आंकिक विश्लेषण: रैखिक निकाय, अरैखिक समीकरण, अंतर्वेशन, संख्यात्मक समाकलन व प्रा.मा.स.

आंकिक विश्लेषण GATE गणित (MA) पेपर का खंड 8 है और इसका सबसे अंकगणितीय भाग: लगभग प्रत्येक प्रश्न किसी नामित विधि के एक-दो चरण हैं, जिसके बाद उसकी त्रुटि या अभिसरण का प्रश्न। खंड पाँच प्रकरणों से होकर चलता है, और यह अध्याय उन्हें क्रम से लेता है: रैखिक निकायों हेतु प्रत्यक्ष विधियाँ (गाउसीय निरसन, LU व चोलेस्की), विकर्णतः प्रभावी आव्यूहों हेतु अपने अभिसरण सहित जैकोबी व गाउस–सीडेल की पुनरावृत्तीय विधियाँ; अरैखिक समीकरणों हेतु अपनी अभिसरण-कोटियों सहित द्विभाजन, सिकैंट, न्यूटन–रैफ़्सन व नियत-बिंदु विधियाँ; अंतर्वेशन त्रुटि सहित लग्रांज व न्यूटन अंतर्वेशन; आंकिक अवकलन, समलंब व सिम्पसन नियम, न्यूटन–कोट्स व संयुक्त नियम तथा उनकी त्रुटियाँ; तथा प्रारंभिक मान समस्याओं हेतु आयलर विधि व द्वितीय-कोटि रुंगे–कुट्टा विधि। अधिकांश MSQ दो बातें तय करती हैं: प्रत्येक विधि की कोटि, तथा प्रत्येक नियम किस घात तक के बहुपद का यथार्थ समाकलन करता है।

1. प्रत्यक्ष विधियाँ: गाउसीय निरसन, LU व चोलेस्की

गाउसीय निरसन Ax = b को लगभग 2n³/3 संक्रियाओं में उपरि त्रिभुजीय निकाय में बदलता है और n² में पश्च-प्रतिस्थापन करता है। गुणकों को दर्ज करने से LU वियोजन A = LU मिलता है (डूलिटल: L इकाई-विकर्ण निम्न त्रिभुजीय), जो बिना पिवोटन के तब है जब सभी अग्र मुख्य उपसारणिक अशून्य हों; आंशिक पिवोटन (स्तंभ में सबसे बड़ा पिवोट) प्रत्येक व्युत्क्रमणीय A हेतु PA = LU देता है और पूर्णांकन नियंत्रित करता है। चोलेस्की: धनात्मक विकर्ण वाले निम्न त्रिभुजीय L सहित A = LLᵀ का अस्तित्व है यदि और केवल यदि A सममित धनात्मक निश्चित हो, LU की आधी लागत पर।

  • [[2, 1, 1], [4, 3, 3], [8, 7, 9]] हेतु डूलिटल: गुणक l₂₁ = 2, l₃₁ = 4 पंक्तियाँ (0, 1, 1) व (0, 3, 5) देते हैं; फिर l₃₂ = 3 तथा u₃₃ = 5 − 3 = 2। अतः U = [[2, 1, 1], [0, 1, 1], [0, 0, 2]] तथा det A = 2 · 1 · 2 = 4।
  • [[4, 2], [2, 5]] हेतु चोलेस्की: l₁₁ = √4 = 2, l₂₁ = 2/2 = 1, l₂₂ = √(5 − 1²) = 2।

2. पुनरावृत्तीय विधियाँ: जैकोबी व गाउस–सीडेल

A = D + L + U में तोड़ें (विकर्ण, निश्चित निम्न, निश्चित उपरि)। जैकोबी: x(k+1) = D⁻¹(b − (L + U)x(k)), पुनरावृत्ति आव्यूह TJ = −D⁻¹(L + U)। गाउस–सीडेल प्रत्येक नया घटक तुरंत उपयोग करता है: x(k+1) = (D + L)⁻¹(b − Ux(k)), TGS = −(D + L)⁻¹U। स्थिर पुनरावृत्ति प्रत्येक आरंभिक सदिश हेतु अभिसृत है यदि और केवल यदि स्पेक्ट्रमी त्रिज्या ρ(T) < 1, और त्रुटि प्रति चरण लगभग ρ(T) गुना घटती है।

  • यदि A पंक्तियों द्वारा निश्चित रूप से विकर्णतः प्रभावी हो (|aᵢᵢ| > Σj≠i |aᵢⱼ|), तो जैकोबी व गाउस–सीडेल दोनों प्रत्येक x(0) हेतु अभिसृत होते हैं। यदि A सममित धनात्मक निश्चित हो, तो गाउस–सीडेल अभिसृत होता है।
  • A = [[4, 1], [2, 5]] हेतु: TJ = [[0, −1/4], [−2/5, 0]] के आइगेन-मान ±√(1/10), ρ ≈ 0.316; TGS = [[0, −1/4], [0, 1/10]], ρ = 0.1 = ρ(TJ)²। 2 × 2 (तथा संगत क्रमित) आव्यूहों हेतु गाउस–सीडेल दुगुनी तेज़ी से अभिसृत होता है।
⚠️ गाउस–सीडेल सदा तेज़ नहीं होता
ऐसे आव्यूह हैं जिनके लिए जैकोबी अभिसृत होता है और गाउस–सीडेल अपसारी, और उलटा भी; विकर्ण प्रभाविता पर्याप्त शर्त है, आवश्यक नहीं। कथन “गाउस–सीडेल सदा जैकोबी से तेज़ अभिसृत होता है” सामान्यतः असत्य है और केवल ऊपर की 2 × 2 स्थिति जैसे विशेष वर्गों हेतु सत्य।

3. अरैखिक समीकरण

चार मूल-खोजक
विधिचरणअभिसरण की कोटि
द्विभाजनचिह्न-परिवर्तन रखते हुए [a, b] आधा करेंरैखिक; n चरणों के बाद अंतराल-लंबाई (b − a)/2ⁿ
सिकैंटxₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)(xₙ − xₙ₋₁)/(f(xₙ) − f(xₙ₋₁))साधारण मूल पर (1 + √5)/2 ≈ 1.618
न्यूटन–रैफ़्सनxₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)साधारण मूल पर 2; बहुलता m के मूल पर अनुपात (m − 1)/m सहित रैखिक
नियत बिंदु x = g(x)xₙ₊₁ = g(xₙ)रैखिक, अनुपात |g′(α)|, यदि 0 < |g′(α)| < 1; कोटि p यदि α पर g′ = … = g(p−1) = 0 ≠ g(p)
  • x₀ = 2 से f = x³ − 2x − 5 पर न्यूटन: f(2) = −1, f′(2) = 10, अतः x₁ = 2.1। 1 से x² − 2 पर न्यूटन: 1.5, 1.41667, 1.4142157, प्रत्येक चरण में सही अंक दुगुने।
  • x₀ = 1, x₁ = 2 से x² − 2 पर सिकैंट: x₂ = 2 − 2 · 1/(2 − (−1)) = 4/3।
  • x² − x − 2 = 0 (मूल 2) हेतु: g = √(x + 2) का g′(2) = 1/4 तथा g = 1 + 2/x का g′(2) = −1/2, दोनों अभिसृत; g = x² − 2 (g′ = 4) व g = 2/(x − 1) (g′ = −2) दूर धकेलते हैं। न्यूटन स्वयं नियत-बिंदु विधि g = x − f/f′ है, साधारण मूल पर g′(α) = 0 सहित।

4. बहुपद अंतर्वेशन व उसकी त्रुटि

भिन्न नोड x₀, …, xₙ वाले n + 1 बिंदुओं से होकर घात ≤ n का ठीक एक बहुपद pₙ है। लग्रांज रूप: pₙ = Σ yᵢℓᵢ(x), ℓᵢ = Πj≠i (x − xⱼ)/(xᵢ − xⱼ)। न्यूटन रूप: pₙ = f[x₀] + f[x₀, x₁](x − x₀) + … + f[x₀, …, xₙ](x − x₀)⋯(x − xₙ₋₁), विभाजित अंतरों f[x₀, …, xₖ] = (f[x₁, …, xₖ] − f[x₀, …, xₖ₋₁])/(xₖ − x₀) सहित; एक नोड जोड़ने पर एक पद जुड़ता है। आँकड़ों (0, 1), (1, 3), (2, 7) हेतु: f[0, 1] = 2, f[1, 2] = 4, f[0, 1, 2] = 1, अतः p₂ = 1 + 2x + x(x − 1) = x² + x + 1 तथा p₂(3) = 13।

अंतर्वेशन त्रुटि। यदि f ∈ Cn+1, तो नोडों व x के विस्तार में किसी ξ हेतु f(x) − pₙ(x) = f(n+1)(ξ)/(n + 1)! · Π(x − xᵢ)। 1 व 2 पर ln x के रैखिक अंतर्वेशन की 1.5 पर त्रुटि अधिकतम (max |f″|/2)·|0.5 · (−0.5)| = (1/2)(1/4) = 0.125 है। साथ ही f[x₀, …, xₙ] = f(n)(ξ)/n!, अतः घात n के बहुपद का n-वाँ विभाजित अंतर उसका अग्र गुणांक है और सभी उच्चतर शून्य हैं।

5. आंकिक अवकलन व समाकलन

अवकलन: अग्र अंतर [f(x + h) − f(x)]/h की त्रुटि −(h/2)f″(ξ), कोटि h; केंद्रीय अंतर [f(x + h) − f(x − h)]/(2h) की त्रुटि −(h²/6)f‴(ξ), कोटि h²। पूर्णांकन ε/h की भाँति बढ़ता है, अतः h को असीम घटाना आकलन को बिगाड़ता है।

[a, b] पर संवृत न्यूटन–कोट्स नियम, h अंतराल
नियमसूत्र (एक पट्ट)त्रुटिघात ≤ हेतु यथार्थ
समलंब(h/2)[f₀ + f₁]−(h³/12)f″(ξ); संयुक्त −((b − a)h²/12)f″(ξ)1
सिम्पसन 1/3(h/3)[f₀ + 4f₁ + f₂]−(h⁵/90)f⁗(ξ); संयुक्त −((b − a)h⁴/180)f⁗(ξ)3
सिम्पसन 3/8(3h/8)[f₀ + 3f₁ + 3f₂ + f₃]−(3h⁵/80)f⁗(ξ)3
  • h = 0.5 सहित समलंब नियम से ∫₀¹ x² dx: (0.5/2)(0 + 2 · 0.25 + 1) = 0.375, 1/3 की तुलना में; त्रुटि 0.0417 = (1 · 0.25/12) · 2, f″ = 2 सहित सूत्र से मेल खाती है।
  • h = 0.5 सहित सिम्पसन से ∫₀¹ x⁴ dx: (0.5/3)(0 + 4 · 0.0625 + 1) = 0.20833, 0.2 की तुलना में; त्रुटि 1/120 = (1 · 0.0625/180) · 24, f⁗ = 24 सहित मेल खाती है। सिम्पसन x³ हेतु यथार्थ है यद्यपि वह द्विघात से बना है, क्योंकि विषम त्रुटि पद सममिति से कट जाता है।

6. प्रारंभिक मान समस्याएँ: आयलर व द्वितीय-कोटि रुंगे–कुट्टा

चरण h सहित y′ = f(x, y), y(x₀) = y₀ हेतु: आयलर yₙ₊₁ = yₙ + h f(xₙ, yₙ) की स्थानीय त्रुटि O(h²) तथा वैश्विक त्रुटि O(h) है। हॉयन रूप (परिष्कृत आयलर विधि) में द्वितीय-कोटि रुंगे–कुट्टा: k₁ = f(xₙ, yₙ), k₂ = f(xₙ + h, yₙ + hk₁), yₙ₊₁ = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂); मध्यबिंदु रूप k₂ = f(xₙ + h/2, yₙ + hk₁/2) तथा yₙ₊₁ = yₙ + hk₂ लेता है। दोनों की वैश्विक त्रुटि O(h²) है।

  • y′ = x + y, y(0) = 1, h = 0.1: आयलर y₁ = 1 + 0.1 · 1 = 1.1 देता है; हॉयन k₁ = 1, k₂ = f(0.1, 1.1) = 1.2, y₁ = 1 + 0.05 · 2.2 = 1.11; यथार्थ y = 2eˣ − x − 1 से 1.11034।
  • स्थायित्व: λ < 0 सहित y′ = λy पर आयलर yₙ = (1 + hλ)ⁿy₀ देता है, जो केवल |1 + hλ| ≤ 1, अर्थात् h ≤ 2/|λ|, पर क्षयित होता है। y′ = −20y हेतु यह h ≤ 0.1 है; बड़ा चरण बढ़ते दोलन देता है यद्यपि यथार्थ हल क्षयित होता है।

मुख्य बिंदु

  • LU को अशून्य अग्र उपसारणिक (या पिवोटन) चाहिए; चोलेस्की A = LLᵀ ठीक सममित धनात्मक निश्चित A हेतु है।
  • जैकोबी व गाउस–सीडेल अभिसृत हैं यदि और केवल यदि ρ(T) < 1, निश्चित विकर्णतः प्रभावी A हेतु सदा; 2 × 2 आव्यूहों हेतु ρ(TGS) = ρ(TJ)²।
  • कोटियाँ: द्विभाजन 1, सिकैंट 1.618, न्यूटन साधारण मूलों पर 2 तथा बहुल मूलों पर रैखिक; |g′(α)| < 1 होने पर नियत-बिंदु पुनरावृत्ति अभिसृत होती है।
  • अंतर्वेशन त्रुटि f(n+1)(ξ)Π(x − xᵢ)/(n + 1)! है; अंतर्वेशी बहुपद अद्वितीय है और न्यूटन रूप प्रति नोड एक पद बढ़ता है।
  • समलंब घात 1 तक यथार्थ, संयुक्त त्रुटि O(h²); सिम्पसन घात 3 तक, O(h⁴); आयलर प्रथम कोटि व RK2 द्वितीय कोटि।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. वास्तविक वर्ग आव्यूह A का, धनात्मक विकर्ण वाले निम्न त्रिभुजीय L सहित, चोलेस्की गुणनखंडन A = LLᵀ है यदि और केवल यदि A है

    1. सममित धनात्मक निश्चित
    2. सममित
    3. व्युत्क्रमणीय
    4. विकर्णतः प्रभावी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सममित धनात्मक निश्चित

    LLᵀ सममित है, तथा x ≠ 0 हेतु xᵀLLᵀx = ‖Lᵀx‖² > 0 क्योंकि L व्युत्क्रमणीय है, अतः SPD आवश्यक है; विलोमतः एल्गोरिथ्म ठीक तब सफल होता है जब प्रत्येक पिवोट धनात्मक हो, जो SPD सुनिश्चित करता है। [[1, 2], [2, 1]] सममित व व्युत्क्रमणीय है परंतु अनिश्चित, और उसका कोई चोलेस्की गुणक नहीं।

  2. चोलेस्की गुणनखंडन [[4, 2], [2, 5]] = LLᵀ में L की प्रविष्टि l₂₂ ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    l₁₁ = √4 = 2; l₂₁ = a₂₁/l₁₁ = 2/2 = 1; l₂₂ = √(a₂₂ − l₂₁²) = √(5 − 1) = 2। जाँच: LLᵀ = [[2, 0], [1, 2]][[2, 1], [0, 2]] = [[4, 2], [2, 5]]।

  3. A = [[2, 1, 1], [4, 3, 3], [8, 7, 9]] के डूलिटल गुणनखंडन A = LU (L इकाई-विकर्ण निम्न त्रिभुजीय) में U की प्रविष्टि u₃₃ ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    R₂ − 2R₁ = (0, 1, 1) तथा R₃ − 4R₁ = (0, 3, 5); फिर R₃ − 3R₂ = (0, 0, 2)। अतः l₂₁ = 2, l₃₁ = 4, l₃₂ = 3 तथा u₃₃ = 2। जाँच: det A = u₁₁u₂₂u₃₃ = 2 · 1 · 2 = 4।

  4. Ax = b हेतु जैकोबी व गाउस–सीडेल विधियों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. यदि A निश्चित रूप से विकर्णतः प्रभावी हो तो दोनों प्रत्येक आरंभिक सदिश हेतु अभिसृत होती हैं
    2. जैकोबी विधि प्रत्येक आरंभिक सदिश हेतु अभिसृत है यदि और केवल यदि उसके पुनरावृत्ति आव्यूह की स्पेक्ट्रमी त्रिज्या 1 से कम हो
    3. प्रत्येक आव्यूह A हेतु गाउस–सीडेल, जैकोबी से तेज़ अभिसृत होता है
    4. प्रत्येक सममित धनात्मक निश्चित A हेतु गाउस–सीडेल अभिसृत होता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यदि A निश्चित रूप से विकर्णतः प्रभावी हो तो दोनों प्रत्येक आरंभिक सदिश हेतु अभिसृत होती हैं; B — जैकोबी विधि प्रत्येक आरंभिक सदिश हेतु अभिसृत है यदि और केवल यदि उसके पुनरावृत्ति आव्यूह की स्पेक्ट्रमी त्रिज्या 1 से कम हो; D — प्रत्येक सममित धनात्मक निश्चित A हेतु गाउस–सीडेल अभिसृत होता है

    (1) विकर्ण प्रभाविता ‖TJ‖∞ < 1 बनाती है और इसी प्रकार TGS को सीमित करती है। (2) रैखिक स्थिर पुनरावृत्ति eₖ = Tᵏe₀ सभी e₀ हेतु 0 की ओर जाती है यदि और केवल यदि ρ(T) < 1। (4) ऑस्ट्रोव्स्की–राइख प्रमेय है। (3) असत्य: ऐसे आव्यूह हैं जहाँ जैकोबी अभिसृत और गाउस–सीडेल अपसारी है।

  5. A = [[4, 1], [2, 5]] हेतु गाउस–सीडेल पुनरावृत्ति आव्यूह −(D + L)⁻¹U की स्पेक्ट्रमी त्रिज्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.1

    D + L = [[4, 0], [2, 5]], व्युत्क्रम [[1/4, 0], [−1/10, 1/5]], तथा U = [[0, 1], [0, 0]], अतः −(D + L)⁻¹U = [[0, −1/4], [0, 1/10]], आइगेन-मान 0 व 0.1 वाला उपरि त्रिभुजीय आव्यूह। जैकोबी आव्यूह का ρ = √(1/10) ≈ 0.316, और वस्तुतः 0.1 = 0.316²।

  6. (x, y) = (0, 0) से, पहले x अद्यतन करते हुए, 4x + y = 9, x + 3y = 7 हेतु गाउस–सीडेल की एक पुनरावृत्ति y₁ = ____ देती है (दो दशमलव स्थानों तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.58

    x₁ = (9 − y₀)/4 = 2.25, और गाउस–सीडेल इसे तुरंत उपयोग करता है: y₁ = (7 − x₁)/3 = 4.75/3 = 1.583, अर्थात् 1.58। जैकोबी x₀ = 0 लेकर y₁ = 7/3 = 2.33 देता। यथार्थ हल (20/11, 19/11) ≈ (1.82, 1.73) है।

  7. द्विभाजन [0, 1] पर आरंभ होता है। n चरणों के बाद परिबद्ध अंतराल की लंबाई 2⁻ⁿ है। वह न्यूनतम n जिसके लिए यह लंबाई अधिकतम 10⁻³ हो, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 10

    2⁻ⁿ ≤ 10⁻³ ⟺ 2ⁿ ≥ 1000। 2⁹ = 512 कम है तथा 2¹⁰ = 1024 पर्याप्त, अतः n = 10। फलन कोई भी हो, द्विभाजन प्रति चरण एक द्विआधारी अंक प्राप्त करता है, इसीलिए इसकी गणना को अवकलज नहीं चाहिए।

  8. x₀ = 2 से f(x) = x³ − 2x − 5 हेतु न्यूटन–रैफ़्सन का एक चरण x₁ = ____ देता है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.1

    f(2) = 8 − 4 − 5 = −1 तथा f′(x) = 3x² − 2 से f′(2) = 10, अतः x₁ = 2 − (−1)/10 = 2.1। मूल 2.0946 है, अतः एक चरण में ही दो सही अंक हैं।

  9. x₀ = 1 व x₁ = 2 सहित f(x) = x² − 2 हेतु सिकैंट का एक चरण x₂ = ____ देता है (दो दशमलव स्थानों तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.33

    x₂ = x₁ − f(x₁)(x₁ − x₀)/(f(x₁) − f(x₀)) = 2 − 2 · 1/(2 − (−1)) = 2 − 2/3 = 4/3 = 1.33। 2 से न्यूटन 1.5 देता।

  10. अभिसरण-कोटियों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. न्यूटन–रैफ़्सन साधारण मूल की ओर द्विघाती रूप से अभिसृत होता है
    2. न्यूटन–रैफ़्सन द्विक मूल की ओर केवल रैखिक रूप से अभिसृत होता है
    3. साधारण मूल पर सिकैंट विधि की कोटि (1 + √5)/2 है
    4. द्विभाजन विधि द्विघाती रूप से अभिसृत होती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — न्यूटन–रैफ़्सन साधारण मूल की ओर द्विघाती रूप से अभिसृत होता है; B — न्यूटन–रैफ़्सन द्विक मूल की ओर केवल रैखिक रूप से अभिसृत होता है; C — साधारण मूल पर सिकैंट विधि की कोटि (1 + √5)/2 है

    (1) g = x − f/f′ सहित साधारण मूल पर g′(α) = f(α)f″(α)/f′(α)² = 0। (2) बहुलता m के मूल पर g′(α) = 1 − 1/m, m = 2 हेतु 1/2, अतः त्रुटि प्रति चरण आधी होती है; m f/f′ कोटि 2 लौटाता है। (3) सिकैंट त्रुटि eₙ₊₁ ≈ Ceₙeₙ₋₁ संतुष्ट करती है, कोटि स्वर्ण अनुपात देती है। (4) द्विभाजन अनुपात 1/2 सहित रैखिक है।

  11. कौन-सी नियत-बिंदु पुनरावृत्तियाँ xₙ₊₁ = g(xₙ), 2 के पर्याप्त निकट प्रत्येक x₀ हेतु x² − x − 2 = 0 के मूल x = 2 की ओर अभिसृत होती हैं?

    1. g(x) = √(x + 2)
    2. g(x) = x² − 2
    3. g(x) = 1 + 2/x
    4. g(x) = 2/(x − 1)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — g(x) = √(x + 2); C — g(x) = 1 + 2/x

    प्रत्येक g का 2 नियत बिंदु है; स्थानीय अभिसरण हेतु |g′(2)| < 1 चाहिए। (1) g′ = 1/(2√(x + 2)) = 1/4। (2) g′ = 2x = 4। (3) g′ = −2/x² = −1/2। (4) g′ = −2/(x − 1)² = −2। अतः (1) व (3) अभिसृत, (3) दोलन सहित क्योंकि g′ < 0।

  12. (0, 1), (1, 3) तथा (2, 7) से होकर न्यूनतम घात का बहुपद x = 3 पर मान ____ लेता है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 13

    विभाजित अंतर: f[0, 1] = 2, f[1, 2] = 4, f[0, 1, 2] = (4 − 2)/2 = 1। न्यूटन रूप: p = 1 + 2x + 1 · x(x − 1) = x² + x + 1, अतः p(3) = 9 + 3 + 1 = 13। अंतिम दो बिंदुओं से रैखिक बहिर्वेशन 11 देता।

  13. f(x) = ln x का x = 1 व x = 2 पर रैखिक अंतर्वेशन किया जाता है। x = 1.5 पर त्रुटि की सीमा maxξ∈[1,2] |f″(ξ)|/2 · |(x − 1)(x − 2)| ____ के बराबर है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.125

    f″ = −1/x², अतः [1, 2] पर max |f″|, x = 1 पर 1 है। |(1.5 − 1)(1.5 − 2)| = 0.25। सीमा (1/2)(0.25) = 0.125। वास्तविक त्रुटि ln 1.5 − (ln 2)/2 = 0.4055 − 0.3466 = 0.059 है, सीमा के भीतर।

  14. h = 0.5 सहित संयुक्त समलंब नियम ∫₀¹ x² dx पर ____ देता है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.375

    (h/2)[f(0) + 2f(0.5) + f(1)] = 0.25 × (0 + 0.5 + 1) = 0.375। यथार्थ मान 1/3 है, और त्रुटि 0.0417, (b − a)h²f″/12 = 1 × 0.25 × 2/12 के बराबर है; नियम अधिक आकलन करता है क्योंकि x² उत्तल है।

  15. h = 0.5 सहित सिम्पसन का 1/3 नियम ∫₀¹ x⁴ dx पर ____ देता है (चार दशमलव स्थानों तक)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.2083

    (h/3)[f(0) + 4f(0.5) + f(1)] = (0.5/3)(0 + 4 × 0.0625 + 1) = 1.25/6 = 0.20833, अर्थात् 0.2083। यथार्थ मान 0.2 है; त्रुटि 1/120 = (b − a)h⁴f⁗/180 = 0.0625 × 24/180, वह प्रथम घात जिसका सिम्पसन यथार्थ समाकलन नहीं करता।

  16. न्यूटन–कोट्स संख्यात्मक समाकलन के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. समलंब नियम अधिकतम घात 1 के प्रत्येक बहुपद हेतु यथार्थ है
    2. सिम्पसन का 1/3 नियम अधिकतम घात 3 के प्रत्येक बहुपद हेतु यथार्थ है
    3. संयुक्त समलंब नियम की त्रुटि O(h²) है
    4. संयुक्त सिम्पसन नियम की त्रुटि O(h³) है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — समलंब नियम अधिकतम घात 1 के प्रत्येक बहुपद हेतु यथार्थ है; B — सिम्पसन का 1/3 नियम अधिकतम घात 3 के प्रत्येक बहुपद हेतु यथार्थ है; C — संयुक्त समलंब नियम की त्रुटि O(h²) है

    (1) त्रुटि पद में f″ है, जो रैखिक f हेतु शून्य है। (2) त्रुटि में f⁗ है, अतः घन यथार्थतः समाकलित होते हैं; उदा. ∫₀¹ x³ = (1/6)(0 + 4/8 + 1) = 1/4। (3) −(b − a)h²f″/12। (4) असत्य: संयुक्त सिम्पसन त्रुटि −(b − a)h⁴f⁗/180, कोटि h⁴।

  17. y′ = x + y, y(0) = 1 हेतु हॉयन रूप (परिष्कृत आयलर) में द्वितीय-कोटि रुंगे–कुट्टा विधि का h = 0.1 सहित एक चरण y(0.1) ≈ ____ देता है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.11

    k₁ = f(0, 1) = 1; आयलर पूर्वानुमान 1 + 0.1 × 1 = 1.1, तथा k₂ = f(0.1, 1.1) = 1.2; y₁ = 1 + (0.1/2)(1 + 1.2) = 1.11। केवल आयलर 1.1 देता है; यथार्थ 2e0.1 − 1.1 = 1.11034।

  18. स्थिर चरण h > 0 सहित y′ = −20y, y(0) = 1 पर आयलर विधि लगाई जाती है। वह सबसे बड़ा h जिसके लिए आंकिक हल परिमाण में नहीं बढ़ता, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.1

    आयलर yₙ₊₁ = (1 − 20h)yₙ देता है, अतः |yₙ| नहीं बढ़ता यदि और केवल यदि |1 − 20h| ≤ 1, अर्थात् 0 ≤ h ≤ 2/20 = 0.1। h = 0.1 पर पुनरावृत्त ±1 एकांतरित होते हैं; h > 0.1 हेतु बढ़ते आयाम से दोलन करते हैं, यद्यपि यथार्थ हल e−20x क्षयित होता है।