटते हैं; शास्त्रीय हल t∗ = −1/min f′ पर समाप्त हो जाता है। f(x) = −2x हेतु u = −2x/(1 − 2t), जो t = 1/2 पर अनंत होता है (सभी अभिलक्षण मिलते हैं)। चिकने गुणांकों वाला रैखिक समीकरण कभी ऐसा नहीं करता: उसके अभिलक्षण u पर निर्भर नहीं।

2. द्वितीय-कोटि समीकरण: वर्गीकरण व विहित रूप

a uₓₓ + b uₓy + c uyy + (निम्न-कोटि पद) = 0 हेतु, a, b, c, (x, y) के फलन, किसी बिंदु पर प्रकार विविक्तकर Δ = b² − 4ac से तय होता है: Δ > 0 पर अतिपरवलयिक, Δ = 0 पर परवलयिक, Δ < 0 पर दीर्घवृत्तीय। किसी भी चिकने व्युत्क्रमणीय चर-परिवर्तन से प्रकार नहीं बदलता। अभिलाक्षणिक वक्र a(dy)² − b dx dy + c(dx)² = 0, अर्थात् dy/dx = (b ± √Δ)/(2a), संतुष्ट करते हैं।

प्रकार व विहित रूप
प्रकारअभिलक्षणविहित रूपमॉडल
अतिपरवलयिक, Δ > 0दो वास्तविक परिवार ξ, ηuξη + … = 0 (या uαα − uββ + … = 0)utt = c²uₓₓ
परवलयिक, Δ = 0एक वास्तविक परिवारuηη + … = 0ut = kuₓₓ
दीर्घवृत्तीय, Δ < 0कोई वास्तविक नहींuαα + uββ + … = 0uₓₓ + uyy = 0
  • uₓₓ + 4uₓy + 3uyy = 0: Δ = 16 − 12 = 4 > 0, अतिपरवलयिक। uₓₓ + 2uₓy + uyy = 0: Δ = 0, परवलयिक। uₓy = 0: Δ = 1, अतिपरवलयिक, पहले से विहित, व्यापक हल F(x) + G(y)।
  • ट्राइकोमी समीकरण y uₓₓ + uyy = 0 हेतु Δ = −4y: y > 0 हेतु दीर्घवृत्तीय, y = 0 पर परवलयिक, y < 0 हेतु अतिपरवलयिक। प्रकार किसी वक्र के आर-पार बदल सकता है।
  • uₓₓ − uyy = 0 हेतु ξ = x + y, η = x − y से −4uξη = 0, अतः u = F(x + y) + G(x − y)।

3. लाप्लास समीकरण: चरों का पृथक्करण व अधिकतम सिद्धांत

आयत 0 < x < a, 0 < y < b, तीन भुजाओं पर u = 0 तथा u(x, b) = f(x): पृथक्करण u = X(x)Y(y) से X(0) = X(a) = 0 सहित X″ + λX = 0, अतः Xₙ = sin(nπx/a), तथा Yₙ = sinh(nπy/a)। तब u = Σ bₙ sin(nπx/a) sinh(nπy/a)/sinh(nπb/a), bₙ, f के फ़ूरिये ज्या गुणांक। ध्रुवीय निर्देशांकों में चकती r < R: urr + ur/r + uθθ/r² = 0 से Θ आवर्ती, अतः Θ = cos nθ, sin nθ तथा R(r) = rⁿ (0 पर परिबद्धता हेतु r−n व log r त्यागे जाते हैं): u = a₀/2 + Σ (r/R)ⁿ(aₙ cos nθ + bₙ sin nθ), aₙ, bₙ परिसीमा आँकड़ों के फ़ूरिये गुणांक।

उदाहरण। इकाई चकती पर u(1, θ) = cos²θ = ½ + ½ cos 2θ सहित u = ½ + ½r² cos 2θ = ½ + ½(x² − y²)। केंद्र मान ½, परिसीमा आँकड़ों का औसत है (माध्य मान गुण), तथा u(1/2, 0) = ½ + ⅛ = 0.625।

🎯 अधिकतम सिद्धांत व अद्वितीयता
यदि परिबद्ध प्रांत Ω में Δu = 0 तथा u संवरक पर संतत हो, तो u का उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ ∂Ω पर प्राप्त होते हैं; यदि भीतर प्राप्त हों, तो u अचर है (प्रबल रूप, माध्य मान गुण से)। परिणाम: समान परिसीमा आँकड़ों वाले डिरिक्ले समस्या के दो हल ∂Ω पर शून्य होने वाले प्रसंवादी फलन से भिन्न हैं, जिसका उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ 0 है, अतः हल अद्वितीय है। ऊष्मा समीकरण का भी यही सिद्धांत परवलयिक सीमा (दिक्–काल आयत का आधार व भुजाएँ) पर है।

4. एक दिक्-चर में ऊष्मा व तरंग समीकरण

  • अंतराल पर ऊष्मा। 0 < x < L पर ut = kuₓₓ, u(0, t) = u(L, t) = 0, u(x, 0) = f(x): u = Σ bₙ e−k(nπ/L)²t sin(nπx/L)। उच्च विधाएँ तेज़ी से क्षयित होती हैं; L = π, k = 1 तथा f = sin x + 3 sin 2x सहित u = e−t sin x + 3e−4t sin 2x। ऊष्मारोधी सिरों uₓ = 0 सहित विधाएँ cos(nπx/L) हैं और u, f के माध्य की ओर जाता है।
  • अंतराल पर तरंग। utt = c²uₓₓ, स्थिर सिरे: u = Σ [aₙ cos(nπct/L) + bₙ sin(nπct/L)] sin(nπx/L), aₙ, u(x, 0) से तथा bₙ(nπc/L), ut(x, 0) से। विधाएँ बिना क्षय के दोलन करती हैं।

ℝ पर तरंग समीकरण की कौशी समस्या — दलाम्बेर। utt = c²uₓₓ, u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x) का अद्वितीय हल u(x, t) = ½[f(x − ct) + f(x + ct)] + (1/2c)∫x−ctx+ct g(s) ds है। (x, t) पर मान केवल आश्रितता प्रांत [x − ct, x + ct] के आँकड़ों पर निर्भर है; x₀ के आँकड़े केवल प्रभाव प्रांत |x − x₀| ≤ ct को प्रभावित करते हैं: प्रसार की परिमित चाल। शून्य आँकड़ों सहित असमघात समीकरण utt − c²uₓₓ = F हेतु ड्यूहामेल सिद्धांत (1/2c)∫₀ᵗ∫x−c(t−τ)x+c(t−τ) F(s, τ) ds dτ जोड़ता है; F ≡ 2 व c = 1 हेतु यह t² है।

ℝ पर ऊष्मा समीकरण की कौशी समस्या। ut = kuₓₓ, u(x, 0) = f(x) परिबद्ध व संतत: u(x, t) = (4πkt)−1/2∫ e−(x−y)²/(4kt) f(y) dy, ऊष्मा अष्टि के साथ संवलन। t > 0 हेतु यह C∞ है भले f केवल संतत हो, और f में धनात्मक उभार तुरंत हर स्थान पर u > 0 कर देता है: प्रसार की अनंत चाल, तरंग समीकरण के विपरीत। परिबद्ध हल अद्वितीय हैं।

5. लाप्लास व फ़ूरिये रूपांतर विधियाँ

  • x में फ़ूरिये रूपांतर (ℝ पर): û(ω, t) = ∫ u e−iωx dx सहित ऊष्मा समीकरण ût = −kω²û बनता है, अतः û = f̂(ω)e−kω²t, और प्रतिलोम रूपांतर ऊष्मा-अष्टि सूत्र है। f = e−x² तथा k = 1 हेतु u = (1 + 4t)−1/2 e−x²/(1 + 4t); x = 0, t = 3/4 पर यह 1/2 है।
  • t में लाप्लास रूपांतर (t > 0 हेतु, प्रायः x में अर्ध-रेखा पर): L{ut} = sU − u(x, 0), PDE को प्राचल s सहित x में ODE बनाता है। x > 0 पर u(x, 0) = 0, u(0, t) = 1 व परिबद्ध u सहित ut = uₓₓ हेतु sU = U″ से U = e−x√s/s, जिसका प्रतिलोम erfc(x/(2√t)) है।

मुख्य बिंदु

  • अभिलक्षण dx/a = dy/b = du/c प्रथम-कोटि अर्ध-रैखिक समीकरण हल करते हैं; आँकड़े अनभिलाक्षणिक वक्र पर होने चाहिए, और अर्ध-रैखिक हल t∗ = −1/min f′ पर टूट सकते हैं।
  • a uₓₓ + b uₓy + c uyy हेतु Δ = b² − 4ac > 0 अतिपरवलयिक, = 0 परवलयिक, < 0 दीर्घवृत्तीय, बिंदुशः; ट्राइकोमी y = 0 के आर-पार प्रकार बदलता है।
  • चकती पर लाप्लास: u = a₀/2 + Σ rⁿ(aₙ cos nθ + bₙ sin nθ); प्रसंवादी फलन माध्य मान गुण व अधिकतम सिद्धांत का पालन करते हैं, जो अद्वितीयता देता है।
  • दलाम्बेर: u = ½[f(x − ct) + f(x + ct)] + (1/2c)∫g, [x − ct, x + ct] पर, आश्रितता प्रांत; तरंगें चाल c से चलती हैं, ऊष्मा अनंत चाल से।
  • चरों का पृथक्करण ऊष्मा हेतु e−k(nπ/L)²t sin(nπx/L) तथा तरंगों हेतु त्रिकोणमितीय काल-गुणक देता है; x में फ़ूरिये व t में लाप्लास PDE को ODE बनाते हैं।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. समीकरण uₓₓ + 4uₓy + 3uyy + uₓ = 0 है

    1. हर स्थान पर अतिपरवलयिक
    2. हर स्थान पर परवलयिक
    3. हर स्थान पर दीर्घवृत्तीय
    4. भिन्न क्षेत्रों में भिन्न प्रकार का
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — हर स्थान पर अतिपरवलयिक

    a = 1, b = 4, c = 3 सहित विविक्तकर b² − 4ac = 16 − 12 = 4 > 0 प्रत्येक बिंदु पर है, अतः समीकरण हर स्थान पर अतिपरवलयिक है; प्रथम-कोटि पद की प्रकार में कोई भूमिका नहीं। uₓy के गुणांक को b मानकर b² − ac लेने से 13 आता, तब भी धनात्मक, परंतु दोनों परिपाटियाँ मिलानी नहीं चाहिए।

  2. निम्नलिखित में से कौन-से समीकरण ℝ² के प्रत्येक बिंदु पर अतिपरवलयिक हैं?

    1. uₓₓ − uyy = 0
    2. uₓₓ + 2uₓy + uyy = 0
    3. uₓₓ + x²uyy = 0
    4. uₓy = 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — uₓₓ − u_{yy} = 0; D — uₓ_{y} = 0

    Δ = b² − 4ac। (1) 0 − 4(1)(−1) = 4 > 0। (2) 4 − 4 = 0: परवलयिक। (3) x ≠ 0 हेतु −4x² < 0 (दीर्घवृत्तीय) तथा x = 0 पर 0 (परवलयिक)। (4) 1 − 0 = 1 > 0; यह तरंग समीकरण का विहित रूप है।

  3. ट्राइकोमी समीकरण y uₓₓ + uyy = 0 ठीक किस क्षेत्र में अतिपरवलयिक है

    1. y < 0
    2. y > 0
    3. y = 0
    4. x < 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — y < 0

    a = y, b = 0, c = 1, अतः Δ = −4y: धनात्मक यदि और केवल यदि y < 0। यह y > 0 हेतु दीर्घवृत्तीय तथा रेखा y = 0 पर परवलयिक है। प्रकार केवल मुख्य गुणांकों पर, यहाँ केवल y पर, निर्भर है।

  4. ξ = x + y, η = x − y के अंतर्गत समीकरण uₓₓ − uyy = 0 बनता है

    1. uξη = 0, व्यापक हल F(x + y) + G(x − y) सहित
    2. uξξ + uηη = 0
    3. uξξ = 0
    4. uξ = uη
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — u_{ξη} = 0, व्यापक हल F(x + y) + G(x − y) सहित

    uₓ = uξ + uη, uy = uξ − uη, अतः uₓₓ = uξξ + 2uξη + uηη तथा uyy = uξξ − 2uξη + uηη। अंतर 4uξη है, अतः uξη = 0 तथा u = F(ξ) + G(η)। नए निर्देशांक अभिलक्षण x ± y = अचर हैं।

  5. मान लें u, u(x, 0) = sin x सहित uₓ + 2uy = 0 को हल करता है। u(π, π) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1

    अभिलक्षण dy/dx = 2, अर्थात् y − 2x = अचर, हैं, और प्रत्येक पर u अचर है। (π, π) से होकर जाने वाला y = 0 से x = π − π/2 = π/2 पर मिलता है, अतः u = sin(x − y/2) तथा u(π, π) = sin(π/2) = 1।

  6. मान लें x > 0 हेतु u, u(x, 1) = x सहित xuₓ + yuy = 2u को हल करता है। u(2, 3) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6

    dx/x = dy/y = du/(2u) से y/x = c₁ तथा u/x² = c₂, अतः u = x²f(y/x)। y = 1 पर: x²f(1/x) = x, अतः f(s) = s तथा u = x²(y/x) = xy। जाँच: x·y + y·x = 2xy = 2u। u(2, 3) = 6।

  7. u(x, 0) = −2x सहित ut + uuₓ = 0 हेतु शास्त्रीय हल 0 ≤ t < T पर है। ऐसा सबसे बड़ा T ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.5

    u, x = x₀ + f(x₀)t = x₀(1 − 2t) के अनुदिश अचर है, अतः x₀ = x/(1 − 2t) तथा u = −2x/(1 − 2t)। t = 1/2 पर सभी अभिलक्षण x = 0 पर मिलते हैं, जहाँ u अनंत होता है। सामान्य नियम t∗ = −1/min f′ = −1/(−2) = 1/2 से मेल है।

  8. अशून्य अचर c सहित ut + cuₓ = 0 हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. प्रत्येक हल प्रत्येक रेखा x − ct = अचर के अनुदिश अचर है
    2. u(x, 0) = f(x) वाला हल u = f(x − ct) है
    3. रेखा t = 0 एक अभिलक्षण है
    4. रेखा x = ct पर u निर्धारित करने से अद्वितीय हल निर्धारित होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक हल प्रत्येक रेखा x − ct = अचर के अनुदिश अचर है; B — u(x, 0) = f(x) वाला हल u = f(x − ct) है

    x = x₀ + ct के अनुदिश du/dt = ut + cuₓ = 0, जो (1) व (2) देता है। (3) असत्य: (x, t)-तल में अभिलक्षणों की दिशा (c, 1) है, जो t = 0 के समांतर नहीं क्योंकि c परिमित है। (4) असत्य: x = ct स्वयं अभिलक्षण है, अतः वहाँ के आँकड़े संगत होने हेतु अचर होने चाहिए और फिर उसके बाहर u अनिर्धारित रहता है।

  9. u इकाई चकती में प्रसंवादी है, सीमा तक संतत, ध्रुवीय निर्देशांकों में u(1, θ) = cos²θ सहित। बिंदु (x, y) = (1/2, 0) पर u का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.625

    cos²θ = ½ + ½ cos 2θ, तथा प्रत्येक फ़ूरिये विधा cos nθ, rⁿ cos nθ के रूप में विस्तारित होती है, अतः u = ½ + ½r² cos 2θ = ½ + ½(x² − y²)। r = 1/2, θ = 0 पर: ½ + ½ · ¼ = 0.625। केंद्र मान ½ परिसीमा औसत है, जैसा माध्य मान गुण माँगता है।

  10. प्रसंवादी फलनों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. परिबद्ध प्रांत पर, संवरक पर संतत, अचर-भिन्न प्रसंवादी फलन अपना उच्चिष्ठ केवल सीमा पर प्राप्त करता है
    2. परिबद्ध प्रांत पर लाप्लास समीकरण की डिरिक्ले समस्या का संवरक पर संतत अधिकतम एक हल है
    3. सम्पूर्ण ℝ² पर ऊपर से परिबद्ध प्रसंवादी फलन अचर है
    4. चकती के केंद्र पर प्रसंवादी फलन का मान सीमा वृत्त पर उसके उच्चिष्ठ के बराबर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — परिबद्ध प्रांत पर, संवरक पर संतत, अचर-भिन्न प्रसंवादी फलन अपना उच्चिष्ठ केवल सीमा पर प्राप्त करता है; B — परिबद्ध प्रांत पर लाप्लास समीकरण की डिरिक्ले समस्या का संवरक पर संतत अधिकतम एक हल है; C — सम्पूर्ण ℝ² पर ऊपर से परिबद्ध प्रसंवादी फलन अचर है

    (1) प्रबल अधिकतम सिद्धांत है। (2) दो हलों का अंतर शून्य सीमा-मानों वाला प्रसंवादी है, अतः उसका उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ 0। (3) यदि u ≤ M तो M − u, ℝ² पर अऋणात्मक प्रसंवादी फलन है, अतः अचर (प्रसंवादी फलनों हेतु लिउविल; ℝ² में u = Re f लिखकर ef पर लिउविल लगाएँ)। (4) असत्य: केंद्र मान सीमा औसत है, उदा. इकाई चकती पर u = x का केंद्र मान 0 तथा सीमा उच्चिष्ठ 1।

  11. 0 < x < π पर u(0, t) = u(π, t) = 0 तथा u(x, 0) = sin x + 3 sin 2x सहित ut = uₓₓ। u(π/2, 1) का मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.37

    प्रत्येक विधा sin nx, e−n²t की भाँति क्षयित होती है, अतः u = e−t sin x + 3e−4t sin 2x। x = π/2 पर sin 2x = sin π = 0, अतः u(π/2, 1) = e−1 = 0.368, अर्थात् 0.37। दूसरी विधा, आरंभ में बड़ी होते हुए भी, सभी t हेतु मध्यबिंदु पर शून्य है।

  12. ℝ पर u(x, 0) = f(x) ≥ 0 सहित कौशी समस्या ut = uₓₓ हेतु, f संतत, परिबद्ध, तथा केवल [0, 1] पर धनात्मक, हल संतुष्ट करता है

    1. प्रत्येक x ∈ ℝ व प्रत्येक t > 0 हेतु u(x, t) > 0
    2. |x| > 1 + t हेतु u(x, t) = 0
    3. सभी t हेतु [0, 1] के बाहर u(x, t) = 0
    4. t > 0 हेतु u अवकलनीय नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रत्येक x ∈ ℝ व प्रत्येक t > 0 हेतु u(x, t) > 0

    u = (4πt)−1/2∫₀¹ e−(x−y)²/(4t) f(y) dy, और गाउसीय अष्टि हर स्थान पर धनात्मक है, अतः t > 0 होते ही प्रत्येक बिंदु पर u > 0: प्रसार की अनंत चाल। |x| ≤ 1 + t जैसी आधार सीमा तरंग समीकरण का व्यवहार है। ऊष्मा अष्टि t > 0 हेतु u को C∞ बनाती है।

  13. u, ℝ पर u(x, 0) = x² तथा ut(x, 0) = 0 सहित utt = 4uₓₓ को हल करता है। u(1, 1) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 5

    c = 2, अतः दलाम्बेर देता है u = ½[(x − 2t)² + (x + 2t)²] = x² + 4t²। जाँच: utt = 8 = 4 · 2 = 4uₓₓ। u(1, 1) = 1 + 4 = 5। √4 के स्थान पर c = 4 लेने से 17 आता है।

  14. u, ℝ पर u(x, 0) = 0 तथा ut(x, 0) = x² सहित utt = uₓₓ को हल करता है। u(1, 3) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 12

    u = ½∫x−tx+t s² ds = [(x + t)³ − (x − t)³]/6 = x²t + t³/3। (1, 3) पर: 3 + 9 = 12। सीधे: ½∫−24 s² ds = ½(64 + 8)/3 = 12।

  15. ℝ पर utt = 9uₓₓ हेतु मान u(2, 1) केवल x-अक्ष के एक अंतराल पर प्रारंभिक आँकड़ों पर निर्भर है। उस अंतराल की लंबाई ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 6

    c = 3, और (x, t) का आश्रितता प्रांत [x − ct, x + ct] = [2 − 3, 2 + 3] = [−1, 5] है, लंबाई 2ct = 6। c = 9 लेने से 18 आता है।

  16. u, ℝ पर u(x, 0) = 0 तथा ut(x, 0) = 0 सहित utt − uₓₓ = 2 को हल करता है। u(5, 3) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 9

    ड्यूहामेल: u = ½∫₀ᵗ∫x−(t−τ)x+(t−τ) 2 ds dτ = ½∫₀ᵗ 4(t − τ) dτ = t²। जाँच: u = t² हेतु utt = 2, uₓₓ = 0, शून्य आँकड़े। अतः u(5, 3) = 9, x से स्वतंत्र, जैसा x-स्वतंत्र प्रणोदन सुझाता है।

  17. u, ℝ पर u(x, 0) = e−x² सहित ut = uₓₓ को हल करता है। u(0, 3/4) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.5

    x में फ़ूरिये: û(ω, t) = f̂(ω)e−ω²t, f̂ = √π e−ω²/4, अतः û = √π e−ω²(1 + 4t)/4, जो (1 + 4t)−1/2 e−x²/(1 + 4t) का रूपांतर है। x = 0, t = 3/4 पर: (1 + 3)−1/2 = 0.5। गाउसीय फैलता है जबकि उसका समाकल √π स्थिर रहता है।